beta como

5/17/2018 Beta Como - slidepdf.com

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ESTIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BETACOMO MODELO PARA SU UTILIZACIÓN

EN EL MÉTODO PERT

RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ

Departamento de Economía Aplicada.

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.Universidad de Granada

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años, a partir de la pregunta abierta lanzada por Sasieni(1986), se ha visto resurgir el interés por perfilar mejor el modelo probabilísticoempleado en la metodología PERT.

Suponiendo que la duración de una actividad es una variable aleatoria sobreun intervalo finito, existe un acuerdo generalizado de que la distribución beta esun buen modelo para la distribución de tal variable aleatoria, debido a que esta

familia de distribuciones puede adoptar una amplia variedad de formas, condistintas intensidades en su asimetría y en su curtosis. Este acuerdo se refuerzaaún más, si cabe, cuando la asimetría es un factor importante en el problemabajo consideración. (Véase Moitra, 1990).

Habida cuenta de la escasísima, por no decir nula, información muestraldisponible para “ajustar” la distribución, es evidente que hay que recurrir alconocimiento subjetivo de la actividad en estudio. Es por ello por lo que, en lasaplicaciones PERT, se determinan subjetivamente (opinión del experto) tresduraciones: una optimista (a), otra pesimista (b) y otra más probable (m).

Los creadores del PERT sugirieron estimar los valores de la media y de lavarianza de la distribución beta mediante las fórmulas

6

4 bma ++=µ (1)

( )36

22 ab −=σ (2)

Las razones que les llevaron a ellas son eminentemente prácticas ysustentadas por intuiciones atractivas (Véanse Hillier y Lieberman (1982) y YuChuen-Tao, (1980)), pero desde luego no pueden obtenerse a partir de la

Índice Índice de autores

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20 RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO – EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ

función de densidad de la distribución beta con las informaciones disponibles dea, b y m.

Con el fin de resaltar la rigidez de este modelo, y para salvaguardar laflexibilidad modeladora, Herrerías (1989) desarrolló unos modelos alternativos,en las que las estimaciones de µ y 2σ se obtienen por las fórmulas:

2+++

=K

bKmaµ (3)

( )( ) ( )( )( ) ( )32

12

22

2++ −−+−+= K K

mbamK abK σ (4)

dejando la determinación de la ponderación K a nuestra confianza (subjetiva) enla pericia del experto que determinó a, b y m.

Farnum y Stanton (1987) proporcionan una cierta base teórica para el uso delas fórmulas clásicas en un intervalo, determinado, de valores modales, ypresentan una mejora de esas fórmulas para los valores de m que caen fuera deese intervalo.

A nuestro juicio, al partir de la hipótesis de que

36 / 1)1,1(),( 22 =−−= q pq p σσ

su base teórica es igual de rígida que las fórmulas que intentan sustentar.Golenko-Ginzburg (1988) llega, por otro camino, a resultados análogos a los

ya citados de Herrerías, y determina el valor de la ponderación K, con lasiguiente condición:

3611

0

2 =∫ dmσ (5)

(Véase la expresión (4), en la que 2σ aparece como función de m). Como puedeverse es una condición armonizadora con los clásicos.

Moitra (1990) centra muy bien el problema, haciendo constar que ladistribución beta tiene cuatro parámetros y nosotros sólo disponemos de treselementos de información: a, b y m. Por ello es necesario, o bien másinformación o bien realizar alguna hipótesis. Él, en su trabajo, opta por el primercamino.

Concretamente, propone pedirle al experto alguna información “banda”, o

bien sobre la simetría de la distribución, o bien sobre la confianza que él tieneen su propia estimación del valor más probable. A pesar de su claridad de ideas,acaba, un tanto confusamente, discutiendo el valor adecuado de la constante c,por la que hay que dividir (b-a), para obtener la desviación típica de ladistribución, ignorando que esa constante queda perfectamente determinadadentro de la ”blandura” de la información recabada.


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ESTIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BETA COMO MODELO... 21

2. FORMULACIÓN DEL MODELO

Nosotros vamos a trabajar con la distribución beta “estandarizada”, cuyafunción de densidad es:

( ) 10 si1),(

1)( 11 <<−= −− x x x

q p x f q p

β(6)

que, como puede verse, tan sólo tiene dos parámetros p y q, ambos mayores que1. A cambio sólo disponemos de la información sobre el valor m. Las

informaciones sobre los valores de a y b ya han sido usadas para realizar la“estandarización”.

Para esta distribución sabemos que

21)2(1

++=

+−++=

K

Km

q p

mq pµ (7)

( )( )22

1 q pq p

pq

+++=σ (8)

Nuestra filosofía es la de ir a los principios, es decir a determinar losparámetros p y q de la distribución beta, con un total respeto a la estimaciónsubjetiva del experto del valor más probable.

Sabido es que

21−+ −= q p pm (9)

de donde se deduce que

−+

−=

m p

mq

121

1(10)

es decir, al dar una estimación de m el experto está proporcionando una relaciónentre p y q, que habremos de respetar si deseamos que la distribución ajustadatenga como valor modal el proporcionado, tan trabajosamente, por el experto.

Teniendo en cuenta esta relación, la varianza de la distribución beta, (8),puede expresarse como

( ) ( )[ ]

( )( )

2

22

12113

121

−+−+

−+−=

m pm p

mm p pmσ (11)

El problema es la elección de un valor para el parámetro p. Teniendo encuenta la ausencia de cualquier información al respecto, recurrimos a la filosofíasubyacente en el PERT, que en términos vulgares podría expresarse como“curarse en salud”, es decir en caso de duda adoptar el valor de p que conduzcaa la máxima incertidumbre.


