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Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops

1. Vorbereitung :

Wellennatur des Lichtes, Interferenz, Kohärenz, Huygenssches Prinzip, Beugung, Fresnelsche und Fraunhofersche Beobachtungsart, Intensitätsverteilung bei Spalt und Gitter, Gitterspektralapparat, Auflösungsvermögen des Gitters, Abbesche Theorie zur Auflösung des Mikroskops.

2. Versuch :

Trifft eine Welle auf einen Spalt oder auf ein Gitter, dann beobachtet man hinter dem Spalt bzw. Gitter Beugungserscheinungen der Welle. Die Beugung einer Welle kann mit Hilfe des Huygensschen Prinzips gedeutet werden: jeder Punkt ei-ner Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden. Durch Interferenz der von der Spaltöffnung bzw. den Gitteröffnungen ausgehen-den Wellenzügen erhält man hinter dem Spalt bzw. Gitter eine räumliche anisotro-pe Amplituden- bzw. Intensitätsverteilung.

Beugung am Spalt

Abb. 1a+b : Strahlengang zur Beobachtung der Beugung am Spalt

Es wird der Fall betrachtet, daß ebene Wellen (Parallellicht) auf einen Spalt einfal-len. Experimentell läßt sich dies durch die Anordnung in Abb. 1a erreichen (je-denfalls in der einen Ebene, die für die Beugung benutzt wird; senkrecht dazu ist das Licht natürlich weiterhin divergent). Eine spaltförmige Lichtquelle wird mit zwei Linsen auf einem Schirm abgebildet. Wird nun zwischen die beiden Linsen (Parallellicht) ein Spalt gebracht, so erscheint auf dem Schirm kein scharfes Bild der Lichtquelle mehr, sondern man beobachtet über die scharfen Grenzen der geo-metrischen Abbildung hinaus Intensitätsminima und -maxima, wie in Abb. 3.

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Näherungsweise kann die Anordnung in Abb. 1a durch 1b ersetzt werden. Um eine gute Näherung zu erzielen, muß die Bildweite groß gewählt werden.Zur Klärung der Beugungserscheinungen denken wir uns die Spaltbreite in eine große Anzahl gleicher Teile zerlegt. Von ihnen breiten sich nach allen Richtungen Wellenzüge aus. Beobachten wir in einer bestimmten Richtung (unter dem Winkel α, Abb. 2), so ist der Gangunterschied zwischen einem Wellenzug vom Spaltrand und einem von der Spaltmitte gleich ∆ = (d/2)· sin α. Der gleiche Gangunterschied besteht zwischen allen Wellenzügen, die von um d/2 voneinander entfernten Tei-len des Spaltes kommen. Wenn dieser Gangunterschied λ/2 beträgt, ergibt die Überlagerung aller Wellenzüge Auslöschung. Ähnliche Überlegungen liefern Aus-löschung für alle Richtungen αm, bei denen sich ein Gangunterschied λ/2 bereits zwischen Wellenzügen vom Spaltrand und einem Punkt im Abstand d/2m ergibt (m ∈ Z).

Abb. 2 : Beugung am Spalt, Bedingung für 1. Minimum

Für die m-te Auslöschungsrichtung gilt :

m⋅λ=d⋅sinαm m ∈ Z (1)wobei

m = Nummer der Beugungsordnung λ = Wellenlänge des Lichtes d = Spaltbreite

Zwischen zwei Auslöschungsrichtungen liegt jeweils ein Maximum. Die Intensi-tätsverteilung des Beugungsbildes am Spalt zeigt Abb. 3.

Abb. 3 : Beugungsbild des Spaltes

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Beugung am Gitter

Stellt man mehrere Einzelspalte der Spaltbreite d mit dem Mittelpunktabstand g nebeneinander auf (g = Gitterkonstante), so überlagern sich die Wellenerregungen sämtlicher Spalte. Aufgrund des Abstandes g der Spalte erhält man scharfe Inten-sitätsmaxima in allen Richtungen, für die gilt (siehe Abb. 4) :

m⋅λ=g⋅sinαm m ∈ Z (2)

Abb. 4 : Beugung am Gitter

Infolge der endlichen Breite d jedes einzelnen Spaltes erhält man neben den brei-ten Minima des Gitters zusätzlich Auslöschung in allen Richtungen, für die gilt :

m'⋅λ=d⋅sinα'm' m'= 1, 2, 3 (3)

