befektetÉsek gyakorló feladatok -...
TRANSCRIPT
BEFEKTETÉSEK
Gyakorló feladatok
Szerkesztette: Badics Milán Csaba
Budapesti Corvinus Egyetem
Befektetések és Vállalati Pénzügy Tanszék
Budapest, 2018
3
Szerkesztette: Badics Milán Csaba; [email protected]
Budapesti Corvinus Egyetem
Befektetések és Vállalati Pénzügy Tanszék
© Badics Milán Csaba, Berlinger Edina, Márkus Balázs
A mű és annak minden része a szerzői jogok értelmében védett. A kiadvány – anyagi
haszonszerzés célját kivéve – változatlan formában és tartalommal szabadon terjeszthető,
felhasználható, nyomtatható, sokszorosítható és korlátozás nélkül közzé tehető. A szerzői jogok
védelmében felhasználásakor, idézéskor szakszerűen kell hivatkozni a kiadványra és a
szerzőkre.
A könyv ingyenesen letölthető az alábbi helyről:
http://unipub.lib.uni-corvinus.hu/3886/
ISBN 978-963-503-752-0
Kiadó: Budapesti Corvinus Egyetem, 2018
Tartalom
1. Hozamgörbe elméletek, IRR vs. hozamgörbe, DKJ, par kamatláb, HPR,
kötvényarbitrázs, FRA ..................................................................................... 5 2. Kötvények kockázata: átlagidő, görbület .................................................. 22
3. Határidős ügyletek: arbitrázs és spekuláció .............................................. 31 4. Határidős ügyletek: fedezés ....................................................................... 51 5. Csereügyletek: kamatcsereügylet, devizacsereügylet................................ 62 6. Repó, FX swap .......................................................................................... 81 7. Opciók 1. Statikus összefüggések, összetett opciós pozíciók ................... 95
8. Opciók 2. Opcióárazás a binomiális modellben ...................................... 115
9. Opciók 3. Black-Scholes modell ............................................................. 129 10. Opciók 4. Devizaopciók, görög betűk ................................................... 137 11. Amerikai és exotikus opciók árazása a binomiális modellben .............. 150
12. Opciós jogokat tartalmazó kötvények, MBS, Warrant, Bull CD .......... 159 13. Partnerkockázat ..................................................................................... 177
14.Dual currency deposit, FX Ranger, Dual Currency Note, FX-linked
strukturált hitel és betét................................................................................ 189
5
1. Hozamgörbe elméletek, IRR vs. hozamgörbe, DKJ, par
kamatláb, HPR, kötvényarbitrázs, FRA
Alapfeladatok:
1.1 A loghozamgörbe 1, 2 és 3 éves pontjai rendre 10%, 11% és 12%. Mennyi
a két év múlvára várható egyéves, illetve az egy év múlvára várható
kétéves logkamatláb (éves szinten)
a) a tiszta várakozási elmélet szerint?
b) A likviditáspreferencia-elmélet szerint ez nagyobb vagy kisebb?
Megoldás:
a) 3·12%-2·11%=14%; (3·12%-10%)/2=13%.
b) Kisebb lesz, mert f>E(r)
1.2 Az egy-, két- és hároméves effektív spot hozamgörbe pontjai: 3,90%,
4,15% és 4,40%. Ha egy hároméves annuitás jelenértéke 1 milliárd forint
ma, mekkora részleteket fizet?
Megoldás:
DF1 = 0,9625; DF2 = 0,9219; DF3 = 0,8788
AF3 = DF1+DF2+DF3 = 2,7632
C = 1.000.000.000/2,7632 = 361.899.247,3 forint az éves részlet
1.3. A hozamgörbe enyhén emelkedő. Döntse el az alábbi állításokról, hogy
igazak-e!
a) A tiszta várakozási elmélet szerint a hozamgörbe várhatóan feljebb fog
tolódni.
b) A likviditásprémium elmélet szerint várhatóan a hozamgörbe időben
nem változik.
c) A szegmentált piacok elmélete szerint a rövid és hosszú kötvények
piacán nincs egyensúly.
Megoldás:
a) igaz
a) hamis, attól függ mekkora a likviditási prémium
b) hamis, nincs semmi értelme az állításnak
1.4. A hozamgörbe szigorúan monoton emelkedő és a likviditáspreferencia-
elmélet érvényes. Mibe érdemes fektetni: inkább hosszú vagy rövid
kötvényekbe? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Ez alapján nem lehet megmondani. A várható hozama a hosszabb
kötvényeknek nagyobb a likviditáspreferencia elmélet szerint, de ez
nagyobb kockázattal is jár.
1.5. Mutassa be, hogy emelkedő hozamgörbe esetén mi a különbség a
likviditáspreferencia-elmélet és a tiszta várakozási elmélet következtetései
között!
Megoldás:
A tiszta várakozási elmélet szerint a hozamgörbe azért emelkedik, mert
felfelé fog tolódni (vagy inkább olyankor emelkedik, amikor utána felfelé
tolódást vár tőle a piac) és ez tükröződik a spot-nál magasabb forward
hozamokban, vagyis azért kell emelkedő legyen a hozamgörbe, hogy a
spotnál magasabb forward hozamok jöjjenek ki, melyek a jövőbeli spot
hozamok várható értékei. A likviditás-preferencia elmélet szerint a
rövidebb papírok keresettebbek (mert hamarabb visszaadják a likviditást,
emiatt preferálja ezeket a befektetők nagy része), ezért a lejáratig tartott
hozamuk nyilván alacsonyabb. A likviditáspreferencia-elmélet alapján az
enyhébben emelkedő hozamgörbe nem biztos, hogy változni fog.
1.6. Ma bocsátottak ki két 10 éves lejáratú, évente egyszer fix kamatot fizető,
lejáratkor egy összegben törlesztő államkötvényt. Az X kötvény a
névleges kamatlába kisebb, mint az Y kötvény névleges kamatlába. A
hozamgörbe monoton emelkedő. Melyik kötvény érdemesebb
megvásárolni?
Megoldás:
Mindkettőt jól árazza a piac, tehát mindegy. Nem az IRR alapján döntünk,
hanem attól függően, hogy a hozamgörbe milyen megváltozására
számítunk.
1.7. Fél évvel ezelőtt 8%-on volt vízszintes az effektív hozamgörbe, ma 9%-
on vízszintes. Mekkora annak a változó kamatozású államkötvénynek a
bruttó és nettó árfolyama ma, amelyet fél évvel ezelőtt bocsátottak ki és
amely évente egyszer fizeti az egyéves DKJ-hozamot és 3,5 év múlva egy
összegben törleszt?
Megoldás:
Mivel változó kamatozású az államkötvény, ezért:
Pbruttó=108/1,0905=103,45; Pnettó =103,45-4=99,45
7
1.8. A következő táblázat a loghozamgörbe 1, 2 és 3 évi pontjait mutatja.
T Egy évvel ezelőtti loghozam-görbe Mai loghozamgörbe
1 8% 12%
2 10% 12,5%
3 11% 13%
Egy évvel ezelőtt lehetett 1, 2 és 3 éves kamatozó államkötvényeket
venni (évi egyszeri kamatfizetés mellett). Melyik államkötvénynek volt a
legnagyobb az elmúlt évi hozama, ha a piac mindvégig jól árazott?
Megoldás:
Egyéves forward loghozam 2·10%-8%=12%, kétéves forward loghozam
pedig (3·11%-8%)/2=12,5%. Mivel a loghozamgörbe pont a forwardnak
megfelelőn alakult, az ex post hozamok megegyeznek az államkötvények
esetén.
1.9. A féléves, éves és másféléves diszkontfaktorok jelenleg rendre 0,9, 0,8 és
0,7. A piac jól áraz.
a) Mennyi a féléves DKJ-re szóló egyéves határidős árfolyam?
b) Mennyi az egyéves DKJ-re szóló féléves határidős árfolyam?
c) Számítsa ki a loghozamgörbe féléves, éves és másféléves pontjait!
Megoldás:
a) 1DF1.5=0,7/0,8 = 0,875,
b) 0.5DF1.5=0,7/0,9 = 0,778
c) ln(1/0,9)/0,5=21,08%; a féléves; ln(1/0,8)=22,31% az éves;
ln(1/0,7)/1,5=23,78% a másféléves
1.10. Az alábbi államkötvényeket bocsátották ki ma:
a) 1 éves DKJ - árfolyama: 90,91%
b) 2 éves, lejáratkor egy összegben törlesztő, évente egyszer 8% kamatot
fizető kötvény, melynek árfolyama: 94,93%
c) 3 éves futamidejű az utolsó két évben 50%-50%-ban törlesztő 6%-os
fix kamatozású évente kamatot fizető kötvény, melynek árfolyama:
88,63%
Mekkora az egy év múlvára várható 2 éves prompt kamatláb a tiszta
várakozási elmélet szerint?
Megoldás:
DF1= 0,9091 r1=10%
8*DF1 + 108* DF2 = 94,93
DF2 = 0,8116 r2=11%
6*DF1 + 56*DF2 + 53*DF3 =88,63
DF3 = 0,7117 r3=12%
Az egy év múlva kezdődő 2 év futamidejű implicit forward kamatláb:
((1,123)/1,1)0,5-1=13,01%
1.11. Az 1, 2 és 3 éves elemi kötvények árfolyamai rendre 0,9, 0,8 és 0,7.
a) Mennyi a lejáratig számított effektív hozama annak a névértéken
kibocsátott államkötvénynek, amely évente egyszer fix kamatot fizet és 3
év múlva egy összegben törleszt, ha a piac jól áraz?
b) Mit tesz, ha a ma kibocsátott, 3 év futamidejű, egy összegben törlesztő,
évente egyszer 10% kamatot fizető államkötvényt névértéken lehetne
adni-venni?
Megoldás:
a) A lejáratig számított hozam pontosan a par kamatláb, mivel a kötvény
névértéken lett kibocsátva. k=(1-DF3)/kummDF=0,3/2,4=12,5%. A
lejáratig számított hozam ugyanennyi, mivel a kötvény névértéken lett
kibocsátva.
b) A kötvény elméleti árfolyama a diszkontfaktorok alapján:
0.9·10+0,8·10+ 0,7·110=94, tehát eladni (shortolni) kell és szintetikusan
venni.
1.12. A 6 hónapos német euró diszkontkincstárjegy árfolyama 100,25%.
a) Mekkora a diszkontkincstárjegy lejáratig számított effektív hozama?
b) Mekkora a 9 hónapos német euró diszkontkincstárjegy fair árfolyama,
ha a 6x9-es euró FRA éppen 0%?
Megoldás:
a) (100/100,25)^2-1 = -0,4981%, a negatív hozam abból adódik, hogy
prémiummal veszünk meg egy kupont nem fizető papírt.
b) Ha a 6x9-es határidős kamat éppen 0%, akkor az azt is jelenti, hogy a
9 havi DKJ pont annyiba kerül, mint a 6 hónapos, tehát már innen is
látszik, hogy 100,25% a jó válasz.
1.13. Az kockázatmentes elemi kötvény árfolyamok a következők:
1. 2. 3. 4.
0,9091 0,7972 0,6931 0,6026
9
Mekkora a névértéken kibocsátott négyéves futamidejű, fix kamatozású
államkötvények lejáratig számított hozama (YTM)?
Megoldás:
A diszkontfaktorok:
DF1 DF2 DF3 DF4
0,9091 0,7972 0,6931 0,6026
A par = (1-0,6026)/3,002=0,1324, azaz 13,24%.
1.14. Az effektív hozamgörbe jelenleg a következő:
r1 r2 r3
10% 12% 13%
Milyen névleges kamattal bocsátották ki azt a hároméves, évente egyszer
kamatot fizető, az utolsó alkalommal egy összegben törlesztő
államkötvényt, amelyiket a piac 110%-os árfolyamon jegyzett le?
Megoldás:
A diszkontfaktorok:
r1 r2 r3
0,9091 0,7972 0,6931
Innen k=(110-69,31)/2,3994=16,96%
1.15. Egy változó kamatozású államkötvény évente egyszer az egy éves DKJ
hozamot fizeti és lejáratkor egy összegben törleszt. Futamideje jelenleg
már csak 3,5 év. A hozamgörbe jelenleg 10%-on vízszintes, fél évvel
ezelőtt 11%-on volt vízszintes. Mekkora volt annak a befektetőnek az
elmúlt fél évi ex post hozama, aki fél évvel ezelőtt (kibocsátáskor)
megvásárolta ezt a kötvényt és ma eladta, ha a piac mindvégig jól árazott?
Megoldás:
Fél évvel ezelőtt 100-on vette. Ma 111/1,10,5=105,83-on adta el. Hozama:
105,83/100-1=5,83% volt fél év alatt.
1.16. Egy 3 éves évente egyszer kamatot fizető, egy összegben törlesztő
államkötvény névleges kamatlába 10%, kibocsátáskori lejáratig számított
hozama (YTM) 7%. Egy év múlva kamatfizetés után ugyanezen kötvény
YTM-ja 8%. Mekkora hozamot realizált az a befektető, aki pénzét ebbe a
kötvénybe fektette kibocsátáskor, majd egy év múlva eladta?
Megoldás:
100-as névértékkel számolva: P0 = 10/1,07+10/1,072+110/1,073 =
107,87.
P1 = 10/1,08+110/1,082 = 103,57. CF0: -107,87 CF1: 10 + 103,57 =
113,57
A hozam: 113,57/107,87-1 = 5,28%.
1.17. Fél éve -0,10%-os lejáratig számított hozamon (ytm, yield-to-maturity)
vásároltunk 1 éves német euró diszkontkincstárjegyeket, melyeket ma -
0,40%-os lejáratig számított hozam mellett eladtunk. Mekkora a tartási
időszak alatt elért hozamunk (HPR, holding period return)?
Megoldás:
Vásárláskor ez egy 1 éves DKJ volt, az árfolyama 1/(1+(-0,10%))^1 = kb
100,10%
Eladáskor ez egy 0,5 éves DKJ, az árfolyama 1/(1+(-0,40%))^0,5 = kb
100,20%
Fél év telt el.
HPR = (100,20%/100,10%)^(1/0,5)-1= kb +0,20%
Vagyis a negatív hozammal megvett DKJ-n még nyertünk is!
1.18. Az egyéves diszkont-kincstárjegy árfolyama 94,52. A féléves diszkont-
kincstárjegy árfolyama 97,77.
a) Számítsa ki a loghozam-görbe féléves és egyéves pontját!
b) Számítsa ki, hogy a tiszta várakozási elmélet szerint várhatóan mekkora
lesz félév múlva a féléves prompt loghozam!
c) Megveszünk egy hatéves annuitásos kötvényt névértéken. Várhatóan
mekkora loghozamot realizálunk a tiszta várakozási elmélet szerint, ha
egy év múlva eladjuk?
Megoldás:
a) éves: ln(1/0,9452)= 5,64%, féléves: ln(1/0,9777)*2=4,51%
b) félév múlvai féléves= 2*(5,64%-4,51%/2)=6,77 %, a mai implicit
határidős hozam.
c) a mostani éves prompt loghozamot, azaz 5,64%-ot (a tiszta várakozási
elmélet szerint minden kötvény várható hozama egyenlő, tehát az
annuitásos megvásárlása és egy év múlvai eladása várhatóan ugyanannyit
hoz, mintha egy egyéves elemi kötvényt vettünk volna)
11
1.19. Az ’A’, a ’B’ és a ’C’ kötvény adatai:
A B C
Névérték 100 100 250
Névleges
kamatláb 10% 10% 10%
Futamidő 3 3 3
Törlesztés Egyszeri 2. és 3. évben
azonos összegben
2. évben 20% és
3. évben 80%
Prompt árfolyam 105,5 104 ?
Tételezzük fel, hogy ’A’ és ’B’ kötvények jól vannak árazva. Mennyit
érne ekkor a ’C’ kötvény?
Megoldás:
A hozamgörbe csak az A és B ismeretében nem határozható meg
egyértelműen (2 egyenlet, 3 ismeretlen). Azonban a C kötvény nem teljesen
független, hanem egy redundáns papír, C=1,5A+B. (egyenletrendszerben
kiszámítható: 10x+10y=25, 10x+60y=75, 110x+55y=220)
A B C
0 105,5 104 262,25
1 10 10 25
2 10 60 75
3 110 55 220
1.20. A piacon háromféle 2 év lejáratú kötvény van:
a) Egy 100 Ft névértékű elemi kötvény
b) Egy k = 20% éves kamatozású egyenletes tőketörlesztésű N =
100Ft névértékű kötvény
c) Egy annuitásos konstrukció C = 70 Ft
A hozamgörbe vízszintes, a piac jól áraz. Mekkora az 1 éves effektív
hozam, ha a piac az annuitást 113,2 Ft-on, az egyenletes tőketörlesztéses
kötvényt 104,65 Ft-on jegyzi le?
Megoldás:
A CF-ek:
Annuitás Egy. Tőket. Elemi
70 70 0
70 60 100
A CF-ek közötti összefüggés:
10·Ann - 10·Egy.Tőket. = Elemi
Ennek az árfolyamokban is tükröződnie kell. Tehát az elemi kötvény
árfolyama:
1132-1046,5=85,5
Visszaszámítva a 2 éves hozamot az árfolyamból:(100/85,5)0,5-1 =0,0815
Mivel a hozamgörbe vízszintes, az 1 éves hozam is 8,15%.
1.21. 3 éves, évente k = 20% kamatot fizető, rejtett opciókat nem tartalmazó,
végtörlesztéses kötvény árfolyama 100 Ft. Az effektív hozamgörbe 10%-
on vízszintes, a piacon minden kötvény névértéke 100 Ft. (Elemi
kötvényekkel minden lejáratra lehet kereskedni.) Hogyan arbitrálna?
Megoldás:
A reális árfolyam: 20/1,1+20/1,12+120/1,13 = 124,8685
Arbitrázs elemei:
A kötvény alulárazott, venni kell 10 db-ot és ugyanennyit szintetikusan
(elemi kötvények segítségével) eladni.
A szintetikus pozíció: El kell adni 2db 1 éves, 2 db 2 éves és 12 db 3 éves
elemi kötvényt.
1.22. Három 5 éves futamidejű államkötvényt bocsátottak ki ma (1 kötvény
névértéke 10 ezer Ft). Mindhárom egy összegben törleszt és évente
egyszer fizet kamatot, de az „A” kötvény névleges kamatlába 10%, a „B”
kötvényé 12% és a „C” kötvényé 14%. A kötvények nem tartalmaznak
implicit opciókat. Az alábbi táblázat mutatja a másodlagos piacon
kialakult árfolyamokat:
Vételi árfolyam Eladási árfolyam
A 99% 100%
B 101,5% 102%
C 106% 107%
Van-e lehetőség arbitrázsra? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Cash-flow-k alapján: A+C=2B
Ha veszem A+C és eladom a 2B-t:
2·101,5-(100+107) = -4, tehát nem éri meg.
Ha veszem 2B-t és eladom A+C-t:
99+106-2·102= +1 tehát megéri, itt arbitrázslehetőség van!
13
1.23. Három 3 éves futamidejű államkötvényt bocsátottak ki ma. Mindhárom
egy összegben törleszt és évente egyszer fizet kamatot, de az „A” kötvény
névleges kamatlába 12%, a „B” kötvényé 10% és a „C” kötvényé 8%. A
kötvények nem tartalmaznak implicit opciókat. Az alábbi táblázat mutatja
az B és a C kötvény másodlagos piacon kialakult árfolyamát:
Vételi árfolyam Eladási árfolyam
C 99% 100%
B 100% 102%
Milyen vételi és eladási árat kellene jegyezni a A kötvényre, hogy ne
legyen lehetőség arbitrázsra?
Megoldás:
Cash-flow-k alapján: A=2B-C
Az A szintetikus vételi ára: 2*102%-99%=105%
Tehát a bid ár nem lehet ennél nagyobb: A(bid)<=105%.
Az A szintetikus eladási ára: 2*100%-100%=100%.
Tehát az offer ár nem lehet ennél alacsonyabb: A(offer)>=100%.
És persze A(bid)<=A(offer)
1.24. Egy korábban 4%-os fix kamaton megkötött long 6x9-es FRA pozíció
piaci értéke biztosan pozitív, ha most a hozamgörbe 5%-on vízszintes.
Megoldás:
Igaz, mert ekkor az összes forward kamat is 5%, vagyis eladhatnánk az
FRA-t 5%-on, miközben 4%-on vettük.
1.25. Amennyiben kizárólag a következő három derivatív pozícióval
rendelkezünk, és ezek jelenértéke megegyezik, akkor a portfoliónk
kockázatmentes:
long 3x6 FRA; long 6x12 FRA, short 3x12 FRA
Megoldás:
Igaz, mert az FRA-k így együtt zárt pozíciót képeznek.
1.26. Mutassa be, hogy emelkedő hozamgörbe esetén mi a különbség a
likviditáspreferencia-elmélet és a tiszta várakozási elmélet következtetései
között!
Megoldás:
A tiszta várakozási elmélet szerint a hozamgörbe azért emelkedik, mert
felfelé fog tolódni (vagy inkább olyankor emelkedik, amikor utána felfelé
tolódást vár tőle a piac) és ez tükröződik a spot-nál magasabb forward
hozamokban, vagyis azért kell emelkedő legyen a hozamgörbe, hogy a
spotnál magasabb forward hozamok jöjjenek ki, melyek a jövőbeli spot
hozamok várható értékei. A likviditás-preferencia elmélet szerint a
rövidebb papírok keresettebbek (mert hamarabb visszaadják a likviditást,
emiatt preferálja ezeket a befektetők nagy része), ezért a lejáratig tartott
hozamuk nyilván alacsonyabb. A likviditáspreferencia-elmélet alapján az
enyhébben emelkedő hozamgörbe nem biztos, hogy változni fog.
Nehezebb Feladatok:
1.27. A 6 hónapos diszkontkincstárjegy árfolyama 99,25%, az 1 évesé
98,25%. Egy vállalat fél évre szeretne 10 milliárd forintot állampapírba
fektetni. A magasabb hozam reményében azt fontolgatja, hogy most az 1
éves papírt vásárolja meg és majd fél év múlva eladja azt.
a) Hány forinttal érne el több hozamot, ha a hosszabb papírt választja és a
hozamgörbe változatlan marad?
b) Legfeljebb mekkora lehet fél év múlva a fél éves effektív hozam, amely
mellett a befektető még éppen nem járna rosszabbul, ha a hosszabb papírt
választotta?
Megoldás:
Lényegében az emelkedő hozamgörbe melletti döntésekről szól a feladat,
kicsit a hozamgörbe-meglovaglás, határidős hozam és tiszta várakozási
elmélet nem teljesülésében bízó befektető dilemmáit járja körül.
a) Ha a 6 hónaposat választja, akkor 10 mrd/0,9925% =
10.075.566.751,63 forintja lesz.
Ha az 1 éveset választja és változatlan a hozamgörbe, akkor fél év múlva
az pont 99,25%-on tudja majd eladni, vagyis 10 mrd / 0,9825 * 0,9925=
10.101.781.170,48 forintja lesz.
Tehát kb 26,2 millió forinttal több hozamot ér el, ha a hosszabbat választja
és változatlan marad a hozamgörbe.
b) Ha 6 hónaposba fektet, akkor (100/99,25)^2-1=1,5170% effektív
hozamot ér el, de erre egyébként nincs is szükség, hiszen a 6 havi
hozamegyüttható a lényeg, ami 100/99,25.
Ahhoz, hogy az 1 évessel ugyanekkora effektív hozamot érjen el a futamidő
alatt ennek a DKJ-nek az árfolyama is 100/99,25-ös hozamegyütthatóval
15
kell szorzódjon, vagyis az eredetileg 12 hónapos DKJ árfolyam legyen
98,25%*100/99,25= 98,9924% (ugyanide vezet, ha az 1,5170%-os
effektív hozamot használja valaki).
Ebből pedig látszik, hogy (100/98,9924)^2 - 1 = 2,0461% lehet a fél év
múlvai fél éves effektív hozam. Nem meglepő, hogy ez épp a futamidő
elején érvényes határidős hozam, hiszen ha a tiszta várakozási elmélet
teljesül, akkor pont ekkorára kellene felmenni a fél éves hozamnak fél év
alatt.
1.28. Fél évre szeretnénk befektetni 1 milliárd forintot. Három instrumentum
közül választhatunk. Első lehetőség egy 90 napra lekötött bankbetét,
melyet lejáratkor (a kapott kamatokkal együtt) ismét 90 napra lekötött
bankbetétbe helyezünk. A bankbetét a 3 havi BUBOR-20 bázispontos
kamatot fizet (lineárisan, ACT/360), ma a 3 havi BUBOR 2,55%. Második
lehetőség a fél éves diszkontkincstárjegy, melynek árfolyama 98,75%. A
harmadik lehetőség az 1 éves diszkontkincstárjegy, melynek árfolyam
97%. Várakozásaink szerint a következő félév során a hozamgörbe éven
belüli szakasza vagy enyhén lefelé tolódik, vagy változatlan marad.
Melyik befektetést válasszuk és miért?
Megoldás:
Látszik, hogy a számunkra elérhető hozamgörbe emelkedik, ráadásul mi
változatlan, vagy enyhén lefelé tolódó hozamgörbét várunk, tehát érdemes
a hosszabb futamidőbe fektetni a hozamgörbe meglovaglása miatt, így az
egy éves DKJ passzol a várakozásainkhoz.
Betétek: = 1 mrd (1+(2,55%-0,2%)*(90/360)) * (1+(2,55%-
0,2%)*(90/360)= 1.011.784.515,625, vagy kevesebb, ha lefelé tolódik a
hozamgörbe (második szorzótényező kisebb lehet!)
Fél éves DKJ: 1 mrd /0,9875 = 1.012.658.227,8481
1 éves DKJ: 1 mrd/(0,97*0,9875) =1.018.041.237,1134, vagy több, ha
lefelé tolódik a hozamgörbe (a hozamgörbe emelkedése miatt az osztásnál
a DKJ ár kisebb lehet, mint 0,9875). Döntés: 1 éves DKJ
1.29. Legyen az MNB alapkamat 3% (két hetes diszkontkötvény lineáris
kamata, ACT/360).
a) Hány forintba kerül kibocsátáskor egy darab 10000 forint névértékű, 2
hetes MNB diszkontkötvény?
b) Mekkora effektív hozamot ér el egy bank, ha kibocsátáskor
megvásárolja, majd lejáratig tartja ezt a kötvényt?
c) A névérték hány százalékán tudná az Államadósság Kezelő Központ
(ÁKK) kibocsátani a 6 hetes diszkontkincstárjegyeket, ha a hozamgörbe
az első 6 hetes szakaszon vízszintes lenne?
d) Igaz-e, hogy, ha az ÁKK képes a c) pontban meghatározott árfolyamnál
drágábban kibocsátani a 6 hetes diszkontkincstárjegyet, akkor a piac
feltehetően az alapkamat növekedésére számít a tiszta várakozási elmélet
szerint?
e) Lehetséges-e, hogy az MNB alapkamatot csökkentik, és ennek a
bejelentése után a piacon a 15 éves forint államkötvény elvárt hozama
(yield-to-maturity) emelkedik?
Megoldás:
a) MNB diszkontkötvény árfolyama 3%-os alapkamat mellett:
1/(1+(14/360)*3%)=99,8835%
9988,35 forintba kerül
b) A 3%-os MNB alapkamat (1/99,8835%)^(360/14)-1=3,0428% effektív
hozamnak felel meg, de az is jó, ha valaki 52/2 évnek tekinti a 2 hetet és
akkor (1/99,8835%)^(52/2)-1=3,0772% jön ki.
c) Legegyszerűbb, ha a korábban kiszámolt effektív hozammal számolunk,
és itt a hetekben számolás tűnik logikusnak:
10000/(1+3,0772%)^(6/52)=99,6509%
Másik megoldás, ha az MNB diszkontkötvény árfolyamát, mint 2 hetes
diszkontfaktorból kiindulva határozzuk meg (vízszintesnek tekinthetjük a
hozamgörbét, mert az alapkamat változatlanságát feltételezzük) a 6 hetes
DF-et, ami 99,8835%*99,8835%*99,8835%= =99,8835%^3=99,6509%
d) Nem, ez hamis, ha növekedésre számítanánk, akkor olcsóbban venné
meg a piac a DKJ-t, mert ott van az alternatívája, hogy berakja MNB
kötvénybe 3-szor egymás után. Ha közben emelkedik az MNB kötvény
hozama (az alapkamat emelés nyilván a hozamát is emelné), akkor jobban
járunk 3 db MNB kötvénnyel egymsá után, mint egy db 6 hetes DKJ-vel.
e) Igen, a hozamgörbe két nagyon távoli részéről van szó, gyakran
megfigyelhető ilyen jellegű nem párhuzamos elmozdulás. Az alapkamat
kizárólag pár rövid instrumentum (két hetes diszkontkötvény, O/N
repók…stb) kamatára hat közvetlenül, az összes többi eszközre csak
közvetve hat és minél messzebb megyünk, annál inkább csökken a
közvetlen hatása. A hozamgörbe hosszú vége egyébként is jóval
kockázatosabb, lazító monetáris politika esetén a piac kivárhat, mielőtt
17
vásárolna belőle, illetve még az is lehet, hogy ha túlzottnak tekintik a
lazítást, akkor csökkentik is a kockázatot és el is adják.
1.30. Rövid számításokkal alátámasztva válaszoljon az alábbi kérdésekre!
a) Az Európai Központi Bank O/N (overnight, 1 napos) betéti kamata -
0,40% (ACT/360). Hány euróval kap vissza kevesebbet az a bank, amelyik
péntekről hétfőre 100 millió eurós egyenleget tartott az ECB-nél?
b) Az overnight USD LIBOR +0,38% (ACT/360). Feltéve, hogy ezen a
szinte ki tudná helyezni a dollár többletét, hány dollárral kapna vissza
többet az a bank, amelyik 100 millió euróból 1,1225-ös EURUSD
árfolyamon dollárt vásárolt, majd péntekről hétfőre kihelyezi azt?
c) Mekkora hétfői EURUSD árfolyam esetén lesz mindegy a banknak,
hogy euróban, vagy dollárban volt péntektől hétfőig a likviditása?
Megoldás:
a) 100 mio*(1-0,40%*3/360) = 99.996.666,67 eurót kap vissza, ami
3333,33 euróval kevesebb, mint az eredeti betéti összeg.
b) 100 mio*1,1225*(1+0,38%*3/360) = 112253554.583333 dollárt kap
vissza hétfőn, ami 3554,58 dollárral több, mint az eredeti 112.250.000,-
dollár.
c) Sokféleképpen megoldható, de talán a legegyszerűbb, ha megnézzük,
hogy vagy 99.996.666,67 eurója, vagy 112.253.554,58 dollárja lesz
hétfőn. Akkor lesz neki mindegy, ha az EURUSD árfolyam pont úgy
alakulna, hogy ez a két összeg éppen ugyanannyit ér.
EURUSD_break_even= 112.253.554,58/99.996.666,67 = kb 1.12257
1.31. A 6 hónapos német euró diszkontkincstárjegy árfolyama 100,25%.
a) Mekkora a diszkontkincstárjegy lejáratig számított effektív hozama?
b) Mekkora a 9 hónapos német euró diszkontkincstárjegy fair árfolyama,
ha a 6x9-es euró FRA éppen 0%?
Megoldás:
a) (100/100,25)^2-1 = -0,4981%, a negatív hozam abból adódik, hogy
prémiummal veszünk meg egy kupont nem fizető papírt.
b) Ha a 6x9-es határidős kamat éppen 0%, akkor az azt is jelenti, hogy a
9 havi DKJ pont annyiba kerül, mint a 6 hónapos, tehát már innen is
látszik, hogy 100,25% a jó válasz. Másképp is megoldható, például úgy,
hogy a 6 hónap múlva induló 3 hónapos DKJ az most 9 hónapos DKJ
hitelből való megvételével szintetizálható. Vagyis DKJ_9M/DKJ_6M =
határidős DKJ árfolyam. Node ha a 6x9-es FRA kamata pont 0%, akkor a
határidős DKJ árfolyama pont 100%, vagyis DKJ_9M/100,25% = 100%,
innen DKJ_9M=100,25%.
1.32. A 3 hónapos USD LIBOR 0,95306%, a 3 hónapos EURIBOR -
0,33429%. A kamatbázis mindkettő esetén ACT/360.
a) Egy vállalat negyedévente LIBOR+100 bázispont kamatot fizet 1
millió dollár névértékű hitelére. Hány dollárnyi kamatot fog fizetni
legközelebb, ha ma van a kamat fordulónapja és a következő kamatfizetés
92 nap múlva lesz?
b) Egy vállalat negyedévente EURIBOR+100 bázispont kamatot fizet 1
millió euró névértékű hitelére. Hány euró kamatot fog fizetni legközelebb,
ha ma van a kamat fordulónapja és a következő kamatfizetés 92 nap múlva
lesz?
c) Feltéve, hogy a vállalat hasonló feltételekkel tudna újabb hitelhez jutni,
legfeljebb mennyit érne meg ma fizetnie egy 92 nap múlva esedékes,
számára partnerkockázatmentes, 1 millió dollár névértékű követelésért?
d) A 6 hónapos EURIBOR -0,22300%. A tiszta várakozási elmélet a 3
hónapos EURIBOR emelkedésére, vagy csökkenésére számít?
Megoldás:
a) 1.000.000*(0,95306%+1%)*(92/360) = 4991,15 dollár kamatot fog
levonni a bankja legközelebb.
b) 1.000.000*(-0,33429%+1%)*(92/360) = 1701,26 euró kamatot fog
levonni a bankja legközelebb.
c) Ha a vállalat most kifizet valamit, ahhoz neki is meg kell vennie a
forrást, ami számára LIBOR+100bp-be kerül. Tehát legfeljebb annyit
fizethet érte, amennyi felvett hitel pont 1 milliónyi tartozássá alakul:
X * (1+(0,95306%+1%)*(92/360)) = 1 mio
X = 1 mio /(1+(0,95306%+1%)*(92/360)) = 995.033,63 dollárt fizethet
érte legfeljebb
d) Emelkedésére. A hozamgörbe, bár negatív tartományban van, de
emelkedő. Emelkedő hozamgörbére a tiszta várakozási elmélet válasza:
azért ilyen, mert az azonnali hozam majd feljebb lesz.
Másként megközelítve: a tiszta várakozási elmélet alapján a mostani
forward kamat a jövőbeli várható kamat. Egyszerű becsléssel látszik, hogy
a 3x6-os FRA magasabb, mint a mostani 3 havi EURIBOR:
(1+1/4*-0,33429%) * (1+1/4*FRA) = (1+ 2/4*-0,22300%)
FRA = -0,111810%
19
1.33. Fél éve 3,15%-on kötöttünk egy éppen ma lejáró short 6x9-es FRA
pozíciót 100 milliárd forint névértékben. Ma a 3 havi BUBOR fixing
2,55% volt, partnerünk azonnali készpénzes elszámolást (cash settlement)
szeretne. Döntse el, ki fizessen kinek és mennyit!
Megoldás:
Az biztos, hogy mi nyertünk rajta, hiszen shortoltuk a BUBOR-t, vagyis
határidősen kihelyeztük az 100 milliárdot 3,15%-on, miközben a spot
forrásköltség 2,55% lett, tehát a partnerünk fizessen nekünk!
Ha nem lenne cash settlement, akkor 100 mrd x ¼ x (3,15%-2,55%)=150
mio forintot nyernénk mától számítva 3 hónap múlva (eredeti üzletkötéstől
számítva 9 hónap múlva) mégpedig úgy, hogy megvennénk a 100 milliárd
forint forrást a piacon 2,55%-on és odaadnánk neki 3,15%-on. Node
nekünk a 3 hónap múlvai 150 millió forint nyereség helyett megfelel ma
ennek a jelenértéke is, ami: 1,5 mio x 1 / (1+ 1/4 x 2,55%) = 149.049.807,5
forint.
1.34. A 3x6-os FRA-val 1,70%-on, 0,5 éves diszkontkincstárjeggyel
99,25%-os árfolyamon, 1 éves diszkontkincstárjeggyel 98,25%-on lehet
kereskedni, míg a 2 és a 3 éves par kamat (évi egyszeri kupont és
végtörlesztéses kötvényt feltételezve) rendre 2% és 2,5%.
a) Mekkora most a 3 havi BUBOR fair szintje?
b) Mekkora a fél év múlva induló fél éves határidős logkamat?
c) Mekkora a 2 éves diszkontfaktor?
d) Ha valaki ma arra számít, hogy 1,5% lesz 3 hónap múlva a 3 havi
BUBOR, akkor long, vagy short 3x6-os FRA-t kellene nyitnia most?
Legalább mekkora névértékben nyissa meg az FRA-t, ha utána lejáratig
megtartja és 1,5 millió forintot szeretne keresni rajta 6 hónap múlvai
pénzben kifejezve?
Megoldás:
Az FRA lineáris kamatot feltételez és a kérdésben szereplő BUBOR is
lineáris, sőt az MNB alapkamat is, mindegyik ACT/360 konvenció
érvényesül.
a) A 3 havi prompt kamat kiszámolható a 3x6-os FRA és a 6 havi DKJ
segítségével, hiszen, ha minden tökéletes a piacon, akkor a 3 hónapra,
majd utána még 3 hónapra felvéve a forrást ugyanoda kelleen jutnunk,
mintha 6 hónapra vennénk fel a forrást.
(1+90/360*BUBOR3M) * (1+90/360*(3x6 FRA)) = 1/99,25%
(1+90/360*BUBOR3M) * (1+90/360*1,70%) = 1/99,25%,
Innen adódik, hogy BUBOR3M= 1,32%
b) A fél éves és az 1 éves DKJ-ből adódik a fél év múlvai fél éves határidős
DKJ árfolyam, ami 98,250%/99,25%=98,9924%, innen az
1y2=2*ln(1/98,9924%)=2,03%
Még egyszerűbb, ha rájövünk, hogy eleve kiindulhattunk volna a fél év
múlva induló féléves hozamegyütthatóból: 2*ln(99,25%/98,25%)
c) A 2 éves par kamat 2%, ezért a (2;102) cash flow értéke éppen 100.
Node a DF1=98,25% adódik a DKJ árából. Ezért felírható, hogy
100=2*98,25%+102*DF2, vagyis DF2=96,1127%
d) Nyilván shortot, hiszen most 1,70-en van a 3x6-os FRA, aminek az
„alapterméke” pont a későbbi 3 havi BUBOR. Ha úgy gondolom, hogy
elszámoláskor lejjebb lesz az elszámolóár, mint ahol most a határidős ár
van, akkor eladni érdemes határidőre.
Mennyit nyisson? Mondjuk ha nyit 1 milliárdnyi névértéket, akkor 6 hónap
múlvai pénzben kifejezve ez 1 mrd * (1,70%-1,50%)*90/360= 500.000
forintot ér. Ez alapján 3 milliárdot kellene nyitnia.
1.35. A 3 havi BUBOR 2,30%, a 3x6-os FRA 2,75%, a 6x12-es FRA 3%, a
12x24-es FRA pedig 3,50%. (FRA = Forward Rate Agreement, az 3x6
jelentése: mától számítva 3 hónap múlva induló és mától számítva 6
hónapig tartó betét/hitel lineáris kamata, ACT/360). Mennyit ér ma a
bankközi piacon egy 2 év múlva esedékes kockázatmentes 1 milliárd
forint
Megoldás:
Annyit ér a két év múlva esedékes kockázatmentes 1 milliárd forint,
amennyi kölcsönt felvehetek ma ennek a terhére. Ez legyen X.
Ha felveszek X-et 3 hónapra, akkor X*(1+90/360*2,30%)-ot kell
visszafizetnem akkor. Node már most megvehetem a 3x6-os FRA-t és akkor
még három hónapig nálam van a pénz
X*(1+90/360*2,30%)*(1+90/360*2,75%)-ot
kellene visszafizetnem ekkor.
Azonban már ma megvehetem a 6x12-es FRA-t és akkor egészen év végéig
nálam maradhat a pénz
X*(1+90/360*2,30%)*(1+90/360*2,75%)*(1+180/360*3%)-ot
kellene év végén visszafizetnem.
Illetve már ma megvehetem a 12x24-es FRA-t is és akkor a második év
végéig nálam maradhat a pénz
21
X*(1+90/360*2,30%)*(1+90/360*2,75%)*(1+180/360*3%)*(1
+360/360*3,5%)
Annyi legyen tehát az X, hogy ez így pont 1 milliárd legyen, vagyis
X=1000000000/((1+90/360*2,30%)*(1+90/360*2,75%)*(1+180/360*3
%)*(1+360/360*3,5%)= 940.000.336,25 = kb 940 mio forint
2. Kötvények kockázata: átlagidő, görbület
Alapfeladatok:
2.1. Az elemi kötvények árfolyamai rendre a következők: P1=0,9, P2=0,8,
P3=0,7. Éppen ma bocsátottak ki névértéken egy három év futamidejű
államkötvényt, amely évente egyszer fix kamatot fizet és lejáratkor egy
összegben törleszt.
a) Mekkora a kötvény névleges kamatlába?
b) Mekkora a kötvény átlagideje és a loghozamgörbére vonatkoztatott
görbülete?
Megoldás:
a) Névleges kamatláb = par kamatláb, mivel névértéken lett kibocsátva a
kötvény, (0,9+0,8+0,7) ·k+0,7·100=100 ebből: k=12,5%.
b) átlagidő=(0,9·12,5·1+0,8·12,5·2+0,7·112,5·3)/100=2,675
görbület=(0,9·12,5·12+0,8·12,5·22+0,7·112,5·32)/100=7,6
2.2. Egy kötvény névértéke 10 000 Ft, nettó árfolyama 99,50%,
felhalmozódott kamata 1,50%, átlagideje 3,55 év, az effektív
hozamgörbére vonatkoztatott konvexitása 25,2 az effektív hozamgörbe
8%-on vízszintes. Hány forinttal változik meg a kötvény árfolyama, ha az
effektív hozamgörbe r=1%-kal feljebb tolódik önmagával
párhuzamosan? Vegye figyelembe a görbületet is!
Megoldás:
Pbruttó=99,50%+1,50%=101% D*=-3,55/1,08=-3,29
BPV= -3,29·10100·0,01+0,5·25,2·10100·0,012=-319,56 Ft.
2.3. Egy kötvény árfolyama P=109,25%, átlagideje 4,85 év, módosított
átlagideje -4,49, az effektív hozamra vonatkoztatott görbülete
(konvexitása) pedig 26,9. A hozamgörbe vízszintes.
a) Hány százalékon vízszintes az effektív prompt hozamgörbe, ha a piac
jól áraz?
b) Mekkora a kötvény belső megtérülési rátája (IRR-je)?
c) Hány százalékkal és milyen irányban változik a fenti kötvény
árfolyama, ha a hozamgörbe 1 százalékponttal emelkedik?
Megoldás:
a) (-D/D*)-1=(-4,85/-4,49)-1=8%
b) IRR=8%, mivel a hozamgörbe vízszintes
23
c) -4,49·1,0925·1·0,01+1/2·26,9·1,0925·1·0,012 = -4,76%
2.4. Egy portfólió az alábbi, az állam által kibocsátott instrumentumokat
tartalmazza:
- 1 000 darab 2 éves elemi kötvény, névértéke 20 000 Ft.
- 1 500 darab 1 év hátralévő futamidejű változó kamatozású kötvény
(névérték 15 000 Ft, kamatperiódus fél év, a legutolsó kamatigazítás
éppen ma volt).
Az effektív hozamgörbe 1 és 2 éves pontja 10%, 12%. Mekkora a
portfólió átlagideje?
Megoldás:
elemi kötvény értéke = 1000·20 000/1,122=15 943 878 Ft
változó kötvény értéke = 1 500·15 000=22 500 000 Ft;
Dur(elemi) = 2 év; Dur(változó) = 0,5 év;
Dur(portfólió)=(15 943 878·2+22 500 000·0,5)/(15943878
+22 500 000)=1,12.
2.5. Felvettünk 5 millió forint hitelt egy év futamidőre, majd 10 millió forintot
hároméves elemi kötvénybe fektettünk. A piac jól áraz. Becsülje meg,
hogy hány forinttal változik portfóliónk értéke a loghozamgörbe 1%-
pontos csökkenésének hatására! Vegye figyelembe a görbületet is!
Megoldás:
Portfólió értéke=+10-5=5 M
Átlagidő=D= (10·3-5·1)/(10-5) = 5 év
Görbület=C=(-5·12+10·32)/5 = 17
BPV=V=-D·V·r+0,5·V·C·(r)2=-5·5·(-
0,01)+0,5·5·17·0,0001=+0,25425 MFt
Azaz kb. 254,25 ezer forinttal nő vagyonunk ebben az esetben.
2.6. A kötvényportfoliónk BPV-je -125 ezer forint. Miért veszítünk várhatóan
12,5 millió forintnál kevesebbet, ha a hozamgörbe párhuzamosan 100
bázisponttal felfelé tolódik?
Megoldás:
A konvexitás miatt a BPV nagyobb elmozdulásoknál a veszteséget
túlbecsülné a nyereséget alulbecsülné.
2.7. Nyer, vagy veszít egy fordítottan lebegő kamatozású kötvény (inverse
floater) tulajdonosa a hozamszint nagymértékű csökkenésekor? Állítását
indokolja!
Megoldás:
Egyrészt nyer, mert nő a kötvény CF-ja, másrészt nyer, mert csökkennek a
diszkontráták.
2.8. A hozamgörbe minden pontjában (de nem párhuzamosan) feljebb tolódott.
Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak-e!
a) Minden határidős kamatláb emelkedett.
b) A fordítottan lebegő kamatozású államkötvények árfolyama
emelkedett.
c) Most érdemes csökkenteni a kötvényportfóliónk átlagidejét.
Megoldás:
a) Hamis, előfordulhat olyan eset, hogy nem
b) Hamis, ez nem egyértelmű
c) Hamis, nem függ ettől
2.9. Az egy-, két- és hároméves diszkontfaktorok jelenleg rendre 0,9, 0,8 és
0,7. A mai napon az X befektető minden vagyonát kétéves elemi
kötvénybe fektette, az Y befektető pedig vagyona egyik felét egyéves,
másik felét hároméves elemi kötvénybe fektette. A következő időszakban
a hozamgörbe önmagával párhuzamosan lefelé tolódik, miközben a
hozamszint-volatilitás növekszik. Melyik befektető jár jobban? Miért?
Megoldás:
Az X és az Y befektetők portfóliójának átlagideje egyaránt 2 év. Az Y
befektető portfóliójának konvexitása azonban nagyobb. A lefelé tolódáson
mindkét befektető nyer, de az Y nagyobbat, mert annak a portfóliónak
nagyobb a konvexitása.
Tehát az Y befektető jár jobban.
2.10. Egy bank mérlegében a saját tőke piaci értéke 1000 Md forint. Az
idegen források piaci értéke 800 Md forint, átlagideje 2 év,
loghozamgörbére vonatkoztatott görbülete (konvexitása) 20. Az eszközök
átlagideje 5 év, loghozamgörbére vonatkoztatott görbülete 40. Becsülje
meg, hogy hogyan változik a saját tőke értéke, ha a loghozamgörbe 1
bázisponttal emelkedik!
Megoldás:
Eszközök értéke=1800, átlagideje=5, görbülete=40
Idegen tőke értéke=800, átlagideje=2, görbülete=20
Saját tőke értéke=1000, átlagideje=(1800·5-800·2)/1000=7,4,
25
görbülete=(1800·40-800·20)/1000=56
V=-D·V·r+0,5·V·C·(r)2=-7,4·1000·0,0001+0,5·1000·56·0,00012=-
0,7397MdFt
2.11. Egy bank eszközeinek átlagideje 1 év. Idegen forrásainak átlagideje 2
év. Mekkora lehet a tőkeáttétel (D/V), ha a hozamszint csökkenése a
kedvező a bankrészvényesek számára? A görbülettől tekintsünk el!
Megoldás:
D(ST)=(1·1-D/V·2)/(1-D/V)>0, ami akkor teljesül, ha D/V<0,5.
2.12. Ugyanazon a napon egy vállalat két kötvénysorozatot bocsát ki. A két
kötvény pénzáramlása azonos. Az eltérés csak annyi közöttük, hogy az ’A’
sorozat előresorolt adósságnak minősül, míg a ’B’ sorozat alárendelt hitel.
Melyiknek nagyobb az átlagideje?
Megoldás:
Annak a kötvénynek nagyobb az átlagideje, amelyiknek az elvárt hozama
alacsonyabb. Az előresorolt kötvény csődkockázata kisebb, azaz elvárt
hozama is, így átlagideje nagyobb lesz.
2.13. Pozitív, vagy negatív lesz az átlagideje annak a jelenleg immunizált
kötvényportfoliónak, melynek a konvexitása negatív, ha a hozamgörbe
párhuzamosan felfelé tolódik?
Megoldás:
Immunizált, tehát a duration-je jelenleg nulla. Ha a konvexitása negatív,
akkor a változás veszteséget fog okozni, vagyis pozitív lesz a duration
felfelé tolódó hozamgörbe hatására és így már veszíteni is fogunk rajta.
A negatív konvexitás azt jelenti, hogy a duration-ünk mindig úgy fog
átalakulni, hogy az nekünk rossz legyen: ha lefelé menne a hozamgörbe,
akkor csökkenne a duration (ha nulla volt, negatív lesz), ha felfelé megy,
akkro nnő a duration (ha nulla volt, pozitív lesz).
2.14. A hozamgörbe szigorúan monoton emelkedő. „A” és „B” kötvényeket
az állam bocsátotta ki, évente egyszer fix kamatot fizetnek, 5 év múlva
egy összegben törlesztenek, nem tartalmaznak rejtett opciókat. Az „A”
kötvényt névérték alatt, a „B” kötvényt névérték felett bocsátották ki.
Melyiknek nagyobb a belső megtérülési rátája, ha a piac jól áraz? Miért?
Megoldás:
kA<kB, tehát DURA>DURB, tehát IRRA>IRRB
2.15. Egy kamatszelvényes kötvény átlagideje a mai nap során megnőtt,
miközben a hozamgörbe nem változott. Hogyan lehetséges ez?
Megoldás:
A kötvény kamatot fizetett.
2.16. Két államkötvény futamideje, névértéke, kamatfizetési gyakorisága és
törlesztési feltételei is megegyeznek, opciókat nem tartalmaznak. Az „A”
kötvény névleges kamatlába nagyobb, mint a „B” kötvényé. A
hozamgörbe emelkedő. A piac jól áraz.
a) Melyik kötvénynek nagyobb a belső megtérülési rátája? Válaszát
indokolja!
b) Melyik kötvénynek lesz várhatóan nagyobb hozama, ha a
likviditáspreferencia-elmélet igaz?
Megoldás:
a) „A” kötvény átlagideje kisebb, mint a „B” kötvény átlagideje.
Emelkedő hozamgörbe mellett a „B” kötvény IRR-je nagyobb, mint az
„A” kötvény IRR-je, ha a piac jól áraz.
b) Likviditás preferencia elmélet szerint a hosszabb befektetéseknek
nagyobb a likviditási prémiuma. Amennyiben a kötvényeket lejáratig
tartjuk, nagyobb IRR-je miatt az A kötvény hozama lesz nagyobb.
Nehezebb feladatok:
2.17. A loghozamgörbe vízszintes. Vagyonunk felét (5 millió forintot)
egyéves elemi kötvénybe, másik felét (5 millió forintot) hároméves elemi
kötvénybe fektetjük. A piac jól áraz.
a) Mekkora a portfóliónk átlagideje és görbülete (konvexitása)?
b) Az átlagidő és a konvexitás felhasználásával számítsa ki, hogy mekkora
a portfólió loghozamgörbére vonatkozó BPV-je (Basis Point Value, a
hozamgörbe 0,01%pontnyi, azaz 1 bázispontnyi, párhuzamos felfelé
tolódásának a hatása a portfolió értékére)!
c) A BPV felhasználásával becsülje meg, hogy hány forintot veszítünk,
ha a loghozamgörbe 1%-ponttal (100 bázisponttal) párhuzamosan felfelé
tolódik!
Megoldás: a) Átlagidő=D=(5*1+5*3)/(5+5)=2
Görbület kiszámításához van egy frappáns képlet: C=D^2+Var(t), persze
ez csak akkor jó, ha az egyes időpontoknak a jelenérték súlyai
27
megegyeznek, de itt most ez nem gond, mert 5-5 millió jelenértékről van
szó.
CF_portfolio= 5; 0; 5
Average(t) = 2
Var(t)= ((1-2)^2+(3-2)^2 )/2 = 1
C_portfolió = D^2+Var(t) = 2^2+1=5
b) BPV=V=-D·V·r+0,5·V·C·(r)2=-2·10·0,0001+0,5·10·5·(0,0001)2=-
1999,75 forint
Ha ugyanezt kiszámoljuk r=0,01 esetén, akkor kb. 197,5 ezer forinttal
csökken vagyonunk, node a kérdés a becslés volt, tehát elég az is, ha a
BPV-t megszorozza 100-zal és akkor meg 199.975 forint jön ki. Ez így
azért csak becslés, mert közben a BPV is változni fog, még akkor is, ha a
pillanatnyi konvexitást is fegyelembe vettük. Minél nagyobb a
loghozamgörbe eltolódása annál nagyobb az eltérés a képlettel kapott és
a numerikus módon számolt érzékenység között.
