bilangan dan bangun ruang - sumsel.kemenag.go.id · bilangan dan bangun ruang oleh: risnaini,s.pd.i...

Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang

1

1. ALJABAR

A. Pengertian Aljabar

Aljabar adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari masalh

bilangan dan operasi perhitungannya.

B. Bagian-bagian Aljabar

1. Bilangan

Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan symbol

atau lambang dan bukan pula lambing bilangan. Bilangan memberikan

keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.

Contoh:

A= {a,b,c}

B= {*, ¤, ©}

Jenis dan Macam-macam bilangan:

Bilangan asli adalah bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,…. jadi, himpunan

semua bilangan asli adalah: {1,2,3,4,5,6,..}. Bilangan 0, bukan

bilangan asli.

ada 4 golongan bilangan asli, yaitu:

- Bilangan genap: 2,4,6,8,…

- Bilangan ganjil: 1,3,5,7,…

- Bilangan prima: 2,3,5,7,11,…

- Bilangan komposit, misalnya, 4,6,8,9,10,…

Bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf A.

Bilangan Berpangkat, jika ditulis 24, dibaca: dua pangkat 4.24 adalah

2x2x2x2. Ada empat macam pangkat suatu bilangan, yaitu:

a. Berpangkat bilangan bulat positif.

b. Berpangkat bilangan bulat negative.

c. Berpangkat bilangan pecahan

d. Berpangkat bilangan nol.


2

73 dibaca: tujuh berpangkat tiga, atau tujuh pangkat tiga. 7 disbut

bilangan pokok, 3 disebut pangkat.

Definisi.

ab adalah perkalian berulang yang mempunyai b factor dan tiap-tiap

faktornya sama dengan a.

Pangkat senama adalah bilangan berpangkat yang pangkatnya sama.

contoh: 53,73,83, dan seterusnya.

Pangkat sejenis adalah bilangan berpangkat yang factor-faktornya sama.

contoh: 52,53,54,…

A. OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT

Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dan

sifat-sifatnya. Bilangan berpangkat yaitu suatu bilangan yang

dipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapat

berupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat

operasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.

I. PANGKAT BILANGAN POSITIF

Biasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhana

apabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapat

ditulis sebagai 2 x 106.

DEFINISI

Untuk bilangan bulat positif n dan sembarang bilangan real a, bilangan an

(dibaca: a pangkat n) mempunyai arti:

a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama)

Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.

CONTOH

1. 23 = 2 × 2 × 2 = 8


3

Bilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan dengan

dirinya sendiri sebanyak 3 kali.

2. (-3)2 = (-3) × (-3) = 9

Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan dengan

dirinya sendiri sebanyak 2 kali.

3. 32 = - (3 × 3) = - 9

4. 32

1

2

1

22222

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

16

5

xxxxxxxx

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif

1. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,

maka naxmanma

2. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang

dengan a ≠ 0, maka na

manma


maka mxnanma )(


maka berlaku :

a. nxbnanaxb )(

b. nb

nan

b

a

,untuk b ≠ 0

CONTOH

Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.

1. 1288163242342


4

2. 28

16

32

42342

3. 972632x333)2(3

4. 248.832- 1024 (-243) 54 5(-3) 54)(-3

5. 81

16

43

424

3

2

II.PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL

Sebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan bilangan

bulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan (sebagai faktor)

sebanyak pangkat yang diketahui. Bagaimana suatu bilangan

berpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10-2 atau 70 ?.

Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan dengan

pangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk mengungkapkan

arti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.

A. Bilangan Berpangkat Nol

Untuk memahami arti bilangan a0, perhatikan sifat perpangkatan

a0 × am = a0+m = am

Jika am ≠ 0 maka haruslah a0 = 1, agar kesamaan a0 × am = am dipenuhi.

Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar am ≠ 0

cukup dipilih a ≠0. Perhatikan definisi berikut ini.

DEFINISI

Untuk bilangan real a 0, a0 ( dibaca: a pangkat 0 ) didefinisikan

sebagai:

a0 = 1


5

CONTOH

1. 20 = 1

2. (-3)0 = 1

3. (a + b)0 = 1, apabila a + b ≠ 0

B. Bilangan Berpangkat Negatif

Bagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita lihat kembali sifat perpangkatan

na

manma

Jika a ≠ 0 dan m = 0 , maka didapat :

nananana

a 010

Oleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini.

