béton.pdf
TRANSCRIPT
-
Bton Arm
Pr. : A. AKEF
Universit Hassan II Ain Chock
Fac. Sciences Casablanca
LP : TMBTP
-
Chapitre I
INTRODUCTION
EN BETON ARME
-
I Gnralits
1) Bton
On appelle bton : le mlange dans des proportion convenable
des lments suivants :
liant hydraulique (ciment)
granulats (agrgats) ( sable, gravier,.....)
leau
2) Bton Arm
On appelle bton arm le matriau obtenu en ajoutant au bton
des barres en acier. Ces barres sont gnralement appeles
armatures.
-
3) Remarques
Dans lassociation bton + acier, le bton rsiste aux efforts de
compression et lacier rsiste aux efforts de traction et
ventuellement aux efforts de compression si le bton ne suffit
pas pour prendre tous les efforts de compression qui existent.
Rsistance la compression : 20 MPa 200MPa
Bton Rsistance la traction = 2 MPa 5MPa
La charge est de 25000 N/m3.
Acier Traction ou compression (200 MPa 500 MPa)
Une construction sera appele construction en bton arm si les
deux matriaux participent la rsistance de lensemble.
-
II Les avantages et les inconvnients du BA
1) Les avantages
Lintrt conomique
La souplesse dutilisation
conomie dentretien
Rsistance au feu
Rsistance aux efforts accidentels
Durabilit
-
2) Les inconvnients
Le poids
Lexcution
Brutalit des accidents
Difficult de modification dun ouvrage dj ralis
-
Chapitre II
REGLEMENTATION
ACTIONS ET SOLLICITATIONS
-
I La scurit
1) Dfinition
La scurit est dfinit comme tant labsence de risque dans le
domaine de construction; cela implique la stabilit, la
durabilit et laptitude lemploi. La scurit absolue nexiste
pas; il faut accepter une probabilit non ngligeable daccident.
2) Louvrage et la scurit
Le dimensionnement des ouvrages et la vrification de la
scurit ne peuvent pas se faire de manire empirique. Ils sont
bass sur des rgles de calcul bien prcises.
-
II Rglement classique CCBA
Le rglement CCBA, est un ensemble de formules sommaires
de 1968 permettant de calculer le moment de flexion dans
divers cas de figures.
Ce rglement utilise la mthode des contraintes admissibles qui
consiste vrifier que les contraintes calcules par la R.D.M
en tout point dune structure sont infrieur une contrainte
admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du
matriau par un coefficient de scurit k fix lavance.
k
es =Acier Bton
k
rs =
-
III Thorie probabiliste de la scurit
1) Seuil de probabilit
Les ingnieurs ont dfini la scurit par un seuil de probabilit;
un ouvrage sera acceptable si la probabilit de ruine reste
infrieure une probabilit fixe lavance. Cette valeur varie
en fonction de la dure de vie de la construction, du risque et
du cot.
2) Limite de la mthode
Cette mthode a de multiple difficult:
On ne peut pas dfinir la probabilit de ruine et son
volution dans le temps.
On ne peut pas recenser tous les facteurs alatoires
dune incertitude.
-
IV tats limites:(BAEL) 83-91-99;Eurocode2
1) Dfinition
Par dfinition, un tat limite est celui qui satisfait strictement
aux conditions prvues (la stabilit, la rsistance, la durabilit
et les dformations non nuisibles pour satisfaire les fonctions
techniques dutilisations des structures), sous leffet des
actions (forces, moments ou couples) qui agissent sur la
construction ou lun de ses lments.
2) Exemple
Rsister aux sollicitations imposes, leffet des intempries,
des dilatations, des retraits, etc.
-
3) Remarque
Cest une thorie semi probabiliste. Elle consiste :
Dfinir les phnomnes que lon veut viter (ltat
limite), ces phnomnes sont :
- Ouverture des fissures soit par :
a- Compression successive dans le bton.
b- Traction successive dans lacier.
- Dformation importante dans lensemble.
Estimer la gravit des risques lis ces phnomnes
(on distingue les tats limites ultimes et les tats
limites de services).
Dimensionner les lments de la construction de telle
manire que la probabilit datteindre lun de ces
phnomnes reste faible.
-
4) tat limite ultime (ELU)
Il correspond la valeur maximale de la capacit portante de la
construction et dont le dplacement entrane la ruine de la
construction.
a- tat limite ultime dquilibre statique de louvrage : stabilit
des constructions. Cest la perte de la stabilit dune partie ou
de lensemble de la construction (non glissement, non
renversement).
b- tat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de
construction : cest la perte de rsistance soit du bton (non
rupture par crasement) soit de lacier (non rupture par
allongement excessif).
a- Dfinition
b- Diffrentes ELU
-
c- tat limite ultime de stabilit de forme (flambement) : pas
dinstabilit. Les pices lances soumises des efforts de
compression subissent des dformations importantes et
deviennent instable.
Exemple : pour un poteau B.A., non risque de flambement.
5) tat limite de service (ELS)
a- Dfinition
Il constitue des limites au-del desquelles les conditions
normales dexploitation ne sont plus satisfaites sans quil yest
ruine. Il concerne les conditions dutilisation des ouvrages et la
durabilit
-
a- tat limite de service de compression de bton : contrainte
borne par le rglement. Cette limitation a pour but dempcher
la formation des fissures.
b- tat limite de service douverture des fissures : durabilit des
ouvrages. Il consiste assurer que les armatures sont
convenablement disposes dans la section et les contraintes ne
dpassent pas la valeur limite.
Exemple : (non corrosion des aciers).
c- tat limite de service de dformation : limitation des dsordre.
Il consiste vrifier que les dformations sont infrieures des
dformations limites.
Exemple : flche des planches limite pour rduire les dsordres
de fissuration des cloisons ou des revtements scells.
b- Diffrentes ELS
-
6) Les diffrents tats limites en bton arm (Eurocode2)
ELU dquilibre statique: l'ensemble doit rester en quilibre
lorsque des charges sont appliques.
ELU de rsistance des matriaux: le bton et l'acier ne
doivent pas se rompre.
ELU de stabilit de forme: Les lments ne doivent pas
flamber.
ELS de durabilit : Limitation de l'ouverture de fissure.
ELS de conditions dexploitation : Limitation des flches.
-
Exercice 1 :
Indiquer dans les diffrents cas ci-dessous, quel est ltat limite
considrer :
a - quilibre dun mur de soutnement.
b - Cas de fissuration.
c - Cas de limitation des flches.
d - quilibre dun poteau lanc.
e - Contrainte de compression du bton impose.
-
V Les actions et les sollicitations
1) Les actions
a- Dfinition
Les actions sont des forces ou des couples directement
appliqus sur la construction. Elles peuvent aussi provenir de
dformations imposes la structure tels que dilatations,
tassements d'appuis, retraits, etc.
Les valeurs de chacune de ces actions ont un caractre nominal
c'est dire quelles sont connues ds le dpart ou donnes par
des textes rglementaires ou contractuels.
On distingue trois types d'actions :
actions permanentes.
actions variables (d'exploitations).
actions accidentelles.
-
b- Les actions permanentes (G)
Ce sont des actions continues dont l'intensit est constante ou
trs peu variable dans le temps.
Quest-ce que les actions permanentes?
Les types dactions permanentes
-- les charges amenes par le poids propre de la structure.
-- les charges amenes par les poids des autres lments de la
construction.
-- les pousses des terres et les pressions ventuelles de
liquides.
-- les actions dues aux actions diffres (indpendantes des
charges).
-
c- Les actions variables (Q)
Ce sont des actions dont l'intensit varie frquemment et d'une
faon importante dans le temps. La dure d'application est trs
faible par rapport aux dures de vie de constructions. Les
valeurs de ces charges sont fixes par le rglement, en fonction
des conditions d'exploitation de la construction.
Quest-ce que les actions variables?
Les types dactions variables
-- les charges d'exploitation (QB en btiment et Qr pour les ponts).
-- les charges climatiques (W pour le vent et Sn pour la neige).
-- les charges amenes en cours d'excution.
-- les actions de la temprature (T variation uniforme et Dq gradient thermique).
-- les actions accidentelles (FA).
-
d- Exemple
1 - Mur de faade 2 - Mur de refend
3 - Charge concentre 4 - Action du vent
5 Personnes 6 Meuble 7 - Pousse des terres 8 - Plancher en bton arm 9 - Cloisons
10 - Temprature 11 - Revtement de plancher 12 - Poutre en bton arm 13 Automobile 14 - Sous-pression d'eau
Lgende
-
- les charges amenes par le poids propre de la structure: ce
sont, dans notre exemple, les charges 1 et 2 dues au murs de
faades et refends ainsi que celles amenes par les planchers et
les poutres en bton arm 8 et 12.
- les charges amenes par les poids des autres lments de la
construction: ce sont les charges amenes par les cloisons 9, les
revtements de plancher 11, la couverture et les quipements
fixes.
