bĐt chuyen de on hsg bdt - vo quoc ba can.pdf
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
1/450
TRNG THPT CHUYÊN LÝ T TRNG
TOÁN − TIN HC
Chuyên
BBTT NNGG TTHHCC
Th c hi n : Võ Quc Bá Cn
c sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006
TPCT − 2006
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
2/450
1
i nói u - - - - o O o - - - -
t ng thc là mt trong nhng vn hay và khó nht ca ch ng trình toán
ph thông b i nó có mt trên hu kh p các l nh vc ca toán hc và nó òi hi
chúng ta phi có mt vn kin thc t ng i vng vàng trên tt c các l nh vc.
i ng i chúng ta, c bit là các bn yêu toán, dù ít dù nhiu thì cng ã tng
au u tr c mt bt ng thc khó và cng ã tng có c mt cm giác t hào
khi mà mình chng minh c bt ng thc ó. Nhm “kích hot” nim say mê
t ng thc trong các bn, tôi xin gi i thiu v i v i các bn cun sách “chuyên
t ng thc”.
Sách gm các ph ng pháp chng minh bt ng thc m i mà hin nay cha c
ph bin cho lm. Ngoài ra, trong sách gm mt s l ng l n bt ng thc do tôi
sáng tác, còn li là do tôi ly toán trên internet nhng cha có l i gii hoc có
i gii nhng là l i gii hay, l, p mt. Phn l n các bài t p trong sách u do tôi
gii nên không th nào tránh khi nhng ng nhn, sai lm, mong các bn thông
m.Hy vng r ng cun sách s giúp cho các bn mt cái nhìn khác v bt ng thc và
mong r ng qua vic gii các bài toán trong sách s giúp các bn có th tìm ra
ph ng pháp ca riêng mình, nâng cao c t duy sáng to. Tôi không bit các
n ngh sao nhng theo quan m ca bn thân tôi thì nu ta hc tt v bt ng
thc thì cng có th hc tt các l nh vc khác ca toán hc vì nh ã nói trên bt
ng thc òi hi chúng ta phi có mt kin thc tng h p t ng i vng vàng.
Tôi không nói suông âu, chc hn bn cng bit n anh Phm Kim Hùng, sinh
viên h CNTN khoa toán, tr ng HKHTN, HQG Hà Ni, ng i ã c tham
hai k thi IMO và u t k t qu cao nht trong i tuyn VN. Bn bit
không? Trong th i hc ph thông, anh y ch chuyên tâm rèn luyn bt ng thc
thôi. (Các bn lu ý là tôi không khuyn khích bn làm nh tôi và anh y âu nhé!)
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
3/450
2
c dù ã c gng biên son mt cách tht cn thn, nhng do trình có hn nên
không th tránh khi nhng sai sót, mong các bn thông cm và góp ý cho tôi
cun sách ngày càng c hoàn thin h n. Chân thành cm n.
i óng góp xin gi v mt trong các a ch sau:
+ Võ Quc Bá Cn, C65 khu dân c Phú An, ph ng Phú Th, qun
Cái R ng, thành ph Cn Th .
( 071.916044
+ Email. [email protected]
Kính tng các thy ng Bo Hòa, Phan i Nh n, Tr n Diu Minh, Hunh Bu
Tính, cô T Thanh Thy Tiên và toàn th các thy cô giáo trong t Toán Tin, thân
ng các bn cùng l p.
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
4/450
3
T S BT NG TH C THÔNG DNG
1. Bt ng th c AM-GM.
u 1 2, ,..., na a a là các s th
c không âm thì
1 2
1
1. ...
n
nn
i
a a a an =
≥∑ng thc xy ra khi và ch khi 1 2 ... na a a= = = .2. Bt ng th c AM-HM. u 1 2, ,..., na a a là các s thc d ng thì
1
1
1 1.
1 1.
n
i ni
i
an
n a
=
=
≥∑∑
ng thc xy ra khi và ch khi 1 2 ... na a a= = = .3. Bt ng th c Bunhiacopxki.Cho 2n s thc 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó, ta có
2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ... )( ... ) ( ... )n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ≥ + + +
ng thc xy ra khi và ch khi 1 2
1 2
... .n
n
aa a
b b b= = =
4. Bt ng th c Minkowski.Cho 2n s thc d ng 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó v i mi 1,r ≥ ta có
1 1 1
1 1 1
( )n n nr r r
r r r i i i i
i i i
a b a b= = =
+ ≤ + ∑ ∑ ∑
5. Bt ng th c AM-GM m rng. u 1 2, ,..., na a a là các s thc không âm và 1 2, ,..., nβ β β là các s thc không âmcó tng bng 1 thì
1 2
1 1 2 2 1 2... .. n
n n na a a a a aββ ββ β β+ + + ≥
6. Bt ng th c Chebyshev.Cho 2n s thc 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó a) Nu
1 2
...n
b b b≤ ≤ ≤ thì
1 1 1
.n n n
i i i
i i i
n a b a b= = =
≥
∑ ∑ ∑ a) Nu 1 2 ... nb b b≥ ≥ ≥ thì
1 1 1
.n n n
i i i
i i i
n a b a b= = =
≤
∑ ∑ ∑
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
5/450
4
ng thc xy ra khi và ch khi 1 2
1 2
...
...
n
n
a a a
b b b
= = = = = =
7. Bt ng th c Holder.Cho 2n s thc không âm 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó v i mi , 1 p q > tha
1 1 1, p q+ = ta có
1 1
1 1 1
n n n p q p q
i i i i
i i i
a b a b= = =
≤
∑ ∑ ∑8. Bt ng th c Schur. i mi b ba s không âm , ,a b c và 0,r ≥ ta luôn có bt ng thc
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r r a a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ng thc xy ra khi và ch khi a b c= = hoc , 0a b c= = và các hoán v.
9. Bt ng th c Jensen.Gi s ( ) f x là mt hàm li trên [ , ]a b . Khi ó, v i mi 1 2, ,..., [ , ]n x x x a b∈ và
1 2, ,..., 0nα α α ≥ tha 1 2 ... 1nα α α+ + + = ta có bt ng thc
1 1
( )n n
i i i
i i
f x f xα α= =
≥
∑ ∑
10. Bt ng th c sp xp li.Cho 2 dãy n u cùng tng 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ và 1 2 ... nb b b≤ ≤ ≤ . Khi ó, v i
1 2, ,..., ni i i là mt hoán v bt kì ca 1,2,..., n ta có
1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 1... ... ...
n nn n i i i i i i n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b−+ + + ≥ + + + ≥ + + +
11. Bt ng th c Bernulli. i 1> − , ta có
+ u 1 0r r ≥ ∨ ≤ thì (1 ) 1r rx+ ≥ ++ u 1 0r > > thì (1 ) 1r x rx+ ≤ +
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
6/450
5
T NG TH C THUN NHT
1. M u.u ht các bt ng thc c n (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky,
Chebyshev ...) u là các bt ng thc thun nht. u này hoàn toàn không ngu
nhiên. V logíc, có th nói r ng, ch có các i l ng cùng bc m i có th so sánh
i nhau mt cách toàn cc c.
Chính vì th, bt ng thc thun nht chim mt t l r t cao trong các bài toán bt
ng thc, c bit là bt ng thc i s (khi các hàm s là hàm i s, có bc
u hn). i v i các hàm gii tích (m, l ng giác, logarith), các bt ng thc
ng c coi là thun nht vì các hàm s có bc ∞ (theo công thc Taylor).
Trong bài này, chúng ta s c p t i các ph ng pháp c bn chng minh bt
ng thc thun nht, cng nh cách chuyn t mt bt ng thc không thun nht
mt bt ng thc thun nht. Nm vng và vn dng nhun nhuyn các ph ng
pháp này, chúng ta có th chng minh c hu ht các bt ng thc s c p.
2. Bt ng th c thun nht.
Hàm s 1 2( , ,..., )n f x x x ca các bin s thc 1 2, ,..., n x x x c là hàm thun nht bc
α nu v i mi s thc t ta có
1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f tx tx tx t f x x xα=
t ng thc dng
1 2( , ,..., ) 0n f x x x ≥
i f là mt hàm thun nht c gi là bt ng thc thun nht (bc α ).
