biomatematika 7. valosz´ınus˝ ´eg-sz´am´ıt´as i. filefelt´etelek k¨oz¨ott v´egzett...
TRANSCRIPT
Szent Istvan Egyetem Allatorvos-tudomanyi KarBiomatematikai es Szamıtastechnikai Tanszek
Biomatematika 7.
Valoszınuseg-szamıtas I.
Fodor Janos
Copyright c© [email protected] Revision Date: October 5, 2006 Version 1.25
Table of Contents
1 Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogal-mak 4
2 A valoszınuseg 16
2.1 Valoszınusegi modellek . . . . . . . . 17
• A tapasztalati valoszınusegi modell 20
• A klasszikus valoszınuseg . . . . . 22
• A nagy szamok torvenye . . . . . 25
2.2 A valoszınuseg alapveto szabalyai . . 28
Table of Contents (cont.) 3
• Ket egymast kizaro esemeny uniojanakvaloszınusege . . . . . . . . . . . 30
• Az ellentett esemeny valoszınusege 34
• Ket esemeny uniojanak valoszınusege 39
3 Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 43
3.1 Bayes tetele . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Esemenyek fuggetlensege . . . . . . 56
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 4
1. Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak
Egy termeszeti jelenseg lehet
• determinisztikus: azonos korulmenyek kozottmindig ugyanugy jatszodik le; a feltetelek is-mereteben a jelenseg tovabbi jellemzoi egyertel-muen meghatarozottak (pl. a szabadeses torve-nye, Ohm torvenye, stb.)
• sztochasztikus vagy veletlen: a jelenseg ki-menetele (lenyegeben azonos korulmenyek kozottis) nem egyertelmu (peldaul, egy penzdarab fel-dobasakor, a lottohuzasnal, kockadobasnal).
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 5
A nepessegbol egyetlen embert kivalasztva semmitsem mondhatunk elore testmagassagarol. Ha azon-ban ismerjuk az egesz nepesseg testmagassaganakvaloszınusegeloszlasat, akkor ez alapjan adott hata-rok kozotti testmagassagu egyenek aranya pontosanmegadhato.
Ezert a valoszınuseg fogalma az osszekoto lancszema populacio es a minta kozott.
A veletlen jelensegek tanulmanyozasa a celunk most.Kezdjuk nehany alapveto fogalommal.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 6
Populacio: azon egyenek (dolgok) osszessege, a-kikrol (amikrol) informaciot szeretnenk kapni.
Kıserlet: vagy tenyleges kıserlet (tehat ellenorzottfeltetelek kozott vegzett reprodukalhato vizsgalat),vagy empirikus megfigyeles.
A kıserlet eredmenyet veletlen tenyezok befolyasoljak(amiket nem kıvanunk vagy nem tudunk figyelembevenni).
Elemi esemeny: egy kıserlet lehetseges kimenetele.
Esemenyter: az elemi esemenyek halmaza.
Jele: Ω.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 7
Pelda.
(1) (a) Egy szabalyos penzermet egyszer feldobunk.
Az esemenyter:
Ω1 = fej, ıras.(diszkret, veges halmaz)
(b) A penzermet ketszer dobjuk fel. Ekkor
Ω2 = ff, fi, if, ii.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 8
(c) A penzermet haromszor dobjuk fel. Ekkor
Ω3 = fff, ffi, fif, iff, fii, ifi, iif, iii.
(d) A penzermet az elso fej megjeleneseig dobaljuk.
Ekkor
Ω = f, if, iif, iiif, . . ..(vegtelen, de megszamlalhato)
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 9
(2) Figyeljuk meg egy bizonyos ceg altal gyartottizzok elettartamat. Az esemenyter a nemnegatıvvalos szamok osszessege (vegtelen, nem meg-szamlalhato).
Esemeny: Ω tetszoleges reszhalmaza.
Ezert az esemenyek kozott alkalmazhatok a halmaz-muveletek (unio, metszet, komplementer).
