beitrag zum typenproblem der riemannschen flächen

Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Fl ichen*) Von L~.-VAx, THIEM, Zfirich

w 1. Einleitung 1. J e de einfach zusammenhi~ngende, offene R i e m a n n s c h e Fl~che l~gt

sich bekannt l ich eindeutig und konform auf einen Kreis ] z I < R ~ oo abbilden. J e nachdem R < o o oder R -~oo ist, heiBt sie vom hyperbolischen oder vom parabolischen Typus . Im AnschluB an die N e v a n l i n n a -

sche Wertver te i lungslehre ha t man speziell diejenigen Fl~chen Wq be- handel t , welche ~berlagerungsfl~chen der R i e m a n n s c h e n Kugel sind und deren Windungspunkte nur fiber endlich vielen Grundpunk ten liegen 1).

2. Die topologische S t ruk tu r dieser Fl~ehen kann folgendermaBen erkl~rt werden :

Man ziehe durch die Grundpunk te a l , a 2 . . . . . aq eine geschlossene Jo r da n - Kur ve L , welche die R i e m a n n s c h e Kugel in zwei einfach zusammenh~ngende Gebiete G1 und G 2 zerlegt. Denk t man sich die Fl~ehe l~ngs L aufgesehnit ten, so zerf~llt sie in endlich oder unendlich viele, un tere inander kongruente Exempla re G1 bzw. G2. Die Ran d p u n k t e dieser Halbbl/~tter oder Polygone a 1 . . . . . aq mCigen Ecken, die Bogen ( a l a 2 ) , . . . , ( a ~ a l ) Seiten heil3en.

Die E c k p u n k t e a 1 . . . . . aq eines gegebenen Polygons G v (v = 1 , 2 ) sind yon dreierlei A r t : 1. Windungspunkte unendlicher Ordnung, an welche unendl ich viele BlOtter G~ ~ -G 2 grenzen, 2. Windungspunkte ( m - 1)-ter Ordnung, wo eine endliche Anzahl m > l yon Bl~t tern G1-}-G2 zyklisch vereinigt sind, 3. uneigentl iche Eckpunkte , wo die Fl~ehe schlicht verl~uft.

U m die Fl~ehe W darzustellen, denkt m an sich eine Anzahl yon Kurvenpo lygonen G~ (v = 1 , 2 ; /~ = 1 , 2 , 3 . . . ) , die mi t G v topologisch

*) FOr des Zustandekommen der vorliegenden Abhandlung bin ich in erster Linie den Herren Prof. R.Nevanlinna und Dr. H. Wittich fiir die liebenswiirdige Unterstiitzung, die sio mir wfi~hrend der Ausarbeitung zuteilkommen liellen, zu tiefstem Dank verpflichtet.

Meine Arbeit bei Herrn Prof. R.Nevanlinna wurde durch die Jubil~umssti]tung der Uni- versitd$ Zi~rich ermSglicht, der mein weiterer Dank gilt.

1) Am Ende dot Arbeit finder sich ein ausfiihrliches Literaturverzeichnis.

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~quivalent sind und die auf ein schlichtes Gebiet, etwa die endliche z-Ebene, nebeneinander so gelagert werden, dal~ ale dieses Gebiet schlicht und lfickenlos ausffillen und dab zwei Polygone G~2, G~2 dann und nur dann l~ngs einer Seite (aia~+l) zusammenh~ngen, wenn dm zugeordneten Polygone G1, G~ die entsprechende ,,Bildseite" gemeinsam haben.

Das entstehende Polygonnetz nennt man den Graphen der Fl~ehe Wq. Die inneren Eekpunkte des Graphen sind entweder uneigentliehe Eck- punkte, an welche 2 Polygone, oder eigentliche Eckpunkte (m -- 1)-ter Ordnung, an welche m Polygone G 1 und m Polygone G~ grenzen. Die Eck- punkte unendlicher Ordnung sind Randpunkte des Graphen. Dieser Graph soll die Fl~che Wq darstellen.

3. Nehmen wir nun in jedem Polygon G einen inneren Punkt, und verbinden wir diesen Knotenpunkt durch insgesamt q punktfremde Strecken $1~, S2a . . . . , Sq~ mit den Knotenpunkten der unmittelbar angrenzenden Polygone G, so dal~ Sv,~+ 1 fiber die Seite (av,ar+l) zu dem Knotenpunkt des an diese Seite grenzenden ,,Nachbarpolygons" ffihrt, so entsteht ein System yon punktfremden Streeken, das man den Streckenkomplex 2) yon Wq nennt.

Durch den Streckenkomplex zerf~llt die Ebene in Teilgebiete, sog. ,,Elementargebiete" der Riemannsehen Fl~che. Sie sind den Windungs- punkten (eigentlichen oder uneigentlichen) der Fl~che eineindeutig zugeordnet: Einem Windungspunkt (m -- 1)-ter Ordnung (1 ~ m ~.~oo) entsprieht ein Elementargebiet mit 2m Ecken und Seiten.