Ví d các bt ng thc AM-GM, bt ng thc Bunhiacopxki, bt ng thc
Chebyshev là các bt ng thc thun nht. Bt ng thc Bernoulli, bt ng thc
sin x x< v i 0> là các bt ng thc không thun nht.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
7/450
6
3. Ch ng minh bt ng th c thun nht.
3.1. Ph ng pháp dn bin.
c m ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du bng
y ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau (xut phát t bt ng thc c bn
2 0≥ !). Ph ng pháp dn bin da vào c m này làm gim s bin s ca
t ng thc, a bt ng thc v dng n gin h n có th chng minh tr c ti p
ng cách kho sát hàm mt bin hoc chng minh bng quy n p.
chng minh bt ng thc
1 2( , ,..., ) 0 (1)n f x x x ≥
Ta có th th chng minh
1 2 1 21 2( , ,..., ) , ,..., (2)2 2n n
x x x x f x x x f x+ + ≥
hoc
( )1 2 1 2 1 2( , ,..., ) , ,..., (3)n n f x x x f x x x x x≥
Sau ó chuyn vic chng minh (1) v vic chng minh bt ng thc
1 1 3 1 3( , , ,..., ) ( , ,..., ) 0 (4)n n f x x x x g x x x= ≥
c là mt bt ng thc có s bin ít h n. D nhiên, các bt ng thc (2), (3) có
th không úng hoc ch úng trong mt s u kin nào ó. Vì ta ch thay i 2
bin s nên thông th ng thì tính úng n ca bt ng thc này có th kim tra
c d dàng.
Ví d 1.
Cho , , 0a b c > . Chng minh bt ng thc
3 3 3 2 2 2 2 2 23a b c abc a b b c c a ab bc ca+ + + ≥ + + + + +
Ch ng minh.
Xét hàm s 3 3 3 2 2 2 2 2 2( , , ) 3 ( ) f a b c a b c abc a b b c c a ab bc ca= + + + − + + + + +
Ta có
25( , , ) , , ( )2 2 4
b c b c a f a b c f a b c b c
+ + − = + − −
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
8/450
7
Do ó, nu min{ , , }a a b c= (u này luôn có th gi s) thì ta có
( , , ) , ,2 2
b c b c f a b c f a
+ + ≥
Nh vy, chng minh bt ng thc u bài, ta ch cn chng minh
( , , ) 0 f a b b ≥
Nhng bt ng thc này t ng ng v i
3 3 2 2 2 2 3 2 3
3 2 2
2
2 3 ( ) 0
2 0
( ) 0
a b ab a b a b b a b b a b
a ab a b
a a b
+ + − + + + + + ≥
⇔ + − ≥
⇔ − ≥
Ví d 2. (Vietnam TST 1996)
Cho , ,a b c là các s thc bt k . Chng minh r ng
4 4 4 4 4 44( , , ) ( ) ( ) ( ) .( ) 07
F a b c a b b c c a a b c= + + + + + − + + ≥
i gi i .
Ta có
4 4 4 4 4 4
4 44 4
4 44 4 4 4
3 3 3 2 2 2
( , , ) , ,2 2
4( ) ( ) ( ) .( )7
42 ( ) . 2
2 7 2
4 ( )( ) ( ) 2 .
2 7 8
(4 4 ( ) ) 3 (2 2 (
b c b c F a b c F a
a b b c c a a b c
b c b ca b c a
b c b ca b c a a b c
a b c b c a b c b c
+ + − =
= + + + + + − + + −
+ + − + − + + +
+ + = + + + − + + − −
= + − + + + − +4
2 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 ( )) )
7 8
33 ( )( ) 3 ( ) ( ) (7 7 10 )
563
3 ( )( ) ( ) (7 7 10 )56
b cb c
a b c b c a b c b c b c bc
a a b c b c b c b c bc
++ + −
= + − + − + − + +
= + + − + − + +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
9/450
8
hng 2 2 23
( ) (7 7 10 )56
b c b c bc− + + luôn không âm. Nu , ,a b c cùng du thì bt
ng thc cn chng minh là hin nhiên. Nu , ,a b c không cùng du thì phi có ít
nht 1 trong ba s , ,a b c cùng du v i a b c+ + . Không mt tính tng quát, gi s
ó là a .
ng thc trên suy ra ( , , ) , ,2 2
b c b c F a b c F a
+ +≥
. Nh vy ta ch còn cn
chng minh
4 4 4 4
( , , ) 0 ,
42( ) (2 ) .( 2 ) 0 ,
7
F a b b a b
a b b a b a b
≥ ∀ ∈
⇔ + + − + ≥ ∀ ∈
R
R
u 0b = thì bt ng thc là hin nhiên. Nu 0b ≠ , chia hai v ca bt ng thc
cho 4b r i t a
xb
= thì ta c bt ng thc t ng ng
4 442( 1) 16 .( 2) 07
x x+ + − + ≥
t ng thc cui cùng có th chng minh nh sau
Xét 4 44
( ) 2( 1) 16 .( 2)7
f x x x= + + − +
Ta có
/ 3 3
/ 3
16( ) 8( 1) .
7
2( ) 0 1 . 2.9294
7( 2.9294) 0.4924 0min
f x x x
f x x x x
f f
= + −
= ⇔ + = ⇔ = −
= − = >
(Các phn tính toán cui c tính v i chính xác t i 4 ch s sau du phy. Do
min f tính c là 0.4924 nên nu tính c sai s tuyt i thì giá tr chính xác ca
min f vn là mt s d ng. Vì ây là mt bt ng thc r t cht nên không th tránh
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
10/450
9
c các tính toán v i s l trên ây. Chng hn nu thay4
7 bng
16
27 3min x = −
thì *min f có giá tr âm! ây* 4 44( ) 2( 1) 16 .( 2)
7 f x x x= + + − + .)
3.2. Ph ng pháp chun hóa.
ng th ng g p ca bt ng thc thun nht là
1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x g x x x≥
trong ó f và là hai hàm thun nht cùng bc.
Do tính cht ca hàm thun nht, ta có th chuyn vic chng minh bt ng thc
trên v vic chng minh bt ng thc 1 2( , ,..., )n f x x x A≥ v i mi 1 2, ,..., n x x tha
mãn u kin1 2
( , ,..., )n
x x x A
=. Chun hóa mt cách thích h p, ta có th làm n
gin các biu thc ca bt ng thc cn chng minh, tn dng c mt s tính
cht c bit ca các hng s.
Ví d 3. (Bt ng th c v trung bình ly th a)
Cho b n s thc d ng 1 2( ) ( , ,..., )n x x x x= . V i mi s thc r ta t
1
1 2 ...( )r r r r
nr
x x x M x
n
+ + +=
Chng minh r ng v i mi 0r s> > ta có ( ) ( ).r s M x M x≥
i gi i .
Vì ( ) ( )r r M tx tM x= v i mi 0t > nên ta ch cn chng minh bt ng thc úng
cho các s thc d ng 1 2, ,..., n x x tho mãn u kin ( ) 1 s M x = , tc là cn chng
minh ( ) 1r M x ≥ v i mi 1 2, ,..., n x x tho mãn u kin ( ) 1 s M x = . u này có th
vit n gin li là
Chng minh 1 2 ...r r r
n x x x n+ + + ≥ v i 1 2 ... s s s
n x x x n+ + + = .
chng minh bt ng thc cui cùng, ta áp dng bt ng thc Bernoulli
( ) (1 ( 1)) 1 .( 1) 1,r r
r s s s s si i i i
r x x x i n= = + − ≥ + − ∀ =
ng các bt ng thc trên li, ta c u phi chng minh.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
11/450
10
Ví d 4. (VMO 2002)
Chng minh r ng v i , , x y z là các s thc bt k ta có bt ng thc
32 2 2 2 2 2 26( )( ) 27 10( ) x y z x y z xyz x y z + + + + ≤ + + +
i gi i .
t ng thc này r t cng k nh. Nu thc hin phép bin i tr c ti p s r t khó
khn (ví d th bình ph ng kh cn). Ta thc hin phép chun hóa n gin
hóa bt ng thc ã cho. Nu 2 2 2 0 x y z + + = , thì 0 y z = = = , bt ng thc tr
thành ng thc. Nu 2 2 2 0 x y z + + > , do bt ng thc ã cho là thun nht, ta có
th gi s 2 2 2 9 x y z + + = . Ta cn chng minh 2( ) 10 x y z xyz + + ≤ + v i u kin
2 2 2 9 x y z + + = . chng minh u này, ta ch cn chng minh2[2( ) ] 100 x y z xyz + + − ≤
Không mt tính tng quát, có th gi s x y z ≤ ≤ . Áp dng bt ng thc
Bunhiacopxky, ta có
( ) 2 2
2 2 2
2 2
2 2 3 3
2
[2 ] [2( ) (2 )]
[( ) ][4 (2 ) ]
(9 2 )(8 4 )72 20 2
100 ( 2) (2 7)
x y z xyz x y z xy
x y z xy
xy xy x y
xy x y x y
xy xy
+ + − = + + −
≤ + + + −
= + − += − + +
= + + −
2 2 23 2 6, x y z z xy x y≤ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≤ + ≤ tc là 2( 2) (2 7) 0 xy xy+ − ≤ . T ây,
t h p v i ánh giá trên ây ta c u cn chng minh.
u bng xy ra khi và ch khi 2 2
2 0
x y z
y
xy
+ = − + =
.
