BİR DEVRENİN DURUM BİR DEVRENİN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASIÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI

Sadık SayimSadık SayimOğuz YelbeyOğuz Yelbey

Ali PalaAli PalaMustafa DursunMustafa Dursun

İTÜ Elektrik-Elektronik FakültesiİTÜ Elektrik-Elektronik FakültesiDevre ve Sistem Analizi DersiDevre ve Sistem Analizi Dersi

Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörYrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörMüh. Özkan KarabacakMüh. Özkan Karabacak

İÇERİKİÇERİK

• Durum Denklemlerinin Analitik Durum Denklemlerinin Analitik ÇözümüÇözümü

• Durum Denklemlerinin Sürekli Durum Denklemlerinin Sürekli Sinüzoidal Haldeki ÇözümüSinüzoidal Haldeki Çözümü

• Asimptotik Kararlı Olma KoşuluAsimptotik Kararlı Olma Koşulu

• Rezonans DurumuRezonans Durumu

• Çeşitli Devrelerin Durum Çeşitli Devrelerin Durum Değişkenlerinin İncelenmesiDeğişkenlerinin İncelenmesi

Durum Denklemlerinin Analitik Durum Denklemlerinin Analitik ÇözümüÇözümü

• Eğer devrede kaynaklar Eğer devrede kaynaklar yoksa….yoksa….

)()( tAtdt

dxx

• Devre DenklemleriDevre Denklemleri

)()()( tBtAtdt

duxx

Devre denklemlerinin çözüm ifadesi…,

)()()( ttt ışzorlanmöztam xxx

t

tAAt dBeet0

)( )()0()( uxx

)]0()()([)0()()( öö xxxx tttt

Başlangıç Koşulları Denklemlerde yerlerine konulursa…

ve genel çözüm….

Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü• NEDEN SSH?NEDEN SSH?

• Birçok devrenin davranışı…Birçok devrenin davranışı…

• Zor diferansiyel denklem takımları…Zor diferansiyel denklem takımları…

• Fazör kavramı ile cebrik denklemler…Fazör kavramı ile cebrik denklemler…

• Bir değişkenin genel ifadesiBir değişkenin genel ifadesi

)cos()( wtAtx• Euler Denklemi ile…Euler Denklemi ile…

][2

)( )()( wtjwtj eeA

tx

Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü

• İfade denklemde yerine konulursa...İfade denklemde yerine konulursa...

jwtjwt

j

eetx

eA

)(

2

)cos(

)cos(

)cos(

)(

)(

)(

)( 22

11

2

1

kkk wtA

wtA

wtA

tx

tx

tx

t

x

Özel ÇözümÖzel ÇözümDurum Vektörünün İfadesiDurum Vektörünün İfadesi

njk

j

j

k eU

eU

eU

U

U

U

U

2

1

2

1

2

1

njn

j

j

n eA

eA

eA

X

X

X

X

22

11

2

1

)()( jwtjwtjwtjwtjwtjwt eeBeeAejwejw aacccc

0])[(])[( jwtjwt eBAjwIeBAjwI acac

ac BAjwI 1)(

elde edilir.elde edilir.

• Başlangıç koşullarından Başlangıç koşullarından bağımsız…bağımsız…

• t tanım bölgesine t tanım bölgesine geçildiğinde bu ifade geçildiğinde bu ifade özel çözüme eşit olur.özel çözüme eşit olur.

• Sütun matrislerinin yerlerine konulmasıyla BUAjwIX 1)(

Sürekli Sinüzoidal Hal ÇözümüSürekli Sinüzoidal Hal Çözümü

Asimptotik Kararlı Olma KoşuluAsimptotik Kararlı Olma Koşulu

• t tanım bölgesinde ispat zor….t tanım bölgesinde ispat zor….