2.18. Egy portfolió piaci értéke 20 millió dollár, átlagideje 5,25 év. A
portfolió két részből áll: 7 millió dollár névértékű, fél éves
diszkontkincstárjegyből, valamint 12 millió dollár névértékű, ma
kibocsátott, 9 év futamidejű, évente 4% névleges kamatot fizető,
végtörlesztéses államkötvényből. A fél éves diszkontkincstárjegyek
árfolyama 99,50%.
a) A 9 éves kötvénynek a lejáratig számított hozama (yield-to-maturity)
nagyobb, vagy kisebb, mint 4%, a kötvény jelenlegi piaci árfolyama
alapján?
b) Mekkora a 9 év futamidejű kötvény átlagideje?
c) A portfoliókezelő 4 évnél rövidebbre szeretné csökkenteni az
átlagidejét, ezért azt tervezi, hogy elad a kötvényekből és az abból befolyó
pénzt fél éves diszkontkincstárjegybe fekteti. Legalább mekkora
névértékben adjon el a kötvényekből, figyelembe véve, hogy a kötvények
10000 dollár névértékű címletekben vannak?
Megoldás: Arra nagyon figyelni kell, hogy mikor beszélünk piaci értékről és mikor
névértékről, illetve, hogy az átlagidők egyenletét piaci értékekkel
súlyozottan kell felírni.
a) A 7 millió névértékű DKJ-csomag piaci értéke 99,50%*7 mio
=6.965.000,-
A teljes portfolió piaci értéke: 20 millió
Innen következik, hogy a kötvények piaci értéke 20 mio-
99,50%*7mio=13.035.000,-, miközben a névértékük 12 millió, vagyis a
bruttó árfolyamuk:
13.035.000/12.000.000=108,6250%
Mivel a kötvény ma lett kibocsátva, ezért a nettó és a bruttó árfolyama
megegyezik (nincs felhalmozott kamat) és mivel ez 100%-nál nagyobb,
ezért a kötvény ytm-e kisebb, mint a 4% névleges kuponja.
b) Az átlagidők egyenlete:
20 mio * 5,25 év = 6965000*0,5 év + 13035000*DUR(9 éves kötvény),
innen:
DUR(9 éves kötvény) = 7,79 év
c) Sokféleképpen megoldható, arra kell figyelni, hogy végül is lecserél
valamennyit a 7,79 év átlagidejű eszközeiből 0,5 év átlagidejűre.
Az új állapotra és pont 4 évre felírva az átlagidők egyenletét:
20 mio * 4 év = (6965000+X)*0,5 év+(13035000-X)*7,79
Innen X=3.432.805,21, node ez még csak piaci értékben van, a kötvény
névérték
érdekes, ami
X/108,6250%= 3.160.234,95
Legalább 3.170.000 névértéknyi kötvényt azaz 317 darabot adjon el és a
befolyó összeget fektesse DKJ-ba.
2.19. Az Államadósság Kezelő Központnak (ÁKK) 14400 milliárd forint
piaci értékű forint állampapírjai vannak kibocsátva. Ennek a teljes
állampapír-portfóliónak az átlagideje (duration) 4,25 év. Az ÁKK
szeretné, ha ennek a portfoliónak az átlagideje nőne, ezért egy
csereaukciót hirdet, ahol 2,78 év átlagidejű papírokat kíván
visszavásárolni és ugyanakkora piaci értéken 9,45 év átlagidejű papírokat
bocsát ki és ad oda cserébe.
a) Legalább mekkora piaci értékű csereaukciónak kell megvalósulnia
ahhoz, hogy 4,5 évet elérje az átlagidő?
b) Vajon miért szeretné az ÁKK, hogy növekedjen az államadósság-
portfólió átlagideje?
Megoldás: a) a piaci szereplők összessége együttesen 14.400 mrd forintnyi piaci
értékű 4,25 év átlagidejű portfolióval rendelkezik az ÁKK-val szemben.
DUR(új)=(14400mrd*4,25év-Xmrd*2,78év+X*9,45év)/(14400-
Xmrd+Xmrd)
DUR(új) >= 4,5 év
29
X>=(4,5*14400-4,25*14400)/(-2,78+9,45)
X>=539,73 milliárd forint piaci értékben kellene megvalósulnia a
csereaukciónak, ami egyébként elég nagy összeg, ez egy alaposan
előkészített, külön meghirdetett programot igényelne, egy átlagos hosszú
kötvény aukcióján 10-15 milliárddal kínálják meg a piacot aukciónként.
b) Ez egyik lehetőség, hogy lehet, hogy kedvezőnek ítéli meg a hozamgörbe
mostani szintjét, vagy pénzügyi stabilitás szempontjából sem mindegy,
mennyire tudja távolra görgetni az adósságot… stb.
2.20. A Southern Rock Bank igencsak rosszul működik. A bank eszközoldala
80 milliárd forint piaci értékű, 8 év átlagidejű MBS-ből, valamint 20
milliárd forint piaci értékű 1 éves DKJ-ből áll. A bank idegen forrásai 5
milliárd forintnyi látra szóló betétből, 25 milliárd forintnyi 3 hónapos
lekötött betétből és 50 milliárd forint névértékű, 5 év futamidejű, változó
kamatozású kötvényből áll. A változó kamatozású kötvény kamata
félévente változik, mindig az aktuális 6 havi BUBOR lesz a következő
kupon, most éppen fél év van még hátra a következő kamatfizetésig. A
kockázatmentes hozamgörbe 5%-on vízszintes.
a) Mekkora a bank saját tőkéjének az átlagideje?
b) Nőne, vagy csökkenne a bank saját tőkéjének átlagideje, ha a
hozamgörbe párhuzamosan felfelé tolódna?
c) Nagyobb, vagy kisebb lenne a bank saját tőkéjének az átlagideje, ha a
3 hónapos lekötött betétekkel rendelkező ügyfelek 6 hónapra kötötték
volna le a betétjüket?
d) Mutasson egy tetszőleges, itt nem említett ötletet, melynek segítségével
a bank saját tőkéjének átlagideje csökkenthető!
Megoldás:
a) Total Assets = 80+20 = 100 milliárd = Total Liabilities = 5 +25+50
+ Equity, innen adódik, hogy
Equity = 20 milliárd
DUR(Assets)=DUR(Liabilities)
DUR(Assets) = (80*8+20*1)/100=6,6 év
(5*0+25*1/4+50*0,5+20*DUR(Equity))/100
Innen DUR(Equity) = 31,125 év, ez elég nagy gond, D*(Equity) = -
29,64, vagyis ha 1%-ot felfelé tolódik a hozamgörbe, akkor a bank kb
29%-át elveszíti a saját tőkéjének.
b) csökkenne a konvexitás miatt, persze ez nem sokat segít a bankot
veszteség érné
c) csökkenne, hiszen az idegen források átlagideje nőne.
d) Nagyon sok minden jó. Például adjuk el az 1 éves DKJ-t és tegyük be 3
haviba. Vagy bocsássunk ki fix kamatozású 5 éves kötvényt és a befolyó
összeget tegyük be rövid papírba. Vegyünk fel long FRA pozíciókat.
Keressük fel a látra szóló betétben lévő ügyfeleket és adjunk nekik
valamilyen akciós 1 havi lekötést. A lényeg: az eszköz oldalnak rövidítsük
a duration-jét, és/vagy az idegen forrásokét növeljük, különben a saját
tőkében csapódik le ez a nagy feszültség.
31
3. Határidős ügyletek: arbitrázs és spekuláció
Alapfeladatok:
3.1. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama ma 2200 Ft, az
állampapír-piaci loghozamgörbe 10%-on vízszintes.
a) Mennyit ér és mekkora a deltája annak az egy részvényre szóló
határidős eladási (short forward) pozíciónak, amely egy év múlva jár le és
amelyet K=2200 Ft árfolyamon kötöttek 6 hónappal ezelőtt?
b) Mennyi lenne a pozíció értéke és deltája tőzsdei határidős ügylet esetén
(futures)?
Megoldás:
a) short forward=PV(K)-S=2200·e-0,1-2200= -209,358; ∆= -1
b) short futures=K-F=2200-2200·e0,1= -231,38, ∆=-e0,1=-1,1052
3.2. Ön fél évvel ezelőtt egy egyéves határidős vételi pozíciót nyitott 1000 db
osztalékot nem fizető részvényre. A félévvel ezelőtti és a mai prompt és
határidős árfolyamokat az alábbi táblázat mutatja:
Prompt
árfolyam
Fél év lejárathoz
tartozó határidős
árfolyam
Egy év lejárathoz
tartozó határidős
árfolyam
Fél évvel
ezelőtt
560 600 650
Ma 640 690 750
Mennyi a határidős pozíció értéke és deltája, ha
a) a forward piacon üzletel?
b) a futures piacon üzletel?
Megoldás:
a) PV(F-K)=(640/690)(690-650) ezer=37,101 ezer Ft; ∆=+1000
b) F-K=(690-650) ezer=40 ezer Ft; ∆=690/640·1000=+1078
3.3. Egy olyan részvényt szeretnénk eladni 2 évre a határidős piacon, melynek
prompt árfolyama 100 Ft, és 20%-os osztalékhozamot biztosít. A
loghozamgörbe 12%-on vízszintes. Mekkora kötési árfolyamon tudjuk
eladni a részvényt?
Megoldás:
Mivel a forward ügylet értéke kötéskor zéró: K=F=100·exp[(0,12-
0,2)·2]=85,21
3.4. XY részvény kibocsátója minden évben duplájára növeli az osztalék
mértékét. Ön egy évvel ezelőtt 3 éves határidős vételi forward ügyletet
kötött erre a részvényre K=100 Ft-os kötési árfolyamon; a tavalyi
osztalékot, 5 Ft-t tegnap fizették. Jelenleg 100 Ft az XY árfolyama.
Mennyit ér a pozíciója ma, ha az effektív hozamgörbe ma 7%-on
vízszintes?
Megoldás:
f =S*-PV(K)= (100-10/1,07-20/1,072)-100/1,072 = -14,16
3.5. A JP Morgan részvények azonnali árfolyama 58,6 dollár. A JP Morgan
idén négyszer fizet osztalékot: márciusban, júniusban, szeptemberben és
decemberben, minden alkalommal 40 centet. A dollár effektív
hozamgörbe 0%-on vízszintes. Mennyit ér ma egy olyan long forward
pozíció, mely 1000 darab JP Morgan részvényre szól, 1 év a futamideje és
a kötési árfolyama 30 dollár?
Megoldás:
F=S* / P, DF=100%, F=S*
S*=58,6-0,4-0,4-0,4-0,4=57
F=57
fwd = NÉ*DF*(F-K) = 1000*(57-30) = 27000 dollár
3.6. Ön 1 évvel ezelőtt 3 éves forward vételi pozíciót nyitott. A részvény
prompt árfolyama 200 Ft a kötési árfolyam is ennyi volt. A
loghozamgörbe 12%-on vízszintes. Egy év múlva a részvény prompt
árfolyama 220 Ft, a loghozamgörbe 2 százalékpontos párhuzamos
emelkedést produkált. Mekkora az egyéves expost hozam a pozíción?
Megoldás:
Long forward értéke ma =200-exp(-0,12·2)200=42,67
Long forward értéke jövőre =220-exp(-0,14)200=46,13
Ex post hozam: 46,12835/42,67443-1 = 8,09%
3.7. Egy részvényindex azonnali értéke 1 000 pont. Az index azonnali és a
három hónapos határidős árfolyama közötti bázis -12, míg a három- és
hathónapos határidős árfolyamok közötti bázis -20. A folytonosan
számított háromhónapos kockázatmentes hozam évi 10%.
33
a) Mekkora folytonosan számított osztalékhozammal számolt a piac?
b) Mekkora a hathónapos kockázatmentes hozam, ha az index folytonosan
számított osztalékhozama egész évben azonos?
Megoldás:
a) A háromhónapos forward 1012. 1012 = 1000·exp[(0,1-q)·0,25], innen
q = 5,23%.
b) A hathónapos forward 1032. 1032 = 1000·exp[(r-0,0523)·0,5], innen r
= 11,53%.
3.8. Mennyi az egyensúlyi határidős devizaárfolyam az alábbi paraméterek
mellett: T= 2 év, S=250, a kétéves elemi kötvények árfolyama: P=0,64,
Q=0,81?
b) Mekkora ebben az esetben egy egységnyi devizára szóló határidős
eladási pozíció deltája a forward piacon?
c) Mekkora ebben az esetben egy egységnyi devizára szóló határidős
eladási pozíció deltája a futures piacon?
Megoldás:
a) F=S·Q/P=250·0,81/0,64=316,4
b) delta= -Q= -0,81
c) delta= -Q/P=-0,81/0,64 = -1,266
3.9. Miért térhet el egymástól az ugyanarra az alaptermékre és futamidőre
szóló futures és forward ügyletek deltája, hogyha lejáratkor a két ügylet
egymással mindenben megegyezik?
Megoldás: Azért, mert a futures-nél folyamatos marginolás van, így a nyereségek
kamatostul érvényesülnek, mit ahogy a veszteségek is. Egyébként a
pozíció értékének a képletein is látszik. fwd = QS-PK, fut= (Q/P)*S-K.
Nyilván az S szerinti parciális derivált más.
3.10. Az eurodollár futures előző napi elszámolóára 99,03 volt. Ma jár le az
eurodollár futures, a 3 hónapos LIBOR fixing 1,00%. Pénzt kapunk, vagy
fizetni kell a mai elszámolás során, ha hetek óta short futures pozíciót
tartunk?
Megoldás:
Az eurodollár futures a futures lejáratakor érvényes 3 havi LIBOR-ral
szemben számol el a 100-LIBOR képlet alapján adódik az utolsó
elszámolóára.
Kapunk pénzt, mert a mai futures elszámolóár 100-LIBOR = 99,00 lesz,
míg tegnap 99,03 volt és mi short pozícióban voltunk.
3.11. Ha a hozamgörbe emelkedő és egy spekuláns abban bízik, hogy nem
fog változni, akkor racionális lehet-e hosszabb futamidejű kötvénybe
fektetni, mint a tervezett befektetési idő? Válaszát egy egyszerű
számpéldán keresztül mutassa be!
Megoldás:
Igen, ez pont „a hozamgörbe meglovaglása”, egyébként ez egy carry
trade jelenség.
Például, ha DF1=100%, DF2=98%, és 1 évre szeretnék befektetni, de
mégis 2 éves DKJ-t veszek, akkor, ha 1 év múlva a DF1=100% lesz, a
98%-on megvásárolt DKJ-t 100%-on el tudom majd adni. Ezzel jobban
járok, mintha az 1 éves DKJ-t vettem volna 100%-on, ami 100%-ot
fizetne.
3.12. A határidős búzapiacon négy lejáratra lehet kereskedni: márciusra,
júniusra, szeptemberre, decemberre.
a) Írja fel, milyen spekulációs pozíciót alakít ki, ha arra számít, hogy a
szeptemberi búza jobban fog drágulni a decemberihez képest, mint a
júniusi a márciusihoz képest!
b) Mi a neve ennek a pozíciónak?
Megoldás:
Long SEPT + Short DEC –(Long JUN + Short MAR)= Long SEPT +
Short DEC + Short JUN + Long MAR)
vagyis sorbarendezve:
Long MAR + Short JUN + Long SEPT + Short DEC
Long teknősbéka
3.13. Ma az olaj futures piacán contango tapasztalható. Szeptemberi és
decemberi lejáratokra szóló futures ügyletek megkötésével felveszünk egy
long bázis pozíciót. Mutassa meg, hogy nyernénk, vagy veszítenénk a
futures pozícióinkon, ha holnap a contango backwardation-né alakulna át!
Megoldás:
A pozíciónk long bázis, vagyis long SEP és short DEC,
Mivel ma pozíció nyitáskor contango volt, ezért a decemberit magasabb
áron nyitottuk.
Ha holnap backwardation-né alakul a futures görbe, akkor a decemberi
lejjebb lesz, mint a szeptemberi, tehát, biztosan nyerni fogunk, hiszen amit
35
shortoltunk az relatíve lejjebb került, amit meg longoltunk az relatíve
feljebb.
3.14. Az EURHUF határidős árfolyam fél éves futamidőre 294,85. A fél éves
diszkontkincstárjegyekre vonatkozó fél éves határidős árfolyam euróban
99,45%, forintban 98,05%. Mennyi az egy éves EURHUF határidős
árfolyam?
Megoldás:
Hasonlóan az F= QS/P logikához, ahol a spotból a prompt DKJ árakkal
határidős számolható ugyanígy a forwardokból pedig a határidős DKJ-kel
további (hosszabb) forwardok számolhatók.
F1Y = F0,5Y*0,5YQ1Y/0,5P1Y = 294,85 * 99,45%/98,05% = 299,06
3.15. Ön tegnap hathónapos lejáratra a tőzsdén 1 kontraktus eurót adott el. A
kontraktus mérete 1 000 euró. A következőket tudja továbbá:
Tegnap Ma
Spot árfolyam 250 HUF/EUR 248 HUF/EUR
Euró hozam 2,5% 2,5%
Forint hozam 9% 8,8%
a) Mekkora letétet kellett tegnap megképeznie, ha a letét értéke a
kontraktus méretének 25%-a?
b) Hány százalék hozamot realizált a befektetésén egy nap alatt?
Megoldás:
a) A kontraktus értéke=1000·250·(1,09/1,025)0,5 = 257 805; a letét
nagysága=64451,25 Ft
b) A kontraktus értéke másnap=1000·248·(1,088/1,025)0,5=255 507,8, az
eredmény = 255 507,8 - 257 805= -2297,17, ami a letétre vetítve: -
2297,17/64451,25 = -3,56% napi hozam
3.16. Egy kereskedő pont egy hónapja nyitott egy akkor fél éves EURHUF
short forward ügyletet 50 ezer euró névértékben 295,25-ös határidős
árfolyamon. Ma az EURHUF azonnali árfolyama 288,20, és éven belüli
lejáratokra a forint effektív hozamgörbe 4%-on, míg az euró effektív
hozamgörbe 0,50%-on vízszintesnek tekinthető. Mennyit nyerne
lejáratkori forintban kifejezve, ha most rögtön lezárná az ügyletet?
Megoldás:
Fontos, hogy már csak 5/12 év van hátra!
Q = (1+0,5%)^(5/12) = 99,79%
P = (1+4%)^(5/12) = 98,38%
F= QS/P =99,79% * 288,20 / 98,38% = 292,33
50.000*(295,25-292,33)=146.000 forint lejáratkori forintban
3.17. Egy kereskedő 3 hónapja nyitott egy akkor 6 hónapos USDTRY long
forward ügyletet 1 millió dollár névértékben 2,0275-ös határidős
árfolyamon (lejáratkor dollárt vásárol és 2,0275 török lírát fizet
dolláronként). Ma az USDTRY azonnali árfolyama 2,1750. Mennyit ér
most a long forward pozíció mai török lírában kifejezve feltéve, hogy éven
belüli lejáratokra a török líra effektív hozamgörbe 8%-on, míg a dollár
effektív hozamgörbe 0%-on vízszintes.
Megoldás:
Fontos, hogy már csak 3 hónap van hátra!
Q = bázisdeviza diszkontfaktora =1/(1+0%)^(3/12) = 100%
P = másodlagos deviza diszkontfaktora =1/(1+8%)^(3/12) = 98,10% (kb)
long fwd = QS-PK = 1*2,1750 - 0,9810*2,0275=0,1860
Ez török lírában kifejezve jelenti a profitot, mégpedig 1 dollárnyi
névértékre vetítve, vagyis ez fajlagos profit, ezért még meg kell szorozni a
névértékkel:
1000000*0,1860 = +186000 török lírát ér a pozíció (jelenértéken, most)
3.18. 3 hónappal ezelőtt kötöttünk egy határidős szerződést a bankközi
piacon, miszerint 100 millió eurót vásárolunk mától számítva 9 hónap
múlva forint ellenében. A kötési árfolyam 265 Ft/Eur volt. Ma az euró
prompt árfolyama 260 Ft/Eur. Ma a 9 hónapos elemi forintkötvény ára 0,9
Ft; a 12 hónaposé 0,87 Ft. A 9 hónapos elemi devizakötvény árfolyama
0,95 euró; a 12 hónaposé 0,93 euró.
a) Mennyit ér a határidős pozíció ma forintban?
b) Mekkora a határidős pozíció deltája?
Megoldás:
a) Ma a 9 hónapos határidős euroárfolyam F=260·0,95/0,9=274,44
Long forward értéke=PV(F-K)=0,9·(274,44-265)=8,5 Ft euronként, tehát
összesen 850 millió Ft.
b) ∆=Q=0,95
3.19. Ön negyedévvel ezelőtt féléves határidőre vett búzát a futures piacon.
A kockázatmentes logkamatláb minden lejáratra 12% volt, ami azóta így
is maradt. A búza prompt ára ma 100$/tonna, a kötéskor 120$/t volt.
37
Mekkora egy összegű fix raktározási költséget számított fel az eladó, ha
ma elemzők 10$-ra értékelik pozícióját?
Megoldás:
Futures áru vétel: f=F-K= (S+U)·exp(r·t)-K
Jelen esetben: 10=(100+U)·exp(0,12·0,25)-120
Ebből a raktározás költsége: U=26,16
3.20. Ön egy évvel ezelőtt kétéves, tőzsdén kívüli határidős kamat
megállapodást (FRA) kötött. Ebben határidőre megvette a két év múlvai
egyéves kamatot. A kötés névértéke 1 millió forint. Mekkora ma ennek a
határidős szerződésnek az értéke, ha a hozamgörbe egy évvel ezelőtt,
illetve ma a következőképpen nézett ki?
r1 r2 r3
Tavaly 10% 11% 11,5%
Ma 9% 9,5% 9,7%
Megoldás:
Az f2,3 egy évvel ezelőtt 12,51% volt. Ma ezzel az f1,2 ekvivalens, aminek az
értéke ma 10%. A határidős kötés értéke (mivel elszámolás csak egy év
múlva van):(1 000 000 (10%-12,51%)) /1,09 = -23027,5 Ft
3.21. Egy határidős hitelügyletet két évvel ezelőtt kötöttek és egy év múlva
esedékes a hitel folyósítása, amelynek futamideje egy év, névértéke 100
millió Ft. A határidős (kötési) kamatláb 8%, a hozamgörbe jelenleg 7%-
on vízszintes. Bontsa fel a pozíciót két prompt kötvény-re (határozza meg
a két prompt kötvény értékét is)!
Megoldás:
Long 1 éves kötvény, értéke: 100/1,07=93,46
Short 2 éves kötvény, értéke: -108/1,072=-94,33
FRA értéke: -0,8734
3.22. Egy osztalékot nem fizető részvény egy héttel ezelőtti és mai határidős
árfolyamait mutatja a következő táblázat (dollárban):
SEPT DEC MARC JUN
egy héttel ezelőtt 2050 2100 2180 2200
Ma 2080 2150 2250 2300
Mennyit nyert az a spekuláns, aki az elmúlt héten short teknősbéka
pozícióban volt 1000 darab részvényre nézve?
Megoldás:
Short teknősbéka: Short SEPT+Long DEC+Short MARC+Long JUN
Nyereség= (-30+50-70+100)·1000= +50 000 dollár.
3.23. Az elmúlt héten egy osztalékot nem fizető részvény prompt és határidős
piacán az alábbi változások történtek:
Prompt árfolyam változás 0 pont
Márciusi határidős árfolyam változás -70 pont
Júniusi határidős árfolyam változás -80 pont
Szeptemberi határidős árfolyam változás -100 pont
a) Hogyan változott a június és a szeptember közötti bázis?
b) Hogyan változtak az implicit kamattartalmak (nőttek vagy
csökkentek)?
c) Mekkora nyereségre tett szert az, aki long pillangó pozícióban volt a
MARC-SEPT időszakban?
Megoldás:
a) ∆(Fjún-Fszept)= ∆Fjún-∆Fszept=-80-(-100)= +20
b) csökkentek (a prompt nem változott, a határidős árfolyamok
csökkentek)
c) -70+2·80-100= -10
3.24. Milyen pozíciót alakít ki az a spekuláns, aki úgy gondolja, hogy az
ABC részvény határidős piacán a MAR-JUN különbözet (bázis) erősödni
fog a SEPT-DEC különbözethez (bázishoz) képest (a márciusi, júniusi
határidők megelőzik a szeptemberi, decemberi határidőket)? Írja fel
pontosan, hogy mely lejáratokra vesz illetve ad el! Mi ennek a pozíciónak
a neve?
Megoldás:
MAR Long, JUN Short, SEPT Short, DEC Long, a neve Long keselyű.
3.25. A hozamgörbe milyen megváltozására spekulálnak az alábbi határidős
pozíciók tulajdonosai?
a) short bázis,
b) long pillangó,
c) short keselyű,
d) long teknősbéka?
39
Megoldás:
a) hozamgörbe párhuzamos felfelé tolódás
b) hozamgörbe meredekségének növekedése
c) hozamgörbe meredekségének csökkenése
d) hozamgörbe púposabbá válása
3.26. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 1000 Ft, az
egyéves határidős árfolyama 1200 Ft, kétéves határidős árfolyama 1400.
Az egy év múlvai egyéves FRA (határidős kamatlábmegállapodás)
kamatlábra 18%-20%-ot jegyeznek. Hogyan (milyen ügyletekkel) lehet
arbitrálni, mekkora arbitrázsprofitra lehet így szert tenni mai pénzben?
Megoldás:
+200/1200=16,67% implicit kamattartalom az egy év múlvai egyéves
periódusra a határidős részvénypiacon. Ez alacsony az FRA-hoz képest.
Tehát:
Short FRA 18%
Short underlying 1 évre + Long underlying 2 évre (szintetikus határidős
hitelfelvétel 16,67%-on.
Nyereség=18%-16,67%=1,33%-a az egy év múlvai befektetés értékének
vagyis az 1200-nak=15,96 Ft részvényenként. De ez két év múlvai
keletkezik. Mai pénzben a nyereség=15,96 jelenértéke (nincs megadva a
kétéves hozam, így nem lehet pontosan kiszámítani).
3.27. Az alábbi táblázat két, osztalékot nem fizető részvény egy és kétéves
határidős árfolyamait tartalmazza:
1 éves határidős árfolyam 2 éves határidős árfolyam
ABC 2500 2800
XYZ 120 150
Hogyan arbitrálna ebben a helyzetben?
Megoldás:
Az implicit határidős kamattartalom az ABC-ben: 300/2500=12%, az
XYZ-ben: 30/120=25%.
Szintetikus határidős hitelfelvétel 12%-on: short ABC 1 évre + long ABC
2 évre.
Szintetikus határidős betét 25%-on: long XYZ 1 évre + short XYZ 2 évre.
3.28. XYZ részvény prompt árfolyama 500 Ft, az egyéves határidős
árfolyama 750 Ft, kétéves határidős árfolyama 900. Az egyéves DKJ
egyéves határidős árfolyama 83,33%. Az egy év múlvai egyéves FRA
(határidős kamatlábmegállapodás) kamatlábra 16%-18%-ot jegyeznek.
a) Hogyan arbitrálna a részvénypiac segítségével?
b) Hogyan arbitrálna a kötvénypiac segítségével?
Megoldás:
a) Részvénypiac:
+150/750=20% implicit kamattartalom az egy év múlvai egyéves
periódusra a határidős részvénypiacon. Ez magas az FRA-hoz képest.
Arbitrázs elemei:
Short FRA 18%
Long XYZ 1 év + Short XYZ 2 évre
b) Kötvénypiacon:
1/0,8333 – 1 =20% implicit kamattartalom az egy év múlvai egyéves
periódusra a határidős kötvénypiacon. Ez magas az FRA-hoz képest.
Arbitrázs elemei:
Short FRA 18%
Short Bond (rövid hitel) 1 év + Long Bond (hosszú betét) 2 évre
3.29. Egy kereskedőnek a szállítási időszakban short bond futures pozíciója
van. A szállítási kritériumoknak négy kötvény is megfelel, ezek
konverziós faktorát és piaci nettó árfolyamát tartalmazza a következő
táblázat.
kötvény nettó
árfolyam
konverziós
faktor
A 99.50 1.0382
B 143.50 1.5188
C 119.75 1.2615
D 88.75 0.9356
a) Melyik kötvényt szállítsa le, ha a futures utolsó elszámolási árfolyama
93’08 = 93 8/32 = kilencvenhárom-egész-nyolc-harmincketted = 93,25?
b) Minek a rövidítése a „CTD Bond” kifejezésben a CTD?
c) Ha valaki short bond futures pozíciót nyit, majd a hozamgörbe hosszú
vége jelentősen emelkedik, akkor a pozíciójának az értéke negatív, vagy
pozitív lesz?
Megoldás:
a) A: 99,5 – 1,0382 * 93,25 = 2,69
41
B:143.50 – 1.5188*93,25 = 1,87
C: 119,75 – 1,2615*93,25 = 2,12
D: 88,75-0,9356*93,25=1,5053
Tehát a D kötvényt kell választani szállításnál, ez a Cheapest-to-
Deliver Bond.
b) CTD = Cheapest-to-Deliver=legolcsóbban szállítható
c) pozitív, shortolja a képzeletbeli kötvényt, aminek az értéke csökken a
hozamemelkedés miatt
Nehezebb feladatok:
3.30. Egy kereskedő egy éves long RUBHUF forward ügyletet nyitott
(RUB=orosz rubel, long RUBHUF = ennyi forintot kell fizetni egy
rubelért, vagyis határidőre rubelt vesz forintért). Tudjuk, hogy a RUB és
a HUF effektív hozamgörbék éven belüli lejáratokra vízszintesek és a
RUB hozamgörbe van magasabban. Az alábbi állítások közül kettő igaz
és kettő hamis, indoklással jelölje meg az állításokat I-vel és H-val!
a) A pozíció deltája fél év múlva várhatóan nagyobb lesz, mint most.
b) A kereskedő biztosan veszítene azon, ha a RUB és a HUF hozamgörbék
közti távolság csökkenne.
c) Ha létezne RUBHUF tőzsdei futures ügylet, akkor annak ugyanannyi
névértéknyi futures deltája kisebb lenne mint a forward deltája.
d) Ha a hozamgörbék és a spot árfolyam fél év múlva pont ugyanezen a
szinten lenne, akkor a kereskedő nyereséggel le tudná zárni a pozícióját.
Megoldás
a) Igaz, deltaFWD= Q, vagyis a rubel diszkontfaktora. Mivel telik az idő,
ezért a Q várhatóan nőni fog. Persze lehet, hogy a kamat emelkedik, de
meg kéne duplázódjon és nem az a várható, mert a hozamgörbék
vízszintesek, vagyis egyáltalán nem várunk hozamváltozást.
b) Hamis. Valószínű még jól is járna vele, hacsak a spot nem mozdul el.
c) Hamis. Futures deltája Q/P és a P<1, miközben a forward deltája Q
d) Igaz, hiszen ekkor fél évnyi kamatkülönbséget megnyer, hiszen a
nagyobb kamatú devizában volt long. Másképp: a fél éves RUBHUF
forward feljebbvan, mint az egy éves, vagyis, ha megveszi egy évre és nem
történik semmi, csak telik az idő, akkor le tudja zárni magasabban a
longját fél év múlva.
3.31. Egy részvény idén 120 forint osztalékot fog fizetni valamikor nyár
elején, de ma még osztalékszelvénnyel együtt forog a papír. Egy
kereskedő azt látja, hogy miközben részvény azonnali árfolyama
5070/5075 (bid/offer), a decemberi határidős árfolyam 5280/5310
(bid/offer). Hogyan tud arbitrálni, ha feltételezzük, hogy a decemberi
futures lejárata éppen 7 hónapra van és a kereskedő 7%-os effektív hozam
mellett tud hitelt felvenni?
Megoldás:
Azonnali vétel 7% hitelből finanszírozva és határidős eladás
arbitrázsnyereséget termel, mert túl magasan van a forward.
Az implicit hozam osztalékfizetés nélkül: (5280/5075)^(12/7)-1=7,02%,
vagyis egy nagyon picit már akkor is megérné venni a részvényt az
azonnali piacon és eladni határidőre, ha nem lenne osztalék, hiszen 7%-
on jut forráshoz és ez 7,02%-ot termelne. Node erre még rájön a 120 forint
osztalék is!
3.32. A júniusi amerikai index futures árfolyama 1873, míg a szeptemberi
futures árfolyama 1865. A júniusi eurodollar futures árfolyama 99,75%
(vagyis a júniusban induló 3 hónapos határidős dollár kamat 100%-
99,75%=0,25%). Becsülje meg az index implicit évesített
osztalékhozamát a júniustól szeptemberig tartó negyedévben!
Megoldás:
F=QS/P logika kivetíthető futures-ök közti kapcsolatra is, csak itt akkor a
két futures határidő közti határidős hozamok számítanak.
F_sep=Q_jun_sep * F_jun / P_jun_sep
A határidős kamatból adódik a határidős diszkontfaktor, vagyis
P_jun_sep = 1/(1+1/4*0,25%) = 99,9375% (itt pici eltérés lehet, ha
valaki nem lineáris kamattal számol, de ez a végeredményt nem
befolyásolja és korrektebb a lineáris kamat, hiszen az eurodollar futures
alapterméke a 100%-LIBOR, ami lineáris kamat)
Q_jun_sep = 99,9375%* 1865/1873 =99,5106%, innen az
osztalékhozam:
(1/99,5106%)^4-1= 1,9818% = kb 2%
3.33. A legközelebbi eurodollár futures éppen ma jár le, a mai USD LIBOR
fixing 3 hónapra 0,28%. Tegnapelőtt 99,69-en nyitottunk 4 kontraktusnyi
long eurodollár futures pozíciót. A tegnapelőtti és tegnapi nap végi
elszámolóár 99,70 és 99,69 volt. Egy kontraktus névértéke 1 millió dollár.
Milyen cash flow-val jártak az elmúlt napokban és ma a futures
ügyleteink?
43
Megoldás:
Az eurodollár futures lejáratkori elszámolása 100-LIBOR3M alapon
működik, vagyis 0,28%-os LIBOR esetén a legutolsó elszámolóár 100-
0,28 = 99,72 lesz.
Az eurodollár futures kontraktusmérete 1 millió dollár, 3 hónap
futamidőről szól, ami 90/360 = ¼, így a futures árfolyamában 1 pont,
vagyis 0,01 árfolyamváltozás a kamatban 0,01%-nak felel meg, vagyis
hatása: 1 mio *0,01%*1/4 = 25 dollár
Tegnapelőtt 4 kontraktust vettünk 99,69-en és este ezt rögtön elszámolták
99,70-en, vagyis +1*4*25=+100 dollár margint kaptunk
Tegnap az elszámolóár 99,69 volt, így az előző napi elszámoláshoz képest
1 pontot veszítünk, vagyis (-1)*4*25=-100 dollárral csökken a margin
számla
Ma az elszámolóár 99,72 lesz, ami 3 ponttal van a tegnapi elszámolóárhoz
képest, így +3*4*25=+300 dollárt kapunk. Végül egyébként 300 dollárt
nyertünk az egészen.
3.34. Egy részvény azonnali árfolyama 108 dollár. A részvény 5 hónap
múlva és 11 hónap múlva is 78 - 78 cent osztalékot fog fizetni
részvényenként. Az azonnali EURUSD árfolyam 1,0641. A
kockázatmentes effektív hozamgörbe 1 évnél nem hosszabb futamidőkre
euróban -0,4%-on, dollárban +1%-on vízszintesnek tekinthető. Egy német
alapkezelőnek 12 hónap múlva jár le egy olyan speciális forward ügylete,
melynek értelmében 1 millió darab részvényt vesz 80 millió euróért. Hány
eurót ér ma ez a forward pozíciója?
Megoldás:
Nézzük meg, hogyha le szeretné szintetikusan zárni a poziját, akkor milyen
lépések kellenének:
1.) Ma rövidre elad (shortol) 1 millió részvényt, kap érte 108 mio dollárt
2.) a 108 millió dollárból félre kell rakni az 5 és a 11 hónap múlva
esedékes osztalékokra:
780000/(1+1%)^(5/12) + 780000/(1+1%)^(11/12) = 776.772,84 +
772.917,86 =
= 1.549.690,70 dollárt kell betétekbe tennie összesen az osztalékok miatt,
marad
106.450.309,30 dollár
3.) A forward lejáratakor ki kell fizessen 80 millió eurót. Ennek a
jelenértéke ma
80mio/(1-0,40%)^(12/12) = 80.321.285,14 euró, ami
80.321.285,14*1,0641 = 85.469.879,52 dollár, vagyis, ha ezt is félreteszi,
akkor is marad:
106.450.309,30-85.469.879,52 = 20.980.429.78 dollár, ami
20.980.429.78/1.0641 = 19.716.595,98 eurót ér, vagyis a speciális
forward ügyletek ez a pillanatnyi piaci értéke.
3.35. Egy carry trader abban bízik, hogy az orosz rubel kevesebbet fog
gyengülni a dollárral szemben, mint amekkora a határidős árfolyam és a
spot árfolyam különbsége. Kétféleképpen valósítja meg ma a spekulációt,
egyrészt bankjával köt egy OTC ügyletet, melynek értelmében 4 hónapos
futamidőre elad 500 ezer dollárt rubelért cserébe 35,40-as árfolyamon,
másrészt 6 kontraktusnyi long pozíciót vesz fel a Chicago Mercantile
Exchange-re bevezetett szeptemberi RUR futures-ben 0,02824-es
árfolyamon. A RUR futures kontraktusmérete 2,5 millió rubel, az
árjegyzés pedig inverz, vagyis 1 dollár rubelben kifejezett áráról szól. A
futures és a forward ügylete pont ugyanazon a napon jár le. A 4 hónap
futamidőre a dollár effektív hozama 0,5%, a rubel effektív hozama 7%.
a) A fenti információk alapján becsülje meg, hogy mekkora lehet az
azonnal USDRUB árfolyam!
b) Mekkora USDRUB spot pozíciónak felel meg a carry trader delta
érzékenysége?
Megoldás:
a) F=QS/P
Q=1/(1+0,5%)^(4/12)=99,8339%
P=1/(1+7%)^(4/12)=97,7700%
S=35,40*97,77%/99,8339%= 34,6682
b) fwd deltája = Névérték * Q = 500.000*99,8339%=499.169,5
futures kontraktusmérete USD-ben kifejezve 2.5 mio*0,02824=70.600
fut deltája = kontraktuszám*kontraktusméret*Q/P=
=6*70600*99,8339%/97,7700%=432.542,10
A carry trader deltája összesen: 931.711,6 dollárnyi spot USDRUB
pozinak felel meg.
3.36. Egy kereskedő a Chicago Mercantile Exchange-en (CME) megkötött
20 kontraktusnyi long AUDUSD futures pozícióját (1 kontraktus
névértéke 100.000 AUD) egy kereskedelmi bankkal kötött 2 millió AUD
45
névértékű AUDUSD short forwarddal fedezte le, úgy hogy a forward és a
futures lejárata ugyanaz legyen.
a) Mekkora az így kialakított portfolió deltája, ha a futures lejáratára
vonatkozó AUD elemi kötvény árfolyama 97,81% és az USD elemi
kötvény árfolyama pedig 99,15%?
b) Mennyit nyer, vagy veszít a kereskedő az így kialakított portfolión, ha
1%-kal emelkedik az AUDUSD árfolyam?
Megoldás:
a) Q=97,81% (base currency elemi kötvénye)
P= 99,15% (secondary currency elemi kötvénye)
Long futures delta: Q/P * 100.000*kontraktusszám
Short forward delta: -Q * névérték
20 kontr. long futures deltája: +20*100.000*97,81%/99,15% =
+1.972.970,247 AUDUSD
2 millió short forward deltája: -2.000.000*97,81% = - 1.956.200,-
AUDUSD
A portfolió deltája összesen: +16.770,247 AUDUSD
b) +1% esetén kb 167,70 AUD-ot nyer
3.37. A Chicago Mercantile Exchange (CME) RFH6 és 6EH6 jelű futures
ügyletei 2016 március 14-én, 47 nap múlva járnak le. Az RFH6 árfolyama
1,0961, lejáratkor a long futures pozcióban lévő fél kontraktusonként
125000 eurót kap, és svájci frankot fizet érte. A 6EH6 árfolyama 1,0808,
lejáratkor a long futures pozícióban lévő fél 125000 eurót kap és dollárt
fizet érte. A spot EURCHF árfolyam 1,0965, a spot EURUSD árfolyam
1,0796. Ha a dollár lineáris kamatot 0,50%-on (ACT/360) fixáljuk,
mekkora implicit EUR és CHF kamatokat feltételeznek a határidős
árfolyamok?
Megoldás:
Három devizáról van szó: EUR, CHF, USD, ezek közül a dollárnak tudjuk
a kamatát. Node az EURUSD spot és futures együtt implicit meghatározza
az EURUSD FX swapot, így ha meg van a dollár kamat, akkor adódik az
EUR kamat. Amint meg van az EUR kamat, akkor az EURCHF spot és
futures viszonylatából kijön a CHF kamat.
#1 EURUSD viszonylatban:
P= DF_USD = 1/(1+47/360*0,50%)
Q = DF_EUR = (F/S)*P = (1,0808/1,0796)* 1/(1+47/360*0,50%) =
100,0458% = 1/(1+47/360*r_EUR)
r_EUR = (1/100,0458% -1)*360/47= kb -0,35%
#2 EURCHF viszonylatban:
P = DF_CHF
Q = DF_EUR = 100,0458%
P= (QS)/F = 100,0458%*1,0965/1,0961 = 100,0823% =
1/(1+47/360*r_CHF)
r_CHF = (1/100,0823% -1)*360/47= kb -0,63%
3.38. 1 éve kötöttünk egy akkor 2 éves speciális határidős ügyletet, melynek
értelmében lejáratkor 5 millió eurót és 5 millió dollárt vásárolunk összesen
2,5 milliárd forintért cserébe. Mennyit ér ez a pozíciónk most, ha a
releváns futamidőkre az euró és a dollár effektív hozamgörbe 0%-on
vízszintes, míg a forint effektív hozamgörbe 2%-on vízszintes, az
EURHUF spot árfolyam 310, az EURUSD spot árfolyam pedig 1,2500?
Megoldás:
Általános árazási alapelv, hogy meg kell nézni, most mennyibe kerülne
ugyanezt szintetikusan létrehozni, aztán ahhoz hasonlítjuk a meglévő
derivatívánkat.
Talán az a legegyszerűbb, ha azt nézzük meg, hogy hogyan lehetne ezt az
ügyletet most létrehozni szintetikusan. Kellene 5 mio long USDHUF fwd
és 5 mio long EURHUF forward fair kötési árfolyama.
EURHUF spot = 310; EURHUF 1Y FWD = 316,20
USDHUF spot = 310/1,2500 = 248; USDHUF 1Y FWD = 252,96
Tehát, ha most vásárolnánk határidőre 5 millió EUR-t és 5 millió USD-t,
akkor az összesen lejáratkor 5 mio * 316,20 + 5 mio * 252,96 = 2845,80
millió forintba kerülne. Tehát a pozíciónk pillanatnyilag 2845,80-
2500=345,80 millió lejáratkori forintot ér, ami 345,80/1,02= kb 339,01
millió mai forint.
3.39. Egy kereskedő a WTI (West Texas Intermediate) típusú nyersolaj
piacán +1 kontraktus MAR; -1 kontraktus APR; -1 kontraktus MAY; +1
kontraktus JUN lejáratú futures pozíciókat vett fel még valamikor
novemberben. 2015. december 29-én és 30-án az alábbi táblázat alapján
alakultak a nap végi elszámolóárak. Egy kontraktus 1000 hordóról szól,
az árfolyamot dollárban jegyzik.
47
MAR APR MAY JUN
2015.12.29. 37,68 38,56 39,27 39,90
2015.12.30. 38,36 39,13 39,84 40,46
a) Contango, vagy backwardation figyelhető meg a WTI piacán az egyes
napokon?
b) Milyen nevezetes pozíciója van a kereskedőnek?
c) Összességében hány dollárt kell fizetnie, vagy hány dollárt fog kapni a
kereskedő a 2015. december 30-i változó letét elszámolás során?
Megoldás:
a) contango, hiszen a távolabbi futures-ök árfolyama nagyobb. Ez mindkét
napra igaz.
b) ↑↓↓↑, vagyis long condor = long keselyű pozíció
c) Akármennyi is volt a pozíció margin igénye december 29-én, a 30/DEC-
es elszámolóárak eleve a 29/DEC állapothoz hasonlítják a fedezetigényt.
Ahogy a piaci érték egyik napról a másikra változik, ez a fedezetigényben
ez ellentétes előjellel megjelenik. Vagy másként megközelítve: ha a
legutóbbi elszámoláshoz képest nyertem egy pozíción a mai
elszámolóárral beértékelve, akkor a nyereséget megkapom, ha
veszítettem, akkor pedig ki kell fizetnem. Ez a napi elszámolás lényege. Az
teljesen mindegy már, hogy novemberben milyen árfolyamok mellett
nyitottam a keselyűt, minden elszámolás után a legutolsó elszámolóár
szintjéig kiegyenlítődnek a dolgok, így mindig „naprakész” lesz.
+1 MAR piaci értékének változása: +1*1000*(38,36-37,68)= +680
-1 APR piaci értékének változása: -1*1000*(39,13-38,56)= -570
-1 MAY piaci értékének változása: -1*1000*(39,84-39,27)= -570
+1 JUN piaci értékének változása: +1*1000*(40,46-39,90)= +560
Összesen a pozíció piaci értéke 100 dollárral nőtt, vagyis kapni fog 100
dollárt.
3.40. Egy „X” részvény azonnali árfolyama 4320/4330 forint (bid/offer). A
cég közgyűlése idén 145 forintos részvényenkénti osztalékfizetésről
döntött, melyet pont 1 hónap múlva fizetnek ki, de a saját részvényekre
fizetendő osztalékot a többi részvényesek között szétosztják. (Így a saját
részvények után nem lesz osztalék, minden más részvénytulajdonos
viszont egy kicsit többet kap.) Az cégnek 280 millió részvénye van
összesen, ebből 3.818.993 darab saját részvény. Idén más alkalommal
biztosan nem fizet a részvény osztalékot. Éven belüli futamidőkre hitelhez
3%-os effektív hozam mellett juthatunk, míg kockázatmentes
befektetéseket 2%-os effektív hozam mellett tudunk kihelyezni.
a) Mennyi osztalékot fizet (forintra kerekítve) egy darab nem saját
részvénynek minősülő részvény?
b) Adjon olyan kétoldali árjegyzést (forintra kerekítve) 8 hónap múlva
lejáró futures ügyletre, melyen, ha üzletkötés történik, éppen nulla
eredménnyel szintetikusan le tudja fedezni azonnali részvény adásvétellel
és betét/hitel műveletekkel!
Megoldás:
a) összes osztaléktömeg: 280 mio db x 145 forint = 40,6 milliárd forint
ezt az ösztaléktömeget (280 mio -3818993) felé osztva egy részvényes
147,0050 forintot, azaz forintra kerekítve 147 forintot kap majd.
b) Mi legyen a bid? Ha megütik, akkor eladják nekünk határidőre, vagyis
lesz egy LF pozíciónk. Emellé kell egy szintetikus SF pozíciót építeni.
Ehhez short részvény kell és betétet kell elhelyezni. Egy gond van, a 147
forint osztalék, amit majd nekünk kell kifizetnünk a short pozi miatt, ennek
a jelenértékét 1 hónapra fektessük be, a többi pénzt pedig 8 hónapra.
Részvény eladás 4320-on.
147/(1+2%)^(1/12)= 146,76, ennyi pénzt 1 havi betétbe kell rakni, hogy
ki tudjuk fizetni az osztalékot. A maradék 4173,24 forintot pedig 8 havi
betétbe kell rakni.
=4173,24*(1+2%)^(8/12)=4228,7, érdemes lefelé egész forintra
kerekíteni 4228 a fair bid
Mi legyen az offer? Hasonló logikával
Venni kell részvényt 4330-on, ehhez két hitel kell, az egyik pont annyi
legyen, hogy 1 hónap múlva 147-et kelljen visszafizetni, mert ezt az
osztalékból meg tudjuk tenni.
147/(1+3%)^(1/12)= 146,64
Maradék: 4183,36-nyi hitel, ezt 8 hónap múlva kell kamatostul
visszafizetni, ami
=4183,36*(1+3%)^(8/12)=4266,61, érdemes felfelé kerekíteni és 4267 a
fair offer
3.41. Az „X” részvény azonnali árfolyama 3800/3820 forint, az elemzők
szerint részvényenként legalább 120, legfeljebb 150 forint osztalékot fog
fizetni pont 6 hónap múlva. Éven belüli futamidőkre 2%-on tud
kockázatmentesen forintot befektetni, míg 3%-on jut forint hitelhez.
Hogyan arbitrálna, és legalább mekkora arbitrázsnyereséget érne el
49
lejáratkori pénzben kifejezve, ha 1000 darab „X” részvényre a következő
1 éves határidős árjegyzést látná: 4030/4090?
Megoldás: Próbaképpen nézzük meg, mi lenne, ha eladnánk határidőre:
1.) 1000 db „X” részvény határidős eladása 4030-on. 1 év múlva
4.030.000 forintot fogunk kapni és 21000 db részvényt kell majd
odaadnunk érte.
2.) 1000 db „X”részvény azonnali vétele 3820-on, ez most 3.820.000,
forintba kerül, amit kétféle hitelből finanszírozunk:
3.) fel kell venni annyi hitelt fél évre, amit majd az osztalékból fizetünk
vissza. Legalább 120 forint lesz az osztalék, így 120.000,- forint
jelenértékének megfelelő hitelt kell felvenni fél évre, ez
120000/(1,03)^(0,5)=118239,51 forint.
4.) A maradék 3820000-118239,51= 3.701.760,49 forintot pedig 1 éves
hitelből kell finanszírozni, aminek következtében 1 év múlva
3.701.760,49*(1,03)^1 = 3.812.813,31 forintot kell majd visszafizetnünk.
Az 1.) és a 4.) pontból látszik, hogy lejáratkor legalább 4.030.000-
3.812.813,31=217.186,69 forintot fogunk nyerni. Persze lehet, hogy picit
többet, mert ha fél év múlva 120 forintnál több osztalékot fizet az „X”
részvény, akkor a 120 forint fölötti összeget 2%-on befektetve év végi
profitunkhoz hozzáadódik.
3.42. Fél éve egy alapkezelő kötött egy olyan speciális határidős ügyletet,
melynek értelmében 2015. december 9-én (mától 6 hónap múlva) 100 000
darab „X” részvényt vásárol 4,5 millió euróért. Az „X” cég idén már nem
fizet osztalékot. A spot EURHUF árfolyam 311,85/312,00, az „X” spot
árfolyama 15000/15020 forint. Éven belüli futamidőkre euróban
befektetni 0%-os, hitelt felvenni 1%-os effektív hozam mellett van
lehetősége. Hogyan tudná kizárólag azonnali piaci és kamatügyletekkel
szintetikusan lezárni ezt a pozícióját az alapkezelő és mennyit ér számára
ez a határidős pozíció?
Megoldás: Először is, az könnyen látszik, hogy egy long forward ügylete van.
Úgy tudná lezárni, ha eladna „X” részvényt és az ebből befolyó forintból
eurót vásárol, majd ezt az eurót fél évre befekteti.
#1) 100000 „X” eladása 14.960-as árfolyamon, ebből 1,5 mrd forint folyik
be
#2) Az 1,5 mrd-ből 312-es árfolyamon 4.807.692,31 EUR-t kell venni.
#3) Ez az euró fél évre befektetve 0%-on pont ugyanennyi euró lesz majd.
Mivel 4,5 millió eurót fog fizetni a határidős ügylete értelmében a 100.000
darab „X” részvényért, ezért lejáratkori pénzben számolva 307.692,31
eurót ér neki ez a pozíciója a pillanatnyi piaci körülmények között.
51
4. Határidős ügyletek: fedezés
Alapfeladatok:
4.1. Az Ön cége Németországból szállít gépeket. A legutóbbi szállítás
ellenértékét, 118 ezer eurót, május 8.-án kell rendeznie. Az
árfolyamkockázatot júniusi tőzsdei határidős ügylettel fedezi. Egy
kontraktus mérete 10 000 euró.
a) Mennyit nyer/veszít a fedezeti ügyleten, ha az árfolyamok a táblázatban
szereplő módon változnak?
b) Mennyi ekkor a vállalat eredő forintkiadása?