Szokas esemenyekkel kapcsolatban az alabbi jelolesis (peldaul a jegyzetben):
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 10
Halmazelmeleti Szavakkal Jegyzetben
A ∪B A vagy B A + B
A ∩B A es B AB
Mivel az esemenyek halmazok, ezert nem hasznaljukezt a kulon jelolest.
Azt mondjuk, hogy egy kıserlet soran az A esemenybekovetkezett, ha a kıserlet kimenetele mint elemiesemeny eleme az A halmaznak.
A fenti (1c) peldaban egy A esemeny: a harmassorozatban nincs fej; nyilvan A = iii. Egy masik:
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 11
pontosan ket fej van; ez eppen ffi, fif, iff.
Biztos esemeny: Ω; Lehetetlen esemeny: ∅.
Azt mondjuk, hogy az A1 esemeny maga utan vonjaaz A2 esemenyt, ha valahanyszor A1 bekovetkezik,bekovetkezik A2 is (vagyis A1 ⊂ A2).
Pelda. A kıserlet alljon abbol, hogy ket dobokockatfeldobunk. Az esemenyter:
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 12
A1: a ket dobott szam osszege 12;
A2: a dobott szamok kozt van paros.
Ekkor A1 maga utan vonja A2-t.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 13
Egymast kolcsonosen kizaro esemenyek:ha kozuluk valamelyik bekovetkezik, akkorezzel egyidejuleg semelyik masik esemeny nemkovetkezhet be.
A ket dobokockas peldaban legyen
A1: a dobott szamok osszege 6; A2: a dobottszamok osszege 10, A3: mindket kockan 4-est dob-tunk. Ezek egymast kolcsonosen kizaro esemenyek.
Ennek megfeleloen az A1 es A2 esemeny egymastkizarja, ha A1 ∩ A2 = ∅ (diszjunkt reszhalmazok).
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 14
Teljes esemenyrendszer: esemenyek olyanosszessege, amelyek kozul mindig pontosan egykovetkezik be.
Formalisabban: az A1, A2, . . . , Ak, . . . esemenyek tel-jes esemenyrendszert alkotnak, ha
Ai ∩ Aj = ∅, ha i 6= j
esA1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak ∪ . . . = Ω.
Egy teljes esemenyrendszerhez tartozo halmazok azesemenyter egy partıciojat adjak.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 15
A kockadobasos peldaban teljes esemenyrendszertalkotnak az alabbi esemenyek:
A2: a dobott szamok osszege 2;
A3: a dobott szamok osszege 3;
. . .
A12: a dobott szamok osszege 12.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 16
2. A valoszınuseg
A valoszınuseg-szamıtasban abbol indulunk ki, hogyegy kıserlettel kapcsolatos barmely esemenyhez egyszam van hozzarendelve: az esemeny valoszınusege.Ez egy 0 es 1 kozti szam, amely annak eselyet fejeziki, hogy a kerdeses esemeny be fog kovetkezni.
• Minel kozelebb van egy valoszınuseg 0-hoz, annalkevesbe tartjuk elkepzelhetonek az esemeny be-kovetkezeset.
• Minel kozelebb van egy valoszınuseg 1-hez, annal
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 17
biztosabbak vagyunk abban, hogy a hozza tar-tozo esemeny bekovetketik.
• A 0 es 1 koze eso valoszınuseget (pl.7/10, 0.27,1/2) neha szazalekkent fejezzuk ki (70%, 27%,or 50%).
2.1. Valoszınusegi modellek
Pelda.
Amikor egy jeggyel rendelkezo utas megerkezik arepuloterre, elkepzelheto, hogy megsem utazhat, merttobb jegyet adtak el, mint ahany ules van a gepen.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 18
Ket dolog tortenhet (ket lehetseges kimenetel):
1. el tud repulni (van hely a gepen);
2. egy kesobbi jarattal kell repulnie (nincs hely agepen).
