beatriz nuñez tarea 3 guia de estudio

1

Trigonometra

Profesora: Beatriz Nez Solis.

Departamento de matemticas.

Nivel: noveno grado.

2

ndice

Contenidos Pgina

Presentacin 3

Objetivos y contenidos... 3

Historia de la trigonometra.. 4

Medidas angulares.. 5

Lados de un triangulo rectngulo segn los ngulos 7

Razones trigonomtricas (Seno, coseno y tangente). 8

Aplicacin de las razones trigonomtricas en la solucin de ejercicios y

problemas.

11

Prctica general.. 18

Referencias bibliogrficas.. 20

3

Presentacin:

Estimado lector el presente material le puede ser til para el trabajo del tema de

trigonometra correspondiente al plan de estudios de noveno ao. En cada uno de los

subtemas encontrar un cuadro llamado Recordemos lo siguiente donde se anotan

algunos conocimientos previos que pueden ayudar en el desarrollo del tema, despus se le

presentan las definiciones y propiedades que debe conocer respecto a cada tema, ejemplo

d y ejercicios resueltos y finalmente cada seccin se termina con ejercicios de

profundizacin que le pueden servir para practicar y autoevaluar sus conocimientos. Se le

recomienda que lea atentamente lo que se le propone a lo largo del documento, reflexione

al respecto y finalmente intente hacer los ejercicios. Al final del documento se le

proporciona una prctica general de los temas estudiados que le pueden servir de repaso.

A continuacin se listan los objetivos y contenidos que desarrollaremos en este

documento.

Objetivos:

1. Conocer los aportes de la trigonometra a lo largo de la historia

2. Realizar conversiones en las medidas angulares de grados a radianes y viceversa

3. Identificar la apotema, y catetos opuestos y adyacentes, segn un ngulo dado, de un

triangulo rectngulo.

4. Aplicar las razones trigonomtricas bsicas (seno, coseno, tangente) en la solucin de

problemas

5. Aplicar las razones trigonomtricas bsicas (seno, coseno, tangente) en la solucin de

problemas

Contenidos:

1. Historia de la trigonometra.

2. Medidas angulares.

3. Lados de un triangulo rectngulo segn los ngulos.

4. Razones trigonomtricas (Seno, coseno y tangente)

5. Aplicacin de las razones trigonomtricas en la solucin de ejercicios y problemas.

4

Trigonometra:

Historia de la trigonometra:

La trigonometra es la rama de las matemticas que estudia

las relaciones entre los lados y los ngulos de tringulos.

Al igual que cualquier otra rama de la matemtica, no fue

el resultado de la labor de un solo hombre o de una sola

nacin. Los astrnomos babilnicos de los siglos V y IV

a.C. haban acumulado una cantidad de datos

astronmicos y astrolgicos que iban a permitir a los

matemticos griegos construir la trigonometra gradualmente.

Entre los usos que se le ha dado a la trigonometra a lo

largo de la historia est por ejemplo el clculo del tamao

de la Tierra y las distancias relativas al Sol y a la Luna,

trabajos en los cuales participaron pensadores como:

Eudoxo de Cnido (370 a.C.), Aristarco de Samos (280 a.C.),

Eratstenes de Cirene (240 a.C.), Hiparco de Nicea (140

a.C.), o a Ptolomeo de Alejandra (150 d.C.).

Hoy en da la trigonometra es utilizada como

herramienta a muchas reas de la humanidad como la

astronoma, la fsica, la qumica, la navegacin y casi

todas las ramas de la ingeniera.

5

Medidas angulares

Recordemos lo siguiente:

Un ngulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de

origen o vrtice. Veamos un ejemplo

A los ngulo le podemos dar nombre de tres formas diferentes

Hasta el momento determinamos la medida de estos en

grados, as por ejemplo, decimos que un ngulo es agudo si su

medida es mayor a 0 y menor a 90, por ejemplo si mide 76.

Sin embargo existen otras unidades de medidas para los

ngulos, los radianes.

El sistema de radianes:

El radin es una unidad de medida para el ngulo plano segn

el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ngulo central en

una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Su smbolo es rad.

Sabiendo que la longitud de la circunferencia es y por ende la

longitud de media circunferencia es , entonces por la definicin de

radian tenemos que, un ngulo que subtiende media circunferencia mide

.