Ma Májusban Júniusban
Spot árfolyam 247,00
HUF/EUR
240,00
HUF/EUR
244,00
HUF/EUR
Júniusi határidős
árf.
261,65
HUF/EUR
251,65
HUF/EUR
244,00
HUF/EUR
Megoldás:
12 kontraktusnyi euro vételre van szükség a futures piacon ma 261,65-ön.
a) Májusban zárja pozícióját, nyeresége:( 251,65-261,65)·120 000=
-1,2 millió Ft
b) 0,118·240,00+1,2=29,52 millió Ft összesen (eurónként 250,17 Ft)
4.2. Az Ön cége Franciaországba szállít libamájat. A legutóbbi szállítás
ellenértékét francia partnere május 8.-ig kell, hogy rendezze. A
tapasztalatok alapján hamarabb nem is fog fizetni. Az átutalás értéke 88
ezer euró lesz. Hogy az árfolyamkockázatot ne keljen futnia, júniusi
tőzsdei határidős ügylettel fedezi pozícióját. Jelenleg a kockázatmentes
forinthozam minden lejáratra évi 10%, és egy kontraktus mérete 10 000
euró. Várhatóan mekkora bevétele lesz május nyolcadikán, ha a
következőkre számít:
Ma Májusban Júniusban
Spot árfolyam 245,00
HUF/EUR
240,00
HUF/EUR
245,00
HUF/EUR
Júniusi határidős
árf.
261,65
HUF/EUR
251,65
HUF/EUR
245,00
HUF/EUR
Megoldás:
a) 9 kontraktusnyi euro eladásására van szükség. Nyereség: 90
000·(261,65-251,65)=900 000 Ft
b) Eredő eladási ár: (88 000·240+900 000)/88 000= 22 020 000/88 000=
250,23 Ft
4.3. Az „A” és a „B” részvények és az „M” piaci portfólió közötti korrelációkat
tartalmazza a lentebbi táblázat. Az A részvény árfolyama 500 Ft,
hozamának szórása 20%, a B részvény árfolyama 800 Ft, hozamának
szórása 30%. A piaci portfólió hozamának szórása 25%, a kockázatmentes
effektív hozam 12%. Milyen irányú és hány darab „B” részvényre szóló,
egy éves futures ügyletekkel lehet keresztfedezni egy 1000 darab „A”
részvényből álló portfóliót, ha a cél a béta „lenullázása”? Vegye
figyelembe a futures deltáját is!
Megoldás:
A=0,50,2/0,25=0,4
B=0,40,3/0,25=0,48
10005000,4+x8000,48=0
ebből: x=-520,83. Tehát kb. 521 db „B” részvényt kellene eladni prompt
vagy forward.
delta=1,12
Ezért 520,83/1,12=kb. 465 darabot kell eladni futures.
4.4. Ön egy 10 millió Ft értékű jól divezifikált részvényportfóliót kezel,
amelynek a BUX-ra vonatkoztatott bétája 1,5. A piacon 2-féle fedezeti
eszköz van: FED, amelynek BUXra vonatkoztatott bétája 0,8 és DEF,
amelynek BUXra vonatkoztatott bétája 0,7. Prompt árfolyamuk rendre 1
200 és 1 250, határidős árfolyamuk rendre 1 350 és 1 500. Egy kontraktus
a fedezeti eszközök 10-szeresére szól /ehhez a forward piacon is
ragaszkodjunk/. Melyik fedezeti eszközt és forward vagy futures piacon
használná, ha a zéróbéta portfólió kialakítása mellett a másik cél a fedezeti
költségek minimalizálása?
Megoldás:
Mindenképpen futures piacon kötjük az üzletet, mert a delta miatt, ott
kevesebb kötés is elég.
A B M
A 1 0,3 0,5
B 0,3 1 0,4
M 0,5 0,4 1
53
FED: Delta: 1 350/1 200 = 1,125
10 000 000 ·1,5 + X·135·10·0,8 = 0
X = 1 389 db short forward kötésre van szükség
X/delta = 1 235 db short futures kötésre van szükség
Költség: 1 235·1 350 = 1 667 250 Ft
DEF: Delta: 1 500/1 250 = 1,2
10 000 000·1,5 + Y·1 500·10·0,7 = 0
Y = 1 429 db short forward kötésre van szükség
Y/delta = 1 191 db short futures kötésre van szükség
Költség: 1 191·1 500 = 1 785 500 Ft
Tehát FED-del fogunk fedezni futures piacon, mert az olcsóbb.
4.5. Ön egy 100 millió Ft értékű jól diverzifikált részvényportfóliót kezel. A
BUX jelenlegi értéke 26 000, a három hónapos futures BUX árfolyam 27
000. Egy kontraktus a BUX-index 10-szeresére szól. A FED fedezeti
eszköz (speciális részvényportfólió) prompt árfolyama 2 600, három
hónapos futures árfolyama 2700. Egy kontraktus 100 fedezeti eszközre
szól. A kovarianciákat az alábbi táblázat tartalmazza:
Saját portfólió BUX FED
Saját portfólió 400 240 100
BUX 900 180
FED 100
a) Hány darab és milyen irányú BUX futures kontraktussal tudná
portfóliójának piaci kockázatát nullára csökkenteni, illetve varianciáját
minimalizálni?
b) Hány darab és milyen irányú FED futures kontraktussal tudná
portfóliójának piaci kockázatát nullára csökkenteni, illetve varianciáját
minimalizálni?
Megoldás:
a) h=240/900·100M/27e=987,68 db, tehát kb 99 darabot kell shortolni
akár a bétát akarjuk nullázni, akár a varianciát minimalizálni.
b) Bétanullázás:ßportfolió=240/900=0,27 és ßFED=180/900=0,2
Innen0,27·100M-x·0,2=0 egyenletet kell megoldani. Ebből x=135 M.
Darab=135 M/2 700=50 000 darab, azaz 500 kontraktus short.
Varianciaminimalizálás: 1·100M/2 700=37 037, azaz 370 darab short
4.6. Az Ön cége réztermeléssel foglalkozik. A rézár okozta kockázatot
határidős ügylettel fedezik. Egy félév múlva esedékes 300 tonnás
szerződést még elődje fedezte le a múlt hét végén, mielőtt munkahelyet
váltott. Elődje 60 kontraktus határidős rezet adott el júniusra, egy
kontraktus mérete 5 tonna. Ön utánanézett, hogy a réz azonnali árfolyama
1 200 dollár/tonna, a réz azonnali árának szórása évi 400 dollár. A júniusi
határidős ár 1 240 dollár/tonna, a júniusi határidős ár szórása 420 dollár.
A határidős és az azonnali ár közötti korrelációs együttható az elemzések
szerint 0,8.
a) Mi a véleménye elődje fedezeti stratégiájáról?
b) Mekkora a fedezett portfólió szórása?
Megoldás:
a) h=x2/x1=ρ·s1/s2=0,8·400/420=0,762 ebből x2=300·0,762=228,57
tonna. Ennyit kellett volna eladni. Túl sokat adott el.
b) A fedezett portfólió varianciája =
3002·4002+3002·4202-2·300·300·400·420·0,8=78 0002, szórása=78 000
USD
4.7. Egy malomipari cég határidős búzakontraktusokkal szeretné fedezni a
búza árfolyamának kockázatát. Júniusban 500 egység búzára lesz
szüksége. A gabonatőzsdén a búza júniusi határidős árfolyama 12 ezer
dollár/egység, a júniusi határidős árfolyam szórása 3 ezer dollár. A búza
azonnali árfolyama 11 ezer dollár/egység, az azonnali ár szórása 2 ezer
dollár. A határidős és az azonnali ár közötti korrelációs együttható az
elemzések szerint 0,75. Hány egység búzát kell venni/eladni a határidős
piacon, ha cél a teljes variancia minimalizálása?
Megoldás:
h=ρ·s1/s2=0,75·2/3=0,5 ebből 500·0,5=250 egység búzát kell venni a
forward piacon.
delta=F/S=12 000/11 000=1,091
Ezért 250/1,091=229,17, azaz 229 egység búzát kell venni a futures
piacon.
4.8. Egy búzatermelő cég arra számít, hogy szeptemberben 600 egységnyi „C”
típusú búzát tud majd eladni. A búza árfolyamának kockázatát már most
fedezni szeretné. A gabonatőzsdén csak „A” és „B” kategóriás
búzafajtával kereskednek a szeptemberi lejáratra (a többi lejárat nem is
likvid). A szeptemberi határidős árfolyamokat, szórásukat és a prompt
búzaárfolyammal vett korrelációjukat a következő táblázat mutatja:
55
Határidős árfolyam
ma
Határidős
árfolyam
szórása
Határidős árfolyam
korrelációja a
prompt
árfolyammal
„A” fajta
búza
12 ezer
dollár/egység
3 ezer dollár 0,85
„B” fajta
búza
15 ezer
dollár/egység
5 ezer dollár 0,78
A „C” kategóriás búza azonnali árfolyama 10 ezer dollár/egység, melynek
szórása 2 ezer dollár.
a) Melyik fajta búzát kell venni vagy eladni határidőre? Miért?
b) Hány egység búzára kell kötni a fedezeti ügyletet a határidős piacon,
ha a cél a teljes variancia minimalizálása?
Megoldás:
a) Az „A” fajtát kell eladni, mert azzal korrelál legjobban a prompt
árfolyam.
b) h=ρ·s1/s2=0,85·2/3=0,57 azazl 600·0,57=340 egység búzát kell eladni
forward.
4.9. Egy kötvényportfólió átlagideje 3.5 év, értéke 100 millió Ft. Önnek
lehetősége van egy 2,5 év átlagidejű kamatozó kötvényt 1 éves határidőre
adni-venni a bankközi piacon. (Egy kötvény névértéke 10 ezer Ft, prompt
nettó árfolyama 99%, bruttó árfolyama 103%, a hozamgörbe 10%-on
vízszintes.) Hány darab és milyen irányú kötésre van szükség, ha a
portfólió átlagidejét 2 évre kívánja módosítani?
Megoldás:
(100·3,5+x(2,5-1))/100=2 ebből x=-100, azaz 100 millió Ft mostani
értékű kötvényt kell shortolni. Egy kötvény bruttó prompt
árfolyama=10300 Ft. Kontraktusszám=-100millió/10300=-9708,74, azaz
kb. 9709 darab kötvényt kell határidőre eladni.
4.10. A loghozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy kötvényalap piaci értéke 8
Md forint, átlagideje 2 év. Az alapkezelő elhatározta, hogy (lejáratkor)
féléves DKJ-re szóló féléves határidős ügylettel megnöveli a portfólió
átlagidejét. Az ügylet 2 Md forint névértékű kötvényre szól. Számítsa ki a
kötvényportfólió új átlagidejét!
Megoldás:
LF= LU + SB
LU: 2·e(-0,1)=1,8097 DUR: 1 év
SB: -1,8097 DUR: 0,5 év
DURportfólió = [8·2+1,8097·(1-0,5)]/8 = 2,1131 év
4.11. A loghozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy kötvényalap piaci értéke
1Md forint, átlagideje 2 év, a loghozamgörbére vonatkoztatott görbülete
6. Az alapkezelő elhatározta, hogy egyéves DKJ-re szóló féléves long
határidős pozíciót nyit. Az ügylet 500 millió forint névértékű kötvényre
szól.
a) Nőtt vagy csökkent ennek hatására a kötvényportfólió átlagideje és
görbülete?
b) Számítsa ki a kötvényportfólió új átlagidejét és konvexitását!
Megoldás:
a) Mindkettő nőtt.
b) LF=LU+SB
LU: jelenérték= +500·e-0,1=+452,42; átlagidő=1 év; konvexitás=1
SB: jelenérték= -452,42; átlagidő=0,5 év; konvexitás=0,25
DURportfólió=1·2+0,45242·(1-0,5)=2,226 év
Cportfólió=1·6+0,45242·(1-0,25)=6,339
Nehezebb feladatok:
4.12. A Happy Milk tehenészetnek hamarosan 750 tonna takarmányárpát kell
vásárolnia az azonnali piacon. A takarmányárpa azonnali árfolyamának
ingadozásából fakadó kockázatot márciusi lejáratra szóló határidős
malátaárpa (malting barley) kontraktusokkal kívánják fedezni. A NYSE
Euronext-en egy kontraktusnyi malátaárpa 50 tonnáról szól. Szakértők
becslései alapján a malátaárpa árváltozás-szórása a takarmányárpa
árváltozás-szórásának másfélszerese, a két árváltozás közti korreláció
+0,90.
a) Long, vagy short malátaárpa futures-t kössön a tehenészet?
b) Hány kontraktusnyi malátaárpa futures-t kössön?
c) Röviden indokolja meg, miért lehet racionális malátaárpa futures-szel
fedezni a takarmányárpa-kitettséget!
Megoldás:
a) long, hiszen a keresztfedezet alapjául szolgáló termékben a természetes
kitettsége short és ezt akarja fedezni.
57
b) Direkt úgy lett átfogalmazva a feladat, hogy az optimális fedezési
aránynál ne legyen gond és használni lehessen a képlet első felét, amihez
viszont lényegileg minden adott.
ℎ = −𝜌𝐴,𝐵
𝑠𝐴
𝑠𝐵 (= −𝜌𝐴,𝐵
𝐴𝜎𝐴
𝐵𝜎𝐵)
Persze annyi trükk kell, hogy az sA/sB már eleve arányként van megadva,
tehát nem tudjuk őket külön, csak azt, hogy ez a hányados 1/1,5 = 2/3
A szükséges mennyiség tehát:0,9 * 2/3 *750/50=9 kontraktust kell venni.
c) Igen, van értelme, mert lehet sokkal likvidebb a malátaárpa piaca,
ráadásul +0,9-es korreláció fennmaradásában racionálisan is lehet hinni
(elég abban hinni, hogy nem csökken jelentősen és akkor már megéri
legalább ennyit fedezni), hiszen mindkettő hasonló mezőgazdasági termék,
az előállítás során feltehetően a jobb minőségű lesz a malátaárpa a
rosszabb meg a takarmányárpa.
4.13. A brazil index azonnali értéke 60000 pont, az index total return alapon
számolódik, így derivatíváinál az osztalékhozammal nem kell külön
korrigálni (Q=1). A kockázatmentes brazil reál effektív hozamgörbe első
féléves szakasza 12%-on vízszintesnek tekinthető. Egy kereskedő 100
kontraktus short áprilisi futures-t szeretne februári futures-ökkel fedezni.
A februári futures lejáratáig 40 nap van hátra, az áprilisi lejáratáig 100
nap. Hány kontraktusnyi februári futurest kössön, ha azt szeretné, hogy a
deltája minél közelebb legyen nullához?
Megoldás:
delta_futures = Q/P = 1/P
P_február = 1/(1+12%)^(40/365) = 98,77%
P_április = 1/(1+12%)^(100/365) = 96,94%
X*1/98,77% -100*1/96,94% = 0
X = 100/96,94%*98,77% = 101,89, tehát 102 kontraktusnyi februári long
futures pozíció kell.
4.14. Egy osztalékot nem fizető részvény futures piacán long bázis pozíciót
hoztunk létre 20 kontraktusnyi szeptemberi (4 hónap múlva lejáró) és 20
kontraktusnyi decemberi (7 hónap múlva lejáró) futures pozíció
felhasználásával. Egy kontraktus 100 részvényről szól. A kockázatmentes
effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Hány részvényt kellene
megvenni, vagy eladni az azonnali piacon ahhoz, hogy a pozíciónk
deltasemleges legyen?
Megoldás:
Az első kérdés, hogy miért van egyáltalán deltánk? A long bázis +20 SEP
-20 DEC kötést jelent, vagyis a spread elvileg ugyanannyi long és
ugyanannyi short pozíciót tartalmaz, csakhogy a futures deltája Q/P,
vagyis függ a futures futamidejétől is! A jelenség hátterében az áll, hogy
a futures ügyletek napi marginelszámolásúak, így a nyereséget és a
veszteséget is gyakorlatilag azonnal elszámolják, így ezek kamathatása is
fellép.
Mivel nincs osztalék: Q_SEP=1; Q_DEC=1
P_SEP=1/(1+10%)^(4/12)=96,8729%
P_DEC=1/(1+10%)^(7/12)=94,5920%
A szeptemberi futures pozíció deltája: +20*100*1/96,8729%= +2064,56
darab azonnali részvény tartásának felel meg.
A decemberi futures pozíció deltája: -20*100*1/94,5920%= -2114,34
darab azonnali részvény tartásának felel meg.
Összesen: -49,78 darab azonnali részvénypozíciónak megfelelő a long
bázis érzékenysége, ezért 50 darab részvényt lenne érdemes venni az
azonnali piacon, ha pillanatnyilag delta-semlegesek szeretnénk lenni.
4.15. Egy kötvénykereskedő a mai aukción 500-500 millió forint névértékben
vásárolt egy éves diszkontkincstárjegyet és három éves végtörlesztéses
államkötvényt. Az egy, két és három éves elemi kötvények árai rendre
96%, 91% és 84%.
a) Mekkora a három éves kötvény névleges kamatlába, ha tudjuk, hogy a
kötvényt 100%-on bocsátották ki és évente egyszer fizet kamatot (az
elsőt pont egy év múlva fizeti)? (1 pont)
b) Mekkora a portfolió átlagideje? (1 pont)
c) A kereskedő azt szeretné, hogy pontosan 1 év legyen a portfoliójának
az átlagideje. Lehetősége van két éves határidőre eladni egy éves
futamidejű diszkontkincstárjegyeket (vagyis a határidős ügylet
lejáratakor, két év múlva lesz pont egy éves az alaptermék DKJ).
Mekkora névértékben kellene ilyen diszkontkincstárjegyeket eladnia?
(1 pont)
Megoldás:
a) A par kamat kell, ami 5,90%.
b) A portfolió átlagidejéhez kellene tudni a portfolióelemek átlagidejét és
a piaci értéküket. A DKJ piaci értéke 0.96%*500 mio = 480 mio,
átlagideje 1 év. A kötvény átlagideje: 2,8327, ennek viszotn könnyen
59
adódik a piaci értéke, mert pont 100%-on bocsátották ki, vagyis 500 mio.
(480mio*1+500mio*2,8327)/(480mio+500mio) = 1.935 év
c) SF = SB1.5Y+LB0.5Y
d) Most 3 éves a DKJ amit shortolunk majd!
1 = (980mio * 1.935 év – X mio*3 év + X mio * 2 év)/(1000 mio - X mio
+ Xmio)
X = 896,30 mio piaci értékben kellene ilyen DKJ-t eladni.
Egy három eves DKJ ára 84%, ezért kb 1067,02 millió forint névértékben
kellene eladnia.
4.16. Egy kötvénykereskedőnek lehetősége van 2022/A államkötvényre
szóló fél éves OTC határidős ügylettel csökkenteni az 500 millió forint
névértékű 2028/A állampapírból álló portfoliójának hozamgörbe-
kitettségét. A 2022/A bruttó árfolyama 129,44%, átlagideje (duration)
4,55 év, a 2028/A bruttó árfolyama 132,46%, átlagideje 9,90 év.
a) Eladjon, vagy vegyen határidőre 2022/A kötvényt vagyis long, vagy
short határidős ügyletet kössön?
b) Mekkora névértékben kössön határidős ügyletet, ha célja, hogy az
átlagideje nulla év legyen?
c) Mekkora névértékben kössön határidős ügyletet, ha célja, hogy az
átlagideje 5 év legyen?
Megoldás:
a) Short forward kell a long bond alap pozi mellé.
b) Az 500 mio long 2028/A portfolio piaci értéke: 500 mio x
132,46%=662,30 mio forint.
Mennyi forward kell? A forwardot a duration számításwnál két labra
érdemes bontani: az egyik a forward alaptermékéül szolgáló kötvényben
felvett pozíció, a másik pedig a határidős ügylt lejáratáig tartó
finanszírozó/betétkihelyező láb. Mivel itt short forward kell, ezért a
pozíció short 2022/A kötvényre és long fél éves DKJ-re bomlik, úgy, hogy
a kettő jelenlegi piaci értéke megegyezik, így adódik a duration-re a
következő egyenlet:
(662,30 mio * 9,90 év - X mio * 4,55 év + X mio * 0,5 év) /(662,30 mio –
X mio + X mio) = 0.
X= 1618,96 mio, node ez piaci érték, a forward megkötésénél pedig a
kötvény névrétke a kérdés.
Tehát az immunizáláshoz szükséges forward mennyisége:
1618,96 mio / 129,44% = 1250,74 mio forint, vagyis kb 1,25 milliárd
névértéknyi 2022/A papírt kell fél évre határidőre eladni ahhoz, hogy 0,5
mrd névértéknyi 2028/A papírt immunizálni tudjunk.
c) Ha nem nulla duration-t szeretnénk, hanem cask a 9,90 évről lemmeni
5 évre, akkor nyilván kevesebb 2022/A kötvényre szóló shot forward kell
majd. Az előző egyenlet átalakul erre:
(662,30 mio * 9,90 év - X mio * 4,55 év + X mio * 0,5 év) /(662,30 mio –
X mio + X mio) = 5 év.
X= 721,17 mio, node ez piaci érték, a forward megkötésénél pedig a
kötvény névértéke a kérdés.
Tehát 721,17 mio / 129,44% = 557,15 mio névétékben kell 2022/A papírt
eladni ahhoz, hogy az átlagidő 5 év legyen.
4.17. A török állampapírokból becsült 1, 2 és 3 éves török líra (TRY)
diszkontfaktorok rendre 90%, 84%, 79%. Egy bank portfoliójában 70
millió TRY névértékű, 10%-os névleges kamatozású, évente egyszer
kamatot fizető, 3 év futamidejű, végtörlesztéses államkötvény van.
Emellett 200 millió TRY névértékben kötött 1 éves diszkontkincstárjegyre
vonatkozó 2 év futamidejű határidős eladási ügyletet. A TRY hozamgörbe
párhuzamos felfelé tolódása esetén nyer, vagy veszít a bank? Állítását
számítással is támassza alá!
Megoldás:
Érdemes lenne a duration-t kiszámolni és annak az előjeléből adódik a
válasz.
A határidős DKJ eladást érdemes spot 3 éves SB és spot 2 éves LB-nek
felfogni. A duration-t lehet eleve a derivatívával együtt értelmezett teljes
cash flow-ra számolni, ehhez összesíteni kellene a cash flow-kat.
Kötvény CF: + 10%*70 mio + 10%*70 mio +110%*70
mio
SB CF: 0 0 - 200 mio
LB CF: 0 + 200 mio*79%/84% 0
TOTAL CF: 7 mio +195.095.238,10 -123 mio
Ennek az átlagideje ránézésre pozitívnak tűnik, de azért számoljuk is ki:
DUR(TOTAL) = [ 1 év * 7 mio *90% + 2 év*195.095.238,10*84% + 3
év * (-123 mio) *79% ] / [7 mio *90%+195.095.238,10*84%+(-123
mio) *79%]=+0,58 év
Tehát a hozamgörbe párhuzamos felfelé tolódása nem kedvez a banknak,
mert a duration-je pozitív, feltehetően veszíteni fog.
61
4.18. Egy kötvényportfolió módosított átlagideje -22, piaci értéke 20 millió
dollár. A portfoliókezelő júniusban lejáró Treasury Bond futures
ügyletekkel -20 000 dollárra szeretné csökkenteni a portfolió konvexitás
nélkül becsült BPV-jét. A CME (Chicago Mercantile Exchange)
számításai alapján a Treasury Bond futures alaptermékéül szolgáló
kötvény módosított átlagideje -18, egy kontraktus 100 000 dollár
névértékű kötvény határidős adásvételéről szól, a határidős árfolyam
157%. A dollár hozamgörbe rövid lejáratokra olyan alacsony, hogy a
számításoknál tekintsük 0%-nak.
a) Becsülje meg a kötvényportfolió BPV-jét a futures ügyletek megkötése
előttBecsülje meg, hogy nagyjából hány bázispontnyi párhuzamos
hozamgörbe eltolódás lenne képes 1 millió dollár veszteséget okozni a
futures ügyletek megkötése előtt!
b) Long, vagy short Treasury Bond futures pozíciót kell kialakítani?
c) Hány kontraktust kössön?
Megoldás:
a) BPV = D* x piaci érték x 0,0001 = -22 x 20 mio x 0,0001 = -44.000
dollár.
b) az a) kérdés értelmezése, ha 1 bázispont felfelé tolódás -44.000 dollár
veszteséget okoz, akkor 1 mio/44000=22,73 = kb 23 bázispont
párhuzamos felfelé tolódás már elég az 1 millió dolláros veszteséghez.
c) Short kell. Legegyszerűbb onnan látni, hogy az alapvető kockázatot a
jó sok long kötvény jelenti, tehát érdemes eladni határidőre a bond
futures-t.
d) A pozíciók BPV-je dollárban kifejezett összeg, így összeadható. Mivel
a 3 havi hozam 0%, az alaptermékül szolgáló kötvény nem fizet kupont,
ezért az F=(QS)/(PK) = S, vagyis a határidős árfolyam éppen úgy
viselkedik, mint a spot árfolyam.
A futures alaptermékéül szolgáló kötvény BPV-je 1 kontraktusnyi méret
esetén:
-18*157%*100000*0,0001=-282,60 dollár.
Ha az eredeti -44.000 dollárnyi BPV-nket -20.000 dollárra szeretnénk
változtatni, akkor kellene nekünk +24.000 BPV, amit kb 24000/-282,60 =
-84,92= kb -85 kontraktussal tud megoldani, vagyis 85 kontraktusnyi
short futures pozi kell.
5. Cseregyletek: kamatcsereügylet, devizacsereügylet
5.1. Az X és az Y vállalat kigyűjtötte a legkedvezőbb hitelkamat-ajánlatokat
egy 10 mFt névértékű, 3 éves futamidejű hitelfelvételre (évi egyszeri
kamatfizetés, egyösszegű törlesztés):
fix Változó
X vállalat 12,10% LIBOR+3.60%
Y vállalat 10.00% LIBOR+2.20%
Az X vállalat fix kamatozású, az Y vállalat pedig változó kamatozású
hitelt szeretne felvenni. Tervezzen olyan csereügyletet, ahol a bank mint
közvetítő 30 bázispontot keres évente és amely mindkét vállalat számára
egyformán vonzó! Partnerkockázattól, adóktól és tranzakciós költségektől
tekintsünk el!
Megoldás:
L L
L+3,6% X BANK Y 10%
8,3% 8%
5.2. Vállalatunk 2 éves, Bubor-hoz kötött változó kamatozású hitelt szeretne
felvenni (évente egyszeri kamatfizetés és egyösszegű törlesztés mellett. A
legjobb ajánlatokat tartalmazza a következő felsorolás:
Változó kamatozású betét/hitel: B%–(B+7)%
Fix kamatozású betét/hitel: 10%–18%
Kamatswap (A Bubor ára): 10%–11%
Közvetlenül, vagy közvetve (fix kamatozású hitelt elcserélve) érdemes
felvenni a változó kamatozású hitelt? Miért?
Megoldás:
Közvetlenül: évi B+7% a kamatköltség.
Közvetve: 18%+B-10%=B+8% a kamatköltség.
Tehát jobban megéri közvetlenül.
5.3. Az F francia vállalat és az Y japán vállalat azonos névértékű fix
kamatozású hitelt szeretne felvenni azonos törlesztési terv és évi egyszeri
kamatfizetés mellett, ám előbbi yenben, utóbbi pedig euróban. Az alábbi
táblázat tartalmazza a számukra elérhető legjobb hitelkamatlábakat:
63
EUR Yen
F 7,2% 3,3%
Y 8% 3,2%
Tervezzen olyan devizacsere-ügyletet, melyben a két vállalat és a
közvetítő egyenlően osztják el egymás között a nyereséget és az összes
árfolyamkockázatot a közvetítő viseli!
Megoldás:
A következő tranzakciók szükségesek 7,2% € 7,8% €
7,2% € F K Y 3,2%Y
2,8% Y 3,2% Y
5.4. Az „A” és „B” vállalat számára elérhető legjobb hitelek költségei (a kívánt
törlesztési terv mellett):
EUR USD
A 7,8% 6,3%
B 9% 8%
Az „A” vállalat euró, a „B” vállalat dollár hitelt szeretne felvenni.
Tervezzen egy olyan csere-ügyletet, amelyben a vállalatok közvetítő
bankot vesznek igénybe, aki 10 bp díjat számol fel ezért euróban; a
maradék nyereség 75%-a pedig az „A” vállalatot illeti, és őt terheli az
összes devizaárfolyam-kockázat is!
Megoldás:
A következő tranzakciók szükségesek 7,9% $ 7,9% $
6,3% $ A K B 9%€
9,1% € 9% €
5.5. Két vállalat A és B a következő feltételek mellett tud fontban, illetve
euróban hitelt felvenni:
A B
Dollár 12% 16%
Euró 9% 12,5%
Az A vállalat euró-, a B vállalat dollárhitelt szeretne felvenni. Tervezzen
devizacsere ügyletet, amelyben az igénybevett pénzügyi közvetítő 10 bp
díjat számol fel dollárban. A maradék hasznon 1:3 arányban osztoznak a
B vállalat javára, de cserébe ő vállalja a teljes devizaárfolyam kockázatot.
Megoldás:
Eredeti felállás szerint: 9% + 16% = 25% kamatot fizetnek összesen. Ha
ellentétesen vesznek fel hitelt: 12% + 12,5% = 24,5% kamatot fizetnek.
Nyereség: 50 bp. A közvetítőnek jár 10, tehát marad 40 bp a két
vállalatnak. 10 bp ebből az A-é 30 bp a B-é. Így az A 9%-0,1%=8,9% és
a B 16%-0,3%=15,7% kamatot fog fizetni összesen.
← 12% $ ← 12,1% $
← 12% $ A K B 12,5%€ →
8,9% € → 8,9% € →
5.6. Egy A besorolású vállalat euro-forint devizacsere-ügyletet kötött egy B
besorolású vállalattal. Az A besorolású vállalat kapja az eurokamatokat és
fizeti a forintkamatokat. Ön szerint melyik cég fut nagyobb
partnerkockázatot? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Amelyik a magasabb kamatot fizeti, annak a számára lesz nagyobb
valószínűséggel pozitív a csereügylet értéke. Ebből a szempontból tehát az
A besorolású fut nagyobb kockázatot (a forint kockázatosabb az eurónál,
magasabb kamatot kér ezért a piac). Ráadásul a B nagyobb
valószínűséggel megy csődbe. Mindkét hatás odavezet, hogy az A nagyobb
partnerkockázatot fut.
5.7. Az effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy kamatcsere-ügylet során
2 éven keresztül, félévente egyszer elcserélnek egy fix kamatlábat a
féléves Bubor-ral. Partnerkockázattól, adóktól és tranzakciós költségektől
tekintsünk el!
a) Mekkora az az éves szinten kifejezett fix névleges kamatláb, melyet a
féléves Buborral cserélnek?
b) Mennyit érnek ma a csereügyletet alkotó FRA-k?
Megoldás:
1,10,5-1=4,88% ennyi a féléves effektív hozam. Swap kamatláb
(névleges!)=9,76%.
Mivel vízszintes a hozamgörbe, mindegyik nulla.
65
5.8. Az azonnali effektív hozamgörbe a következő:
r1 r2 r3
8% 7,5% 7%
a) Határozza meg, hogy egy hároméves kamatcsere ügylet keretében
mekkora éves fix kamatot kellene fizetni a változó kamatért cserébe, ha
évente egyszer esedékes a kamatcsere!
b) Milyen vételi-eladási árfolyamot jegyezne a bank a változó kamatra, ha
a tranzakciós díjak fedezésére 20 bázispontos marzsot számítana fel?
Megoldás:
a) A hároméves PAR értéket. A DF-ok:
1 2 3
0,92
59
0,86
53
0,81
63
A par érték: (1-0,8163)/(0,9259+0,9653+0,8163)=7,04%
b) 7,14%-6,94%, azaz ha a bank kapja a változó kamatot, akkor 6,94%
fixet fizet cserébe, míg fordított esetben 7,14%-ot vár el.
5.9. Cégünk két évvel ezelőtt kötött egy akkor négy éves kamatcsere-
megállapodást, melyben évente cserélik el az egy éves BUBOR-t 10% fix
kamatra. A kamatcsere-ügylet névértéke 100 millió forint. Most éppen
kamatcsere után vagyunk, az effektív hozamgörbe 8%-on vízszintes.
Mennyit ér a kamatcsere-ügylet ma a fix kamatot fizető fél számára? A
partnerkockázattól tekintsünk el.
Megoldás:
A változó kamatot tartalmazó ága a swapnak éppen a névértéket éri, azaz
100 MFt-t
A fix kamatot tartalmazó ága a swapnak: 10/1,08+110/1,082=103,57
MFt-ot ér.
A swap értéke a fix kamatot fizető fél számára:100 - 103,57 = -3,57 M Ft
5.10. Bontsa fel az előző példában szereplő kamatcsere-ügyletet FRA-kra és
határozza meg az FRA-k jelenértékét forintban!
Megoldás:
DF Forward (f-10)*DF
FRA1 0,9259 8% -1,8518%
FRA2 0,8573 8% -1,7146%
Névérték: 100 millió Forint:
PV(1)=100 millió Ft * (-1,8518%)=-1,85 millió Ft
PV(2)=100 millió Ft * (-1,7146%)=-1,71 millió Ft.
5.11. Egy korábban 4%-os fix kamaton megkötött long IRS pozíció piaci
értéke biztosan pozitív, ha most a hozamgörbe 5%-on vízszintes.
Megoldás:
Igaz, mert ekkor a par kamat is 5%, vagyis eladhatnánk az IRS-t 5%-on
és minden kamatfizetésnél +5%-BUBOR+BUBOR-4%=+1% lenne a
hasznunk.
5.12. Ma a 2028/A jelű állampapírból álló portfoliónkat 5 éves long IRS-sel
fedeztük úgy, hogy a duration nulla legyen. Mutasson példát a
hozamgörbe olyan átalakulására, mely számunkra mégis veszteséget tud
okozni!
Megoldás:
A nulla duration azt jelenti, hogy a hozamgörbe kicsi (10-20 bázispont
még relatíve kicsi elmozdulás) és párhuzamos elmozdulására közel
érzéketlenné válik a portfolió. Ha a hozamgörbe nagyot mozdul, vagy nem
párhuzamosan, akkor lehet nyereségünk vagy veszteségünk. A nagy
elmozdulás hatásához tudni kellene a konvexitásunk előjelét, ezért inkább
a nem-párhuzamos elmozdulással járó forgatókönyvet érdemes csinálni.
Például, ha a hozamgörbe 5 éven belüli szakasza nem változik, az 5 év
utáni szakasza meg feljebb tolódik, akkor az IRS pozició értéke változatlan
marad, miközben a kötvényen veszítünk. Vagyis az ilyen aszimmetriksu
elmozdulások esetén az 5 éves long IRS pozi nem képes megvédeni a
2028/A kötvényt. A nulla duration nem jelent tökéletes védelemet még
pillanatnyilag sem.
5.13. Az Ön cége két évvel ezelőtt egy hároméves devizacsere ügyletet
kötött, melyben 1 millió euró 5%-os kamatát kapja évente egyszer 800
ezer dollár 6%-os kamatáért cserébe. A csereügylet megkötésekor az
egyes pénzáramlások jelenértéke mindkét devizában megegyezett a
névértékkel. Ma, közvetlenül a kamatfizetés előtt az euró hozamgörbe
minden lejáratra évi 3%, a dollár hozamgörbe minden lejáratra évi 4%.
67
Menyit ér ma a pozíció euroban, ha a devizaárfolyam ma ugyanannyi, mint
két évvel ezelőtt?
Megoldás:
A spot devizaárfolyam két évvel ezelőtt és ma S=1,25 EUR/USD
A dollár CF értéke: P$=-48e-848e/1,04= -863,38 e$
Az euró CF értéke: P€=+50e+1050e/1,03= +1069,42 e€
A swap értéke: P = 1069,42-1,25·863,38= -9,805 e€
5.14. Az amerikai hozamgörbe 6%-on vízszintes, a német hozamgörbe 4%-
on vízszintes, a prompt árfolyam 1 USD/EUR. Egy négy éves deviza
csere-ügylet keretében 1 millió dollár névértékű hitelek pénzáramlásait
cserélik el évi egyszeri kamatfizetéssel, a csereügylet értéke a kötéskor
nulla. Mennyit ér a csereügylet a dollárt fizető fél számára dollárban 3 év
múlva, közvetlenül a kamatcsere előtt, ha a kamatlábak a jelenlegi forward
kamatlábak szerint, a devizaárfolyam pedig a jelenlegi forward
árfolyamok szerint alakulnak? Partnerkockázat nincs.
Megoldás:
A CF:
EUR USD
0 +0,04 -0,06
1 +1,04 -1,06
A devizaárfolyam 3 év múlva: F=1·(1,06/1,04)3=1,0588 USD/EUR
A két CF jelenértéke: P€=0,04+1,04/1,04=1,04;
P$=0,06+1,06/1,06=1,06, A swap értéke: P=1,04 m EUR·1,05888-1,06 m
= 41 187 USD.
5.15. Ön vállalata korábban egy devizaswapot kötött, amelynek hátralévő
futamideje 1,5 év, a kamatcserére évente került sor. A swap névértéke 100
dollár, azt is tudja, hogy ön évente 10% forint kamatot fizet, a swap
indulásakor az árfolyam 270 Ft/dollár volt. Jelenleg a forint kamatláb 9%,
a dollár kamat pedig 4%, mindkét hozamgörbe vízszintes, a spot árfolyam
pedig 260 Ft/dollár. A swap értéke az Ön vállalata számára jelenleg – 2000
Ft. Mekkora dollár kamatot kell vállalatának mindezek alapján a swapban
kapnia?
Megoldás:
Mindezek alapján a kötéskor a swap forint névértéke 27 000 Ft volt. Ezek
alapján a CF: 0,5-2700Ft, 1,5-29700Ft. Ennek mai értéke 9% mellett
28684,7. Ha ebből levonom a 2000 forintos értéket, majd elosztom 260-
nal, a dollár követelés mai értéke 102,63 dollár. Ez 4%-os dollárkamat
mellett k=4,34%-os dollár kamatlábat jelent.
5.16. Egy évvel ezelőtt egy négyéves forint-euro deviza-csereügyletet
kötöttünk, melyben a magasabb forintkamatot fizetjük az alacsonyabb
eurokamatért cserébe. Az eredetileg vízszintes hozamgörbék nem
változtak azóta és a devizaárfolyam is ugyanannyi, mint egy évvel ezelőtt.
a) Pozitív vagy negatív a csereügylet értéke számunkra jelenleg, az első
csere után? Állítását indokolja!
b) Nyertünk vagy veszítettünk eddig az üzleten? Miért?
Megoldás:
a) Nulla. Mert ma is ugyanilyen feltételek mellett lehetne megkötni.
b) Veszítettünk. Mert egy számunkra negatív értékű cserén vagyunk túl.
5.17. Bankunk államkötvény-portfoliójának piaci értéke 5 milliárd forint,
átlagideje 12 év. Bankunk olyan 10 éves IRS (interest rate swap) ügylet
megkötésével szeretné a portfoliójának átlagidejét nullára csökkenteni,
amelyik félévente cseréli el a fix kamatot változóra. Azt tudjuk még, hogy
az ÁKK ma a névérték 100%-án sikeresen bocsátott ki 10 év futamidejű,
végtörlesztéses, évente kétszer kupont fizető államkötvényt és bankunk
szakértői szerint ennek a kötvénynek az átlagideje éppen 8 év.
a) Long, vagy short IRS ügyletet kössön a bank?
b) Mekkora névértékben kösse meg a swapot?
Megoldás:
a) long
c) Kötvénymódszer alapján a long IRS = long Floating + short Fixed.
Ezután fel kell írni az immunizációs egyenletét:
0 = (5 mrd * 12 + X * 0,5 - X*8) / (5 mrd + X – X)
X = 8 milliárd névértékben kellene megkötni a long IRS-t.
Nehezebb feladatok
5.18. A török líra (TRY) effektív hozamgörbe 1, 2 és 3 éves pontjai rendre
10%, 8%, 7%.
a) Mekkora a 3 éves par kamat törtök lírában?
b) Egy bank ebben a pillanatban kötött egy 3 éves long IRS ügyletet
(évente egyszeri kamatcserével), 10 millió TRY névértékben. Bontsa fel
az ügyletet FRA-k láncolatára és határozza meg, mennyit érnek
jelenértéken az egyes FRA-k!
69
Megoldás: a) DF1= 1/(1+10%)= 90,9091%
DF2= 1/(1+8%)^2=85,7339%
DF3= 1/(1+7%)^3=81,6298%
par_3 = (1-DF3)/AF3=(1-
81,6298%)/(90,9091%+85,7339%+81,6298%)= kb 7,11%
b) Az első FRA valójában nem is FRA, hanem egy spot kamat, az r1=10%,
ez külön nézve nyereséges lesz, hiszen 7,11%-os „átlagáron” vettük a
török forrást a swapon keresztül, miközben külön ez az időszak 10%-ba
kerülne. Ennek az eredményének a jelenértéke:
10 mio * (10%-7,11%)*90,9091%=+262.727,3 török líra
A második FRA az 1f2=DF1/DF2-1=90,9091%/85,7339%-1= 6,04%, ezt
külön nézve veszíteni fogunk, hiszen mi 7,11%-on vettük a török forrást
minden időszakra. Ennek az FRE-nak külön a jelenértéke:
10 mio * (6,04%-7,11%)*85,7339%=-91735,27 TRY
A harmadik FRA jelenértéke annyi kell legyen, hogy a 3 FRA jelenértéke
együtt nullát érjen, mint az IRS kötéskori pozícióértéke, innen adódik,
hogy a harmadik FRA jelenértéke
-(262727,3-91735,27)=-170992,03 TRY
Persze ki is lehet számolni, hogy a 2f3=DF2/DF3-
1=85,7339%/81,6298%-1= 5,03%, ahonnan adódik, hogy a 3. FRA-n
külön nézve a veszteség:
10 mio * (5,03%-7,11%)*81,6298%=-169789,98 TRY, ami nyilván a
kerekítések miatt nem egyezik a -170992,03 TRY-val.
5.19. Bankunk 3 éve kötött egy akkor 5 éves dollár-török líra (TRY)
devizacsere ügyletet, melynek értelmében 10 millió dollár névértékre
vetítve kapunk 2% kamatot, miközben 18 millió török lírára vetítve
fizetünk 10% kamatot. A kamatcsere évente egyszer történik meg, a
névértékeket a futamidő elején és végén is kicseréljük. Ma, közvetlenül a
harmadik év végi kamatfizetés elszámolása után, kiderül, hogy partnerünk
csődbe ment, ezért az ISDA (International Swaps and Derivatives
Associations) szabályai alapján az ügylet nettó elszámolását
kezdeményezzük. Az USDTRY spot árfolyam 2,2650 (ennyi török lírát
kell fizetni egy dollárért), az egy és két éves diszkontfaktorok török lírában
90% és 82%, míg dollárban 99% és 98%. Ha lehetőségünk lenne ma nettó
elszámolással lezárni az ügyletet, akkor nekünk, vagy a partnerünknek
kellene fizetni és hány dollárt?
Megoldás:
Az eredetileg 5 éves devizacseréből még hátra van 2 cash flow elem, a 4.
évi és az 5. évi.
Mi kapnánk 200.000 USD-t 1 év múlva és 10.200.000 USD-t 2 év múlva.
Mi adnánk 1,8 millió TRY-t 1 év múlva és 19,8 millió TRY-t 2 év múlva.
Azt kell megnézni, hogy jelenértéken és dollárban kifejezve melyik ér
többet.
Amit kapnánk: 0,99*200000+0,98*10200000=10.194.000 dollár
Amit adnánk: (0,90*18000000+0,82*19800000)/2,2650=7.883.444
dollár
Vagyis nagyon nem jött jókor a partner csődje, hiszen nettó 2.310.556
dollárral tartozik nekünk. Ez persze nem meglepő, hiszen a TRY most jóval
gyengébb, mint amikor megkötöttük az ügyletet 3 éve (2,2650 vs 1,8000)
és mi adtuk azt a devizát, amelyik erősödött (USD).
5.20. Az orosz állampapírokból becsült 1, 2 és 3 éves rubel (RUB)
diszkontfaktorok rendre 90%, 82%, 74%. Ma egy bank 500 millió RUB
névértékben kötött 3 éves IRS ügyletet egy spekulánssal, melynek
értelmében a bank évente egyszer 10% fix kamatot fizet a 12 havi
MIBOR-ért (Moscow Interbank Offer Rate) cserébe.
a) Mennyit ér a bank long IRS pozíciója?
b) Bontsa fel az IRS-t 1 éves futamidejű FRA-k láncolatára, majd árazza
be ezeket az FRA pozíciókat külön-külön!
c) Mutassa meg, hogy amennyiben a hozamgörbe változatlan marad és a
spekuláns 1 év múlva közvetlen a kamatcsere elszámolása előtt
maradványérték nélkül csődbe megy, akkor a bank biztosan veszít
partnere csődjén!
Megoldás:
a) AF(3Y)=90%+82%+74%= 246%
Par(3Y) = (1-DF3)/AF3 = (1-74%)/246%= 10,57%, vagyis ez lenen a fair
swap ráta, a bank viszont már 10,00%-on meg tudja venni a MIBOR-t 3
éven át.
Nyeresége jelenértéken = 500 mio * 246%*(10,57%-10,00%)=
7.011.000,- rubelt ér neki ma a long IRS pozíciója.
b) 0x12; 12x24 és 24x36-os FRA-kra bontható fel, vagyis az azonnali 1
éves, az 1 év múlvai 1 éves határidős és a 2 év múlvai 1 éves határidős
kamat számít.
71
r_1= 1/90%-1= 11,11%, ezért az első „FRA” piaci értéke jelenértéken:
500 mio *(11,11%-10,00%)*90% = 4.995.000,- rubelt ér
1_f_2 = 90%/82%-1=9,76%, ezért a második FRA piaci értéke
jelenértéke:
500 mio *(9,76%-10,00%)*82% = -984.000,- rubelt ér
2_f_3 = 82%/74%-1=10,81%, ezért a harmadik FRA piaci értéke
jelenértéken:
500 mio *(10,81%-10,00%)*74% = +2.997.000,- rubelt ér
Ellenőrzéseképpen a 3 FRA piaci értéke együtt ki kell adja a 7.011.000,-
rubelt, ami majdnem teljesül is, a minimális eltérést az FRA kamatainál a
kerekítések okozzák:
=4995000-984000+2997000=7.008.000,- rubel
c) Az aktuális kamatcser elszámolása során a bank kapna 500 mio
*(11,11%-10,00%)= 5.550.000,- rubelt, hiszen ez a kamatcsere már az
IRS megkötésekor előre ismert volt (az akkori 1 éves MIBOR 11,11%,
hiszen a DF1=90%). Ezen kívül a banknak van egy 10,00%-os 2 éves long
IRS-e, ha a hozamgörbe változatlan, akkor 1 év múlva a fair 2 éves IRS
swap rátája: (1-82%)/(90%+82%)=10,47%, vagyis a bank long IRS
pozíciójának az értéke pozitív.
Tehát mivel a bank az éppen aktuális kamatcsere során is kapna pénzt,
illetve az IRS pozíciójának a piaci értéke is pozitív, így a partner csődje
veszteséget okoz neki.
5.21. Egy bank fél éve 1 milliárd forint névértékben kötött 2 év futamidejű
long IRS ügyletet 0,94%-os fix kamat mellett. A kamatcseréket félévente
a hat hónapos BUBOR-ral szemben számolják el. Ma a bank 2 éves IRS-
t 0,60%-os fix kamattal, 18x24-es FRA-t 0,80% fix kamattal tudna kötni.
a) Mekkora volt fél éve a 6 hónapos BUBOR, ha ma a kamatcsere
elszámolása során a bank 100.000,- forintot kap?
b) Milyen irányba és mekkora névértékben felvett 2 éves IRS és 18x24-es
FRA pozíciókkal tudná lezárni a bank az eredeti swap pozíciójából
származó kockázatokat és végül milyen cash flow-ja alakulna ki?
Megoldás:
a) Ma a long IRS kamatfixingje során a következő elszámolás történik
1mrd * (BUBORfél évvel ezelőtti – 0,94%) *1/2 = 100.000,-
BUBORfél évvel ezelőtti = 0,96%
b) Az eredeti long IRS ügyletből még 3 jövőbeli elszámolás van hátra:
0.5 év: (+BUBORma – 0,94%) *1mrd*1/2
1 év: (+BUBORfél év múlva – 0,94%)*1mrd*1/2
1.5 év: (+BUBORegy év múlva – 0,94%)*1mrd*1/2
Ahhoz, hogy a kockázatokat megszüntessük, a valószínűségi változókat ki
kell iktatni. Bár a BUBORma az már nem kockázatos, pont ma fixálódott,
de a másik kettő még az. Mivel a long IRS-ben megvettük a BUBOR-t,
ezért lezárásképpen el kellene adni. Ehhez jó lenne a 2 éves swap eladása,
node az viszont egy fél évvel hosszabb, vagyis egy extra elszámolással jár.
Azt az extra elszámolást kiüthetjük a 18x24-es FRA-val (ezt venni kell,
hogy az eladott swap utolsó elszámolását ellensúlyozza).
Eredeti 1 mrd long IRS pozi + 1 mrd 2 éves short IRS + 1 mrd 18x24 long
FRA együtt:
0.5 év:(+BUBORma–0,94%)*1mrd*1/2+(-BUBORma+ 0,60%)*1mrd*1/2
1év:(+BUBORfél év múlva–0,94%)*1mrd*1/2+
(-BUBORma+0,60%)*1mrd*1/2
1.5 év:(+BUBORegy év múlva – 0,94%)*1mrd*1/2
+(-BUBORma + 0,60%)*1mrd*1/2
2 év:(-BUBORmásfél év múlva+0,60%)*1mrd*1/2
+(+BUBORmásfél év múlva - 0,80%)*1mrd*1/2
Letisztítva a cash flow:
0.5 év: (+0,60%-0,94%)*1mrd*1/2 = - 1.7 mio forint
1 év:(+0,60%-0,94%)*1mrd*1/2 = - 1.7 mio forint
1.5 év:(+0,60%-0,94%)*1mrd*1/2 = - 1.7 mio forint
2 év:(+0,60%-0,80%)*1mrd*1/2 = - 1 mio forint
Ez a cash flow már nem kockázatos, fix jövőbeli veszteségekről szól.
5.22. Egy bank eszközoldala 8 év átlagidejű, 15 milliárd forint piaci értékű
jelzáloglevélből áll. Az idegen forrásai 3 milliárd forintnyi látra szóló
betétből, valamint 6 év átlagidejű, 10 milliárd forint piaci értékű
kötvényből áll. A bank 2 éve kötött egy eredetileg 5 éves kamatcsere
ügyletet, 5 milliárd forint névértékben, melynek értelmében évente
egyszeri kamatcsere mellett a BUBOR-t kapja és fix 7%-ot fizet. Most
éppen az aktuális kamatcsere elszámolása után vagyunk. Az effektív
hozamgörbe 10%-on vízszintes.
a) Mekkora a bank saját tőkéjének fair piaci értéke, figyelembe véve a
kamatcsere ügyletet is?
b) Becsülje meg a bank saját tőkéjének a BPV-jét a konvexitás figyelembe
vétele nélkül!
c) Egy mondatban fogalmazza meg, hogy mit jelent a b) pontban kapott
érték!
73
d) Tegyen 2 különböző javaslatot arra, hogy a jelenlegi szituációban a
bank miként csökkenthetné a hozamszint-kockázatát!
Megoldás:
a) Sokszor nagy segítség, ha a mérlegen kívüli tételeket is szintetikusan
mérlegen belüli megfelelőkre bontjuk a számolás erejéig. Tehát a long IRS
pozíció helyett jobb lenne, ha az eszközoldalra egy floating bond-ot (long
bond) a forrásoldalra meg egy fixed bond-ot (short bond) képzelnénk.
Mérlegen kívüli tételekkel kiegészített eszközök értéke:
15 mrd MBS
5 mrd piaci értékű long floating bond a swapból (mivel évente van a
kamatcsere, ezért a lineráis kamat és az effektív hozam éppen
megegyezik.)