Da normalerweise die Spaltbreite d klein gegenüber dem Gitterabstand g ist (d<<g), gilt somit αm << αm' für vergleichbare m und m'.Man erhält eine Intensitätsverteilung mit regelmäßigen, schmalen Maxima und breiten Minima. Die Maxima werden der Reihenfolge nach numeriert, nämlich Maximum 0.Ordnung, 1.Ordnung, 2.Ordnung, usw. Ihre Intensität nimmt mit stei-gender Ordnung entsprechend der Intensitätsverteilung eines einzelnen Spaltes ab (Abb. 3). Für den Spezialfall d = 1/5 g und nur 4 Gitterstriche (statt über 1000) ist die Intensitätsverteilung in Abb. 5 dargestellt.

Abb. 5 : Intensitätsverteilung eines Gitters, ∆ (∆') Gangunterschied der Beugung am Gitter (an den Spalten)

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Da der Abstand der Maxima von der Wellenlänge des verwendeten Lichtes ab-hängt, ist ein Gitter mit vielen Gitterstrichen (besonders schmale Maxima) gut ge-eignet zur Untersuchung der spektralen Zusammensetzung von Licht.

Auflösungsvermögen des Mikroskops

Die Versuchsanordnung ist schematisch in Abb. 6a dargestellt. Als Objekt wird der Einfachheit halber ein Gitter G verwendet. Es wird durch eine spaltförmige Lichtquelle S beleuchtet, die mit einem Kondensor L1 auf die Ebene E abgebildet wird. Das Objektiv L2 entwirft nach den Gesetzen der geometrischen Optik ein vergrößertes Bild G' des Gitters, das zur weiteren Vergrößerung mit einer Lupe, dem Okular L3, betrachtet wird. Durch Beugung am Gitter G entstehen in der Ebe-ne die Bilder S0, S±1, S±2, ... der spaltförmigen Lichtquelle S. Nach dem Huygens-schen Prinzip kann man diese Beugungsbilder als neue Lichtquellen auffassen. Die von ihnen ausgehenden köhärenten Wellenzüge überlagern sich und interfe-rieren.

Abb. 6a : Strahlengang zur Beobachtung des Gitters6b : Strahlengang zur Begrenzung der Beugungsordnungen

Man kann zeigen, daß diese Interferenz in der Ebene G' ein mit dem Objekt über-einstimmendes Bild ergeben. Nach Abbe stimmen Bild und Objekt nur dann über-ein, wenn alle Beugungsordnungen in das Mikroskop gelangen, d.h. von L2 erfaßt werden. Ein Spalt in der Ebene E gestattet Beugungsordnungen auszublenden.Je enger das Gitter wird, desto weiter liegen die Beugungsbilder S0 ... Sn auseinan-der. Es gibt einen kleinsten Abstand a der Gitterstriche, bei dem gerade noch zwei Beugungsbilder ins Mikroskop, d.h. den Bereich der Linse L2, der von der Blende nicht abgedeckt wird, gelangen. Die Gitterstruktur ist dann gerade noch erkennbar und die Auflösungsgrenze des Mikroskops erreicht.

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Der reziproke Wert dieses kleinsten Abstandes a heißt Auflösungsvermögen des Mikroskops. Im Fall der Verwendung von Spaltblenden gilt für a :

a= λn⋅sinu

(4)

wobei

a = kleinster Abstand zweier Objektpunkte P und Q , deren Bilder P' und Q' noch getrennt erscheinen (hier Gitterkonstante)

λ = Wellenlänge des zur Abbildung benutzten Lichtes im Vakuum λ/n = Wellenlänge des Lichtes im benutzten Medium (z.B. Immersi-

onsöl) n = Brechzahl im Raum zwischen Objekt und Objektiv 2u = Winkel, unter dem ein Gitterpunkt die Objektfassung sieht

(u = Öffnungswinkel)n⋅ sin u = numerische Apertur

Bei Verwendung von kreisförmigen Blenden tritt zusätzlich ein Faktor 1.22 auf.

Zur Begründung der Formel (4)

Die erste Beugungsordnung des Gegenstandes (Gitter mit Konstante a) erscheint gegenüber der nullten Ordnung unter einem Winkel α, für den gilt :

a⋅sinα= λn

(Beugung am Gitter).