- les pousses des terres 7 et les pressions ventuelles de
liquides telles que les sous pressions d'eaux dues aux nappes
phratiques 14.
- les actions dues aux actions diffres comme par exemple le
raccourcissement par retrait du bton dans le plancher en bton
arm 8.
Les actions permanentes
-
- les charges d'exploitation comme les charges concentres 3,
les personnes 5, les meubles 6 et l'automobile 13.
- les charges climatiques fixes par des textes rglementaires
telles le vent 4 ou ventuellement la neige.
- les charges amenes en cours d'excution qui proviennent
des quipements de chantier non visibles sur notre exemple.
- les actions de la temprature dues aux variations d'ambiance
en cours de journe 10.
Les actions variables
2) Les sollicitations
Ce sont les effort normaux et tranchants et les moments
flchissant et de torsions qui sont calculs partir des actions
en utilisant les procds de la R.D.M.
-
3) Les combinaison dactions
En fonction des situations qu'une construction va connatre,
nous allons tre oblig de superposer les effets de plusieurs
actions. Pour cela :
nous affecterons chaque type d'actions, un coefficient
de scurit partiel,
nous combinerons les actions obtenues (principe de
superposition des effets),
nous dterminerons la ou les combinaisons qui
engendrent les sollicitations les plus dfavorables dans
les lments de la construction.
-
a - Combinaison dactions et notations
Gmax actions permanentes dfavorables.
G
Gmin actions permanentes favorables.
Q1 actions variables de bases.
Q
Qi actions variables d'accompagnement.
Pour dterminer les sollicitations, on utilise les combinaisons
d'actions avec les notations suivantes :
-
b- tats limites ultimes (E.L.U.)
=
n
1i
iQ1Qminmax .Q 1,3.QG1,35.G i1
A
n
1i
iQminmax F.QGG i =
: coefficient multiplicateur = 1,5 dans le cas gnral.
Avec les actions accidentelles FA nous avons : 1Q
Les situations accidentelles ont une faible probabilit de se produire.
Gnralement la combinaison des charges s'crit :
1,5.Q1,35.G
-
c- tats limites de services (E.L.S.)
=
n
1i
iQ1minmax .QQGG i
: coefficient multiplicateur 1Q
Gnralement la combinaison s'crit :
QG
-
Considrons une poutre en bton arm pose sur deux appuis
simples A et B. Sa section est de 20 cm x 50 cm et sa porte est
de 8,00 m. Elle supporte une charge dexploitation
uniformment rpartie de 12000 N/m.
Dterminer :
1) Les actions aux appuis RA et RB.
2) Les efforts tranchants T(x), TA et TB pour dterminer les
cadres et triers.
3) Les moments de flexion M(x) et Mmax pour dterminer les
sections daciers tendus.
Exercice 2 :
-
Chapitre III
CARACTERISTIQUES
GEOMETRIQUES DES SECTIONS
-
I Le moment statique
1) Thorme
Le moment statique dune surface plane par rapport un axe
passant dans son plan est gale au produit de laire de cette
surface par la distance de son centre de gravit (ou centre de
surface) laxe considr :
MS / OZ = A.YG MS / OY = A.ZG
2) Proprits
Si laxe OZ passe par le centre de gravit MS / OZ = 0. Si laxe OY passe par le centre de gravit MS / OY = 0.
-
3) Exemple
Considrons une section en I.
Y1
Y2
Y3
A1
A2
A3
O
y
z
-
Aire lmentaire Distance du CdG
laxe OZ
Produit
A1
A2
A3
Y1
Y2
Y3
A1.Y1
A2.Y2
A3.Y3
Gi
3
1i
iS A.Y.YA/OzM ===
On en dduit :
A
/OMY ZSG =
A = A1+A2+A3
-
II Le moment quadratique
1) Dfinition
Le moment quadratique dun lment de surface plane par
rapport un axe OZ, situ dans son plan, est gale au produit
de laire dA de cette lment par le carr de sa distance laxe
considr OZ.
Le moment quadratique de la surface A contenant tous les
lments daire dA, par rapport laxe OZ, est gale la
somme des moments quadratiques lmentaires :
dAyI
Ymax
Ymin
2
Oz =
-
2) Exemple
Cas dune section rectangulaire.
.b.dyydAyI
h
0
2
h
0
2
Oz ==
3
hbI
3
Oy =
de mme :
3
bhI
3
Oz =
Y
y
Z
z
b
h
dy
y
O
G
yG
-
3) Thorme de Huyghens
Le moment quadratique dune surface plane A par rapport un
axe OZ, situ dans son plan, est gale la somme :
-- du moment quadratique IGZ de cette surface par rapport
laxe GZ, parallle OZ et passant par le centre de gravit G.
-- du produit de laire de la surface A par le carr de la distance
yG du centre de gravit laxe OZ.
2
GGzOz A.yII =
-
Application la section rectangulaire
A
Ir soit
)section la de aire A(
) equadratiqumoment (Ir
zz'zz'
zz'2
zz'
=
=
4) Rayon de giration
Le rayon de giration est tel que :
23
Gz
2
GOzGz2
hbh
3
bhIA.yII
==
12
bhI
3
Gz =do :
-
Aire b.h
Centre de gravit u1 = u2 = h/2
Moment
quadratique 3
3bh
zz'I =
12
3bh
ZZ'I =
III Caractristiques des sections courantes
1) Rectangle
u2
Z h
b
G Z
u1
z z O
y
-
Aire (b.h)/2
Centre de gravit u1 =h/3 ; u2 = 2h/3
Moment
quadratique 12
3bh
zz'I =
36
3bh
ZZ'I =
2) Triangle
h Z G Z
b
u1
u2
z z
-
Aire D2/4
Centre de gravit u1 = u2 = D/2
Moment
quadratique 4
4R
64
4D
ZZ'I ==
3) Disque
u1
D z G
z
u2
-
En utilisant les notations prcdentes :
A, u1, IGZ et IOz.
1) Surface rectangulaire avec b = 6 cm et h = 40 cm.
2) Surface triangulaire avec b = 32 cm et h = 40 cm.
3) Surface rectangulaire avec b = 40 cm et h = 16cm.
4) Disque de rayon 14,28 cm.
Exercice 3 :
-
1) Calcul de yG (u2)
IV Section en forme de T
tablissons les formules pour calculer la position du centre de
gravit et le moment quadratique dune section homogne en
T dans le cas ou le centre de gravit est en dehors de la table.
G
h0
h A1
A2 O
y
z A3
b0
b
Z
yG
-
4).hb-(b /OzM
2
hy .h
2
)b(bA
4
).hb-(b /OzM
2
hy .h
2
)b(bA
2
.hb /OzM
2
hy .h bA
2
00S3
030
03
2
00S2
020
02
2
0S1101
==
=
==
=
===
/OzM/OzM/OzM /OzM AAAA S3S2S1S321 ==
2
2
00
2
0G
2
00
2
0S
u2A
).hb-(b.hb y
2
).hb-(b.hb /OzM
=
=
=
-
2) Calcul de IGz en fonction de u1 et u2
G
h0
A1
A2
O
y
z
b0
b
Z
A3 A3
u2
u1
-
3)h(u).b(bI )h-).(ub(bA
3
b.uI b.uA
3
.ubI .ubA
3
02030203
3
2222
3
101101
==
==
==
3
)h(u).b(b
3
b.u
3
.ub I
3
020
3
2
3
10GZ
=
-
Dans le cas dune section en T, calculer la position yG du
centre de gravit et le moment dinertie IGZ.
On donne :
b0 = 20 cm ; b = 80 cm ; h0 = 18 cm ; h = 78 cm.
Exercice 4 :
-
Dans chaque cas, dterminer :
1) La position yG, en utilisant le moment statique.
2) IOz ou IGZ, par utilisation du thorme de Huyghens. On donne :
Rectangle : b = 15cm ; h = 45cm.
Trapze : b = 30 cm ; b0 = 20 cm ; h = 45 cm. T : b = 50 cm ; b0 = 20 cm ; h = 45 cm ; h0 = 12 cm. I : b = 65 cm; b0 = 15 cm; b1 = 22 cm; h = 45 cm; h0 = 10 cm ;h1 = 15 cm .
Exercice 5 :
-
h
b
b0
z
y
O
h0
h
O
y
z
b0
b
b1
b
h
h1
b0
h0
O
y
z
y
z
h
b
O
-
Chapitre IV
LES COMPOSANTS DU
BETON ARME
-
I Caractrisation du bton
1) Dfinition
Cest un mlange de :
Liant hydraulique (ciment)
granulats (sable , gravier)
eau
adjuvants : cest des produits chimiques quon ajoute
au mlange pour amliorer une qualit.
-
Rsistance mcanique leve (20-200 MPa). Impermabilit leau et absence de raction chimique (milieu basique) avec lacier.
Bonne mise en uvre (facile couler). Bonne tenue dans le temps.
2) Qualits recherches pour le bton
-
Ces rsultats seront obtenus, en jouant sur les paramtres
suivants :
La qualit ciment, granulats.