Mérlegen kívüli tételekkel kiegészített idegen források értéke:
3 mrd látra szóló betét
10 mrd kötvény
Short fixed bond láb a swapból=PV(7;7;107)*5 mrd =
(7%/(1+10%)^1+ 7%/(1+10%)^2+107%/(1+10%)^(3)) * 5 mrd =
92,5394% * 5 mrd = 4.626.972.201,35
Saját tőke = 15 mrd + 5 mrd – 3 mrd -10 mrd – 92,5394% * 5 mrd =
2.373.030.000 forint
b) BPV becsléshez jó lenne a D_Equity, majd abból adódik, hogy
D*_Equity=-D_Equity/(1+10%) és onnan
BPV_Equity=D*_Equity x P_Equity x 0.0001
A swapban lévő short fixed bond esetén ki kellene számolni külön az
átlagidőt:
DUR= (1 év * 7%/(1+10%)^1+ 2 év * 7%/(1+10%)^2+3 év *
107%/(1+10%)^(3))/92,5394% = kb 2,8 év
15 mrd * 8 év + 5 mrd * 1 év = 2.373.030.000 * D_Equity + 10 mrd * 6
év + 3 mrd * 0 év + 4.626.972.201,35 * 2,80 év
Innen D_Equity = 21,93 év
D*_Equity = -19,94
BPV_Equity = -19,94*2.373.030.000 *0,0001 = -4.731.822 forint = kb -
4,7 mio forint
c) Ha a hozamgörbe 1 bázisponttal párhuzamosan felfelé tolódna, akkor
kb 4,7 millió forinttal csökkenne a bank saját tőkéje. (ha a hozamgörbe
párhuzamosan lefelé tolódna egy bázispontot, akkor pedig kb ennyit
nyerne)
d) Nagyon sokminden jó. Vagy az eszközök átlagidejét kellene csökkenteni,
vagy az idegen forrásokét növelni, vagy mindkettőt. Például el lehetne
adni az MBS-ekből és DKJ-ba rakni. Vagy a látra szóló betéteseknek
felajánlani lekötött betétet, esetleg kötvényt kibocsátani. Újabb long IRS
pozíció is jó lenne.
5.23. Egy bank új annuitáskötvények kibocsátását tervezi. Egy ilyen kötvény
évente egyszer 1 millió forintot fizet, 5 éven keresztül, úgy, hogy az első
összeget éppen egy év múlva fizeti. A bank nem szeretné, hogy ez a
kötvénykibocsátás bármilyen hatással legyen a saját tőkéjének hozamszint
kockázatára, ezért sikeres kibocsátás esetén 3 éves, évente egyszeri
kamatcserével járó IRS ügyletet köt fedezeti céllal. Az első öt év
diszkontfaktorai rendre: 99%, 97%, 95%, 93%, 90%.
a) Long, vagy short IRS ügyletet kössön a bank, ha sikeres a
kötvénykibocsátás?
b) Ha 2000 darab ilyen annuitáskötvényt jegyeznek le, mekkora
névértékben kössön IRS ügyletet a bank, hogy az annuitáskötvények és az
IRS átlagideje együtt nulla legyen?
c) Mutasson példát olyan nem-párhuzamos hozamgörbe elmozdulásra,
mely a b) pontban lefedezett pozíció esetén veszteséget okozna a banknak!
Megoldás:
a) Short IRS kell. Ha a bank kibocsátja az annuitáskötvényt, akkor az egy
fix kamat mellett felvett hitelviszonyt jelent, így az átlagideje a bank
számára biztosan negatív. Tehát közvetlen a kötvénykibocsátás után a
hozamgörbe felfelé tolódása nagyon jó hír lenne a banknak, a lefelé
tolódás pedig rossz. Vagyis olyan swap kell, ami pont akkor nyereséges,
ha lefelé tolódik a hozamgörbe és akkor veszteséges, ha felfelé. Pont erre
jó a short IRS.
b) Tudni kellene az annuitáskötvény piaci értékét és átlagidejét, illetve az
IRS-t is két kötvénypozícióra kell bontani és ott a fix-nek kell a kamata és
az átlagideje is (a piaci értékük a swap megkötésekor 100%, a változó
átlagideje meg könnyen adódik, hogy 1 év). Ha mindez meg van, akkor egy
egyenletből adódik majd a megoldás.
75
Annuitáskötvény piaci értéke = 1 mio * (99%+97%+95%+93%+90%) =
4.740.000,forint
Annuitáskötvény átlagideje =
1 mio * (99%*1+97%*2+95%*3+93%*4+90%*5)/ 4740000 = 2,95 év
3 éves fix kötvény kamat = 3 éves par kamat =
(1-95%)/(99%+97%+95%) = 1,72%
3 éves fix kötvény átlagideje =
99%*1,72%*1+97%*1,72%*2+95%*(100%+1,72%)*3 = 2,95 év
0 * 4740000*2000 = 2000*474000*2.95 év + X*1 év - X*2.95 év
X = 1.434.153.846,15 = kb 1,4 milliárd forint névértékben kell short IRS
pozíciót felvenni
5.24. Egy kereskedő portfoliója 100 millió forint látra szóló betétből, 10 év
átlagidejű, 2,2 milliárd forint piaci értékű jelzáloglevelekből áll. 2 évvel
ezelőtt, 4 milliárd forint névértékben kötött egy eredetileg 5 éves long
IRS-t, évi egyszeri kamatcserével, melynek fix kamata 7%, ma éppen az
aktuális kamatcsere elszámolása után vagyunk. Az effektív hozamgörbe
10%-on vízszintes.
a) Hány forint a portfolió jelenlegi piaci értéke?
b) Becsülje meg a kereskedő portfoliójának a BPV-jét a konvexitás
figyelembe vétele nélkül!
c) A kereskedő immunizálni szeretné a portfolióját úgy, hogy elad a
jelzáloglevelekből és a befolyó összeget 3 hónapos DKJ-ba fekteti.
Mekkora piaci értékben kellene végrehajtania ezt a műveletet?
Megoldás:
a) piaci érték = cash termékek piaci értéke + derivatívák piaci értéke
Az IRS-t célszerű kötvénymódszerrel felbontani:
long floating bond = +4 mrd forint
short fixed bond = - 4 mrd * PV(7%;7%;107%) = -4 mrd * (7%/(1,1) +
7%/(1,1)^2 +107%/(1,1)^3) = -3.701.577.761,08 forint
Portfolió piaci értéke = 100 mio + 2,2 mrd + (4 mrd -3.701.577.761,08)
= 2.598.422.238,92 forint
b) Továbbra is érdemes a kötvénymódszernél maradni, így 4
portfolióelemünk van: betét, jelzáloglevél, long floating bond (IRS-ből) és
short fixed bond (IRS-ből). Mindegyikhez kellene piaci érték (ezeket tudjuk
az a) pontból) és átlagidő (duration). Utána úgy érdemes folytatni, hogy
mindegyik portfolióelemhez kiszámoljuk a BPV-t, majd összeadjuk azokat.
1. Látra szóló betét BPV-je: 0, hiszen átlagideje sincs, a jelenértéke
egyáltalán nem érzékeny semmire, így a kamatra sem.
2. Jelzálogevél átlagideje és piaci értéke adott. Vízszintes hozamgörbe
esetén könnyű ebből BPV-t becsülni: 2,2 mrd * (-10 /(1,1))*0,0001= -2
mio forint
3. Long floating bond piaci értéke 4 mrd, átlagideje 1 év, így addik, hogy
a BPV = 4 mrd * (-1/1,1) *0.0001= -363.636,36 forint
4. Short fixed bond…
… bruttó árfolyama = 7%/(1,1) + 7%/(1,1)^2 + 107%/(1,1)^3 =
92.5394%
… átlagideje = (7%/1,1*1 év + 7%/(1,1)^2*2 év + 107%/(1,1)^3*3 év) /
92.5394% = kb 2.8 év
… BPV-je = -4 mrd*92,5394%*(-2,8/1,1)*0,0001 = +942.219,35 (tehát
a short bond esetén a hozamgörbe felfelé tolódása nyereséget okozna, ami
logikus is)
Portfolió BPV = 0 – 2 mio -363.636,36 +942.219,35 = -1.421.417,01
c) Ha X-szel jelöljük a lecserélendő jelzáloglevél piaci érték mennyiségét,
akkor ez az egyenlet adódik a duration-re:
0 = 0* 100 mio + (2,2 mrd –X) * 10 év + 4 mrd * 1 év +
(-4 mrd)*92,5394%*2,8 év + X*0,25
X= 1603,65 milliónyi piaci értékben kellene ezt megcsinálnia
5.25. Az ÁKK ma 4 éves, végtörlesztéses, évente egyszer 3% névleges
kamatot fizető kötvényt bocsátott ki, melyből egy elsődleges forgalmazó
bank 1 milliárd forint névértékben vásárolt. A kötvény kockázatát 3 éves
IRS ügylettel szeretné a bank fedezni, évente egyszeri kamatcserével. Az
első négy év diszkontfaktorai rendre: 99%, 97%, 95%, 93%.
a) Összesen hány forintot fizet a bank a kötvényért?
b) Hány év a kötvénypozíció átlagideje?
c) Long, vagy short IRS ügyletet kössön a bank?
d) Mekkora névértékben kösse meg az IRS ügyletet, ha a célja a nulla
átlagidő elérése?
e) Mutasson példát olyan nem-párhuzamos hozamgörbe elmozdulásra,
mely a d) pontban bemutatott fedezés ellenére is veszteséget okozna a
banknak!
Megoldás:
a) P(kötvény) = 3*99%+3*97%+3*95%+103*93%=104,52% a kötvény
bruttó árfolyama, tehát összesen 1.045.200.000,- forintot fizet érte a bank.
b) DUR=(3%*99%*1év+3%*97%*2év+3%*95%*3év+103%*93%*4é
v)/104.52%=3,83 év
77
c) Long IRS kell, hiszen a kötvény azért kockázatos, mert a felfelé tolódó
hozamgörbe esetén a diszkontfaktorok csökkennek, vagyis a kötvényben
lévő cash flow jelenértéke kevesebbet ér. Ezt olyan derivatív ügylettel lehet
fedezni, amelyik éppen a hozamgöürbe felfelé tolódásakor lesz nyereséges.
d) A long IRS-t kötvénymódszerrel long floating (változó) és short fixed
bond-ra bontjuk, ezek névértéke (és megkötsékor a piaci értéke is) legyen
X. A floating bond átlagideje a következő kamatcseréig hátralévő idő, ez
most 1 év. A short fixed bond átlagidejéhez tudni kellene a kötvény cash
flow-ját, amihez tudni kellene a par kamatot, hiszen az lesz a kupon. Majd
a cash flow ismeretében kiszámítható az átlagidő.
Par(3Y) = (1-95%)/(99%+97%+95%)= 1,72%
DUR(fixed_bond_3Y) =
1,72%*99%*1év+1,72%*97%*2év+101,72%*95%*3év = 2,95 év
Ezután felírható az átlagidőkre az alábbi egyenlet:
(1mrd*104,52%*3,83év + X*1év - X*2,95év ) / (1mrd*104,52+X-X) = 0
X = 2.058.800.000 forint névértékben kellene kötni long IRS-t, vagyis kb
2 mrd long IRS kellene.
e) Nem-párzhuzamos elmozdulásra még érzékeny a portfoliónk. Például,
ha a hozamgörbe meredekebbé válik (steepening), akkor veszíteni fog. 4
éves fix kötvényt vettünk és 3 éves long IRS-sel fedeztük azt. A 3 éves IRS
értéke leginkább a DF3-tól függ (meg picit a DF1 és DF2-től), de
egyáltalán nem függ a DF4-től, miközben a 4 éves kötvény leginkább a
DF4-től függ (meg picit a DF1, DF2, DF3-tól is). Ebből már jól látszik,
hogy ha a 3 éves hozam és a 4 éves hozam nagyon eltérően változik, akkor
a párhuzamos elmozdulásra egyébként jól immunizált portfolión mégis
eredmény képződhet. A banknak most az a rossz, ha a 4 éves hozam
relatíve nő a 3 éveshez képest.
5.26. Bankunk 3 éve kötött egy akkor 5 éves dollár-jen devizacsere ügyletet,
melynek értelmében 1 millió dollár névértékre vetítve kapunk 2%
kamatot, miközben 100 millió japán jenre vetítve fizetünk 1% kamatot. A
kamatcsere évente egyszer történik meg, a névértéket a futamidő elején és
végén is kicseréljük. Ma közvetlenül a harmadik év végi kamatfizetés
elszámolása után, kiderül, hogy partnerünk csődbe ment, ezért az ISDA
(International Swaps and Derivatives Associations) szabályai alapján az
ügyletet nettó elszámolását kezdeményezzük. Az USDJPY spot árfolyam
102 (ennyi jent kell fizetni egy dollárért), az egy és két éves
diszkontfaktorok japán jenben 99,50% és 99%, míg dollárban 99% és
98%. Ha lehetőségünk lenne ma nettó elszámolással lezárni az ügyletet,
akkor nekünk, vagy a partnerünknek kellene fizetni és hány dollárt?
Megoldás:
Az eredetileg 5 éves devizacseréből még hátra van 2 cash flow elem, a 4.
évi és az 5. évi.
Mi kapnánk 20.000 USD-t 1 év múlva és 1.020.000 USD-t 2 év múlva.
Mi adnánk 1 millió JPY-t 1 év múlva és 101 millió japán jent 2 év múlva.
Azt kell megnézni, hogy jelenértéken és dollárban kifejezve melyik ér
többet.
Amit kapnánk: 0,99*20000+0,98*1020000=1.019.400 dollár
Amit adnánk: (0,995*1000000+0,99*101000000)/102=990049 dollár
Vagyis a devizacsere ügyletből most nettó 29.351 dollár követelésünk van
a partnerünkkel szemben.
5.27. Egy magyar bank 3 éve, egy eredetileg 5 éves devizacsere ügylet
keretében, 10 millió euró forrást kapott, cserébe 3 milliárd forintot utalt
francia partnerének. A devizacsere ügylet során évente egyszer a magyar
1% euró kamatot fizet és 3% forint kamatot kap. Most éppen közvetlenül
az év végi kamatok elszámolása után vagyunk. A spot EURHUF árfolyam
317,80, az EURHUF fx swap pontok 1 és 2 évre rendre 440 és 920 pont,
az 1 és 2 éves forint diszkontfaktorok 99% és 98%. Hány eurónyi
veszteség érné a francia felet, ha a magyar most csődbe menne?
Megoldás:
A forward módszert érdemesebb most használni, mert az 1 és a 2 éves
forwardok a spot+fx swapból látszanak:
FWD_1Y = 317,80+440 = 322,20
FWD_2Y = 317,80+920 = 327,00
A magyar szemszögéből nézve a hátralévő ez a cash flow:
1Y: -0,1 mio EUR; +90 mio HUF
2Y: -10,1 mio EUR; +3090 mio HUF
A forwarddal átváltva forintra:
1Y: -0,1 mio * 322,20 +90 mio = 57.780.000,- forint
2Y: -10,1 mio *325 + 3090 mio = - 212.700.000,- forint
A swap értéke a magyar szemszögéből nézve: 57780000*99%-
212700000*98%= -151.243.800 forint. Ezt mind elveszítené a francia, ha
a magyar maradványérték nélkül csődbe menne, a jelenlegi 317,80-as
EURHUF árfolyamon átszámítva ez 475.908,75 eurónyi veszteség lenne.
79
Nem véletlenül a franciánál van a partnerkockázat: ő eurót adott és
forintot kapott, miközben 300-ról 317,80-ig emelkedett az árfolyam,
vagyis, amit a francia kapott az veszített az értékéből. Bár soknak tűnhet
a 475 ezer eurónyi veszteség, de ha az eredeti 10 millió eurónyi forrásra
vetítjük, akkor ez csak kb 4,75%, tehát a nagyja összeg megmaradt: a swap
a partnerkockázatának a mértéke, jóval kisebb, mint a swap névértéke.
5.28. Bankunk 3 éves dollár-forint fix-fix devizacsere-ügyletet szeretne
kötni, évente egyszeri kamatcserével. A swap eredményeként bankunk ma
1 millió dollár forráshoz szeretne jutni. Az USDHUF árfolyam 275, az 1,
2 és 3 éves diszkontfaktorok dollárban rendre 99,50%, 99%, 98%, míg
forintban rendre 98%, 96%, 93%. Egy amerikai bank hajlandó megkötni
velünk a swap ügyletet, feltéve, hogy 500 dollárt keres az ügyleten,
jelenértéken. Mekkora a devizaswap fix forint kamata, ha a fix dollár
kamat 1%?
Megoldás:
Az amerikai szemszögéből nézve oldjuk meg.
A swap első lépéseként az amerikai ad 1 millió dollárt és ezért kap 275
millió forintot. Utána kap az 1. a 2. és a 3. év végén fix 1%*1mio = 10.000
dollár kamatot, majd a 3. év végén még az 1 millió dollárt is visszakapja
(remélhetőleg). Cserébe fizet X*275 mio; X*275 mio; (X+1)*275 mio
forint cash flow-t. Jó lenne minden cash flow-ját dollárban látni és
jelenértéken egyenlővé tenni 500 dollárral és akkor ki fog jönni a keresett
X.
A dollár „kötvény”-nek a jelenértéke:
-1000000+ 10000*99,50%+10000*99%+1010000*98%= 9650,-dollár.
Tehát a forint kötvényen 9150 dollár veszteség kellene és akkor ki is jönne
a nettó 500 dollár profit.
-9150 dollár =-9150*275 = -2.516.250,- forint, ami alapjá a forint
kötvényre teljesülni kell:
-2516250=+275mio - X*275mio*98% - X*275mio*96% -
(X+1)*275mio*93%
Innen X= 2,7578% forint fix kamatot kell fizetni.
5.29. Ma egy német bank 5 éves euró-rubel devizacsere ügyletet kötött orosz
partnerével, melynek értelmében a német 748 millió rubelt kap, melyre
évente egyszer fix 12% kamatot fizet, az orosz 10 millió eurót kap, melyre
évente fix 1% kamatot fizet. Mekkora spot EURRUB árfolyamok esetén
nem veszítene a német bank, ha 3 év múlva, közvetlen a kamatcserék
elszámolás előtt az orosz fél csődbe menne, feltéve, hogy ekkor a rubel
hozamgörbe 15%-on, az euró hozamgörbe 0% vízszintes?
Megoldás:
Még a számítások előtt érdemes tisztázni, hogy a német számára az
jelenthet a partnerkockázat esetén problémát, ha a nála lévő rubel (cash
flow) kevesebbet ér, mint az orosznál lévő euró (cash flow). Vagyis az
EURRUB emelkedése, azaz a rubel gyengülése esetén lehet gond az orosz
csődjéből, ami annyira nem megnyugtató, hiszen eleve nagyobb eséllyel
lesz gyenge a rubel, ha pont csődbe megy egy bank az országban.
3 év múlva, közvetlenül a kamatcserék elszámolása előtt a német
szempontjából hátralévő cash flowk
azonnal; 1 év múlva; 2 év múlva
EUR: +0,1 mio EUR +0,1 mio EUR +10,1 mio EUR
RUB: -748*12% mio RUB -748*12% mio RUB -748*(1+12%)
mio RUB
A 0%-on vízszintes EUR hozamgörbe nagy segítség, itt csak össze kell adni
a számokat:
A német EUR követeléseének jelenértéke: 10,3 mio EUR
A német RUB tartozásának jelenértéke:
(-748*12% mio RUB)+ (-748*12% mio RUB)/1,15+(-748*(1+12%) mio
RUB)/1,15^2 = -801,28 mio RUB
Break even EURRUB árfolyam = 801,28/10,3 = 77,7942, ha az EURRUB
árfolyam efölött van, akkor a német már veszít az orosz csődjén, alatta
nem.
81
6. Repó, FX swap
6.1. Egy hónapja egy akkor 100% bruttó árfolyamú kötvényünkből 100 millió
forint névértéknyit felhasználva kötöttünk egy aktív repó ügyletet, 5%
haircut és 3% repó kamat mellett (lineáris ACT/360). A kötvénynek az
elmúlt hónapban nem volt kuponfizetése. Ma van a repó lejárata, ki fizet
kinek és mennyit?
Megoldás:
Az aktív repó során mi eladtuk a kötvényt spot és visszavettük határidőre,
tehát lejáratkor nekünk kell fizetni (és visszakapjuk a kötvényt). Futamidő
elején kaptunk 95 millió forintot, 1 hónap múlva pedig:
100 mio * 95% *(1+ (1/12)*3%) = 95.237.500 forintot fizetünk mi, és
visszakapjuk a kötvényeinket.
6.2. Miért kerülnek gyakran passzív repó pozícióba a központi bankok a
kereskedelmi bankokkal szemben?
Megoldás:
A központi bank passzív repó pozíciója azt jelenti, hogy a vele szemben
álló kereskedelmi bank aktív repó pozícióba kerül. Tehát a központi bank
megveszi a kötvényt, majd határidőre egyből el is adja ugyanannak a
kereskedelmi banknak. Így a kereskedelmi bank forráshoz, likviditáshoz
jut, eleve feltehetően ő kezdeményezi az egész ügyletet. Éppen ezért
gyakran a repo rate az egyik legfőbb monetáris eszköz.
6.3. Az ECB -0,30%-os kamat (p.a. ACT/360) mellett nyújtja a betéti
szolgáltatását (deposit facility) és +0,30%-os kamat (p.a., ACT/360)
mellett hajlandó passzív repo pozícióba kerülve likviditást nyújtani.
a) Ha az „A” kereskedelmi banknak az ECB-nél vezetett nostro számláján
péntek este 10 millió euró többlete van, akkor ez hány euró kamatkiadást
jelent számára hétfőn?
b) Ha a „B” kereskedelmi bank az ECB-vel kötött repón keresztül jut
pénteken 10 millió euró forráshoz, akkor ez hány euró kamatkiadást jelent
számára, ha a repó hétfőn jár le?
c) Összesen hány eurót tudnának megspórolni a kereskedelmi bankok, ha
egymással kötnének repó megállapodást és melyik bank lenne aktív repó
pozícióban?
Megoldás:
a) Ennyit kap hétfőn vissza: 10 mio * (1+3/360*(-0.30%))=9.999.750,-
tehát 250 euró kamatkiadása volt a negatív kamatozású betéte miatt.
b) Ennyit kell visszafizetnie:10 mio *(1+3/360*(+0.30%))=10.000.250,-
tehát 250 euró kamatkiadása lesz a repón keresztüli finanszírozás miatt.
c) Akárhogy is állapodnak meg, összesen 2x250=500 euróval járnának
jobban, ha egymással kötnének repo ügyletet. Az a fél lesz aktív repó
pozícióban, aki a finanszírozást kapja, vagyis a „B” bank.
6.4. Egy kereskedő 1 millió dollár névértékben rendelkezik 2041-ben lejáró,
dollárban kibocsátott magyar államkötvénnyel (REPHUN 2041/02/29).
Az államkötvény bruttó piaci árfolyama 105%. A kereskedő 3 hónap
futamidőre dollár forráshoz szeretne jutni. Bankja 20 százalékpontnyi
haircut mellett (85%-os bruttó spot árfolyamon) hajlandó repo ügyletet
kötni, melynek értelmében a kereskedő negyed év múlva 86%-os
árfolyamon vásárolja vissza a kötvényt. A következő 3 hónapban a
kötvény nem fizet kamatot.
a) Mekkora implicit lineáris repo kamatot tartalmaz ez a konstrukció?
b) Mennyit veszít a bank, ha a kereskedő 3 hónap múlva nem lesz képes
visszavásárolni a kötvényt, miközben annak bruttó piaci árfolyama 102%-
ra csökken?
Megoldás: a) Ma kap a kötvényekért 1 millió *85%-nyi dollárt. 3 hónap múlva 1
millió*86%-ot kell visszaadnia. (1+r*1/4)=86%/85%, ebből
r=4,70588%=kb 4,71% implicit repo kamat
b) Nyilván semmit nem veszít, hiszen 86%-on nem veszik tőle vissza azt a
kötvényt, ami akkor 102%-ot ér.
6.5. Egy magyar kereskedelmi bank 1 napos (overnight) forint forráshoz
szeretne jutni. A bank a forrásszerzést a portfoliójában lévő 2 milliárd
forint névértékű, 2028/A jelű magyar államkötvények egy részének a
repójával szeretné megvalósítani. A kötvény bruttó árfolyama 102% és a
kötvény nem fizet se kupont se tőketörlesztést a következő napokban. Az
MNB hajlandó 3,90%-os (lineáris, ACT/360) implicit repó kamat mellett
forint forrást biztosítani a magyar banknak. Az MNB ennél a kötvénynél
nem alkalmaz haircut-ot.
a) Melyik fél lesz aktív repó pozícióban?
b) Hány darab kötvény repójára lesz szükség az 1 milliárd forint forrás
megszerzéséhez, ha egy kötvény névértéke 10000 forint?
83
c) Írja fel a repó cash flow-ját a kereskedelmi bank szempontjából!
d) Röviden indokolja meg, hogy miért lehet racionálisabb döntés repón
keresztül forint forrást szerezni, mint egyszerűen eladni ma a kötvényeket
az azonnali piacon, majd visszavásárolni másnap?
Megoldás: a) aktív repó = eladás + visszavásárlás (sale-and-repurchase), ő kapja a
forrást, a kereskedelmi bank. Az MNB pedig passzív repóban lesz.
b) Nincsen haircut, ezért a spot ügyletet 102%-on kötik meg. 1 milliárdra
van szükség és 10200 forintot ér egy kötvény, ezért
1.000.000.000/10.200= 98039,22 darab kötvény kell.
c) ma: +98040*102%*10000=+1.000.008.000 forint
holnap: 1.000.008.000*(1+1/360*3,90%)=1.000.116.334 forint,
d) Nagyon sok oka van. Egyrészt a repó során végig a banké maradt a
2028/A kockázata (átlagideje), ez eleve kellhet neki a portfoliójában, jó
esetben nem véletlen volt ennyi kötvénye. Egyik napról másikra is
változhat jelentősen a piac és érhet sokkal többet is a 2028/A kötvény
másnap, ezért ha ma eladjuk, lehet, hogy sokkal drágábban tudjuk
megvenni utána. A kötvény eladása és megvétele során bukjuk a spread-
et, és akár még közvetítői díjat is (bankközi bróker díja).
6.6. Egy magyar bank euró forráshoz szeretne jutni. 30 nap futamidőre 1%
lineáris kamaton (ACT/360) tudna 1 millió euró hitelt fedezetlenül
felvenni. A bank portfóliójában van 2 millió euró névértékű euróban
kibocsátott magyar államkötvény. A kötvény bruttó árfolyama 100% és a
kötvény nem fizet se kupont se tőketörlesztést a következő 30 nap
folyamán. Egy osztrák bank hajlandó 30 nap futamidejű repo ügyletet
kötni a magyar bankkal 5%-os haircut figyelembevételével 0,50%-os
implicit repo kamat (lineáris, ACT/360) mellett.
a) Melyik fél lesz aktív repó pozícióban?
b) Rövid számolással támassza alá azt az állítást, miszerint több mint 400
euróval kevesebb kamatot fizet így a magyar bank a 30 napos 1 millió
euró forrásért, ahhoz képest, mintha közvetlenül hitelt venne fel!
c) Hány darab kötvény repójára lesz szükség az 1 millió euró forrás
megszerzéséhez, ha egy kötvény névértéke 1000 euró?
d) Mennyit veszítene az osztrák bank, ha a magyar 30 nap múlva nem
képes teljesíteni a visszavásárlást, és a repó tárgyát képező
államkötvények bruttó árfolyama 80%-ra esik?
Megoldás: a) aktív repo = forrásszerzés, eladás és visszavásárlás segítségével, tehát
a magyar fél. Az osztrák „reverse repo”, vagy passzív repo pozícióban
lesz.
b) Igaz. Gyors becslésként pont feleannyi kamatot fizet így, hiszen 1%
helyett 0,50%-ot kell csak fizetni:
1 mio *(30/360)*(1%-0,5%)=416,67 eurót spórol meg
Persze majd látni fogjuk, hogy nem pontosan 1 millió eurónyi értékben fog
repózni, mert a kötvényekből egész darabszámot lehet csak adni-venni,
ezért nagyon picit még több eurót is vesz fel, de kb 416 eurót tuti.
c) 5%-os haircut mellett a kötvények spot eladása 95%-on számolódik,
vagyis 1mio/(95%*1000)=1052,63≈1053 db kötvényt kell repózni.
d) Ha minden rendben menne, akkor a magyar bank
95%*(1+30/360*0,5%)-os határidős árfolyamon visszavenné a 1053 db
kötvényt és így összesen
1053*1000*95%*(1+30/360*0,5%)=1000766,81 eurót fizetne értük.
Node nem képes visszavásárolni, így viszont az osztráké maradnak a
kötvények.
Ezeket beértékelve 80%-os piaci bruttó árfolyamon:
1053*1000*80%=842400 eurót érnek.
Vagyis -1000766,81+842400=-158366,81 eurót veszítene, persze, ha
fedezetlenül hitelt adott volna, akkor 1 milliót az 1%-os kamattal veszítené
el, tehát még így is jobban járt.
6.7. Egy kereskedő felismert egy arbitrázslehetőséget, amelynek értelmében
bonyolult műveletek láncolatának eredményeként lehetősége van
kockázatmentesen LIBOR+250 bázisponton kihelyezni egy hónapra
dollárt. Sajnos a kereskedő nem tud fedezetlenül dollár forráshoz jutni, de
van 500 ezer dollár névértékű, 2019-ben lejáró dollárban kibocsátott MOL
kötvénye, melynek repóján keresztül bízik abban, hogy bár korlátozott
mértékben, de viszonylag olcsón jut dollár finanszírozáshoz. Két banktól
kapott ajánlatot a repóra. Az X bank 30%-os haircut mellett LIBOR+50
bázisponton hajlandó a MOL kötvények repójára, míg az Y bank 50%-os
haircut mellett LIBOR+10 bázispontos ajánlatot adott. A MOL kötvények
bruttó spot árfolyama jelenleg éppen 100% és a következő hónapban a
kötvény nem fizet kupont. Melyik megoldást válassza a kereskedő?
Válaszát rövid számítással is támassza alá!
85
Megoldás: Két dolog számít együttesen: hány dollárral tudja megjátszani az
arbitrázst (LIBOR+250bázispontos kihelyezést), illetve, hogy mennyibe
kerül neki a dollár, hiszen ezektől függ a tényleges profittömeg.
X ajánlatával (100%-30%)*500.000*100%=350.000 dollárhoz jut
LIBOR+50 bázisponton, és ezt tudja kihelyezni LIBOR+250 bázisponton
1 hónapra, vagyis az arbitrázsprofit 350.000*1/12*(LIBOR+2,5%-
LIBOR-0,5%)=583,33 dollár profit.
Y ajánlatával (100%-50%)*500.000*100%=250.000 dollárhoz jut
LIBOR+10 bázisponton, és ezt tudja kihelyezni LIBOR+250 bázisponton
1 hónapra, vagyis az arbitrázsprofit 250.000*1/12*(LIBOR+2,5%-
LIBOR-0,1%)=500 dollár profit.
6.8. Egy kereskedőnek 500 millió forint 3 hónapos forrásra van szüksége.
Bankja hajlandó a kereskedő portfoliójában található 1 milliárd forintnyi
10 éves államkötvények egy részének a repójára 3% (ACT/360) repó
kamat és 10%pontnyi haircut mellett. A 10 éves államkötvény bruttó
árfolyama 122%, a kötvény 2 hónap múlva fizeti az évi egyszeri 5%
névleges kamatot. A bank kockázatmentes deposit ügyleteket (hitel/betét)
éven belüli futamidőre 2% (ACT/360) kamaton tud kötni.
a) Ha megkötik a repó ügyletet, melyik fél lesz aktív repó pozícióban?
b) Legalább hány darab kötvényt kell a repó során felhasználni, ahhoz,
hogy a kereskedő 500 millió forint forráshoz jusson, ha tudjuk, hogy az
államkötvényt 10000 forint névértéknyi címletekben lehet kereskedni?
c) Mekkora az a legkisebb bruttó kötvényárfolyam, amely mellett a bank
még éppen nem veszít lejáratkor, ha három hónap múlva a kereskedő
csődbe megy?
Megoldás:
a) A kereskedő lesz aktív repó pozícióban, ő kapja a finanszírozást. (a
bank passzív repó, vagy reverse repo pozícióban van)
b) Ahhoz, hogy a kezdeti befolyó összeget kitaláljuk még nem kell az egész
repót megtervezni. A kezdeti összeg ugyanis kizárólag attól függ, hogy
milyen bruttó árfolyamon adja el a kötvényeket és mennyi kötvényt ad el.
A kötvény piaci bruttó árfolyama 122%, a haircut 10%pont, tehát 112%-
os bruttó árfolyamon számolják majd el a kötvények azonnali eladását.
500 mio/112% = 446.428.571,43 forint névértéknyi kötvényt kellene
eladni, de a kötvények névértéke 10000 egész számú többszöröse kell
legyen, ezért 446.430.000,- legyen a repó névértéke, a kereskedő pedig a
futamidő elején 446430000* 112% = 500.001.600,- forintot kap.
c) Ha a kereskedő a 3 hónap alatt csődbe megy, akkor a repó forward nem
valósul meg, viszont a banknál megmaradnak a kötvények, ráadásul a 3
hónapos lejárat előtt egy hónappal még 5%-nyi névleges kupont is fizettek
a kötvények.
A repó megállapodás végülis csak egy keret, a lényeg, hogy a bank
500.001.600 forintot adott 3 hónapra 3% (ACT/360) kamat mellett, ezért
500.001.600*(1+3%*3/12) = 503.751.612,- forintot vár vissza. Ez az az
összeg, amit a kötvények időközben a bankhoz beérkező kuponja (egy
hónappal felkamatoztatva) és a kötvények bruttó árfolyama együtt ki kell
adjon ahhoz, hogy pont ne veszítsen a bank.
A kapott kuponokat a bank 1 hónapos depositként el tudja helyezni, ezek
értéke a repó lejáratakor:
446.430.000*5%*(1+2%*(1/12)) = 22.358.702,50 forint.
Tehát a kötvények legalább 503.751.612-22.358.702,50= 481.392.909.50
forintot kell érjenek, vagyis a kötvények bruttó árfolyama legalább:
481392909,50/446430000= 107,83% kell legyen.
6.9. Egy magyar bank 18 millió svájci frank forráshoz szeretne jutni, valamint
20 millió dollárt szeretne kihelyezni. A bankközi piacon az alábbi
feltételekkel szembesül:
USDCHF spot 0,9000
USDCHF 90 napos fx swap 0,0003/0,0005(buy-and-sell/sell-and buy)
USD 90 napos deposit (ACT/360) 0%/2% (betét/hitel)
CHF 90 napos deposit (ACT/360) 0%/1% (betét/hitel)
a) Buy-and-sell, vagy sell-and-buy irányba lenne érdemes fx swap-ot
kötnie?
b) Hány svájci frank kamatot fizetne a bank, ha közvetlenül a deposit
piacról venné fel a svájci frankot?
c) Összesen hány svájci frankot spórol meg, ha fx swapon keresztül szerez
frank forrást?
Megoldás:
a)sell-and-buy. A bázisdeviza az USD, tehát a kifejezések erre
vonatkoznak. Dollárból van többletünk, azt el kéne adni, akkor kapunk
érte frankot, majd ezt visszavesszük határidőre. Tehát sell-and-buy irány
kell. Vagyis el kell adni most spot-on, és visszavenni határidőre
spot+fxswap-on.
b)Közvetlenül 90 napra 1% kamatot fizetve: 18000000*90/360*1%=
45000 CHF
87
c) sell-and-buy fx swap spot lába: 20 mio USD eladás 0,9000-en: ad 18
mio CHF-et a távoli lába pedig 20 mio USD vétel 0,9005-ön -18,01 mio
CHF, vagyis 10.000 CHF-be kerül így a frank forrás. Elmaradt dollár
kamatról most nincs szó, mert 0%-on tudta volna kihelyezni a dollárt.
Tehát 35 ezer CHF-fel olcsóbb így a finanszírozás.
6.10. Egy money market kereskedő az alábbi két fx swap ügyletet kötötte
ma, mindkettőnek 1 millió euró a névértéke és 1 hónap a futamideje:
buy-and-sell EURUSD fx swap, spot lába: 1,3920; swap pont: -1
sell-and-buy EURHUF fx swap, spot lába: 305,00; swap pont: 52
a) Írja fel az fx swap ügyletek euró, dollár és forint cash flow-ját a
kereskedő szempontjából!
b) Milyen irányú (buy-and-sell, vagy sell-and-buy) USDHUF fx swap
ügylettel lehetne a két fenti ügylet hatását majdnem tökéletesen
semlegesíteni?
c) Becsülje meg, hogy mennyi lehet 1 hónap futamidőre az USDHUF fx
swap pont?
Megoldás:
a) buy-and-sell EURUSD fx swap hatása ma:
+1 mio EUR
-1,3920 mio USD
buy-and-sell EURUSD fx swap hatása 1 hónap múlva:
-1 mio EUR
+1,3919 mio USD
sell-and-buy EURHUF fx swap hatása ma:
-1 mio EUR
+305 mio HUF
sell-and-buy EURHUF fx swap hatása 1 hónap múlva:
+1 mio EUR
-305,52 mio HUF
b) Látszik, hogy a két fenti fx swap pozició együtt tökéletesen kiejti az
eurókat, csak a dollár és a forint cash flow-k maradnak. A közeli láb(spot
láb) eladja a dollárt, a távoli láb pedig kapja (veszi) a dollárt, így most
olyan, mintha lenne neki egy sell-and-buy USDHUF fx swap ügylete, ezért
ezt semlegesíteni pont az ellentétes buy-and-sell USDHUF fx swappal
lehetne.
c) USDHUF fx swap spot lába: 305/1,3920 = 219.11, forward lába
305,52/1,3919 = 219.50, ezért az fx swap pont 219.50-219.11 = 39 pont
6.11. Mit jelent a „carry trade” kifejezés és hogyan kapcsolódik az fx
swapokhoz? Long, vagy short USDTRY forwardot kellene kötnünk, ha
carry trade pozíciót szeretnénk nyitni és tudjuk, hogy a TRY kamata jóval
nagyobb, mint az USD kamata?
Megoldás:
A carry trade kifejezés olyan pozíció felvételére utal, melynek tartási
költsége negatív, vagyis ceteris paribus a hozamok különbsége miatt,
ahogy telik az idő profit képződik. Persze csak ha minden más változatlan.
Nem csak a devizapiacon lehet értemezni, de a devizapiacon nagyon
gyakori, az fx swap is pont a kamatok különbségéről szól, vagyis, hogy a
forward és a spot között mekkora a távolság. Short USDTRY forward kell,
vagyis az USD-t eladjuk (financing ccy) és a TRY-t vesszük (investing ccy).
6.12. Egy money market kereskedő 1 millió dollár névértékű buy-and-sell
USDZAR fx swap ügyletet kötött 1 hónap futamidőre +510 swap pont
mellett (1 pont = 0,0001 az USDZAR esetén; ZAR=dél- afrikai rand). Az
fx swap spot lába 11,6525 volt. Ha az 1 hónapos dollár hozamot 0%-nak
tekintjük, mekkora az 1 hónapos implicit effektív rand hozam?
Megoldás:
fwd láb = spot + swap = 11,6525+0,0510 = 11,7035
Q=1, mert a dollár hozam nullának tekinthető
F= (QS)/P = S/P, innen P= S/F = 99,5642%, ez az 1 hónapos ZAR
diszkontfaktor, ebből adódik, hogy
r_effektív_ZAR= (1/99,5642%)^(12/1) - 1 = kb 5,38%
6.13. Egy magyar bank 1 millió EUR névértékben kötött 3 hónap futamidejű
EURHUF fx swap ügyletet egy német bankkal. A magyar bank
szempontjából az ügylet iránya buy-and-sell. Az ügylet spot lába 307,25
és az ügyletet 63 swap pont (1 pont = 0,01) mellett kötötték meg.
d) Írja fel az fx swap euró és forint cash flow-ját a magyar bank
szempontjából!
e) Hány eurót veszít a német fél, ha a lejárat napján a magyar fél
maradványérték nélkül csődbe megy, miközben az EURHUF spot
árfolyam 320-ra ugrik?
f) Ha a 3 hónapos kockázatmentes EUR effektív hozamot -0,4%-nak
tekintenénk, mekkora 3 hónapos kockázatmentes implicit effektív HUF
hozamot jelentene a fenti ügylet?
89
Megoldás:
a) buy-and-sell fx swap = spot vétel + határidős eladás (a vétel és az
eladás kifejezések mindig a bázisdevizára vonatkoznak)
fontos: a névérték bázisdevizában mindkét esetben 1-1 millió euró
spot láb (near leg), Most +1 mio EUR; -307,25 mio HUF
fwd láb (far leg), 3 hónap múlva-1 mio EUR; +307,88 mio HUF
b) Eredetileg a német 1 millió eurót kapott volna és 307,88 mio forintot
fizetett volna. Most nem kapja meg az 1 millió euróját, de nem fizeti ki a
307,88 mio forintot sem, vagyis -1mio*320+307,88mio = -12.120.000,-
forintot veszít, ami ekkor 12,12 mio /320 = -37.875,- EUR veszteségnek
felel meg.
c) F = S * Q/P
P = S*Q/F
Q = 1/(1-0,40%)^(3/12)= 100,1003%
P = 307,25 * 100,1003% / 307,88 = 99,8955%
rHUF = (1/99,8955%)^3(12/3) -1 = 0,42%
6.14. Egy money market kereskedő 100 millió dollár névértékű buy-and-sell
USDCHF fx swap ügyletet kötött 1 hónap futamidőre 0,8980-as spot láb
(egy dollárért ennyi frankot kell adnia) és -3 swap pont mellett.
a) Írja fel az fx swap ügylet dollár és frank cash flow-ját a kereskedő
szempontjából!
b) Pozitív, negatív, vagy nulla lenne az fx swap pozíciójának a piaci
értéke, ha az ügylet megkötése után nem sokkal az 1 hónapos dollár
kamatok jelentősen emelkednének, miközben a frank kamatok és az
USDCHF spot árfolyam változatlan szinten maradnak?
c) Közvetlenül a lejárat előtt a money market kereskedő partnere csődbe
megy, az USDCHF spot árfolyam 0.9000. Mekkora veszteség éri a
kereskedőt partnere csődjéből kifolyólag?
Megoldás: a) buy-and-sell USDCHF fx swap hatása ma és lejáratkor:
+100 mio USD ma és -100 mio USD lejáratkor
-89,80 mio CHF ma és + 89,77 mio CHF lejáratkor
b) Elsőre látszik, hogy pozitív lenne a piaci érték, hiszen USD
finanszírozást kaptunk és CHF-et adtunk érte, és a dollár finanszírozás
drágult. óA -3 swap pont azt jelenti, hogy a bázisdeviza kamata nagyobb,
mint a secondary currency kamata (tehát a forward a spot alatt van). Ha
a dollár kamata emelkedik, miközben a frank kamata és a spot árfolyam
változatlan, akkor ez a swap pont abszolút értékben nagyobb lesz,
mondjuk -4 lesz. A piaci értékhez azt kell megnézni, hogy mi lenne, ha
lezárnánk az ügyletet. A buy-and-sell ügyletet sell-and-buy ügylettel
lehetne lezárni, ami ezt a cash flow-t jelentené:
-100 mio USD ma és +100 mio USD lejáratkor
+89,80 mio CHF ma és -89,76 mio CHF lejáratkor
ezért számszerűen is látszik, hogy pozitív lenne a buy-and-sell piaci értéke,
hiszen ha lezárnánk, akkor lejáratkor kicsapódna 10000 CHF.
c) Ha a partner csődbe megy, akkor nem fizeti ki a 89,77 mio CHF-et,
node mi meg nem fizetjük ki neki a 100 mio dollárt. Mivel az USDCHF
0,9000, ezért látszik, hogy nettó mi többel tartozunk neki, tehát nem ér
minket veszteség az ő csődje miatt.
6.15. Az USDRUB spot árfolyam 56,2850, a 3 hónapos FX swap 22500
pont. Az USDTRY spot árfolyam 2,6650, a 3 hónapos FX swap 630 pont.
Mindkét árjegyzés esetén 1 pont 0,0001-et jelent. Melyik devizának
magasabb a 3 hónapos implicit kamata, a rubelnek, vagy a török lírának?
Válaszát rövid számítással is támassza alá!
Megoldás:
Kiszámoljuk, hogy a TRYRUB spot árfolyam és a TRYRUB 3 hónapos
határidős árfolyam hogyan viszonyulnak egymáshoz. Ha a határidős
árfolyam nagyobb, mint a spot árfolyam, akkor a seconndary ccy kamata
nagyobb (jelen esetben a TRYRUB felírás esetén a TRY a base ccy és a
RUB a secondary).
TRYRUB_SPOT=56,2850/2,6650=21,12 (tehát ennyi darab rubelbe kerül
1 darab török líra)
USDRUB_3M_FWD=56,2850+2,2500=58,5350
USDTRY_3M_FWD=2,6650+0,0630=2,7280
TRYRUB_3M_FWD=58,5350/2,7280=21,4571
Tehát mivel a TRYRUB_3M_FWD> TRYRUB_SPOT, ezért a RUB
kamata a nagyobb.
6.16. Az EURTRY spot árfolyam 3.1925, az 1 hónapos FX swap 270 pont,
az 1 éves FX swap 2850 pont. Az EURUSD spot árfolyam 1.0985, az 1
hónapos FX swap 7 pont, az 1 éves FX swap 110 pont. Mindkét devizapár
árjegyzése esetén 1 pont 0,0001-et jelent.
91
a) Milyen cash flow-val járna egy 1 hónapos buy-and-sell EURUSD fx
swap, melyet 1 millió EUR névértékben kötnénk meg?
b) Becsülje meg, hogy mekkora az 1 éves USDTRY fx swap pont!
c) Az EUR és a TRY hozamgörbék között 1 hónap, vagy 1 év futamidő
esetén nagyobb a távolság az fx swapok alapján?
Megoldás:
a) buy-and-sell azt jelenti, hoyg spot EURUSD vétel, 1 hónap határidőre
pedig EURUSD eladás, mindkettő névértéke kerek 1-1 millió euróval.
Ma: +1 mio EUR; -1,0985 mio USD
1 hónap múlva: -1 mio EUR; +1,0992 mio USD (7 swap pont)
b) swap pont = fwd – spot
Kellene nekünk 1 éves USDTRY fwd és az USDTRY spot
EURTRY_FWD_1Y = 3,4775
EURUSD_FWD_1Y = 1,1095
USDTRY_FWD_1Y=3,4775/1,1095= 3,1343
USDTRY_SPOT = 3,1925/1,0985 = 2,9062
USDTRY_1Y_SWAP= 2281 pont
c) A swap pontokból a konkrét hozamok nem látszanak, csak a hozamok
különbsége. Ha mondjuk rögzítjük az EUR hozamgörbét, mondjuk 0%-on
vízszintesnek, akkor az 1 hónapos és az 1 éves forwardból kiszámíthatóak
a TRY kamatok:
EURTRY_1M_FWD=3,2195
EURTRY_1Y_FWD=3,4775
Fwd = spot * (1+r_TRY*ACT/360)/(1+r_EUR*ACT/360)
Ha az r_EUR=0%, akkor:
r_TRY_1M = (3,2195/3,1925 - 1)*(360/30) = kb. 10,15%
r_TRY_1Y = (3,4775/3,1925 -1)*(360/360) = kb. 8,93%
Tehát a TRY hozamgörbe 1 hónapos pontja távolabb van az EUR
hozamgörbe 1 hónapos pontjától, mint az 1 éves pontok egymástól.
6.17. Az USDRUB spot árfolyama 66,1050 (ennyi darab rubelbe kerül egy
dollár), a 3 és a 6 hónapos fx swap rendre 16200 és 28800 pont (1 pont =
0,0001).
a) Mit jelent a „cost of carry” kifejezés?
b) Ha a dollár effektív hozamgörbe éven belüli szakaszát 1%-on
vízszintesnek tekintjük, mekkora ma a RUB effektív hozamgörbe 3 és 6
hónapos pontja?
c) Ma egy spekuláns a rubel gyengülésére fogad, ezért 6 hónapos long
USDRUB forward pozíciót vesz fel 1 millió dollár névértékben. Hány
dollárt veszít ezen a fogadáson, ha 3 hónapon át fenntartja a pozícióját, de
a rubel mégsem gyengül és a piaci körülmények éppen úgy néznek majd
ki 3 hónap múlva, mint most?
Megoldás:
a) Cost of Carry = a pozíció fenntartásának a cetris paribus „költsége”.
Vannak olyan pozíciók, amikor ez valójában nem költség, hanem bevétel,
az ilyen pozíciók fenntartása a carry trader-ek célja. Például a b) pontban
bemutatott carry trader short USDTRY pozíciót tart fenn, így minden
olyan nap, amikor a török líra nem gyengül, nyer.
b) F = Spot + Swap
F=(QS)/P, innen: r_RUB = (F / (S*(1/1+r_USD)^(T-t)) )^(1/(T-t)) - 1
r_RUB_3M=((66,1050+1,6200)/(66,1050*(1/(1+1%)^(3/12))))^(12/3)-1
= 11,27%
r_RUB_6M=((66,1050+2.8800)/(66,1050*(1/(1+1%)^(6/12))))^(12/6)-1
= 9,99%
c) Ha most nyit egy 6 hónapos long USDRUB forwardot, és minden más
változatlan, csak az idő telik el (ceteris paribus), akkor 3 hónap múlva lesz
egy 3 hónapos long forwardja, így a pozíció értéke elég könnyen adódik:
1 mio * ((66,1050+1,6200)- (66,1050+2,8800)) = -1.260.000,- RUB
(mától számítva 6 hónap múlvai pénzben), ez
-1260000/(66,1050+1,6200) = -18.604,65 dollárt ér (mától számítva 6
hónap múlva). Vagyis a pozíciójának az értéke -18.604,65/(1,01)^(3/12)
= -18.558,43 dollárt ér (mától számítva 3 hónap múlva).
6.18. Egy money market kereskedő 1 millió USD névértékű államkötvényt
felhasználva 14 napos aktív repó pozíciót vett fel 0,05% repo kamat
(ACT/360) mellett. A repo spot lábát, a megfelelő haircut alkalmazása
után, éppen 100%-os bruttó árfolyamon számolták el. Közvetlen ezután a
kereskedő kötött 1 millió USD névértékben egy 14 napos sell-and-buy
USDHUF fx swap ügyletet, +10 swap pont mellett (USDHUF piacon 1
pont jelentése 0,01). Az fx swap spot lába 275,00 volt (vagyis 1 darab
USD 275 HUF-ot ér). A futamidő elején kapott forintot MNB betétbe
helyezte el, melynek kamata 1,80% (ACT/360) volt. Hány dollárt nyer így
lejáratkor, amikor minden ügylet kifut, ha minden partnere a tőle elvárható
módon teljesített?
93
Megoldás:
A feladat arról szól, hogy ha valakinek amerikai állampapírja van, akkor
kb mindene van, hiszen ez bármikor repóval cash USD-vé tehető, az pedig
bármikor bármilyen devizára swapolható
Nézzük a cash flow-kat, mi történt!
#1) kötvény eladásából befolyik 1 mio USD (repo near leg)
#2) 1 mio USD-t elutalja és kap érte 275 mio HUF-ot (sell-and-buy fx
swap spot lába)
#3) A 275 mio HUF-ot beteszi 2 hetes betétbe.
#4) visszakapja a 2 hetes betétet: 275 mio * (1+1,80%*14/360) =
275.192.500,- forintot
#5) 1 mio USD-t visszakapja, de fizetnie kell érte 275+0,10=275,10 mio
HUF-ot. (sell-and-buy fx swap forward lába)
#6) vissza kell vásárolnia az USD kötvényt, 1 mio * (1+14/360*0,05%) =
1.000.019,44 USD-t kell fizetnie. (repo far leg)
Tehát ha minden elszámolás lezajlik, akkor a HUF nostro számláján az
eredeti állapothoz képest 92.500,- forinttal több lesz, az USD nostro
számláján pedig -19,44 dollárral kevesebb. A 275,10-es forward
árfolyamon átszámítva ez azt jelenti, hogy kb 316,80 dollárt keresett rajta.
6.19. Egy money market kereskedő 1 millió AUD névértékű államkötvényt
felhasználva 30 napos aktív repó pozíciót vett fel 2,70% repo kamat
(ACT/360) mellett. A repo spot lábát, a megfelelő haircut alkalmazása
után, éppen 100%-os bruttó árfolyamon számolták el. Közvetlen ezután a
kereskedő kötött 1 millió AUD névértékben egy 30 napos sell-and-buy
AUDUSD fx swap ügyletet, -13 swap pont mellett (AUDUSD piacon 1
pont jelentése 0,0001). Az fx swap spot lába 0,7950 volt (vagyis 1 darab
AUD 0,7950 USD-t ér). Legalább mekkora kellett volna legyen számára
a közvetlen 30 napos USD forrás kamata, ha tudjuk, hogy racionális volt
számára inkább a repo és az fx swap együttes megkötése?
Megoldás:
Csak akkor racionális neki ilyen látszólag bonyolult módon USD forrást
szerezni, ha ez így olcsóbb, mintha közvetlenül venné fel az USD-t.
Nézzük a cash flow-kat, mi történt!
