bellman ford exp final

7/31/2019 Bellman Ford Exp Final

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BELLMAN-FORD

Jorge MondragnLeonardo Herrera

Cristian Fernndez


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DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

El algoritmo de Bellman-Ford genera el camino mscorto en un grafo dirigido ponderado (en el que elpeso de alguna de las aristas puede ser negativo).

El algoritmo de Dijkstra resuelve este mismo problemaen un tiempo menor, pero requiere que los pesos delas aristas no sean negativos. Por lo que el algoritmoBellman-Ford normalmente se utiliza cuando hayaristas con peso negativo

Si el grafo contiene un ciclo de coste negativo, elalgoritmo lo detectar pero no encontrar el caminoms corto que no repite ningn vrtice, la complejidadde este problema es NP-completo.


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DEFINICIN DEL ALGORITMO

El algoritmo de Bellman-Ford genera el camino mscorto en un Grafo dirigido ponderado ( en el que elpeso de alguna de las aristas puede ser negativo).

Este Algoritmo fuedesarrollado por RichardBellman, Samuel End y

Lester Ford.


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CARACTERISTICAS YCOMPLEJIDAD

COMPUTACIONAL El algoritmo de Dijkstra resuelve este mismo problema

en un tiempo menor, pero requiere que los pesos delas aristas no sean negativos. Por lo que el Algoritmo

Bellman-Ford normalmente se utiliza cuando hayaristas con peso negativo.

La complejidad computacional de este problema es

complejidad NP-Completo.


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EXPLICACIN DEL ALGORITMO

En el paso 0, inicializamos todas las distancias ocostos mnimos a infinito.

En el paso 1, actualizamos el paso anterior, aplicandolas frmulas. En este caso ponemos la distancia delos nodos que tienen accesos directos al vrtice 1, yse la sumamos a la distancia mnima acumulada quehay hasta el vrtice oportuno. Aqu esta distancia

acumulada sera 0 para 1, debido que sera ladistancia a l mismo, e infinito para el resto porque nohan sido analizados todava


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EXPLICACIN DELALGORITMO

En el paso 2, al saber ya una distancia mnimaacumulada desde los nodos 2 y 3 hasta 1,podemos actualizar las distancias mnimas de losnodos 4 y 5.

En los pasos sucesivos, se van actualizando lasdistancias mnimas acumuladas (D) de losdistintos vrtices hasta 1, y se van utilizando enlos pasos siguientes para optimizar el camino

mnimo. El final del algoritmo se da cuando no hayningn cambio de un paso a otro, cuando ya no sepuede encontrar un camino ms corto.


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ANALISIS DEL ALGORITMO

Grafo Inicial.

El objetivo delAlgoritmo esencontrar el caminomnimo desde todoslos nodos al vrtice 1.
http://4.bp.blogspot.com/_RIEFxU9FyeA/S_TnFgLbYFI/AAAAAAAAABs/mfSfrXVYTsg/s1600/INICIO.jpg


8/62

ANALISIS DEL ALGORITMO
http://4.bp.blogspot.com/_RIEFxU9FyeA/S_TnFgLbYFI/AAAAAAAAABs/mfSfrXVYTsg/s1600/INICIO.jpg


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EJEMPLO ( REALIZACIN DELALGORITMO)


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EJEMPLO (GRAFO FINAL)

* Resultado delcamino mnimodesde todos losnodos al vrtice 1.


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APLICACIONES DELALGORITMO

Una variante distribuida del Algoritmo del Bellman-Ford se usa en protocolos de encaminamientobasados en vector de distancias.

En el mundo de las redes (comunicaciones) elprotocolo de encaminamiento de informacin (RIP).http://neo.lcc.uma.es/evirtual/cdd/applets/BellmanFord

/Example3.html


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z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Encontrar el camino ms corto delVrtice z a cada uno de los otrosVrtices.

Paso 0.0

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { _ _ _ _ _ }

[ ] = { _ _ _ _ _ }


13/62

0

z

u v

x y

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }

(u,v)(u,x)


Lista de Arcos

Inicializar los vectores d y P.

Paso 0.1

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


14/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,v)

Paso 1.1

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[v] > d[u] + w( u , v ) ?

Respuesta: NO

Proceso: No se hace nada.

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


15/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,x)

Paso 1.2

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[x] > d[u] + w( u , x ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


16/62


17/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u) (x,v)(x,y)(y,v)(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (v,u)

Paso 1.4

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[u] > d[v] + w( v , u ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


18/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v) (x,y)(y,v)(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (x,v)Paso 1.5

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[v] > d[x] + w( x , v ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


19/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v)(x,y) (y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (x,y)Paso 1.6

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[y] > d[x] + w( x , y ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


20/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (y,v)Paso 1.7

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[v] > d[y] + w( y , v ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


21/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z) (z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[z] > d[y] + w( y , z ) ?

Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


22/62

0

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u) (z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (z,u)Paso 1.9

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[u] > d[z] + w( z , u ) ?

Respuesta: SI

Proceso: d[u] = d[z] + w( z, u ) y [u] = z

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { }


23/62

0

6

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u) (z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[u] = d[z] + w( z, u ) y [u] = z

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { z }


24/62

0

6

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (z,x)Paso 1.10

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[x] > d[z] + w( z , x ) ?

Respuesta: SI

Proceso: d[x] = d[z] + w( z, x ) y [x] = z

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { z }


25/62

0

7

6

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[x] = d[z] + w( z, x ) y [x] = z

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 7 0 }

[ ] = { z z }


26/62

0

7

6

z

u v

x y

(u,v) (u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,v)Paso 2.1

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[v] = d[u] + w( u, v ) y [v] = u

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 0 }

[ ] = { z z }


27/62

0

7

6 11

z

u v

x y

(u,v) (u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[v] = d[u] + w( u, v ) y [v] = u

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { 7 0 }

[ ] = { z u z }


28/62

0

7

6 11

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,x)Paso 2.2

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z u z }


29/62

0

7

6 11

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)

(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,y)Paso 2.3

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Pregunta: d[y] > d[u] + w( u , y ) ?

Respuesta: SI

Proceso: d[y] = d[u] + w( u, y ) y [y] = u

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z u z }


30/62

0

7

6 11

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z u z u }


31/62

0

7

6 11

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u) (x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (v,u)Paso 2.4

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z u z u }


32/62

0

7

6 11

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v) (x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso:d[y] = d[x] + w( x, v ) y [y] = x

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z u z u }


33/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v) (x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[y] = d[x] + w( x, v ) y [y] = x

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }


34/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v)(x,y) (y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (x,y)Paso 2.6

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }


35/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }


36/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z) (z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (y,z)Paso 2.8

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

Li d A


37/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u) (z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

Li t d A


38/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

Li t d A5


39/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v) (u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

Li t d A5


40/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u,x)Paso 3.2

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

Li t d A5


41/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

u v Lista de Arcos5


42/62

0

7

6 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u) (x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (v, u)Paso 3.4

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[u] = d[v] + w( v, u ) y [u] = v

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { z x z u }

u v Lista de Arcos5


43/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u) (x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI

Proceso: d[u] = d[v] + w( v, u ) y [u] = v

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


44/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)

(u,y)(v,u)(x,v) (x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (x, v)Paso 3.5

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


45/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)(u,y)(v,u)(x,v)(x,y) (y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (x, y)Paso 3.6

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


46/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)(u,y)(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (y, v)Paso 3.7

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


47/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y


(y,z) (z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (y, z)Paso 3.8

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


48/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y


(y,z)(z,u) (z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (z, u)Paso 3.9

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


49/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y


(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (z, x)Paso 3.10

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


50/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v) (u,x)(u,y)(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u, v)Paso 4.1

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


51/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x) (u,y)(v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u, x)Paso 4.2

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


52/62

0

7

2 4

2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)(u,y) (v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u, y)Paso 4.3

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


53/62

0

7

2 4

-2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)(u,y) (v,u)(x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos

Aplicar Relax al Arco (u, y)Paso 4.3

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: SI


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


54/62

0

7

2 4

-2

z

u v

x y

(u,v)(u,x)(u,y)(v,u) (x,v)(x,y)(y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

Lista de Arcos


6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }


55/62

u v Lista de Arcos5


56/62

0

7

2 4

-2

z

u

x y

(u,v)(u,x)(u,y)(v,u)(x,v)(x,y) (y,v)

(y,z)(z,u)(z,x)

sta de cos

Aplicar Relax al Arco (x, y)Paso 4.6

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


57/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z)(z,u)(z,x)

Aplicar Relax al Arco (y, v)Paso 4.7

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


58/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z) (z,u)(z,x)

Aplicar Relax al Arco (y, z)Paso 4.8

6

5

-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


59/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z)(z,u) (z,x)

Aplicar Relax al Arco (z, u)Paso 4.9

6-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


60/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z)(z,u)(z,x)

Aplicar Relax al Arco (z, x)Paso 4.10

6-2

7 2

9

-3

8

-4

7


Respuesta: NO


V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos5


61/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z)(z,u)(z,x)

Paso 5.0

6-2

7 2

9

-3

8

-4

7

Verificar en cada arco que secumple la condicin:

d[Vf] NO EXISTE SOLUCIN.

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

u v Lista de Arcos


62/62

0

7

2 4

-2

z

x y


(y,z)(z,u)(z,x)

SOLUCIN

-2

7

-3

-4

V [ ] = { u v x y z }

d [ ] = { }

[ ] = { v x z u }

bellman ford exp final

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