ây gii ra c 1, 2, 2 y z = − = = .
thut chun hóa cho phép chúng ta bin mt bt ng thc phc t p thành mt
t ng thc có dng n gin h n. u này giúp ta có th áp dng các bin i
i s mt cách d dàng h n, thay vì phi làm vic v i các biu thc cng k nh ban
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
12/450
11
u. c bit, sau khi chun hóa xong, ta vn có th áp dng ph ng pháp dn bin
gii. Ta a ra l i gii th hai cho bài toán trên
t ( , , ) 2( ) f x y z x y z xyz = + + − .
Ta cn chng minh ( , , ) 10 f x y z ≤ v i 2 2 2 9 x y z + + =
.
Xét
( )2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
( ), , ( , , ) 2 2( )
2 2 2
2( )
22( )
z y z x y z f x f x y z y z y z
y z y z y z
+ + − − = + − − −
= − − + + +
+ Nu , , 0 x y z > , ta xét hai tr ng h p
* 1 x y z ≤ ≤ ≤ . Khi ó
2 2 22( ) 2 3( ) 1 6 3 1 10 x y z xyz x y z + + − ≤ + + − = − <
* 0 1 x< ≤ . Khi ó
2 2 22( ) 2 2 2( ) 2 2 2(9 ) ( ) x y z xyz x y z x x g x+ + − ≤ + + = + − =
Ta có ( )2
/
2
2 9 2( ) 0
9
x x g x
x
− −= >
−, suy ra ( ) (1) 10 g x g ≤ = .
+ Nu trong 3 s , , x y z có mt s âm, không mt tính tng quát, ta có th gi s là
0< . Khi ó2 2 2 2
, , ( , , )2 2
y z y z f x f x y z
+ + ≥
, nên ta ch cn chng minh
2 2 2 2
22
3 2
, , 102 2
(9 )2 2 2(9 ) 102
( ) 5 4 2(9 ) 20
y z y z f x
x x x x
h x x x x
+ + ≤
−⇔ + − − ≤
⇔ = − + − ≤
Ta có / 22
4 2( ) 3 5
9
xh x x= − −
−.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
13/450
12
Gii ph ng trình / ( ) 0h x = (v i 0 x < ), ta c 1 x = − . ây là m cc i ca
h , do ó ( ) ( 1) 20h x h≤ − = .
ng cách chun hóa, ta có th a mt bài toán bt ng thc v bài toán tìm giá
tr l n nht hay nh nht ca mt hàm s trên mt min (chng hn trên hình cu2 2 2 9 x y z + + = nh ví d 4). u này cho phép chúng ta vn dng c mt s
thut tìm giá tr l n nht, giá tr nh nht (ví d nh bt ng thc Jensen, hàm
i,...).
Ví d 5.
Cho , ,a b c là các s thc d ng. Chng minh r ng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
a b c b c a c a b
+ − + − + −
+ + ≥+ + + + + +
i gi i .
Ta ch cn chng minh bt ng thc cho các s d ng , ,a b c tho 1a b c+ + = .
Khi ó bt ng thc có th vit li thành
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 3
52 2 1 2 2 1 2 2 11 1 1 27
52 2 1 2 2 1 2 2 127
( ) ( ) ( ) (5.1)5
a b c
a a b b c c
a a b b c c
f a f b f c
− − −+ + ≥
− + − + − +
⇔ + + ≤− + − + − +⇔ + + ≤
Trong ó2
1( )
2 2 1 f x
x x=
− +
ý r ng27 1
35 3
f =
, ta thy (5.1) có dng bt ng thc Jensen. Tuy nhiên, tính
o hàm c p hai ca( )
f x , ta có
2//
2 3
4(6 6 1)( )
(2 2 1)
x x f x
x x
− +=
− +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
14/450
13
hàm ch li trên khong3 3 3 3
,6 6
− +
nên không th áp dng bt ng thc
Jensen mt cách tr c ti p. Ta chng minh27
( ) ( ) ( )5
f a f b f c+ + ≤ bng các nhn
xét b sung sau
12
2max f f
= =
( ) f x tng trên1
0,2
và gim trên1
,12
3 3 3 3 12
6 6 7 f f
− += =
u có ít nht 2 trong 3 s , ,a b c nm trong khong3 3 3 3
,6 6
− +
, chng hn là
a, b thì áp dng bt ng thc Jensen ta có
2
1 4( ) ( ) 2 2
2 2 1
a b c f a f b f f
c
+ − + ≤ = = +
Nh vy trong tr ng h p này, ta ch cn chng minh
2 21 4 27
52 2 1 1c c c+ ≤
− + +
Quy ng mu s và rút gn ta c bt ng thc t ng ng
4 3 2
2 2
27 27 18 7 1 0
(3 1) (3 1) 0 (ñuùng)
c c c c
c c c
− + − + ≥
⇔ − − + ≥
Nh vy, ta ch còn cn xét tr ng h p có ít nht hai s nm ngoài khong
3 3 3 3,6 6
− + . Nu chng hn
3 3
6a +
≥ thì rõ ràng3 3
, 6b c −
≤ và nh vy,
do nhn xét trên36 27
( ) ( ) ( )7 5
f a f b f c+ + ≤ < .
Ta ch còn duy nht mt tr ng h p cn xét là có hai s, chng hn3 3
,6
a b −
≤ .
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
15/450
14
Lúc này, do3
13
a b+ ≤ − nên3 1
3 2c ≥ > .
Theo các nhn xét trên, ta có
3 3 3 24 15 6 3 27( ) ( ) ( ) 2 .6 3 7 13 5 f a f b f c f f
− ++ + ≤ + = +
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
16/450
15
Chun hóa là mt k thut c bn. Tuy nhiên, k thut ó cng òi hi nhng kinh
nghim và tinh t nht nh. Trong ví d trên, ti sao ta li chun hóa
2 2 2 9 x y z + + = mà không phi là 2 2 2 1 x y z + + = (t nhiên h n)? Và ta có t
c nhng hiu qu mong mun không nu nh chun hóa 1 x y z + + =
? ó là
nhng vn mà chúng ta phi suy ngh tr c khi thc hin b c chun hóa.
3.3. Ph ng pháp trng s.
t ng thc AM-GM và bt ng thc Bunhiacopxki là nhng bt ng thc
thun nht. Vì th, chúng r t hu hiu trong vic chng minh các bt ng thc
thun nht. Tuy nhiên, do u kin xy ra du bng ca các bt ng thc này r t
nghiêm ngt nên vic áp dng mt cách tr c ti p và máy móc ôi khi khó em li
t qu. áp dng tt các bt ng thc này, chúng ta phi nghiên cu k ukin xy ra du bng và áp dng ph ng pháp tr ng s.
Ví d 6.
Chng minh r ng nu , , x y z là các s thc không âm thì
32 2 2 2 2 2 26( )( ) 27 10( ) x y z x y z xyz x y z − + + + + + ≤ + +
i gi i .
dng nguyên lý c bn«
u bng xy ra khi mt c p bin s nào ó bng nhau»
,ta có th tìm ta c du bng ca bt ng thc trên xy ra khi 2 z x= = . u
này cho phép chúng ta mnh dn ánh giá nh sau
32 2 2 2 2 22
12 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2 2 2
10( ) 6( )( )
( ) 10( ) 6( )
10( ) .( ) (1 2 2 ) 6( )3
10( ) .( 2 2 ) 6( )
3
( )(28 2 2 )(6
3
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
+ + − − + + + + =
= + + + + − − + +
= + + + + + + − − + + ≥ + + + + − − + +
+ + + += .1)
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
17/450
16
Áp dng bt ng thc AM-GM, ta có
4 42 2 2 2 2 8 82 2 2 2 2 99
8
7 8 79 9
4 4 9 94 4 4 4 4
28 2 2 7.4 2 2 9 (4 ) (2 )(2 ) 9 4
y z y z x y z x y z x x
x y z x y z x y z x yz
+ + = + + ≥ =
+ + = + + ≥ = Nhân hai bt ng thc trên v theo v, ta c
2 8 82 2 2 8 799
8( )(28 2 2 ) 9 .9 4 81 (6.2)4
x y z x y z x y z x yz xyz + + + + ≥ =
(6.1) và (6.2) ta suy ra bt ng thc cn chng minh.