#1) kötvény eladásából befolyik az 1 mio AUD (repo near leg)
#2) 1 mio AUD-ot elutalja és kap érte 0,7950 mio USD-t (sell-and-buy fx
swap spot lába)
#3) 1 mio AUD-ot visszakap, de fizetnie kell érte 0,7950-0,0013=0,7937
mio USD-t. (sell-and-buy fx swap forward lába)
#4) vissza kell vásárolnia az AUD kötvényt, 1 mio * (1+30/360*2,70%)=
1.002.250,- AUD-ot kell fizetnie. (repo far leg)
Tehát nála van 30 napig 795 ezer USD, majd vissza kell adnia 793,7 ezret,
vagyis nála marad 1300 USD (olyan, mintha negatív kamatot fizetett volna
az USD forrásért). Cserébe 30 nap elteltével fizetnie kell 2250 AUD-ot,
ami a forward árfolyamon számolva 1785,83 dollárnak felel meg, tehát
összesen 485,83 dollárnyi „kamatot” fizetett a dollár forrásért.
485,83/795000*360/30=0,7333% USD kamatnak felel meg.
Tehát, ha közvetlenül USD-t vett volna fel, akkor ennél feltehetően többe
kellett kerüljön neki, különben nem lett volna racionális az egész.
95
7. Opciók 1. Statikus összefüggések, összetett opciós
pozíciók
7.1. Mennyi annak a c=5 forintos áron kapható európai call opciónak a
belsőértéke, kamatértéke és görbületi értéke, melynek lehívási árfolyama
K=100, hátralévő futamideje egy év, ha az alaptermék prompt árfolyama
S=90 és a logkamatláb évi 12% minden futamidőre? (Az alaptermék
tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció futamideje
alatt.)
Megoldás:
PV(K)=100· e - 0,12 = 88,69
Belső érték = max{S - K ; 0}= max{90 -100;0}= 0
Kamatérték = 90-88,69 = 1,31
Görbületi érték = 5-1,31 = 3,69
7.2. Mennyi annak a p=80 forintos áron kapható európai put opciónak a
belsőértéke, kamatértéke és görbületi értéke, melynek lehívási árfolyama
K=100, hátralévő futamideje egy év, ha az alaptermék prompt árfolyama
S=10 és a logkamatláb évi 12% minden futamidőre? (Az alaptermék
tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció futamideje
alatt.)
S
K= 100 90 88,7
9
c
1,31
3,69
Megoldás:
PV(K)=100· e - 0,12 = 88,69
Belső érték = max{K – S ; 0}= max{100 – 10 ; 0}= 90
Kamatérték = 88,69 – 100 = - 11,31
Görbületi érték = 90 – 88,69 = 1,31
7.3. Számítsa ki egy 100-as kötési árfolyamú short terpesz görbületi értékét az
S=120 helyen, ha c(100)=32, a loghozam 10% és a hátralévő futamidő
T=1 év!
Megoldás:
Rövid terpesz= -c-p
P=0,9048
PK=90,48
S=120
callra: c=32
Görbületi érték = 32-max[120-90,48; 0]=2,48
putra:p=c-f=32-(120-90,48)=2,48
Görbületi érték = 2,48-max[90,48-120; 0]= 2,48
Együtt a short terpeszre= -4,96
7.4. Érdemes-e lejáratig megtartani azt az amerikai put opciót, melynek
lehívási árfolyama K=100, hátralévő futamideje egy év, ha az alaptermék
prompt árfolyama S=10 és a logkamatláb évi 12% minden futamidőre?
(Az alaptermék tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az
opció futamideje alatt.) Válaszát indokolja!
S
10 88,69
p
1,32 -11,32
K= 100
97
Megoldás:
Nem, mert ha most lehívom és 1 éves diszkontpapírba fektetem a pénzt,
biztos bevételem lesz az 1 év alatt képződő kockázatmentes kamat: 90 ·
e0,12 – 90 = 11,47. Ha ellenben megtartom lejáratig, akkor legjobb esetben
is csak 10-et nyerhetek (ha ST=0 lesz).
7.5. Ön vesz egy egyéves futamidejű, osztalékot nem fizető részvényre szóló,
K=1200 Ft kötési árfolyamú európai call opciót, és kiír egy ugyanerre a
papírra szóló, ugyanilyen futamidejű és kötési árfolyamú európai put
opciót. A részvény árfolyama 1000 Ft, a kockázatmentes effektív hozam
minden lejáratra évi 20%. Mekkora az Ön pozíciójának az értéke?
Megoldás:
LC+SP=LF=S-PV(K)=1000-1200/1,2=0
7.6. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló, K kötési árfolyamú európai
call opcióból visszaszámított implicit volatilitás 20%, míg egy ugyanilyen
kötési árfolyamú európai put opcióból visszaszámított implicit volatilitás
30%.
a) Arbitrázs- vagy spekulációs lehetőség ez?
b) Mit érdemes csinálni ebben a helyzetben? Írja le az egyes lépéseket!
Megoldás:
a) Put-call paritásra lehet arbitrálni, ami azonos alaptermékre szóló,
azonos kötési árfolyamra kötött erópai call és put opciókra szól.
b) Mivel a putból számított implicit volatilitás nagyobb, mint a callból
számított, ezért a put opció túl van árazva, tehát shortolni kell. Az
arbitrázs elemei a put-call paritás alapján:
LC+SP+SU+betét
7.7. Egy évvel ezelőtt 2 éves határidőre vettünk egy részvény, K=120 kötési
árfolyam mellett. A részvény prompt árfolyama 100 Ft ma is, a
hozamgörbe viszont ma 15%. Mekkora a K=110-on kötött egy éves
lejáratú call és put ára közti eltérés? Na és mekkora az ugyanilyen K=115-
ös put és call díja közti differencia?
Megoldás:
A put-call paritás alapján tudjuk, hogy a azonos kötési árfolyamú put és
call opciók díjának különbözete, megegyezik az ugyanerre a kötési
árfolyamra kötött határidős ügylet értékével.
A határidős ügylet értéke ma: f=100-110/1,15= 4,35 = c(110)-p(110)
A K=115-re kötött határidős ügylet zéró értékű, mert ma ugyanezekkel a
feltételekkel köthetünk 1 éves határidőre ügyletet. Ezért c(115)=p(115)
7.8. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama S=400. A
részvényre szóló egy év lejáratú, K=400-as kötési árfolyamú amerikai call
díja c=50, míg egy ugyanilyen amerikai put opció díja 10. Az egyéves
kockázatmentes effektív hozam 10%.
a) Milyen paritás sérül?
b) Milyen jellegű (statikus/dinamikus, fix/változó nyereségű) arbitrázsra
van lehetőség?
c) Mit kell tenni pontosan? Mennyi lesz a nyereség egy részvényen,
lejáratkori pénzben számítva?
Megoldás:
a) Amerikai opciók esetén a put-call paritás egy egyenlőtlenség, mert
ceurópai = camerikai és peurópai < pamerikai.
Put-call paritás: camerikai + PK < pamerikai +S
De itt 50 + 363,64 > 10+400, 413,64>410 !
b) Statikus, változó nyereségű.
c) Arbitrázs: LP + LU + SC + hitel
CF(0)= -10 –400 +50 +360 = 0
Legrosszabb esetben a putot nem érdemes lehívni, ekkor olyan mintha az
európai opciókra vonatkozó put-call paritásra arbitráltunk volna,
nyereségünk lejáratkor 3,64·1,1. Ha hamarabb lehívjuk, akkor még
nagyobb a nyereségünk.
7.9. A piacon egy olyan amerikai put opcióval kereskednek, melynek lehívási
árfolyama K=100, hátralévő futamideje egy év, az alaptermék prompt
árfolyama S=10 és a logkamatláb évi 14% minden futamidőre. (Az
alaptermék tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció
futamideje alatt.) Adjon becslést az ugyanilyen kötési árfolyamú amerikai
call opció értékére!
Megoldás:
A put opciónkat ma érdemes lehívni, mert lejáratkori értéke maximum 100
Ft lehet, viszont ha ma lehívjuk és betétet képzünk 103,53 Ft-ot nyerünk
lejáratkor. Ezért a put értéke a belsőérték, tehát 90 Ft. Felírva az amerikai
opciókra vonatkozó put-call paritást:
c-p S-PK=>c p+S-PK=90+10-100·exp(0,14)=13,06
7.10. Egy osztalékot nem fizető részvényt 200-205 Ft-on jegyeznek, a rá
vonatkozó egyéves, 200 kötési árfolyamú európai call opciót 20-22 áron
99
jegyzik a piacon. A kockázatmentes betéti és hitelkamatláb 10-12%.
Milyen árat jegyezne egy ugyanilyen put opcióra? (Írja fel az
arbitrázsmentes bid-offer árakra vonatkozó feltételeket!)
Megoldás:
A put-call paritás segítségével szintetikusan elő lehet állítani a putot:
p = c+ PV(X) –S
Az a cél, hogy a befektető a put nekem történő eladásával és a piacon
szintetikus vétellel ne tudjon nyereségre szert tenni (SP + LPszint) és a
tőlem történő vásárlással és a piacon szintetikus eladással (kiírás) se
tudjon nyerni (LP+SPszint). A két szintetikus pozíció CF-ja:
LPszint = LC + SU + LB, ennek CF-ja: -22+200-200/1,1 = -3,8182
SPszint = SC + LU + SB, ennek CF-ja: 20 – 205 + 200/1,12 = -6,4286
Innen:
p(bid) -LPszint= 3,8182
-SPszint=6,4286 p(offer)
p(bid) p(offer)
7.11. Az alábbi adatok az ABC részvényre szóló határidős és európai típusú
opciós ügyletekre vonatkoznak. A részvény nem fizet osztalékot. Az
opciók futamideje egy év, a kockázatmentes effektív hozam évi 25%.
K=110 K=120
Call 45 42
Put ? 38
a) Határozza meg a K=110 Ft kötési árfolyamú európai put opció
arbitrázsmentes értékét!
b) Mekkora a részvény azonnali árfolyama, ha a piac jól áraz?
Megoldás:
a) A Box-ügylet alapján: (45-p110)·1,25+110=(42–38)·1,25+120,
ahonnan p110 =33
b) A put-call paritás alapján: S-120/1,25=42-38, ahonnan S=100
7.12. Az alábbi táblázat azonos alaptermékre szóló, de különböző lehívási
árfolyamú, T=1 éves európai call és put opciók díjait tartalmazza (az
alaptermék tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció
futamideje alatt.):
CALL PUT
K=70 27 11
K=80 21 5
a) Hogyan arbitrálna a fenti helyzetben, ha a kockázatmentes effektív
hozam évi 25%?
b) Mekkora arbitrázsnyereséget realizálna mai pénzben ha az egyes
opciókból maximum 100 darabot lehetne adni-venni?
Megoldás:
Box-ügylet:
(27-11)·1,25+70=90 tehát szintetikus határidős vételt kell kialakítani
(21-5)·1,25+80=100 tehát szintetikus határidős eladást kell kialakítani
LC(70)+SP(70)+SC(80)+LP(80) ennek nincs se költsége, se bevétele,
lejáratkor 70-en veszünk, 80-on eladunk, lejáratkori nyereség=10, mai
nyereség=10/1,25=8 Ft, száz opción a nyereség mai pénzben: 800 Ft.
7.13. Egy spekuláns eladott egy vertikális pillangót (K=40, 60 és 80 kötési
árfolyamok mellett), mely csupa európai put opcióból áll.
a) Írja fel, hogy pontosan milyen ügyletekből áll ez a pozíció!
b) Bevétele vagy kiadása származott az előző példában szereplő ügyletből
a spekulánsnak, ha a piac jól áraz? Állítását indokolja!
Megoldás:
a) SP 40
2LP 60
SP 80
b) CF0=+p40-2·p60+p80>0 mert a p konvex függvénye a K-nak kell hogy
legyen.
7.14. Mire spekulál az, aki a következő összetett pozíciót hozza létre (azonos
alaptemék, osztalékot nem fizető részvény, azonos lejárat, európai opciók)
fedezetlenül:
a) LC80+SP80
b) LC120 és LP80
c) LC80+SC120
d) SP80+SC120 ?
Megoldás:
a) (1) Biztos vásárlás határidőre. A határidős (és a prompt) árfolyam
emelkedésére spekulál.
b) (-1,0,+1) Long Strangle (széles terpesz), a volatilitás növekedésében
érdekelt alapvetően.
101
c) (0,+1,0) Bull Spread, árfolyam-emelkedésben érdekelt.
d) (+1,0-1) Short Strangle, a volatilitás csökkenésében érdekelt
7.15. Hogyan lehet call opciókból összeállítani azt a portfóliót, amelynek
algebrája: (0,-1,0,+1,0) (80,100,120,140)? A portfólió előállítása során
összességében nettó bevételünk vagy kiadásunk lesz, ha nincs lehetőség
arbitrázsra?
Megoldás:
a)
(0,-1,0,+1,0) (80,100,120,140)
(0,-1,-1,-1,-1) SC 80
(0,0,+1,+1,+1) LC 100
(0,0,0,+1,+1) LC 120
(0,0,0,0,-1) SC 140
b) Mivel a call opció díja a kötési árfolyam konvex függvénye kell, hogy
legyen:
c140+c80 > c120+c100
tehát a kapott díjak összege a nagyobb, így bevételünk lesz.
7.16. Hogyan lehet összeállítani azt a portfóliót, amelynek algebrája:
a) (+1,0,-1,+1) (80,100,120), ha opciókból csak putot használhatunk?
b) (0,-1,0) (80,100), ha csak call opciót használhatunk?
Megoldás:
a) (+1,0,-1,+1) (80,100,120)
(+1,+1,+1,+1) LU
(-2,-2,-2,0) 2LP 120
(+1,+1,0,0) SP 100
(+1,0,0,0) SP 80
b) (0,-1,0) (80,100)
(0,-1,-1)(80,100) SC 80
(0,0,+1) LC 100
7.17. Állítson össze Bull Spread pozíciót a következő termékekből!
a) Call opciókból
b) Put opciókból
c) Opciók mellett határidős ügyletből
d) Mire spekulál a pozíció létrehozója?
Megoldás:
a) LC(K1)+SC(K2)
b) LP(K1)+SP(K2)
c) LP(K1)+ LF(K2)+SC(K3)
d) Az árfolyam emelkedésére.
7.18. A következő opciós algebrák mindegyike nevezetes összetett opciós
pozíciókat tükröznek. Írja az opciós algebrák mellé a nevezetes pozíció
nevét! Azt is írja oda, hogy long, vagy short!
a) (0,+1,0,-1,0) (180,190,200,210)
b) (+1,+1,+1,-1,-1) (180,190,200,210)
c) (0,0,+1,+1,0) (180,190,200,210)
d) (0,-1,+1,0,0) (180,190,200,210)
Megoldás:
a) long keselyű = long condor
b) short straddle (200-as strike-kal) = short terpesz
c) bull spread (190-es és 210-es strike-kal) = erősödő különbözet
d) short butterlfy (180,190,200 strike-okkal) = short pillangó
7.19. Hogyan lehet egyszerűbb pozíciókból létrehozni az alábbi összetett
különbözeti pozíciókat?
a) Long bázis a futures piacon?
b) Short teknősbéka a futures piacon?
c) BOX-ügylet az opciós piacon?
Megoldás:
a) Például long MAR + short JUN (közelebbi lejáratra long, távolabbira
short:
b) Például short MAR + long JUN + short SEP + long DEC
c) Egy szintetikus LF1 és egy SF2 pozíció kirakása call és put opciókból:
LC1+SP1+SC2+LP2
Például long call90 + short put90 + short call100 + long put100
7.20. Egy-egy példán keresztül mutassa be, hogy miben különbözik egy
opciós piacon létrehozott long keselyű (condor) spread pozíció egy futures
piacon létrehozott long keselyű spreadtől? Mi a közös a kétféle
keselyűben?
Megoldás:
Ezek mind spread ügyletek, vagyis különbözetről szólnak, nem egy pozíció,
hanem több pozíció egymáshoz való relatív viszonyáról.
103
Az opciós piacon a keselyű spread olyan opciókból áll, melyeknek ugyanaz
a lejárata, de más a kötési árfolyama, míg a futures piacon a lejáratokban
van a különbség (és egyébként nyilván a kötési árfolyamokban is, hiszen
más lejáratra más az F)
Példa opciós piacon létrehozott long keselyű spread-re:
LP_80 + SP_90 + SC_100 + LC_110 //ez így long iron condor
LP_80 + SP_90 + SP_100 + LP_110 //ez így tisztán put-okból
létrehozott long condor
LC_80 + SC_90 + SC_100 + LC_110 //ez így tisztán call-okból
létrehozott long condor
Példa futures piacon létrehozott long condor spread-re
Long JUN(2018) + short SEP(2018) + short DEC(2018) + long
MAR(2019)
Az opciós és a futures piacon létrehozott long keselyűkben az a közös,
hogy a széleken lévő pozíciókból van a long és a középen lévőkből a short,
vagyis a szélek és a közép viszonyáról szól.
7.21. Egy befektető ma az alábbi opciós pozíciót alakította ki (azonos
alaptermék, európai opciók) egy éves lejáratra:
SP(40)+2SP(50)+2SC(50). Bevétele 50 Ft volt. A kockázatmentes hozam
egy évre 10%. Határozza meg a maximális nyereséget és veszteséget és a
nyereségküszöbö(ke)t!
Megoldás:
SP(40)+2SP(50)+2SC(50) = (3,2,-2)(40,50)
S=50-nél nem hívják le egyik opciót sem, ekkor maximális a nyereség,
50·1,1=55, a felkamatozott értéke a bevételnek.
A nyereségküszöbök: S=28,3 és 77,5-nál, maximális veszteség végtelen.
7.22. Ábrázolja a SC(80)+2SP(90)+2SC(100) összetett opciós pozíció
lejáratkori nyereségét a lejáratkori prompt árfolyam függvényében! Jelölje
a tengelymetszetek értékét is! Egy opciós kötés 100 részvényre szól.
Valamennyi opció európai típusú, ugyanarra az alaptermékre vonatkozik
és egy év múlva jár le. A pozíció létrehozása 5500 forint bevétellel járt a
mai napon. A hozamgörbe 10%-on vízszintes.
Megoldás:
Részvényenként 55 forintba került a fenti opciós pozíció. Meredekségek:
+2,+1,-1,-3
Opciós díj felkamatoztatva=55·1,1=60,5 ezt kell hozzáadni a pozíció
kifizetéseihez, hogy a nyereségfüggvényt megkapjuk.
Tengelymetszetek (az x-tengelyen): 59,75 és 113,5.
Nehezebb feladatok
7.23. Egy osztalékot nem fizető részvény opciós piacán egy éves futamidőre
a 100-as kötési árfolyamú európai call opció árfolyamára a kétoldali
árjegyzés 6,20/6,50. A részvény pillanatnyi árfolyama 100,00/100,02, egy
kereskedő számára egy éves futamidőre az effektív hozam betét esetén
1%, hitel esetén 2%. Egy opciós kereskedőtől partnere egy éves
futamidejű, 100-as kötési árfolyamú európai put opcióra kért árat. Mi az a
legjobb kétoldali árjegyezés, amelyik mellett a kereskedőt még pont nem
éri veszteség, ha megveszik tőle, vagy eladják neki az opciót és az így
létrejött a put opciós pozíciójából eredő kockázatokat azonnal le szeretné
fedezni?
Megoldás:
Legjobb kétoldali árjegyzés: legmagasabb bid és legalacsonyabb offer,
ami mellett még nem bukik, ha egyből lefedezi magát.
Mi legyen a bid?
Mit tenne, ha megütnék az árát? Azonnal semlegesíteni szeretné az így
létrejött LP pozícióját, vagyis kell neki egy szintetikus SP. f=c-p alapján –
p=f-c, vagyis kell neki egy LF és egy SC. Ez persze totál logikus is, hiszen
opciót csak opcióval lehet fedezni, tehát ha eladnak neki egy put-ot, akkor
nyilván azonnal el kell adnia a call-t (konvexitás csak az opciókban van,
statikusan fedezni csak opcióval lehet). Tehát a 6,20-as call ár az érdekes.
LF = LU + SB = 100,02-őn meg kell vegye a spot részvényt
Ebből már látszik, hogy nettó hitelfelvevő lesz, tehát 2% hozam lesz az
érdekes. K=100, ez eleve ismert volt.
QS-PK=c-p, node nincs osztalék, ezért S-PK=c-p, innen p=c-S+PK =
6,20-100,02+100*(1/1,02)^1=4,22
80
190 100
105
Mit kell tennie ha megütik az árát?
1.) Kifizeti a 4,22 opciós díjat és megkapja az LP pozit
2.) El kell adnia 6,20-on a call-t
3.) Vennie kell egy részvényt 100,02-őn.
4.) Nettó cash hatás a futamidő elején -4,22+6,20-100,02=-98,04, vegyen
fel pont ennyi hitelt egy évre.
5.) egy év múlva fizesse vissza a -98,04*1,02=-100 hitelt
6.) Ha ráhívják a call-t, akkor adja oda a részvényt és kap érte 100 dollárt
7.) Ha nem hívják rá a call-t, akkor hívja le a put-ot, aminek értelmében
100-dollárért adja el a papírt. (Ha például 99,95/100,02 a lejáratkori
underlying piac, és nem hívták rá a call-t, akkor lehívja a put-ot)
Végül nem marad nála se papír, se pénz, és a futamidő elején se csapódik
ki semmi, tehát a 4,22 a lehető legmagasabb bid, ennél alacsonyabb bid
esetén már nyerne az árjegyző, magasabb bid esetén meg veszítene.
Mi legyen az offer?
Pont ugyanez a logika, csak fordítva, nyilván vizsgán ilyenkor már elég a
„megmaradt” paramétereket behelyettesíteni, de azért nem ártana, ha
értenék is, mit csinálnak, esetleg ugyanúgy végig lehet gondolni, mint a
bid-et.
K=100; S=100,00; c=6,50; r=1%
QS-PK=c-p, innen p=c-S+PK=6,50-100,00+100*(1/1,01)^1=5,51
Tehát a legjobb kétoldali árjegyzés 4,22/5,51.
7.24. Egy részvény azonnali árfolyama 100 dollár, osztalékot negyedéves
gyakorisággal szokott fizetni, legközelebb pont két hónap múlva fog
fizetni, a piaci konszenzus alapján 3 dollárt részvényenként. A dollár
effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Töltse ki a táblázat hiányzó
adatait!
call put
1 hónap futamidő,
K=105
1,83
dollár
3 hónap futamidő,
K=95
3,79
dollár
Az 1 hónapos futamidőt nem érinti az osztalékfizetés. S=100; DIV=0;
S*=100; Q=1; P=0,9921,
QS-PK=S*-PK=c-p, innen p=c-S*+PK=1,83-100+99,21*105 = 6,00
dollár
A három hónapos futamidőt már érinti az osztalék
S= 100; DIV_2M = 3; S*=100-3/(1+10%)^(2/12)=97,05;
P=1/(1+10%)^(3/12)=97,65%
QS-PK=S*-PK=c-p, innen c=S*-PK+p=97,05-97,65%*95+3,79=8,07
dollár
7.25. Egy osztalékot nem fizető részvény opciós piacán egy éves futamidőre
a 100-as kötési árfolyamú európai call opció árfolyamára a kétoldali
árjegyzés 6,20/6,50. A részvényre a pillanatnyi árjegyzés 100/100,05. Egy
opciós kereskedőtől ebben a pillanatban megvettek 200 darab 100-as
kötési árfolyamú, európai put opciót 6 dollárért. A kereskedő számára egy
éves futamidőre az effektív hozam betét esetén 1%, hitel esetén 2%.
a) Ha azonnal és statikusan szeretné fedezni a put opció eladásából eredő
teljes kockázatát, akkor mit kellene tennie és összességében mennyit
nyerne mai dollárban kifejezve?
b) Ha dinamikusan szeretné fedezni a pozícióját, akkor első lépésként
eladnia, vagy vennie kellene valamennyi részvényt?
Megoldás:
a) Elvitték tőle a 200 darab put opciót, tehát vennie kell 200 db 100-as
call-t, mert a konvexitást csak opcióval tudja visszaszerezni. 6,50-en
megveszi a call-okat. Node ekkor 200 LC+200 SP pozíciója lesz, aminek
mivel Q=1 ezért +200 részvény a deltája, el kellene adni 200 db részvényt
100-on.
200LC +200SP + 200SU, ennek a cash hatása:
-6,50*200+6*200+ 200*100 = 19900
Lejáratkor szüksége van 20000 dollárra, hogy a határidős vételét
teljesíteni tudja. Ha 1%-on elhelyez 19.802 dollár betétet, az elég lesz
lejáratkor a szintetikus long forward teljesítésére, 98 dollárt pedig most
rögtön elrakhat profitként.
b) SP pozíciót ha dinamikusan szeretne fedezni, akkor részvény eladással
kell kezdenie, hiszen az SP deltája pozitív.
7.26. Egy részvény azonnali árfolyama 100 dollár, osztalékot a következő
évben nem fog fizetni. Az 1 éves diszkontkincstárjegy árfolyama 95%. A
részvényre szóló 1 éves futamidejű európai call opciók közül a 100-as
kötési árfolyamú opció 12 dollárba, a 110-es kötési árfolyamú 5 dollárba
kerül. Önnek lehetősége van 4 dollárért megvenni egy 90-es kötési
árfolyamú kötési árfolyamú európai put opciót. Mutassa meg, hogy ez
arbitrázslehetőséget jelent!
107
Megoldás:
Ha tudnánk valamit a 90-es call-ról, akkor put-call paritással a 90-es put-
ról is lehetne valamit mondani.
A pillangó paritás miatt a 90-es call legalább 2x12-5=19-be kell kerüljön.
(sőt többe, a 19 még pont arbitrázs, mert ingyen adna csak nemnegatív
kifizetésű pillangót)
A 90-es kötési árfolyamra felírva a put-call paritást:
fwd=call-put; QS-PK = call – put; 1*100-0,95*90= call – put;
put= call-14,5
Mivel a call legalább 19-et ér, ezért a put legalább 19-14,5=4,5-öt kell
érjen. Mi megvehetjük 4 dollárért, ez arbitrázs, kész is.
7.27. Egy részvény azonnali árfolyama 100 dollár, osztalékot negyedéves
gyakorisággal szokott fizetni, legközelebb pont 2 hónap múlva fog fizetni,
a piaci konszenzus alapján 3 dollárt részvényenként. A dollár effektív
hozamgörbe 10%-on vízszintes. Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!
call put
1 hónap futamidő, K=105 1,83
dollár
3 hónap futamidő, K=95 3,79
dollár
Megoldás:
Az 1 hónapos futamidőt nem érinti az osztalékfizetés. S=100; DIV=0;
S*=100; Q=1; P=0,9921,
QS-PK=S*-PK=c-p, innen p=c-S*+PK=1,83-100+99,21*105 = 6,00
dollár
A három hónapos futamidőt már érinti az osztalék
S= 100; DIV_2M = 3; S*=100-3/(1+10%)^(2/12)=97,05;
P=1/(1+10%)^(3/12)=97,65%
QS-PK=S*-PK=c-p, innen c=S*-PK+p=97,05-97,65%*95+3,79=8,07
dollár
7.28. Egy osztalékot nem fizető részvény azonnali árfolyama 100 dollár. Az
egy éves diszkontkincstárjegy árfolyama 99%. Az alábbi árjegyzések a
részvényre szóló, egy év futamidejű európai opciók árait tartalmazzák.
Mutasson be két statikus arbitrázslehetőséget!
Call díjak Put díjak
K=80 22 3
K=100 16 6
K=120 10 10
Megoldás:
Ellenőrizni lehet 3 db put-call paritást, 3 db BOX ügyletet és 2 db
pillangót.
Ránézésre látszik, hogy a 120-as kötési árfolyammal baj lesz, hiszen ott
ugyanannyit ér a call és a put, vagyis az opciókkal ingyen lehet 120-as
forwardot csinálni, miközben a 100/0,99 = 101 körül van a fair forward.
A call-oknál a pillangó is sérül, mert 2x16 = 22+10, vagyis a szárnyak
megvehetők a közép eladásából, nem igényel befektetést, a hozam itt
mindegy is. (put-nál nincs erre lehetőség)
K=80-ra a put-call paritás:
QS-PK = Long forward = call –put
100-0,99*80=20,80, miközben call-put= 22-3 = 19, vagyis LC+SP-vel 19
dollárért létre kell hozni egy long forwardot 80-as kötési árfolyamra és
ennek az értéke máris 20,80 lesz
7.29. A WTI (West Texas Intermediate) típusú olaj júliusi szállítású futures-
ére szóló, június 15-én lejáró európai típusú opciók közül az alábbi
táblázat tartalmazza néhány futures call és futures put opciók árait. Az
opciók lejáratáig a dollár hozamgörbe 0%-on vízszintesnek tekinthető.
call Put
K=59 1,24 1,28
K=61 0,52 2,30
Mutassa meg, hogy lehetőség van statikus arbitrázsra!
Megoldás:
A feladat megoldásánál nagy segítség, ha észrevesszük, hogy nincs
megadva az alaptermék árfolyama, így a put-call paritás, sőt az alsó-felső
korlátok ellenőrzése is esélytelen. A pillangó (keselyű) típusú paritások
ellenőrzésére sincs lehetőség, hiszen ahhoz legalább 3 (keselyűnél 4)
kötési árfolyam kellene.
109
(LC_59+SP_59)+(LP_61+SC_61)=LF_59+SF_59= garantált 2 dollár
nyereség lejáratkor
Node mennyibe kerül ezt létrehozni most?
-1,24+1,28-2,30+0,52=-1,74
Tehát ma -1,74-be kerül egy kb egy hét múlva biztos 2 dollár követlés.. Ez
0%-os hozam mellett biztos arbitrázs.
7.30. A WTI (West Texas Intermediate) típusú olaj júliusi szállításra szóló
futures árfolyama 59,85 dollár. Az erre a futures-re szóló, június 15-én
lejáró európai futures opciók közül tudjuk, hogy a 60-as kötési árfolyamú
futures call 1,80 dollár, a 62-es kötési árfolyamú futures call 0,95 dollár.
Legalább mennyibe kell kerüljön az 58-as kötési árfolyamú futures put, ha
a dollár hozamok 0%-nak tekinthetők és tudjuk, hogy nincs
arbitrázslehetőség?
Megoldás:
A futures opció lényege, hogy futures pozícióvá alakul át, ha lehívják.
Tehát a Q=1. A P=1 pedig adódik onnan, hogy a dollár hozamok 0%-nak
tekinthetők.
put_58 >= ???, ha
call_60 = 1,80
call_62 = 0,95
Tudjuk, hogy ahhoz, hogy ne lehessen ingyen létrehozni egy 58-60-62
call pillangót fontos, hogy a középsőből kettőt eladva ne tudjuk megvenni
a két szélsőt (a szárnyakat).
Vagyis call_58 >= 2*1,80-0,95 = 2,65
A K=58-ra felírva a put-call paritást:
Q*S-P*58 = fwd_58 = call_58 – put_58
1*59,85-1*58=1,85 >=2,65-put_58
put_58>=0,80 dollár
7.31. Egy részvény azonnali árfolyama 106,15/106,20 dollár, a részvény a
következő fél évben nem fizet osztalékot. Egy opciós árjegyző dollárban
0,50%-os effektív hozammal tud betétet elhelyezni és 1,50%-os effektív
hozam mellett jut hitelhez. A T=0,5 év múlva lejáró, K=110 kötési
árfolyamú európai call opciókra az árjegyzés 3,80/4,00. Adja meg azt a
lehető legjobb olyan kétoldali árjegyzést K=110 kötési árfolyamú európai
put opcióra, amely mellett az esetleges üzletkötés esetén éppen nulla
költséggel a put opciós pozícióból származó minden piaci kockázatot
éppen le tudná fedezni!
Megoldás:
Adott S, r, call, T és DIV=0 információk alapján ez egy szimpla put-call
paritás lenne alapján csakhogy tudni kellene, hogy melyik piacon melyik
oldal kell (bid, vagy ask).
Mi legyen a put-ra jegyzett bid-ünk? Ha megütik, akkor eladnak nekünk
put opciót, vagyis mi LP pozícióba kerülünk. Statikus fedezésnél biztos,
hogy először opciót opcióval kell fedezni, tehát azonnal adjunk el call-t.
Innentől kezdveLP+SC pozíciónk van, ez szintetikus SF pozíciónak felel
meg. Ezt LU+SB pozival fedezhetjük, vagyis azonnal vegyünk az
alaptermékből és emiatt az üzletkötésekből eredően nettó finanszírozási
igényünk lesz (hiszen az opciók jóval olcsóbbak, mint az alaptermék),
tehát hitelre lesz szükség.
Ezek alapján: call=3,80; S=106,20; r=1,50%
put = call – S + PK = 3,80 – 106,20 + 1/(1+1,50%)^(1/2) * 110 = 6,78
dollár legyen a bid
Mi legyen az offer? A bid-hez hasonlóan végig lehet gondolni, de ha már
meg van a bid, akkor biztos minden alkatrészpiacon pont a másik oldalt
kell megütni, vagyis:
call=4,00; S=106,15; r=0,50%
put = call – S + PK = 4,00 – 106,15 + 1/(1+0,50%)^(1/2) * 110 = 7,58
dollár legyen az offer
Tehát a keresett legjobb kétoldali árjegyzés: 6,78/7,58.
7.32. Egy osztalékot nem fizető részvény azonnali árfolyama 100 dollár. Az
egy éves diszkontkincstárjegy árfolyama 99%. Az alábbi árjegyzések a
részvényre szóló, egy év futamidejű európai opciók árait tartalmazzák.
Mutasson be röviden két statikus arbitrázslehetőséget!
Call díjak Put díjak
K=80 22 3
K=100 16 6
K=120 10 10
K=140 4 30
111
Megoldás:
Ellenőrizni lehet 3 db put-call paritást, 3 db BOX ügyletet és 2 db
pillangót.
Ránézésre látszik, hogy a 120-as kötési árfolyammal baj lesz, hiszen ott
ugyanannyit ér a call és a put, vagyis az opciókkal ingyen lehet 120-as
forwardot csinálni, miközben a 100/0,99 = 101 körül van a fair forward.
A call-oknál a pillangó is sérül, mert 2x16 = 22+10, vagyis a szárnyak
megvehetők a közép eladásából, nem igényel befektetést, a hozam itt
mindegy is. (put-nál nincs erre lehetőség)
K=80-ra a put-call paritás:
QS-PK = Long forward = call –put
100-0,99*80=20,80, miközben call-put= 22-3 = 19, vagyis LC+SP-vel
létre kell hozni egy long forwardot 80-as kötési árfolyamra és ennek az
értéke máris 20,80 lesz
7.33. Egy részvényre szóló 1 hónap múlva lejáró európai opciókról az alábbi
táblázatban lévő pillanatképet ismerjük. Tudjuk, hogy a részvény az
opciók lejáratáig nem fizet osztalékot. Az alábbi kérdésekre
arbitrázsmentességet feltételezve válaszoljon.
a) Mekkora a kockázatmentes 1 hónapos diszkontfaktor?
b) Mekkora az RD azonnali árfolyama?
c) Mennyibe kerül a táblázatból hiányzó 100-as kötési árfolyamú put
opció?
call put
K=97,50 2,86 0,51
K=100,00 1,26
K=102,50 0,34 2,89
Megoldás:
a) BOX-ügylethez nem kell a spot árfolyam, az 4 opció és a kamat
kapcsolatáról szól.
A 97,50-102,50-ös BOKSZ ügylettel fix 5 dollár 1 hónap múlvai biztos
kifizetést:
-2,86+0,51+0,34-2,89=-4,9 dollárért tudunk megvenni, tehát 4,9/5 =
98% az 1 hónapos DF.
b) Egy olyan put-call paritásból kijön, ahol ismert a call és a put is, csak
kell még hozzá a diszkontfaktor, ami az a) pontban számoltunk ki.
97,50-re felírva:
QS-PK=call-put
S=2,86-0,51+98%*97,50 = 97,90
c) ez is csak egy put-call paritás:
QS-PK=call-put
Put_100 = 1,26-97,90+98%*100 = 1,36
7.34. Az “X” részvények azonnali árfolyama 617 dollár, a 2016. március 18-
án lejáró opciót az alábbi táblázat (bid/ask) tartalmazza. A részvény 2016
első felében nem fizet osztalékot, a dollár kamatok 0%-nak tekinthetőek.
Call put
K=650 20 / ? ?/56
K=700 3 / 7 ?/?
a) A put-call paritás segítségével töltse ki a táblázat hiányzó részeit!
b) Mutassa meg, hogy BOX-ügylettel nem lehet arbitrálni!
Megoldás:
a) Minden hiányzó rész kijön a put-call paritásból. Az offerből offert, a
bid-ből bid-et lehet a put-call paritás segítségével számolni, hiszen, ha
fedezni kellene, akkor az opciós kockázatokat csak opcióval tudjuk
kiütni,
A put call paritásból
call = put + QS-PK
put=call-QS+PK
call_650_offer = put_650_offer+617-650 = 56+617-650 = 23
put_650_bid = call_650_bid-617+650 = 20-617+650 = 53
put_700_bid = call_700_bid-617+700 = 3-617+700 = 86
put_700_offer = call_700_offer-617+700 = 7-617+700 = 90
b) BOX-ügyletnél mondjuk az egyik irányba építsünk egy
(LF_650+SF_700)-ból álló biztos 50 dollár lejáratkori profitot jelentő
pozíciót
113
LC_650+SP_650+SC_700+LP_700, ennek a költsége: -23+53+3-90= -
57, tehát ebbe az irányba nem éri meg BOX-ügyletet építeni, mert 57-be
kerül a lejáratkori 50 kifizetés, ez nem éri meg.
A másik irányba:
SC_650+LP_650+LC_700+SP_700, ennek a költsége: +20-56-7+86=
43, vagyis most 44 dollárt kapnánk, és lejáratkor 50-et veszítenénk. Ezt
sem éri meg.
7.35. Egy részvény spot árfolyama 193 dollár. A március 20-i lejáratra szóló
opciókból az alábbi pozíciókat vettük fel: 10 kontraktus 200-as long call,
5 kontraktus 220-as short call és 5 kontraktus 230-as short call. Egy
kontraktus 100 részvényről szól. A 200-as, 220-as és 230-as kötési
árfolyamhoz tartozó call opciók árai rendre 11, 5 és 3 dollár. A részvény
nem fizet osztalékot a márciusi lejáratig és a dollár hozamgörbe rövid
lejáratokra 0%-nak tekinthető.
a) Írja fel a pozíciónk opciós algebráját és mutassa be a lejáratkori
kifizetést ábrázolva, hogy mekkora lejáratkori részvényárfolyam(ok)
esetén járnánk a legjobban!
b) Hány dollár a teljes portfoliónk görbületi értéke most?
Megoldás:
a) Ez egy bull spread-szerű képződmény, csak a short opciók ketté vannak
bontva, így két lépcső lesz, de ránézésre is látszik, hogy nyilván akkor jár
a legjobban, ha a 230-at eléri, vagy meghaladja az árfolyam.
opciós algebra:
(0,1000,500,0)(200,220,230)
b) Mivel nincs se kamat, se osztalék, (tehát nincs kamatérték) és
mindhárom opció OTM (vagyis nincs belső érték) ezért az összes opció
értéke kizárólag görbületi értékből áll. Az egész összetett pozíció nettó
piaci értéke egyben a pozíció görbületi értéke is:
piaci érték = görbületi érték = +10*100*11-5*100*5-5*100*3 = 7000
dollár
7.36. Egy kereskedő a következő opciós algebrájú pozíciót hozta létre az “X”
részvény június 19-én lejáró opcióiból: (0;700;0;-
700;0)(100;105;110;115). Egy opciós kontraktus 100 részvényről szól.
a) Milyen nevezetes összetett opciós pozíciót hozott létre így a befektető?
b) Mutassa meg, hogy a kívánt opciós algebra létrehozható kizárólag call,
vagy kizárólag put opciós kontraktusokból is!
c) Milyen lejáratkori részvény árfolyamok mellett jár a lehető legjobban?
Megoldás:
Azért lehet csak call opciókból kirakni, mert az algebra első meredeksége
nulla. Egyébként vagy alaptermék, vagy put kellene, hiszen a call nem tud
a strike-ja alá hatni. És hasonló érveléssel azért lehet csak put opciókból
kirakni, mert az utolsó meredekség nulla.
a) Ez egy long keselyű 700 részvényre felépítve. A szárnyakat meg kell
venni, a közepét pedig eladni, már innen is látszik, hogy majd a 100-as és
115-ös strike-kat venni kell, a 105-ös és 110-es strike-okat pedig eladni.
b) Csak call opciókból építünk, akkor induljunk el lentről felfelé, hiszen a
call opciók csak a kötési árfolyamuk fölötti részekre hatnak lejáratkor.
+7 call_100 - 7 call_105 - 7 call_110 + 7 call_115
Put esetén pedig induljunk el felülről lefelé.
+7 put_115 - 7 put_110 - 7 put_105 + 7 put_100
c) A long keselyűvel akkor jár a legjobban, ha a két középső strike között
lesz a részvény, tehát [105;110] intervallum a legjobb neki.
7.37. Az “X” részvény piacán egy opciós kontraktus 5-szörös indexértékről
szól (multiplier = 5x) és mindegyik indexopció európai. Egy kereskedő
2015 márciusi “X”-re vonatkozó opciós algebrája jelenleg a következő:
(0, 50, -100, 30)(9200;9500;9800)
a) Mutassa be a lejáratkori kifizetést ábrázolva, hogy mekkora lejáratkori
árfolyam esetén járna a lehető legrosszabbul!
b) Mutassa meg, hogy néhány új opciós pozíció felvételével a portfolió
long pillangóvá alakítható! Mutasson egy példát is arra, hogy hány
kontraktust és milyen irányba kellene ehhez kötni!
Megoldás:
a) 9800 esetén jár a legrosszabbul, rajzból látszana leginkább, ha elsőre
nem triviális
b) Sokféle jó megoldás van, például első lépésként lehetne venni 10
kontraktusnyi 9500-as call-t, ekkor az opciós algebra így nézne ki:
(0, 50, -100+5*10, 30+5*10)(9200;9500;9800)
Második lépésként el kellene adni 16 kontraktusnyi 9800-as call-t, ezután
az opciós algebra így néz majd ki:(0, 50, -50, 80-16*5)(9200;9500;9800)
115
8. Opciók 2. Opcióárazás a binomiális modellben
8.1. A piacon csak a következő termékekkel kereskednek:
- egy osztalékot nem fizető részvény (S=100),
- a részvényre szóló európai típusú, egy év futamidejű call opció (c=10);
- a részvényre szóló európai típusú, egy év futamidejű put opció.
Kockázatmentes hitel és betét nem létezik. Mindkét opció kötési
árfolyama K=100. A részvény árfolyama a következő egy év alatt vagy
1,25-szorosára nő vagy 0,8-szorosára csökken. Mennyit ér a put opció?
Megoldás:
A termékek áralakulási folyamatai a következő évben:
125 25 0
100 10 p
80 0 20
Vonjunk ki egy részvényből 5 db call opciót!
0
50
80
Osszuk el 4-gyel!
0
12,5
20
Tehát a put opció értéke (no-arbitrázs ára) 12,5.
8.2. Egy részvény árfolyama egy év alatt a duplájára nő, vagy a felére csökken.
A részvény azonnali árfolyama 200 forint, a kockázatmentes hozam évi
25%.
a) Határozza meg egy erre a részvényre szóló, egyéves futamidejű, K=250
Ft kötési árfolyamú európai call opció deltáját!
b) Mit tenne, ha a feladatban szereplő opcióval a piacon 80 forintos
árfolyamon kereskednének? Írja fel az egyes időpontokhoz, illetve
lépésekhez tartozó pénzáramlásokat is!
Megoldás:
a) q=(1,25-0,5)/(2-0,5)=0,5
A részvény lehetséges áralakulása:
200 400
100
Az opció lehetséges értékei:
60 150
0
A delta értéke: 150/300=0,5
b) Az opció túlárazott, tehát eladom és szintetikusan előállítom:
SC+deltaLU+Hitel
C0=+80 - 0,5 · 200 + 20(hitel)
C1u=+0,5 · 400 – 150 – 20 · 1,25 = 25
C1d=+0,5 · 100 – 20 · 1,25 = 25
A nyereség jelenértéke 25/1,25=20 pont a félreárazás nagysága.
8.3. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely
évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. A felfelé mozdulás
valószínűsége p=0,8 (valós világban!). Az állampapír-piaci (effektív)
hozamgörbe 10%-on vízszintes.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy kétéves, K=100-as lehívási
árfolyamú, európai vételi opció (call) lehívásra kerül?
b) Mennyit ér az a) pontban szereplő opció?
Megoldás:
a) q = 0,8
Részvény áralakulása:
100 200 400
50 100
25
Opció lehetséges értékei, hozzátartozó valószínűségekkel:
300: 0,82
0: 2·0,8·0,2
0: 0,22
az esély 64% mivel, itt a valós valószínűséget vesszük figyeelmbe!
b) az opció értéke:
q=(1,1 - 0,5) / (2 - 0,5) = 0,4
300 · 0,42 / 1,12 = 39,66
8.4. Egy osztalékot nem fizető részvény jelenlegi árfolyama 80. A részvény
árfolyama egy év alatt vagy 25%-kal nő, vagy 20%-kal csökken. A
növekedés valószínűsége 60%. A logkamatláb évi 15%.
a) Mennyit ér a részvényre szóló, 2 év futamidejű európai put opció,
amelynek kötési árfolyama 90.
b) Mekkora a valószínűsége, hogy az opciót le fogják hívni?
Megoldás:
a) q=(e0,15-0,8) / (1,25-0,8) ~ 0,8 (logkamatláb!)
117
125 0,0
100 1,72
80 80 3,52 10,0
64 13,56
51,2 38,8
A put értéke 3,52.
b) Akkor hívják le, ha a következő árfolyammozgások következnek be:
’fel-le’; ’le-fel’; ’le-le’. A valószínűség (valós!): 2·0,6·0,4 + 0,16 = 64%
8.5. Legyen adott egy osztalékot nem fizető részvény (S0=200, u=2, d=1/u),
valamint az effektív kamatláb r=10%. A delta-t=1 év. Mennyit ér erre a
részvényre szóló, 2 év futamidejű, európai típusú opciókból összeállított,
ATM terpesz pozíció?
Megoldás:
q = (1,1-0,5)/(2-0,5) = 0
Részvény áralakulása
T=0 T=1 T=2
800
400
200 200
100
50
Call opció áralakulása
T=0 T=1 T=2
600
218,18
79,34 0
0
0
Put opció áralakulása
T=0 T=1 T=2
0
0
44,63 0
81,82
150
A pozíció értéke: 123,97
8.6. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely
évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci
(effektív) hozamgörbe 10%.
a) Adja meg a két év múlvai időponthoz tartozó Arrow-Debreu árakat!
b) Az előző pontban kiszámított AD árak segítségével árazzon be a
részvényre szóló európai put opciót, amelynek futamideje két év és kötési
árfolyama K=500!
c) A kiszámított AD árak segítségével árazzon be a részvényre szóló
európai put opciót, amelynek futamideje két év és kötési árfolyama
K=300!
Megoldás:
Részvény:
100 200 400
50 100
25
8.6.1. q=(1,1 - 0,5) / (2 - 0,5) = 0,4
P(ADuu)=0,42 / 1,12 = 0,1322
P(ADud)=2 · 0,4 · 0,6/1,12 = 0,3967
P(ADdd)= 0,62 / 1,12 = 0,2975
b) put=0,1322·100+0,3967·400+0,2975·475=313,21
c) put=0,1322·0+0,3967·200+0,2975·275=161,15
8.7. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely
évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci
(effektív) hozamgörbe 10%-on vízszintes. Mennyit ér az a részvényre
szóló put opció, melyet csak két év múlva lehet lehívni és lehívási
árfolyama a két év alatti maximális részvényárfolyammal egyezik meg?
Megoldás:
q= (1,1-0,5)/(2-0,5)=0,4
Részvény:
100 200 400
50 100
25
Az opció lehetséges értékei a második év végén és valószínűségeik:
uu: 400 – 400 = 0 (0,42 = 0,16)
ud: 200 – 100 = 100 (0,4 · 0,6 = 0,24)
du: 100 – 100 = 0 (0,6 · 0,4 = 0,24)
dd: 100 – 25 = 75 (0,62 = 0,36)
Ebből a put opció értéke: (0,36 · 75 + 0,24 · 100) / 1,12= 42,14
119
8.8. Egy részvény árfolyama jelenleg 100 Ft, mely a jövőben félévente vagy
meg duplázódik vagy felére csökken. A kockázatmentes logkamatláb éves
szinten 10%. Számolja ki egy K=150 forint kötési árfolyamú, másfél év
futamidejű európai vételi opció értékét az A-D árak segítségével!
Megoldás:
3675,05,02
5,01,05,0
e
du
dep
trf
A részvény áralakulása, és az opció kifizetése T-ben
t=0,5 T=1 T=1,5
800
400 200
200 100 50
100 50 25 12,5
Opció T=1,5
650
50
0
0
Állapotvalószinűségek
p3=0,04963
p2=0,25628
p1=0,44105
p0=0,25301
A-D árak
AD3=0,04272
AD2=0,22058
AD1=0,37962
AD0=0,21777
A call opció ára tehát: c=38,797
8.9. Bontsa fel az előző példában szereplő call opció értékét belső értékre,
kamatértékre és görbületi értékre!
Megoldás:
PK=129,11
Belső érték=0
Kamatérték=0
Görbületi érték=38,8
8.10. Mennyit ér egy kétéves 156,25-ös kötési árfolyamú európai call, és
mennyit egy azonos kötési árfolyamú európai put, ha az alaptermék
árfolyama 100, u=2, d=1/u és a 160-as kötési árfolyamú long forward
pozíció értéke -2,4?
Megoldás:
Első lépésben a kockázatmentes kamatlábat kell meghatároznunk!
f = -2,4 = S – PV(K) = 100 – 160/(1+rf)2, ahonnan rf = 25%.A binomiális
modellben q = (1,25-0,5)/(2-0,5) = 0,5. A részvényárfolyam alakulása, a
call és a put lejáratkori értéke:
S c p
400 243,75 0
200 100 0 56,25
100 50 25 0 131,25
c = (0,52·243,75)/1,252 = 39
p = (2·0,25·56,25 + 0,25·131,25)/1,252 = 39, vagy
p = c + S – PV(K) = 39 + 100 – 156,25/1,252 = 39.
8.11. Az előző példában szereplő put opciót 44 forintért lehet adni/venni.
a) Dinamikus vagy statikus arbitrázsra van lehetőség?
b) Mekkora lenne az arbitrázsnyereség mai pénzben egy put opción?
c) Short vagy long pozíciót vállalna az opciós, a részvény- és a
kötvénypiacon a nulladik időpontban?
Megoldás:
a) Dinamikus
b) 44-39=5
c) short put, short részvény, long kötvény
8.12. Tegyük fel, hogy egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama
binomiálisan alakul dt=1 év, u=2 és d=0,5 paraméterek mellett. Ebből
következik, hogy
a) a részvény éves hozamai függetlenek.
b) a részvény piaca gyengén hatékony.
c) a részvény T időpontbeli jövőbeli árfolyamának eloszlása tart a
normális eloszláshoz, ha dt tart nullához.
d) a részvény volatilitása állandó.
e) a részvény ex post hozama nem lehet negatív.
f) a részvényre szóló opció deltája állandó.
Megoldás:
a) igen
121
b) igen
c) nem (a lognormálishoz tart)
d) igen
e) nem
f) nem
8.13. Egy részvény árfolyama jelenleg 100 Ft, várható hozama 14%,
hozamának szórása 20%, a kockázatmentes folytonos kamatláb 10%.
Mennyit ér erre a részvényre szóló, 2 év futamidejű ATM európai call
opció Δt=1 mellett? Használjuk a CRR-modellt!
Megoldás:
A modell:
tr
du
tr
tt
egppggdu
dep
ued
deu
1.4.3
1.2
1.1
u=exp(0,2·1)=1,2214
d=1/u=0,8187
p=0,2865/0,4027=0,7114
Részvény
T=0 T=1 T=2
149,18
122,14
100 100
81,87
67,03
Call opció
T=0 T=1 T=2
49,18
31,757
20,37 0
0
0
A call értéke: 20,37
8.14. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama binomiális mozgást
követve évente vagy megduplázódik, vagy megfeleződik. Mekkora most
annak az egy év múlva lejáró long call pozíciónak a deltája, amelyiknek a
kötési árfolyama éppen a részvény mostani azonnali árfolyamával egyezik
meg?
