bİrleŞİk yÜklemeler ( kesit tesirleri ) stresses due to combined loading ( internal forces )
DESCRIPTION
BİRLEŞİK YÜKLEMELER ( Kesit tesirleri ) STRESSES DUE TO COMBINED LOADING ( Internal Forces ). -Normal kuvvet -Kesme kuvveti -Eğilme momenti -Burulma momenti. Eğilmeli Burulma. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
BİRLEŞİK YÜKLEMELER(Kesit tesirleri)
STRESSES DUE TO COMBINED LOADING(Internal Forces)
-Normal kuvvet-Kesme kuvveti-Eğilme momenti-Burulma momenti
Eğilmeli Burulma
Bir mil eğilmeli burulma durumuna maruz
kaldığında normal ve kayma gerilmeleri
meydana gelir. Şekildeki kasnağa
uygulanan P kuvveti A noktasına
indirgendiğinde T=PR büyüklüğünde
burulma momenti ankastre noktasına
indirgendiğinde burulma ile birlikte M=PL
büyüklüğünde eğilme ve V=P büyük-
lüğünde kesme etkisi meydana gelir.
Özet olarak:
1) Burulmadan dolayı kayma,
2) Eğilmeden dolayı normal,
3) Kesme kuvvetinden dolayı kayma
gerilmesi meydana gelir.
3. Maddede belirtilen kesme kuvvetinin yol açtığı kayma
gerilmesi milin merkezinde maksimum değerine ulaşmış
olup, eğilme ve burulma gerilmelerine göre çok küçük
olduğundan genellikle hesaba katılmaz.
Eğilme gerilmeleri kesitin en üstünde ve en altında en büyük
değerlerde meydana gelir.
3
162 D
TJ
TD
3
322 D
MI
MD
32
4DJ
64
4DI
Dolu miller için atalet momentleri ve gerilmeler:
- Polar atalet momenti ve kayma gerilmesi:
- Kesit atalet momenti ve normal gerilme:
Buna göre asal gerilmeler:
2
3
2
332
2
2,116
232
232
22
DT
DM
DM
2
3
2
332,1161616
DT
DM
DM
2232,1
16 TMMD
Maksimum normal gerilmeye göre mil çapının bulunması: Gevrek malzemeler normal gerilmelere hassas olduklarından maksimum normal gerilme emniyet gerilmesine eşitlenerek mil çapı bulunur:
emTMMD
223max
16
32216 TMMD
em
Dolu miller:
1max EK
Mem
ve
İçi boşaltılmış miller:
4444 1
3232 DdDdDJ
Ddn 4
4
132
nDJ
Atalet momentleri:
4444 1
6464 DdDdDI
Ddn 4
4
164
nDI
22432,1 1
16 TMMnD
Asal gerilmeler:
43 116
2 nDT
JTD
43 116
2 nDM
IDM
Kayma gerilmesi ve normal gerilme:
ve
1max
emTMMnD
2243max 1
16
322
4116 TMM
nD
em
Maksimum normal gerilmeye göre mil çapının bulunması:
EKM
em ve
2
3
2
32
2
minmax,16
232
2
DT
DM
2
3
2
3minmax,1616
DT
DM
223minmax,
16 TMD
Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunmasıSünek malzemeler kayma gerilmelerine hassas olduklarından maksimum
kayma gerilmesi kayma emniyet gerilmesine eşitlenerek mil çapı
bulunur:
Dolu miller:
Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması
emTMD
223max
16
32216 TMD
em
EKM
em
2
43
2
432
2
minmax, 116
1232
2
nDT
nDM
2
43
2
43minmax, 116
116
nD
TnD
M
22
43minmax, 116 TM
nD
İçi boş miller:
43 116
2 nDT
JTD
43 116
2 nDM
IDM
Kayma ve normal gerilmeleri:
ve
Asal gerilmeler:
emTMnD
2243max 1
16
322
4116 TM
nD
em
Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması:
EKM
em
Örnek: Şekildeki mile bağlı kasnak teğetsel P kuvvetine maruz
bırakıldığına göre mil çapını belirleyiniz.