Le dosage (quantit).
Un bon mlange (homognit).
3) Remarques
-
4) Masse volumique
La masse volumique bton granulats courants
(normal) : 2000 2600 kg/m3
La masse volumique bton granulats lgers : 800
2000 kg/m3
La masse volumique bton granulats lourds :
suprieur 2600 kg/m3
La masse volumique du bton arm 2500 kg/m3
-
le coefficient de dilatation du bton varie de 7.10-6 12.10-6, le
coefficient de dilatation de lacier est de 11.10-6 , dou le bton
arm 10-5.
5) Dformations indpendantes des charges
a- Dformation thermique
L T L L =
Coefficient de dilatation Diffrence de temprature Longueur de la poutre
-
le bton aprs sa confection (fabrication) contient un excs
deau, si le durcissement se fait lair libre leau va svaporer.
Cette vaporation saccompagne automatiquement par une
diminution du volume. Cette diminution sappelle le retrait.
b- Retrait hygromtrique
Estimation du retrait :
Retrait Situation
1,5.10-4
2.10-4
3.10-4
4.10-4
5.10-4
Dans les climats trs humide
Climat humide
Climat tempr sec
Climat chaud
Climat trs sec ou dsertique
-
c- Facteurs qui influencent le retrait
le retrait augmente avec :
la quantit du ciment
addition des adjuvants : plus deau qui ragit.
la scheresse de lair
-
d- Remarque
Pour les constructions courantes, les effets d aux variations de
temprature et au retrait seront ngligs, si on prvoit des joints
de dilatation tout les 20 30 mtre.
Les joints de dilatation sont de 1 2 cm.
-
6) Dformation due la charge
a- Rsistance la compression
Fr
2
4
d
rF=
Essai de compression
prouvette 16 cm x 32 cm
32
16
-
Mode de rupture des prouvettes cylindriques en compression
-
fc28 est appele rsistance
caractristique du bton
cjf
c28f
) jours ( jj 28
Dfinition de la rsistance caractristique la compression
Elle est dfinie par une valeur de la rsistance la compression du
bton lge de 28 jours par essai sur prouvettes cylindriques 16
cm x 32 cm.
-
Ordre de grandeur de la rsistance caractristique la compression
BFC : btonnage fabriqu sur chantier : 25 35 MPa, peut parfois
atteindre 50 MPa
BPE : bton prt l'emploi, btonnage soign en usine
(prfabrication) : 40 60 MPa ;
BHP : bton hautes performances : jusqu' 200 MPa ;
BUHP : bton ultra hautes performances, en laboratoire : 500 MPa.
20 MPa fc28 200 MPa
Les rsistances mcaniques en compression obtenues classiquement
sur prouvettes cylindriques normalises, sont de l'ordre de :
-
La rsistance la compression varie dans le temps.
volution avec lge du bton
fcj rsistance la compression j jours
fc28 rsistance la compression 28 jours
fc28 40 MPa
40 MPa < fc28 60 MPa
c28cj j83,076,4
jf f
=j 60 c28cj f f =
-
b- Rsistance la traction
L d
F 2
r=
Fr
Traction par fendage
prouvette 16 cm x 32 cm
32
16
-
Dispositif pour lessai de rupture par fendage
-
Rsistance caractristique la traction
cjtj . 0,06 0,6 ff =
Elle est conventionnellement dfinie partir de la rsistance
la compression du bton j jours par la relation :
2/3
cjtj . 0,275 ff =
fc28 60 MPa
60 < fc28 80 MPa
-
7) Dformation longitudinale
Un lment de bton comprim admet ds l'application de la
charge une dformation instantane. Mais au cours du temps, cette
dformation va continuer crotre du fait du retrait et du fluage
(dformation dans le temps, sous charge constante) et sera mme
trois fois plus importante que la dformation instantane.
a- Module de dformation instantan
Le module de dformation instantan (not Eij), pour une dure
dapplication des charges < 24 h.
3cjij 11000E f . =
20 GPa Ei28 50 GPa
-
b- Module de dformation diffr
3
E E
ij
vj =
3cjvj f . 3700 E =
Le module de dformation diffre (not Evj), pour une dure
dapplication des charges > 24 h.
c- Remarques
La valeur de ces modules intervient dans le calcul des flches
et les effets dus au retrait et au fluage du bton.
-
8) Dformation transversale
Elle a pour origine la dformation longitudinale. Elle se traduit
par le coefficient de Poisson :
alelongitudinn dformatio
salen transverdformatio =
Le coefficient de Poisson est pris gal :
n = 0,20 E.L.S. (section non fissure)
n = 0 E.L.U.
-
bcf
cj 6,0 f
bc
bcE
cjbcbcbcbc 0,6 et .E fff =
9) Diagramme contrainte dformation
a- Calcul lELS
-
b- Calcul lELU
La rsistance en compression pour le calcul lELU est donn
par :
b
cj
bcu
0,85
ff =
1 pour les charges appliques plus de 24h
0,9 entre 1h dure 24h
0,85 si la dure < 1h
E.L.U. normal 1,5
E.L.U. accidentel 1,15
b
-
Diagramme parabole rectangle Euro code 2
bcuf
2 3,5
)(bc 000
bcf
b
cj 85,0
bcu
f
f =b
c28 85,0
bcu
ff =
-
Exercice 6 :
fc28 en MPa 18 25 30
ft28 en MPa 1,68 2,1 2,4
Ei28 en MPa 28828 32164 34180
Contrler dans le tableau ci-dessous les contraintes de traction
du bton et les modules de dformation instantane du bton.
-
Exercice 7 :
Calculer la rsistance approximative du bton en compression
4, 10 et 21 jours sachant quil doit atteindre l'ge de 28
jours fc28 = 30 MPa.
Exercice 8 :
1) Calculer la contrainte d au retrait dans le cas dune poutre
B.A. de section 15 cm x 50 cm, sachant que :
--- ses extrmits sont lis des massifs btonns,
--- le climat est humide,
--- fc28 = 30 MPa,
2) Quel est leffet du retrait (fissuration du bton ou non).
-
II Lacier
1) Dfinition
Cest lalliage fer et carbone. On distingue des aciers doux, des
aciers mi-durs et des aciers durs.
Acier doux % carbone 0,15 - 0,25 %
Acier mi dur et dur % carbone 0,25 - 0,45 %
2) Remarque
Le caractre mcanique, qui sert de base aux justifications dans
le cadre des tats limites, est la limite dlasticit garantie
(symbole fe).
-
3) Essai de traction
ef
st
rf
e r )(st 00
Domaine
plastique
Ruptu
re
de striction
Zone
10 % 1 % 0,2 %
O
-
Dans le domaine lastique, lexpression de la contrainte en
fonction de lallongement sera : st = Es . Es = 210 GPa : module de Young
: la dformation.
La contrainte correspondante la limite de proportionnalit entre
contrainte et dformation est appele limite lastique ou limite
dlasticit, elle est note par fe.
Dans la zone de striction, la contrainte atteint un maximum ; on
lappelle contrainte de rupture et elle sera note par fr.
Dans les parties lastique et plastique, le diagramme
correspondant la compression est symtrique celui de la
traction par rapport lorigine.
-
4) Diagramme rglementaire de calcul lELU
A lELU normal s = 1,15 et lELU accidentel s = 1.
Leurocode2 limite dallongement des aciers la valeur de 10 %0.
st
s
e
stu g
ff =
st
es
Domaine
plastique
00010
Euro code 2
-
5) Calcul lELS : contraintes admissibles
En tat limite de service, les vrifications effectuer pour les
aciers portent sur l'tat limite d'ouverture des fissures.
L'apprciation du degr de nocivit de l'ouverture des fissures
dpend de l'environnement (agressif ou non), de la nature de la
structure, de l'utilisation de l'ouvrage, de la limite lastique des
aciers utiliss et de l'exprience sur des ouvrages analogues. Il
appartient au matre duvre de juger de ce degr de nocivit.
La condition concerne la contrainte
de traction des armatures
-
C'est le cas d'ouvrages situs en milieu peu agressif. L eurocode2
prcise qu'il s'agit d'lments situs dans des locaux clos et couverts,
non soumis des condensations.
Dans ce cas aucune vrification particulire n'est demande sur les
aciers si ce n'est qu'il conviendra dans la mesure du possible:
--- de n'utiliser les gros diamtres que dans les pices suffisamment
paisses,
--- d'viter les trs petits diamtres dans les pices exposes aux
intempries,
--- de prvoir le plus grand nombre de barres compatibles avec une
mise en place correcte du bton.
a- Fissuration peu prjudiciable
limitation fe (aucune vrification)
-
) 110 ; 3
2(min tjest ff
b - Fissuration prjudiciable
La fissuration est considre comme prjudiciable lorsque les
lments en cause sont exposs aux intempries, des
condensations, ou peuvent tre alternativement noys et immergs
en eau douce.