Megoldás:
Se az S-t, se a kockázatmentes hozamot nem adtuk meg, de ebben a
modellben a deltához nem is kellenek, ha a K-t ki lehet fejezni az S
függvényében és azt most tudjuk, hogy K=S, illetve tudjuk a „volatilitást”
is, hiszen: u=2, d=1/2. A részvény „kifizetése” egy év múlva vagy 2S, vagy
0,5S lesz, az opcióé vagy (2S-S) = S, vagy 0. A delta az a részvény
mennyiség, amennyivel ki tudjuk rakni az opció kifizetésében a két
világállapot közti különbséget.
delta= (S-0)/(2S-0,5S) = S/(1,5S) = 1/1,5 = 2/3
8.15. Cox-Ross-Rubinstein (CRR) binomiális modelljében mekkora a
volatilitása az alapterméknek az alábbi paraméterek esetén?
a) Δt=1 év, u=4 és d=1/u
b) Δt=0,25 év, u=1,25 és d=1/u
Megoldás:
CRR modellben u=exp(szigma*gyök(Δt)), innen szigma = ln(u)/ gyök(Δt)
a) szigma = ln(4)/(1)^(0,5)=1,3863 = 138,63% (ez nagyon sok, de hát az
u=4 is az!)
b) szigma = ln(1,25)/(0,25)^(0,5)=0,4463=44,63% (még ez is a
volatilisebb papírokközé tartozik)
8.16. Mi az Arrow-Debreu árak kapcsolata a diszkontkincstárjegy
árfolyamával és miért nem lehet az Arrow-Debreu árakat amerikai opciók
árazásához használni?
Megoldás:
Az AD-árak összege kiadja a DKJ árfolyamát, hiszen a DKJ minden
jövőbeli világállapotban fizet 1-et, vagyis olyan, mintha az összes AD
terméket megvettem volna.
Az amerikai opció a korai lehívhatóság miatt nem T-termék, míg az AD
termékek T-termékek, nem lehet belőlük kirakni. Az AD-termékekel nem
lehet útvonalfüggő opciókat árazni, mert ők érzéketlenek az útvonalra.
Nehezebb feladatok:
8.17. Az “X” részvények árfolyama ma 16 dollár, mely, egy modell szerint,
binomiális mozgást követ, Δt=1/4 év, u=2 és d=1/u paraméterekkel. A
részvény nem fizetnek osztalékot, a 3 hónapos diszkontfaktor 99%, a
kockázatmentes hozamgörbe vízszintes. Egy bank 3 dollárért árulja a 64-
123
es kötési árfolyamú, 1 éves, Larsa részvényekre szóló, európai plain
vanilla call opciót.
a) Megéri venni ebből az opcióból 3 dollárért?
b) Ha a bank 1000 darab részvényre szóló opciót ad el ma, hány darab
részvényt kellene vennie/eladnia ahhoz, hogy pillanatnyilag delta-
semleges legyen?
c) Mekkora a részvények volatilitása?
d) Ez a volatilitás nagynak, megszokottnak, vagy kicsinek számítana a
valóságban?
Megoldás:
a) q=((1/99%)-0,5)/(2-0,5)= kb 0,34
A klasszikus, „diszkontált kockázatsemeleges várható érték” módszerrel
lépésről lépésre is megdolható a feladat, de talán már a részvényfa
felrajzlásakor látszik, hogy csak egyetlen lejáratkori világállapotban fizet
az opció. Ilyenkor nagy segítség az AD árak használata, hiszen ez sokat
egyszerűsít.
AD(fel, fel, fel, fel) = 99%^4*0,34^4= kb 0,0128
Lejáratkor a (fel, fel, fel, fel) világállapotban a részvény 256-ot ér, az
opció ekkor 192-őt fizet ki.
Ezek alapján az AD-módszerrel az opció ára 192*0,0128 = kb 2.46,
vagyis a 3 dolláros ár túl sok, ha valaki képes delta fedezni, akkor nem éri
meg 3 dollárt fizetni ezért.
Klasszikus megoldással:
b) Ha a banktól megvesznek 1000 darab részvényre szóló opciót, akkor a
kedeti delta-hedge szempontjából tudni kellene, hogy mennyit ér majd az
opció egy negyedév múlva. Az alsó ágon nyilván nulla lesz, a felső ágon
u 2.0000 részvényfa 256
d 0.5000 128 64
S 16.00 64 32 16
r_eff 4.1020% 32 16 8 4
dt 0.25 16 8 4 2 1
implied_vol 138.63%
DF(dt) 99.0000% call fa 192.00
K 64 64.64 0.00
p 0.3401 21.76 0.00 0.00
7.33 0.00 0.00 0.00
2.47 0.00 0.00 0.00 0.00
pedig vissza kell osztani egy darab felfelé lépés valószínűséggel és eggyel
kevesebb diszkontálás is kell, így 2,46/(0,99*0,34) = kb 7,31 dollár lesz.
Delta_ma = (7,31-0)/(32-8)= kb 0,3046 1000 darab részvényre szóló
opció eladása esetén tehát kb 304 darab részvényt kellene vennie a
banknak ma ahhoz, hogy delta-semleges legyen.
c) a volatilitás sokkal inkább egy folytonos modellbeli fogalom, de
természetesen diszkrét modellekben is van értelme, a kapcsolatot az
u=exp(szigma*gyök(T-t)) képlet adja.
ln(2)/(1/4)^(1/2)= kb 139%
d) A 139%-os volatilitás nagyon sok! Egy nyugisabb részvénynek 20-30%
körül van a volatilitása, de még a kockázatosabb részvényeknél is 40-50%
körül alakul.
8.18. Egy cég részvények azonnal árfolyama 100 dollár, mely egy modell
szerint binomiális mozgást követ, Δt=1év, u=2 és d=1/u paraméterekkel.
A részvények a következő három évben nem fizetnek osztalékot. A
kockázatmentes effektív hozamgörbe 0%-on vízszintes.
a) Mennyit ér egy T=3 év futamidejű, K=125 kötési árfolyamú, európai
terpesz (straddle) pozíció?
b) Egy bank ma 10000 darabot elad az ügyfeleinek az a) pontban
bemutatott terpeszből, majd a részvényárfolyam a „le-fel-fel” trajektórián
mozog. Hány darab és milyen irányú részvénypozíciót tartson a bank a
delta-fedezés során ma, az első és a második év végén, illetve lejáratkor
közvetlen a lehívás előtt?
Megoldás:
a) A binom modellben érdemes az összetett pozíciók kifizetését egyben
kezelni, így az árazásuk és a delta is könnyebben adódik, mintha külön call
és külön put opciókat néznék (ami egyébként nyilván ugyanide vezetne)
Straddle ára = 108,33 dollár
125
b) A sárga trajektórián haladva: 3333; -3333; 0; 10000 részvénypozíciót
kellene delta fedezésként tartania.
8.19. Az “X”részvény nem fizet osztalékot, azonnali árfolyama 100 dollár,
mely, egy modell szerint, binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u
paraméterekkel. A kockázatmentes effektív hozamgörbe 10%-on
vízszintes.
a) Mennyit ér egy 3 év futamidejű, 150-es kötési árfolyamú, európai
vanilla call opció?
b) Egy bank az a) pontban lévő opcióból 10000 darabot értékesít
ügyfeleinek. Hány darab részvényt vegyen, ha delta-fedezni szeretné
a pozícióját?
c) Egy bank 3 éves certifikátot bocsát ki. A certifikát tulajdonosa a
futamidő alatt, beleértve a 3. év végi lejáratot is, visszaválthatja a
certifikátot, de csak akkor, ha a részvényárfolyam 100 dollár alatt van.
Visszaváltás esetén a bank (100-S)2 darab dollárt fizet a certifikátért
(például 50-es részvényárfolyam esetén 2500 dollárt). Mennyit ér ma ez a
certifikát?
u 2.0000 részvényfa
d 0.5000 800
S 100.00 400 200
r_eff 0.0000% 200 100 50
dt 1.00 100.00 50 25 12.5
implied_vol 69.31%
DF(dt) 100.0000% K=120 straddle
K 125.00 675
q 0.333333 275 75
141.67 75.00 75
108.33 91.67 100 112.5
straddle deltája 1
1 1
0.67 0.000 -1
0.33 -0.33 -1 -1
10000 short straddle-t fedező részvénymennyiség
10000
10000 10000
6666.67 0 -10000
3333.33 -3333.33 -10000 -10000
Megoldás:
u 2.0000
d 0.5000
S 100.00
r_eff 10.0000%
dt 1.00
implied_vol 69.31%
DF(dt) 90.9091%
K 150
p 0.4000
részvényfa
800
400 200
200 100 50
100 50 25 13
call fa
650.00
263.64 50.00
105.79 18.18 0.00
42.07 6.61 0.00 0.00
call delta
= 0.6612 10000 SC esetén tehát 6612 darab részvényt vegyen a bank a delta-fedezéshez.
certifikát 0.00
0.00 0.00
1363.64 2500.00
5085.23 7656.25
itt ha visszaváltaná, akkor 75^2=5625 dollárt érne,
ami több, mintha tovább menne, vagyis itt
visszaváltja, ha eljut idáig.
0.00 743.80 1363.64
2214.50 3564.05 5625.00
itt is felmerülhet a korai visszaváltás, de nem éri meg, mert csak
50^2=2500-at kapna, a továbbmenés értéke több.
Tehát a válaszok:
a) 42,07 dollár a call értéke
b) 6612 darab részvényt vegyen a delta-hedge-hez
c) 2214.50 dollár a certifikát értéke
127
8.20. Egy részvény azonnali árfolyama 3000 dollár, mely binomiális
mozgást követ Δt=1 év és determinisztikusan útvonalfüggő volatilitás
mellett. Az első évben az u=1,5. Amennyiben az első évben emelkedett az
árfolyam akkor a második évben u=1,25, különben u=2 lesz. A d pedig
minden évben a d=1/u képletből adódik. A részvény nem fizetnek
osztalékot, a kockázatmentes hozamgörbe 0%-on vízszintes. A
vezérigazgató 2 év múlva annyi bónuszt kap, amennyivel a mai árfolyamot
meghaladja a két év múlvai árfolyam.
a) Rajzolja fel a részvény árfolyamfáját!
b) Mennyit ér a vezérigazgató bónusza jelenértékben?
c) A vezérigazgató titokban sejti, hogy semmilyen ráhatása nincs a cég
teljesítményére, ezért dinamikusan delta fedezi a bónuszból eredő
pozícióját. Milyen értékeket vehet fel a bónusz deltája a futamidő alatt?
Megoldás:
Figyelni kell arra, hogy az u és a d mindig
változik, ebből kifolyólag a kockázatsemeleges
valószínűségek is mindig változnak!
Részvényfa
5625
4500 3600
4000
3000 2000 1000
Kockázatsemleges felfelé valószínűségek alakulása
0,444444
0,4 0,333333
bónusz értéke
2625
1500 600
1000
800 333,3333 0
bónusz deltája
1
0,466667 0,333333
A bónusz deltája nyilván 1 lesz, ha felfelé mozdul az árfolyam az első
évben, hiszen akkor a bónusz lineárissá alakul, mert mindkét lehetséges
esetben lesz kifizetés, hiszen ekkor már tuti 3000 fölött végzi a
részvényárfolyam.
129
9. Opciók 3. Black-Scholes modell
9.1. Mit mond ki a Black-Scholes egyenlet, mire vonatkozik a Black-Scholes
képlet? Milyen esetben érvényes a BS egyenlet és a BS képlet? Melyek a
BS modell feltételei?
Megoldás:
BS egyenlet: theta + (r · S) ·delta + 0,5 · (2 · S2) · gamma = r · f
BS képlet: osztalékot nem fizető, európai típusú opciókra vonatkozik
c = S · N(d1) - PV(K) · N(d2)
d1 = ln(S/PV(K)) / · T0,5 + · T0,5/2
d2 = d1 - · T0,5
BS modell:
- A részvényárfolyam geometrikus Brown mozgást követ (fix volatilitás).
- Nincs adó, tranzakciós ktg.
- Értékpapírok tökéletesen oszthatók, folyamatosan kereskedhetők, van
shortolás.
- Hozamgörbe vízszintes, nem változik időben.
- Hitelt lehet felvenni és betétet lehet elhelyezni a kockázatmentes hozam
mellett.
- Nincs arbitrázs
9.2. A Black-Scholes-Merton modell feltevései közül mutasson hármat,
amelyik általában a valós piacokon nem teljesül!
Megoldás:
A tranzakciós költség és adó gyakran nem teljesül, de a GBM is eléggé
erős feltevés, meg azért a hozamok is tudnak meglepetéseket okozni….
9.3. A Black-Scholes-Merton opcióárazó modell feltételezései közül mutasson
3 olyat, amelyiknek nemteljesülése feltehetően komoly problémát okoz a
valóságban és egyet, amelyiknek a nemteljesülése még viszonylag
könnyen kezelhető!
Megoldás:
A dinamikus fedezés során komoly problémát okoznak, ha ezek nem
teljesülnek:
- az alaptermék „nagyon” nem GBM-et követ, pl a volatilitás nagyon
váltakozik az egyes időszakokban
- risk free görbe eleve nem vízszintes és nem determinisztikusan változik
- ha egyes időszakokban nem lehet shortolni
- ha nagyon nagy a tranzakciók fix költsége (ticket cost)
Kevésbé komoly, kiküszöbölhető problémék:
- arbitrázsmentesség nemteljesülése végülis nem gond, ekkor arbitrálunk
- értékpapírok oszthatósága nem gond, picike kis maradék kockázat nem
zavaró. Pl ha mindig van +/-0,5 darab részvénypozíciónk, azon azért nem
fogunk sokat bukni. Eleve nem centiznénk ki minden pillanatban a delta-
fedezést, kell valamennyi delta-tűréshatár, hogy lehetőleg ne legyen
extrém nagy számú üzletkötés.
- ha a hozamgörbe nem vízszintes, de állandó, vagy determinisztikusan
változik az kiküszöbölhető
- ha hitelt és betétet nem ugyanazon a szinten lehet felvenni, az
kiküszöbölhető, hasonlóan a forward-hoz: midngi el tudom dönteni, hogy
melyik kamattal számoljak.
9.4. Egy részvény árfolyama geometrikus Brown mozgást követ. Ebből
következik, hogy:
a) a részvény piaca gyengén hatékony,
b) a részvény piaca közepesen hatékony,
c) a részvény árfolyama nem lehet negatív,
d) a részvény hozama nem lehet negatív,
e) a részvény T időpontbeli árfolyama lognormális eloszlást követ,
f) a részényre szóló opció értéke Ito-folyamatot követ.
g) a részvény loghozamok normális eloszlású valószínűségi változók,
bármely időtávra?
h) a részvény napi hozamai függetlenek?
i) a részvényárfolyam általánosított Wiener folyamatot követ?
j) a részvényárfolyam Ito-folyamatot követ?
k) a részvényre szóló európai call opció napi hozamai függetlenek?
l) a részvényre szóló európai call opció értéke Ito-folyamatot követ?
Megoldás:
a) igen
b) nem
c) igen
d) nem
e) igen
f) igen
g) igen
h) igen
i) nem
j) igen
131
k) igen
l) igen
9.5. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló, K=100 kötési árfolyamú
európai call opcióból visszaszámított implicit volatilitás 20%, míg egy
ugyanerre a termékre szóló, K=150 kötési árfolyamú európai call opcióból
visszaszámított implicit volatilitás 22%. Arbitrázs- vagy spekulációs
lehetőség ez a Black-Scholes modell feltételein belül, illetve a
valóságban? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Black-Scholes modell feltételein belül: arbitrázs /a második opció túl van
árazva/
Valóságban: spekuláció (sztochasztikus volatilitás és kamatláb, a
dinamikus fedezést nem lehet folytonosan csinálni). Nem teljesül a
konstans volatilitás a valóságban, helyette a ’volatilitás-mosoly’
figyelhető meg.
9.6. Milyen arbitrázsra van lehetőség (statikus-dinamikus), illetve fix vagy
változó nagyságú nyereséget lehet realizálni az alábbi esetekben, ha
fennállnak a BS-modell feltételei?
a) Sérül egy európai call opció alsó korlátja.
b) Nem áll fenn a Boksz-ügylet.
c) Nem áll fenn a BS-egyenlet.
d) Osztalékot nem fizető részvényre szóló, azonos lejáratú és azonos
kötési árfolyamú európai és amerikai put opció ára megegyezik.
Megoldás:
a) statikus, változó
b) statikus, fix
c) dinamikus, fix
d) dinamikus, változó (dinamikus, mert menet közben figyelni kell és
alkalomadtán lehívni az amerikai putot)
9.7. Egy részvényre szóló európai vételi (call) opció lejárata 1 év, lehívási
árfolyama 100. Az alaptermék árfolyama jelenleg 110, volatilitása 20%,
és a kockázatmentes logkamatláb évi 12% minden lejáratra. (Az
alaptermék tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció
futamideje alatt.)
a) Mennyit ér az opció a Black-Scholes feltételek mellett?
b) Bontsa fel az opció értékét belső értékre, kamatértékre és görbületi
értékre!
Megoldás:
a) S/PV(K) =110/100*e-0,12 = 0,9756 ∙t0,5=0,2
Call = 0,212*110 = 23,32
b) belső érték= S - K =10
kamatérték= S - PV(K) - belső érték = 110 - 88,69 – 10 =11,31
görbületi érték=opció értéke-belső érték-kamatérték=2,01
9.8. Ha P1=0.9, T=1, S=100 Ft, =20% továbbá az alaptermék egy osztalékot
nem fizet a részvény
a) Mennyit ér egy K=110 európai eladási jog Black-Scholes képlet
szerint?
b) Bontsa fel a put opció értékét belső értékre, kamatértékre és görbületi
értékre!
Megoldás:
a) S/PV(K) =100/110*0,9 = 1,01
∙t0,5=0,2
Call = 0,084*100 = 8,4
Put= c + PV(K) - S =7,4
b) Belső érték= K – S=110-100 = 10
Kamatérték=-10
Görbületi érték=+7,4
9.9. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló, K=500 kötési árfolyamú, T=1
év futamidejű európai put opció pontosan kétszer annyit ér mint egy
ugyanilyen call opció. A kockázatmentes effektív hozam r=25%, a
részvény prompt árfolyama S=360. Mennyit érnek az opciók? Adóktól,
partnerkockázattól és tranzakciós költségektől tekintsünk el! Mekkora a
call opció implicit volatilitása az előző feladatban a Black-Scholes képlet
alapján? Használja a BS-táblázatot!
Megoldás:
p=2c
put-call paritás alapján:
c – p + PV(K) = S
c – 2c + 400 = 360 ebből c = 40 és p=80
c/S=40/360=11,11%
S/PK=360/400=0,9
Táblázatból: σ ≈ 40%
133
9.10. Egy részvény félév múlva 20 Ft osztalékot fizet, prompt árfolyama 100
Ft. A kockázatmentes loghozam minden lejáratra 10%, a részvény
indexmodell szerint számított várható hozama 20%, és volatilitása is 20%.
Mennyit ér a fenti értékpapírra szóló egy év lejáratú európai call opció,
amelyet K=100 Ft-ra kötöttek?
Megoldás:
Alaptermék most nem a prompt árfolyam, hanem a korrigált prompt
árfolyam:
S’ = S-P*DIV = 100-20·exp(-0,5·0,1) = 80,98
Használjuk a BS táblázatot: ∙t0,5=0,2 S’/PK=80,98/(100·exp(-0,1))= 80,98/90,48=0,9
c=80,98·4%=3,24 Ft
BS képlettel számolva 3,10 Ft jön ki (az eltérést a kerekítés alkalmazása
okozza).
9.11. A dollár/euro árfolyam geometrikus Brown mozgást követ és
paraméterek mellett. Vezesse le, hogy milyen folyamatot követ az
euro/dollár árfolyam, milyen paraméterekkel?
Megoldás:
dS=mű·S·dt+∙S·dz
G=1/S delta= -1/S2 gamma= 2/S3 theta=0
dG= (-1/S·mű + 1/S·2)·dt-(1/S∙)·dz Ito-folyamat
Nehezebb feladatok
9.12. Tegyük fel, hogy egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama
geometrikus Brown mozgást követ „μ” és „σ” paraméterek mellett. A
kockázatmentes loghozamgörbe adott „r” pozitív szinten vízszintes. Egy
futures kontraktus 100 részvényről szól. Vezesse le, hogy milyen
folyamatot követ a részvényre szóló 1 kontraktusnyi long futures pozíció!
Megoldás:
Itô -lemma képlete:
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +
𝜕𝑔
𝜕𝑡+
1
2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +
𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊
Q=1
P=exp(-r*(T-t))
g(S) = 100*futures =100*(F – K) = 100*(QS/P –K) = 100*S/P – 100*K
= 100*S*exp(r*(T-t)) – 100*K
delta= 100*exp(r*(T-t)) = 100/P; Gamma=0; Theta= -r *100*
S*exp(r(T-t))= -100*rS/P
d_long_futures_kontraktus=(100*1/P*mű*S– 100*rS/P + 0)dt +
100*1/P*szigma*S*dW, ez is Ito-folyamat.
9.13. Egy osztalékot nem fizető részvény azonnali árfolyama S dollár. A
részvény geometrikus Brown mozgást követ μ és σ paraméterek mellett.
Egy bank egy speciális certifikát kibocsátását tervezi. A certifikát egyetlen
lényeges tulajdonsága, hogy azt a bank bármelyik banki napon S2 dollár
árfolyamon visszavásárolja. Vezesse le, milyen folyamatot követ a
certifikát árfolyama!
Megoldás:
Fel kell ismerni a mese mögött, hogy ez egy Itô – lemma típusú feladat,
ahol f=S^2 a függvény. Delta= 2S; Gamma=2; Theta=0 Ezután csak
össze kell rakni az Ito-t:
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +
𝜕𝑔
𝜕𝑡+
1
2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +
𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊
df= (2S*mű*S+0+1/2*2*szigma^2*S^2)dt +2S*szigma*S*dW
df=((2mű+szigma^2)*S^2)dt+2*szigma*S^2*dW
esetleg az S^2 helyére még be lehetne írni az f-et, de már így is látszik,
hogy Ito-folyamat marad és a paraméterei is leolvahatóak
9.12. Az S&P500 futures kontraktus az indexérték 250-szereséről, az S&P500
mini futures pedig az indexérték 50-szereséről szól. Feltéve, hogy az
S&P500 futures árfolyama geometrikus Brown mozgást követ μ és σ
paraméterek mellett, vezesse le, hogy milyen folyamatot követ az S&P500
mini futures árfolyama!
Megoldás:
Ez egy Itô – lemma típusú feladat, ahol f=1/5*S a transzformált függvény,
ami elég egyszerűen deriválható:
Delta= 1/5; Gamma=0; Theta=0
Ezután csak össze kell rakni az Ito-t a képlet alapján.
135
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +
𝜕𝑔
𝜕𝑡+
1
2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +
𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊
df= (1/5*mű*S + 0 + 0)dt + 1/5 *szigma*S*dW = 1/5 * (mű*S*dt +
szigma*S*dW)
Ez Ito-folyamat, ráadásul most még GBM is, sőt lényegében ugyanaz, mint
az előző GBM „ötöde”, az 1/5-ödös szorzó kiemelhető.
9.13. Feltéve, hogy az EURHUF árfolyam geometrikus Brown-mozgást
követ és paraméterek mellett, vezesse le, hogy milyen folyamatot
követ annak az ötezer forintos bankjegynek az értéke euróban kifejezve,
amelyet egy turista elfelejtett a repülőtéren visszaváltani!
Megoldás:
S = USDHUF
g(S) = 5000/S, innen Ito-lemmával megoldható
Delta= -5000/(S^2)
Gamma = 10000 / (S^3)
Theta = 0
Ezután csak össze kell rakni az Ito-t a képlet alapján.
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +
𝜕𝑔
𝜕𝑡+
1
2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +
𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊
dg= (-5000*mű/S + ½* 10000/S*szigma^2)dt – 5000/S *szigma*dW
dg= (-5000*mű/S + 5000*(szigma^2)/S)dt – 5000/S *szigma*dW
Ez Ito-folyamat, ami nem meglepő, hiszen az Ito-lemma pont erről szól.
9.14. Egy befektetési alap az Exxon részvények opciós piacán 500
kontraktus 85-ös európai put opciót vásárolt, melyek lejárata 6 hónap. Egy
kontraktus 100 részvényről szól (multiplier = 100x). Az Exxon részvény
azonnali árfolyama 90,65 dollár, volatilitása 32,50%, a kockázatmentes
dollár hozam olyan alacsony, hogy a számítás során tekintsük nullának.
Az opció lejáratáig az Exxon 2 alkalommal is fizetni fog 70 cent
osztalékot. Mennyit fizetett az alap összesen az opciókért?
Megoldás:
BSM-táblázatból kikereshető, de figyelni kell, hogy most egyrészt van
osztalék, másrészt put opció kell, a BSM tábla pedig call-ra jó
A (QS)=S*=90,65-0,7-0,7=89,25
P=1, mert a dollár hozam nullának tekinthető.
táblázat oszlopa: (QS)/(PK) = 89,25/85 = 1,05
táblázat sora (0,5)^(0,5)*0,325=0,2298 = kb 0,23
táblaérték: 11,50, ez a QS százalékáan értendő, vagyis
11,50%*89,25=10,26375 dollár, node ez még csak a call opció értéke! A
put opcióhoz kell a put-call paritás:
fwd=call-put, vagyis QS-PK=call-put innen:
89,25-85=10,26375-put
put=6,01375 dollárba kerül 1 darab put opció, node az alap 500 x 100 =
50000 névértékben vásárolt, így összesen 300.687,50 dollárt fizetett.
137
10. Opciók 4. Devizaopciók, görög betűk
10.1. Mi az összefüggés egy azonos devizára szóló, azonos kötési árfolyamú
és lejáratú európai call és put opció deltája, gammája és vegája között?
Használja a szokásos jelöléséket (S, P, Q, K, c, p)!
Megoldás:
deltaput = deltacall – Q
gammaput=gammacall
vegaput = vegacall
10.2. A következő táblázat az opciós piac termékeiről készült, az XYZ
részvényre szóló call opciókat számba véve:
A B C
Érték 22,51 16,73 8,61
S 100 100 100
K 90 100 120
Szigma 0,3 0,3 0,3
r 0,1 0,1 0,1
t 1 1 1
Delta 0,80 0,69 0,45
Gamma 0,01 0,01 0,01
Theta -9,95 -10,51 -9,58
Vega 28,17 35,51 39,60
Rho 57,29 51,82 36,44
Hogyan delta-gamma semlegesítené 100 db A opcióból álló portfólióját B
és C opciók segítségével? Mennyibe kerül ez Önnek?
Megoldás:
0=100·0,8+B·0,69+C·0,45 B = -145,83 ~ short 146 db
0=100·0,01+B·0,01+C·0,01 C = 45,83 ~ long 46 db
-46·8,61+146·16,73 = 2047 Ft bevétel
10.3. A következő táblázat az opciós piac termékeiről készült, az XYZ
részvényre szóló put opciókat számba véve:
A B C D
Érték 2,84 3,65 8,10 11,69
S 100 100 100 100
K 110 112 120 125
Szigma 0,1 0,1 0,1 0,1
r 0,12 0,12 0,12 0,12
T 1 1 1 1
Delta -0,38 -0,45 -0,72 -0,84
Gamma 0,04 0,04 0,03 0,02
Theta 3,03 3,90 7,88 10,21
Vega 38,18 39,63 33,86 24,65
Rho -41,17 -49,01 -79,78 -95,37
Hogyan delta-gamma-vega semlegesítené 100 db XYZ részvényre szóló
K= 112 kötési árfolyamú Short Terpesz pozícióját A, C és D put opciók
segítségével?
Megoldás:
A 112 kötési árfolyamú call értéke és szükséges értékei (érték a put-call
paritás alapján; delta call = delta put +1; gamma call = gamma put; vega
call = vega put):
Call(112)
Érték 4,32
K 112
Delta 0,55
Gamma 0,04
Vega 39,63
Delta: 0=A·(-0,38)+100·(0,45-0,55)+C·(-0,72)+D·(-0,84)
Gamma: 0=A·0,04+100·(-0,04-0,04)+C·0,03+D·0,02
Vega: 0=A·38,18+100·(-39,63-39,63)+C·33,86+D·24,65
A= -17,1 ~ short 17 db
C= 681,9 ~ long 682 db
D= -588,66 ~ short 589 db
139
10.4. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló opciókat tartalmazó
portfólió jellemzőit foglalja össze a következő táblázat:
érték 2500
delta -0,88
gamma +0,02
vega 0,444
Mekkora a pozíció thetája, ha a loghozam minden lejáratra 8%, a részvény
prompt árfolyama 800, volatilitása 20% és teljesülnek a Black-Scholes
modell feltevései?
Megoldás:
Black-Scholes egyenlet: theta + r · S · delta + 0,5 · 2 · S2 · gamma = r · f Theta = 0,08 · 2500 + 0,08 · 800 · 0,88 - 0,5 · 0,04· 8002 · 0,02 =0,32
10.5. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama geometrikus Brown
mozgást követ =15% és =20% paraméterek mellett, a prompt árfolyam
S=100. Egy, a részvényre szóló származtatott eszköz paramétereit a
következő táblázat tartalmazza:
érték 13,29
delta -0,622
gamma +0,019
vega +0,38
theta +0,01
Rho -0,755
Mekkora a logkamatláb, ha a Black-Scholes modell feltételei fennállnak?
Megoldás:
Black-Scholes egyenlet:
theta + r · S · delta + 0,5 · 2 · S2 · gamma = r · f
Behelyettesítve:
0,01 + r · 100 · (-0,622) + 0,5 · 0,04 · 10 000 · 0,019 = r · 13,29
ebből r=5,05%
10.6. Az A és a B portfólió ugyanazt az alapterméket és annak különböző
derivatíváit tartalmazza eltérő összetételben. A két portfólió értéke
megegyezik, mindkettő deltasemleges. Az A portfólió gammája azonban
nagyobb mint a B portfólió gammája. Melyik portfóliónak nagyobb a
thetája, ha a Black-Scholes feltételek fennállnak? Állítását indokolja!
Megoldás:
A Black-Scholes egyenlet igaz mindkét portfólióra. Mivel S, , r, f, delta
azonos, látszik, hogy a nagyobb gamma kisebb thetával jár és fordítva.
Tehát a B-nek nagyobb a thetája.
10.7. Alkalmazza a Black-Scholes egyenletet az osztalékot nem fizető
részvényre szóló határidős vételi (long forward) pozíció értékére! Milyen
összefüggésre egyszerűsödik le?
Megoldás:
BS-egyenlet:
theta + r · S · delta + 0,5 · σ2 · S2 · gamma= r · f
delta = 1, gamma = 0, theta= -r · P · K
Behelyettesítve és leegyszerűsítve azt kapjuk, hogy f = S – P · K
10.8. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló K=150 kötési árfolyamú, 1
éves lejáratú európai put opció jellemzőit foglalja össze a következő
táblázat:
Érték 0,1617
Delta -0,0111
gamma 0,0007
Theta -0,2259
Az alaptermék árfolyama jelenleg 200, volatilitása 20%. Mennyit ér az
azonos részvényre és lejáratra európai call opció, ha a BS feltételi
teljesülnek?
Megoldás:
A logkamatláb meghatározható a BS egyenlet alapján:
theta + r · S · delta + 0,5 · σ2 · S2 · gamma= r · f
-0,2259+r·200·(-0,0111)+0,5·0,22·2002·0,0007=r·0,1617 r=0,14
A call opció értéke a put-call paritás alapján c = S - PV(K) + p = 200-
150·exp(-0,14) + 0,1617=69,75796
10.9. Egy portfólió 1000 db európai call és 1000 db európai put opcióból áll,
melyek lehívási árfolyama egyaránt K=100, ugyanarra az alaptermékre
szólnak, és egy év múlva járnak le. Az alaptermék egy osztalékot nem
fizető részvény, melynek volatilitása =40%.
141
a) Milyen prompt árfolyam mellett lenne a portfólió értéke érzéketlen az
alaptermék árfolyamának kismértékű változására, ha a Black-Scholes
feltételek teljesülnek és a loghozamgörbe 12%-on vízszintes?
b) Mennyi lesz ekkor a portfólió gammája?
Megoldás:
a) azaz deltaportfólió= 0 azaz 1000 deltacall + 1000 deltaput = 0
deltacall= - deltaput= 0,5
d1=0
ln(S/K)+0,12+0,08=0
ln(S/K)=-0,2
S=81,9
b) gammacall = gammaput = N’(0) / (S · · (T-t)0,5 )=0,3989 / (81,9 · 0,4)
=0,01217
1000*(gammacall + gammaput) = 24,3528
10.10. A BSM modell geometrikus Brown-mozgást fetételez az
alaptermékről, mégsem szerepel a μ sem a Black-Scholes egyenletben,
sem a képletben. Miért?
Megoldás:
Mert a folyamatos dinamikus delta fedezés miatt a portfoliónk minden
pillanatban kockázatmentes, ezért a mű helyett a kockázatmentes
hozammal számolhatunk az arbitrázsmentes érvelés során.
10.11. Miért nem szerepel a Black-Scholes-Merton egyenletben a rhó és a
vega?
Megoldás:
Mert a BSM modellben sem a kamat, sem a volatilitás nem változhat, ezért
irreleváns az ezekre való érzékenység.
10.12. Mit jelent az implicit volatilitás és mit jelent a volatilitás mosoly?
Megoldás:
Ugyanarra a futamidőre, de más kötési árfolyammal rendelkező opciókból
visszaszámított volatilitás ábrázolása a strike függyvényében jellemzően
mosoly, vagy grimasz alakú.
10.13. Miért nem lehet egy plain vanilla call opció deltája nagyobb, mint
100%?
Megoldás:
Nagyon sokféle megközelítésből kijön. Mert a támasztóegyenes
meredeksége 1 és ebbe konvergál bele, vagy mert az N(d1) képlet
maximuma 1, vagy mert egy forwarddá alakul, ha nagyon ITM és a
forward deltája Q…stb. Esetleg binomiális modellben is be lehet mutatni,
hogy nem lehet az opcióban az állapotok közti különbség nagyobb, mint a
részvényben.
10.14. Mutassa meg, hogy már két plain vanilla opciós pozíció segítségével
elő lehet állítani egy olyan portfoliót, melynek a gammája pozitív, de a
vegája negatív!
Megoldás:
Calendar spread könnyen ilyen tulajdonságú lesz.
Legegyszerűbb, ha veszünk egy 1 hetes ATMF call-t és eladunk egy 1 éves
ATMF call-t ugyanakkora névértékben. A hosszabb opciónak a vegája
sokkal nagyobb (abszolút értelemben), a rövidebbnek meg a gammája, így
a gamma esetén a long pozció dominál, a vega esetén meg a short.
Nehezebb feladatok:
10.15. Az alábbi 4 plain vanilla opciós pozíció (A,B,C,D) mindegyikének az
alapterméke ugyanaz az osztalékot nem fizető részvény. A
kockázatmentes hozamgörbe 0%-on vízszintes, a részvény spot árfolyama
100 dollár. Melyik pozíció, melyik görög betűkhöz tartozik?
A. LC(T=1 hét, K=100)
B. SP(T=2 hét, K=100)
C. LP(T=3 hónap, K=90)
D. SC(T=6 hónap, K=120)
Melyik pozíció?
delta= -0,10 0,50 -0,13 0,49
gamma= -0,01 0,14 0,02 -0,10
vega= -0,13 0,06 0,10 -0,08
theta= 0,01 -0,08 -0,01 0,06
143
Megoldás:
Az előjelek alapján ki lehet találni. Például az „A” deltája biztos pozitív
és a gammája és vegája is biztos pozitív, thetája meg negatív. Így adódik
is a második oszlop. Akkro kizárásos alapon az utolsó oszlop már csak a
„B” lehet, mert annak pozitív a deltája. Persze ellenőrzésként nézzük meg,
hogy passzol-e a többi görög betű előjele: gamma negatív, vega negatív,
theta pozitív, tökéletes short opciós pozíciónak. Maradt a „C” és a „D”,
node mivel az egyik long a másik short, ezért a konvexitás jellegű görög
betűkből máris adódik, hogy az elős oszlop az a „D” és a harmadik a „C”,
hsizen a „C”-nek a gammája és vegája tuti pozitív, a „D”-nek meg tuti
negatív.
10.16. Az alábbi 4 plain vanilla opciós pozíció (A,B,C,D) mindegyikének az
alapterméke ugyanaz az osztalékot nem fizető részvény. A
kockázatmentes hozamgörbe 0%-on vízszintes, a részvény spot árfolyama
100 dollár. Melyik pozíció, melyik görög betűkhöz tartozik?
A. LC(T=1 hét, K=105)
B. LC(T=6 hónap, K=100)
C. LP(T=2 hét, K=107)
D. SP(T=1 év, K=80)
Melyik pozíció?
delta= 0,11 0,53 -0,96 0,04
gamma= -0,01 0,03 0,02 0,03
vega= -0,38 0,28 0,02 0,01
theta= 0,005 -0,015 -0,01 -0,017
Megoldás:
Először is érdemes megnézni, hogy melyik az egyetlen pozíció, aminek
negatív a deltája! Csak az LP lehet ilyen, így a „C” egyből kiderült. Aztán
a pozitív delták közül meg kell nézni, hogy hogyan viszonyulnak a 0 - 0,5
– 1 szintekhez. Az at-the money opciók abszolút deltája közel 50%, míg az
ITM-eké 1-hez van közelebb, az OTM-eké pedig 0-hoz. Így máris adódik,
hogy az ATM „B” opció helye a második oszlopban van.
Az első és a második oszlop között jelentős különbség, hogy az első egy
short pozícióhoz tartozik a negyedik pedig egy long pozícióhoz, hiszen a
gamma és vega előjele elárulja, hogy vettük, vagy adtuk a „konvexitást”.
Így az első oszlop a „D”, a második az „A”.
10.17. Egy kereskedő az EURHUF devizapárra vonatkozóan 1 hónap
futamidejű long straddle (terpesz) és 6 hónap futamidejű short straddle
pozíciót nyitott úgy, hogy a pozíciók névértéke megegyezik, a pozíciók
kötési árfolyama pedig az azonos lejáratra vonatkozó forward
árfolyamnak felelnek meg. Más EURHUF pozíciója nincs.
a) Milyen előjelű ma a kereskedő gammája?
b) Milyen előjelű ma a vegája?
c) Nőne, vagy csökkenne ma a deltája, ha az EURHUF árfolyam ceteris
paribus emelkedne?
d) A pozíciók létrehozásakor a kereskedő nettó kapott, vagy fizetett pénzt
a prémiumok elszámolásakor?
Megoldás:
a)A gamma pozitív, mert az 1 hónapos At-the-money Forward (ATMF,
K=F) straddle gammája nagyobb, mint a 6 hónaposé. Egyébként
mindkettő straddle az adott futmidőhöz tartozó gamma maximumán van,
ha K=F.
b)A vega negatív, mert az eladott 6 hónapos opciók vegája nagyobb, mint
a megvett 1 hónaposaké. Szintén igaz, hogy az adott futamidőkre a vega
maximumán vannak most az opciók, mert K=F.
c)Nőne a deltája. Ez a kérdés az a) pont értelmezése, pont a gamma előjele
mondja meg, hogy milyen irányba változik a delta, ha a spot változik.
d)Pénzt kapott a pozíció létrehozásakor. A megvett straddle biztosan
olcsóbb, mint az eladott, mert rövidebb a futamideje és mindkét straddle
logikailag ugyanaz, hiszen mindkettő ATMF (tehát nem egyezik meg
egymással a kötési árfolyamok, hanem mindegyik a saját futamidejéhez
tartozó forwarddal megegyező kötési árfolyamú).
10.18. Egy opciós árjegyzőtől megvásároltak 20 kontraktusnyi, „X”
részvényre szóló, 190-es kötési árfolyamú, 3 hónap futamidejű, európai
put opciót. Egy opciós kontraktus 100 részvényre szól. Az „X” részvény
volatilitása 30%, nem fizet osztalékot, a 3 havi kockázatmentes dollár
loghozam 0,25%. A részvény azonnali árfolyama 198 dollár.
a) Számítsa ki, hogy hány darab részvényt kellene eladnia, vagy
megvennie ahhoz, hogy deltasemleges legyen (a feladat megoldásához
használja a kiosztott Normális-eloszlás táblázatot)!
Feltéve, hogy a kereskedő végrehajtotta az a) pontban kiszámolt kezdeti
delta fedezést, rövid indoklással válaszoljon az alábbi kérdésekre:
b) Eladnia, vagy vennie kell még a részvényből, ha a spot árfolyam 190-
re esik?
145
c) Eladnia, vagy vennie kell még a részvényből, ha a volatilitás 20%-ra
esik?
d) Nyer, vagy veszít a kereskedő, ha a volatilitás 35%-ra emelkedik?
e) Mekkora részvénypozíciója van a kereskedőnek, ha végig dinamikusan
delta fedezte a pozícját és lejárat előtt pár perccel a részvény árfolyama
172?
Megoldás:
a) A long put opció deltája -(1-N(d1), a short puté ennek a -1-szerese.
Normális eloszlás táblázat segítségével adódik
d1 = ( ln(S/K)+r+0,5*szigma^2*(T-t) ) / (szigma*gyök(T-t))
d1=(ln(198/190)+(0,25%+0,5*0,3^2)*(1/4))/(0,3*(1/4)^(0,5)) = 0,3541,
viszont a táblázat úgyis csak 2 tizedesjegyig van megadva, tehát N(0,35)-
öt kell kikeresni, vagyis N(d1)=0,6368
Vagyis a short put pozíció deltája =-20*100*(-1)*(1-0,6368)=726,4
részvény. Tehát 726 darab részvényt kellene eladni (shortolni).
c) eladnia kell még részvényt, például mert short gammája van és esett az
árfolyam, amitől nőtt a deltája, gy a kezdeti 711 darab short már nem elég.
d) vennie kellene, mert abszolút értékben csökken az opciós pozíció
delátja, hiszen ez egy OTM pozi és csökkent a volatilitás. Tehát 20%-os
volatilitás mellett a 711 darab short már túl sok, elég lenne csak mondjuk
600.
e) veszít, mert negatív volt a vegája
f) ekkor már 2000 darab short pozija kell legyen, mert tuti ráhívják a 190-
es put-ot.
10.19. Az EURHUF spot árfolyama 303, a fél éves diszkontfaktorok euróban
0,9950, forintban 0,9850, az EURHUF devizaárfolyam volatilitása 7%.
Hány forintba kerül egy olyan opciós jog, melynek a tulajdonosa fél év
múlva 3 milliárd forintra cserélheti 10 millió euróját?
Megoldás:
K=3000/10 = 300
Q=0,9950
P=0,9850
oszlop=(QS)/(PK)=301,485/295,50= kb 1,02
sor= szigma*gyök(T-t) = 0,07*(0,5)^(0,5)=0,0494977 = kb 0,5
BSM-tábla értéke 3.1, ez a QS százalékában értendő, vagyis a call opció
díja 301,485*3,1%=9,346035 forint lenne, ha 1 euró lenne a névérték, de
itt 10 millió a névérték, tehát 93.460.350 forint lenne a call. (kerekítést is
fogadjunk el)
Node nekünk a put kellene: fwd=call-put, vagyis 10 mio *(QS-PK)=
93460350 –put, innen: put=33.610.350 forint
10.20. A spot EURHUF árfolyam 293,50, a három hónapos kockázatmentes
loghozam forintban 4,25%, euróban 0,35%, az EURHUF három havi
implicit volatilitása 10%. Hány forintba kerül most a bankközi piacon egy
150.000 euró névértékre szóló, 285,00 kötési árfolyamú, három hónap
futamidejű európai EUR put/HUF call opció (az opció tulajdonosának
EUR eladási joga van)?
Megoldás:
S=293,50
K=285
r_log_HUF= 4,25%
q_log_EUR= 0,35%
P= 0,9894
Q=0,9991
Szigma = 10%
T=3/12 év
(QS)/(PK) = kb 1.04
Szigma*gyök(T) = kb 0.05
BS táblából adódik a három hónapos 285.00-ás call ára: 4,5%, vagyis
293,50*0,045=13,2075 forint eurónként
Ebből put-call paritással lehet megtudni a put árát:
Fwd = call-put
Put=call-fwd = call-QS+PK = 13,2075-0,9991*293,50+0,9894*285 =
1,95065
majd 150.000-res névértékkel ezt fel kell szorozni: 292.5975
10.21. Egy bank vásárolt 5 millió EUR call/HUF put és 5 millió EUR put/HUF
call pozíciókból álló, 3 hónap futamidejű ATMF (at-the-money-forward,
vagyis K=F) straddle-t. Az EURHUF volatilitása 10%, a spot árfolyam
307, a 3 hónapos határidős árfolyam 308,50, az éven belüli lejáratokra az
euró hozama olyan alacsony, hogy a számítás során tekintsük nullának.
Hány forintot fizetett ezért a pozícióért összesen?
147
Megoldás:
(QS)*(PK) = F/K = 1, hiszen ATMF pont ezt jelenti. Ez az oszlop kell a
BSM-táblából
Szigma*gyök(T-t)=0,1*0,25^0,5 = 0,05, ez a sor kell a BSM-táblából.
Táblaérték= 2, ez a QS százalékában értendő, vagyis 2,00%*1*307 = 6,14
forint a call opció fajlagos díja. 5 millió call opció díja 5mio x 6,14 = 30,7
mio forint.
A put opció pedig a put-call paritásból lehet kiszámolni. Persze csak akkor
kell számolni, ha nem jön rá valaki, hogy triviálisan call=put, hiszen a
straddle ATMF, tehát a put=6,14. Ha erre nem jön rá, akkor kelleni fog
neki a P, és emiatt kellett megadni az F=308,50-et, mert F=(QS)/P, de
most Q=1, tehát P=S/F=0,9951
fwd=call-put; QS-PK=call-put; put=call-QS+PK=6,14-
307+0,9951*308,50 = kb 6,14 (nyilván elrontja a játékot, ha a P-nél
kerekítettünk)
Tehát a put opció is 6,14-et ér, vagyis 5 milliónyi put szintén 30,7 milliót
ér, így az egész straddle együtt 61,4 millió forintot ér.
10.22. Az USDJPY spot árfolyam 124,80. Egy bank éppen most vásárolt egy
olyan USD call/JPY put opciót, mely lehetővé teszi, hogy 3 hónap múlva
15 millió USD-t vásárolhasson 1,95 milliárd JPY-ért. A bank az opcióért
összesen 22,5 millió JPY-t fizetett. A számítások során feltehető, hogy a
BSM-modell feltevései fennállnak. A dollár és a jen hozamgörbe 0%-on
vízszintesnek tekinthető. Mekkora USDJPY implicit volatilitás mellett
vásárolta meg a bank az opciót?
Megoldás:
Az opció névértéke 15 millió USD, kötési árfolyama 1950/15=130=K.
Az opció fajlagos értéke: 22,5 mio JPY / 15 mio névérték = 1,5 JPY a
névértékben szereplő dolláronként. A BSM-táblában az opciós értékek a
QS százalékában értendők, vagyis most 1,5/124,80 = 1,2019%, ami kb
1,20%, tehát a táblaérték, amit keresünk: „1,20”.
A BSM-tábla oszlopa adódik a (QS)/(PK) = 124,80/130 = 0,96
A BSM-táblának az a sora, amelyiknél a 0,96-os oszlopban „1,20” érték
van: 0,07. Mivel ez a szigma*gyök(T-t), ezért adódik, hogy 0,07 =
implied_volatility * (0,25)^(0,5), azaz: implied_volatility = 14%
10.23. A GBPHUF spot árfolyam 433,40. Az 1 éves GBP és HUF
diszkontkincstárjegyek árfolyama rendre 99,50% és 98%. A számítások
során feltehető, hogy a BSM-modell feltevései fennállnak és a GBPHUF
volatilitása 13%. Egy bank éppen most vásárolt egy olyan GBP put/HUF
call opciót, mely lehetővé teszi, hogy 1 év múlva 5 millió GBP-t adhasson
el 2 milliárd HUF-ért.
a) Hány forintot ér az opció?
b) Mekkora spot GBPHUF pozíciót kellene felvennie a banknak, ha a put
opció vásárlása után deltasemlegesíteni szeretné a portfolióját? (Használja
a kiosztott normális-eloszlás táblázatot!)
c) Nagyobb, vagy kisebb lenne az opció gammája, ha most a GBPHUF
spot árfolyam 395 lenne, és az opció minden paramétere változatlan
maradna?
Megoldás:
a) Az opció névértéke 5 millió GBP, kötési árfolyama 2000/5=400=K.
Nehézséget jelent, hogy ez egy PUT opció, a BSM tábla pedig call
opciókról szól, tehát kell majd put-call paritást is haszálni.
A BSM tábla oszlopa: (QS)/(PK)=(99,50%*433,40)/(0,98*400)=1,10
A BSM tábla sora: 0,13
A BSM táblaérték: „10,8”, ez a QS százalékában értendő, vagyis most
call=10,8%*99,50%*433,40=46,57 forint
QS-PK = fwd = call- put
99,50%*433,40-0,98*400 = 46,57 – put, innen a put=7,337 forint
A teljes 5 millió GBP névérétkű opció 5 milliószór ennyit ér, vagyis
36.685.000,- forintot ér.
b) LP pozícióban van, ezért a deltája negatív, vagyis long GBPHUF spot
pozi kell neki. Node a kérdés az is, hogy mennyi? Elsőre is látszik, hogy ez
egy OTM put, hiszen a forward kb 440 körül van, ez a strike pedig csak
400-on, vagyis biztosan kevesebb spot pozició kell mint 50%*5 mio
A put deltájának képlete: −(1 − 𝑄𝑁(𝑑1))
Ennek az 5 milliószorosa lesz a keresett érték, hiszen itt még a névértékkel
be kell szorozni.
d1= (ln((99,50%*433,40)/(0,98*400)=)+0,5*(0,13^2)*1)/(0,13*1)=
0,7987= kb 0,80
A normális-eloszlás táblázatból látszik, hogy:
N(d1) = N(0,80) = 0,7881
149
Az LP becsült deltája: -(1-99,50%*0,7881) *5000000=-1.079.202,50,
vagyis kb 1,1 milliónyi GBPHUF-ot kellene venni a kezdeti
deltafedezéshez.
c) Nagyobb. Ha a spot 395 lenne, akkor a (QS)/(PK), vagyis a moneyness
majdnem pont 1 lenne, vagyis az opció majdnem ATMF lenne a mostani
egyértelműen OTM helyett. Node akkor a lehető legnagyobb a gammája,
tehát biztosan nagyobb lenne a gamma.
11. Amerikai és exotikus opciók árazása a binomiális
modellben
11.1. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely
évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci
(effektív) hozamgörbe 10%.
a) Mennyit ér egy 2 év futamidejű, amerikai típusú, K=200-as kötési
árfolyamú put opció?
b) Milyen értékeket vehet fel a fenti put opció deltája a futamidő alatt?
Megoldás:
a) p=0,6/1,5=0,4
Részvény:
100 200 400
50 100
25
Put opció kifizetései:
100 0 0
150 100
175
Put opció:
101,65 54,55 0
150 (131,82) 100
175
(100 · 0,4 + 175 · 0,6)/ 1,1 = 131,82
Mert az első év végén, ha az árfolyam 50, akkor le kell hívni.
(150>131,82)
b) delta:
(54,55-150)/(200-50)=-95,45/150= -0,6363 (0-100)/(400-100)=-1/3
(100-175)/(100-25)= -1
11.2. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló amerikai típusú eladási
opció lejárata 1 év, lehívási árfolyama 250 Ft. A részvény binomiális
mozgást követ Δt=0,5, u=1,25 és d=1/u paraméterekkel, azonnali
árfolyama 200Ft. A kockázatmentes loghozam minden lejáratra 12%.
Mennyit ér az opció?
Megoldás:
5819,08,025,1
8,012,05,0*
e
du
dep
tr
151
Részvény
T=0 t=0,5 T=1
312,5
250
200 200
160
128
Amerikai put opció
T=0 t=0,5 T=1
0
19,69
50 50
90
122
p=50. Az amerikai opciót T=0 pillanatban rögtön érdemes lehívni, mert
belső értéke 50, ami magasabb, mint 46,23
11.3. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama ma 1200, ami egy év
alatt vagy megduplázódik, vagy a felére csökken, a kockázatmentes
hozam 25%.
a) Mennyit ér egy a részvényre szóló, két éves ATM amerikai put opció?
b) Írja pontosan, hogy mit tesz, ha a feladatban szereplő opciót 300-ért
lehet adni-venni! Mennyi részvénye és betéte/hitele lesz az egyes
csomópontokban?
Megoldás:
a) q=(1,25-0,5)/(2-0,5)=0,5
Részvény
1200 2400 4800
600 1200
300
Opció:
240 0 0
600 (360) 0
900
900 · 0,5 / 1,25=360
ha az árfolyam lefelé mozdul el, már az első évben lehívja az opció
b) Eladom az opciót és szintetikusan előállítja részvény-eladással és
betéttel.
