bifurcações em sistemas de tempo contínuo
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Aula do Engº Adriano em Controle Não Linear. Aula sobre Bifurcações em Sistemas de Tempo Contínuo na UFBA.TRANSCRIPT
BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO
BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUOUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAENGF97 -CONTROLE E SISTEMAS NO LINEARES
ADRIANO SILVA MARTINS BRANDO, SUBSTITUTO1
ContedoNoo de estabilidade estrutural;Conceito de bifurcaes e diagrama de bifurcao;Bifurcaes de codimenso um:Bifurcao sela-n;Bifurcao transcrtica;Bifurcao forquilha;
14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO2Diagrama de fases do atrator de LorentzFonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/my-second-problem/Noo de estabilidade estrutural14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO3?Fonte: Monteiro
Noo de estabilidade estruturalEm outras palavras, um sistema estruturalmente instvel onde ocorre uma mudana qualitativa no retrato de fases, com a variao de um parmetro deste sistema. Exemplo 1: 14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO4Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation
Falar, no final do exemplo, que o alfa altera a estabilidade e, portanto, o retrato de fases.4
Conceito de bifurcaoA mudana topolgica no diagrama de fases, causada pela variao de um ou mais parmetros do sistema, chamada de bifurcao;Os valores de parmetros nos quais ocorrem as mudanas no plano de fase so chamados de pontos crticos, ou pontos de bifurcao.Exemplo 1:14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO5Diagrama de bifurcao o grfico dos pontos de equilbrio x valores do parmetro.Exemplo 1:14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO6
Autovalores negativos (n, estvel)
Autovalores com sinais diferentes (sela, instvel)Calcular aqui!!!6Codimenso da bifurcao o nmero de parmetros a serem variados para produzir as bifurcaes;Estudaremos apenas bifurcaes de codimenso um:Bifurcao sela-n;Bifurcao transcrtica;Bifurcao forquilha.
14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO7Bifurcao sela-nTambm conhecida como bifurcao tangente ou bifurcao de dobra;Ocorre quando dois pontos de equilbrio colidem e se anulam;Exemplo 1:
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Autovalores negativos (n, estvel)
Autovalores com sinais diferentes (sela, instvel)
Plano de fasesDiagrama de bifurcao
Bifurcao sela-nExemplo 2:
14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO9Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf
Bifurcao transcrticaNa bifurcao transcrtica, existe sempre um ponto de equilbrio fixo, para todos os valores do parmetro variado (este ponto nunca destrudo). A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variao do parmetro.Exemplo 3: 14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO10
Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation
Ponto fixo, que tm a estabilidade alteradaBifurcao forquilha14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO11Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcationBifurcao forquilha14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO12Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
Caso supercrticoCaso subcrtico
Bifurcao forquilhaExemplo 4 (supercrtico):
Exemplo 5 (subcrtico):14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO13Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
FIMObrigado pela ateno 1414/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO15
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Estabilidade14/05/2015BIFURCAES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTNUO24
Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdfCaso lambda = 0 inconclusivo, pois os termos de segunda ordem da srie de taylor dominam a estabilidade24