4. Diejenigen Fl~chen Wq, die nur fiber den gegebenen Stellen verzweigt sind, unterscheiden sich bei festgehaltener Zerschneidungskurve L allein durch die Verheftungsvorschrift der ,,Halbbl~tter" G. Die letztere ist dureh den Komplex festgestellt. Folglich ist eine Fl~che Wq dureh a 1 . . . . . aq, L und ihren Streckenkomplex eindeutig bestimmt.

Die Eigenschaften der Fl~che h~ngen im allgemeinen yon der Lage der Punkte a~, a~ . . . . . aq ab. Man beweist aber: Zwei Fl~chen Wq mit gleichen Streckenkomplexen sind vom gleichen Typus 5). Es folgt erstens daraus, dab der Typus durch den Komplex eindeutig bestimmt ist, zwei- tens, dal3 es bei der Typenbestimmung geniigt, eine besondere Lage der Grundpunkte zu betrachten (vgl. FuBnote 12).

5 Es sollen nun einige ,,Knotenfunktionen" definiert werden, die mit dem Komplex verbunden sind und die yon Wichtigkeit ffir die Typen- frage sind.

2) A. Speiser (1), R. Nevanlinna (2), G. El]ring (1). 3) O. Teichm~ller (1).

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Man nehme ein beliebiges G oder Polygone des Graphen G, fiige jeder Seite yon G odas unmittelbar angrenzende Polygon G z (erste Generation) an, dann s~mtlichen freien Seiten der Polygone G 1 wieder die unmittel- baren Naehbarpolygone G 2 (zweite Generation) usw. Wit wiederholen diese kranzf(~rmige Erweiterung n-real und bezeichnen mit G~ den aus den Generationen G ~ G 1 . . . . . G ~ bestehenden Teil des Graphen und mit S~ den betreffenden Teil des Komplexes.

Nun hat S~ einen ,,Rand", weleher yon allen denjenigen Knoten- punkten yon S~ gebildet wird, die yon dem unendlich fernen Punkte durch keine Streckenztige yon S~ getrennt werden. Die Anzahl dieser , ,Randknoten" yon S . sei a(n). Weiter bezeichnen wir mit #(n) die Anzahl der Knotenpunkte der n-ten Generation. Es gilt offenbar :

~(n) ~< ~(n) ~ 1 + ~ ( 1 ) + ~ ( 2 ) + . . . + ~(n) .

Es stellt sich die Frage, inwiefern der Typus der hier betrachteten Fl~ehen Wq vom Verhalten der Funktionen a(n) und /~(n) abh~ngt. I. A. begiinstigt eine schwache ,,Verzweigtheit" der Fl~che, d. h. ein lang- sames Anwachsen jener Funktionen, den parabolisehen Fall.

6. Das bis jetzt sch~rfste Ergebnis in dieser Richtung ist das Nevanl inna-Wit t i eh ' sche Kriterium 4) :

Wenn die Reihe ~ 1

X a(n)

divergiert, dann geh6rt die Fldvhe zum parabolischen Typus .

Das Beispiel der Fl~che : w -~ e ez zeigt, dai3 die Divergenz dieser Reihe keine notwendige Bedingung fiir den parabolischen Fall ist (Fig. 1).

7. Entsprechende allgemeine, hinreichende Kriterien fiir den hyperbolischen Typus besitzt man noeh nieht. Daftir sind verschiedene, ftir spezielle F~lle giiltige Kriterien bekannt 5).

Naeh neueren Ergebnissen h~ngt der Flachentypus, aul3er yon der Ver- zweigungsst~rke, noch yon anderen Eigensehaften des Komplexes, wie yon ihrer Symmetrie bzw. Asymmetrie abe).

8. Wir besehr~nken uns hier auf eine Klasse wq yon Fl~ehen Wq, und werden daftir hinreiehende Bedingungen zum hyperbolischen Typus auf- stellen. Ftir die Definition yon Wq sind folgende Bezeiehnungen zweek- m~13ig :

4) H. Wittlch (2), R.Nevanllnna (5). 5) Kabutani (1), Tei~hm~ller (2), Kobayaschi (3), Speieer (3), C. Blanv (2). 6) Myberg (2), C. Blanc (4).

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Jeder Knotenpunkt des Komplexes hat zwei oder ~ :> 2 ,,Naehbarn". Wir sagen, er sei im ersten Falle unverzweigt, im zweiten Falle ~-fach verzweigt.

Eine unendliche Folge yon benaehbarten, unverzweigten Knoten- punkten nennen wir mit Speiser 7) ein logarithmisches Ende der Fl~che.