Delta0=-600 / (2400 - 600) = -1/3 SP+deltaSU+betét
1 t=0 t=1 (fel) t=1(le)
SP +300 0 -600
SU (-1/3) +400 -800 -200
Betét -700 +875 +875
Arbitrázsprofit 0 +75 +75
11.4. Egy részvény jelenlegi árfolyama 100, a részvény nem fizet osztalékot.
A CRR modell felhasználásával árazzon be egy 170 kötési árfolyamú, 1
éves amerikai eladási opciót, ha az AD árak az alábbiak:
PAD
Csökkenés 0,5455
Emelkedés 0,3636
A hozamgörbe vízszintes.
Megoldás:
Az AD árak összege 0,9091. Ez az egyéves DF. Ebből az effektív hozam:
10%.
0,3636-ból az állapotvalószínűség: 0,3636 · 1,1=0,4. Ebből a q=0,4.
Mivel p=(1,1 - 1/u) / (u - 1/u), ebből az u=2
vagy 110 = 0,4 · u · 100 + 0,6 · 100/u -ból u=2
Ezután fel lehet írni a binomiális fát. Részvény:
100 200
50
Put opció
70 (65,45) 0
120
Másképp: 120·0,5455=65,46, ennél nagyobb az azonnali lehívás haszna
70.
Az amerikai eladási opció díja 70.
11.5. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely
évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci
(effektív) hozamgörbe 10%. Mennyibe kerül egy 3 éves európai call
opció, ha delta-t=1 év és a kötési árfolyam a legalacsonyabb és a
legmagasabb árfolyam átlaga?
153
Megoldás:
q = (1,1-0,5)/(2-0,5) = 0,4
Részvény
100 200 400 800
50 100 200
25 50
12,5
Lehetséges utak és hozzájuk tartozó kötési árfolyamok, valamint
opcióértékek
1) 100 200 400 800 K=450 c=350
2) 100 200 400 200 K=250 c=0
3) 100 200 100 200 K=150 c=50
4) 100 50 100 200 K=125 c=75
5) 100 200 100 50 K=125 c=0
6) 100 50 100 50 K=75 c=0
7) 100 50 25 50 K=62,5 c=0
8) 100 50 25 12,5 K=56,25 c=0
Az opció értéke: [(350·0,43)+(50+75)·0,42·0,6]/1,13= 25,845
11.6.Önt egy derivatív eszköz árazására kérik fel. Az eszköz futamideje 2 év,
a futamidő végén a kifizetés egy adott alaptermék 1. és 2. év végi
árfolyamának átlaga lesz. Az alaptermék árfolyama binomiális (CRR)
mozgást követ t=1 és u=2 paraméterek mellett, jelenlegi árfolyama 100,
a kockázatmentes hozam évi 25%. Mennyit ér ma ez a derivatív eszköz?
Megoldás:
Részvény:
100 200 400
50 100
25
q= (1,25 - 0,5) / (2 - 0,5) = 0,5
lehetséges utak és valószínűségek:
uu: (200 Ft + 400 Ft) / 2 = 300 Ft – 0,25
ud: (200 Ft + 100 Ft) / 2 = 150 Ft –0,25
du: (50 Ft + 100 Ft) / 2 = 75 Ft –0,25
dd: (50 Ft + 25 Ft) / 2 = 37,5 Ft – 0,25
Innen a várható érték: 140,625, a jelenérték: 90
11.7. Mi az Arrow-Debreu árak kapcsolata a diszkontkincstárjegy
árfolyamával és miért nem lehet az Arrow-Debreu árakat amerikai opciók
árazásához használni?
Megoldás:
Az AD-árak összege kiadja a DKJ árfolyamát, hiszen a DKJ minden
jövőbeli világállapotban fizet 1-et, vagyis olyan, mintha az összes AD
terméket megvettem volna.
Az amerikai opció a korai lehívhatóság miatt nem T-termék, míg az AD
termékek T-termékek, nem lehet belőlük kirakni. Az AD-termékekel nem
lehet útvonalfüggő opciókat árazni, mert ők érzéketlenek az útvonalra.
11.8. Mutasson példát olyan esetre, amikor egy amerikai call opció
jelentősen többet ér, mint egy minden más paraméterében megegyező
európai call!
Megoldás:
Ha az alaptermék osztalékot fizet, vagy a base currency hozama angyobb,
mint a secondary currency-é, akkor nagyon sokat érhet a korai
lehívhatóság
11.9. Mutasson olyan esetet, amikor az amerikai call opciót lejárat előtt
érdemes lehívni!
Megoldás:
Az európai call opció időértéke alapesetben mindig pozitív, és a korai
lehívással az amerikai esetén is csak a belső értéket kapjuk meg, tehát
valami extrának kell történni. Ilyen például egy időértéket meghaladó
mértékű osztalék. Az osztalék kifizetése előtt megérheti lehívni az opciót,
mert akkor még osztalékszelvénnyel együtt kapjuk meg a részvényt. Tehát
le kell ellenőrizni, hogy az így kapott belső érték többet ér-e, mint az
osztalékfizetés után az opció és ha igen, akkor a korai lehívás indokolt.
Nehezebb feladatok
11.10. Egy részvények árfolyama ma 100 dollár, mely, egy modell szerint,
binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u paraméterekkel. A
részvény nem fizet osztalékot, a kockázatmentes dollár effektív
hozamgörbe 10%-on vízszintes. Mekkora ma egy 3 év futamidejű, 80-as
kötési árfolyamú, amerikai put opció deltája?
155
Megoldás:
11.11. Egy részvény azonnal árfolyama 100 dollár, mely egy modell szerint
binomiális mozgást követ, Δt=1 nap, u=1,02 és d=1/u paraméterekkel. A
részvény a következő héten nem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes
effektív hozamgörbe 0%-on vízszintes.
a) Mennyit ér egy T=3 nap futamidejű, K=99 kötési árfolyamú, európai
call opció?
b) Hány darab részvényt vegyen, vagy adjon el a delta-fedezés során az a
bank, amelyik ügyfeleinek az a) pontban lévő opcióból 1 millió darab
részvényre szóló névértékben adott el?
c) Mennyit érne az a) pontban lévő opció, ha lenne egy olyan „Knock-
Out-at-Expiry” tulajdonsága, amely esetén az opció közvetlenül a lehívás
előtt megsemmisül, ha lejáratkor a részvényárfolyam eléri a 105 dollárt?
u 2,0000 Részvényfa
d 0,5000 800,00
S 100,00 400,00 200,00
K 80,00 200,00 100,00 50,00
r 10,00% 100,00 50,00 25,00 12,50
dt 1,0000 csak ezen a két helyen lehet korai lehívás
implied_vol 69,31%
DF(dt) 0,9091 Európai put fa 0,00
p 0,4000 0 0,00
8,9256 16,36 30,00
20,69121 31,983 47,73 67,50
Belső érték fa 0,00
0,00 0,00
0,00 0,00 30,00
0,00 30,00 55,00 67,50
itt megéri korábban lehívni
Amerikai put fa 0,00
0 0,00
8,93 16,36 30,00
22,8550 35,95 55,00
korai lehívás
Delta = -0,1802
11.12. Egy részvény árfolyama ma 100 drachma, mely, egy modell szerint,
binomiális mozgást követ, Δt=3 hónap, u=1,25 és d=1/u paraméterekkel.
A részvénynem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes drachma effektív
hozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy 9 hónap futamidejű No-touch bináris
opció akkor fizet lejáratkor 10 000 drachmát, ha a futamidő alatt a
részvények árfolyama végig 70 drachma felett van.
a) Mennyit ér ma ez az opció?
b) Ha most megvesznek tőlünk fair áron egy ilyen opciót és az így
kialakult pozíciónkat delta-fedezni szeretnénk, akkor hány darab
részvényt kellene megvenni/eladni?
Megdolás:
Az biztos, hogy ez az opció útvonalfüggő (path dependent), hiszen a
lejáratkori árfolyam mellett az is számít, hogy az útvonal során volt-e 70
dollár alatt.
u 1.0200 részvényfa
d 0.9804 106.12
S 100.00 104.04 102.00
r_eff 0.0000% 102 100 98.04
dt = 1/365 0.0027397 100.00 98.04 96.12 94.23
implied_vol 37.83%
DF(dt) 100.0000% K=99 vanilla call
K 99.00 7.1
q 0.4950495 5.04 3.0
3.24 1.49 0
1.98 0.74 0 0
a) Tehát 1,98 (kb 2) dollárt ér a vanilla call opció.
K=99 vanilla call deltája 1
1 1
0.88 0.76 0
0.63 0.38 0 0
K=99 call, KO-at-Expiry=105
0.0
1.514851 3.0
1.50 1.49 0.0
1.11 0.74 0 0.0
c) Tehát 1,11 dollárt ér a KO-at-Expiry opció
b) A bank SC pozícióban van, tehát vegyen 630000 darab
részvényt a delta fedezéshez
itt éppen lehetne q=0,5-tel is
számolni, kerekítve, akkor picit más
eredméynek jönnek ki, de
nagyságrendileg nem tér el
Abban tér el egymástól a vanilla call és a KO-at-Expiry call,
hogy a legjobb kimenetelt a KO-at-Expiry nem
157
u 1.2500
d 0.8000
S 100.00
r 10.00%
dt 0.25
implied_vol 44.63%
DF(dt) 0.9765
payout 10000
NT barrier 70
p 0.4980
Részvényfa
195
156 125
125 100 80
100 80 64 51.20
binary NT_70 fa 10000
9765 10000
9534.6259 9765 10000
6964.2202 4748.5337 0 0
erősen útvonalfüggő, a kiütődéseket egyből
lenullázzuk
A zöld azért lehet 10k, mert ha 100-as
részvényárfolyamból jövök, akkor ennyi lesz,
ha meg a 64-ből, akkor azt úgyis kinulláztuk
már
b) A longnak a deltája (9534,6-4748,5)/(125-80)=106,36 = kb 106 darab
részvény, tehát ha megvesznek tőlünk egy ilyen NT opciót, akkor azzal
érdemes kezdeni, hogy 106 részvényt azonnal megveszünk, hogy a short
NT által kialakult short részvény érzékenységünket ezzel kompenzáljuk.
11.13. Egy részvény árfolyama ma 100 drachma, mely, egy modell szerint,
binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u paraméterekkel. A
részvény nem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes drachma effektív
hozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy 3 éves bermuda put opció lehetővé
teszi, hogy 120-as árfolyamon eladjunk 1 darab részvényt. Az opció
bermuda jellege abban nyilvánul meg, hogy két alkalommal van lehetőség
az opció lehívására: vagy a 2. év végén, vagy lejáratkor. (Ha egyszer már
lehívták az opciót, akkor később már nem lehet.)
a) Mennyit ér ma ez a bermuda put opció?
b) Mekkora a bermuda put opció deltája?
Megoldás:
A bermuda opció átmenet az amerikai és az európai között: lejárat előtt is
lehívható alkalmanként, de nem mindig, csak előre megadott napokon.
Ilyen értelemben ezt a bermuda opciót nagyon hasonlóan kell kezelni,
mintha amerikai lenne, de még egyszerűbb is, hiszen a korai lehívást csak
a 2. év végén kell leellenőrizni.
u 2,0000 részvényfa
d 0,5000 800
S 100,00 400 200
r 10,00% 200 100 50
dt 1,00 100 50 25 12,50
implied_vol 69,31%
DF(dt) 0,9091 európai put fa
K 120 0
p 0,4000 0,00 0
20,83 38,18 70
40,17 59,75 84,09 107,50
belső érték fa
0,00
0,00 0,00
0,00 20,00 70,00
20,00 70,00 95,00 107,50
A sárga esetben megéri a korai lehívás.
bermuda put fa
mindegy
0,00 mindegy
20,83 38,18 mindegy
43,41 65,70 95,00 mindegy
put delta ma '=(20,83-65,70)/200-50)= -0,2992 =kb -30%
árazás szempontjából mindegy, hogy mi
történik lejáratkor, elég, ha tudjuk, hogy a 2. év
végén mennyit ér, úgyis abból számoljuk ki
visszafelé
A zöld esetekben nem éri meg a korai lehívás,
ezért "európaiként" tovább megy.
159
12. Opciós jogokat tartalmazó kötvények, MBS, Warrant,
Bull CD
12.1. Milyen opciós pozíciót rejtenek az alábbi kötvények (long vagy short,
call vagy put, illetve milyen alaptermékre szól az opció) a befektető
szempontjából? Milyen előjelű az egyes kötvények esetében az OAS?
a) visszahívható államkötvény
b) visszaváltható államkötvény
c) kockázatos vállalati kötvény
d) átváltható vállalati kötvény
e) visszaváltható vállalati kötvény
Megoldás:
a) short call a kötvényre, pozitív
b) long put a kötvényre, negatív
c) short put a vállalati eszközértékre, pozitív
d) long call a vállalat részvényére, neg; és persze short put a vállalati
eszközértékre, pozitív tehát nem tudni, hogy milyen előjelű az OAS
e) long put a kötvényre, pozitív, short put a vállalati eszközértékre
negatív, tehát nem tudni, hogy milyen előjelű az OAS
12.2. Egy kétéves, évente egyszer fix kamatot fizető visszahívható kötvényt
ma bocsátottak ki. A piac a kötvényt +3%-os OAS mellett, névértéken
jegyezte le. Az effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes.
a) Mekkora a kötvény névleges kamatlába?
b) Milyen opciót rejt magában a kötvény?
c) Mennyit ér ez az opció?
Megoldás:
a) 13%
b) A kibocsátónak van egy LC-ja (a vállalati kötvényt visszavásárolhatja)
és egy LP-ja (csődopció). A vásárlónak egy SC-ja, és egy SP-ja ebből
adódóan.
c) 13/1,1 + 113/(1,1·1,1) = 105,2 ezért az opció értéke 5,2
12.3. A XYZ Rt. kötvényeitől a piacon 200 bázispont kockázati felárat
várnak el minden futamidőre, miközben a kockázatmentes loghozamgörbe
12%-on vízszintes. A vállalat ma bocsátott ki egy 3 éves futamidejű, egy
összegben törlesztő, 20% névleges kamatozású, 100 Ft névértékű
visszahívható kötvényt, amely évente egyszer fizet kamatot. A piac a
kötvényt névértéken jegyezte le.
a) Milyen rejtett opciós pozíciókat tartalmaz ez a kötvény?
b) Mennyire értékelte a piac ezeket az opciókat összességében?
Megoldás:
a) visszahívási jog: SC csődopció: SP
b) Ha a kötvényt az állam bocsátotta volna ki:
P = 20·exp(-0,12)+ 20·exp(-0,24)+ 120·exp(-0,36) = 117,19
Ha a kötvény nem lett volna visszahívható, de a vállalat bocsátotta volna
ki, akkor az ára:
P = 20·exp(-0,14)+ 20·exp(-0,28)+ 120·exp(-0,42) = 111,35
A kötvény piaci ára:
P = 100
A beágyazott opciók árai:
Csődopció: 117,19 - 111,35 = 5,84
Visszahívhatóság: 111,35 – 100 = 11,35
12.4. Egy 500 millió dollár értékű jelzálog-hitel alapot értékpapírosítanak
ugyanannyi darab „A” típusú CMO-t (600$-os árfolyamon), mint „B”
típusút (1400$-os árfolyamon). Mindkét típus azonos pénzáramlást
biztosít, csak abban van különbség, hogy „B” típusú papírok tulajdonosai
mindaddig védettek az idő előtti törlesztéstől, amíg az „A” típusú
kötvények léteznek.
a) Hány darab „A” és „B” típusú papírt bocsátottak ki?
b) Valaki azt állítja, hogy ha néhány kötvényt átminősítettek volna a másik
csoportba, akkor az „A” típusú kötvényeket 200, a „B” típusú kötvényeket
400 dollárral magasabb árfolyamon lehetett volna eladni. Lehetséges-e ez?
Hogyan?
Megoldás:
a) X·600+X·1400=500 000 000 => X= 250 000 db
b) (250 000+Y) ·800 + (250 000-Y) ·1800 = 500 000 000 Y=150 000
12.5. Egy vállalatnak 1 db részvénye van forgalomban, melynek árfolyama
jelenleg 1000 Ft, idegen tőkéje nincsen. A vállalat most tervezi 1 db 1 éves
futamidejű, 1000 Ft kötési árfolyamú warrant kibocsátását. A vállalati
eszközérték 1 év alatt vagy megduplázódik vagy megfeleződik. A
kockázatmentes effektív hozam minden lejáratra 25%. Mennyi lenne a
warrant egyensúlyi kibocsátási ára?
Megoldás:
V=1000+w
Felmegy: warrant értéke=(2000+2w+1000)/2-1000
161
Lemegy: warrant értéke=0 (másképp nincs megoldás, be lehet látni)
w=(500+w)·0,5/1,25 ebből w=333,33
12.6. Egy vállalatnak 30 db részvénye van forgalomban, idegen tőkéje nincs.
A vállalat tegnap bocsátott ki 45 darab egyéves futamidejű, K=80 kötési
árfolyamú warrantot 40 Ft-os áron. A kibocsátás előtt a részvény
árfolyama 100 Ft volt. A vállalati eszközérték binomiális (CRR) mozgást
követ, ahol a periódushossz 1 év, u=2. A kockázatmentes hozam minden
lejáratra évi 10%. Alul vagy felülárazott volt a warrant?
Megoldás:
q=(1,1-0,5)/(2-0,5)=0,4
V(0) = 30·100+ 45·40 = 4800; V(1)(u) = 2·4800 = 9600; V(2)(d) =
½·4800 = 2400
Egy részvény értéke esetleges lehívás után:
S(1)(u) = (9600 + 45·80)/(30+45) = 176; S(1)(d) = (2400 +
45·80)/(30+45) = 80;
Warrant éréke lehíváskor: w(1)(u)= 176 – 80 = 96; w(1)(d)= 80 – 80 = 0
w(o) = 96·0,4/1,1 = 34,91, tehát a warrant felülárazott volt.
12.7. Egy vállalat 3 ezer darab, K=70 Ft kötési árfolyamú, T=1 év futamidejű
warrant kibocsátását tervezi darabonként 50 forintos árfolyamon. A
cégnek 20 ezer darab részvénye van forgalomban, a részvények árfolyama
ma 100 forint. A céget tisztán saját tőkéből finanszírozzák. A
kockázatmentes kamatláb minden lejáratra évi 10%. Alul vagy
felülárazott-e a warrant, ha feltesszük, hogy az egy részvényre eső saját
tőke binomiális mozgást követ, ahol u = 1,25? Válaszát indokolja!
Megoldás:
V/N = (3e·50+20e·100)/20e = 107,5
134,4
107,5 86,0
Call opció:
64,4
43,87 16
q = (1,1 – 0,8)/(1,25-0,8) = 2/3
w(0) = (1/(1+q))c(0) = 1/(1+n/N)c(0) =1/(1+3000/20000)·43,87 = 38,15,
tehát a warrant túlárazott volt.
12.8. Egy vállalatnak 1000 darab részvénye van, melynek árfolyama
S=1400, idegen forrása nincs. Most fognak kibocsátani 200 darab opciós
utalványt (warrantot) 200 forintos áron, melynek lejárata 1 év, kötési
árfolyama K=1400 Ft. A vállalat nem fizet osztalékot, a kockázatmentes
effektív hozam minden futamidőre 25%. A vállalati eszközérték
geometrikus Brown mozgást követ =20% mellett. Milyen lejáratkori
eszközérték mellett éri meg majd lehívni az opciós utalványt (warrantot)?
Megoldás:
(V+200·1400)/1200 > 1400, azaz V>1,4M, ami egy részvényre eső
vállalati eszközértékben 1400-at jelent
(Egyébként, ha beárazzuk, akkor c=332,63, w=1/(1+q)·c=277,2
12.9. Egy vállalatnak 1 darab részvénye és 1 darab opciós utalványa van
forgalomban, idegen forrása nincs. Az opciós utalványnak ma van a
lejárata, ma kell dönteni a lehívásáról. A részvények árfolyama 200 Ft, a
kötési árfolyam 160 Ft. Mennyit ér az opciós utalvány, ha a piac jól árazza
a részvényt is és az opciós utalványt is?
Megoldás:
V=részvények értéke+warrantok értéke (200+w)+160)/2=200, ebből
w=40
12.10. Az ABC vállalat 100 000 darab átváltható kötvényt bocsátott ki 120%-
os árfolyamon. Minden kötvény egy részvényre váltható át. A kötvény
névértéke 100 forint, futamideje három év, évente egyszer évi 12%
névleges kamatot fizet, amit (kamatos kamatozás mellett) a névértékkel
együtt az utolsó évben fizet ki (ez a CF lesz a kötési árfolyam is, erről kell
lemondani ha átváltja részvényre). A hozamgörbe a következő:
r1 r2 r3
10% 9,5% 9,2%
A piac a vállalat kötvényei után minden lejáratra évi 1,5% kockázati
prémiumot vár el a csőd lehetősége miatt.
Az ABC vállalatnak a kibocsátás előtt 2 500 000 részvénye volt
forgalomban, egy papír ára 115 forint volt. A vállalat a következő három
évben részvény kibocsátását illetve visszavásárlását, valamint osztalék
fizetését nem tervezi. A vállalatnak korábban nem volt adóssága. Tegyük
fel, hogy a vállalat saját tőkéjének értéke Brown mozgást követ, 20%-os
várható hozam és 32%-os szórás mellett.
a) Mennyit ér az átváltási opció (azaz a warrant) a csőd lehetőségét is
figyelembe véve?
163
b) Mit tud ezek alapján mondani az átváltható kötvény kibocsátási áráról?
Megoldás:
a) Kötvény ára, ha csak csődopció van benne:
100*1,12^3/1,107^3=103,56
Warrant piaci ára (amit a kötvény tartalmaz):120-103,565=16,43
V/N=(2 500 000*115+16,43*100 000)/2 500 000 = 115,66
K = 100*1,123=140,5 Ha a 3. év végén dönthet úgy, hogy lehívja az
opciót vagy nem.
Call opció értéke BS alapján: 28,47
Warrant: 28,47/(1+100 000/2 500 000)=27,38
b) A kötvény alulárazott, mert az átváltási opció magasabb (27,38%),
mint amennyivel azt a kötvénybe beárazták (16,44%).
12.11. Egy egyéves Bull CD megtervezését kapta feladatául. A Bull CD
vásárlói a BUX index hozamából részesedhetnek, de minimum
visszakapják a befektetett tőkét. A kockázatmentes hozam évi 12%, a
BUX index aktuális értéke 12 000 pont, a BUX volatilitása évi 25%.
Mekkora részesedési arányt ( ) kell a befektetőknek felajánlani, ha
teljesülnek a BS-modell feltételei? Partnerkockázattól tekintsünk el!
Megoldás:
A feláldozott hozam: 12000·0,12/1,12=1285,71
Az opció értékéhez: 25,0dt
S/PV(K)=12000/12000/1,12=1,12
az opció értéke 0,157·12000=1884.
A maximálisrészesedési arány: =1285,71/1884=0,6824 azaz 68,24%.
12.12. Egy nemzetközi befektetési bank épp egy 1 éves Bear CD-t tervez. A
Bear CD vásárlói a BUX index árfolyamának csökkenéséből
részesedhetnek, de minimum visszakapják a befektetett tőkét és garantált
nekik ezen felül egy szűk, 2%-os hozam is. A kockázatmentes effektív
hozam évi 6%, a BUX index aktuális értéke 10.000 pont, az index
volatilitása évi 30%. Mekkora részesedési arányt (α) várnak el a
befektetők, ha teljesülnek a BS-modell feltételei? A partnerkockázattól
tekintsünk el!
Megoldás:
A put értékének meghatározása:
BS oszlopa: S/PV(K) = 10000/(10200/1,06) = 1,03
BS sora: σ·(T-t)0,5 = 0,3*1 = 0,3
Call ára = 13,3% * 10000 = 1330
Put ára: 1330+10200/1,06-10000 = 952,64
(Rf-Rmin)/(1+Rf) = 0,04/1,06 = 0,0377
Feláldozott kamat : 0,0377·10000 = 377
α = 377/952,64 = 0,3957 a maximális részesedési arány 39,57%
12.13. Önnek egy olyan egyéves befektetési lehetőséget ajánlanak, ahol azon
túl, hogy garantálják a befektetett tőke visszafizetését, részesedhet a
részvénypiac esetleges negatív hozamából (Bear CD). A részesedési arány
60%, azaz az index 1%-os esése Önnek 0,6%-os pozitív hozamot
eredményez. Az index azonnali értéke 14 000 pont, az index becsült
volatilitása 25%, a kockázatmentes hozam évi 6%. Érdemes-e beszállnia,
ha az index részvényei a következő egy évben nem fizetnek osztalékot?
(A partnerkockázattól tekintsen el!)
Megoldás:
Feláldozott kamat: 14 000·0,06/1,06=792,45
a put értéke: 25,0t , S/PV(K)=14 000/14000/1,06=1,06, ahonnan a
call=1785,87
put-call paritásból: p=1785,87+PV(K)-S=1785.87+14 000/1,06-14
000=993,417
0,6·993,417=596,05 <792,45
ahonnan az következik, hogy a feláldozott kamat értékesebb az opciónál,
azaz nem érdemes az adott befektetésből jegyezni, magunk olcsóbban elő
tudnánk állítani azt.
Nehezebb feladatok:
12.14. Egy kockázatos cég kétféle kötvényt bocsátott ma ki, a piac mindkettőt
100%-on jegyezte le. Mindkét kötvény végtörlesztéses, futamideje három
év, de az egyik kötvény lejáratkor átváltható részvényekre (convertible).
Az átváltható kötvény 5% éves kupont fizet, a nem-átváltható kötvény
7%-ot. A kockázatmentes effektív hozamgörbe 4%-on vízszintes.
a) Mekkora a cég egyes kötvényeinél az OAS (Option Adjusted Spread)?
b) Mennyit ér az átváltási jog a névérték százalékában kifejezve?
c) Az állam hajlandó a teljes három éves futamidőre egy egyszeri,
futamidő elején kifizetett 6%-ért (a névértékre vetítve) hitelgaranciát
vállalni a kötvények mögé. Ezzel a garanciával együtt a piac a céggel
szembeni követeléseit kockázatmentesnek tekintené. Megérné-e a cégnek
kifizetni a hitelgaranciát a következő kötvénykibocsátása előtt?
165
Megoldás:
a) Mivel vízszintes a risk free hozamgörbe ezért a risk free par kamat 4%;
Normál kötvénynél: OAS=+3%; Convertible-nél: OAS=+1%
b) 2%-kal kevesebb kuponnal beérte a piac az átválthatóság miatt, vagyis:
DF1*2+DF2*2+DF3*2 = 0,9615*2+0,9246*2+0,8890*2 = 5,5502%,
azaz a névérték 5,5502%-át éri az átváltási jog
c) 7% helyett 4%-on kapna forrást, az évi 3-3-3% megtakarítást jelentene.
Vagyis a garancia DF1*3+DF2*3+DF3*3 =
0,9615*3+0,9246*3+0,8890*3 = 8,3253%-ot ér a cég számára
jelenértéken és csak 6%-ba kerül, tehát megéri.
12.15. Egy bank ma kibocsátott két kötvényt. Mindkét kötvény
végtörlesztéses, futamidejük 3 év, és mindkettő évente egyszer fizet 4%
kamatot (év végén). Az egyetlen különbség a két kötvény között, hogy a
„B” kötvény visszahívható (callable). A piac az „A” kötvényt 100%-on, a
„B” kötvényt 96,50%-on jegyezte le. A bank tervezte még egy 3 éves
elemi kötvény kibocsátását is, de ezt a piac kevesebb, mint 90%-on
jegyezte volna le, ezért végül nem bocsátotta ki. A kockázatmentes euró
hozamgörbéből becsült egy, két és hároméves diszkontfaktorok rendre
99%, 97% és 95%.
a) Milyen beágyazott opciókat tartalmaz a „B” kötvény a befektető
szempontjából?
b) Mennyit érnek ezek az opciók külön-külön?
Megoldás:
a) visszahívási joga van a banknak, ami neki LC, a befektetőnek SC
csődopció, ami a befektetőknek SP a vállalati eszközértékre
b) Kockázatmentes kibocsátó esetén az „A” kötvényben lévő cash flow
ígéret értéke 0,99*4+0,97*4+0,95*104=106,64 lenne, de a Kreón Bank
csak 100-at kap érte, tehát 6,64-et ér a csődopció.
Az „A” és a „B” kötvény csak abban különbözik, hogy a „B”
visszahívható, ennek az ára 3,5%.
Vagyis, ha nem lenne callable, és nem lenne csődkockázatos, akkor
106,64-et érne a „B” kötvény által megígért cash flow. Csakhogy egyrészt
csődkockázatos, ami miatt már csak 100-at érne, és még visszahívható is,
ami miatt 96,5-öt ér.
12.16. Egy cég LIBOR+100 bázispontos változó kamatozással tudna dollár
hitelt felvenni, egy, két, vagy három év futamidőre. Ma a névérték 100%-
án sikerült kibocsátania egy hároméves, évente fix 2% kupont fizető,
átváltható kötvényt. A kockázatmentes dollár hozamgörbe 3%-on
vízszintes.
a) Milyen beágyazott opciókat tartalmaz a kötvény a befektetők
szempontjából?
b) Mennyit érne a kötvény, ha nem lenne átváltható?
Megoldás:
a) Biztosan csődkockázatos, mert LIBOR fölött jut forráshoz. Ez a
csődopció a befektető szempontjából egy SP pozíció a vállalat értékére
nézve. Ezen kívül a befektető kap egy warrant jellegű opciót (long warrant,
vagy long „call”), hiszen, ha jól teljesít a vállalat, akkor átválthatja a
kötvényt részvényre.
b) Ha a (2;2;102) cash flow-t 4%-kal diszkontáljuk, akkor 94,44% jön ki.
Node az átváltható kötvény mégis 100%-ot ér, akkor mindez az
átválthatóság miatt van, tehát 5,56%-ot ér az átváltási opció.
12.17. Egy vállalat három kötvényt bocsátott ki ma, futamidejük 3 év, évente
egyszer fizetnek kamatot és a futamidő végén egy összegben törlesztenek.
Az „A” kötvény 6% névleges kamatozású, évente egyszer, kamatfizetés
után visszahívható (callable), a „B” kötvény LIBOR+100 bázisponttal
változó kamatozású, a „C” kötvény 5%-os fix névleges kamatozású és a
futamidő végén Trireme részvényekre váltható. A kockázatmentes
effektív hozamgörbe 3%-on vízszintes.
a) Mutassa meg, hogy arbitrázsmentes esetben nem lehet mind a 3
kötvény árfolyama egyszerre 100%! Milyen opciós pozíciókat
tartalmaznak az egyes kötvények a befektetők szempontjából?
b) Feltéve, hogy a kötvények árfolyam rendre 102%, 100% és 106%
mennyit érnek az egyes kötvényekbe ágyazott opciók?
Megoldás:
a) Mivel a kockázatmentes hozamgörbe 3%-on vízszintes, ezért a 3 éves
par kamat 3%, így fel lehetne venni 3%-os fix kamattal long IRS pozíciót.
Ha veszünk egy „C” kötvényt és mellérakunk egy logn IRS-t, akkor az
LIBOR+200bp-vé alakul és még átváltható is, tehát a „C” kötvénynek
többet kéne érni, mint amennyit a „B” ér!
b) „A” kötvényben: csődopció (short put), visszahívhatóság (short call)
„B” kötvényben: csődopció (short put) és más nincs, a változó
kamatozás nem opció!
„C” kötvényben: csődopció (short put), illetve egy long warrant
(esetleg long call)
167
A csődopcióval érdemes kezdeni, mert az mindegyikben van, de a „B”
kötvényben csak ez van, tehát a „B” kötvényből kéne kiszámolni. Az IRS-
es trükköt ismét használva, LIBOR+100bp = fix 3%+1%=4%, vagyis
értéke ekvivalens a 4,4,104 cash flow értékével. Ha a vállalat nem lenne
csődkockázatos, akkor a (4,4,104) cash flow, 3%-os hozammal
diszkontálva 102,8286-ot érne, vagyis a csődopció értéke -2,8286.
Az „A” kötvényben, ha nem lennének opciók, akkor (6,6,106)-os cash
flow-t 3%-os hozammal diszkontálva 108,4858-at érne, miközben most
102-őt ér. A -6,4858-nyi különbségből -2,8286-öt magyaráz meg a
csődopció, a maradék -3,6572 pedig a visszahívhatóság értéke.
A „C” kötvényben, ha nem lennének opciók, akkor az (5,5,105)-ös cash
flow-t 3%-os hozammal diszkontálva 105,6572-őt érne, miközben most
106-ot ér. Ha nem lenne benne a warrant, de benne lenne a csődopció,
akkor 102,8286-ot érne, vagyis a warrant 3,1714-et ér.
12.18. Egy Mortgage Backed Security (MBS) sorozat piaci értéke 1 millió
dollár, átlagideje (duration) 15 év. Egy modell szerint, ha az MBS-t IO-
kra és PO-kra bontanák, akkor a PO-k piaci értéke 800 ezer dollár lenne,
átlagideje pedig 19 év.
a) Mekkora az IO-k átlagideje?
b) Mi történik a PO-k értékével, ha az MBS-be csomagolt jelzáloghitelek
közül a korábban vártnál többen élnek az előtörlesztési jogukkal?
Megoldás:
a) IO = Interest Only; PO = Principal Only
b) P(IO) = P(MBS)- P(PO) = 1 mio – 0,8 mio = 200.000,- dollár
DUR(MBS)*P(MBS) = DUR(PO)*P(PO) + DUR(IO)*P(IO)
DUR(IO) = (15év*1mio-19 év*0,8 mio)/0,2 mio = -1 év
c) A PO-k értéke nőne, hiszen mindenképp ők jogosultak a
tőketörlesztésekre és most így egy nagyobb részüket kapják meg
hamarabb, mint az korábban várható volt.
12.19. Egy bank mérlegfőösszege piaci értéken számítva 1000 milliárd forint.
A bank idegen forrásai 400 milliárd forint piaci értékű, 8 év átlagidejű, fix
kamatozású kötvényből, 200 milliárd forint piaci értékű, 5 év futamidejű,
változó kamatozású kötvényből és 50 milliárd forint piaci értékű, a
banknál az ügyfelei által elhelyezett, látra szóló betétből állnak. A változó
kamatozású kötvény legközelebb 3 hónap múlva fizet kamatot. A bank
eszközei 100 milliárd forint piaci értékű 6 hónapos
diszkontkincstárjegyből és 900 milliárd forint piaci értékű 9 év átlagidejű
MBS-ből áll. Az effektív hozamgörbe 3%-on vízszintes.
a) Mekkora a bank saját tőkéjének a hozamszint kockázata (átlagideje)?
b) Egy elemző szerint, ha az MBS-t a bank IO-kra és PO-kra bontaná,
akkor az IO-k piaci értéke 100 milliárd forint lenne és az átlagidejük -2
év. Az elemző javaslata, hogy a bank a PO-k egy részét adja el és az abból
befolyó összeget overnight bankközi betétként helyezze ki (ezek
átlagideje nulla). Mekkora piaci értékben kellene a banknak PO-kat eladni
és a befolyó összeget bankközi betétként kihelyezni, ha azt szeretné, hogy
a saját tőke átlagideje nulla legyen?
Megoldás:
a) D = 400+200+50=650 mrd forint
E = V - D = 1000-850=350 mrd forint.
DUR(D) = (400*8+200*0,25+50*0)/650 = 5 év
DUR(A) = (100*0,5+900*9)/1000= 8,15 év
8,15 = DUR(A) = DUR(L) = (DUR(E)*E + DUR(D)*D)/1000
innen adódik, hogy DUR(E) =(8,15*1000-5*650)/350 = 14 év
b) P(IO) = 100 mrd, DUR(IO) = -2 év
P(PO) = 900-100 = 800 mrd
DUR(MBS) = DUR(IO)*P(IO) + DUR(PO)*P(PO) / (P(IO)+P(PO))
innen adódik, hogy DUR(PO) =(9*900-(-2)*100)/800= 10,375 év
A PO-k eladása és a befolyó összeg bankközi depóként való kihelyezése
kizárólag az eszközoldalt érinti, az idegen források minden tulajdonsága
változatlan marad, vagyis a DUR(D)=5 év és a P(D)=650 mrd forint nem
változik ettől.
Ezután, ha jobban megnézzük az előző pont eredményét adó egyenletet:
„DUR(E) = (8,15*1000-5*650)/350 = 14 év”, akkor látszik, hogy, ha az
idegen források tulajdonsága nem változhat, akkor a 14 évet nullává csak
a „DUR(A)=8,15” csökkentésével lehet elérni. Innen adódik a kívánt új
DUR(A’):
DUR(E) = (DUR(A’)*1000-5*650)/350 = 0
DUR(A’) = 3,25 év, vagyis ez a kívánt érték.
Az új helyzetben a banknak 4 féle eszköze van: 6 hónapos DKJ, IO, PO és
overnight bankközi betét. Jelöljük X-szel a bankközi betét piaci értékét,
ekkor a PO-k piaci értéke (800-X) lesz, hiszen pont az eladott mennyiséget
helyezzük ki betétként.
DUR(A’) = 3,25 = ( 0,5*100+(-2)*100+(800-X)*10,375+X*0 )/1000
169
innen adódik, hogy X= 472,29 mrd értékben kellene PO-kat eladni és
overnight bankközi betétbe helyezni.
12.20. Egy céget jelenleg teljesen saját tőkéből finanszírozzák, összesen 1000
darab részvény van forgalomban, egy részvény piaci értéke 1 millió forint.
A vállalat 1000 darab, 1 millió forint névértékű átváltható kötvény
kibocsátását tervezi a névérték 100%-án. Az átváltható kötvények
futamideje 1 év, az év végén 10% kupont fizetnek, majd a kuponfizetés
után a kötvénytulajdonosok eldönthetik, hogy az 1 millió forintos névérték
törlesztését kérik, vagy helyette 1 darab részvényt, melyet ebben az
esetben a vállalat új részvények kibocsátásával teljesít. A vállalat
eszközoldala binomiális mozgást követ Δt=1 év, u=4 és d=1/u
paraméterekkel, a kockázatmentes effektív hozamgörbe 5%-on vízszintes.
Érdemes-e most vásárolni az átváltható kötvényekből a névérték 100%-
án?
Megoldás:
Ha a cég képes 100%-on kibocsátani az átváltható kötvényeket, akkor az
eszközoldala 1+1 = 2 mrd forint lesz. Innentől a sorsa az eszközoldaltól
függ, amely binomiálisan alakul.
Felső ág: 8 milliárd lesz egy év múlva az eszközérték. Először is ebből a
kötvényesek megkapják a kamatot, vagyis kötvényenként 100 ezer forintot,
ami összesen 0,1 milliárdnyi kamatkifizetést jelent, marad 7,9 milliárd. Ha
átváltják a kötvényt, akkor ez 2000 felé oszlik és egy részvény ekkor 3,95
millió forintot fog érni (nem kell kifizetni a kötési árfolyamot, hiszen ez
nem csak egy warrant, hanem átváltható kötvény és magáról a pénzbeli
törlesztésről mond le a részvényért a kötvényes). Nyilván megéri
lemondani az 1 milliónyi törlesztésről, ha kapok egy 3,95 milliót érő
részvényt. (és még előtte kaptam 100 ezer forint kamatot)
Alsó ág: Az eszközoldal 0,5 milliárd lesz. Először is ebből a kötvényesek
megkapják a kamatot, vagyis kötvényenként 100 ezer forintot, ami
összesen 0,1 milliárdnyi kamatkifizetést jelent, marad 0,4 milliárd. Ha a
kötvényesek az átváltást kérnék, akkor ez 2000 felé oszlik és így egy
részvény 200 ezret ér majd. Ha a törlesztést kérik, akkor minden kötvényes
követelését 40%-ban lehet teljesíteni, hiszen nincs elég pénz a teljes
tartozás kifizetéséhez. Ekkor 400.000-ret ér a kötvény, persze a céget fel
kell számolni és abból lehet kielégíteni a kötvényeseket, a cég működése
nyilván megszűnik. Ez mindegy is, a lényeg, hogy az alsó ág esetén nem
váltja át és 400.000-ret ér a kötvény. (és még előtte kaptam 100 ezer forint
kamatot)
Árazás:
q=((1,05)^1 -0,25)/(4-0,25)= 0,2133
DF=1/1,05=0,9524
Az átváltható kötvény diszkontált kockázatsemleges várható értéke =
0,9524*(0,2133*(3950000+100000)+(1-0,2133)*(400000+100000)) =
1.197.372, tehát megéri 100%-on, vagyis 1 millió forintért venni belőle!
12.21. Egy vállalatot eredetileg teljesen saját tőkéből finanszírozták, 3000
részvénye van forgalomban, a részvények piaci árfolyama 100 dollár.
Most kétféle kötvény kibocsátását tervezi, mindkét kötvény névértéke
1000 dollár. Az „A” kötvény egy 1 éves diszkontkötvény, ebből 800
darabot bocsátana ki. A „B” kötvényből 200 darabot bocsátana ki, ezek
futamideje két év, névleges kamata 0%, lejáratkor 5 darab részvényre
váltható. A „B” kötvény alárendelt kötvény, csak akkor kaphat törlesztést,
ha az „A” kötvényt már maradéktalanul törlesztették. A vállalat
eszközoldala binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u
paraméterekkel. A kockázatmentes hozamgörbe 0%-on vízszintes. Ha az
„A” kötvényt a névérték 90%-án, a „B” kötvényt a névérték 100%-án
sikerülne kibocsátani, érdemes lenne-e venni belőlük?
Megoldás:
A kötvények kibocsátása után az eszközök
=3000*100+800*1000*90%+200*1000*100%= 1.220.000,-
Ha az 1. évben felfelé megy az eszközök ára, akkor 2*1,22=2,44 mio lesz.
Ekkor az diszkontkötvényeket kényelmesen törleszteni tudja, marad 2,44
mio -0,8 mio = 1,64 mio eszköz.
Ha az 1. évben lefelé megy az eszközök ára, akkor ½*1,22 mio= 610000
dollár lesz. Ebben az esetben az „A” kötvényeket nem tudja
maradéktalanul törleszteni, 610000/800000=0,7625%-ot tud fizetni a
100% helyett. A vállalat csődbe megy.
Ezek alapján az összes „A” kötvény értéke: 1/3*800000+2/3*610000=
673.333,33, vagyis nem éri meg a futamidő elején 90%-on venni belőlük,
hiszen az 720000-res árat jelentene.
Ha az első évben lefelé mennek az eszközök, akkor a „B” kötvény és a
részvények értéke is nullává válik.
Ha az első évben felfelé mennek az eszközök és a második évben is felfelé
mennek, akkor 1,64*2=3,28 milliót érnek majd. Ha a „B” kötvényeket
átváltanánk, akkor 200*5=1000 darab új részvény jönne létre, így
171
összesen 3000+1000=4000 részvény lenne. Egy részvény ára 3,28 mio
/4000= 820 lenne. Vagyis ekkor a „B” kötvény értéke 5*820 =4100 lenne.
Ha az első évben felfelé mennek az eszközök, de a második évben lefelé,
akkor összesen 820000 lenne az eszközök értéke. Ha ekkor átváltja a „B”,
akkor 820000/4000=205 lesz az új részvényárfolyam, vagyis még ekkor is
megéri átváltania, mert így 1025-öt ér a kötvény.
Az 1. év végén, ha felfelé mentek az eszközök, akkor a „B” kötvény
1/3*4100+2/3*1025= 2050-et érnek, ezért ma 2050*1/3+0*2/3= 683,33
dollárt ér egy kötvény, vagyis nem éri meg a névérték 100%-át, azaz 1000
dollárt kifizetni érte.
12.22. Egy bank eszközoldala 1 milliárd dollár piaci értékű vállalati hitelekből
áll. Forrás oldala 1 millió darab törzsrészvényből és 700 millió dollár piaci
értékű, egy év futamidejű, 3%-os kamatozású lekötött betétből áll. A GNB
eszközoldala évente binomiálisan alakul, jó években a befolyó kamatok
bőven kompenzálják a vállalati hitelportfolión elért veszteségeket,
ilyenkor az eszközoldal 25%-kal nő, rossz években viszont az év eleji szint
80%-ára csökken. Az új vezérigazgató egy nagyon szerény ember, ingyen
vállalja a következő évi megbízatását. Szerződésében csupán annyit kér,
hogy, ha egy év múlva, amennyiben akkor kéri, a GNB bocsásson ki 100
ezer új részvényt és adja el neki 350 dolláros árfolyamon. Az egy éves
kockázatmentes dollár hozamot a számításoknál tekintse nullának.
Mennyit ér a vezérigazgató ösztönzési csomagja?
Megoldás:
Mérlegazonosságól kijön, hogy E=300 millió, és mivel N=1 mio, ezért
S=300 dollár
K=350 dollár és egy warrantról van szó, ahol n=100.000, de az elején a
warrant-ot ingyen kapta
rf=0 miatt DF=1;q=(1-0,8)/(1,25-0,8)= 0,4444
A forrásoldalon az idegen tőke 3%-kal nő évente a kamat miatt
Felső ágon: Assets=1250 mio; Debt=700*1,03=721, innen adódik, hogy
E=529 mio
Nyilván le fogja hívni a warrantot, befizeti a 350 dollár részvényenkénti
vételárat, tehát: A’=1250 mio +0,1 mio*350= 1285 mio; D’=D=721
mio; E’=564 mio;
S’=564 mio/1,1mio=512,73 dollár lesz az új részvényárfolyam
Tehát a vezérigazgató 100 ezerszer keres (512,73-350) dollárt, ami 16,273
millió dollár ebben a kimenetelben
Alsó ágon: Assets=800 mio; Debt=700*1,03=721, innen adódik, hogy
E=79 mio, nem hívja le a warrantjait
Tehát 0,4444*16,273 mio + (1-0,4444)*0 = kb 7,23 millió dollárt ér a
kompenzációs csomagja
12.23. Egy cég részvényeinek azonnali árfolyama 100 dollár, a 110 dolláros
kötési árfolyamú, 1 év futamidejű call opció díja 6 dollár, míg ugyanarra
a lejáratra és kötési árfolyamra szóló warrant csak 5,85 dollárt ér. A
részvénytársaságnak csak ez az egy típusú warrantja van forgalomban, a
warrantok névértéke összesen 100 ezer részvény. Hány részvénye van ma
a vállalatnak?
Megoldás:
A hígulási hatás megértésére/felismerésére kérdez rá a feladat, a
számítások nagyon könnyűek.
warrant = call x 1/(1+q), ahol q=n/N
q=call/warrant-1
N=n/(call/warrant -1) = 100000/(6/5,85-1)=3.900.000 darab részvénye
van most, ami bár véletlenül jött ki ilyen szépre, de nagyon elegáns, hogy
ha végül a warrantokat lehívják, akkor kerek 4 millió részvénye lesz majd!
12.24. Egy egyéves Bull CD megtervezését kapta feladatául. A Bull CD
vásárlói a BUX index hozamából 60%-os részesedést kapnak (α = 0,6), de
minimum visszakapják a befektetett tőkéjüket. A kockázatmentes effektív
hozam évi 10%, a BUX index aktuális értéke 22 000 pont, a BUX
volatilitása évi 20%. Érdemes-e befektetni ebbe a konstrukcióba, ha
teljesülnek a BSM-modell feltételei? Állítását számítással is támassza alá!
Megoldás:
Q=1, mert nincs szó osztalékhozamról; P=1/1,1
oszlop = (QS)/(PK) = 22000/((1/1,1)*22000) = 1,10
sor=szigma*gyök(T-t)=0,2*1=0,2
BSM-tábla értéke: 13
Vagyis az opció 1*22000*13% = 2860 forintot ér
Mit kapunk a terméktől? (22000 forintos befektetési csomagokban
gondolkozva)
173
Fix ígéretet: visszaadja a tőkénket. Ennek a jelenértéke 22000/1,1=20000
forint
Feltételes ígéretet (contingent claim): 60% részesedést. Ez egy opció
60%-ába kerül, vagyis 1716 forintot ér (ez már jelenértéken van, mert
opciós díj)
A két ígéret jelenértéke együtt 20000 + 1716 = 21716 vagyis kevesebbet
kapunk a pénzünkért jelenértékben, mint amennyit ér (22000-ret ér), tehát
nem éri meg befektetni ebbe.
12.25. Egy bank 100 millió dollár névértékben bocsátott ki 4 éves
tőkegarantált Bull CD-t. Minimumhozam-garancia nincs és a futamidő
alatt az ügyfelek egyáltalán nem kapnak kamatot. Lejáratkor viszont a
futamidő alatti “X” árfolyam-emelkedésének 20%-át kapják meg
kamatként. Az “X” a részvények árfolyama most 236 dollár, a futamidő
alatt várhatóan nem fizet osztalékot, implicit volatilitása 30%. A 4 éves
kockázatmentes diszkontfaktor 94,35%.
a) Hány dollár profitot realizált a bank, ha a Bull CD-t az ügyfelei a
névérték 100%-án jegyezték le?
b) Mekkora effektív hozamot realizálnak a befektetők, ha a részvény
árfolyama lejáratkor 600 dollár lesz?
c) Legalább mekkora lejáratkori részvényárfolyam kell ahhoz, hogy a
befektetők ugyanannyi hozamot érjenek el, mintha kockázatmentes
eszközbe fektettek volna?
d) Milyen előjelű annak a befektetőnek a részvényre vonatkozó deltája,
gammája, vegája, aki kizárólag ebbe a Bull CD-be fektet? Röviden
indokolja is meg, hogy miért!
Megoldás:
a) K=236, Q=1, P=94,35%
BSM-tábla oszlopa (QS)/(PK)= 236/(0,9435*236) = kb 1,06
BSM tábla sora: 0,3*gyök(4)=0,6
BSM táblaérték: „25,8”, ami a QS százalékában értendő, vagyis
25,8%*236= 60,89 dollár
236 dolláros befektetési csomagonként gondolkozva a Bull CD 3
összetevőből áll:
236 = 236*94,35% + 60,89*20% + profit
Innen a profit=1,156 dollár
A 100 milliós teljes kibocsátáson az összes profit: 100mio/236 * 1,156 =
489.830,51 dollár
b) Ha a részvény árfolyama a lejáratkor 600 dollár, akkor a befektető 236
dolláros kezdeti befetlktetési csomagjára nézve 236+(600-236)*20% =
308,80 kamatot kap vissza, ami (308,80/236)^(1/4)-1= 6,95% effektív
hozamnak felel meg.
c) Ahhoz, hogy legalább úgy járjon, mintha risk free-be fektetett volna az
kell, hogy lássuk, mennyi pénze lenne, ha a 236 dollárt kockázatmentesen
fekteti be: 236/0,9435= 250,13 dollár, vagyis 14,13 dollárral van a kezdeti
befektetése fölött. Mivel az árfolyamemelkedésnek csak a 20%-át kapja
meg, ezért 14,13/20% = 70,65-nyit kell emelkedjen a részvény árfolyama,
vagyis 236+70,65=306,65-ig fel kell menjen az árfolyam, hogy legalább
a risk free hozamnak megfelelő mennyiségben nőjön a Bull CD-be fektető
vagyona.
d) Mivel call opciót kap, ezért: delta pozitív, gamma pozitív, vega pozitív.
12.26. Versenytársa olyan tőkegarantált Bull CD-t ajánl ügyfeleinek, mely
egy év múlva a MOL éves emelkedésének a 25%-át fizeti kamatként. Ön
véletlenül megtudta, hogy a versenytársnak 1,3 milliárdnyi forintnyi
ügyfélbefektetést sikerült a termékbe csábítania és a versenytárs
számításai alapján éppen 10 millió forintot keresett rajta. A MOL azonnali
árfolyama 13000 forint, a bull CD lejáratáig már nem fizet osztalékot. Az
egy éves kockázatmentes forint effektív hozam 3%. Mekkora a MOL
implicit volatilitása a versenytárs modellje szerint?
Megoldás:
Érdemes az 1,3 milliárdot 13.000 forintos csomagokra bontani. 100.000
ilyen csomag van. Összesen 10 millió forint a versenytárs profitja, vagyis
csomagonként 100 forint.
Miből áll egy 13000 forintnyi befektetési „csomag”?
100 forint banki profit + 13000/1,03 + egy negyed call opció díja,
innen adódik, hogy a c/4=278,64 forint, tehát c=1114,56 forint. Ez a QS
százalékában kifejezve 1114,56/13000=8,57%-nak felel meg. BSM tábla
alapján visszakereshető a volatilitás.
Melyik oszlopban vagyunk? (QS)/(PK)=1,03
Ebben az oszlopban a 8,6-os érték van a mi 8,57-ünkhoz legközelebb, ez
a 0,18-as sorban van és mivel pont egy évről van szó, ezért kb 18% a
versenytárs modelljében a volatilitás.
12.27. Három éve, amikor a “X’ részvény árfolyama 6250 ponton volt,
jósnője tanácsára vásárolt egy akkor induló 5 éves tőkegarantált Bull CD-
t, 100 000 euró névértékben, mely a részvény futamidő alatti hozamából
175
50%-os részesedést biztosít lejáratkori tőkegarancia mellett.