: Coefficient de fissuration qui dpend du type dacier.
fe : limite d'lasticit des aciers utiliss (MPa).
ftj = rsistance caractristique en traction du bton (MPa).
-
c - Fissuration trs prjudiciable
La fissuration est considre comme trs prjudiciable lorsque les
lments en mis en uvre sont exposs un milieu agressif (eau
de mer, atmosphre marine telle que embruns et brouillards salins,
eau trs pure, gaz ou sol particulirement corrosifs) ou bien
doivent assurer une tanchit.
: Coefficient de fissuration qui dpend du type dacier.
fe : limite d'lasticit des aciers utiliss (MPa).
ftj = rsistance caractristique en traction du bton (MPa).
) 90 ; 2
1(min tjest ff
-
1,0 pour les RL (F) et les TSL
1,3 pour les HA et les TSHA < 6mm
1,6 pour les HA et les TSHA6mm
Coefficient de
fissuration
-
6) Classification des aciers pour bton arm
Acier rond lisse.
Acier haute adhrence.
Treillis souds.
a- Acier rond lisse : symbole RL
Ce sont des aciers doux, lamins chaud et de surface lisse, ne
prsentant aucune asprits.
Les nuances utilises sont les Fe E 215 et Fe E 235.
-
Acier rond lisse RL
Nuance fe (MPa) es (10-3) fr (MPa)
gs = 1 gs = 1,15
Fe E215 215 1,075 0,935 330
Fe E235 235 1,175 1,02 410
-
b- Armature haute adhrence : symbole HA
Ils sont obtenus par laminage chaud d'un acier naturellement dur,
soit dont les caractristiques mcaniques sont dues une composition
chimique approprie.
Ces armatures ont leur surface marque par des crnelures (nervures)
de formes diverses suivant les marques commerciales, de faon
assurer une meilleure adhrence avec le bton. Ces aciers existent
dans les nuances Fe E 400 et Fe E 500.
-
Acier haute adhrence HA
Nuance fe (MPa) es (10-3) fr (MPa)
gs = 1 gs = 1,15
Fe E400 400 2 1,74 480
Fe E500 500 2,5 2,175 550
-
c- Treillis souds : symbole TS
Si les autres types dacier se prsentent en barres, ces derniers sont
soit en rouleaux, soit en panneaux et de dimensions normalises.
Leur largeur standard est de 2,40m. La longueur des rouleaux est de
50m et celle des panneaux est de 3,60m; 4,80m ou 6m.
Les treillis souds sont constitus par des fils se croisant
perpendiculairement et souds lectriquement leurs croisements.
On distingue les treillis souds fils trfils lisses dits TSL des
treillis souds fils haute adhrence dits TSHA.
l'espacement maxi des aciers ne doit en aucun cas dpasser 2h (h=
paisseur du dallage)
-
Types
aciers
Dsignation
Limite
las. fe (MPa)
R. la rupt. fr (MPa)
Allongt
la Rup.(%)
Coef. de
scellem.
Ys
Coef. de
Fissur.
h
Diamt. Couran.
(mm)
RL
Fe E 215
Fe E 235
215
235
330
410
22
22
1
1
6-8-10-12
HA
Fe E 400
Fe E 500
400
500
480
550
14
12
1,5
1,6
6-8-10-12
14-16-20-
25-32-40
TSL 500 550 8 1 1 3,5 9mm
TSHA
500
550
8
1,5
F
-
F
(mm) Nombre de barres Section en cm2
Masse
(kg/m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
6
8
10
12
14
16
20
25
32
40
0,20
0,28
0,50
0,79
1,13
1,54
2,01
3,14
4,91
8,04
12,54
0,39
0,57
1,01
1,57
2,26
3,08
4,02
6,28
9,82
16,08
25,13
0,59
0,85
1,51
2,36
3,39
4,62
6,03
4,92
14,73
24,13
37,70
0,79
1,13
2,01
3,14
4,52
6,16
8,04
12,57
19,63
32,17
50,27
0,98
1,41
2,51
3,93
5,65
7,70
10,05
15,71
24,54
40,21
62,83
1,18
1,70
3,02
4,71
6,79
9,24
12,06
18,85
29,45
48,25
75,40
1,37
1,98
3,52
5,50
7,92
10,78
14,07
21,99
34,36
56,30
87,96
1,57
2,26
4,02
6,28
9,05
12,32
16,08
25,13
39,27
64,34
100,53
1,77
2,54
4,52
7,07
10,18
13,85
18,10
28,27
44,18
72,38
113,10
0,154
0,222
0,395
0,617
0,888
1,208
1,578
2,466
3,853
6,313
9,865
6) Caractristiques des barres pour bton arm
-
Exercice 9 :
1) Dterminer lallongement unitaire correspondant une
contrainte de 348 MPa exerc sur un acier Fe E 400.
2) Pour les aciers HA Fe E 400 et Fe E 500, comparer les
rapports rsistance la rupture et limite lastique. Quel est
lacier qui offre le plus de scurit lutilisateur?.
3) Calculer pour un acier haute adhrence, de limite lastique
garantie fe = 400 MPa le rapport entre son allongement la
rupture et celui correspondant sa limite lastique thorique.
-
Chapitre V
ASSOCIATION
BETON-ACIER
-
I Gnralits
Lassociation bton /acier est efficace pour les raisons suivantes :
Le bton rsiste aux essais la compression.
L acier rsiste aux essais la traction.
L acier adhre au bton, se qui permet la transmission
des efforts dun matriaux lautre .
Il ny a pas de raction chimique entre lacier et le
bton et en plus le bton (milieu basique) protge
lacier de la corrosion .
Le coefficient de dilatation des deux matriaux est
pratiquement le mme.
-
II Ladhrence
Ladhrence dsigne laction des forces de liaisons qui
sopposent au glissement des barres suivant laxe par rapport au
bton qui lentoure. Ces forces de liaisons sont mesures par la
contrainte dadhrence qui est dfinie comme tant le rapport
entre la variation par unit de longueur de leffort axial quilibr
par la barre et le primtre de cette barre.
1) Dfinition
-
Soit une barre rectiligne scelle dans un bloc de bton.
Appliquons cette barre un effort de traction F et tudions
l'quilibre statique.
Barre de diamtre
2) Contrainte dadhrence
-
La contrainte dadhrence correspond aux efforts du bton
inclin 45. La contrainte est constante sur toute la longueur l
de la barre et est rpartie tout autour de celle-ci, sur une surface
gale Fl (F est le diamtre de la barre).
La barre est donc soumise :
l'effort de traction F,
la contrainte dadhrence ts.
-
Le principe dquilibre nous permet de dire que la contrainte
dadhrence soppose leffort de traction dans la barre donc :
Ce qui nous donne :
l F s=
l
F sF
=
-
Dans les constructions du bton arm les efforts sont appliqus
au bton et non pas aux aciers, ceux-ci seront sollicits grce
aux laissons avec le bton. La transmission des efforts a lieu le
long de la surface latrale des barres grce au phnomne
dadhrence.
3) Remarque
4) Rles de ladhrence
a - Transfert des efforts
Ladhrence entre le bton et lacier permet le transfert des
efforts entre eux.
-
b - Ancrages des barres
Appel aussi scellement, si la barre est trop courte, elle risque
de sarracher du bton sous leffet de leffort de traction. La
barre doit tre suffisamment longue pour tre convenablement
ancre (scelle) et pour reprendre tout les efforts de traction.
F
F
Une barre est dite "ancre" lorsque l'effort F de traction exerc
sur cette barre est entirement quilibr par l'adhrence entre le
bton et l'acier dans la zone d'ancrage.
-
c - Rpartitions des fissures
Ladhrence permet de rpartir les fissures tout en vitant la
formation de grandes fissures concentres.
5) Facteurs influenant ladhrence
a - L tat de surface des barres
Les surfaces rugueuses augmentent le frottement entre le bton
et lacier et par consquent augmente ladhrence.
-
La rsistance de barres au glissement est caractrise par deux
coefficients : h et ys.
1 pour RL
h Coefficient dadhrence ou de fissuration
1,6 pour HA
1pour RL
ys Coefficient de scellement (ancrage)
1,5 pour HA
-
b - Forme des barres
ladhrence circulaire (rond) est suprieure celle des barre
ayant une autre forme.
c - Groupement des barres
Lobjectif est dassurer une meilleure rpartition des fissures
tout en tant petite.
-
non non non
oui oui oui
non non Dans le sens des flches, les diamtres ne doivent
pas augmenter.
-
d - La rsistance du bton
Ladhrence augmente avec laugmentation de la rsistance la
compression du bton.
e - Compression transversale
Dans une pice comprime, ladhrence va augmenter par la
contrainte cre (le serrage).
-
III Ancrage des barres
La longueur dancrage sera la longueur ncessaire pour
quilibrer leffort axial exerc sur la barre.
1) Dfinition
2) Contrainte dadhrence
Une valeur limite pour la contrainte d'adhrence est fixe par
leurocode2. Cette contrainte intgre la fois les caractristiques
de lacier, avec le coefficient de scellement ys, et celles du
bton, avec sa rsistance la traction ftj.