Die universelle ~berlagerungsfl~che s) w ~ der q-faeh punktierten Ebene, d. h. diejenige Fl~che, die fiber den q Grundpunkten lauter Windungspunkte unendlicher Ordnung besitzt, ist die am st~rksten verzweigte aller Fl~chen Wq. Die Knotenpunkte ihres Komplexes sind alle q-fach verzweigt, an jeden grenzen q Elementargebiete mlt unendlich vielen Ecken und Seiten an. Im Fall q ~ 3 haben wit die yon der ellipti- schen Modulfunktion erzeugte Fl~che (Modulfl~che : Fig. 2).

9. Definition der Fl~chenklasse wq: Es handelt sieh um Fl~chen mit naehstehenden Eigenschaften :

a) Die Flache besitzt nur Windungspunkte nullter oder unendlicher Ordnung.

b) Logarithmische Enden sind nicht vorhandem c) Die Knoten sind alle entweder unverzweigt oder q-fach verzweigt.

Der Komplex einer solehen Fl~che wq ist, abgesehen yon den unverzweigten Knotepunkten, mit dem Komplex der universellen ~berlagerungsfl~che wq topologiseh ~quivalent (Fig. 3).

Diese letztere ist bekanntlich auf den Einheitskreis konform abbildbar, und zwar so, dab die ,,Normalpolygone" G n von q sich einander berfihren- den Orthogonalkreisbogen berandet werden. Die q ( q - 1) k-1 Polygone G k der k-ten Generation wollen wir noch mit i ~ 1 ,2 . . . . . q(q -- 1) k-1 numerieren.

Mit ski bezeichnen wir den Fl~cheninhalt des Polygons (ki), d. h. des /-ten Polygons der k-ten Generation (Fig. 4).

Einem Polygon (ki) entspricht ein Knotenpunkt des Komplexes w ~ und damit ein verzweigter Knotenpunkt des Komplexes wq, den wir wieder mit (ki) bezeichnen. Mit diesem Knotenpunkt (ki) yon wq ist ein und nur ein Knotenpunkt (k -- 1, i ~) verbunden, und zwar durch einen Streekenzug, der aus einer endlichen Anzahl yon abweehselnd einfachen und (q -- 1)-faehen Streeken besteht. Sei lkl diese Streckenanzahl. Wir sagen, der zugeh(}rige Streckenzug hat die ,,L~nge" l~. Die Zahlenfolge lki bestimmt den Komplex eindeutig.

Wir setzen noch : I k : Max �9 Iki, Lk -~ Max �9 I h . ~:=1,2... h ~ k

7) Speiser (1). s) R. Nevanlinna (4).

18 Commentarii Mathematici Helvetici 273

10. Fiir diese Fl~chenklasse wq ha t Kobayaschi 9) den folgenden Satz bewiesen :

Satz . Konvergiert die Reihe kL~

X t=x ( q - 1) k

so ist die Fl~che w~ vom hyperbolischen Typus.

11. In der vorliegenden Arbeit sollen folgende drei S~tze bewiesen werden :

Satz A. Konvergiert die Reihe :

~ ,~, l~isk~ ( k = l , 2 . . . . c~; i = 1 , 2 . . . . ,3.2k-1) , k i

so ist die Fl~che w~ vom hyperbolischen Typus.

Satz B. Konvergiert die Reihe

X k ( q - 1) k '

80 ist die Flg~che wq vom hyperbolischen Typus.

Satz C. Sei l~ yon i unabh~ngig und in k monoton wachsend. Die Fldche wq ist dann und nut dann vom hyperbolischen Typus, wenn die Reihe

1

konvergiert. ~ a (n)

Der zweite Teil des Satzes C ist in dem Nevanlinna-Witt ichschen Krite- r ium enthal ten.

12. Offenbar ist der Satz B eine Versch~rfung des Satzes yon Kobaya- schi. Er enth~lt aber nicht den Satz A, denn man kann eine Folge yon ski

1 mit wachsendem k angeben, die schneller als ~ gegen null stre-

ben1~ Gibt man dann den zugeh~rigen Streckenziigen die ,,L~nge" (q -- 1) k fiir gerades q und (q -- 1) k + 1 fiir ungerades q und den iibri- gen Streckenziigen die ,,L~nge" 1, so konvergiert die Reihe 2: 2: lk~sk~, w~hrend die Reihe i k

l~ ( q - 1) k .Z >~.Z

t ( q - - 1) k k ( q - - l ) ~ divergiert.

*) Kobayazchi (3). lo) Man nehme z. B. in jeder Generation das Polygon (]r i) kleinsten Fl~cheninhalts.

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Andererseits ist der Satz B auch nicht eine Folge yon A, denn falls lk~ unabh/~ngig yon i i s t , lk~ ----- l~, so wird

X X l k ~ s k i = . ~ l k x s k ~ > X l~

i J J l f Fig. 1.

Die Fl/~che w = e ez

\ _

Fig. 2. 0 Die Modulfl/~che wq (q = 3)

xop _: J

\

/ I }

. /~\ .

f f %'\~

Fig. 3. Fig. 4.