De manera que considerando que un ngulo que subtiende media

circunferencia es llano y mide 180 podemos entonces obtener la

siguiente igualdad

Por tanto considere las siguientes relaciones

Dado que

Entonces

De donde

Dado que

Entonces

De donde

6

Considerando ambas igualdades, convirtamos de grados a radianes y viceversa, observe

los siguientes ejemplos:

De grados a radianes

Medida del ngulo

en grados

Conversin Medida del ngulo

en radianes

90

rad

220

rad

50

rad

De radianes a grados

Medida del ngulo

en radianes

Conversin Medida del ngulo en

grados

rad

360

rad

60

rad

30

Actividad: Convierta de grados a radianes o viceversa los ngulos que se le presentan a

continuacin segn sea el caso

a) 100 b) c)

d) rad e) f) 200

g)

rad h)

rad i)

rad

j)

rad k) 120 l)

rad

m) 55 n)

rad o) 430

7

Lados de un tringulo rectngulo segn los ngulos


Un tringulo es rectngulo cuando uno de sus ngulos internos es recto. Como lo

usamos en el teorema de Pitgoras al lado opuesto a dicho ngulo recto se le

llama hipotenusa y los otros dos lados catetos.

Veamos que sucede si nos posicionamos en uno de los ngulos agudos

Cateto opuesto y adyacente a un ngulo dado:

Para estudiar las razone trigonomtricas es necesario que

dado un tringulo rectngulo podamos reconocer la hipotenusa y

los catetos adyacente y opuesto a un ngulo agudo dado. Observe la

figura, en esta, el cateto opuesto al ngulo es el cateto que est

frente a l y el cateto adyacente al ngulo es el cateto contiguo a l.

Observe el siguiente ejemplo

1. ngulo recto:

2. Hipotenusa:

3. ngulo opuesto del :

4. ngulo adyacente del :



Actividad: Observe el tringulo que se le presenta a continuacin y determine los

elementos que se le solicitan

1. Hipotenusa:

2. ngulo opuesto del : _




8

Razones trigonomtricas

Para todo tringulo rectngulo se puede establecer una relacin entre las medidas

de dos lados mediante una razn, dependiendo del tipo de razn asignada

determinaremos el seno, el coseno o la tangente de un ngulo agudo, observe esas

relaciones en el siguiente cuadro.

Nombre de la razn

trigonomtrica

Razn establecida entre los lados

del tringulo rectngulo

Abreviatura

Seno

sen

Coseno

cos

Tangente

tan

Observe los siguientes ejemplos

Razones

c

a

9

Actividad: Determine las razones trigonomtricas para cada ngulo agudo

Tringulo rectngulo Razones trigonomtricas

n

m

x

B A

C

5 cm

4 cm

3 cm

R

P

Q

10

Problema:

No todas las personas pueden accesar a lugares pblicos y privados con total libertad,

pues hay quienes tienes condiciones fsicas limitadas, por ejemplo aquellas personas que deben

movilizarse en sillas de ruedas, con muletas, con bastones o andaderas, por eso es importante

que la sociedad tome conciencia y asuma la responsabilidad de crear los espacios necesarios

para que todos tengamos las mismas posibilidades.

Ante esa situacin la empresa M y N S.A. desea construir una rampa de acceso para

discapacitados, la rampa debe subir 1,5 metros del nivel del suelo y debe medir 2 metros, el

constructor necesita saber cul debe ser la medida del ngulo formado entre la horizontal y la

rampa. Qu puede hacer?

Intente resolverlo, pregntese:

Qu datos tiene?

Podr utilizar alguna frmula o propiedad estudiada para encontrar la medida del ngulo, y

as ayudar a las personas que necesitan la rampa?

1, 5 metros

11

Aplicacin de las razones trigonomtricas en la solucin de ejercicios y problemas


Hasta el momento, si conocemos dos de las medidas

de los lados de un tringulo rectngulo utilizamos el

teorema de Pitgoras para determinar la medida del

tercer lado, sin embargo Qu haramos si solo

tenemos un lado y un ngulo, y necesitamos

determinar otra medida? Ah el teorema de Pitgoras no podra ayudarnos pero si la trigonometra.

La trigonometra ha sido de gran utilidad a lo largo de la historia por lo fcil y

rpido que puede ser determinar la medida del lado de un tringulo rectngulo

conociendo solo la medida de un ngulo agudo y de un lado del tringulo. O tambin para

determinar la medida de un ngulo agudo conociendo dos de las medidas de los lados del

tringulo, para la solucin solo se debe analizar los datos conocidos o desconocidos

respecto a uno de los ngulos agudos. Observe los ejemplos.

Determine el valor de la x, segn los datos de la figura

1. Determinar los datos que conocemos y lo que debemos calcular

Medida del ngulo agudo

Medida del cateto adyacente

Qu debemos calcular? La medida del cateto opuesto

2. Relacionar los datos con la razn trigonomtrica adecuada

En este caso al tener cateto opuesto y adyacente utilizaremos la funcin

tangente

3. Formar la ecuacin

4. Resolver la ecuacin

Por tanto el valor de x es

x

20

8 cm

12


Medida del ngulo agudo

Medida del cateto adyacente

Qu debemos calcular? La hipotenusa


En este caso al tener cateto adyacente e hipotenusa utilizaremos la funcin

coseno





Medida de la hipotenusa

Medida del ngulo opuesto al ngulo x

Qu debemos calcular? La medida del ngulo x


En este caso al tener cateto opuesto e hipotenusa utilizaremos la funcin seno




12 cm

50

x

9 cm

8 cm

x

13

Actividad: Aplique las razones trigonomtricas para determinar el valor de las incgnitas

x,y,z en cada tringulo rectngulo dado.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

x

40

9 cm

x

16 cm

45

8 cm

x

9cm

x

40 cm

35

z

cm

cm

cm

14

Ahora utilicemos las razones trigonomtricas para la solucin de problemas

1. Un navegante observa la luz de un faro, y desea saber la distancia a la que se encuentra del

mismo, considerando los datos de la figura, determine la distancia del bote al faro.