P=10 kN R=250 mm L=0.6 m
MPao 125 MPao 60
PPL
2R
D
Çözüm:
Eğilme ve burulma momentleri
Max. normal gerilmeye göre mil çapının bulunması
NmmkNmmRPT
NmmkNmmLPM6
6
105.2250025010
106600060010
3 6223
22 105.2661251616
TMMD
em
mmDmmD 8087.79
Max. kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması
emniyetli çap olarak alınır.
3 6223
22 105.2660
1616
TMD
em
mmDmmD 8282
DD olduğundan büyük olan değer kullanılır ve
mmDD 82
Örnek: Çapı D=40 mm olan milin H ve K noktalarındaki normal ve kayma
gerilmelerini hesaplayınız.
kNP 151
kNP 182
mmb 6020
a=50 mm
H
K
B
A
D
y
zx
yM
zM
TDc 2
1H
K
V
N
kNmkNmmPbM
kNmkNmmPaMkNmkNmmPaT
kNPVkNPN
z
y
10801860
75015509001850
1815
2
1
2
2
1
43
434
232
102.2512
106.1254
10256.1
mmIJ
mmcII
mmcA
z
zy
Kesit tesirleri (İç kuvvetler):
Kesit özellikleri:
y
zx
Dc 21
H
K
Hx
Txy
Vxy
Txy
Kx
H Noktasında oluşan gerilmeler:
MPamm
mmNmmJcT
Txz
Hxy
Txz
Hxy
6.71102.251
2010943
6
Normal gerilme:
Kayma gerilmesi:
MPamm
mmNmmmmN
IcM
AN
Hx
Hx
z
zMxNx
Hx z
92.183106.125
201008.110256.11015
43
6
23
3
y
zx
Dc 21
H
K
Hx
Txy
Vxy
Txy
Kx
K Noktasında oluşan gerilmeler:
MPamm
mmNmmJcTT
xzHxy
Kxy 6.71
102.25120109
43
6
MPamm
mmNmmmmN
IcM
AN
Kx
Kx
y
yMxNx
Kx y
43.119106.125
201075.010256.11015
43
6
23
3
Normal gerilme:
Kayma gerilmesi:
MPa
mmN
AVV
xy 11.1910256.1310184
34
33
3
MPaVxy
Txy
Kxy 49.5211.196.71
Örnek: Şekildeki tüp p iç basıncına, T burulma momentine ve N eksenel
kuvvetine maruz kaldığına göre tüpte meydana gelen asal gerilmeleri ve
maksimum kayma gerilmesini hesaplayınız.
T=6 kNm p=2 Mpa N=20 kN
d=122 mm D=128 mm
d Dp
TT
NN
Tüpün kesit görünüşüTüpün maruz kaldığı yükler
xy
ty
Nlx
y
x
Çözüm:Tüpte oluşan gerilme bileşenleri
4644 106.412212832
mmJ
MPa
JDT
xy 5.83106.42128106
2 6
6
MPadD
NN 17
12212810204
4/ 22
3
22
Tüpün polar atalet momenti ve oluşan kayma gerilmesi
Tüpte oluşan normal gerilme
MPatDp o
l 8.2034
12524
mmdDDort 1252
1221282
ylt MPa 6.412
MPalNx 8.378.2017
Tüpün ortalama çapı ve cidar kalınlığı
Tüpte oluşan eksenel gerilme
Tüpte oluşan teğetsel gerilme
mmdDt 32
1221282
Eksenel bileşke gerilme
xy
ty
Nlx
y
x
MPaty 6.41
MPalNx 8.37
Gerilme elemanı üzerindeki gerilme bileşenleri
22
2,1 22 xyyxyx
MPaMPa
82.4322.123
2,1
yx
xyp
22tan
op
op
35.44
7.882
MPa52.83min.max
22
minmax, 2 xyyx
Asal gerilmeler ve düzlemleri
ty
lNx
xy
p
2
1
a) H noktasındaki normal ve kayma
gerilmelerini hesaplayınız.
b) H noktasındaki asal gerilmeleri
hesaplayıp doğrultularını bir eleman
üzerinde gösteriniz.
Örnek: Şekildeki ABD kolu A ucundan ankastre olup D ucuna P=900 N
büyüklüğünde bir kuvvet uygulandığına göre:
8 - 31
Sample Problem 8.3
Solid shaft rotates at 480 rpm and transmits 30 kW from the motor to
gears G and H; 20 kW is taken off at gear G and 10 kW at gear H.