Fl~che w~ mit q - 3 Einteflung des Einheitskreises (lk~ ----- 3) in Normalpolygone (ki)

w 2. Hilfssiitze fiber schliehte und quasikonforme Abbfldungen

13. Bei der Untersuchung des Typenproblems ist es manchmal vor- teilhaft, neben konfvrmen Abbildungen noch allgemeinere, schlichte Ab- bildungen heranzuziehen 11).

Wir betrachten im folgenden ausschlieBlich jene Klasse yon Abbfl- dungen, die eindeutig, stetig und bis auf isolierte Punkte oder Linien stetig differenzierbar shad. Wir nennen der Kiirze hatber eine solche Ab- bildung ,,di~erenzierbar".

11) Fiir diesen Paragraph vgl. Lawrentie~ (1), Gr~tsch (1), Teichm~dler (1).

275

14. Ein Gebiet der z-Ebene sei sehlieht und differenzierbar auf der w-Ebene abgebildet, vemOge u ~ u ( x , y ) , v ~-- v ( x , y ) , mit z -~ x - ~ i y ,

w = u + i v und [ u~v~- - u~v~[>O. Die Ausdrticke bzw.

] u ~ v , - u~v, ] stellen das Verh~ltnis der Linienelemente bzw. der Fl~chenelemente dar. Wir setzen ferner

Es gilt dann

Denn es ist

d w 2 _ - ~ -

Kw/ z = 2 2 2 2 % + % + uy + %

[ ~ x V y - - U y V x [

d w 2 ~ - ~ K w / z l u c y , - - u~v, I �9 (1)

(u~ -~ v~) dx ~ ~- 2 (u~ u, + v, v 0 dx dy + (u~ + v~) dy 2

dx ~ ~ dy ~

und der Beweis jener Ungleiehheit ftihrt auf das Problem der Bestim- mung der Hauptachsen einer Ellipse zurfick.

Es ist ferner Kw/z ~ 2 , (2)

mit Gleichheitszeichen nur fiir konforme Abbildungen. Wenn Kw/z gleichm~Big beschri~nkt ist, so sagt man, die Abbildung sei

,,quasikon/orm ". Fiir umgekehrte Abbildungen hat man

Kz/w ~- Kw/z ; (3)

ist insbesondere die Abbildung quasikonform, so ist die inverse Abbil- dung aueh quasikonform.

SchlieBlieh gilt fiir zusammengesetzte Abbildungen

Kw/~ ~ Kw/~'Kz/r �9 (4)

Der Beweis folgt aus der Schwarzschen Ungleichung.

15. Satz 1. Is t die punktierte Ebene z r au/ den Einheitskreis I w I ~ 1 di~erenzierbar und schlicht abgebildet, so divergiert das Integral

Kw/z(w) df~ , I w l < I

wobei d/~ das Fldchenelement der w-Ebene bedeutet.

276

Beweis. Wit kOnnen annehmen, dab die Nul lpunkte sich entsprechen. D ann ist das Bfld des Kreises z = r ~< r 0 eine einfaehe, geschlossene K u r v e des w-Gebietes, die den P u n k t w = 0 umgibt und deren kiirzester Abs tand vom Nul lpunkt ~o > 0 sein mOge. Ihre L/~nge ist also gr0Ber als

2~r

0

Naeh der Sehwarzsehen Ungleiehung ist

r d q .

0 0 0

Division durch 2~ r und In tegra t ion nach dr yon r o bis r ergeben

2 ~r t)o ~ (log r - - log to) ~< dz df~ , r o < l z t < r

wobei d/~ ----- rdrdq~ das F1/~chenelement der z-Ebene ist. Nach (1) haben wir schlieBlich

2 u ~ : ( l o g r - - l o g r 0 ) ~ < f Kw/~]uxv,--u,v~[df~< y K~,lz(w)df ~. ro<lZl<r qo< W < l

Lassen wir r ins Unendliehe wachsen, so ergibt sich die Behauptungl~).

16. Satz 2. Ist die punktierte Ebene z :/:co au/ den Halbstrei/en

~ o , o ~ 2 ~

derart abgebildet, daft zwei Randpunkte des ~-Gebietes (~ = ~ + i~t) mit gleichen ~ demselben z entspreehen, so divergiert das Integral

/~tr ]edes ~o < 0.

S

x2) Dieser Satz is t eine E rwe i t e rung eines von Teichmi~ller (2) bewiesenen Satzes. Der Beweis s t i i tz t sich a u f L/~ngen- bzw. F1/~chbnabsch/~tzungon, die zuers t y o n W. Grofl, R. Courant, sparer yon Gr~tzsch (1), L. Ahlfors (1) u. a. in den F r a g e n der k o n f o r m e n Ab- b i ldungen a n g e w a n d t wordon sind.

Aus d iesem Satz~ folgt die I n v a r i a n z des T y p u s bei q u a s i k o n f o r m e n Abb i ldungen u n d d a m i t die B e h a u p t u n g e n aus l~r. 4 (vgl. Teichmfil ler (2 ) ) .