Trong ví d trên, chúng ta ã s dng c bt ng thc Bunhiacopxki và bt ng
thc AM-GM có tr ng s. L i gii r t hiu qu và n t ng. Tuy nhiên, s thành
công ca l i gii trên nm hai dòng ngn ngi u. Không có c « oán»
ó, khó có th thu c k t qu mong mun. D i ây ta s xét mt ví d v vic
chn các tr ng s thích h p bng ph ng pháp h s bt nh các u kin xy
ra du bng c tho mãn.
Ví d 7.
Chng minh r ng nu 0 x y≤ ≤ thì ta có bt ng thc
1 1
2 2 2 2 22 213 ( ) 9 ( ) 16 x y x x y x y− + + ≤ i gi i .
Ta s áp dng bt ng thc AM-GM cho các tích v trái. Tuy nhiên, nu áp dng
t cách tr c ti p thì ta c
2 2 2 2 2 22 213( ) 9( ) 9 11 (7.1)
2 2
x y x x y xVT x y
+ − + +≤ + = +
ây không phi là u mà ta cn (T ây ch có th suy ra 220VT y≤ ). S d ta
không thu c ánh giá cn thit là vì du bng không th ng th i xy ra hai
n áp dng bt ng thc AM-GM. u chnh, ta a vào các h s d ng ,a b
nh sau
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
18/450
17
1 12 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2
13( )( ) 9( )( )
13( ) 9( )(7.2)
2 2
ax y x by y xVT
a b
a x y x b x y x
a b
− += +
+ − + +≤ +
ánh giá trên úng v i mi , 0a b > (chng hn v i 1a b= = ta c (7.1)) và ta s
phi chn ,a b sao cho
a) V phi không ph thuc vào x
b) Du bng có th ng th i xy ra hai bt ng thc
Yêu cu này t ng ng v i h
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
13( 1) 9( 1)0
2 2, :
a b
a ba x y x
x yb x y x
− ++ =
= −∃ = +
c là có h
2 2
2 2
13( 1) 9( 1)0
2 2
1 1
a b
a b
a b
− ++ =
+ = −
.
Gii h ra, ta c
1
23
2
a
b
= =
. Thay hai giá tr này vào (7.2) ta c
2 22 2 2 2 2913 3 16
4 4
x xVT y x y x y
≤ + − + + + =
Ghi chú.
Trong ví d trên, thc cht ta ã c nh y và tìm giá tr l n nht ca v trái khi x
thay i trong n [0, ] y .4. Bt ng th c thun nht i x ng.
Khi g p các bt ng thc dng a thc thun nht i xng, ngoài các ph ng
pháp trên, ta còn có th s dng ph ng pháp khai trin tr c ti p và dng nh lý v
nhóm các s hng. Ph ng pháp này cng k nh, không tht p nhng ôi lúc t ra
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
19/450
18
khá hiu qu. Khi s dng bng ph ng pháp này, chúng ta th ng dùng các ký
hiu quy c sau n gin hóa cách vit
1 2 (1) ( 2) ( )( , ,..., ) ( , ,..., )n n sym
Q x x x Q x x xσ σ σσ
=∑ ∑
trong ó, σ chy qua tt c các hoán v ca {1,2,..., }n .
Ví d v i 3n = và ba bin s , , x y z thì
3 3 3 32 2 2 sym
x x y z = + +∑2 2 2 2 2 2 2
6
sym
sym
x y x y y z z x x z z y y x
xyz xyz
= + + + + +
=
∑
∑
i v i các biu thc không hoàn toàn i xng, ta có th s dng ký hiu hoán v
vòng quanh nh sau
2 2 2 2
cyc
x y x y y z z x= + +∑
Ph ng pháp này c xây dng da trên tính so sánh c ca mt s tng i
ng cùng bc - nh lý v nhóm các s hng (h qu ca bt ng thc Karamata)
mà chúng ta s phát biu và chng minh d i ây. Trong tr ng h p 3 bin, ta còn
có ng thc Schur.
u 1 2( , ,..., )n s s s= và 1 2( , ,..., )nt t t t = là hai dãy s không tng. Ta nói r ng là
tr i ca t nu1 2 1 2
1 2 1 2
... ...
... ... 1,
n n
i i
s s s t t t
s s t t t i n
+ + + = + + +
+ + + ≥ + + + ∀ =.
nh lý Muirhead. («Nhóm»)
u s và t là các dãy s thc không âm sao cho là tr i ca t thì
1 2 1 21 2 1 2... ...n n s t s s t t n n
sym sym
x x x x x≥∑ ∑Ch ng minh.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
20/450
19
u tiên ta chng minh r ng nu là tr i ca t thì tn ti các hng s không âm
k σ , v i σ chy qua t p h p tt c các hoán v ca {1,2,..., }n , có tng bng 1 sao
cho
(1) (2) ( ) 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )
n nk s s s t t t
σ σ σ σσ =∑Sau ó, áp dng bt ng thc AM-GM nh sau
(1) (2) ( ) ( (1)) ( (2 )) ( ( )) (1) (2) ( )1 2 1 2 1 2
,
... ... ...n n n s s s s s s t t t
n n n x x x k x x x x x xσ σ σ σ τ σ τ σ τ σ σ σ
τσ σ τ σ
= ≥∑ ∑ ∑
Ví d, v i (5,2,1) s = và (3,3,2)t = , ta có
3 3 1 1(3,3,2) .(5,2,1) . .(2,1,5) .(1,2,5)
8 8 8 8= + + +
Và ta có ánh giá5 2 2 5 2 5 2 53 3 23 3
8
x y z x y z x yz xy z x y z
+ + +≥
ng bt ng thc trên và các bt ng thc t ng t, ta thu c bt ng thc
5 2 3 3 2
sym sym
x y z x y z ≥∑ ∑
Ví d 8.
Chng minh r ng v i mi s thc d ng , ,a b c ta có
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc+ + ≤
+ + + + + +
i gi i .
Quy ng mu s và nhân hai v cho 2, ta có
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
7 4 4 5 2 2 3 3 3
3 3 3 6 3 4 4 5 2 2 7
6 3 5 2 2
( )( )
2( )( )( )
( 3 4 )
( 2 3 2 )
(2 2 ) 0
sym
sym
sym
sym
a b abc b c abc abc
a b abc b c abc c a abc
a bc a b c a b c a b c
a b c a b a b c b c a bc
a b a b c
+ + + + ≤
≤ + + + + + +
⇔ + + + ≤
≤ + + + +
⇔ − ≥
∑
∑∑
∑
t ng thc này úng theo nh lý nhóm.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
21/450
20
Trong ví d trên, chúng ta ã g p may vì sau khi thc hin các phép bin i i s,
ta thu c mt bt ng thc t ng i n gin, có th áp dng tr c ti p nh lý
nhóm. Tuy nhiên, không phi tr ng h p nào nh lý này cng gii quyt vn
. Trong tr ng h p 3 bin s, ta có mt k t qu r t p khác là nh lý Schur.
nh lý. (Schur)
Cho , , x y z là các s thc không âm. Khi ó v i mi 0r >
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r r x x y x z y y z y x z z x z y− − + − − + − − ≥
u bng xy ra khi và ch khi x y z = = hay khi hai trong ba s , , y z bng nhau
còn s th ba bng 0.
Ch ng minh.
Vì bt ng thc hoàn toàn i xng i v i ba bin s, không mt tính tng quát,ta có th gi s x y z ≥ ≥ . Khi ó bt ng thc có th vit li d i dng
( )( ( ) ( )) ( )( ) 0r r r x y x x z y y z z x z y z − − − − + − − ≥
và mi mt tha s v trái u hin nhiên không âm.
Tr ng h p hay c s dng nht ca bt ng thc Schur là khi 1r = . Bt ng
thc này có th vit li d i dng
2 2( 2 ) 0 sym
x x y xyz
− + ≥∑ây chính là bt ng thc ví d 1.