Mielott kier a repterre, nem lehet biztos abban, hogya ket lehetoseg kozul melyik kovetkezik be. Mi an-nak a valoszınusege, hogy nem lesz hely a jaraton?
Tegyuk fel, hogy az utas szubjektıv becslese erre avaloszınusegre 0.1. Mivel ez a valoszınuseg 0-hozkozeli, ezek szerint az utas ugy gondolja, hogy igen
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 19
kicsi annak az eselye, hogy lemarad a jaratrol. Avalasza a helyzet szubjektıv megıtelesen alapult, amondott becsles pedig szubjektıv valoszınuseg.
Ha csak lehet (es az eloadason es gyakorlaton mindiglehet), ehelyett az alabbi ket modell valamelyikethasznaljuk inkabb.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 20
• A tapasztalati valoszınusegi modell
Relatıv gyakorisag szerinti valoszınuseg: Sok-szor megfigyelunk egy tortenest vagy sokszormegismetlunk egy kıserletet, es egy esemenyheza megfigyelt relatıv gyakorisag szerint rendelunkhozza valoszınuseget.
Ezek alapjan
Egy esemeny valoszınusege =
Ahanyszor az esemeny bekovetkezett
Az osszes megfigyeles szama.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 21
Pelda.
Kerdes, hogy egy a sajtobol jol ismert bunugybena gyanusıtott bunos vagy sem? Megkerdeztek errol500 egyetemistat. Kozuluk 275 szerint bunos a gya-nusıtott. Mi annak a valoszınusege, hogy egy velet-lenszeruen valasztott egyetemista szerint a gyanusı-tott bunos?
Alkalmazhatjuk az elozo formulat, amely szerintP (bunos) = 275/500 = 0.55.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 22
• A klasszikus valoszınuseg
A klasszikus valoszınuseg azon a feltevesen ala-pul, hogy egy kıserlet veges sok kimenetelenekmindegyike egyforman valoszınu.
Ezek szerint
Egy esemeny valoszınusege =
A kedvezo kimenetelek szama
Az osszes kimenetel szama.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 23
Pelda.
Dobjunk fel egy ermet ketszer. Az esemenyter ekkorΩ2 = FF, FI, IF, II. Tekintsuk azt az esemenyt,hogy egy fej jott ki. Ekkor ennek valoszınusege =2/4 = 1/2.
Ebben a kıserletben a negy elemi esemeny (lehetsegeskimenetel) kozul pontosan egy kovetkezik be.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 24
Mivel mindegyik kimenetel valoszınusege 1/4, ezertaz osszes valoszınuseg osszege 1/4 + 1/4 + 1/4 +1/4 = 1.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 25
• A nagy szamok torvenye
Tegyuk fel, hogy egy ermet 3-szor feldobtunk, es 2fej es 1 ıras jott ki. Ez alapjan, ha a valoszınusegrolmeglevo tudasunk nagyon korlatozott, azt monda-nank, hogy
P (fej) = 2/3 , P (ıras) = 1/3 .
Tudjuk azonban, hogy (szabalyos erme eseten) mind-ket valoszınuseg 1/2.
Ha meg tovabbi negyszer feldobnank az ermet, es4 fej, 3 ırast figyelnenk meg, akkor azt mondanank,
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 26
hogy
P (fej) = 4/7 , P (ıras) = 3/7 .
Ha sokaig folytatnank ezt a kıserletet, akkor azttapasztalnank, hogy a fejek szamanak relatıv gyako-risaga 1/2 (az “elmeleti valoszınuseg”) korul inga-dozna. Ez a nagy szamok torvenye.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 27
Matematikusabban:
Ismeteljunk meg egy kıserletet egymastolfuggetlenul n-szer. Legyen N(A) az A esemenybekovetkezesenek gyakorisaga, p pedig az A
elmeleti valoszınusege. Ekkor barmely pozitıv ε
eseten
limn→∞
P
(∣∣∣∣N(A)
n− p
∣∣∣∣ < ε
)= 1.