t

tAAt dBeet0

)( )()0()( uxx

]0)([)( 1 )x()x( sBuAsIs

• Laplace DönüşümüLaplace Dönüşümüs tanım bölgesis tanım bölgesi

Durum Geçiş MatrisiDurum Geçiş Matrisi

)(

)()( 1

sM

sKAsI

kmm

kk ssssM )()()()( 22

11

m

i

k

l

tllim

i

k

ll

i

liiet

l

R

s

RL

1 1

1,

1 1

,111

)!1()(

Durum Geçiş Matrisi’nin DeterminantıDurum Geçiş Matrisi’nin Determinantı

zaman tanım bölgesine geçilirse…zaman tanım bölgesine geçilirse…

Kalıcı Çözüm ve Özdeğerlerin EtkisiKalıcı Çözüm ve Özdeğerlerin Etkisi

Öz Frekanslar…Öz Frekanslar…

0,

0,

0,

)sin()cos()(

)(

)( 1211

i

i

i

cı twKtwKt

t

t

ö

ö

kalı x

x

x

iii jw

Kökler Sağ Yarı Kökler Sağ Yarı Düzlemde Düzlemde

Kökler Sanal Eksen Kökler Sanal Eksen Üzerinde Üzerinde

Kökler Sol Yarı Kökler Sol Yarı Düzlemde Düzlemde

0i

0i

0i

Rezonans DurumuRezonans Durumu

0i• Bu durumda kökler Bu durumda kökler

sanal eksen sanal eksen üzerinde…üzerinde…

• Kaynağın frekansı, Kaynağın frekansı, devrenin öz devrenin öz frekansına eşit frekansına eşit olursa….olursa….

Çeşitli Devrelerin Durum Çeşitli Devrelerin Durum Değişkenlerinin İncelenmesiDeğişkenlerinin İncelenmesi

)cos(0

1

)(

)(

01

11

)(

)(wtERti

tv

L

CRCti

tv

dt

d

L

C

L

C

• R=0.5R=0.5 C=1C=1 L=1L=1 E=1E=1 w=0.2w=0.2

Devrenin Sayısal Yöntemle Elde Devrenin Sayısal Yöntemle Elde Edilmiş Tam ÇözümüEdilmiş Tam Çözümü

Kapasite GerilimiKapasite Gerilimi Endüktans Akımı Endüktans Akımı

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

12,1 ÖZDEĞERLERÖZDEĞERLER

Dördüncü Mertebeden Bir DevreDördüncü Mertebeden Bir DevreL4R5

C2

C1L3 R6i(t)

Dördüncü Mertebeden Devrenin Dördüncü Mertebeden Devrenin Durum DenklemleriDurum Denklemleri

ÖZDEĞERLER•0.3735

•-0.0168

•-0.6020

•-1.1047

i(t)*

0

0

0C

1

(t)i

(t)i

(t)v

(t)v

*

L

R0

L

10

00L

1

L

1C

1

C

1

CR

1

CR

1

0C

1

CR

1

CR

1

(t)i

(t)i

(t)v

(t)v

dt

d 1

L4

L3

C2

C1

4

5

4

33

222626

11616

L4

L3

C2

C1

• C1=10; C2=2;

• L3=3; L4=4;

• R5=5; R6=6;

• w=2;

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

7iL

3

Zaman

iL3(t)’nin Zamanla DeğişimiiL3(t)’nin Zamanla Değişimi

Seri Rezonans DevresiSeri Rezonans Devresi

• ÖZDEĞERLERÖZDEĞERLER

00 ++ 1j 1j

00 -- 1j 1j

Rezonans Durumunda Durum Rezonans Durumunda Durum DeğişkenleriDeğişkenleri

0 100 200 300 400 500 600-30

-20

-10

0

10

20

30

Zaman

vc1

Rezonans

0 100 200 300 400 500 600-30

-20

-10

0

10

20

30

Zaman

iL1

Rezonans

SONUÇLARSONUÇLAR

• Sürekli Sinüzoidal Halde Çözüm sadece Sürekli Sinüzoidal Halde Çözüm sadece özel çözümü veriyor.özel çözümü veriyor.

• Kalıcı çözümün özel çözüme eşit olması Kalıcı çözümün özel çözüme eşit olması için devre asimptotik kararlı olmalıiçin devre asimptotik kararlı olmalı

• Kaynağın frekansı ile devrenin özfrekansı Kaynağın frekansı ile devrenin özfrekansı aynı olursa; rezonans devresi kararsız aynı olursa; rezonans devresi kararsız olur ve durum değişkenleri zamanla olur ve durum değişkenleri zamanla sonsuz olarak artar. Dolayısıyla özel sonsuz olarak artar. Dolayısıyla özel çözüme ulaşılamaz.çözüme ulaşılamaz.

KAYNAKLARKAYNAKLAR

• Devre Analizi Dersleri – Kısım 1,Devre Analizi Dersleri – Kısım 1, Y. Y. Tokad, İTÜ Yayınları, 1977Tokad, İTÜ Yayınları, 1977

• Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987

• Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987Tokad, Çağlayan Kitabevi, 1987

• Linear and Non-linear Circuits, L.O. Linear and Non-linear Circuits, L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Hill, 1987Hill, 1987