277

Beweis. Bilden wir das ~-Gebiet verm6ge w = e ~ auf den Kreis I w [ < 1 ab, so muB naeh Satz 1 das Integral

/ Kw/z(w) df~= / Kw/.(w ) ~ d f g e-~O<lw[<l ~o<~<0

divergieren. Es ist nun

und naeh (2), (4) Kw/z ~ Kw/~ �9 K~/z--- 2Kr , woraus unsere Be- hauptung folgt.

16. Es ist klar, dab bei den S/r 1 und 2 die endliche z-Ebene durch eine Riemannsche F1/Cche vom parabolisehen Typus ersetzt werden k~nnte.

Unsere Aufgabe besteht dann im folgenden darin, Bedingungen auf- zustellen, damit eine Abbildung der hier betrachteten Art existiert, welche die Fl~ehe w~ auf den Einheitskreis abbildet und fiir welche das Integral ~ K(w)d]~ konvergiert.

twl<X Um eine solehe Abbildung zu gewinnen, maehen wir yon der sogenann-

ten ,,Faltungsfl/Cehe" der Riemannsehen F1/iehe wesentlieh GebrauehX3).

18. Quasikon/orme Abbildung der Fl~che wq au/ ihre ,,Faltungsfldche".

Diese Abbildung kann man naeh R. Nevanlinna 13) folgendermaBen herstellen :

Sei die F1/Cche wq fiber der Riemannschen Kugel ausgebreitet. Wir kSnnen nach Nr. 4 annehmen, dab die Grundpunkte a 1 . . . . . aq in den Ecken eines regul/Cren Polygons des J~quatorialkreises liegen. Man grenze um jeden Windungspunkt a v der F1/~che eine Umgebung Qv ab, welehe aus allen F1/~ehenpunkten besteht, deren auf der F1/iehe gemessener sph/C- rischer Abstand yon a~ kiirzer als die Abst/Cnde yon den fibrigen Win- dungspunkten ist. Qv wird yon einer Anzahl yon GroBkreisbogen B berandet, deren Punkte yon mindestens zwei Windungspunkten a~, a~ die gleiehe Entfernung haben. Das derart entstehende sogenannte Kobayachi- Netz ist mit dem Streckenkomplex, abgesehen yon den mehrfaehen Streeken, topologiseh/equivalent.

18} Kobayaschi (1), (2); Kaleutani (1); R. Nevanlinna (4).

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Unter der obigen Annahme liegen s~mtliehe Eeken des Netzes fiber dem Nord- bzw. Sfidpole der Kugel.

Sei Pw ein yon diesen Eeken versehiedener Punkt yon B, der Mso zu 2 Polygonen Qv, Q~ gehSrt. Bewegt sieh Pw auf B, so drehen sieh die Grol~kreisbogen (a,P~), (a~P~) um gleiche Winkel und auf einem Bogenelement J dw I ist die Zunahme jenes Winkels

dr(Pw) = d arg l + ~ w w - - a '

wobei fi~ a entweder a~ oder a~ zu setzen ist. Ist P0 derjenige Punkt yon B, der dem hTullknotenpunkt des Kom-

plexes entsprieht und Pw ein beweglieher Punkt auf B, so haben wir in

~(Pw)= S av(P~) ~/ o , Po Pw

wobei P~ auf B yon P0 bis Pw li~uft, eine eindeutige stetige Funktion des Netzpunktes Pw. Diese Funktion kann man in jeden inneren Punkt der Fl~ehe folgendermaBen fortsetzen : GehOrt Pw zu einem Polygon Qv, so verli~ngert man den GroBkreisbogen (avPw) bis zum Punkt P~ des Randes yon Qv und setzt ~(Pw) = v(P~).

Definieren wir noeh durch

a(Pw) = log ] l w _ a + - d w

eine weitere Funktion yon Pw, und fiihren wir die komplexe Ver~nder- liehe t = ~ + i v e i n , so erhalten wir als konformes Abbild der F1/~che wq eine fiber der oberen Halbebene ~ ~ /0 gelagerte, vielbli~ttrige Fl~che q~t, die mit Faltungen versehen ist, welche yon zweierlei Art sind :

a) Faltungen, die den Grol~kreisbogen entsprechen, welche die Win- dungspunkte a v mit den Ecken des zugeh~rigen Polygons Qv verbinden. Sie sind parallel zur a-Achse und den verzweigten Knotenpunkten (ki) des Komplexes w~ eindeutig zugeordnet. Der Abstand einer solchen Fal- tung yon der a-Achse ist gleich n~r, oder, nach einer •hnlichkeitstrans- formation gleich n, wenn der entsprechende Knotenpunkt zur n-ten Generation geh~rt.

b) Faltungen, die den Netzbogen B entspreehen. Sie sind den Strecken- zfigen (ki) (Verbindungslinien yon 2 verzweigten Knotenpunkten) eindeutig zugeordnet. Die Spur einer solchen Faltlinie auf der t-Ebene ist

279

eine Kurve a ----- 1(~), k 1 ~ v ~ k~, wobei k~ -- ]c 1 ~- l~i die L~nge des entsprechenden Streckenzuges bedeutet.