DEFINISI

CONTOH

1. 32

1

52

152

2. 25

49

4925

1

75.

75

1

75

1

7

52

2

Untuk bilangan real a 0 , na , didefinisikan sebagai:

na

na1


6

3. 4444

4

16

1

)2(

1

2

12

xxxx

Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baik

itu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0.

CONTOH

Sederhanakanlah :

1. ( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2

2. 2352

232

x

Penyelesaian :

1. ( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2 = ( (22)-8 x 26)-1(5-2 x(52)-1)-2

= ( 2-16 x 26 ) -1( 5-2 x5-2 )-2

= ( 2-22 ) -1( 5-4 )-2

= 2-22 x 5-8

2.

7

64

169

64

5223

2

322352

32232

2352

232

6

25

25

x

xxx

2. Variabel

Variabel adalah symbol atau notasi yang di beri tanda x atau lainnya

pada suatu bilangan.

Contoh : perhatikan bentuk x + 3, dengan x merupakan pengganti

pada bilangan bulat. Jika x dig anti -2 maka di peroleh -2 + 3 . Jika x

dig anti 0 maka di peroleh 0 + 3. Jadi x di sini merupakan variabel.


7

3. Konstanta

Artinya bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung peubah.

Contoh : dalam persamaan x + 3 = 5, 3 dan 5 di sebut konstanta

2y = 18, 18 adalah konstanta

4. Koofisien

Koofisien adalah factor yang berupa konstanta.

Contoh : Bentuk-bentuk aljabar seperti 2p2 artinya 2 x P x P. 2 P

adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2P2 adalah

2,p,p2 dan 2P.

2. GEOMETRI

A. Bangun Datar

Bangun datar ialah bangun yang di buat atau di lukis pada permukaan

datar. Bangun bersisi empat ini di sebut bangun datar karena seluruh

bangun ini terletak pada bidang datar. Ada bermacam-macam bangun

datar diantaranya:

No.

Bangun datar

Gambar bangun datar

Rumus luas bangun datar

1. Persegi

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Regular_quadrilateral.svg


8

2. Persegi panjang

3. Lingkaran

4. Trapesium

5. Segitiga

6. Belah ketupat

7. Layang-layang

8. Jajargenjang

B. Bangun Ruang

Jika suatu bangun tidak seluruhnya terletak dalam bidang, maka

bangun tersebut di sebut bangun ruang. Bangun datar di bentuk oleh

daerah segi banyak yang di sebut sisi. Ada bermacam-macam bangun

ruang di antaranya :

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Rectangle_definition.svg

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Circle_-_black_simple.svg

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Trapezoid.png

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Triangle-acute.svg

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Romb.png

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Drachenviereck.png

http://id.wikibooks.org/wiki/Berkas:Parallelogram.jpg


9

Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun

volume.

Bagian-bagian bangun ruang :

1. Sisi bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun

ruang dengan ruangan di sekitarnya.

2. Rusuk pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun

ruang.

3. Titik sudut titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau

lebih.

KUBUS

Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen)

Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.

Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang.

Kubus mempunyai 8 titik sudut.

Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.

Rumus Luas Permukaan Kubus

Rumus Volume Kubus

L = 6 x r x r

L : luas permukaan

r : panjang rusuk

V = r x r x r

V : Volume

r : panjang rusuk


10

BALOK

Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang

dimana 3 persegi panjang kongruen.

Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang.

Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.

Balok mempunyai 12 rusuk.

4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.

Balok mempunyai 8 titik sudut.

Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Balok

Rumus Volume Balok

L = 2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ]

L : luas permukaan

p : panjang balok

l : lebar balok

t : tinggi balok

V = p x l x t

V : volume balok

p : panjang balok

l : lebar balok

t : tinggi balok


11

PRISMA

Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dan

sejajar.

Rusuk prisma alas dan atas yang berhadapan sama dan sejajar.

Rusuk tegak prisma sama dan sejajar.

Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma.

Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma.

Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.

Prisma segitiga mempunyai bidang alas dan bidang atas berupa

segitiga yang kongruen.

Prisma segitiga mempunyai 5 sisi.

