biokalkulus p1.pdf
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
1/38
BiokalkulusPertemuan I, 28 Agustus 2014
Program Studi Bioteknologi dan Neurosains
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
2/38
Ikhtisar
Silabus
Persamaan selisih (difference equations) Proses rekursif memunculkan persamaan selisih
Memecahkan persamaan selisih linier orde satu dan dua
Pemodelan biologi menggunakan persamaan selisih
Memodelkan pertumbuhan bakteri tersuspensi
Memodelkan penetrasi cahaya di kedalaman laut
Memodelkan pertumbuhan kapang
Memodelkan tingkat polusi di danau
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
3/38
Silabus
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
4/38
Silabus
Pengajar: Fransiskus X. Ivan
Pengalaman mengajar:
Guru Matematika & Tenis SMU Kusuma Bangsa, Palembang
Asisten Dosen Pengantar Matematika, Kalkulus, Aljabar Linier, Statistika
Matematika, Institut Pertanian Bogor Dosen Biostatistika dan Bioinformatika, Fakultas Teknobiologi, Unika Atma Jaya
Jakarta
Asisten dosen Statistical Learning and Data Mining, Computation and SystemsBiology, Singapore-MIT Alliance
Visi & Misi:Menuju Indonesia Jaya dengan ahli-ahli biologi yang mumpunidari sisi kemampuan kuantitatif dan komputasional, yang mana untuk ituterlibat dalam upaya: Menghasilkan lulusan Prodi Biologi Universitas Surya yang berorientasi data
dan model
Menggeser paradigma dalam pembelajaran sains biologi di Indonesia
Mengembangkan penelitian biologi maupun multidisiplin yang berintikansains biologi
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
5/38
Silabus
Jadual per minggu
Kuliah 150 menit, responsi 2 jam (with some R labs)
Manfaat kuliah:
Memperoleh pemahaman konsep dasar kalkulus Mengembangkan cara berpikir yang berorientasi model matematis
Meningkatkan kemampuan mengenal pola (pattern recognition) dan
memecahkan masalah (problem solving)
Meningkatkan kemampuan personal (kepercayaan diri)
Mengembangkan keterampilan menggunakan R software
Referensi
Calculus for the life sciences: a modeling approach, vol. I, Cornette &
Ackerman (Iowa State University, 2011).
Bio Calculus, Prahmana (Surya University, 2012)
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
6/38
Silabus
Topik kuliah
Persamaan selisih
Fungsi
Limit
Turunan
Integral Persamaan differensial
Originality & Attitude
No cheating!! I prefer to hear you say Ive done my best but I still havent gotthe idea! --- bcozat the end of the day, you just want to be yourself (being
original)! Ask if you dont understand! Weve got 6 assistants for you
Penilaian:
Proyek, Quiz & Tugas 30%
UTS 30%
UAS 40%
First half
Second half
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
7/38
Persamaan selisih
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
8/38
Rekursi dan persamaan selisih
Triangular dot pattern
Square dot pattern
1 3 6 10 15
u1 u2 u3 u4 u5 ... un
un= un 1 + n
1 4 9
u1 u2 u3 ... un
un= un 1 + 2n 1
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
9/38
Rekursi dan persamaan selisih
Cell replication
Rabbit problem
1 2 4
u1 u2 u3 ... un
un= 2 un 1
1 1 2 3 5
f1 f2 f3 f4 f5 ... un
un= un 1 + un 2
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
10/38
Rekursi dan persamaan selisih
Investment
Loans
I0 I1 I2 ... In
In= In 1 * (1 + 10%)
$500 $500 *(1+k)c [$500 *(1+k)c] * (1+k)c
u0 u1 u2 ... un
un= (1+k) * un 1 c
$500 $500*(1+10%) = $550 $550*(1+10%) = $605
un : jumlah hutang setelah n kali pembayaran angsuran
k : tingkat bunga
c : besar angsuran
angsuran
bungaSisa hutang
Waktu
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
11/38
Rekursi dan persamaan selisih
Demographic changes (case 1)
Pn: ukuran populasi setelah n unit waktu
b : tingkat kelahiran
d : tingkat kematianb * P0
P0
P1
P2
b * P1
b * P2
d * P0
(1d) * P0
d * P1
(1d) * P1
d * P2
(1d) * P2
Pn= b * Pn 1+ (1 d) * Pn 1