Ví d 9.
Cho , ,a b c là các s d ng. Chng minh r ng
2 2 2
1 1 1 9( )
4( ) ( ) ( )ab bc ca
a b b c c a
+ + + + ≥ + + +
i gi i .
Quy ng mu s, khai trin và rút gn, ta c
5 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2(4 3 2 ) 0 (9.1) sym
a b a b a b a bc a b c a b c− − + − + ≥∑
Dùng bt ng thc Schur
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x y x z y y z y x z z x z y− − + − − + − − ≥
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
22/450
21
Nhân hai v v i 2 xyz r i cng li, ta c
4 3 2 2 2 2( 2 ) 0 (9.2) sym
a bc a b c a b c− + ≥∑
Ngoài ra, áp dng nh lý nhóm (hay nói cách khác − bt ng thc AM-GM có
tr ng s) ta có
5 4 2 3 3(4 3 ) 0 (9.3) sym
a b a b a b− − ≥∑
(9.2), (9.3) suy ra (9.1) và ó chính là u phi chng minh.
Nói n bt ng thc thun nht i xng, không th không nói n các hàm s
i xng c bn. ó là các biu thc 1 2 1 21 1
, ,..., ...n
i j n n
i i j n
S x S x x S x x x= ≤ < ≤
= = =∑ ∑ .
i các bt ng thc liên quan n các hàm i xng này, có mt th thut r t hu
hiu c gi là «th thut gim bin s bng nh lý Rolle». Chúng ta trình bày ý
ng ca th thut này thông qua ví d sau
Ví d 10.
Cho , , ,a b c d là các s thc d ng. Chng minh r ng
1 1
2 3
6 4
ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd + + + + + + + +≥
i gi i .
t 2 3,S ab ac ad bc bd cd S abc abd acd bcd = + + + + + = + + + . Xét a thc
4 3 22 3( ) ( )( )( )( ) ( ) P x x a x b x c x d x a b c d x S x S x abcd = − − − − = − + + + + − +
( ) P x có 4 nghim thc , , ,a b c d (nu có các nghim trùng nhau thì ó là nghim
i). Theo nh lý Rolle, / ( ) P x cng có 3 nghim (u d ng) , ,u v w . Do / ( ) P x
có h s cao nht bng 4 nên/ 3 2( ) 4( )( )( ) 4 4( ) 4( ) 4 P x x u x v x w x u v w x uv vw wu x uvw= − − − = − + + + + + −
t khác
/ 3 22 3( ) 4 3( ) P x x a b c d x S x S = − + + + + −
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
23/450
22
suy ra 2 32( ), 4S uv vw wu S uvw= + + = và bt ng thc cn chng minh u bài
có th vit li theo ngôn ng , ,u v w là
11
23( )
3
uv vw wuuvw
+ + ≥
t ng thc này hin nhiên úng theo bt ng thc AM-GM.
5. Thun nht hóa bt ng th c không thun nht.
Trong các phn trên, chúng ta ã trình bày các ph ng pháp c bn chng minh
t bt ng thc thun nht. ó không phi là tt c các ph ng pháp (và d nhiên
không bao gi có th tìm c tt c!), tuy vy có th giúp chúng ta nh h ng tt
khi g p các bt ng thc thun nht. Nhng nu g p bt ng thc không thun
nht thì sao nh? Có th bng cách nào ó a các bt ng thc không thun
nht v các bt ng thc thun nht và áp dng các ph ng pháp nói trên c
không? Câu tr l i là có. Trong hu ht các tr ng h p, các bt ng thc không
thun nht có th a v bt ng thc thun nht bng mt quá trình mà ta gi là
thun nht hóa. Chúng ta không th “chng minh” mt “nh lý” c phát biu
kiu nh th, nhng có hai lý do tin vào nó: th nht, thc ra ch có các i
ng cùng bc m i có th so sánh c, còn các i l ng khác bc ch so sánh
c trong các ràng buc nào ó. Th hai, nhiu bt ng thc không thun nht ã
c “to ra” bng cách chun hóa hoc thay các bin s bng các hng s. Ch cn
chúng ta i ng c li quá trình trên là s tìm c nguyên dng ban u.
t ví d r t n gin cho lý lun nêu trên là t bt ng thc thun nht
3 3 3 2 2 2 y z x y y z z x+ + ≥ + + , bng cách cho 1= , ta c bt ng thc không
thun nht
3 3 2 2
1 y x y y x+ + ≥ + +Ví d 11. (England 1999)
Cho , , p q r là các s thc d ng tho u kin 1 p q r + + = . Chng minh
7( ) 2 9 p q r pqr + + ≤ +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
24/450
23
Ví d 12. (IMO 2000)
Cho , ,a b c là các s thc d ng tho mãn u kin 1abc = . Chng minh
1 1 11 1 1 1a b c
b c a
− + − + − + ≤
ng d n.
t , , x y z
a b c y z x
= = = !
Ví d 13. (IMO, 1983)
Chng minh r ng nu , ,a b c là ba cnh ca mt tam giác thì
2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ ng d n.
t , ,a y z b z x c x y= + = + = + !
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
25/450
24
Bài tp
Bài 1.
Cho , , 0 x y z > . Chng minh r ng3 3 3 3 3 3 2 2 2
3 3 3 3 3 3 2 2 2
y z x z y x y z yz zx xy
yz zx xy y z x z y x x y z + + + + + ≥ + + + + +
Bài 2.
Chng minh bt ng thc sau v i mi s thc d ng , , x y z
9 2
4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x y z
x y z x y x z y z y x z x z y x y z ≥ + + ≥
+ + + + + + + + + +
Bài 3.
Cho , , y z là các s thc d ng tho mãn u kin 2 4 7 2 x y z xyz + + = . Tìm giá
tr nh nht ca biu thc
P x y z = + +
Bài 4.
Cho , ,a b c là các s thc d ng tho 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Chng minh r ng
3a b c+ + ≤Bài 5. (IMO 1984)
Cho , , x y z là các s thc không âm tho mãn u kin 1 y z + + = . Chng minh
ng
70 2
27 xy yz zx xyz ≤ + + − ≤
Bài 6. (Iran, 1996)
Cho , , 0a b c > . Chng minh r ng
2 2 2
1 1 1 9( )
4( ) ( ) ( )ab bc ca
a b b c c a
+ + + + ≥ + + +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
26/450
25
Bài 7. (VMO 1996)
Cho , , ,a b c d là các s thc không âm tho mãn u kin
2( ) 16ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd + + + + + + + + + =
Chng minh r ng
3( ) 2( )a b c d ab ac ad bc bd cd + + + ≥ + + + + +
Bài 8. (Poland 1996)
Cho , ,a b c là các s thc tho mãn u kin 1a b c+ + = . Chng minh r ng
2 2 2
9
101 1 1
a b c
a b c+ + ≤
+ + +
Bài 9. (Poland 1991)
Cho , , x y z là các s thc tho mãn u kin2 2 2
2 x y z + + = . Chng minh r ng2 x y z xyz + + ≤ +
Bài 10. (IMO 2001)
Cho , , 0a b c > . Chng minh r ng
2 2 21
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab+ + ≥
+ + +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
27/450
26
PH NG PHÁP DN BIN
I. M u.
c m chung ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du
ng xy ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau. Có mt ph ng pháp ánh
giá trung gian cho phép ta gim bin s ca bt ng thc cn chng minh. Ph ng
pháp dn bin da vào c m này làm gim s bin s ca bt ng thc, a
t ng thc v dng n gin h n có th chng minh tr c ti p bng cách kho sát
hàm mt bin. chng minh bt ng thc dng 1 2( , ,..., ) 0,n f x x x ≥ ta chng minh
1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x f t t x≥
Trong ó t là l ng trung bình ca 1 2, ,... x x chng hn nh trung bình nhân hoc
trung bình cng. Nu c nh vy thì ti p tc sang b c th hai ca phép chng
minh là ch ra r ng
( , , ..., ) 0n f t t x ≥
t nhiên, bt ng thc này ã gim s bin s i mt và th ng là d chng minh
n bt ng thc ban u. Vic la chn l ng trung bình nào dn bin tùy
thuc vào c thù ca bài toán, và ôi khi l ng t khá c bit.
Th ng thì, b c th nht trong 2 b c chính trên là khó h n c vì thc cht ta
n phi làm vic v i các c l ng có ít nht là ba bin s. Sau ây là mt vài
ng dn bin th ng g p.