Solucin

1. Datos:

Altura (cateto opuesto)

d (cateto adyacente)

ngulo

2. Formar la ecuacin:

3. Resolver la ecuacin:

4. R/ El bote se encuentra a una distancia de metros

2. Una persona observa con un ngulo de 54 lo alto de un edificio; si la persona mide 1,72

metros y est ubicada a 18 metros de la base del edificio Cul es la altura en metros del

edificio?

Solucin

1. Datos:

Distancia del seor al edificio (cateto adyacente)

h (cateto opuesto)

ngulo

altura del hombre



4. R/ La altura total del edificio es 26,5 metros

Altura total del edificio

15

3. El ancho de un rectngulo forma con la diagonal un ngulo de 55, si la medida del largo es 12

cm Cul es la medida del ancho?

Solucin

1. Datos:

Largo (cateto opuesto)

x (cateto adyacente)

ngulo



4. R/ la medida del ancho del rectngulo es 8,40 cm.

4. La medida de cada uno de los lados congruentes de un tringulo issceles es 14 cm. si la

medida del ngulo opuesto al lado desigual es 120 Cul es aproximadamente la altura

correspondiente a ese lado?

Solucin

1. Datos:

Lados congruentes (hipotenusa)

h (cateto adyacente)

ngulo



4. R/ La altura sobre el lado desigual es 7 cm

55

12cm

x

h

120 14 cm

14 cm 60

h

16

Actividad: Aplique las razones trigonomtricas para resolver cada uno de los siguientes

problemas

1. Una escalera de 10 metros se apoya en la pared de una casa; la base de la escalera

est a 3 metros de la casa. Cul es la medida del ngulo agudo que se forma entre

la escalera y la pared?

2. Utilice los datos de la figura para determinar la altura del rbol

3. En un tringulo issceles el lado desigual mide 10cm, y el ngulo opuesto a ese

lado 40, Cul es la medida de la altura del tringulo trazada sobre el lado

desigual?

17

4. Si se quiere construir una rampa de acceso para discapacitados de largo 2,5 metros

y que suba 1,5 metros del nivel del suelo. Cul debe ser la medida del ngulo

formado entre la horizontal y la rampa?

5. Segn los datos de la figura determine el valor de la x

6. El semipermetro de un rombo corresponde a 24 cm, si un ngulo interno tiene

medida 86, determine la medida de las diagonales

6 cm

---------------10 cm---------------

--

20

x

18

Prctica general

1. A continuacin se le proporciona un cuadro con medidas de diferentes ngulos en

radianes o en grados, realice la conversion de radianes a grados o viceversa, segn

corresponda en cada caso

Grados Radianes

120

240

rad

rad

rad

2. Determine las tres razones trigonomtricas estudiadas, para el siguiente tringulo

rectngulo


respecto al ngulo A


respecto al ngulo C

15 cm

16 cm

cm

B

C

A

19

3. En cada uno de los siguientes ejercicios determine el o los valores que se le solicitan,

utilice para ello los datos de cada una de las figuras.

a) Si determine la medida del lado

b) Determine la medida del ngulo x

4. Resuelva los siguientes problemas

a) El ancho de un rectngulo forma con la diagonal un ngulo de , si el largo del

rectngulo es 15 cm Cul es la medida del ancho?

b) Cul es la distancia del bote al faro?,

segn los datos de la figura

11 cm

Q

R

P

12

5

x

4 puntos

20

Referencias bibliogrficas

Clase Editorial S.A. (2014). A clases con matemtica 9. 1ed.- San Jos, C.R. : Clase tiles

Escolares.

Ministerio de Educacin Pblica (2012). Programas de estudio de matemticas 2012. San Jos.

Costa Rica.

Publicaciones Porras. (2014). Matemticas 9. 1 ed.- San Jos, C.R. : Editorial Compas ERV.

Turano, C. (s.f). Historia de la trigonometra. Algunos antecedentes sobre el campo y una

propuesta didctica para el nivel polimodal. Escuela de Humanidades, Licenciatura en

Enseanza de las Ciencias. Recuperado de

http://www.humanidadesdigital.unsam.edu.ar/experimental/material/art.Turano

ECEyM8.3.07.pdf

beatriz nuñez tarea 3 guia de estudio

Documents