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
12/38
Rekursi dan
persamaan selisih
Demographic changes (case 2)
Pn: ukuran populasi setelah n unit waktu
b : tingkat kelahiran
d : tingkat kematian
I : jumlah imigrasiE : jumlah emigrasi
b * P0
(1d) * P0+ (IE)
Pn= b * Pn 1+ (1 d) * Pn 1+ (I E)
P0d * P0
E I
P1d * P1
E I
b * P1
(1d) * P1+ (IE)
P2d * P2
E I
b * P2(1d) * P2
+ (IE)
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
13/38
Rekursi dan
persamaan selisih
Demographic changes (case 3)
P12: ukuran populasi usia 12 tahunsetelah n unit waktu
P>12: ukuran populasi usia > 12 tahun
setelah n unit waktu
b : tingkat kelahiran oleh populasi usia
> 12 tahun
d12: tingkat kematian usia 12 tahund>12: tingkat kematian usia > 12 tahun
b * P>12
P 12(t)
P>12(t) d>12* P>12
d12* P12
P 12(t+1)
P>12(t+1)
(11/12) * (1d12) * P12
(1/12) * (1d12) * P12
(1d>12) * P>12
tPdtPdtP
tPbtPdtP
1212121212
12121212
1112
11
112
111
tt APP
1
Bentuk matriks:
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
14/38
Menyelesaikan persamaan selisih
Persamaan selisih orde satu Penyelesaian umum untuk f(n) = c
metode iteratif, f(n) = c
Jika f(n) = 0, disebut persamaan linier homogen
Jika f(n) = konstan, disebut persamaan linier tak homogen
Lainnya, disebut persamaan non-linier
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
15/38
Menyelesaikan persamaan selisih
Persamaan selisih linier homogen orde dua
Penyelesaian umum:
metode tebak
Case 1 Case 2
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
16/38
Pemodelan biologi menggunakan
persamaan selisih
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
17/38
Model Data
temperatur
Persentase tanaman dengan daun bersisi mulus
Contoh 1:Hubungan temperatur
dan persentase tanaman
dengan sisi daun mulus
Contoh 2:
Hubungan jumlah derik
jangkerik per menitdengan suhu
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
18/38
Model Matematika vs Model Data
Model data
Mencari hubungan antara variabel meskipun tidak ada mekanisme sebab-akibatyang melandasinya
Model matematika:
deskripsi (pernyataan) verbal ringkas mengenai interaksi dan gayayang
mengakibatkan perubahan menurut waktu atau posisidalam suatu proses biologi.
Langkah-langkah membuat model matematika:
Asumsi Model
Matematika
Persamaan
Dinamik
Solusi
Persamaan
Dinamik
Komparasi
Prediksi Model
dan Data
Dinamika
biologi
Observasi
Eksperimen
translasi pernyataan verbal ke formula matematikaStep 1 Step 2
Step 3Step 4
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
19/38
(1) Memodelkan PertumbuhanBakteri Tersuspensi
- A growth model -
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
20/38
(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri
Tersuspensi
Pentingnya pengukuran (measurements)
Spektrofotometer atau
metode hitung koloni?
Data mungkin sudah dimiliki di awal,
atau data dikumpulkan belakangan
absorbansi
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
21/38
(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri
Tersuspensi
Eksplorasi data (jika data sudah ada di awal)
Grafik terpenting
Peningkatan densitas bakteri pada waktu t + 1 berbanding
lurus dengan densitas bakteri pada waktu t, atau
Fraksi sel yang membelah diri per unit waktu konstan, atau
Laju relatif pertumbuhan bakteri konstan
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
22/38
(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri
Tersuspensi
Step 1: Asumsi model
Nutrisi melimpah
Populasi bakteri bertambah karena pembelahan diri
Waktu untuk membelah diri sama untuk setiap sel
* Laju relatif pertumbuhan bakteri konstan
Step 2: Persamaan dinamik
Notasi
t = waktu (1 unit = 16 menit)
B(t) = densitas bakteri saat waktu t
K = laju relatif pertumbuhan bakteri
* Persamaan
B(t+1)B(t) = k B(t) B(t+1)B(t) = (2/3) B(t)
* Berdasarkan grafik hubungan B(t+1)B(t) dan B(t)
Estimasi k: metode kuadrat terkecil, etc.