II. Ph ng pháp dn bin trong i s.
1. Dn bin ba bin s.
ây là phn n gin nht ca ph ng pháp dn bin. Và ng c li cng có th nói
ph ng pháp dn bin hiu qu nht trong tr ng h p này.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
28/450
27
Ví d 1.1.
Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Chng minh r ng
2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + ≥ + +
i gi
i .
t 2 2 2 2 2 2( , , ) f a b c a b c a b b c c a= + + − − −
Gi s min{ , , }a a b c= thì d thy 2 21, 2 2a b c b c≤ + ≥ ⇒ + ≥
Xét hiu
2 2 2 2 22
2 2
2
( ) 1( , , ) , , ( )
2 2 4 2( )
2 1( ) 04 2 2
b c b c b c f a b c f a b c
b c b c
b c
+ + + − = − − + + +
≥ − − ≥ + Do ó
2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2
2 22 2 2
22
2
2
( , , ) , ,2 2
( )2( ) ( )
4
(3 )
2(3 ) (3 ) 4
3( 1) 3( 1)
4 2(3 ) 3
3 3( 1) 0
4 4
( , , ) 0
b c b c f a b c f a
b ca b c a b c
a
a a a a
aa
a a
a
f a b c
+ + ≥
+= + + − + −
−
= + − − − − + = − − − + − ≥ − − =
⇒ ≥
ng thc xy ra khi và ch khi 1.a b c= = =
Ví d 1.2.
Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 3a b c+ + = . Chng minh r ng
2 2 2( , , ) ( 1)( 1)( 1) 27 f a b c a a b b c c= + + + + + + ≤
i gi i .
Gi s , 1, 2.a b c a b c≤ ⇒ ≤ + ≥ Xét hiu
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
29/450
28
2 2 2
( , , ) , ,2 2
( 1)( ) (4 ( ) ( ) 4 )0
16
b c b c f a b c f a
a a b c b c b c bc
+ + − =
+ + − − + − + −= ≤
222
2 2
( , , ) , ,2 2
( 1) 12 2
( 1) ( ( 1)( 12 48) 37 71)27
1627
( , , ) 27
b c b c f a b c f a
b c b ca a
a a a a a a
f a b c
+ + ⇒ ≤
+ + = + + + + − − − + − −
= +
≤
⇒ ≤ng thc xy ra khi và ch khi 1.a b c= = =
Ví d 1.3.
Cho , ,a b c ∈ R . Chng minh r ng
2 2 2( , , ) 0 f a b c a b c ab bc ca= + + − − − ≥
i gi i .
Xét hiu
2
2 22
3( , , ) , , .( ) 0
2 2 4
( , , ) , , ( ) 02 2 2 2
( , , ) 0
b c b c f a b c f a b c
b c b c b c b c f a b c f a a a b c a
f a b c
+ + − = − ≥
+ + + + ⇒ ≥ = − + + = − ≥
⇒ ≥
Nhn xét.
Chc ai cng cm thy ây là mt bt ng thc quá d, quá c bn và tôi ngh chc
ng có ng i không hiu ni ti sao tôi li a ví d này vào. Nhng hãy chú ý
ng nhng cái hay trong nhng bài toán n gin không phi là không có và bây
gi tôi s trình bày ý t ng mà tôi cm thy thích thú nht trong bài này mà mình
phát hin c (có th không ch mình tôi).
Vì ( , , ) f a b c là hàm i xng v i các bin , ,a b c nên theo trên, ta có
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
30/450
29
( ), , , ,2 2
, ,2 2
2 2, ,2 4 4
... ...
b c b c f a b c f a
b c b c f a
b c a b c a b c f
+ + ≥
+ + =
+ + + + +≥
= ≥
Và ý t ng dãy s bt u xut hin.
Xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i
0 0 0
2 22 1 2 2 1 2 1
2 1 2 12 2 2 1 2 2 2 2
, ,
, ,
2, ,
2
n nn n n n
n nn n n n
a a b b c c
b ca a b c n
a ca b b c n
+ + +
+ ++ + + +
= = =
+= = = ∀ ∈
+= = = ∀ ∈
N
N
thy
lim lim lim3n n nn n n
a b ca b c t
→+∞ →+∞ →+∞
+ += = = =
Và
( , , ) ( , , ),n n n f a b c f a b c n≥ ∀ ∈ N
Do hàm ( , , ) f a b c liên tc nên
( , , ) ( lim , lim , lim ) ( , , ) 0
( , , ) 0
n n nn n n
f a b c f a b c f t t t
f a b c
→+∞ →+∞ →+∞≥ = =
⇒ ≥
ng thc xy ra khi và ch khi .a b c= =
Cách là trên là mt ý t ng có th nói là khá c áo và là c s hình thành nên
cách thc dn bin bn bin s mà chúng ta s xét ngay bây gi .
2. Dn bin bn bin s.Khác v i ba bin s dn bin bn bin s khó khn và phc t p h n nhiu. Trong
tr ng h p này kiu dn bin thông th ng mà chúng ta vn làm v i ba bin vô tác
ng. Và ví d 1.3 chính là tin xây dng nên ng li tng quát gii
quyt các bài bt ng thc có th gii bng dn bin k t h p dãy s.
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
31/450
30
Ví d 2.1. (D tuyn IMO 1993)
Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1a b c d + + + = . Chng minh r ng
1 176.
27 27abc abd acd bcd abcd + + + ≤ +
i gi i .
t
176( , , , ) .
27176
( ) .27
176( ) .
27
f a b c d abc abd acd bcd abcd
bc a d ad b c bc
ad b c bc a d ad
= + + + −
= + + + − = + + + −
V i mi b bn s ( , , , )a b c d tha mãn 1a b c d + + + = , nu tn ti hai s trong
n s này, chng hn ,b c tha mãn176
. 027
b c bc+ − ≤ thì
3
176( , , , ) ( ) .
27
( )
3
1
27
f a b c d bc a d ad b c bc
bc a d
b c a d
= + + + −
≤ +
+ + + ≤
=
Do ó, không mt tính tng quát có th gi s v i mi b bn s ( , , , )a b c d tha
mãn 1a b c d + + + = thì hai s bt k trong b bn s này, chng hn , ,a d u tha
mãn176
. 027
a d ad + − ≥
Khi ó, ta có
2
176( , , , ) ( ) .
27
176( ) .
2 27
f a b c d ad b c bc a d ad
b cad b c a d ad
= + + + −
+≤ + + + −
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
32/450
31
, , ,2 2
b c b c f a d
+ +=
Xét các dãy ( ),( ), ( )n n nb c d c xác nh b i
0 0 0
2 22 1 2 2 1 2 1
2 1 2 12 2 2 1 2 2 2 2
, ,
, ,2
, ,2
n nn n n n
n nn n n n
b b c c d d
b cb d c d n
b cb c c d n
+ + +
+ ++ + + +
= = =
+= = = ∀ ∈
+= = = ∀ ∈
N
N
Khi ó, d thy1
1lim lim lim
3
n n n
n n nn n n
a b c d n
ab c d
→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = ∀ ∈ −
= = =
N
cách t, ta có ( , , , ) ( , , , ),n n n f a b c d f a b c d n≤ ∀ ∈ NDo f liên tc nên
2 3 3
2
( , , , ) ( , lim , lim , lim )
1 1 1, , ,
3 3 3
1 1 176 13 .
3 3 27 3
(4 1) (11 14) 1729 27
1
27
n n nn n n
f a b c d f a b c d
a a a f a
a a aa a
a a a
→+∞ →+∞ →+∞≤
− − − =
− − −= + −
− −= +
≤
⇒ pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi1 1 1 1 1 1 1
( , , , ) , , , , , , ,04 4 4 4 3 3 3
a b c d =
.
Ngoài cách trên ta có th làm n gin nh sau
Ta có th gi s ( , , , ) , , ,2 2
a d a d f a b c d f b c
+ +≤
v i mi , , , 0a b c d ≥ tha mãn
u kin 1a b c d + + + = (vì trong tr ng h p ng c li bài toán c gii quyt).
Vì tính i xng ca hàm ( , , , ) f a b c d ta có
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
33/450
32
( , , , ) , , , , , ,2 2 2 2 2 2
1 1, , ,
2 2 4 4
1 1 1 1 1, , ,4 4 4 4 27
a d a d a d b c b c a d f a b c d f b c f
a d b c f
f
+ + + + + +≤ ≤
+ + ≤
≤ =
Cách làm trên khá hay nhng ch có th áp dng c v i mt s ít bài toán dng
này.