Szavakkal: N(A)/n 1 valoszınuseggel p-hez kon-vergal, ha n tart vegtelenhez.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 28
2.2. A valoszınuseg alapveto szabalyai
Elso szabaly:
Barmely esemeny valoszınusege 0 es 1 koze esik:0 ≤ P (A) ≤ 1.
Masodik szabaly:
A lehetetlen esemeny valoszınusege nulla:P (∅) = 0.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 29
Harmadik szabaly:
A biztos esemeny valoszınusege egy:P (Ω) = 1.
Negyedik szabaly:
Egy kıserlettel kapcsolatos elemi esemenyekvaloszınusegeinek osszege 1.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 30
• Ket egymast kizaro esemeny uniojanak valoszınusege
Ha az A es B esemenyek egymast kizarjak,
akkor annak valoszınusege, hogy vagy A
vagy B bekovetkezik, egyenlo a ket esemeny
valoszınusegenek osszegevel. Formulaval:
P (A ∪B) = P (A) + P (B), ha A ∩B = ∅.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 31
Ket egymast kizaro esemeny uniojanakvaloszınusege
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 32
Pelda.
A MALEV egy jelenteseben az alabbi informaciotalalhato a Budapest – New York jaratukrol:
Erkezes Gyakorisag
Koran 100
Idoben 800
Kesobb 75
Torolve 25
Osszesen 1000
Legyen A az az esemeny, hogy egy jarat korabbanerkezik meg. Ekkor P (A) = 100/1000 = 0.1.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 33
Legyen B az az esemeny, hogy egy jarat kesik.Ekkor P (B) = 75/1000 = 0.075.
Vegyuk eszre, hogy A es B egymast kizaro esemenyek.
Mi annak a valoszınusege, hogy egy jarat vagy ko-rabban er oda, vagy kesik?
P (A∪B) = P (A) + P (B) = 0.1 + 0.075 = 0.175.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 34
• Az ellentett esemeny valoszınusege
Legyen P (A) az A esemeny valoszınusege, P (A)pedig az A ellentett (vagy komplementer) eseme-nyenek valoszınusege.
Egy esemeny ellentettjenek valoszınusegetugy kapjuk meg, hogy 1-bol kivonjuk az esemenyvaloszınuseget:
P (A) = 1− P (A).
Termeszetesen ekkor P (A) = 1− P (A) is teljesul.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 35
Egy esemeny ellentettjenek valoszınusege
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 36
Pelda. (folyt.)
Erkezes Gyakorisag
Koran 100
Idoben 800
Kesobb 75
Torolve 25
Osszesen 1000
Legyen C az az esemeny, hogy a jarat pontos. EkkorP (C) = 800/1000 = 0.8.
Legyen D az az esemeny, hogy a jaratot torlik.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 37
Ekkor P (D) = 25/1000 = 0.025.
Nyilvanvalo, hogy a C es D esemenyek egymastkizarjak.
Hasznaljuk most egy esemeny ellentettjere vonatkozoszabalyt annak kimutatasara, hogy a korabbi erkezesvagy keses valoszınusege 0.175.
Most P (A∪B) = 1−P (C∪D) = 1−[0.8+0.025] =0.175.
Az alabbi Venn diagramm illusztralja ezt az esetet.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 38
A most megismert szabaly nagyon fontos, mivel sokesetben konnyebben ki tudjuk szamolni egy esemenyellentettjenek a valoszınuseget, mint direkt modonaz esemenyet. Erre a gykorlaton latnak majd peldat.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 39
• Ket esemeny uniojanak valoszınusege
Legyen A es B ket esemeny, amely nem feltetlenul
zarja ki egymast. Ekkor a P (A∪B) valoszınuseget
az alabbi formula adja meg:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Az alabbi Venn-diagram illusztralja ezt a szabalyt.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 40
Ket esemeny uniojanak valoszınusege
Pelda.