Prisma segitiga mempunyai 9 rusuk

Prisma segitiga mempunyai 6 titik sudut

Jaring-jaring prisma segitiga berupa 2 segitiga, dan 3 persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Prisma Segitiga

Volume Prisma Segitiga

L = Keliling ∆ x t x ( 2 x Luas ∆)

L : luas permukaan

∆ : alas dan atas segitiga

t : tinggi prisma

V = Luas Alas x t

V : Volume

Luas Alas : Luas ∆ = ( ½ a x t )

t : tinggi prisma


12

LIMAS

Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak

dan dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga

yang akan bertemu pada satu titik.

Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.

Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.

Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.

Macam-macam bentuk limas :

1. Limas segitiga alasnya berbentuk segitiga

2. Lima segiempat alasnya berbentuk segi empat

3. Limas segilima alasnya berbentuk segilima

4. Limas segienam alasnya berbentuk segienam

Nama Limas Sisi Rusuk Titik Sudut

Limas Segitiga 4 6 4

Limas Segiempat 5 8 5

Limas Segilima 6 10 6

Limas Segienam 7 12 1

Rumus Luas Permukaan Limas

Rumus Volume Limas

L = luas alas + luas selubung limas

V = ⅓ ( luas alas x t )

V : volume limas

t : tinggi limas


13

KERUCUT

Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya

berupa lingkaran.

Kerucut mempunyai 2 sisi.

Kerucut tidak mempunyai rusuk.

Kerucut mempunyai 1 titik sudut.

Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.

Rumus Luas Kerucut

Volume Kerucut

TABUNG

Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang

alas dan atas berupa lingkaran.

L = π r2 + π d x t

L : luas permukaan

r : jari-jari lingkaran alas

d : diameter lingkaran alas

t : tinggi kerucut

V = ⅓ ( π r2 x t )

V : volume


t : tinggi kerucut


14

Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik

pusat lingkaran atas.

Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung.

Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi

panjang.

Rumus Luas Permukaan Tabung

Rumus Volume Tabung

BOLA

Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar

mengelilingi garis tengahnya,.

Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.

Sisi bola disebut dinding bola.

Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk.

Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari.

Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.

Rumus Luas Permukaan Bola

L = 2 x ( π r2 ) + π d x t

L : luas permukaan


d : diameter lingkaran alas

t : tinggi tabung

V = ⅓ ( π r2 x t )

V Volume

r : jari-jari lingkaran alas atau atas

t : tinggi tabung


15

Rumus Volume Bola

C. Bangun Berdimensi Tiga

Bangun ruang juga di sebut berdimensi tiga, karena mengandung tiga

unsur yaitu, panjang, lebar dan tinggi. Bangun-bangun seperti kubus,

tabung, prisma, dan sebaginya adalah bangun-bangun tiga dimensi.

Bangun tiga dimensi yang permukaannya datar di sebut Polider. Sebagai

contoh lihat pembahasan bangun ruang.

D. Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri atas dua kata

yaitu, “trigonon” dan “ metron”. Trigonon artinya segitiga dan metron

artinya ukuran. Trigonometri merupakan suatu unit matematika yang

selalu berkaitan dengan besarnya ukuran sudut.

E. Satuan Luas

Satuan luas adalah lambing yang di gunakan dalam ukuran luas.

Satuan standar internasionalnya adalah :

Kilometer persegi atau Kilometer bujursangkar (Km2)

L = 4 π r2

L : luas permukaan

r : jari-jari bola

V = 4/3 π r3

V : volume

r : jari-jari bola


16

Km2 = 100 hektometer persegi (hm2 )

hm2 = 100 dekameter persegi (dam2)

dam2 = 100 meter persegi ( m2)

m2 = 100 desimeter persegi ( dm2)

dm2 = 100 sentimeter persegi (cm2)

cm2 = 100 milimeter persegi (mm2)

3. ARITMETIKA

Aritmetika adalah cabang ilmu matematika yang di sebut juga ilmu hitung.

Arimetika atau ilmu hitung di sini banyak di gunakan dalam masalah

keuangan atau dunia perdagangan.

A. Hitungan Keuangan

Pengertian Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi.

Harga penjualan adalah nilai uang suatu barang yang kita jual. Harga

pembelian adalah nilai uang suatu barang yang kita beli. Untung dan Rugi

adalah besarnya keuntungan atau kerugian terhadap selisih antara harga

pembelian dan harga penjualan.