Die Funktion /(v) ist beschr~nkt und verschwindet fi~ ganzzahlige v, insbesondere ffir v ~ k~ oder k~. Sie hat auch eine beschr~nkte Ablei- tung f(~), denn der Winkel, den die Faltlinie mit einer Geraden v -~ konstant bestimmt, ist gleich jenem durch den entspreehenden Netz- bogen und einem Grol]kreisbogen (a~ P~) gebildeten Winkel und ist damit yon 0 und ~ verschieden.

An eine solche Faltlinie grenzen zwei fibereinanderliegende Gebiete a ~ f(v), k 1 ~ T ~ lc~, der Faltungsfl~che. Jene Gebiete k0nnen wir auf den Halbstreifen al ~ 0, ~1 ~ "t'l ~ k2, quasikonform abbilden, vermoge al = a -- / (~) , ~ ----- v. In der Tat ist K beschr~nkt

K ~ , / t --- 2 .-{-- l I2 ( '~) .

Nachdem wir alle solehe Gebiete in Streifen transformiert haben, erhalten wir eine neue Fl~ehe, die nun mit wagreehten (parallel zur a-Achse) und senkreehten Faltungen versehen ist, und die wir ,,Faltungsfl~che" F~ der Riemannschen Fl~che nennen. Sie besteht aus Halbstreifen, die paar- weise an eine senkrechte Faltlinie grenzen. Jedes solche Streifenpaar ist einem Streekenzug (/ci) des Komplexes zugeordnet und hat die Breite l~. Wit bezeiehnen es aueh mit (]ci).

Insbesondere haben alle Streifen der Faltungsfl~che Fro der universellen ~berlagerungsfl~che w ~ die Breite 1.

w 3. Beweis des Satzes A 14)

19. Es sei wq eine Riemannsche Fl~ehe unserer Klasse. Wir bilden die zugehorige Faltungsfl~ehe F~ auf die Faltungsfl~che F~0 der universellen l~berlagerungsfl~ehe w ~ ab, indem wit jeden Streifen der Breite Ik~ in F~ auf die Breite 1 reduzieren, vermOge der Transformation

1 ao----a, ~ o = ~ . I)abei is t

1 K~o/~ --- l~ -}- ~ ~ 21ki . (5)

Bei der quasikonformen Abbildung yon F~o auf w ~ , dann yon w ~ auf den Einheitskreis I w I < 1, gehen die Streifen (ki) in Orthogonalkreisbogen-

bezeichnen wollen i fiber, deren Inhalte wir ebenfalls mit sk~ polygone ski (Fig. 5).

14) Fi i r die Beweismethode vgl. Teichmi~Uer (2), Speiser (3).

280

Es resultiert eine Abbildung yon w~ auf dem Kreis I w I< 1 mit

f K (w) ~ Mlk~ for w in ski ,

wobei M eine endliche Konstante bedeutet. W~re w~ vom parabolischen Typus, so mtiI3te nach Satz 1 w 2

Integral K (w) d/w ~ M ~ ~ lk~ ski

k i Iwl<l

divergieren. Es folgt nun aus elementaren Absch~tzungen

! Ski ~ m s k t ,

wobei m eine Konstante bedeutet. Hieraus ergibt sich der

Satz A. Konvergiert die Reihe

X X lk~sk~ , k t

so geh6rt die Fl~he wq zum hyperbolischen Typus.

Die Gr0Ben lkt und sk~ haben die in Nr. 9 erkl~rten Bedeutungen.

Fig. 5.

Die Polygone ski und (punktierter Rand)

(6)

das

w 4. Beweis des Satzes B ~5)

20. Im folgenden setzen wir der Bequemlichkeit halber q ~ 3. Die nachstehenden Ausftihrungen lassen sich ohne weiteres auf den Fall q > 3 iibertragen.

Um den Hauptgedanken der Beweisfiihrung besser hervortreten zu lassen, wollen wir zuerst einige einfache Transformationen zusammen- stelten.

15) F i i r die B e w e i s m e t h o d e vg l . Kakutani (1), Kobayaschi (3).