Megkerdeztek 150 egyetemi hallgatot arrol, hogyszobajukban van-e CD-lejatszo es TV. Kozuluk 70
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 41
mondta, hogy csak CD-lejatszoja van, 50 mondta,hogy csak TV-je van, es 25 mondta, hogy mind-ketto van a szobajaban.
Az alabbi Venn-diagram illusztralja ezt a peldat.
He egy egyetemistat veletlenszeruen kivalasztunk,
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 2: A valoszınuseg 42
mennyi a valoszınusege, hogy csak CD-lejatszojavan? Csak TV-je? Mindketto?
Legyen C az az esemeny, hogy a hallgatonak vanCD-lejatszoja, T pedig az az esemeny, hogy van TV-je. Ekkor
• P (C) = 70/150 = 0.4667,
• P (T ) = 50/150 = 0.3333,
• P (C ∩ T ) = 25/150 = 0.1667.
Ha veletlenszeruen valsztunk egy hallgatot, men-
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 43
nyi annak valoszınusege, hogy vagy CD-lejatszoja,vagy TV-je van? (Ebbe azt is beleertjuk, amikormindketto van neki.)
Mivel P (C ∪T ) = P (C)+P (T )−P (C ∩T ), ezert
P (C ∪ T ) = 0.4667 + 0.3333− 0.1667 = 0.6333.
3. Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg
Ez annak a valoszınusege, hogy egy esemeny be-kovetkezik, ha tudjuk, hogy egy masik esemenybekovetkezett.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 44
Pelda.
Minden nap ebredeskor megfigyeljuk az idojarast.Jelolje A azt az esemenyt, hogy esik, B pedig azt,hogy felhos az eg.
Tegyuk fel, hogy az osszes napot tekintve, azok 10szazaleka felhos es esos (vagyis: P (A ∩ B) =0.1), es a napok 30 szazaleka felhos (azaz P (B) =0.3).
Ha holnap felkelunk, es azt tapasztaljuk, hogy az egfelhos, mennyi a valoszınusege annak, hogy ugyan-akkor esni is fog?
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 45
Jozan paraszti esz alapjan: a felhos napok harmadaesos, tehat a kerdeses valoszınuseg: 1/3.
Az A esemeny B-re vonatkozo felteteles
valoszınuseget P (A|B) jeloli, melynek
ertelmezese:
P (A|B) :=P (A ∩B)
P (B),
felteve, hogy P (B) 6= 0.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 46
Mas szoval, P (A|B) annak a valoszınuseget jelenti,hogy A bekovetkezik, felteve, hogy B bekovetkezett.
A feltetel ismereteben az esemenyter redukalodik:
P (A1|A2) =P (A1 ∩ A2)
P (A2).
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 47
Pelda.
Egy egyetemi kar dekanja a kovetkezo adatokat gyuj-totte ossze a hallgatokrol:
Szak Ferfi No Osszesen
Konyveles 120 80 200
Penzugy 110 70 180
Marketing 70 50 120
Vezetestud. 110 100 210
Statisztika 50 10 60
Informatika 140 90 230
Osszesen 600 400 1000
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 48
Mennyi annak a valoszınusege, hogy egy veletlen-szeruen valasztott hallgato konyveles szakos no?
Legyen K az az esemeny, hogy konyveles sza-kos, es N az az esemeny, hogy no. Az alabbivaloszınuseget kell kiszamıtanunk: P (K ∩N).
Nyilvan P (K ∩N) = 80/1000.
Mennyi a valoszınusege annak, hogy holgyet valasz-tunk? Nyilvan P (N) = 400/1000.
Most tudjuk, hogy a kivalasztott szemely holgy; meny-nyi a valoszınusege, hogy konyveles szakos?