Ví d 2.2.
Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1a b c d + + + = . Chng minh r ng
4 4 4 4 148 1( , , , )
27 27
f a b c d a b c d abcd = + + + + ≥
i gi i .
Xét hiu
2 27 37( , , , ) , , , ( ) .( ) 3 .2 2 8 27
a b a b D f a b c d f c d a b a b ab cd
+ += − = − − + −
ó, nu có 0 ( , , , ) , , ,2 2
a b a bab cd D f a b c d f c d
+ +≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Gi s a b c d ≥ ≥ ≥ .Xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i
0 0 0
*2 1 2 12 2 1 2 2
2 22 1 2 1 2 1 2
, ,
,2
,2
n nn n n n
n nn n n n
a a b b c c
a ca b b c n
a ba b c c n
− −−
+ + +
= = =
+= = = ∀ ∈
+= = = ∀ ∈
N
N
thy
1
1lim lim lim
3 3
n n n
n n n
n n nn n n
a b c d n
a b c d n
a b c d a b c
→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = ∀ ∈
≥ ∀ ∈ + + − = = = =
N
N
Và
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
34/450
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
35/450
34
2 2 2 2
2 2 2
( , , , ) , , ,2 2
33( ) .( ) ( )
2
3((4 ) 6) 3( ) (4 )2
c d c d f a b c d f a b
a b c d ab c d
a b ab a b a b
+ + ⇒ ≥
= + + + + +
= − − − + + + − −
2 29( 8 10) . 12 242
( , )
x x y x x
g x y
= − + + − +
=
Trong ó , x a b y ab= + = .
Ta có 2 2. y x≤ ≤ Xét các tr ng h p
+ Nu
22 29 9 4
8 10 0 ( , ) . 12 24 . 16 162 2 3 x x g x y x x x − + ≥ ⇒ ≥ − + = − + ≥
+ Nu 2 8 10 0 x x− + <2 2 2
2 29 ( 2) ( 4 8)( , ) ( 8 10). . 12 24 16 164 2 4
x x x x g x y x x x x
− − +⇒ ≥ − + + − + = + ≥
⇒ pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi4 4 4
( , , , ) (1,1,1,1), , , ,03 3 3
a b c d =
.
Ví du 2.4. (Vasile Cirtoaje)
Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 2 2 2 2 1a b c d + + + = . Chng minh r ng
(1 )(1 )(1 )(1 )a b c d abcd − − − − ≥
i gi i .
Ta có B sau
. (China TST 2004)
Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1abcd = . Khi ó, ta có
2 2 2 2
1 1 1 1( , , , ) 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) f a b c d
a b c d = + + + ≥
+ + + +
Ch ng minh.
thy, nu , 0 x y > tha mãn 1 xy ≥ thì
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
36/450
35
( )2 2 2
1 1 2
(1 ) (1 ) 1 x y xy+ ≥
+ + +
ó ta có nu 1ab ≥ thì ( )( , , , ) , , , f a b c d f ab ab c d ≥
Gi s a b c d ≥ ≥ ≥ và xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i
0 0 0
2 1 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1
, ,
, ,
, ,
n n n n n n
n n n n n n
a a b b c c
a b a b c c n
a b a c c b n
+ + +
+ + + + + +
= = =
= = = ∀ ∈
= = = ∀ ∈
N
N
thy
33
1
1
1lim lim lim
n n n
n n
n n nn n n
a b c d n
a b n
a b c abcd →+∞ →+∞ →+∞
= ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ = = = =
N
N
ó
( )
( ) ( )( )
3 3 3
3 2
2 23
23 3 32 4 23 3
223
( , , , ) ( , , , ),
( , , , ) ( lim , lim , lim , )
1 1 1, , ,
3 1
(1 )1
1 2 2 4 31
1 (1 )
1
( , , , ) 1
n n n
n n nn n n
f a b c d f a b c d n
f a b c d f a b c d
f d d d d
d
d d
d d d d d d
d d
f a b c d
→+∞ →+∞ →+∞
≥ ∀ ∈⇒ ≥
=
= +++
− + + + += +
+ +
≥⇒ ≥
N
y B c chng minh.
Tr li bài toán, ta có 2 2 2 2 1 , , , [0,1]a b c d a b c d + + + = ⇒ ∈
u 0abcd = thì (1 )(1 )(1 )(1 )a b c d abcd − − − − ≥ .
u 0abcd > .
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
37/450
36
t1 1 1 1
, , , , , , 0a b c d
x y z t x y z t a b c d
− − − −= = = = ⇒ >
Gi thit 2 2 2 22 2 2 2
1 1 1 11 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )a b c d
x y z t + + + = ⇔ + + + =
+ + + +
Và bt ng thc cn chng minh t ng ng v i
1 yzt ≥
Gi s ng c li 1 yzt < . Khi ó, t /1
t xyz
= thì / 1 xyzt = và /t t < .
Áp dng B , ta c
2 2 2 / 2
2 2 2 2
1 1 1 11
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
x y z t
x y z t
≤ + + ++ + + +
< + + + =+ + + +
y u gi s sai.
1 yzt ⇒ ≥
⇒ pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi1
2a b c d = = = = .
Nhn xét.
ây là mt bài toán hay và l i gii va r i ã s dng hai công c là i bin và
n bin (v i các bin m i). Ngoài ra có th dn bin tr c ti p v i các bin ban u
(dành cho mi ng i).
3. Dn bin v i nhiu bin s h n.
Ví d 3.1.
Cho , , , , 0a b c d e ≥ tha mãn 5a b c d e+ + + + = . Chng minh r ng
2 2 2 2 2( , , , , ) 4( ) 5 25 f a b c d e a b c d e abcde= + + + + + ≥
i gi i .
Xét hiu
2 5( , , , , ) , , , , ( ) 2 .2 2 4
d e d e D f a b c d e f a b c d e abc
+ += − = − −
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
38/450
37
ó, ta có nu8
0 ( , , , , ) , , , ,5 2 2
d e d eabc D f a b c d e f a b c
+ +≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
.
Gi s a b c d e≤ ≤ ≤ ≤ và xét các dãy s ( ),( ), ( )n n nc d e c xác nh b i
0 0 0
*2 2 2 22 1 2 2 2 1 2 1
*2 1 2 12 2 1 2 2
, ,
, ,2
, ,2
n nn n n n
n nn n n n
c c d d e e
d ec c d e n
c ec d d e n
− −− − − −
− −−
= = =
+= = = ∀ ∈
+= = = ∀ ∈
N
N
thy
1
8min{ , , }
5
n n n
n n n n
a b c d e n
a b c d e n abc n
+ + + + = ∀ ∈
≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ∀ ∈
Và5
lim lim lim3 3n n nn n n
c d e a bc d e
→+∞ →+∞ →+∞
+ + − −= = = =
ó, ta có
( , , , , ) ( , , , , )n n n f a b c d e f a b c d e n≥ ∀ ∈N
Suy ra
32 2 2
2
( , , , , ) ( , , lim , lim , lim )
5 5 5, , , ,3 3 3
4 5 (5 )4( ) .(5 )
3 27
44( ) 8 .(5
3
n n nn n n
f a b c d e f a b c d e
a b a b a b f a b
ab a ba b a b
a b ab a
→+∞ →+∞ →+∞≥
− − − − − − =
− −= + + − − +
= + − + − −3
2
2 3 2
5 (5 ))
27
5 (5 ) 16 40 1008
27 3
( )
ab a bb
y x x x y
g y
− −+
− − += − +
=Trong ó , x a b y ab= + = .
Ta có
3/ 10 (5 )( ) 8
27
y x g y
−= −
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
39/450
38
+ Nu310 (5 )
8 027
y x−− ≥ thì
2216 40 100 16 5( ) (0) . 25 25
3 3 4
x x g y g x
− + ≥ = = − + ≥
+ Nu310 (5 )
8 027
y x−− < thì
2
23
2 2
2 3 2
( )4
5 (5 )4 16 40 100
8 .27 4 3
( 2) ( 5 55 135 225)25
108
x g y g
x x
x x x
x x x x
≥
− − + = − +
− − + − +
= +
dàng chng minh
3 25 55 135 225 0 [0,2] x x x x− + − + ≥ ∀ ∈
Do ó
( ) 25 g y ≥
⇒ pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi5 5 5 5
( , , , , ) (1,1,1,1,1), , , , ,0 .4 4 4 4
a b c d e =
Ví d 3.2.