Knowing that τall = 50 MPa, determine the smallest permissible
diameter for the shaft.
SOLUTION:• Determine the gear torques and corresponding tangential forces.• Find reactions at A and B.• Identify critical shaft section from torque and bending moment
diagrams.• Calculate minimum allowable shaft diameter.
srdfnwattsJoulesNmTP
sHznf
rpmfn-
/2602//
rotation offrequency :60/
minuteper srevolution ofnumber :601
Nmf
PnPPTfTTP
22602
To determine the torque exerted on the shaft, we recall from
elementary dynamics that the power P associated with the
rotation of a rigid body subjected to a torque T is
Relationship among Power, Speed and Torque in shafts
Observing that f = 480 rpm = 8 Hz,
we determine the torque and tangential
forces exerted on gear E:
kNm
NmrTF
NmHz
kWf
PT
E
EE
E
73.30.16
597
59782
302
Determine the gear torques and corresponding tangential forces.
kNF
NmHz
kWT
kNF
NmHz
kWT
D
D
C
C
49.2
19982
10
63.6
39882
20
we determine the torques and
tangential forces exerted on gears
C and D:
We find reactions at A and B.
kNBkNBkNAkNA
zy
zy
90.280.222.6932.0
Bending-Moment and Torque Diagrams
NmMMM zyD 5.12183731160 2222
Critical Transverse Section:
MC or MD
We compute resultant bending moments at all potentially critical
sections
NmMMM zyE 2.806560580 2222
NmMMM zyC 8.12571861244 2222
Critical Transverse Section:
we find equivalent moments for C and D :
NmMMM zyD 5.12183731160 2222
NmMMM zyC 8.12571861244 2222
Therefore, maximum value of equivalent
moment occurs just to the right of D
NmTMM CCeqC 3.13193988.1257 222
NmTMM DDeqD 13575975.1218 222
Cross-section at D
8 - 40
Calculate minimum allowable shaft diameter accordig to maximum shearing stress:
mm 7.51D
33
3322
10135750
16
1616
D
MTMD eqDall
DDall
D
8 - 41
Sample Problem 8.5
Three forces are applied to a short steel
post as shown. Determine the principle
stresses, principal planes and maximum
shearing stress at point H.
SOLUTION STEPS:
• Determine internal forces in Section EFG.
• Evaluate normal stress at H.
• Evaluate shearing stress at H.
• Calculate principal stresses and maximum shearing stress.
• Determine principal planes.
8 - 43
Solution:• Determine internal forces in Section EFG.
kN75kN50kN 30 zx VPV
• Section properties,
463
121
463121
23
10747.040140
1015.914040
106.514040
mmmmmmI
mmmmmmI
mmmmmmA
z
x
kNmmkNM
MkNmM
mkNmkNM
z
y
x
x
3100.030
05.8
200.075130.050
Evaluation of normal stress at H.
46
6
46
6
23
3
m1015.9m25105.8
10747.020103
105.61050
Nmm
mmmmNmm
mmN
y
MPay
y
66.0
2.233.8093.8
x
x
z
zy I
bMI
aMAP
Evaluation of shearing stress at H.
33
11
105.85
5.474540
mmQ
mmmmmmyAQ
MPa
mmmmmmN
tIQV
yz
x
zyz
52.17
401015.9105.851075
46
333
y
yz
H
8 - 47
Sample Problem 8.5• Calculate principal stresses and maximum shearing stress.
Determine principal planes.
98.13
96.2720.33
52.172tan
MPa4.74.370.33
MPa4.704.370.33
MPa4.3752.170.33
pp
min
max
22max
p
CDCY
ROC
ROC
R
98.13
MPa4.7
MPa4.70
MPa4.37
min
max
max
p
4 - 48
• Stress due to eccentric loading found by superposing the uniform stress due to a centric load and linear stress distribution due a pure bending moment
IMy
AP
xxx
bendingcentric
Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry
• Eccentric loading
PdMPF
• Validity requires stresses below proportional limit, deformations have negligible effect on geometry, and stresses not evaluated near points of load application.