281

Trans/ormation I. Abbildung des Dreieckes mit den kartesischen Eckpunktskoord ina ten (0, 0), (b, 0), (0, b) der t -Ebene (t : a -F i v) auf das Dreieck (0, 0), (1, �89 (1 ,0) der w-Ebene (w : u -F iv) ver-

(7 2g- T O" mOge u---- b , v ~ - - - 2 ~ . D a b e i i s t

9 Kt/w ~ ~- . (7)

Trans/ormation II . Abbildung des Viereckes (Trapezoids) (c, 0), (O,c), ( O , c ~ - d ) , ( c + d , O ) auf das Viereck (0 ,1) , (0 ,0) , (1,O),

o§ (1, �89 verm6ge u - - d , v - - c - t -du 1 - - . Hier ist

Kt/w ~ 9 ( c -~ du d ) d + (8)

Bei diesen Transformat ionen ist die Randzuordnung linear.

21. Wir kommen zum Beweis des Satzes B . F ~ q ----- 3 s t immt die universelle ~berlagerungsfl~che Wq ~ mit der Modulfl~che iiberein. Seien F~o und F t die Faltungsfl~chen der Fl~ehe w~ bzw. der Fl~ehe wq.

Wie beim Beweis des Satzes A bilden wir zun~chst F~ auf/Vt0 (quasikonform) ab (Nr. 19). Auf den Streifen (ki) der k-ter Generation yon Fro gilt wegen (5)

Kt/to ~ 2.1k~ ~ 2.1k , (9)

wo l~t und l~ wie in Nr. 9 definiert shad. Die Menge aller Punk te T O -4- ~o ~- ]c (k ~ 1) der fiber der t0-Ebene

gelagerten Faltungsfl~ehe Fro bildet eine aus geradlinigen Streeken zusammengesetzte, gesehlossene K u r v e Ck (Fig. 6). Sei D~ das zwisehen C k und Ck+l liegende , ,Ringgebiet". D k wird dureh die Fa l tungen in Teil- gebiete zerlegt, auf welche wir nun die Transformationen I bzw. I I aus- fiben. Diese Teilgebiete sind :

1) 3 .2 k Dreieeken, welche dem in der Transformation I bet rachte ten 9

Dreieck kongruent sind, wenn wir b----- 1 setzen. Naeh (7) ist Kto/W ~ ~-2 .

2) 3 .2 k Vierecke (Trapezoide) v o n d e r in der Transformation I I ge- sehilderten Art mit d = 1, 1 ~ c ~ It. F fir 3 .2 k-~ yon diesen Vier- eeken (m ----- 1, 2 . . . . . k) ist der zugeh(irige Wer t yon c gleich m, so da~ ffir sic gilt naeh (8), da Uo ~ 1, d = 1 ist,

Kto! Wo ~ 27.m . (10)

282

Naehdem wir die Dreiecke und Vierecke auf diese Weise deformiert haben, verheften wi~ sie nach der Art und Weise wie sie auf D~ nebenein- anderliegen zu einem Reehteck S~ der wo-Ebene zusammen le). S~ hat die Breite 1 und die H(~he 3.2 k. Auf S~ fiben wit die (konforme) Transfor-

7~ marion w = ~ wo aus, die zu einem Rechteck S~ der w-Ebene mit

der B r e i t e 3 ~ und der Htihe g ftihrt. Schliefllieh werden alle

S ~ ( k : 1, 2 . . . . . r zu einem Reehteek S wder w-Ebene le) verheftet, 1

dessen Breite endlich und gleich ~ 3-U2k ist.

Es folgt eine Abbildung der Fl~che wq auf den in Satz 2 w 2 Nr. 16 betrachteten Streifen, mit

K (w) < M. Kt/to �9 Kto / w0 , (11)

wobei Kt/to und KtoTw ~ den Ungleichungen (9) bzw. (10) geniigen. W~re nun die Fl~che vom parabolischen Typus, so mtiBte nach Satz 2

Nr. 16 "das Integral SK(w)dfw divergieren. Es gilt aber Sw

g (w) df~ ---- ~, ~ K (w) dfw sw k=l sk (12)

M . Z ~ Kt/to'Kto/wodf~ ~ M Z Lk+l,~ Kto/wodf,~ , Sk k ~ l Sk

denn das ,,l~inggebiet" D~ yon Fro enth~lt nur Punkte der Streifen der k -}- 1 ersten Generationen, so daB, nach (9), auf Dk gilt

Ferner ist

Kt/to< 2Max �9 1 h ---- 2Lk+l . h ~ k + l

7~ 2

Die Dreieeke und Trapezoide yon S ~ haben je einen Fl~eheninhalt kleiner als 1, so dab

Kto/wo df~ = ~ Kto/Wo dfwo < M~ ~ Kto/wo , o o

Sk S k Sk

x6) Die hier ausget ibten Verhef tungen gelingen olme weiteres, well die Randzuordnung bei den Transformat ionen I , I I l inear war (Nr. 20).