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 49
Most P (K|N)-et kell kiszamıtanunk. Mivel
P (K|N) =P (K ∩N)
P (N),
ezert
P (K|N) = [80/1000]/[400/1000] = 0.2.
3.1. Bayes tetele
Tekintsuk a kovetkezo diagramot, ahol az esemeny-teret kek szın jeloli. Ebben teljes esemenyrendszertalkot az A1 es A2 esemeny: az esemenyter egy
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 50
partıciojat adjak.
Problema: fejezzuk ki a P (A1|B) valoszınuseget aP (B|A1), P (B|A2), P (A1) es P (A2) valoszınusegekismereteben.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 51
1. Mivel P (B|A1) =P (A1 ∩B)
P (A1), ezert
P (A1 ∩B) = P (B|A1) · P (A1).
Hasonloan,
P (A2 ∩B) = P (B|A2) · P (A1).
2. P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B).
3. P (A1|B) =P (A1 ∩B)
P (B).
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 52
Behelyettesıtve ez utobbiba az elozo ket formulat, akovetkezo eredmenyt kapjuk:
P (A1|B) =P (A1 ∩B)
P (B)
=P (B|A1) · P (B)
P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B)
=P (B|A1) · P (A1)
P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2).
Ezzel bebizonyıtottuk a kovetkezo tetelt.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 53
Bayes tetele
Ha A1 es A2 teljes esemenyrendszer es B
tetszoleges esemeny, akkor
P (A1|B) =P (B|A1) · P (A1)
P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2).
A Bayes tetelben szereplo mindharom esemeny po-zitıv valoszınusegu kell legyen.
A tetel allıtasa kettonel tobb esemenybol allo partı-ciora is ervenyes.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 54
Pelda.
Egy palackos borokat forgalmazo ceg mostanabansok reklamaciot kap amiatt, hogy a palackokban azeloırtnal kevesebb bor van (alultoltottek a palackok).Ma erkezett a legujabb reklamacio, de a termelesiigazgato nem tudja eldonteni, hogy a ket palac-kozouzemuk (A es B) kozul melyikben toltotteka palackot. Mennyi annak valoszınusege, hogy azalultoltott palackot az A uzemben toltottek?
Legyen U az az esemeny, hogy egy palack alultoltott.Az adatok:
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 55
Termeles (%) Alultoltes (%)
A 55 3
B 45 4
Igy tehat
P (A|U) =0.55 · 0.03
0.55 · 0.03 + 0.45 · 0.04= 0.4783.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 56
3.2. Esemenyek fuggetlensege
Az A es B esemenyek fuggetlenek, haegyikuk bekovetkezese nincs hatassal a masikukbekovetkezesenek valoszınusegere.
Formulaval: A es B fuggetlenek, ha
P (A ∩B) = P (A) · P (B).
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 57
Pelda.
Egy tanulmany szerint a 10 evnel fiatalabb gyerekkelrendelkezo anyak 60%-anak van teljes allasa. Ketilyen anyat valasztunk veletlenszeruen. Feltesszuk,hogy az, hogy van-e teljes allasuk, egymastol fug-getlen. Mennyi a valoszınusege, hogy mindketto-juknek van teljes allasa?
P (mindkettojuknek van teljes allasa) = 0.6 · 0.6 =0.36.
Mi a valoszınusege annak, hogy legalabb egyikuk-nek van teljes allasa?
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I
Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 58
P (legalabb egyikuknek van) =
= 1−P (egyikuknek sincs) = 1− [0.4 · 0.4] = 0.84.
Mi tortenik akkor, ha ket fuggetlen esemenyt tekin-tunk a felteteles valoszınuseg formulajaban?
Ha A es B fuggetlenek es P (B) 6= 0, akkorP (A|B) = P (A).
Ket esemeny fuggetlensege tehat valoban azt jelenti,amit elvartunk: az egyik esemeny bekovetkezesenem befolyasolja a masik bekovetkezesenek valoszı-nuseget.
Toc JJ II J I Back J Doc Doc I