bài 5 - wordpress.com · web viewtÍch phÂn hÀm vÔ tỶ i. kiẾn thỨc 1. cần nhớ một...

Bài 5-t3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỶ

Bài 5. ( Tiết 3)TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

I. KIẾN THỨC 1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :

-

-

- Mở rộng :

2. Rèn luyện tốt kỹ năng phân tích hàm số dưới dấu tích phân , nhất là kiến thức về căn thức

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1. Tích phân dạng :

a. Lý thuyết :

Từ :

Khi đó ta có : - Nếu (1)

- Nếu : (2)

- Nếu : .+/ Với a>0 : (3)

+/ Với a<0 : (4)Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :b. Cách giải .*. Trường hợp : Khi đó đặt :

*. Trường hợp :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net

LTĐH Chất lượng cao – 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -Nha Trang

Khi đó :


- Đặt :


- Đặt :

3. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính tích phân sau : . ( a>0 )

Giải-Ta có : - Đặt : .

- Khi : x=-1,t= ,x=1,t=3

Do đó: Vậy

Ví dụ 2. Tính tích phân sau . . ( a<0 )

Giải

Ta có : .

* Nếu theo phương pháp chung thì :- Đặt :

. ...

- Nói chung cách giải này dài . Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn )* Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1.

- Đặt : . Vì :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net Trang 2

http://chuyentoannt.net/


- Vậy :


Phương pháp :

b.1 : Phân tích

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

b.4. Tính I = (2)

Trong đó đã biết cách tính ở trên

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính tích phân sau . (a>0)

Giải

- Ta có :

- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :

- Vậy : .

Theo kết quả trên , ta có kết quả :

Ví dụ. 2 Tính tích phân sau

Giải

- Ta có :

- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :

- Vậy :




Theo kết quả đã tính ở ví dụ trên ta có :

Ví dụ 3. Tính tích phân sau .

Giải- Học sinh tự giải theo hướng dẫn .- Sau đây là cách giải nhanh .

+/ Ta có :

+/ Vậy : (1)

+/ Tính J : Đặt

Hay : . Khi x=0, t=2+ ; x=1, t=3+ .

+/ Do đó : . Thay vào (1) ta tìm được I


Phương pháp :

b.1. Phân tích : . (1)

b.2 Đặt :

b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : . Tích phân này chúng ta đã

biết cách tính .VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính tích phân sau

Giải




- Đặt :

- Khi đó :

- Vậy :


Giải- Trước hết ta phân tích :

* Học sinh tự tính hai tích phân này .

Đáp số :


( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và là các hằng số đã biết ) Phương pháp :

b.1 Đặt : t= (1)

b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng b.3. Tính vi phân hai vế : dx= và đổi cận

b.4. Cuối cùng ta tính :

VÍ DỤ MINH HỌA


Giải

- Đặt :

- Vậy :



LTĐH Chất lượng cao – 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -Nha TrangVí dụ 2. Tính các tích phân sau :

GIẢI

.

Đặt :

Vậy :

.

Đặt :

Vậy :

.

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :

.

Đặt :

Vậy :




Ví dụ 3. Tính các tích phân sau :

GIẢI

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :

.

Đặt :

Vậy :

- Vậy :




Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :


GIẢI

Đặt :

Vậy :

Do đó : I

- Đặt :

- Vậy :

(1)




- Đặt :

- Vậy :

.

- Đặt :

- Vậy :

.

- Đặt :

- Vậy :

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau

1. ( ĐHXD-96) 2. ( BK-95)

3. (GTVT-98 ) 4. ( HVBCVT-97 )

Giải

1. . Ta có :

Vậy :

2.

- Đặt :

-Vậy :




3. . Đặt :

- Vậy :

4.

- Đặt :

- Vậy :


1. ( HVNHTPHCM-2000). 2. (ĐHTM-97)

3. . (ĐHTL-2000) 4. . (HVTCKT-97)

Giải

Vậy : Đặt

Suy ra : ; .

- Do đó :

2. = .

- Đặt :

- Vậy : . ( Học sinh tự tìm kết

quả )




3. =

4. . Đặt :

- Vậy :


1. . (HVQS-98). 2. . (HVQS-99)

3. .(AN-96). 4. . (AN-99)

Giải

1. .

* Chú ý :a. Một học sinh giải cách này , các em tham khảo .Nhân liên hợp ta được :

- f(x)=

- Vậy :

* Tính J : Đặt

* Học sinh thử tính thử xem có được không ? Nếu không được thì giải thích xem tại sao ? ( Theo điều kiện tồn tại tích phân ) b. Một học sinh giải theo cách khác :

- Đặt :

- Sau đó áp dụng cách giải tích phân chứa các hàm số lượng giác , nhưng cũng không được , do hàm số không khả tích với t=0 .



LTĐH Chất lượng cao – 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -Nha Trang* Đây là cách giải đúng :

- Đặt: .

- Suy ra :

- Đổi cận : x=-1, thì t= ;x=1 thì t=-Do đó :

Hay :

2. .

* Chú ý :

-Cách 1. Đặt

- Suy ra : .

- Vậy :

* Học sinh tự tìm hiểu : Tại sao lại không đặt để giải .

3. .

* Học sinh thử làm theo cách này có được không ?

- Đặt :

- Do đó : . Tính tích phân J :

* Cách khác :

- Đặt :

- Nếu lại đặt




- Ta lại có :

* Với :

(1)

- (2)

Vậy : (3)

Thay kết quả tìm được vào (3). Vậy :

4. . .

- Đặt :

- Vậy :


1. . (HVNGTPHCM-2000) 2. .(HVTCKT-97)

3. .(YHN-2001) 4. . (YHP-2000)



LTĐH Chất lượng cao – 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai -Nha TrangGiải

1. = (1)

- Với : .

Đặt :

- Cho nên : (2)

- . (3). Thay (2) và (3) vào (1) ta có : .

2. . Đặt :

- Do đó :

3.I= =

Vậy :

4. . Đặt :

Vậy :


1. (SPIHN-2000) 2. . (QG-97)

3. (CĐSPHN-2000) 4. . (CĐSPKT-2000)

Giải




1. .

- Đặt :

- Vậy :

2.

3.

Vậy :

4. . Đặt :

- Vậy :


1. .(ĐHHĐ-99) 2. .(ĐHĐN-97)

3. .(ĐHCT)

4. . ( ĐHTSNT-2000)

Giải

1.

- Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân từng phần )




- Do đó :

2. . Đặt :

- Do đó :

3.

a.

b. .

- Đặt :

- Vậy : .

4.

a.

- Tính J:

.

b. .

- Đặt :

- Vậy :




BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. (ydtphcm-2000) 2. . (ĐHNGT-2000)

3. 4. . (KA-2003)

5. .(DB-2003) 6. .(KA-2004)

7. .(KB-2004) 8. .(DB-2005)

9. . (DB-2006) 10. .(DB-06)

11. .(DB-06) 12. .(CĐSPHN-04)

13. .(CĐSPKT-04) 14. .(DB-05)

15. 16.

17. 18.

19*. 20*.

21. 22*.

23*+. 24.



bài 5 - wordpress.com · web viewtÍch phÂn hÀm vÔ tỶ i. kiẾn thỨc 1. cần nhớ một...

Documents