283

wobei die Summe fiber alle Dreieeke und Trapezoide yon S~ zu erstrecken ist. Gem/~l] (10) gilt weiter

k

~ Kto/w o <~ 27. ~ 3 .2 k-m.m ~< M22 k

und schlieBlich gem~13 (12)

f K (w)d f~ < M 3 ~ Lk+l _ 2 M 3 L~ kffil 2k k=2 ~ 2k

8w

Nun ist aber

L~ 11 + l~ A-" " " + lk 1 1 ) + . . . . 2 }E

und damit haben wir den o o I

Satz B. Konvergiert die Reihe ~. -~ , so geh6rt die Fldche w q /~r q ----- 3 zum h yperbolischen T ypus. k= ~

Die Gr(~Be lk hat die in Nr. 9 erkl/~rte Bedeutung. Fiir q > 3 ist diese

Reihe dureh ~ l~ zu ersetzen. ( q -

Spur

Fig. 6.

auf der t0-Ebene yon Ck, Ck+l und D k

w 5. Beweis des Satzes C 22. Es ist zu erwarten, dab gleichzeitig notwendige und hirrreichende

Kriterien ffir einen bestimmten Fl~chentypus aufgestellt werden kOnnten, wenn wit den Streckenkomplex hinreichend einschr/inkenden Symmetrie- bedingungen unterwerfen wfirden. Dies wird dutch den Satz C besti~tigt.

Wit setzen also voraus, der Komplex der Fl~che sei ,,symmetrisch", d. h. lkt sei unabh~ngig yon i, lk~ ~- lk. Es sei ferner

nk ----- 11 + 12 + . ' . - { - lk �9

284

Hier sind die Knoten einer bestimmten Generation eutweder alle unverzweigt oder alle verzweigt. ,,Verzweigt" sind die n~-ten Generationen.

23. Wir beweisen zun~chst das folgende

Lemma. Ist die Fl~che wq mit q = 3 im obigen Sinne symmetrisch und konvergieren die Reihen

1 n~ ~ loglk

~=1 2 k lk k=l 2 k

so geh6rt sie zum hyperbolischen Typus.

Beweis. Die waagrechten Faltungen der Fliiche F~ liegen jetzt nur fiber den Geraden v ----- n k (k = 1 , 2 , . . . ) . Wir betrachten das zwischen den geschlossenen Kurven C~k und Cnk+l (vgl. Nr. 21) liegende ,,Ring- gebiet" D E �9 D E wird durch die Faltungen in Teilgebiete zerlegt, und zwar in

1) 3.2 k Dreiecke vonde r in der Transformation I betrachteten Art : b----- I n.

2) 3-2 k Trapezoide yon der in der Transformation I I betrachteten Art mit d = l ~ + i, 1 <~c <~n k, so daBgem~i~ (8) ,da u0~< 1 ist,

K t / w " < 9 ( nk+l~ -~ 1 -~lk+llk+l Uo ) (13)

Nach den Transformationen I und I I verheften wir die Dreiecke und Trapezoide wie in Nr. 21 zu einem Rechteck S~ der wo-Ebene, das dann

7~ verm0ge w = ~ w o auf das Rechteck Sk der w-Ebene abgebildet wird.

Wir ftigen schliel31ich alle S~ zu einem einzigen Rechteck S w zusammen. Bei der Abbildung yon wq auf S~ ist K(w) ~ M. Kt/wo, wobei Kuw ~

der Ungleichung (13) genfigt. Es folgt

f / K(w) df~ < M ~ K,/w. df~,~ < M E ~ K,/w. df , o �9 k ~ l

o S w S k S k

Da d/w ~ ------ dully o ist, so gilt nach (13)

3,2 k 1

In " + ) + . ,/ ,j ~ t~:+l 1 Jr- l~+ 1 u o

o 8 k 0 0

(14)

285

SchlieBlich wird gem/~B (14)

f ( 1 n~+ x K (w) dfw < M k=~ ~ 2 k lk+l

8w

~ log/ ,+l~ (k~=21 n , ~ log/ ,~ - - - - - 9 f - ~1 -~ -/ = 2. M 2- % 1-~ + ~ 2 - - ~ - - / .

Wi~re die Fl~che vom parabolischen Typus, so miiBte die rechte Seite nach Satz 2, w 2, divergieren. Hieraus ergibt sich das Lemma.

24. Wenn speziell l~ in k mono ton wachsend ist, so wird n~ <~ kl~, log l~

1 n~ ist konvergent . Die zweite Reihe ~ ~ fifllt und die Reihe ~ 2k lk

aber bei den , , symmetr ischen" Komplexen , bis auf einen kons tan ten Fak-

tor, mi t der Nevanlinna-Witt ichschen Reihe (Nr. 6) zusammen.

Dami t haben wir den

Satz C. Sei lk~ unabhdngi9 yon i und in k monoton wachsend. Die Flgxhe wq ist dann und n u t dann vom hyperbolischen Typus , wenn die Reihe

n =l ,~ (n) konvergiert.

Die Randkno tenanzah l a(n) und die GroBen lk~ haben die in Nr .5 bzw. Nr. 9 angegebene Bedeutung.

(Eingegangen den 4. Feb rua r 1947.)

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beitrag zum typenproblem der riemannschen flächen

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