4 - 49
Example 4.07An open-link chain is obtained by bending low-
carbon steel rods of 12-mm diameter into the
shape shown. For a load of 700 N, determine
a) maximum tensile and compressive stresses
in the straight portion of the link,
b) The distance between section the centroidal
and neutral axis of a cross-section.
SOLUTION STEPS:• Find the equivalent centric load and bending moment
• Superpose the uniform stress due to the centric load and the linear stress due to the bending moment.
• Evaluate the maximum tensile and compressive stresses at the inner and outer edges, respectively, of the superposed stress distribution.
• Find the neutral axis by determining the location where the normal stress is zero.
4 - 51
SOLUTION• Equivalent centric load and bending moment
NPFy 7000
NmM
mNdPMdPM
M C
2.11016.0700
0
0
4 - 52
SOLUTION
MPammN
AP
mmmmcA
P 2.61.113
7001.1136
2
222
• Normal stress due to a centric load
MPamm
mmNmmI
Mc
mmmmcI
M
M
669.1017
6102.11
9.10176
4
3
44414
41
• Normal stress due to bending moment
4 - 53
• Maximum tensile and compressive stresses
MPa
MPa
c
MPc
t
MPt
8.59662.6
2.72662.6
• Neutral axis location
Nmm
mmMPaMI
APy
IMy
AP
3
4
0
0
102.119.10172.6
0
mmy 56.00
• Combined normal stresses
4 - 54
Sample Problem 4.8
The largest allowable stresses for the cast iron link are 30 MPa in tension and 120 MPa in compression.
Knowing that
determine the largest force P which can be applied to the link.
,103 23 mmA ,10868 and38 43 mmImmY
SOLUTION STEPS:• Determine an equivalent centric load and bending moment.
• Evaluate the critical loads for the allowable tensile and compressive stresses.
• The largest allowable load is the smallest of the two critical loads.
• Superpose the stress due to a centric load and the stress due to bending.
Solution
• Determine centric and bending loads.
moment bending :28load centric:mm281038
PdPMPN
d
M
N d
• Superpose stresses due to centric and bending loads
PPPI
McAN
PPPI
McAN
AB
AA
333
333
10559.110868
3828103
10376.010868
2228103
• Evaluate critical loads for allowable stresses.
kNNP
MPaP
kNNP
MPaP
B
A
771077
120559.1
8.79108.79
3010376.0
3
3
3
kN 0.77P
• The largest allowable load
YAYLAR
F
Şekil (a) da görülen helezonik yayı
karakterize eden parametreler şunlardır:
R: Yay yarıçapı
d: Yay telinin çapı
h: Helezon adımı (hatve)
α: Helezon eğim açısı
Helezon eğim açısı: R
hα2
tan
RPTPV ve
i) Helezonik bir yaydaki iç kuvvetler ve gerilmeler:
P eksenel yüküne maruz helezonik yayda, Şekil (b) de görüldüğü gibi kesme kuvveti
ve burulma momenti meydana gelir:
Kesit tesirlerinin (kesme kuvveti ve burulma momenti) neden olduğu toplam kayma
gerilmesi süperpozisyon metodu ile bulunur, (Şekil a-b-c).
Buna göre toplam kayma gerilmesi aşağıdaki gibi olur:
emTV Rd
dPR
dPR
dP
311616
316
332max
2221 3
1634
dP
dP
V
3
16dPR
T
Bu formülde , genellikle
1’ in yanında çok küçük
kaldığından ihmal edilebilir.
Rd
3
Gerilme hesaplanırken k düzeltme faktörü kullanılabilir:
3max16
dPRk
mmmk 615.0
4414
dRm 2
ii) Yayların uzaması
Şekil (f) den görüldüğü gibi, ds uzunluğundaki yayın uzaması dδ dır. K1 ve K2 kesitleri arasında kalan ds uzunluğundaki yay parçasının rölatif dönme açısı aşağıdaki gibi olur:
dGJPRRd
GJPRds
GJPRds
GJTd
2
RdOOd
Rdds
dsGJTdsd
GJT
Birim dönme açısı ve ds uzunluğundaki yay telinin dönme açısı
ds yay elemanında O noktası O’ noktasına yer değiştirdiğinde OO’=ds
olur. Bu durumda yayın uzaması aşağıdaki gibi olur:
Burada G kayma modülü, yay telinin polar atalet momenti ve s
yay telinin uzunluğu olup aşağıdaki gibi bulunur:
Burada n helezon (halka) sayısıdır.