Untung = harga penjualan di kurangi harga pembelian

Rugi = harga pembelian dikurangi harga penjualan

Menghitung harga pembalian

Contoh : Seorang pedagang menjual sepeda seharga Rp. 1.000.000,-

dan ia memperoleh keuntungan dari penjualan Rp. 50.000,- Berapakah

harga pembelian sepeda tersebut?

Jawab : Harga penjualan = Rp. 1000.000,-


17

Keuntungan = Rp. 50.000,-

Untung = harga penjualan – harga pembelian

Rp. 50.000,- = Rp. 1000.000,- harga pembelian

harga pembelian = Rp. 1000.000,- - Rp. 50.000,- = Rp. 9.050.000,-

Menghitung Harga Penjualan

Contoh : Seorang pedagang membeli sepeda dengan harga Rp.

170.000,-. Ia ingin memperoleh keuntungan sebesar Rp. 25.000,-. Dengan

harga berapakah sepeda itu akan di jual?

Jawab : Harga pembelian = Rp. 170.000,-

Untung = Rp. 25.000,-

Untung = harga penjualan – harga pembelian

25.000 = harga penjualan – 170.000

harga penjulan = 17.000 + 25.000 = 195.000,- jadi harga

penjualan Rp. 195.000,-

Menghitung untung atau Rugi

Contoh : Seseorang membeli barang seharga Rp. 25.000,- Ia menjual

dengan harga Rp. 28.500,-. Untung atau rugikah orang tersebut?

Jawab :

Harga pembelian = Rp. 25.000,-

Harga Penjualan = Rp. 28.500,-

harga penjualan lebih besar dari pada harga pembelian, jadi orang

tersebut untung.

Untung = harga penjualan – harga pembalian. 28.500 – 25.000 =

3.500,-


18

4. STATISTIKA

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara ilmiah

untuk mengumpulkan , mengolah, menyajikan data, menganalisis data

dan mengambil kesimpulan.

A. POPULASI DAN SAMPEL

Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi sasaran

penelitian.

Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak

yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan

anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi.

Sedangkan sampel adalah beberapa objek yang benar-benar kita

catat data-datanya yang mewakili seluruh objek itu. Jadi sampel

merupakan himpunan bagian dari populasi.

Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak

yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan

anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi. Sedangkan

himpunan dari beberapa jumlah anak yang akan kita catat umurnya di

sebut sampel.

B. RATA-RATA HITUNG ATAU MEAN, MEDIAN, DAN MODUS DARI

SUATU DATA

Nilai rata-rata hitung atau mean adalah jumlah semua ukuran di bagi

banyaknya ukuran.

Median adalah ukuran tengah dari data yang sejenis setelah data itu

di urutkan. Median di dapat dengan cara megurutkan data dari yang

paling kecil ke yang paling besar, kemudian mengambil ukuran

tengah-tengahnya.


19

Modus adalah ukuran atau data yang paling sering muncul. Rata-rata,

median, modus merupakan ukuran pemusatan atau ukuran tendensi

sentral dari sebuah penelitian atau percobaan artinya di pakai sebagai

tolok ukur untuk mengadakan pemecahan masalah lebih lanjut.

Contoh mean, median dan modus.

1. Setiap caturwulan di adakan 5 kali ulangan harian untuk mata

pelajaran matematika. Nilai yang di peroleh Ika : 68, 78, 50, 84 dan

72. Berapakah nilai rata-rata Ika?

Jawab : Nilai rata-rata Ika=

2. Perhatikan data berikut!

I. 6,7,8,9,9

II. 3,4,5,6,7,8

Berapa median dari data di atas?

Jawab : median I adalah 8

median II adalah

3. Perhatikan data berikut !

7,5,4,5,5,6,7

Berapa modus dari data tersebut?

Jawab : 5 ( muncul 3 kali )


20

DAFTAR PUSTAKA

Surbakty.BM, Matematika Bisnis dan Ekonomi, Kesaint Blanc Indah.

1990

Negoro.ST dkk, Ensiklopedia Matematika, Gahlia Indonesia. 1998

Santoso, Singgih. 2002. SPSS Statistik Multivariat. Jakarta : PT. Elex Media Kompitundo.

bilangan dan bangun ruang - sumsel.kemenag.go.id · bilangan dan bangun ruang oleh: risnaini,s.pd.i...

Documents