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
23/38
(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri
Tersuspensi
Step 3: Solusi persamaan dinamik
Solusi iteratif: B(t+1) = (5/3) B(t) B(0) = 0.022
B(1) = (5/3) B(0) = (5/3) 0.022 = 0.037
B(2) = (5/3) B(1) = (5/3) 0.037 = 0.061
dst.
Solusi analitik: B(t) = B(0) (5/3)t= 0.022 (5/3)t B(0) = 0.022 (5/3)0= 0.022
B(1) = 0.022 (5/3)1= 0.037 B(2) = 0.022 (5/3)2= 0.061
dst.
Step 4: Komparasi prediksi model dan data
main interest
Densitas populasi
waktu
original+ prediksi
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
24/38
(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri
Tersuspensi
Validitas model
Valid jika telah digunakan oleh banyak laboratorium dan pemeriksaan kritis terhadap gayadan interaksi yang menghasilkan persamaan untuk model.
Selalu ada pilihan persamaan lain untuk model (dalam kasus ini, B(t) = 0.0236 + 0.000186 t+ 0.00893 t2), namun kita harus memilih persamaan yang diturunkan melalui pemahamanterhadap proses biologi yang terjadi.
Seiring aktifitas pemodelan proses biologi, berbagai penyesuaian untuk asumsipemodelan sangat mungkin dirubah atau ditambahkan:
Menggunakan nilai laju pertumbuhan bakteri yang berbeda (estimasi dilakukan denganmetode lain)
Laju relatif pertumbuhan bakteri tidak konstan, misalnya k = 0.2 pada 32 menit pertama dank = 0.1 pada 32 menit berikutnya
Laju pertumbuhan bakteri bergantung pada umur bakteri
Pertumbuhan bakteri tersinkronisasi sehingga jumlah bakteri hanya bertambah setelahperiode waktu tertentu (misalnya, ada bakteri yang membelah hanya saat senja jikalakondisi dengan dan tanpa cahaya diberikan selama 12 jam secara bergantian.
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
25/38
(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya diKedalaman Laut
- A decay model -
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
26/38
(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya di
Kedalaman Laut
Cahaya dalam air di bawah ikan hiu
lebih sedikit daripada di atas air
Tiada data di awal pemodelan
Step 1: Asumsi model
Partikel suspensi di air menyerap cahayasehingga mengurangi cahaya yang sampai ditempat yang lebih dalam
Partikel suspensi menyebar merata
Laut terdiri dari lapisan-lapisan air yangmenyerap cahaya dengan fraksi sama besarjumlah cahaya yang diserap di lapisan ataslebih besar dibandingkan lapisan bawah
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
27/38
(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya di
Kedalaman Laut
Step 2: Persamaan dinamik
Notasi
d = kedalaman laut
I(d) = intensitas cahaya di kedalaman d
f = fraksi cahaya yang diserap setiap lapisan air laut Persamaan
I(d+1)I(d) =f I(d)
Step 3: Solusi persamaan dinamik
Solusi iteratif: I(d+1) = F I(d) , F = 1f
Solusi analitif: I(d) = I(0) Fd
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
28/38
(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya di
Kedalaman Laut
Step 4: Komparasi prediksi model dan data
Estimasi nilai f,
say f = 0.18 F = 0.082
I(d) = I(0) 0.82dVery good!
1 unit depth = 2.67 cm
original+ prediksi
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
29/38
(3) Memodelkan PertumbuhanKapang
- A quadratic model -
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
30/38
(3) Memodelkan Pertumbuhan Kapang
Day 0
Day 1
Day 2
Day 3
Day 4
Day 5
Day 6
Day 7
Day 8
Day 9
Waktu
(hari)
Area
(mm2)
0 4
1 8
2 25
3 50
4 78
5 126
6 180
7 248
8 326
9 420
Kiri: Gambar koloni kapang yang diambil selama 10 hari berturut-turut
setiap pagi. Interval grid 2 mm.
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
31/38
(3) Memodelkan Pertumbuhan Kapang
Step 1: Asumsi model
Koloni kapang berbentuk lingkaran.