sGJPRds
GJPRdds
GJPRRRdOOd
s 2
0
2
0
32
4dJ
RnR
hRns
24
12 22
2
Buna göre yayın uzaması aşağıdaki gibi olur:
veya
RndG
PRsGJPR
24
32
22
kPnR
Gdk 3
4
64
PGd
nR4
364
3
4
64nRGdP
Örnek: 1.5 kN’luk bir yüke maruz helezonik yayın yarıçapı 100 mm,
tel çapı 20 mm, halka sayısı 20 ve kayma modülü 84 GPa olduğuna
göre;
- Maksimum gerilmeyi yaklaşık olarak, kesme kuvvetinin etkisini
alarak ve düzeltme faktörünü kullanarak hesaplayınız.
- Yaydaki uzamayı hesaplayınız.
Çözüm:
MPa
Rd
dPR
86.1011003201
20100105.116
3116
max
3
3
max
3max
Yaklaşık olarak maksimum kayma gerilmesi:
MPadPR
5.9520
100105.11616
max
3
3
3max
Kesme kuvvetinin etkisini dikkate alarak maksimum kayma gerilmesi:
k düzeltme faktörü kullanılırsa sonuç aşağıdaki gibi olur:
1448.110615.0
41041104615.0
4414
102010022
kmm
mk
dRm
MPadPRk
3.10920
100105.1161448.116
max
3
3
3max
Yayın uzaması aşağıdaki gibi bulunur:
mmdG
nPR
86.142201084
100150020646443
3
4
3
Örnek: Titreşim sönümleyici olarak kullanılan
yay sistemi P=240 N’luk düşey bir yüke maruz
kaldığına göre;
a) A ve B noktalarındaki tepkileri belirleyiniz.
b) Yükün uygulandığı noktanın yer
değiştirmesini hesaplayınız.
R=100 mm
d=10 mm
G=90 GPa
Çözüm:a) Sistemin bütünü için denge denklemi [Şekil (a)]:
1240 NPRR BA
0yF
Sistemdeki iç kuvvetler, Şekil (b ve c)’den aşağıdaki gibi bulunur: :
Şekil (b) den BRP 1
Şekil (c) den BRPP 2
0yF
Sistemin uygunluk denklemi:
20644
3
/ iiiAB PnGd
R
0159
02211
BB
ii
RPR
PnPnPn
NR
NPR
A
B
90ve
1502424015
2415
mm
PnGd
R
ACC
ACC
96
15024015101090
1006464
/
43
3
224
3
/
b) Yükün uygulandığı noktanın (C-C) yer değiştirmesi:
Örnek: Aynı malzemeden yapılmış ve helezon uzunlukları aynı olan iki
yay iç içe geçirilerek P=380 N’luk bir yüke maruz bırakıldığına göre;
a) Yaylardaki kuvvetleri hesaplayınız.
b) A noktasının yer değiştirmesini hesaplayınız.
d1=10 mmd2=14 mmR1=100 mmR2=140 mm
n1=20n2=10G=90 Gpa
Çözüm:
)2( :DenklemiUygunluk
10
21
21
PPPFy
Sistemin uygunluk denklemi:
1224
3
14
3
42
3222
41
3111 8.2
1414010
10100206464 PPPP
GdRPn
GdRPn
21
(1) ve (2) denklemi çözüldüğünde yay kuvvetleri aşağıdaki gibi bulunur:
NPNP 280 ve100 21
a)
b)
mm
GdRPn
GdRPn
1281001010100
1002064
6464
2143
3
1
42
3222
241
3111
1
δ1 veya δ2 den biri kullanılabilir:
Örnek: Şekildeki L=4.7 m uzunluğundaki
AB rijit çubuğu A ve B yayları ile
desteklenerek P yüküne maruz
bırakıldığına göre:
a) Çubuğun yatay kalabilmesi için P
kuvvetinin uygulanması gereken
noktayı bulunuz.
b) Emniyetle taşınabilecek P yükünü
hesaplayınız.
c) Çubuğun çökmesini belirleyiniz.