Minimumhozam-garancia nincs. A részvény pillanatnyi értéke 9300 pont,
volatilitása 23,35%, várható osztalékhozama évi 1,8%, a 2 éves német
diszkontkincstárjegy árfolyama 99%. Hány eurót ér most ez a Bull CD?
Megoldás:
Kétféle ígéret van: fix 100k EUR 2 év múlva, ez most 99k EUR-t ér
(partnerkockázattól eltekintve) és 50%-nyi opció.
Tudni kellene, hogy pontosan mennyi opciónk van, milyen lejárattal és
milyen strike-kal.
K= 6250 adódik abból, hogy ennyi volt a kiinduláskori részvény szint és
nincs minimumhozam-garancia, innentől kezdve kapjuk a plusz hozam
felét. (alfa =0,5)
T= 2 év, mert ennyi idő van még hátra.
Opció névértéke = alfa * 100000/6250 = 8 darab “X”-re szóló call opció
van a csomagban.
Q=1/(1+1,8%)^2=0,9646; P=0,99
Oszlop = (QS)/(PK) = (0,9646*9300)/(0,99*6250) = kb 1,45
Sor= szigma*gyök(T-t) = 23,30%*2^(0,5) = kb 33%
BSM-tábla értéke: 32,8, ez a QS százalékában értendő, vagyis euróban ez
32,8%*9300*0,9646= 2942,42 eurót ér opciónként.
Tehát a Bull CD-nk értéke 99.000+8*2942,42=122539,36, nyilván jó
sokkal többet ér, mint a kezdeti 100k EUR, mert bevált a jósnő részvénnyel
kapcsolatos optimizmusa.
12.28. Egy cég vezetősége, megelégelve, hogy évek óta nem kaptak bónuszt,
egy kimondottan előnyös tőkegarantált Bull CD-t tervez „baráti”
ügyfeleinek értékesíteni. Az ügylet tőkegarantált és lejáratkor egy
speciális „bónusz” kamatot fizet. A bónusz kamat akkora lesz, ahány
százalékkal az S&P500 index értéke 2000 pont fölött zár lejáratkor, de
maximum 25%, illetve minimum 0%. Az S&P500 index értéke most 1893
pont, osztalékhozama 2%, volatilitása 24%. Az 1 éves dollár kincstárjegy
árfolyama 98,75%. Becsülje meg, hogy hány dollárt veszít jelenértéken a
bank, ha sikerül 100 millió dollár névértékben eladnia ezt a Bull CD-t?
Megoldás: A klasszikus Bull CD-hez képest most a 25%-os plafon nehezítés, hiszen
nem egy szimpla call opciót ad a bank, hanem egy call spread-et. Vagyis
LC_2000+SC_2500 az, amit az ügyfél kap, ezért mind a két opciót ki kell
számolni. Minimumhozam nincs, illetve ezek az opciók ugyanakkro járnak
le és a feladat egyetlen volatilitást ad meg, így a szigma*gyök(T-t) mutató
végig ugyanaz, így a BSM-táblának ugyanabban a sorában leszünk, csak
más lesz az oszlop.
Q=1/1,02=98,04%
P=98,75%
S=1893
BSM-tábla sora: 0,24
BSM oszlopa K=2000 esetén: (98,04%*1893)/(98,75%*2000) = kb 0,94,
táblaérték: 7,00
BSM oszlopa K=2500 esetén: (98,04%*1893)/(98,75%*2500) = kb 0,75,
táblaérték: 1,60
Tehát a call spread összesen (7%-1,6%)*98,04%*1893= kb 100,22 dollár
Tegyük fel, hogy valaki 2000 dollárt fektet egy ilyen Bull CD-be. Cserébe
kap egy 100,22 dollár értékű call spread-et, illetve 2000*98,75%=1975
dollár értékű fix ígéretet. Összesen tehát azonnal kap 2075,22 dollárnyi
értéket, tehát 75,22 dollárt nyer 2000 dolláronként.
Ha 100 millio dollárnyi Bull CD-t adnak el, akkor a bank 100
mio/2000*75,22 = 3.761.000,- dollárt veszít.
177
13. Partnerkockázat
13.1. A kockázatmentes és az „A” besorolású vállalatok kötvényeinek árából
számított loghozamgörbék a következők:
kockázatmentes „A”
1. 8% 8,2%
2. 8,2% 8,5%
3. 8,5% 8,8%
Mindezek alapján mekkora esélyt ad annak a piac, hogy egy „A”
besorolású vállalat
a) a következő két év folyamán
b) a második év során csődbe megy?
Megoldás:
Előbb kiszámoljuk a zérókupon árfolyamokat, illetve a h(t) és u(t)
értékeket:
kockázatmentes A h(t) u(t)
1. 0,9231 0,9213 0,20% 0,20%
2. 0,8487 0,8437 0,60% 0,40%
3. 0,7749 0,7680 0,90% 0,30%
Innen a válaszok:
a) 0,6%
b) 0,4%
13.2. A folytonosan számított állampapír hozamgörbe 1,2 és 3 éves pontjai
(r*) rendre 8%, 9% és 9,5%. Az ’A’ besorolású vállalatok
kötvényárfolyamaiból (folytonosan) számított hozamgörbe 1,2 és 3 éves
pontjai (r) rendre 9%, 10% és 10,5%. A piac értékítélete szerint melyik
évben a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy az ’A’ besorolású
vállalatok csődbe mennek? Miért?
Megoldás:
t r* r B* B h u
1 8% 9% 0,9231 0,9139 0,0099 0,0099
2 9% 10% 0,8353 0,8187 0,0199 0,01
3 9,5% 10,5% 0,7520 0,7298 0,0295 0,0096
A második évben a legnagyobb a csődbemenetel valószínűsége a piac
értékítélete szerint. (A feladat során végig a pontos értékekkel
dolgoztunk, kerekítések alkalmazásával a fentitől eltérő eredmény
adódhat).
13.3. Az alábbi táblázat az államkötvényekre és az A besorolású kötvényekre
vonatkozó spot loghozamgörbét tartalmazza:
T y*(T) y(T)
1 0,11 0,1120
2 0,11 0,1150
3 0,11 0,1175
4 0,11 0,1190
Egy A-besorolású vállalattal szembeni 500 millió forintos követelésünk
egy év múlva válik esedékessé. Mekkora a várható hitelveszteség
jelenértéke?
Megoldás:
Követelésünk értéke=500/exp(0,1120)=447,02 millió Ft
Ha kockázatmentes lenne=500/exp(0,11)=447,92 millió Ft lenne az
értéke.
Várható hitelveszteség jelenértéke=447,92-447,02=0,90 millió Ft
13.4. Az X vállalat részvényének árfolyama 100 Ft, a hozamok szórása 20%.
A kockázatmentes logkamatláb 12% minden lejáratra. X vállalattól a piac
a csődkockázat miatt 200 bázispontos hozamfelárat vár el. Létesítettünk
az X vállalat részvényeire vonatkozó 3 éves Short Pillangó pozíciót
európai call opciókból 90, 100 és 110-es kötési árfolyamokon. Mennyi az
Ön pozícióján a potenciális csődveszteségek jelenértéke a Hull-White
modell szerint?
Megoldás:
A pozíció összetétele:
1 db SC(90) 2 db LC(100) 1 db SC(110)
Ebből csak a LC opciókon van csődkockázat.
A LC csődkockázat nélküli értéke (K=100,ATM;sz=20%,rf =12%, t =3):
f*= 32,45
A kockázatos opció ekkor: f = 32,45·exp(-3·0,14)/exp(-3·0,12) = 30,56
A potenciális csődveszteségek jelenértéke:
PV(pcsv) = 2·(32,45-30,56) = 3,78
13.5. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama egy év alatt vagy
megduplázódik, vagy a felére csökken. A kockázatmentes effektív hozam
179
évi 10% minden lejáratra. A részvény prompt árfolyama 1200 Ft. Mennyit
ér a részvényre szóló 2 éves európai ATM call opció, ha
a) egy AAA besorolású vállalat veszi egy BBB besorolású vállalattól?
b) egy BBB besorolású vállalat veszi egy AAA besorolású vállalattól?
Az AAA és a BBB besorolásokhoz tartozó hozamgörbék is vízszintesek,
az opciós hozamfelárak (OAS) rendre 5% és 10%.
Megoldás:
q=0,4
Ha az államtól vennénk, call=476,03; B*=0,8264
B(BBB)=0,6944; B(AAA)=0,7561
a) call=476,03·0,6944/0,8264=399,99
b) call=476,03·0,7561/0,8264=435,54
13.6. Az amerikai hozamgörbe 6%-on vízszintes, a német hozamgörbe 4%-
on vízszintes, a prompt árfolyam 1 USD/EUR. Egy 3 éves deviza csere-
ügylet keretében 1 millió dollár névértékű hitelek pénzáramlásait cserélik
el évi egyszeri kamatfizetéssel. Mennyit ér a csereügylet a dollárt fizető
fél számára dollárban, ha partnertől a piacon 200 bázispontos
hozamfelárat várnak el a csőd kockázata miatt?
Megoldás:
A CF:
USD EUR
6% 4%
1 -60 000 40 000
2 -60 000 40 000
3 -1 060
000
1 040
000
Az USD „swapláb” jelenértéke: 1 000 000 (a névérték)
Az EUR „swapláb” jelenértéke:
40 000/1,06+40 000/1,062+1 040 000/1,063= 946 539,76
A swap értéke a dollárt fizető fél számára partnerkockázat mellett
dollárban:
-1 000 000+946 539,76=-53 460,24
13.7. Az Ön bankja azt fontolgatja, hogy egy egyéves futamidejű, K=1200
Ft kötési árfolyamú, osztalékot nem fizető X részvényre szóló európai
vételi opciót vásárol egy „Baa” besorolású kereskedelmi banktól. Az X
részvény prompt árfolyama S=1000 Ft, amely binomiálisan alakul u=2,
d=0,5 és t=1 év paraméterek mellett. A kockázatmentes hozam minden
lejáratra évi 25%, az „Baa” besorolású cégektől 600 bázispontos, míg az
X vállalattól 900 bázispontos felárat várnak el a befektetők minden
lejáratra. Mennyit érdemes fizetni az opcióért, ha a partnerkockázatot is
figyelembe vesszük a Hull-White modellnek megfelelően?
Megoldás:
q=(1,25 - 0,5) / (2 - 0,5) = 0,5
Részvényárfolyam
1000 2000
500
Opció értéke
305,34=800 · 0,5 / (1,25 + 0,06) 800
0
mert az opciót kííró partnernek megfelelő felárat várunk el.
13.8. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama egy év alatt 40%-kal
csökken, vagy 50%-kal nő. A kockázatmentes hozam évi 20%. A részvény
prompt árfolyama 5000. Mennyit ér számunkra a részvényre szóló egy
éves ATM európai put opció a Hull-White feltételek mellett, ha
a) az opció kiírója egy olyan állam, melynek csődvalószínűsége
gyakorlatilag zérusnak tekinthető?
b) az opció kiírója BB besorolású, és így az általa kibocsátott egy éves
elemi kötvényektől elvárt hozam 30%?
Megoldás:
q=(1,2-0,6)/(1,5-0,6)=2/3
Részvény:
5000 7500
3000
Opció:
p0 0
2000
a) p0=+(0·2/3+2000·1/3)/1,2 = 555,56
b) p0=+(0·2/3+2000·1/3)/1,3 = 512,82
13.9. Az X vállalat részvényének árfolyama 100 Ft. A részvényre vonatkozó,
120 Ft kötési árfolyamú, 1 éves európai call opció díja 25 Ft, ha A
vállalattól vesszük, 24 ha B vállalattól. A vállalat AAA minősítésű, a vele
kötött üzletek lényegében partnerkockázattól mentesnek tekinthetők. B
vállalat 3 éves visszaváltható kötvényt bocsátott ki 83%-os árfolyamon,
181
amelynek évente fizetett névleges kamata 12%. A kockázatmentes
loghozam minden lejáratra 12% Érdemes-e ebből a kötvényből vásárolni?
Megoldás:
Ismert összefüggés:24 = 25 · exp(-r)/exp(-0,12)
Ebből:
r = 16,08%, azaz 4,08%-os hozamfelárat várnak el a piacon B vállalattól.
A kötvény kockázatmentes, visszaváltási opció nélküli értéke:
12·exp(-0,12) + 12·exp(-0,24) + 112·exp(-0,36) = 98,22
A kockázatos, visszaváltási opció nélküli kötvény értéke:
12·exp(-0,1608) + 12·exp(-0,3216) + 112· exp(-0,4824) = 88,06
A visszaváltási opció értéke növeli az árfolyamot, mert kedvező a
vásárlónak. Jelen esetben a kibocsátási árfolyam még annál is
alacsonyabb, mint ha nem tartalmazna visszaváltási opciót a kötvény.
Ezért mindenképpen érdemes belőle vásárolni.
Nehezebb feladatok:
13.10. Egy vállalat egy-, kettő- és három év futamidejű, végtörlesztéses
kötvényeket bocsátott ki, mindegyik évente egyszer fizet kupont. Az egy
éves kuponja 3%, a kétévesé 4%, a három évesé 4,25%. Mindhárom
kötvényt a névérték 100%-án jegyezték le. Az egy-, két- és hároméves
kockázatmentes diszkontfaktorok 99%, 98% és 97%. A Hull-White
(1995) csődkockázati modell szerinti függetlenségi feltétel a feladat
minden kérdésénél teljesül. Az első, a második, vagy a harmadik évben a
legnagyobb a cég implicit csődvalószínűsége?
Megoldás:
100=B(1Y)*103, innen B(1Y)=100/103=97,0874%
100=B(1Y)*4+B(2Y)*104=97,0874%*4+B(2Y)*104, innen B(2Y)=
92,4197%
100= B(1Y)*4,25+B(2Y)*4,25+B(3Y)*104,25, innen B(3Y)=88,1976%
𝑃𝐷(𝑇) = ℎ(𝑇) =𝐵∗(𝑇) − 𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 −
𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 − 𝑒−[𝑦(𝑇)−𝑦∗(𝑇)]𝑇
h(1Y) = 1 - 0,970874/0,99 = 1,93%
h(2Y) = 1 – 0,924197/0,98 = 5,69%
h(3Y) = 1 – 0,881976/0,97 = 9,07%
u(1Y) = h(1Y) = 1,93%
u(2Y) = h(2Y) - h(1Y) = 3,76%
u(3Y) = h(3Y) – h(2Y) = 3,38%
tehát a 2. év során megy a vállalat a legnagyobb eséllyel csődbe.
13.11. A svájci állampapírokból becsült 1 és 2 éves diszkontfaktorok rendre
101% és 101,50%. A Nestlének forgalomban vannak 1 és 2 év múlva
lejáró végtörlesztéses kötvényei, mindkettőnél 1% a névleges kamat.
Mindkettő évente egyszer fizet kupont és éppen az esedékes kupon
kifizetése után vagyunk. Az egyéves kötvény árfolyama 101,50%, a
kétévesé 102,25%. Becsülje meg, hogy mekkora annak az implicit
valószínűsége, hogy a Nestlé a második év során csődbe megy!
Megoldás:
A kérdés az u(2)-re kérdez rá, amihez a h(1) és a h(2) kellene.
𝑃𝐷(𝑇) = ℎ(𝑇) =𝐵∗(𝑇) − 𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 −
𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 − 𝑒−[𝑦(𝑇)−𝑦∗(𝑇)]𝑇
B*(1)= 101% és B*(2)=101,50% adottak
Az egy éves Nestlé kötvényből már csak 1 db CF maradt, mégpedig 1 év
múlva fizet (1%+100%)-ot. Ennek az ára 102%, vagyis a
B(1)=101,50%/101%=100,50%.
h(1)=1-(100,50%/101%)=0,4951% az első év során az implicit
csődvalószínűség.
A 2 éves Nestlé kötvény segítségével a B(2)-t ki kell számolni, ami az
alábbi egyenletből kijön majd:
102,25%=1%*100,50%+(1%+100%)*B(2), innen B(2)=100,2426%
h(2)=1-(100,2426%/101,50%)=1,24% az első két év során az implicit
csődvalósznűség
u(2)= h(2)-h(1)=1,24%-0,4951% =0,7449% annak az implicit
valószínűsége, hogy a 2. év során megy csődbe a Nestlé.
13.12. A kockázatmentes 1 és 2 éves diszkontfaktorok rendre 99% és 98%.
Egy vállalat ma kibocsátott egy speciális kötvényt, mely 1 és 2 év múlva
50-50 ezer forintot fizet. A piac a kötvényt 95 ezer forintért jegyezte le.
Egy elemző szerint a vállalat csak a második év során tud csődbe menni,
mert előtte még biztosan van elég pénze a kötelezettségeinek teljesítésére.
Ezért modelljében az első év implicit csődvalószínűségét 0%-nak állította
be. Mekkora a modelljében a vállalat 2. év során való csődbemenésének
implicit valószínűsége?
183
Megoldás:
A kérdés az u(2)-re kérdez rá, az u(1)=h(1)=0% esetén.
Ha a 2 darab 50 ezres ígéretet kettévesszük, akkor kiderül, hogy külön a
második 50 ezer mennyit ér. Mivel az első évben az implicit
csődvalószínűség 0%, ezért az első 50 ezer ára: 50000*99%, innen adódik
a második 50 ezer ára:
PV(második_50_ezer)=95000-50000*99%=45500
Ebből adódik, hogy B(2)=45500/50000=91%
PD(2Y)=h(2)=1-91%/98%= 7,14%
Mivel u(1)=0%, ezért u(2)=h(2)=7,14%, ami egyébként logikus is, mert
ha az első két év során való csődvalószínűség 7,14%, miközben tudjuk,
hogy az első évben nem mehet csődbe, akkor ez a teljes valószínűség a
második évet terheli.
13.13. Egy vállalat ma a névérték 100%-án bocsátott ki egy 3 éves,
végtörlesztéses, évente egyszer 4% névleges kamatot fizető, euróban
denominált kötvényt. A számítások során a kockázatmentes euró effektív
hozamgörbe első 3 éves szakasza -0,50%-on vízszintesnek tekinthető. Egy
modell szerint a kibocsátó csak a 3. év végén mehet csődbe. Mekkora a 3.
év végére vonatkozó implicit csődvalószínűség, ha csőd esetén a
maradványértéket a modell nullának tekinti?
Megoldás:
Tehát a (4;4;104) cash flow most a piacon pont 100-at ér. Az u(1)=0 és
u(2)=0, ezért a 3. év végi 104 eurónyi cash flow elem piaci értéke az alábbi
egyenletből adódik:
100-4/(1+(-0,5%))^1-4/(1+(-0,5%))^2, ebből pedig adódik, hogy:
B(3 év) = ( 100 - 4/(1+(-0,5%))^1 - 4/(1+(-0,5%))^2 ) / 104 = 88,4035%
B*(3 év) = 1/(1+(-0,5%))^3 = 101,5151%
h(3)= B/B* = 1 - 88,4035%/101,5151% = 12,92%
h(3)=u(3), mert u(1)=u(2)=0
Tehát annak az implicit valószínűsége, hogy a 3. év végén csődbe megy:
12,92%
13.14. Egy vállalat piacon kereskedett kötvényeiből implicit
csődvalószínűségeket számoltunk. Azt kaptuk, hogy az első évben 0,50%,
a második év során 1%, a harmadik év során 0,2% a csőd implicit
valószínűsége. A kockázatmentes hozamgörbéből becsült egy, két és
hároméves diszkontfaktorok rendre 99%, 97% és 95%. Mekkora kupon
mellett tudna a vállalat éppen a névérték 100%-án kibocsátani hároméves,
végtörlesztéses, évente egyszer kamatot fizető kötvényt, feltéve, hogy az
új kötvény kibocsátásából befolyó összeget korábbi hiteleinek
törlesztésére használja és így a kötvénykibocsátás nem lesz hatással a cég
implicit csődvalószínűségeire?
Megoldás:
Végülis a vállalat számára érvényes 3 éves „par” kamatszint a kérdés. Ha
tudnánk a vállalat ígéreteire vonatkozó B1,B2,B3 diszkontfaktorokat,
akkor azokból ki lehetne számolni, vagy megoldjuk a
B1*k+B2*k+b3*(100+k)=100 egyenletet, ami egyébként pont oda vezet
mintha par kamatot számolnánk. Szerencsére a B1*, a B2* és a B3*,
vagyis a kockázatmentes diszkontfaktorok adottak. Mivel:
Mivel u(1) = 0,50%; u(2)=1%; u(3)=0,20%, ezért
h(1)=u(1)=0,50%
h(2)=u(1)+u(2)=0,50%+1%=1,50%
h(3)=u(1)+u(2)+u(3)=1,70%
B1 = B1* x (1-h(1))= 99%*(1-0,50%)=98,5050%
B2 = B2* x (1-h(2))= 97%*(1-1,50%)=95,5450%
B3 = B3* x (1-h(3))= 95%*(1-1,70%)=93,3850%
Innentől kezdve a par kamat képletével: par = (1-B3)/(B1+B2+B3) =
(1-93,3850%)/(98,5050%+95,5450%+93,3850%)= 2,3014% = kb 2,30%
13.15. Egy vállalat ma két svájci frankban denominált kötvényt bocsátott ki.
Az „Alfa” kötvény egy 1 éves elemi kötvény. A „Béta” kötvény egy 2 éves
végtörlesztéses kötvény, évente egyszeri, 3% névleges kamatozással. Az
„Alfa” kötvényt 100%-on, a „Béta” kötvényt 101%-on jegyezte le a piac,
miközben a kockázatmentes effektív hozamgörbe -1%-on vízszintes volt.
A feladat során a maradványérték végig nullának tekinthető.
a) Mekkora a vállalat implicit csődvalószínűsége az első, illetve a
második év során a Hull-White (1995) csődkockázati modell szerint a
függetlenségi feltétel teljesülése esetén?
b) Közvetlen a kötvénykibocsátás után az egyik versenytárs bepereli a
céget. Egy elemző szerint emiatt a vállalat második év során bekövetkező
csődjének valószínűsége duplájára nő, míg az első év csődvalószínűsége
változatlan marad. Mennyit veszített az a befektető, aki 1 millió frank
névértékben vásárolt a „Béta” kötvényből?
185
Megoldás:
a) B*(1Y) = 1/(1-1%)^1 = 101,01%
B*(2Y) = 1/(1-1%)^2 = 102,03%
Az „Alfa” kötvényból adódik:
B(1Y) = 100%
A „Béta” kötvényből a B(1Y) ismeretében adódik a B(2Y):
3*100%+103*B(2Y) = 101
B(2Y) = 95,15%
𝑃𝐷(𝑇) = ℎ(𝑇) =𝐵∗(𝑇) − 𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 −
𝐵(𝑇)
𝐵∗(𝑇)= 1 − 𝑒−[𝑦(𝑇)−𝑦∗(𝑇)]𝑇
h(1Y) = 1 – 100%/101,01% = 1%
h(2Y) = 1 – 95,15%/102,03% = 6,74%
u(1Y) = h(1Y) = 1%, ez az első év során való csődbemenés implicit
valószínűsége
u(2Y) = h(2Y)-h(1Y) = 5,74%, vagyis a 2. évben való implicit
csődbemenés esélye sokkal nagyobb.
b) Mivel az első évben minden változatlan, ezért B(1Y) = 100% marad.
A második év során a csőd valószínűsége duplájára nő, vagyis u(2_új) =
2 * u(2) = 11,48%
h(2_új) = 1%+11,48% = 12,48%
12,48% = 1- B(2_új) /102,03%
B(2_új)= 89,30%
A „Béta” kötvény új árfolyama: 3*100%+103*89,30% = 94,98%, vagyis
(94,98%-101%)*1 mio = -60200 CHF-et veszített a per bejelentésének
pillanatában a befektető
13.16. Egy bank USDHUF forward ügyletet kötött ügyfelével, melynek
értelmében ügyfele 5 millió dollárt ad el 1 év határidőre 280-as
árfolyamon. Az ügyfél egy éves hitelt 3%-os loghozamnak megfelelő
kamatfizetés mellett kapna, miközben az 1 éves kockázatmentes
loghozam dollárban és forintban is 1%. Az USDHUF azonnali árfolyama
280, volatilitása 10%.
c) Hány forint a bank szempontjából a forward ügyletben az ügyfél
partnerkockázatából fakadó várható hitelveszteség jelenértéke, ha teljesül
a Hull-White (1995) partnerkockázati modell függetlenségi feltétele?
d) Nőne, vagy csökkenne a várható hitelveszteség jelenértéke, ha az
USDHUF árfolyam emelkedne?
e) Magasabb, vagy alacsonyabb lenne a várható hitelveszteség
jelenértéke, ha nem 1 éves, hanem csak 6 hónapos határidős ügyletet
kötöttek volnak?
Megoldás:
a) A bank tehát long forward pozícióba kerül, ami képzeletben LC+SP
opciókra bontható. Az ügyfél csődje csak a bank LC pozícióját érinti. Ha
tudnánk, mennyit ér ez az opciós pozíció, akkor már csak rá kellene tenni
a Hull-White modell alapján a „minőségi” diszkontot.
Call opció BSM-táblával:
r_HUF= r_USD, ezért Q=P, ezért F=S
Oszlop: F/K = 280/280 =1
Sor: 0,1*1 = 0,1
BSM-táblérték = 4,00, ez a QS százalékában értendő, vagyis a call opció
fajlagos ára:
4%*exp(-1*1%)*280= 11,09 forint a névértékben szereplő dolláronként,
vagyis a teljes 5 milliós opció pozíció értéke: 5 mio *11,09 = 55,45 millió
forint
B*=exp(-1*1%)=99,0050%
B=exp(-1*3%)=97,0446%
Tehát a call opció nem 55,45 millió forintot ér, hanem csak
(97,0446%/99,0050%) * 55,45 millió = 54.352.033,43 forintot, ami
1.097.966,57 forinttal kevesebb, ez maga a partnerkockázatból származó
esetleges hitelveszteség várható értéke (jelenértéken).
b) Nőne. A bank akkor fut nagyobb partnerkockázatot, ha számára
nyereségesebbé válik az ügylet, vagyis, ha az USDHUF árfolyam
emelkedik.
c) Csökkenne, mert a call opció olcsóbb lenne. Ráadásul feltehető, hogy
rövidebb futamidőre biztos nincs távolabb egymástól a kockázatos és a
kockázatmentes hozamgöbre, és a futamidő rövidsége a B/B*-ot még
változatlan hozamok esetén is növeli.
13.17. Az „X” részvények árfolyama 207 dollár, a következő évben biztosan
nem fizet osztalékot. A Chicago Board Options Exchange (CBOE)
tőzsdén az 1 év futamidejű, 210 dollár kötési árfolyamú, call opciók ára
33 dollár. Egy alapkezelő 1000 darab „X” részvényre szóló, 1 év
futamidejű, short forward pozíciót vett fel, melynek kötési árfolyama 210
187
dollár. Partnere, az Alfa Bank, 97%-on képes 1 éves dollár
diszkontkötvényt kibocsátani, míg az 1 éves dollár kincstárjegyek
árfolyama 99%. Az Alfa Bank vállalja, hogy mindig legalább annyi
fedezetet tart az alapkezelőnél, amennyit a Hull-White modell az ügylet
potenciális csődveszteség jelenértékének becsül. Hány dollárt tartson az
alapkezelőnél a bank?
Megoldás:
Az alapkezelő szempontjából az ügylet SF = LP + SC opciókra bomlik,
ebből számára csak az LP, mint feltételes követelés jelenti a
partnerkockázatot, hiszen az SC az kötelezettség.
S=207
K=210
Call=33
Q=100%
P=99%
fwd=call-put
put=call-fwd=call-QS+PK=33-100%*207+99%*210= 33,90 dollár
Az Alfa Bank első éves implicit csődvalószínűsége: h(1)=(99%-
97%)/99%=2,02%, tehát a put opcióban vállalt ígéretének kb 2 százaléka
jelenti a csődkockázat jelenértékét.
A Hull-White modell alapján a csődkockázat jelenértéke
1000*33,90*2,02%= kb. 685 dollár.
13.18. Egy vállalat ma három kötvényt bocsátott ki. Az „A” kötvény egy 1
éves elemi kötvény. A „B” kötvény egy 2 éves végtörlesztéses kötvény,
évente egyszeri, 5% névleges kamatozással. A „C” kötvény
végtörlesztéses, futamideje 2 év, névleges kamatozása 0%, a második év
végén előre rögzített feltételek mellett a cég részvényeire váltható át. Az
„A” kötvényt 97%-on, a „B” és a „C” kötvényt 100%-on jegyezte le a
piac, miközben a kockázatmentes effektív hozamgörbe 2%-on vízszintes
volt.
a) Az első, vagy a második évben nagyobb a cég implicit
csődvalószínűsége a Hull-White (1995) csődkockázati modell szerint a
függetlenségi feltétel teljesülése esetén?
b) Mennyit ér a piacon az átváltási opció, ha a kockázatmentes effektív
hozamgörbe 2%-on?
Megoldás:
a) B(1Y) = 0,97;
5 x B(1Y)+105 x B(2Y) = 100, innen B(2Y)= 0,9062
Kockázatmentes diszkontfaktorok:
B*(1Y) = 1/1,02 = 0,9804
B*(2Y) = 1/(1,02)^2= 0,9612
h(1Y) = 1 - 0,97/0,9804 = 0,0106
h(2Y) = 1 – 0,9062/0,9612 = 0,05722
u(1Y) = h(1Y) = 0,0106, ez az első év során való csődbemenés implicit
valósznűsége
u(2Y) = h(2Y)-h(1Y) = 0,04662, vagyis a 2. évben való implicit
csődbemenés esélye sokkal nagyobb.
b) Ha nem lenne a „C” kötvényben átváltási opció, akkor csak egy 2 év
múlvai 100-as, ráadásul csődkockázatos ígéret lenne, aminek az értéke
B(2Y) x 100 = 90,62%, node a kötvényt 100%-on jegyezte le a piac, tehát
9,38%-ot ér az átváltási opció.
13.19. Egy vállalat néhány éve kibocsátott átváltható kötvénye pontosan 1 év
múlva jár le, piaci árfolyama 123%. A kötvény nem fizet kamatot,
lejáratkor vagy 1000 dollárt törleszt, vagy 40 darab részvényre váltható,
melyet ebben az esetben új részvények kibocsátásával teljesítenek. A
kockázatmentes 1 éves dollár hozam 0%-nak tekinthető. Annak az implicit
valószínűsége, hogy a cég a következő év során csődbe megy 1%. Mennyit
ér egy darab 25-ös kötési árfolyamú, 1 év futamidejű, a cég részvényáre
szóló warrant?
Megoldás:
Az átváltható kötvényben két fajta ígéret van: egyrészt 1000 dollárt ígér,
másrészt 40 darab K=25-ös kötési árfolyamú warrantot. Ezek együtt 1230
dollárt érnek.
A h(1)=1%-ból és a B*(1)=100% ismeretében adódik, hogy
h(1)=1-B(1)/B*(1)
1%=1-B(1)/100%
B(1)=99%
Tehát az 1000 dolláros ígéret értéke 990 dollár, a 40 darab warrant értéke
pedig 240, vagyis 1 warrant értéke 6 dollár.
189
14.Dual currency deposit, FX Ranger, Dual Currency Note,
FX-linked strukturált hitel és betét
14.1. Egy bank 100 ezer euró 6 havi befektetésre lejáratkor 1000 euró
kamatot fizet, feltéve, hogy a befektető elfogadja, hogy a bank döntése
alapján a teljes összeget esetleg lejáratkor forintban kapja vissza, 320-as
EURHUF árfolyamon átváltva. Az EURHUF azonnali árfolyam 303,50, a
volatilitása 10%, a 6 havi kockázatmentes effektív hozam euróban 0%,
forintban 2,50%.
a) Milyen opciós pozíciót vállal a befektető?
b) Hány forintot ér egy ilyen opció a névértékben szereplő eurónként?
c) Mennyit keres a bank egy ilyen ügyleten?
Megoldás:
a) Short Call pozíció az ügyfél számára. Short EUR call / HUF put,
K=320
b) BSM táblából kell kikeresni
oszlop (QS)/(PK) = (1*303,5)/((1/(1+2,50%)^0,5)*320)= kb 96%
sor = (0,5)^(0,5)*0,1=0,0707 = kb 0,07
BSM táblaérték = 1,2%, ez a QS százalékában van, vagyis a névértékben
szereplő eurónkénti opciós díj ennek a QS-szerese, vagyis 3,642 forint
eurónként
c) A bank ígér 101 ezer eurót, de elvesz az ügyféltől egy call opciót. A 101
ezer euró jelenértéke 101 ezer euró, mert 0% az euró kamat, az opció
értéke pedig 1,2%*101.000= 1212 euró.
Vagyis az ügyfél jelenértéken ad a banknak 100 ezer eurót és kap érte
101000-1212=99788 eurónyi jelenértéket. Tehát a bank keres 212 eurót.
14.2. Egy német bank 2 féle DCD (dual currency deposit) ügyletet ajánl
ügyfeleinek. Mindkét betét euróból indul ki és a 3 hónap futamidő
elteltével kiemelt kamatot fizet, cserébe az ügyfelek vállalják, hogy
amennyiben a bank szeretné, egy előre meghatározott árfolyamon dollárra
váltva adja vissza a betétet és a kamatot. Az egyik DCD esetén az átváltási
arány 1,1200 (tehát 1 euróért 1,12 dollárt ad), a másik esetén 1,1500. A
spot EURUSD árfolyam 1,1000, a 3 hónapos kockázatmentes euró hozam
0%. Az EUR call/USD put opció díja 3 hónap futamidőre 1,1200-ás kötési
árfolyam esetén 0,0200 (tehát az opció névértékében szereplő 1 eurónként
0,02 dollár az opciós prémium), míg 1,1500-ás kötési árfolyam esetén
0,0080. Legfeljebb mekkora effektív hozamot ajánlhat a bank az egyes
DCD-ken?
Megoldás:
K=1,1200 esetén: Például behoz az ügyfél 100 eurót, hogy befektetné a
DCD-be. A bank ekkor eladhat 100 euróra szóló 1,1200-ás EUR call/USD
put opciót, amiért kap 100*0,02=2 dollár opciós prémiumot. Ez
2/1,1000=1,82 eurót jelent. Tehát összesen 101,82 eurót kell 3 hónapig
0%-on befektetnie. Lejáratkor 101,82 eurója lesz, ami 3 hónapra vetítve
=(101,82/100)^4-1=7,48%
K=1,1500 esetén: Például behoz az ügyfél 100 eurót, hogy befektetné a
DCD-be. A bank ekkor eladhat 100 euróra szóló 1,1500-ás EUR call/USD
put opciót, amiért kap 100*0,0080=0,80 dollár opciós prémiumot. Ez
0,80/1,1000=0,73 eurót jelent. Tehát összesen 100,73 eurót kell 3 hónapig
0%-on befektetnie. Lejáratkor 100,73 eurója lesz, ami 3 hónapra vetítve
=(100,73/100)^4-1=2,95%
14.3. Egy bank kétféle Dual Currency Deposit (DCD) ügyletet ajánl az
ügyfeleinek. Mindkettő futamideje 6 hónap, mindkettő euró betétként
indul, a bank mindkettőnél lejáratkor dönthet úgy, hogy esetleg forintban
fizeti vissza. Az egyik esetén 5% (ACT/360) kiemelt kamatot fizet a DCD,
és a bank 320-as árfolyamon átváltva fizetheti vissza a betétet, a másik
esetben 3% (ACT/360) kiemelt kamatot fizet a DCD és a bank 330-as
árfolyamon átváltva fizetheti vissza a betétet. Milyen lejáratkori EURHUF
árfolyam esetén lesz éppen mindegy egy ügyfélnek, hogy melyik DCD-t
kötötte meg?
Megoldás:
320 alatt biztos jobban jár, ha a 320-as DCD-t kötötte, hiszen egyiket sem
hívják rá és a 320-as több kamatot fizet.
330 fölötti esetben mindenképp jobban jár, ha a 330-as DCD-t kötötte,
mert mindkettő forintot fizet vissza és a330-as többet:
(1+180/360*5%)*320= 328
(1+180/360*3%)*330= 334.95
A break even tehát valahol a (320;330) intervallumban van:
(1+180/360*5%)*320 / EURHUF_break_even = (1+180/360*3%)
EURHUF_break_even = (1+180/360*5%)*320 / (1+180/360*3%) =
323,15
14.4. Fél éve 1 millió dollár befektetéséről kellett döntenie. Kockázatmentes
bankbetéten 0,25% (p.a. ACT/360) kamatot tudott volna elérni, miközben
a jól csengő „Dual Currency Deposit” (DCD) fantázianevű termék 6%
191
(p.a. ACT/360) kamatot ígért, feltéve, hogy a bank dönthet úgy, hogy a
tőkét és a kamatot dollár helyett forintban fizeti vissza lejáratkor, 255-ös
USDHUF árfolyamon átváltva. Végül a DCD mellett döntött, melynek a
lejárata éppen ma van. Jelenleg a spot USDHUF árfolyam 260. Végül
jobban járt a DCD-vel, mintha szimpla bankbetétet használt volna?
Megoldás:
Igen, ez első ránézésre is látszik, hiszen a spot csak kb 2%-kal van a kötési
árfolyam felett, node fél évre 6% kamat az kb 3%-nak felel meg, vagyis kb
1%-nyi hozamot értünk el így dollárban is. Miközben, ha nem ezt a
befektetést választjuk, akkor 0,25%-ot kaptunk volna, ami fél évre kb
0,125%.
Szimpla dollár bankbetét esetén: 1.000.000 * (1 + 0,25%*180/360) =
1.001.250 dollárt kapnánk vissza, ami most 1.001.250 * 260 =
260.325.000 forintot érne.
DCD esetén tuti ránkhívja a bank az implicit call opcióját, ezért eleve
forintban kapjuk vissza a befektetést, összesen: 1.000.000*(1 +
6%*180/360)*255 = 262.650.000 forintot kapunk.
Ha dollárban érdekel a befektetésünk, akkor az így kapott forintot 260-on
kell visszaváltanunk és kijön, hogy 1.010.192,31 dollárt ér, amin szintén
látszik, hogy több, mint az 1.001.250 dollár. Tehát most jobban jártunk a
DCD-vel.
14.5.Egy bank egy új terméket szeretne ajánlani ügyfeleinek. A termék egy év
futamidejű és tőkegarantált, lejáratkor pedig vagy nem fizet kamatot, vagy
kiemelt prémium kamatot fizet. Akkor fizeti a prémium kamatot, ha az
egy év futamidő alatt az EURHUF árfolyam végig a (279;331)
intervallumon belül mozog. Az egy éves kockázatmentes effektív hozam
3%, a 279-331 kiütési szintekkel rendelkező Double-No-Touch bináris
opciót pedig a lejáratkori kifizetésének 20%-án kereskedik. Mennyi
kiemelt prémium kamatot ajánljon a bank, ha tervei alapján 1 milliárd
forintnyi ügyfélbefektetés megvalósítása esetén 10 millió forintot szeretne
keresni az ügyleten?
Megoldás:
Induljunk ki abból, hogy 1 milliárd ügyfélpénzből el kell rakni 10 millió
profitot. Akkor marad 990 millió. Ebből a fix ígérethez (tőkegaranciához)
félre kell tenni 1 mrd /(1+3%)^1 = 970.873.786 millió forintot. Tehát a
feltételes ígéretre 990 mio – 970.873.786=19.126.214 forintot költhetünk.
A szükséges DNT opciót a payout 20%-án jegyzik, tehát max
19.126.214/20%=95.631.070 payout-nyi DNT opció vásárolható.
Ha minden jól alakul, akkor 1 mrd +95.631.070 forintot tudunk
visszafizetni, ami 1 év alatt kb 9,56% kiemelt kamatnak felel meg. Ha a
DNT kiütődik, akkor meg csak az 1 mrd tőkét.
14.6.Egy bank FX Ranger terméket ajánl ügyfeleinek. A termék egy év
futamidejű és tőkegarantált, lejáratkor pedig vagy nem fizet kamatot, vagy
10% kiemelt prémium kamatot fizet. Akkor fizeti a prémium kamatot, ha
az egy év futamidő alatt az EURHUF árfolyam végig a (279;331)
intervallumon belül mozog. Az egy éves kockázatmentes effektív hozam
3%, a 279-331 kiütési szintekkel rendelkező Double-No-Touch bináris
opciót pedig a lejáratkori kifizetésének 20%-án kereskedik. Mennyit nyer
jelenértéken a bank, ha 1 milliárd forintnyi ügyfélbefektetést sikerül a
termékbe csábítania?
Megoldás:
Minek a visszafizetését ígéri a bank? 1 milliárdot biztosan és még 100
milliót feltételesen fizet 1 év múlva.
A fix ígéret ára: 1 mrd /(1+3%)^1 = 970.873.786 millió forint
A feltételes ígéretben foglaltak pedig 100 mio x 20% = 20 millió forintból
beszerezhető, hiszen pont egy 100 millió forintnyi kifizetésű DNT opció
kell a megfelelő barrierekkel és annak az árát épp a kifizetés %-ában
jegyzik.
A bank nyeresége tehát: 1000 mio – 970.873.786 – 20 mio = 9.126.214
forintot nyer.
14.7. Versenytársa „X” névvel strukturált 1 éves befektetést ajánl ügyfeleinek,
mely tőkegarantált és akár 7% kamatot is fizet. Akkor fizet 7% kamatot,
ha az EURHUF árfolyam a teljes futamidő alatt a (294;321)
intervallumban lesz, egyébként 0% kamatot fizet. Az 1 éves
diszkontkincstárjegy árfolyama 98%. Legfeljebb a lejáratkori feltételes
kifizetésének (payout) hány százalékába kerülhet egy olyan 1 éves
EURHUF Double-No-Touch (DNT) opció, melynek az alsó korlátja 294,
a felső korlátja 321?
193
Megoldás:
Mivel a versenytárs előjött egy ilyen FX Ranger termékkel, ezért
feltehetően ez neki nem veszteséges. Ha pont nincs profitja a
versenytársnak az ügyleten, akkor a lehető legértékesebb opciót adta, ami
még kijött a kamat jelenértékéből, tehát a banki profitmentes esetben a
DNT-re felső becslést kapunk és pont az is a kérdés.
A befolyó ügyfélpénzek 2%-a költhető el (kamat jelenértéke könnyen
látszik a DKJ árfolyamból) és ebből kell 7%-nyi lejáratkori payout-ot
megvenni, tehát 2/7= 28,57% lehet maximum a DNT árfolyama.
14.8. Egy japán bank 6 hónap futamidejű, Dual Currency Note (DCN)
fantázianevű speciális diszkontkötvény kibocsátását tervezi. A DCN
lejáratkor vagy 110000 jent törleszt, vagy 1000 dollárt, a bank döntése
alapján. A DCN-t a bank 107500 jenért kívánja értékesíteni. A
kockázatmentes JPY hozam 0%.
a) Mekkora lejáratkori USDJPY árfolyam esetén lesz utólag mindegy a
befektetőnek, hogy kockázatmentes befektetésbe, vagy DCN-be fektetett-
e?
b) Ha egy ügyfél DCN-t vásárol a banktól, akkor a delta-fedezés első
lépéseként a bank milyen irányba kössön spot USDJPY ügyletet?
c) Ha egy ügyfél DCN-t vásárol a banktól, akkor a bank USDJPY-re
vonatkozó vegája nő, vagy csökken?
Megoldás:
a) Ha kockázatmentesen fektet be ugyanennyi pénzt, akkor 107500 JPY-je
lesz.
Ha DCN-t vesz, akkor lehetséges, hogy 110000 JPY-je lesz, ha 110 fölött
lesz a lejáratkori USDJPY árfolyam, de nem ez az érdekes eset, nyilván
ekkor jobban jár a DCN-nel. A break even szempontjából az az érdekes,
ha 1000 dollárt kap vissza. Tehát a kérdés: mikor ér az 1000 dollár pont
107500 JPY-t? 107500/1000= 107,50-es árfolyam mellett.
b) A bank long USD put / JPY call opciós pozícióba kerül, vagyis a
bázisdeviza szempontjából ez egy long put, vagyis a pozíció deltája
negatív. Ezt fedezendő a banknak vennie kell spot USDJPY-t.
c) Bármekkora is volt korábban a bank USDJPY-re vonatkozó vegája,
biztosan nő, hiszen long opciós pozíciót kap.
14.9. Egy bank 4 éves strukturált kötvények kibocsátását tervezi. Egy
kötvény névértéke 1000 euró, minden év végén 20 euró kupont fizet,
lejáratkor pedig a 20 eurós kuponon túl, a bank döntése alapján, vagy 1000
eurót, vagy 330000 forintot törleszt. A kötvény a modellekben
csődkockázat-mentesnek tekinthető. A kockázatmentes euró
diszkontfaktorok egy-, két-, három- és négy évre rendre 100,40%,
100,60%, 100,75% és 100,80%. Az EURHUF spot árfolyam 307, a 4 éves
EURHUF forward árfolyam 320,10.
a) Mennyit ér egy ilyen kötvény, ha az EURHUF volatilitása 7%?
b) Mekkora az EURHUF implicit volatilitása, ha a kötvény kibocsátáskori
piaci ára 1005,85 euró?
Megoldás:
Fontos látni, hogy a befektető ad el beágyazott opciót a kibocsátónak,
mert, ha 330 fölé gyengül a forint, akkor nem adja vissza az 1000 eurót,
hanem csak 330000 forintot.
a) A befektetőnek tehát lesz (20;20;20;1020) cash fow-ja és egy 4 éves
330-as kötési árfolyamú, 1000 EUR névértékű EUR call / HUF put
opcióban short pozíciója. Ezek együttes értéke adja ki a kötvény jelenlegi
értékét.
BSM-tábla oszlopa: F/K = 320,10/330 = 0,97
BSM-tábla sora: szigam*gyök(T-t) = 0,07 * 2 = 0,14
BSM-táblaérték: „4,3”, ez a QS százalékában értendő, azaz
4,3%*100,80%*307 = 13,31 forintot ér a call a névértékben szereplő
eurónként, vagyis 1000 euró esetén 13.310,- forintot ér, ami 13.310/307
= 43,36 euró
Tehát a kötvény értéke: PV(20;20;20;1020) -43,36 =
=100,40%*20+100,60%*20+100,75%*20+100,80%*1020-43,36 =
1045,15 eurót ér
b) Azt láttuk, az a) kérdésben, hogy ha 7% lenne az EURHUF volatilitása,
akkor a kötvény 1045,15 eurót érne, most viszont csak 1005,85 eurót ér,
vagyis az opció értéke az alábbi egyenletből adódik:
100,40%*20+100,60%*20+100,75%*20+100,80%*1020-call =
1005,85
call = 82,66 euró
Milyen BSM-táblaérték mellett jöne ki ez az opciós ár?
82,66/1000/100,80%*100 = 8,2
Vagyis a 0,97-es oszlopban meg kell keresni, hogy melyik sornál van a
„8,2”. Ez a 0,24-es sor. Mivel az opció 4 éves, ezért a futamidő
négyzetgyöke 2, vagyis az implicit volatilitás: 12%.
195
14.10. Egy bank 1 éves FX-linked strukturált hitelt ajánl egyik vállalati
ügyfelének. A vállalat 1 millió euró hitelt vesz fel a futamidő elején, egy
év múlva pedig 1 millió eurót és egy speciálisan számított kamatot kell
visszafizetnie. A kamat annyi százalék, amennyivel az EURHUF árfolyam
320 felett van lejáratkor. (Például, ha lejáratkor az EURHUF árfolyam
319, akkor a vállalat csak az 1 millió eurót adja vissza, kamatot nem kell
fizetnie. Ha viszont lejáratkor az EURHUF árfolyam 329,60, akkor a
vállalat az 1 millió euró törlesztése mellett még 3% kamatot, vagyis
összesen 1,03 millió eurót fizet vissza.) Egyébként hagyományos 1 éves
hitelt 4% kamat mellett adna a bank a vállalatnak. Az EURHUF 1 éves
határidős árfolyama 316,80, volatilitása 12%. A kockázatmentes euró
hozamgörbe 0%-on vízszintesnek tekinthető. Mutassa meg, hogy a bank
jobban jár, ha a vállalat a strukturált hitelt választja a hagyományos
helyett!
Megoldás: Ha a vállalat belemegy a strukturált hitelbe, akkor ad egy opciót a
banknak, ez az opció 1 millió euró névértékű, 320-as kötési árfolyamú,
EUR call/HUF put. A kérdés, hogy ez 4%-nál többet, vagy kevesebbet ér.
BSM-tábla oszlopa: F/K=316,80/320=0,99
BSM-tábla sora: 1*0,12=0,12
BSM-táblaérték: 4,3, ami a QS százalékában értendő, node most eleve
euróban is érdekes, vagyis ez most 4,3%, amit az egyébként 4%-nyi
kamattal kell összehasonlítani. Tehát jobban jár a bank, hiszen a 4%
kamat, amiről lemond kevesebb, mint a 4,3%-ot érő opció, amit kap.
14.11. Egy bank egyik kiemelt ügyfele 5 millió euró hitelt szeretne felvenni 1
év futamidőre. A bank két ajánlatot készített. Az egyik lehetőség szerint a
bank év végén fix 3% kamatot kér. A másik szerint év végén a bank 1%+
annyi százalék kamatot kér, ahány százalékkal az EURHUF árfolyam egy
év múlva meghaladja a 330-as szintet. (Például, ha lejáratkor az EURHUF
árfolyam éppen 333,30, akkor 1%+1%=2% kamatot kell fizetni, de 330-
as, vagy az alatti EURHUF árfolyam esetén csak 1%+0%=1%-ot). Az
EURHUF egy éves határidős árfolyama 310,20, volatilitása 10%, az egy
éves kockázatmentes effektív hozam euróban 0%, forintban 3%. Vezesse
le, hogy melyik ajánlat elfogadása esetén jár jobban a bank!
Megoldás: Bárhogy is dönt a vállalat a bank hitelkockázati szempontból ugyanúgy
jár. Az az érdekes, hogy a változó kamatrész többet ér-e mint a 2%, hiszen
vagy 3% kamatot kap a bank, vagy 1%-ot és egy EUR call/HUF put opció
kifizetését. Az opció kötési árfolyama 330, névértéke pedig 5 millió euró.
Ha mondjuk 333,30 a lejáratkori árfolyam, akkor pont a névérték 1%-át
éri lejáratkor ez az opció.
BSM-táblázatból: oszlop: (QS)/(PK)=(QS/P)/K=F/K=310,20/330=0,94
sor: szigma*gyök(T-t)=0,10
táblaérték: 1,7, ami a QS százalékában értendő
Az egyszerűség kedvéért most az euró kamat 0%-nak van megadva, így
Q=1, vagyis 1,7%-ot ér az opció ma, ráadásul ennek az egy év múlvai
jövőértéke is pont ennyi.
Tehát a bank lejáratkor vagy fix 3% kamatot kap, vagy pedig 1%-ot és egy
opciót, amielynek a jelenértéke lejáratkori értékre átszámítva 1,7%-ot ér,
azaz jobban járna, ha az egyszerű fix 3%-os hitelt választaná a vállalat.
14.12. Egy vállalatnak 1 millió euró exportárbevétele érkezik 3 hónap múlva.
Bankja 2 terméket ajánl neki a devizakitettség csökkentésére. Az egyik
egy hagyományos forward ügylet, melynek a választása esetén a bank
315-ös árfolyamon megveszi 3 hónap múlva a vállalat 1 millió euróját. A
másik egy strukturált forward, melynek értelmében a bank 320-as
árfolyamon vagy 0,5 millió eurót, vagy 1 millió eurót vesz meg 3 hónap
múlva, a bank döntése alapján. A 3 hónapos forint diszkontfaktor 99,78%.
Legalább hány forintot ér a 320-as kötési árfolyamú, 3 hónap futamidejű
EUR call/HUF put opció, ha feltételezzük, hogy a bank profitja a
strukturált forward esetén legalább akkora, mint a hagyományos forward
esetén?
Megoldás: A strukturált forward esetén a bank döntheti el, hogy 0,5, vagy 1 millió
eurót vesz. Ebből 2 dolog látszik: egyrészt 0,5 milliót mindenképp
megvesz, másrészt van a banknak egy call opciója a másik 0,5 millióra.
A call opcióért cserébe a bank a mindenképp megvételre kerülő 0,5
milliónak javítja a határidős árfolyamát 5 forinttal! Tehát a bank kap 0,5
milliónyi call opciót, cserébe ad 0,5 milliónyi forward mellé még 5 forintot
eurónként lejáratkor. Mivel az opciós díj a futamidő elején van, az extra 5
forintot meg a végén adja, ezért 5*99,78% = kb 4,99 forintba kell kerüljön
a 320-as EUR call / HUF put opció legalább.
Feltehetően ennél többet ér ez az opció, hogy a bank többet keressen a
strukturált ügyleten, mint amennyit a szimpla forwardon keresne.