Diese erste Ordnung muß vom Objektiv erfaßt werden, wenn noch eine "auflös-bare" Abbildung erreicht werden soll, d.h. es muß α ≤ u gelten, also :

a= λn⋅sinα

≥λ

n⋅sinu(5)

Bei der Betrachtung selbstleuchtender Gegenstände (ohne Lichtquelle S und Kon-densor L1) gilt dieselbe Beziehung für das Auflösungsvermögen. Die Begrenzung der Beugungsordnungen geschieht dann an der Objektivfassung.

3. Aufgaben :

3.1 Zum Verständnis

Erklären Sie kurz Beugung und Interferenz. Was ist kohärentes Licht ?

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3.2 Beugungsbild eines Spaltes

Man betrachte durch einen Spalt einen beleuchteten Schlitz (Abb. 7). Wie verän-dert sich der Abstand der einzelnen Beugungsordnungen mit der Spaltbreite ? Welche Bedingung muß die Schlitzbreite erfüllen, damit man eine Beugungsfigur bekommt ?

Abb. 7 : Beobachtung der Spaltbeugung mit dem Auge

3.3 Bestimmung der Gitterkonstanten des Beugungsgitters

Man bilde die Quecksilberdampflampe mit einer geeigneten Linse auf die Öffnung des Mikroskops ab. Dann bilde man die Millimetereinteilung (zwischen Linse und Mikroskop) auf die Wand ab und bestimme die Vergrößerung der Abbildung. Bringt man nun das Gitter an die Stelle der Teilung, so folgt aus der Abmessung des Gitterbildes und der bekannten, gleichgebliebenen Vergrößerung die Gitter-konstante g.

3.4 Vergrößerte Spaltabbildung

Man bilde einen beleuchteten Spalt mit der gegebenen Linse vergrößert auf einen Schirm ab. Lichtquelle Hg-Lampe.

3.5 Bestimmung der Wellenlängen des Hg-Spektrums

Man bringe in den Strahlengang direkt hinter die Linse ein Gitter (Abb. 8) und be-stimme die Wellenlänge des gelben, grünen und blauen Hg-Dampflichtes nach Formel (2) unter Benutzung der Beziehung :

tanαm=smb

wobeism = Abstand der m-ten von der nullten Beugungsordnung b = Abstand Gitter - Schirm

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Abb. 8 : Anordnung zur Messung der Hg-Linien

Die Messung ist für 5 Beugungsordnungen durchzuführen. Es ist zweckmäßig, 2sm zu messen. Das Protokoll ist in eine Tabelle mit folgenden Größen einzutra-gen : Ordnung m, 2sm in mm, sm in mm, tan αm und λ in mm. Jede einzelne Beu-gungsordnung ist ein Bild des Spaltes. Die für paralleles Licht streng gültige Be-ziehung ist auch für das hier bei dieser Abbildung verwendete schwach konver-gente Licht hinreichend genau. Wie äußert sich eine Verschiebung des Gitters ent-lang der optischen Achse ? Welche Bedingung muß der Kollimatorspalt erfüllen ?

3.6 Relativer Fehler

Man bestimme den relativen Fehler ∆λ/λ einer Messung aus Aufgabe 3.5.

3.7 Justierung der Apparatur

Man justiere die Apparatur nach Abb. 6 folgendermaßen :

a) Die Lichtquelle (Einfadenlampe max. 4 V) ist auf die Spaltebene E scharf abzubilden. Dann ist der Spalt ganz zu öffnen und das Mikroskop solange zu verschieben, bis die Kanten des Spaltes durch das Mikroskop auf dem Schirm scharf sichtbar sind (Abbildungsstrahlengang im Mikroskop wie in Abb. 6b). Nun ist die Lichtquelle zu verschieben, bis der Glühfaden eben-falls scharf zu sehen ist. Es ist außerdem zu beachten, daß der Spalt paral-lel zum Glühfaden steht.

b) Wenn nun das Gitter eingefügt wird, erscheinen in der Spaltebene die Beu-gungsordnungen des Gitters.

c) Das Mikroskop ist nun solange in Richtung der Lichtquelle zu verschie-ben, bis man das Gitter scharf sieht (Strahlengang wie in Abb. 6a).

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3.8 Sichtbarkeit der Gitterstruktur

Man überzeuge sich durch Herumprobieren (Öffnen und Schließen des Spaltes, seitliches Verschieben der Lichtquelle), daß die Struktur erst sichtbar wird, wenn mindestens zwei Beugungsordnungen (z.B. 0. und 1. Beugungsordnung) ins Mi-kroskop gelangen.

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