mmdmmRD
n
A
AA
A
10,1202
50
A yayı
mmdmmRD
n
B
BB
B
101802
20
B yayı
GPaGMPaem
80100
Mekanik ozellikleri
olmalıBA
4
3
4
3 64 ve64
B
BBBB
A
AAAA Gd
RPnGd
RPn
4
3
4
3 6464
B
BBB
A
AAA
BA
BA
GdRPn
GdRPn
dd
Çözüm
35.1
90206050 3333
B
A
BABBBAAA
PP
PPPRnPRn
PPPP
PPPP
PPPF
A
BBA
B
A
BAy
5745.04255.0
35.135.1
0
35.135.1
0
ab
PP
ab
PPbPaPM
B
A
B
ABAC
mb
maaaba
7.22
7.435.17.4
AP BP
Pa b
CA B
ii
ii
İ
ii mm
mkdRm 615.0
44142
2.112615.0
4124112412
10602
AA km
NRk
dPd
RPkAA
AemAem
A
AAAA 7.272
602.11610100
1616 33
3max
NPPPP AA 67.474
5745.07.272
5745.05745.0
A yayına göre P kuvvetinin bulunması
A yayında oluşan maksimum kayma gerilmesi
078.118615.0
4184118418
10902
BB km
NRk
dP
dRPk
BB
BemB
emB
BBBB
4.20290078.116
1010016
16
33
3max
NPPPB 4764255.0
B yayına göre P kuvvetinin bulunması
B yayında oluşan maksimum kayma gerilmesi
Emniyetle taşınabilecek yük küçük olan değer olmalıdır. Buna göre
olmalıdır.
NPP Aem 67.474
mmGd
RPn
AB
A
AAAAB
6.235101080
607.27250646443
3
4
3
1
2 33
F F
m1 m1
Rijit
kirişAB
C
EXAMPLE (Craig)During the drilling of an oil well, the section of the drill pipe at A (above ground level) is under combined loading due to a tensile force P = 70 kips and a torque T = 6 kip. ft, as illustrated in Fig. 1.The drill pipe has an outside diameter of 4.0 in. and an inside diameter of 3.64 in. Determine the maximum shear stress at point A on the outer surface of the drill pipe. The radial stress at this point is zero. The yield strength in tension of this drill pipe is 95 ksi.
Fig. Portions of an oilwell drill string.
Solution
Stress Resultants: The stress resultants are given in the problem statement:
F = P = 70 kips, T = 6 kip . ft (1)
Individual Stresses: we get the normal stress
EXAMPLEWind blowing on a sign produces a pressure whose resultant, P, acts in the y direction at point C, as shown in Fig. 1.The weight of the sign, Ws, acts vertically through point C, and the thin-wall pipe that supports the sign has a weight WP. Following the procedure outlined at the beginning of Section 9.4,determine the principal stresses at points A and B, where the pipe column is attached to its base. Use the following numerical data.
Example: A thin-walled cylindrical pressure vessel with a circular cross
section is subjected to internal gas pressure p and simultaneously
compressed by an axial load P=12 k (Fig. 8-25a). The cylinder has inner
radius r=2.1 in. and wall thickness t=0.15 in.
Determine the maximum allowable internal pressure pallow based upon
an allowable shear stress of 6500 psi in the wall of the vessel.
Example (GERE): The rotor shaft of a helicopter drives the rotor blades that provide the lifting force to support the helicopter in the air. As a consequence, the shaft is subjected to a combination of torsion and axial loading.For a 50-mm diameter shaft transmitting a torque T=2.4 kNm and atensile force P=125 kN, determine the maximum tensile stress, maximum compressive stress, and maximum shear stress in the shaft.
Example (GERE): A tubular post of square cross section supports a horizontal platform (Fig. 8-28). The tube has outer dimension b=6 in. and wall thickness t=0.5 in. The platform has dimensions 6.75 in. x 24.0 in. and supports a uniformly distributed load of 20 psi acting over its upper surface. The resultant of this distributed load is a vertical force P1 :
This force acts at the midpoint of the platform, which is at distance d=9 in. from the longitudinal axis of the post. A second load P2=800 lb acts horizontally on the post at height h=52 in. above the base. Determine the principal stresses and maximum shear stresses at points A and B at the base of the post due to the loads P1= and P2=.