Sur la longueur dancrage la contrainte dadhrence sera suppos
constante est gale sa valeur limite ultime qui est la suivante:
tj
2
ss 0,6 f=
-
La longueur de scellement droit Ls sera la longueur ncessaire
pour une barre rectiligne de diamtre F soumise une
contrainte gale sa limite lastique fe soit convenablement
ancre (ancrage total).
3) Ancrage rectiligne en traction
a Cas dune barre isole tendue
Ls
fe
-
Il y a quilibre entre la force due la contrainte dadhrence et
leffort F de traction provoquant dans cette barre une contrainte
gale la limite lastique fe de lacier.
s
es
4
L
f=
Nous aurons donc :
4
SF
2
ee
f f ==
L F ss=
Ce qui donne :
-
A dfaut de calcul prcis, leurocode2 permet d'adopter les
valeurs forfaitaires suivantes :
Ls = 40F pour les aciers HA Fe E 400
Ls = 50F pour les aciers HA Fe E 500
pour les aciers RL Fe E 215 et Fe E 235
b - Remarque
c Cas dun paquet de barres
Paquet de deux barres
Ls Ls
-
c Treillis soud TSL et TSHA
Paquet de trois barres
A partir de lancrage, nous avons :
1,5Ls pour le paquet de trois barres
Ls pour le paquet de deux barres
Ls pour une barre
L = 1,5Ls + Ls + Ls
1 3 2
-
4) Ancrage par courbure des barres tendues
2
rLL 2 = r
L2
L
q
RL r 3F
Rayons de courbure minimaux
HA r 5,5F
Calcul des longueurs
avec enrobage :
c2
rLL 2 =
o c est lpaisseur de lenrobage
sans enrobage :
-
Q 30 45 60 90 120 135 150 180
a 1,23 1,37 1,52 1,87 2,31 2,57 2,85 3,51
b 0,58 0,92 1,30 2,19 3,28 3,92 4,62 6,28
rLLL 1s2 =Ls : longueur quivalente
de scellement droit.
-
r
L2
L
q2
rLL 2 =
c2
rLL 2 =
sans enrobage :
avec enrobage :
o c est lpaisseur de lenrobage
-
L'ancrage d'une barre comprime courbe (ancrage courbe) est
interdit.
Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calcul
comme suit :
F : diamtre des barres.
ssc : la contrainte la compression de lacier.
s : la contrainte d'adhrence.
5) Ancrage en compression
s
scsc
4
L =
-
6) Ancrage des cadres, triers, pingles
Rayons de courbure minimaux r 2.F
Les ancrages des extrmits sont
assures par courbure suivant le
rayon minimale. Les parties
courbes sont prolongs par des
parties rectilignes de longueurs
gale :
5F pour un arc de 180;
10F pour un arc de 135;
15F pour un arc de 90.
-
Dterminez la longueur quivalente de scellement droit pour une
barre tendue dun acier HA 20 de nuance Fe E 500. La barre
appartient une poutre intrieure prenant appui sur un poteau de
rive. On donne : enrobage mini 3 cm ; crochet 120 ; L1 = 8F;
section du poteau 25cm x 25cm.
Exercice 10 :
Exercice 11 :
Calculer la longueur L1 ncessaire pour assurer lancrage totale
dune barre HA 16 dune poutre reposant chaque extrmit sur un
voile BA. On donne : fc28 = 30 MPa ; fe = 500 MPa ; ys = 1,5 ;
enrobage mini 2,5 cm ; crochet 135 ;paisseur du voile 18cm.
-
IV Dispositions constructives
1) Introduction
h
Tendue
Comprime
A.N.
0
-
2) Ferraillages de la poutre
1- 2- Barres de montage de compression Armatures de peau
si h > 50 cm
-
On distingue deux types darmatures :
Les armatures longitudinales
Les armatures transversales
a Les armatures longitudinales
On utilise gnralement des barres de haute adhrence avec des
diamtres suprieurs ou gales 12 mm. Elle seront disposes
dans la partie tendue de la poutre pour reprendre les efforts de
traction (armatures principales). Dans la partie comprime les
barres de montage qui peuvent ventuellement reprendre une
partie des efforts de compression lorsque le bton ne suffit pas.
Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes
dans la partie ou le moment est maximum.
-
b Les armatures transversales
Elles sont appeles armatures de couture puisqu'elles coudent
les fissures. Elles ont un diamtre infrieur 10 mm. Il existe
trois sorte d'armatures transversales.
Les armatures transversales sont disposes le long de la
poutre, elles sont trs rapproches au niveau des appuis parce
que l'effort tranchant est maximum.
Les armatures transversales sont attaches aux barres
longitudinales en maintenant leurs cartements.
crochet
-
3) Dispositions
a Enrobages des barres
Fl est le diamtre des armatures longitudinales et Ft le diamtre
des armatures transversales.
Suivant le cas et pour assurer une bonne protection des
armatures contre la corrosion, il faut que l'enrobage C soit au
minimum de 5cm, 3cm ou 1cm.
C enrobage
Cl enrobage des barres
longitudinales
a largeur du paquet de barres
b hauteur du paquet de barres
-
5cm : pour les ouvrages la mer ou exposs aux embruns, aux
brouillards salins, ainsi qu des atmosphres trs agressives (cas
des fissurations trs prjudiciable).
Cet enrobage peut tre ramen 3cm si les armatures ou le bton
sont protgs.
3cm : pour les parois coffres ou non qui sont soumises (ou
susceptibles de l'tre) des actions agressives, ou des
intempries, des condensations, ou encore, eu gard la
destination des ouvrages, au contact d'un liquide (cas des
fissurations prjudiciable).
Cette valeur peut tre ramene 2cm si fc28 > 40 MPa.
1cm : pour des parois qui seraient situes dans des locaux
couverts et clos et non exposes aux condensations (cas des
fissurations peu prjudiciable).
-
b Btonnage correct (eurocode2)
L'enrobage des barres Cl doit tre :
au moins gal leur diamtre si elles sont isoles,
gal la largeur a du paquet si elles sont groupes.
De plus, elles doivent vrifier les espacements suivants :
Cl max(enrobage ; a ; Cg) ; eh max(a ; 1,5Cg) ; ev max(a ; Cg).
Cg = dimension du plus gros granulat utilis.
-
c Diamtre maximum (eurocode2)
Pour les plaques, les dalles, les coques et les hourdis, les mailles
ne doivent pas tre trop grandes (vrification du bton au
poinonnement) et le diamtre maxi des armatures doit vrifier :
Fmaxi e/10
e = paisseur de l'lment.
Pour les poutres, les armatures transversales Ft doivent vrifier :
Ft =inf (Fl;h/35;b0/10)
Fl = diamtre des armatures longitudinales
h = hauteur de la poutre
b0 = largeur de la poutre
-
d Condition de rentr du bton dans le moule
(eurocode2)
Durant sa mise en place, le bton doit passer travers les mailles
qui sont obtenus avec le ferraillage. Ces mailles sont caractrises
par un rayon r (r = la surface/le primtre), de la plus petite maille
qui existe.
r Cg/1,4 : gravier roul et r Cg/1,2 gravier concass.
La difficult oppose au remplissage dun moule augmente
mesure que :
1. La dimension maximale du grain augmente (Cg).
2. Le pourcentage des graviers est lev.
3. Si les graviers sont anguleux.
4. La consistance du bton est plus ferme.
5. Les moyens de vibration nexistent pas.
-
e Pousse au vide
Toute armature courbe et tendue, exerce sur le bton une pousse
dans le plan de courbure et du cot de la concavit. Si l'armature
est comprime, la pousse est exerce du cot de la convexit.
Prsentation du problme
-
Si la pousse est oriente vers une face externe, il y a risque
d'clatement du parement. Il faut donc, pour viter les pousses
au vide, choisir un trac judicieux des armatures. Par exemple,
les pousses doivent tre, dans les courbures, orientes vers la
masse du bton.
Constats
Lorsque, par contre, des raisons constructives nous poussent
prvoir des pousses orientes vers le parement, il faut alors
obligatoirement prvoir des ligatures ancres dans la masse de
l'lment (eurocode2).
-
Problme particulier des ancrages avec retour d'querre.
Exemple :
-
Il convient soit de disposer une ligature ancre dans la masse du
bton, soit mieux, d'incliner le retour de l'ancrage vers la masse
du bton pour obtenir alors un crochet (eurocode2).
Solutions
-
4) Recouvrement
a Principe et objectif
Les armatures trouves dans le commerce ayant une longueur
limite, il est parfois ncessaire pour certains lments de plus
grande longueur, d'utiliser plusieurs barres. Pour tablir la
continuit entre les barres, nous effectuerons un recouvrement,
c'est dire que nous ferons chevaucher les barres sur une
longueur Lr, dite longueur de recouvrement.