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La máxima incertidumbre aparece al usar la distribución uniforme, quecorresponde a p=q=1, pero si nos decantaramos por ella estaríamosdesaprovechando el gran esfuerzo realizado por el experto para destacarnos unsólo m.

Revisando nuestro “cajón de modelos” nos encontramos con la distribucióntriangular (en el intervalo unitario) que es el único modelo que quedaperfectamente determinado por el valor de m. Para esta distribución sabemosque su varianza puede expresarse por

18122 +−= mm

T σ (12)

Pensamos que, con la información disponible (el valor de un único m), nopodemos aspirar a una incertidumbre inferior a la que proporciona este modelotriangular.

Es por ello, por lo que a diferencia de Littlefield y Randolph (1987)consideramos como valor del parámetro p, aquel con el que se consigue unavarianza igual a la de la distribución triangular.

Para ello hemos resuelto en p la ecuación

( ) ( )[ ]

( )( ) 18

1

1213

121 2

2

2 +−=−+−++

−+− mm

m pm p

mm p pm(13)

para distintos valores de m.Esta ecuación cúbica sólo tiene una solución mayor que 1, para cualquiervalor de m comprendido entre 0 y 1. Para encontrarla hemos seguido un métodoiterativo, partiendo de la solución inicial p=0. Los valores obtenidos figuran enla Tabla 1.

Conocido el valor de p, mediante la relación (9), hemos determinado el valorde q, el de la suma p+q y el de la varianza correspondiente. Todos estosresultados figuran también en la Tabla 1.

3. COMENTARIOS A LOS RESULTADOS

En primer lugar nos centramos en K=p+q-2. Obsérvese que, con nuestro

modelo, esta ponderación de la fórmula (6) varía desde 1,19 hasta 3, según losvalores de m. Ello nos confirma en nuestra sospecha de que esa ponderación, ypara que el modelo beta no tenga rigideces y pueda adaptarse perfectamente alas estimaciones subjetivas que nos proporcionen, debe ser variable (quizásfunción de m)

En esta línea hemos ajustado a los valores de p+q-2 de la tabla 1, porMínimos Cuadrados Ordinarios, una parábola, obteniendo el siguiente resultado


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( ) ( ) ( )4057,04176,00907,0

969,00786,90786,95881,0)( 22 =−+= RmmmK (14)

Como es habitual, entre paréntesis y debajo de cada coeficiente, figura elerror estándar de la estimación.

m p Q p+q Varianza0,05

0,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,70

0,750,800,850,900,95

1,0595602

1,14058291,24651141,37990511,54110811,72681541,92914882,13580712,33144932,50000002,62732692,70371062,72556202,6959027

2,62332422,51962042,39688772,26524642,1316430

2,1316438

2,26524612,39689792,51962042,62332432,69590262,72556212,70371072,62732692,50000002,33144932,13580711,92914881,7268154

1,54110811,37990511,24650961,14058291,0595602

3,19120400

3,405829003,643409333,899525504,164432404,422718004,654710864,839517754,958776225,000000004,958776184,839517674,654710774,42271814

4,164432273,899525503,643397293,405829333,19120316

0,05291667

0,050555560,048472220,046666670,045138890,043888890,042916670,042222220,041805560,041666670,041805560,042222220,042916670,04388889

0,045138890,046666670,048472220,050555560,05291667

Tabla 1

Llevando (14) a (7) se obtiene la función

( )( )mm

mmm

−+−++=

10786,95881,210786,95881,01 2

µ (15)

cuya representación gráfica, junto con la de la media del modelo triangular,aparece en la figura 1.

En esta figura puede apreciarse la “casi” perfecta linealidad de la función, enla zona comprendida entre su mínimo y su máximo. Determinados ambospuntos, la ecuación de la recta que pasa por ellos es

250

71108 +=

mµ (16)


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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Mod. propuesto Mod. tr iangular

Figura 1

Obsérvese que la µ es una media ponderada de los extremos del intervalo

(0,1), y del valor más probable, m. Figurando este último con una ponderaciónsuperior a 1,52

En segundo lugar, la varianza de nuestro modelo, para todos los valores de m,es superior a la del modelo clásico, como no podía ser de otra forma, pues de la

desigualdad evidente ( ) 0122

>−+ mm , se deduce, utilizando (12), que)1,0(3612 ∈∀> mσ (17)

por lo que su utilización conducirá a resultados más conservadores, que evitaránla crítica más habitual del método PERT de conducir a resultados excesivamenteoptimistas.

4. CONCLUSIONES

1) El modelo presentado es totalmente respetuoso con las estimacionesproporcionadas por el experto, cosa que no todos, y desde luego el clásico, loson. Por lo que evita las dificultades que suelen presentarse a la hora de

simular la duración de una actividad.2) Dicho modelo es sumamente conservador, en el sentido de conducir a una

varianza no inferior a la que podríamos aspirar con la informacióndisponible.

3) Al estimar p y q puede soportar estudios posteriores sobre la distribución, enlos que sea necesario el uso de otros momentos de orden superior, o laexpresión explícita de la función de densidad.


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4) El uso de este modelo, para valores de m incluidos en el intervalo (0,1162;0,8838) nos proporcionará varianzas superiores a las del PERT clásico,aunque la ponderación que se obtiene para la moda es intermedia entre laponderación dada en el modelo triangular, 1, y la del modelo clásico, 4.

5) Obsérvese en la figura 1 que la media del modelo triangular, representadapor la recta 3)1( m+=µ , ajusta mucho peor en el intervalo mencionado,

que la recta (16).6) Obsérvese que la región obtenida con el modelo presentado mejora, en

cuanto a amplitud, en un 8,5% a la obtenida por Herrerías (1992), por lo queson trasladables todas las conclusiones allí obtenidas a la región indicada.

BIBLIOGRAFÍA

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