Pertumbuhan kapang terkendala oleh keliling koloni kapang, maka kitaasumsikan pertambahan luas area koloni per hari proposional dengankeliling koloni pada hari sebelumnya.
Step 2: Persamaan dinamik
Notasi
t = waktu (1 unit = 1 hari)
A(t) = area koloni saat t
C(t) = keliling koloni
Persamaan
A(t+1)A(t) = k C(t) A(t+1)A(t) = 2k A(t)
sulit mencari penyelesaian analitik
(step 3 sulit diselesaikan
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
32/38
(3) Memodelkan Pertumbuhan Kapang
Kembali ke Step 1
Reformulasi asumsi model
Step 1: Asumsi model
Radius koloni kapang setiap harinya bertambah secara konstan
Step 2: Persamaan dinamik
Notasi
t = waktu (1 unit = 1 hari)
A(t) = area koloni saat t r(t) = radius koloni
Persamaan
r(t+1)r(t) = c (A(t+1)/).5(A(t)/).5= c
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
33/38
(3) Memodelkan Pertumbuhan Kapang
Step 3: Solusi Persamaan Dinamik
Solusi iteratif: r(t+1)r(t) = c A(t+1) = (r(t) + c)2
Solusi analitik: A(t) = ((A(0)/ ).5+ tc)2
Step 4: Komparasi prediksi model dan dataOriginal Prediksi
t Area Jari-jari A(t)
0 41.13 4.01
1 81.60 16.47
2 252.82 37.37
3 503.99 66.73
4 784.98 104.54
5 1266.33 150.80
6 1807.57 205.51
7 2488.89 268.67
8 32610.19 340.28
9 42011.57 420.34
c = (r(9)r(0))/9 = (11.571.13)/9 = 1.16
A(t) = ((4/3.14).5+ 1.16t)2= (1.13 + 1.16t)2
original
+ prediksi
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
34/38
(4) Memodelkan Tingkat Polusi diDanau
- A model with movement toward equilibrium -
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
35/38
(4) Memodelkan Tingkat Polusi di
Danau
Step 1: Asumsi model
Jumlah air yang mengalirdi sebuah danau konstan(jumlah air masuk danau= jumlah air keluar danau)
Limbah dari pabrik kimiamengalir secara konstanke sebuah danau
Limbah menyebar meratadi danau
AIR MASUK
AIR KELUAR
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
36/38
(4) Memodelkan Tingkat Polusi di Danau
Step 2: Persamaan dinamik
Notasi
V = volume danau
F = aliran air (jumlah air masuk dan keluar) danau setiap hari
L = jumlah limbah masuk setiap hari
t = waktu
W(t) = jumlah limbah di danau saat t
C(t) = konsentrasi limbah di danau
Persamaan
W(t+1)W(t) = L - F C(t) , C(t) = W(t)/V
W(t+1)W(t) = LF W(t)/V
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
37/38
(4) Memodelkan Tingkat Polusi di Danau
Step 3: Solusi persamaan dinamik
Solusi iteratif: W(t+1) = L + (1F/V) W(t)
Solusi analitik: W(t) = LV/F + (W(0)LV/F) (1F/V)t
Step 4: Komparasi prediksi model dan data Tidak ada data lapangan
Hanya asumsi bahwa:
W(0) = 0
V = 2 107m3
F = 104m3/hari
L = 100 kg/hari
Persamaan dinamik:
W(t) = 200000200000 0.9995t
jumlah
limbah
(kg)
waktu (hari)
Equilibrium = 200000
-
7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf
38/38
RINGKASAN
Model matematika v.s. Model data
Ragam persamaan untuk model matematika: Model eksponensial:
P(t+1)P(t) = r P(t), P(0) = P0 P(t) = P0(1 + r)t
Model kuadratik:P(t) = at2+ bt + c
Model menuju ekuilibrium:
P(t+1)P(t) = r P(t) + b, P(0) = P0 P(t) =b/r + (P0+ b/r) (1 + r)t
Fitur model eksponensial:
waktu penggandaan(doubling time)model pertumbuhan (growth model), r >0 waktu paruh(half-life time)model peluruhan (decay model), r < 0
Fitur model menuju ekuilibrium: Ada input konstan ke sistem
Kondisi ekuilibrium tercapai saat input = output