-
Cette longueur sera donc la longueur ncessaire pour assurer la
transmission des efforts qui sollicitent l'armature. Il faut assurer
la continuit mcanique au niveau du recouvrement en
mobilisant l'adhrence et le frottement du bton sur l'armature.
-
b Barres tendues rectilignes
Les efforts sont transmis d'une barre l'autre par le jeu de
l'adhrence du bton.
Simple recouvrement des extrmits de barres
c est la distance entre les axes des deux barres.
-
Les deux barres sont dans le mme alignement. La transmission
est assure par une troisime barre de mme diamtre.
Recouvrement par couvre joint
-
La transmission des efforts se fait toujours par des bielles
inclines 45 sur l'axe de l'armature.
Armatures de couture des recouvrements
Les armatures de couture auront des petits diamtres de manire
assurer une bonne rpartition de ces armatures sur la jonction.
-
Nous pouvons dcomposer l'effort de traction : F = As fe
en un composante oblique Fb quilibre par les bielles de bton
et une composante verticale Ft quilibre par ces armatures de
couture. Le calcul qui suit minimise les sections des brins.
Nous aurons : S At fet As fe Pour une bonne scurit, le calcul des sections des brins se fait
avec lingalit suivante : S At fet As fe
Armatures de couture des recouvrements
S At fet : effort de traction dans les armatures de couture gal et oppos la composante Ft.
fet : limite lastique des aciers utiliss comme armatures de couture.
At : section totale des brins d'une nappe d'armatures de couture.
As : section des armatures recouvrir et fe leur limite lastique.
-
c Barres tendues avec crochets normaux aux extrmits
si c 5f Lr = La
si c > 5f Lr = La + c
avec : La = 0,6Ls pour les aciers RL
La = 0,4Ls pour les aciers HA
Lr
-
d Jonctions de barres comprimes
La longueur de recouvrement peut tre prise gale :
Lr = 0,6Ls
Les valeurs forfaitaires deviennent alors pour les aciers hautes
adhrence (ys = 1,5).
Fe E 400 : Lr = 34F
Fe E 500 : Lr = 30F
Les jonctions peuvent se faire par aboutement de barres au
contact en utilisant des manchons .
-
Exercice 12 :
Pour assurer la continuit des barres dans une poutre, on prvoit une
jonction par simple recouvrement sans crochet de deux barres.
Calculer :
1) La longueur de recouvrement.
2) La section et la disposition des aciers de coutures.
On donne :
--- nappe infrieure constitue de 4HA16 (Fe E 500).
--- diamtre des cadres prvus : 6mm (Fe E 400).
-
Chapitre VI
LES HYPOTHESES DE CALCUL
REGLE DES TROIS PIVOTS
-
I Hypothses lELU
1) Hypothse 1
Toute section plane avant dformation reste plane aprs
dformation. Hypothse de Navier
-
2) Hypothse 2
Il n y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . La
dformation des deux matriaux est la mme. Les dformations
des fibres sont proportionnelles leurs distances par rapport
laxe neutre.
A
A Coupe A-A :
-
Coupe A-A :
NOTATION :
bc : la dformation du bton la compression.
s : la dformation de lacier tendue. y : la distance de laxe neutre la
fibre comprime.
d : la distance de la fibre la plus
comprime au centre de gravit
des armatures tendues.
y y
-
3) Hypothse 3
La rsistance du bton tendu est nglige ou la rsistance la
traction du bton non prise en compte dans les calculs.
4) Hypothse 4
On suppose concentr en leur centre de gravit la section dun
groupe de plusieurs barres tendues ou comprimes, si lerreur
commise sur les dformations unitaires ne dpassent pas 15%.
-
5) Hypothse 5
Le diagramme contrainte dformation du bton pouvant tre
utilis dans tout les cas sera le diagramme parabole rectangle.
Lorsque la section nest pas entirement comprime, On peut
utiliser le diagramme rectangulaire simplifi dfinit comme suit :
Sur une distance de 0,2y partir de laxe neutre, la
contrainte sera considre comme nulle.
Sur la distance qui reste soit 0,8y, elle sera gale :
b
c28
85,0 f
-
q
qy y
y
1 pour les charges appliques plus de 24h
0,9 entre 1h dure 24h
0,85 si la dure < 1h
E.L.U. normal 1,5
E.L.U. accidentel 1,15 b
-
6) Hypothse 6
Rgle des trois pivots :
--- Une section de bton soumise des sollicitations normales se
dforme suivant lhypothse de Navier.
--- Les positions limites que peut prendre la droite de
dformation sont dtermins partir des diagrammes contrainte
dformation du bton et de lacier. Le raccourcissement unitaire
du bton est limit de 3,5 en compression et lallongement unitaire des aciers sera limit 10 . --- La dformation dune section ltat limite ultime de
rsistance est reprsent par une droite passant par lun des
pivots A, B , ou C, lintrieure ou la frontire des
domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure qui suit.
-
1a
2b
2a 2c
ees
OO : section avant dformation
-
Ce diagramme sera devis en 3 domaines :
Le domaine (1) : les diagrammes passent par le pivot A qui
correspond un allongement maximum de 10, les armatures tendues supposes concentr en leur centre de gravit.
On distingue deux sous domaines :
le sous domaine 1a : le bton est toujours tendue et ne participe
pas la rsistance de la section. Nous avons une traction simple
ou une flexion compose avec une section entirement tendue.
le sous domaine 1b : le bton est partiellement comprim. Nous
avons une flexion simple ou compose avec une section
partiellement comprime.
-
Le domaine (1) sera dcrit par la condition suivante :
0,259103,5
3,5
d
y0
stbc
bc =
=
= L0 ; L1 > L0 Autres
Lf 0,7 L0 L0
-
Euler dtermina la charge critique NcE pour diffrentes
conditions aux appuis.
8) Force critique
2
f
min
2
cEL
I E N =
-
le flambement intervient lorsque des poutres lances sont
soumises un effort de compression axial. Pour distinguer les
situations o un calcul au flambement est ncessaire de celles
o un calcul en compression suffit, on dfinit pour une poutre
sans dimension, llancement :
9) Llancement
min
f
i
L =
Lf : longueur de flambement
imin : rayon de giration mini
de la section
Imin : moment quadratique
mini de la section
B : aire de la section droite B
I i minmin =
N.B. : Llancement permet de prendre en compte la section et
l'inertie (moment quadratique) du poteau, et de comparer les
poteaux entre eux
-
10) Rayon de giration et lancement
a - Section rectangulaire
32
a=
14,4a
L si 50 f
-
b - Section circulaire
D
4L f= 12,5
D
L si 50 f
-
c - Section carre
a
L32 f= 14,4
a
L si 50 f
-
11) lancement critique dune poutre
2
2
f2
minmin
LBBiI ==et
B
I i minmin =
min
f
i
L =
avec sc contrainte
limite lastique
sachant que 2
f
min
2
cEL
I E N = nous avons
2
2
cEe
E
B
N ==do
2
2
cE
B E N =
-
finalement e
22
c
E =
Llancement critique lc, est llancement partir duquel la
poutre doit tre calcule au flambement.
On constate que llancement critique ne dpend que des
caractristiques mcaniques du matriau.
Les ordres de grandeur adopts en gnral sont :
lc = 100 pour les profils en acier
lc = 60 pour les poteaux en fonte
lc = 70 pour les poteaux en bois lc = 70 pour les poteaux en Bton arm
a - Dfinition
b - Remarque
-
Pratiquement on doit vrifier que l'effort normal ultime
agissant est infrieur l'effort normal ultime rsistant.
Nu Nu Limite
1) Principe
N. B. : Cette vrification ne tient pas compte d'un phnomne
physique important : LE FLAMBEMENT.
V Calcul aux ELU
-
A ltat limite ultime (ELU), on doit vrifier :
2) Dtermination de la capacit portante
s
es
b
c28ru
fA
0,9
BN
f
a est un coefficient de scurit qui compense le flambement
As est la section des armatures longitudinales prises en compte
dans le calcul
gb = 1,5 lELU normal et 1,15 lELU accidentel
gs = 1,15 lELU normal et 1 lELU accidentel
Br est la section rduite du poteau.
-
Br , la section rduite du poteau est obtenue en dduisant 1cm
aux dimensions relles de la section sur sa priphrie.
-
On compense le fait de ngliger le flambement en minorant la
valeur de l'effort normal rsistant par un coefficient a
dpendant de l'lancement.
a est divis par 1,1 si la majeure partie des charges est
appliques avant 90 jours.
-
3) Dtermination des armatures
On doit respecter les rgles suivantes :
- un lment insuffisamment arm est fragile
- un lment trop arm est irralisable correctement
a Pourcentage darmature
As min As As max
As min max (4p ; 0,2% B )
As max = 5% B P : primtre du
poteau en mtre.
Le rsultat en cm2.
-
Donnes : l, Nu, B, fc28, fe Inconnue : As
b Armatures longitudinales
e
s
b
c28rus
0,9
B
NA
f
f
- Si 35 : As reprsente l'aire de toute les armatures
longitudinales disposer sur tout le primtre de la section
considre.
