Sistemas de Numeração

e Conversão de Base No estudo de sistemas digitais recorre-se a diferentes sistemas de numeração.

Sistema Decimal

É o nosso sistema natural.

Dígitos 0,1,2,....,9.

Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.

Por exemplo, o número 7986 traduz um valor numérico calculado por:

7986 = 7x103+9x102+8x101+6x100

Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.

Sistema Binário Todo o funcionamento de um computador digital é baseado no cálculo binário. O sistema de

numeração binário (ou sistema de base 2) é formado por dois dígitos: o 0 e o 1.

Os dígitos binários 0 e 1 são habitualmente designados por bits. Um número binário constituído por 8 bits é designado por byte, um número binário de 16 bits é uma word, e um de 32 bits, uma double word.

Para contar em decimal, usamos intuitivamente um algoritmo muito simples: supondo que temos um contador por cada posição, todos inicializados a 0. Começamos a incrementá-los da direita para a esquerda. Quando o contador em qualquer posição ultrapassar o valor 9 (valor do símbolo mais elevado no caso do sistema decimal), o contador relativo a essa posição juntamente com todos os contadores à direita voltam a zero e o contador que ocupa a posição imediatamente à esquerda,� é incrementado 1 unidade.

Para contar em binário seguimos as mesmas regras, ou seja, obtemos a seqüência: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, etc.

De uma forma geral se convenciona:

Nibble: 4 bits

Byte: 8 bits

Word: 16 bits

Double Word: 32 bits

Quad Word: 64 bits

Conversão de binário para a base decimal

Para converter um número binário para o número decimal equivalente basta multiplicar cada dígito pela potência de 2 relativa à posição por ele ocupada e somar os resultados. Assim por exemplo o número binário 101 equivale ao número 5 no sistema decimal.

101 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0*2 + 1*1 = 4 + 0 + 1 = 5

Da mesma forma que acontece no sistema decimal, os números fracionários são expressos em potências de expoente negativo. Assim, por exemplo, o número binário 0,01 equivale ao número 0,25 no sistema decimal.

0,01 = 0*2-1 + 1*2-2 = 0*1/21 + 1*1/22 = 0*1/2 + 1*1/4 = 1/4 = 0,25

Por exemplo, o número 1910 (o subscrito indica a base) é representado pela seqüência de dígitos binários:

100112 = 1x24+0x23+0x22+1x21+1x20

100112 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 1910

Na prática, cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digital digit), conjuntos de 4 bits são chamados nibble e de 8 bits denominam-se byte.

Exercícios: Converta para o sistema decimal os seguintes números binários: 1011101, 0,1101 e 11001,00101.

Para converter números decimais em binários existem dois métodos possíveis. O primeiro consiste em extrair do número decimal a converter potências na base dois, até o resto ser igual a zero. Atribuímos de seguida ao número binário resultante um 1 para cada posição binária correspondente a cada potência de dois extraída.

Exercícios: Usando este método converta para o sistema binário, os seguintes números decimais: 66 e 227;

Outro método possível consiste em dividir o número decimal sucessivamente por dois até obter zero. Os restos de cada operação formam o novo número binário, sendo o valor do primeiro resto, o dígito menos significativo, e o último, o mais significativo.

Exercícios: Converta novamente os números decimais 66 e 227 usando este novo método;

Para converter a parte fracionaria de um número binário usa-se um método semelhante: multiplica-se sucessivamente a parte fracionaria por 2. A parte inteira do resultado de cada multiplicação é um dígito binário do novo número, sendo o valor da primeira multiplicação o dígito mais significativo e o último, o menos significativo. O critério de paragem depende do número de dígitos significativos que pretendemos no resultado.

DECIMAL PARA BINÁRIO

Adição e subtração binárias

A adição binária segue os seguintes princípios: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10 ou 0 com o transporte de 1 para a posição imediatamente superior;

Exercícios: Efetue as seguintes operações em binário:

o 0101 + 0100; o 101010 + 1001; o 10111001 + 101011; o 11101 + 10111 o 100110 + 1111; o 1001,11 + 100,11; o 1111,11 + 100;

A subtração binária segue os seguintes princípios: 0 - 0 = 0; 0 - 1 = 1, com transporte de 1 para a posição imediatamente superior do subtrativo; 1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0;

Exercícios: Efetue as seguintes operações em binário:

o 1001 - 0100; o 1000 - 1; o 10110001 - 01010101; o 1000,1 - 0,11; o 1011,01 - 11,11;

84

21

1000(0) =(0)(0)

22

2

TABELA ASCII

Decimal Binário Octal Hexadecimal0 0000 0 01 0001 1 12 0010 2 23 0011 3 34 0100 4 45 0101 5 56 0110 6 67 0111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F