-Si > 35 : As reprsente l'aire des armatures qui augmente
efficacement la rigidit dans le sens ou le moment d'inertie est
le plus faible.
-
c - Remarque
Pour les armatures longitudinales nous avons trois cas :
1- As min < As calcule < As max On ferraille avec As calcule.
2- As calcule < As min ou < 0 On ferraille avec As min.
3- As calcule > As max On augmente la section du bton B et on recalcule de nouveau As.
-
d Armatures transversales
3
max lt
Ces armatures ont principalement un rle de maintien des
armatures longitudinales. Elles vitent ainsi leur flambement.
Le choix des armatures transversales se fait partir de
dispositions forfaitaires:
-
1) Enrobage
V Dispositions constructives
Cest la distance minimale aux parements. Suivant le cas et pour
assurer une bonne protection des armatures contre la corrosion, il
faut que l'enrobage C soit au minimum de 5cm, 3cm ou 1cm.
2) Btonnage correct
Cl max(enrobage ; l ; Cg).
l : diamtre maximal des aciers longitudinaux.
Cg : dimension du plus gros granulat utilis.
-
La rpartition est faite de
manire assurer au mieux la
rsistance au flambement de
la pice dans les directions les
plus dfavorables.
3) Armatures longitudinales
a Section rectangulaire ou carr
Dans une pice rectangulaire
la distance maximale entre
deux armatures est :
40cm
10cmamine
Section carre : As placer aux angles.
Section rectangulaire : As placer le long de b.
b
-
Poteaux rectangulaires tels que (a/b) 0,9
Poteaux carrs ou rectangulaires tels que 0,9 (a/b) 1,1
-
b Section circulaire
Un minimum de 6 barres
c Section polygonale
Une barre chaque sommet
-
4) Armatures transversales
a Espacement des armatures
Lespacement des diffrentes nappes est donn par :
40cm
10cma
15
mine
min l
t
Toutefois, en zone de recouvrement, le nombre d'armatures
transversales doit tre suprieur ou gal 3. Dans la
pratique, on assure un lger dpassement des extrmits
des barres arrtes, 2fl environ, par rapport aux nappes
extrmes.
-
b Rpartition des armatures Les armatures transversales doivent former une ceinture continue
sur le pourtour du poteau.
Il faut maintenir par des triers et des pingles les aciers situs en
dehors des angles si leur diamtre est suprieur 20 mm ou s'ils ont
t pris en compte dans les calculs.
5) Jonction par recouvrement
Lr 0,6Ls. A dfaut de calcul prcis, on prend : Lr 24.
Le nombre des cours transversaux ralisant le recouvrement est au
minimum 3
-
Dterminer la section des armatures longitudinales du poteau situ dans
un lieu couvert.
Vrifier ou donner les dispositions constructives lorsque Cg max = 2 cm.
Exercice 17 :
-
Dterminer les armatures dun poteau intrieur BA soumis un
effort normal de compression centr sur la section du bton.
Vrifier ou valider les dispositions constructives.
Donnes :
Effort normal lELU : Nu = 0,85 MN.
Section du poteau : 25cm x 25 cm.
Longueur de flambement : Lf = 320 cm.
Chargement suprieur Nu/2, appliqu avant 90 jours.
Rsistance caractristique du bton fc28 = 30 MPa.
Les armatures longitudinales sont en acier HA :
fe = 400 MPa ; gs = 1,15 ; maximum Cg = 2cm.
Exercice 18 :
-
Chapitre VIII
LA FLEXION
A LETAT LIMITE
ULTIME
-
I Fonctionnement du bton arm en flexion
-
le bton reprend les efforts de compression
les aciers reprennent les efforts de traction.
1) Le principe du bton arm en flexion
2) Dimensionnement
Un lment en bton arm est optimis lorsque les matriaux bton et acier travaillent au maximum de leurs possibilits.
-
3) Diagramme contrainte dformation de lacier
s
e
stu g
ff =
st
es )(st 000
Domaine
plastique
10
Lacier travaillera au maximum partir dune contrainte fstu. Il travaille au maximum pour un allongement unitaire
comprise entre ees et 10 .
Euro code 2
-
Lacier travaillera au maximum lorsque :
Nuance fe (MPa) es () fr (MPa)
gs = 1 gs = 1,15
Fe E215 215 1,075 0,935 330-490
Fe E235 235 1,175 1,02 410-490
Fe E400 400 2 1,74 480
Fe E500 500 2,5 2,175 550
ees < est < 10
A lELU normal s = 1,15 et lELU accidentel s = 1.
Leuro code limite dallongement des aciers la valeur de 10 %0.
-
5) Diagramme contrainte dformation du bton
Le bton travaillera au maximum pour une compression unitaire
comprise entre 2 et 3,5 .
A lLU normal b = 1,5 et lELU accidentel b = 1,15.
Leuro code limite la compression du bton la valeur de 3,5 %0.
Euro code 2
bcuf
2 3,5
)(bc 000
bc
b
cj 0,85
bcu
f
f =
b
cj 0,85
bcu
f
f =
-
Le bton travaillera au maximum lorsque :
6) Conclusion
Il faudra donc dimensionner les lments de manire
respecter :
le rglement; optimiser llment en bton arm.
2 < ebc < 3,5
-
10
d
y
2.17
3.5 2
Acier Fe 500
Dans cet exemple, la section est ici bien dimensionne car les dformations
de lacier et du bton sont dans les intervalles noncs prcdemment. Les
matriaux travaillent donc de manire efficace.
7) Exemple
Prenons le cas dune poutre classique soumise la flexion.
Le diagramme dformation de la section a lallure suivante :
-
II Recherche du pivot
1) Moment de rfrence
Le moment de rfrence not MAB est le moment sollicitant
une section permettant datteindre simultanment est = 10
et ebc = 3,5 .
a - Dfinition
b - Remarque
Si d est inconnu; on prendra d = 0,9h.
-
Diagramme des dformations
d
3,5
f bcu
d
yAB 0,8yAB
Ast . f stu
b
MAB
Diagramme des contraintes
10
Les diagrammes sont les suivants :
c Diagrammes des dformations et des contraintes
On obtient dans ce cas un axe neutre une distance
yAB = 0,259d de la fibre suprieure de la poutre.
Thorme de Thals : 3,5/ yAB = 10/(d- yAB) do yAB = 0,259 d
-
La section est en quilibre Mt/aciers = 0
d Calcul de MAB
MAB = 0,8 yAB f bcu b (d - 0,4 yAB) avec yAB = 0,259 d
MAB = 0,186 b d f bcu = AB b d f bcu
AB = 0,186 est le moment de rfrence rduit
-
2) Moment de flexion ultime (rel)
Le moment rel not MU est le moment sollicitant une
section de telle manire ce que laxe neutre soit une
position y de la fibre la plus comprime. Ce moment dpend
du chargement.
a - Dfinition
y y
-
Diagramme des dformations
d
ebc
f bcu
d
y 0,8y
Ast . f stu
b
MU
Diagramme des contraintes
est
Les diagrammes sont les suivants :
b Diagrammes des dformations et des contraintes
Laxe neutre se trouve une distance y = ad de la fibre
suprieure (la plus comprime) de la poutre.
-
La section est en quilibre on pose Mt/aciers = 0
c Calcul de MU
MU = 0,8 y f bcu b(d - 0,4 y) avec y = a d
MU = 0,8 ad f bcu b(d - 0,4 ad)
MU = 0,8a (1-0,4a) bd f bcu = U bd f bcu
U = 0,8a (1-0,4a)est le moment ultime rduit.
-
3) Comparaison de MU et MAB
MU MAB 0,8a(1-0,4a) 0,186
Cest--dire : - 0,32a2 +0,8a0,186 0
La rsolution de cette inquation donne 0 < a 0,259.
Donc 0 < y 0,259d.
a Cas 1 : MU MAB
Cette tat limite sera caractris par les dformations suivantes :
est = 10
ebc = 0 3,5
tat limite ultime par
coulement plastique des
aciers PIVOT A
u 0,186
-
1a
2b
2a 2c
ees
-
MU > MAB 0,8a(1-0,4a)> 0,186
Cest--dire : - 0,32a2 +0,8a0,186> 0
La rsolution de cette inquation donne 0,259 < a 1.
Donc 0,259d < y d.
b Cas 2 : MU > MAB
Cette tat limite sera caractris par les dformations suivantes :
ebc = 3,5
est = 0 10
tat limite ultime par
coulement du bton
PIVOT B
u > 0,186
-
III Dimensionnement
1) Cas 1 : MU MAB : Pivot A
Mu MAB : pivot A est = 10 et ebc 3,5 .
Le risque est que le bton
travaille mal (si ebc 2 ).
Problme deux inconnues :
La positon de laxe neutre : y
La section des armature tendues : Ast
y
d
ebc
est = 10
Pivot A a Calcul de y et Ast
u 0,186
-
Deux inconnues deux quations :
f bcu
d
y 0,8y
Ast . f stu
b
Mu
Diagramme des contraintes
F/x = 0 : 0,8 y b f bcu = f stu Ast (1)
Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 y b f bcu (d 0.4 y) (2)
Lquation (2) donne y.
Lquation (1) donnera ensuite Ast.
-
La rsolution de l quation (2) donne :
=
bcu
2
U
d b
2M111,25dy
f
Cest la solution cohrente de lquation.
Le calcul de Ast laide de lquation (1) donne :
stu
bcust
0,8ybA
f
f=
ou
)211,25d(1y u=
-
b Le bton travaille-t-il bien?
est = 10 les aciers travaille bien car est > ees
ebc 3,5 Il faut calculer ebc car le bton travaille bien seulement si ebc > 2
Connaissant y, cela
permet de calculer ebc grce au diagramme
des dformations :
Thorme de Thals : ebc /y = 10 / (d-y) dou ebc = 10y / (d-y)
ebc
y
d
est = 10
Pivot A
-
Conclusion :
Si ebc > 2 alors le bton travaille bien.
Si ebc 2 alors le bton travaille mal (la section est surdimensionne)
on redimensionne la section (ex : on diminue h)
Thorme de Thals : ebc /y = 10 / (d-y) dou ebc = 10y / (d-y)
-
c Remarque (travail du bton)
y
d
ebc = 2
est = 10
Pivot A
Calculons y, pour ebc = 2 et est = 10 .
Thorme de Thals : 2/y = 10/(d-y)
dou y = 0,167d
Comme y = ad alors a = 0,167
Au pivot A, ebc < 2 y < 0,167d ou a < 0,167
Le bton travaille mal (la section est surdimensionne)
on redimensionne la section.
-
2) Cas 2 : MU > MAB : Pivot B
Mu > MAB : pivot B ebc = 3,5 et est 10 .
y
d
ebc = 3,5
est
Pivot B
a Position du problme
Problme deux ou trois inconnues :
La positon de laxe neutre : y
La section des armature tendue : Ast
La section des armatures comprimes Asc sil y a lieu.
u > 0,186
Le risque est que les aciers
travaillent mal (si est ees).
-
b Moment de plastification ou rsistant
Par dfinition, le moment de plastification Ml est le moment
sollicitant une section permettant datteindre est = ees (limite de la zone lastique / plastique).
Diagramme des dformations
d
ebc = 3,5
f bcu
d
yI 0,8yI
Ast . f stu
b
MI
Diagramme des contraintes
ees
On obtient dans ce cas un axe neutre une distance yl = aI d
de la fibre suprieure de la poutre (aI dpend de ees).
-
La section est en quilibre on pose Mt/aciers = 0
Calcul de MI
MI = 0,8 yI f bcu b (d - 0,4 yI) avec yl = aI d
MI = 0,8 aI d f bcu b(d - 0,4 aI d)
MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu
Thorme de Thals : 3,5/yI = ees /(d-yI)
do yI = 3,5d / (3,5+ ees ) et aI = 3,5 / (3,5+ ees )
I = 0,8aI (1-0,4aI)est le moment de plastification rduit.
-
Nuance fe (MPa) es () gs = 1,15
yI aI I
Fe E215 215 0,935 0,789d 0,789 0,432
Fe E235 235 1,02 0,774d 0,774 0,427
Fe E400 400 1,74 0,668d 0,668 0,392
Fe E500 500 2,175 0,617d 0,617 0,372
MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu
I = 0,8aI (1-0,4aI)
-
c Les aciers travaillent-t-ils bien?
ebc = 3,5 le bton travaille bien car ebc > 2
est 10 Il faut calculer est car lacier travaille bien seulement si est > ees
Pour rpondre cette question, il faut comparer Mu Ml :
moment de plastification des aciers
-
MU > MI u > I 0,8a(1-0,4a)> 0,8aI (1-0,4aI) On remplace aI par la valeur correspondante du tableau.
La rsolution de cette inquation donne a > aI et y > yI.
Donc est< ees.Les aciers travaillent mal.
MU < MI u < I 0,8a(1-0,4a)< 0,8aI (1-0,4aI) On remplace aI par la valeur correspondante du tableau.
La rsolution de cette inquation donne a < aI et y < yI.
Donc est > ees.Les aciers travaillent bien.
-
1a
2b
2a 2c
ees
-
d Exemple : acier Fe E500 y
d
ebc = 3,5
est = 2,175
Pivot B
Calculons yI, pour ebc = 3,5 et est = ees = 2,175
Thorme de Thals : 3,5/yI = 2,175/(d-yI)
dou yI = 0,617d
Comme xI = aId alors aI = 0,617
Au pivot B, est < ees = 2,175 y > 0,617d ou a > 0,617
Les aciers travaille mal
voir plus loin pour les solutions.
-
e MU < MI avec MU > MAB (Pivot B)
MU < MI est > ees.Les aciers travaillent bien.
Calcul de y et Ast
Le calcul est le mme
quau pivot A
Problme deux inconnues :
La positon de laxe neutre : y
La section darmature tendue : Ast
0,186 < u < I
-
Deux inconnues deux quations :
f bcu
d
y 0,8y
Ast . f stu
b
Mu
Diagramme des contraintes
F/x = 0 : 0,8 y b f bcu = f stu Ast (1)
Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 y b f bcu (d 0.4 y) (2)
Lquation (2) donne y.
Lquation (1) donnera ensuite Ast.
-
La rsolution de l quation (2) donne :
=
bcu
2
U
d b
2M111,25dy
f
Cest la solution cohrente de lquation.
Le calcul de Ast laide de lquation (1) donne :
stu
bcust
0,8ybA
f
f=
ou
)211,25d(1y u=
-
f MU > MI avec MU > MAB (Pivot B)
MU > MI est< ees.Les aciers travaillent mal.
z z
Les charges sont trop importantes par rapport la poutre.
u > I
-
laxe neutre descend;
besoin de plus de bton comprim pour rsister;
la partie comprime de la poutre supporte plus de charge, donc travaille plus;
les aciers travaillent dans de mauvaises conditions (est ees), car ils supportent moins de charge
Les charges sont trop importantes par rapport la poutre
-
Solutions pour optimiser dans la cas ou Mu > Ml
On voudrait avoir Mu < Ml sachant que Ml = I b d f bcu
f cj ou f c28 f bcu Ml
b ou d Ml
-
Ajout Asc Les aciers comprims aident le bton comprim
rduit la zone de bton comprim
monte ainsi laxe neutre
augmente le bras de levier y
permet aux aciers de bien travailler
z z
-
On ajoute juste assez daciers comprims pour remonter laxe
neutre de y yl. On aura ainsi est = ees .
Il y a 2 inconnues Ast et Asc (y est connu : y = yl).
Par exemple pour Fe E 500 : yl = 0,617d.
Diagramme des dformations
d
3,5 b
f bcu d
yl = 0,617d 0,8xl
Ast . f stu
Mu
Diagramme des contraintes
2,175
Asc . f stu d
-
F/x = 0 : Asc. f stu + 0,8 yI b f bcu = f stu Ast (1)
Mt/aciers = 0 : Mu = 0,8 yI b f bcu (d 0.4 yI) + Asc. f stu (d d ) (2)
)d'(d
MMA
stu
IUsc
=
f
Lquation (2) donne : Lquation (1) donne :
stu
bcuIscst
b0,8yAA
f
f=
yI est fonction du type dacier (voir le tableau).
MI = 0,8aI (1-0,4aI) bd f bcu = Ibd f bcu
-
f Remarques
Le rglement impose que la part des efforts repris par les aciers
comprims ne dpasse pas 40 % de leffort total, cest dire :
Il faut : Mu - Ml < 0,4 Mu (sinon, on redimensionne la poutre)
En prsence de Asc, il faut mettre des cadres tous les 12 des
Asc (pour viter le flambement des aciers comprims).
Exemple : si les aciers comprims sont en 12, alors les
cadres sont espacs de 14 cm.
-
N.B. : concernant les units.
Le plus simple est de respecter les units suivantes :
Les longueurs (b, h, d, y) sont en mtres (m)
f cj, f bcu , f e , f stu sont en MPa, Mu en MN
(Les Mgas sannuleront entre eux)
Les sections daciers Ast et Asc sont en m
(multiplier ensuite par 104, si on veut des cm)
-
Soit une section ( 25 50) cm sollicit par un moment
de flexion Mu = 0,153 MNm.
Les matriaux sont :
lacier HA FeE400 et le bton fc28 = 25 MPa.
Calculez la section du ferraillage lE.L.U.?
Exercice 19 : section armatures simple
-
Soit une section ( 25 50) cm sollicit par un moment
de flexion Mu = 0,315 MNm.
Les matriaux sont :
lacier HA FeE400 et le bton fc28 = 25 MPa.
On donne d = 5cm.
Calculez la section du ferraillage lE.L.U.?
Exercice 20 : section armatures double