Cho 1 2, ,..., 0n x x x ≥ tha mãn 1 2 ... 1n x x x+ + + = . Tìm giá tr l n nht ca biu thc
1 21
( , ,..., ) ( )n i j i ji j n
f x x x x x x x≤ < ≤
= +∑
i gi i .
Ta có 2 2 2 21 21 1 1 1
( , ,..., ) . .(1 )i j
n n
n j i i j i i
i j n i j n i j i i
f x x x x x x x x x x x≤ < ≤ ≤ < ≤ = ≠ =
= + = = −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Xét hiu
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
40/450
39
1 1( ,..., ,...,0, ) ( ,..., ,..., ,..., ) 2 (2 3( )) j n i j n i j i j f x x x x f x x x x x x x x+ − = − +
Do ó, nu 3( ) 2i j x x+ ≤ , thì 1 1( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,...,0, ) j n i j n f x x x x f x x x x≤ + .
Xét tt c các b s 1 2( , ,..., )n x x sao cho 1 2( , ,..., )n f x x x t max f .
Trong ó, chn ra b s 1 2( , ,..., )na a a sao cho s phn t d ng trong b s ó là ít
nht (luôn có th chn c vì s s d ng là hu hn).
Gi s 1 2 1 2... 0 ... .k k k na a a a a a+ +≥ ≥ ≥ > = = = =
u 3k ≥ thì ta có
2 31 2 2 3 2 3 2 3
31 ... .( ) 3( ) 2
2 2na a
a a a a a a a a a+
= + + + ≥ + + = + ⇒ + ≤
Do ó
1 2 1 2 3 1 2 3( , ,..., ) ( , ,0,..., ) ( , ,0,..., ) maxn n n f a a a f a a a a f a a a a f ≤ + ⇒ + =
u này vô lý do b s 1 2 3( , ,0,..., )na a a a+ có s s d ng ít h n b s 1 2( , ,..., )na a a .
y 2k ≤ . Do ó
1 2 1 2 1 2 1 1
1( , ,..., ) ( ) (1 )
4n f a a a a a a a a a= + = − ≤
Do ó
1 2 1( , ,..., ) 4n f x x x ≤
ng thc xy ra chng hn khi 1 2 3 41
, ...2 n
x x x x x= = = = = .
4. Các kiu dn bin khác.
Trong môt s tr ng h p, các kiu dn bin thông th ng (ã nói phn m u)
vô tác dng (th ng do du bng không phi xy ra khi tt c các bin bng nhau).
Vì vy, xut hin mt s kiu dn bin khác.
Ví d 4.1.
Cho , , 0 x y z ≥ tha mãn 1 y yz zx+ + = . Tìm min ca
1 1 1( , , ) f x y z
x y y z z x= + +
+ + +
i gi i .
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
41/450
40
Khác v i nhng ví d tr c, ví d này có hai u khin vic dn bin khó khn
n là cc tr t c không phi khi c ba bin bng nhau và biu thc u kin
a bin ht sc khó chu. Sau ây là mt trong nhng l i gii cho bài này.
Gi s , x y z ≥ và t a y z = + thì 1ax ≤ và 2 x a≥ . Xét hiu
2
2 2
2 2
2
1 (1 )(2 )( , , ) 0, , 0
(1 )(1 )
1 ( 1) (2 2) 5 5( , , ) 0, ,
2 22 (1 )
ax x a a x f x y z f a
a x a
a a a f x y z f a
a a a
− − + − = ≥ + +
− − + ⇒ ≥ = + ≥ +
ng thc xy ra khi và ch khi ( , , ) (1,1,0). x y z =
y
5min ( , , ) 2 f x y z =
Ví d 4.2.
Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 1a b c+ + = . Tìm giá tr l n nht ca biu thc
3 3 3( , , ) ( 7)( 7)( 7) f a b c a a b b c c= + + + + + +
i gi i .
ng tính toán tr c ti p (hoc gi s có b c= ), ta d oán c max 441 f = t
c chng hn khi 1, 0.a b c= = = T ó, dn n l i gii nh sau
Gi s2
,3
a b c b c≤ ⇒ + ≥ .
t khác, do 2 20 , , 1 1, 1a b c b c b c bc≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ ≤ .
Xét hiu
3 2 2 2 2
3
( , , ) ( , ,0) ( 7) ( 7( ) 1 21( ))
2
( 7) 1 7 1 21. 30
f a b c f a b c a a bc b c b c b c
a a bc
− + = + + + + + − +
≤ + + + + − ≤
3 3
2 3
( , , ) ( , ,0)
7( 7)((1 ) 1 7)
7 ( 1)((1 )(2 ) 19) 441 441
f a b c f a b c
a a a a
a a a a a
⇒ ≤ +
= + + − + − +
= − − − + + + ≤
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
42/450
41
ng thc xy ra khi và ch khi ( , , ) (1,0,0).a b c =
y max 441 f = .
III. Dn bin trong tam giác.
1. Dn bin l ng giác trong tam giác.
Trong tam giác ph ng pháp dn bin a bt ng thc ã cho tr ng h p tam
giác th ng v tr ng h p tam giác cân.
Ví d 5.1.
Cho tam giác ABC không tù. Cgng minh r ng
sin .sin sin .sin sin .sin 5( , , )
sin sin sin 2
B C C A A B f A B C
B C = + + ≥
i gi i .
Gi s ,2 3
A B C Aπ π
≥ ⇒ ≥ ≥ .
Xét hiu
2 2 2
22
2
sin 4sin .sin2 2( , , ) , , . 1
2 2 sin sin .sin
sin 2 . 4sin 1sin 2
0
sin 12( , , ) , , 2sin 2sin2 2 sin 2 2
cotg
B C A A
B C B C f A B C f A
A B C
B C A
A
B C B C B C A
f A B C f A A A A
− + + − = −
− ≥ −
≥+
+ + ⇒ ≥ = + = +
t 12
cotg A
t t = ⇒ ≥ .
Và2
2 2
1 4 1 ( 1)( 4 5) 5 52sin .
2 2 2 2 21 2( 1).cotg
A t t t t A t
t t
− − ++ = + = + ≥
+ +
5( , , )
2 f A B C ⇒ ≥
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
43/450
42
⇒ pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi ,2 4
A B C π π
= = = và các hoán v t ng ng.
Nhn xét.
ây là dng l ng giác ca ví d 4.1. D thy r ng dn bin bài này d chu và d
ngh h n bài kia r t nhiu.
Ví d 5.2. (VMO 1993)
Cho tam giác ABC . Tìm min ca
2 2 2( , , ) (1 cos )(1 cos )(1 cos ) f A B C A B C = + + +
i gi i .
+ Cách 1.Gi s
1, cos
3 2 A B C A A
π≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥
Xét hiu
( )
2 2
2 2
22 2
22
2
( , , ) , ,2 2
6cos cos( ) 1(1 cos ).sin .
2 2
3 1 1(1 cos ).sin .2 2
0
( , , ) , ,2 2
(1 cos ) 1 cos2
(1 cos ) 3 cos
4(2cos 1) (4(1 cos )(4 cos ) 3)
64
B C B C f A B C f A
B C A B C A
B C A
B C B C f A B C f A
B C A
A A
A A A
+ + − =
− − − −= +
− − −≥ +
≥
+ + ⇒ ≥
+ = + +
+ −
=− − − +
=125
64125
64
+
≥
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
44/450
43
ng thc xy ra khi và ch khi3
A B C π
= = = .
y125
min ( , , ) .64
f A B C =
+ Cách 2.
Gi s3
cos3 2 2
C A B C C
π≥ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥
Ta có
2 2 2 2
22 2 2 2
2
(1 cos )(1 cos ) (cos cos ) (1 cos cos )
4sin .cos cos 1 cos2 2 2 2
cos2
A B A B A B
C A B A B C
A B f
+ + = + + −
− −= + − −
− =
Ta có
/ 2 2 2 2
2 2
cos 4sin 2 cos 1 cos2 2 2 2
2 cos 1 3cos2 2
0
B C A B C f
A B C
− −= + − −
− = + −
≤
Do ó
22cos (1) 1 sin
2 2
( , , ) , ,2 2
B C f f
A B A B f A B C f C
2− ≥ = +
+ +⇒ ≥
n ây, l p lun hoàn toàn t ng t nh cách 1, ta có125
min ( , , ) .64
f A B C =
Ví d 5.3.
Cho tam giác ABC . Chng minh r ng
2cos cos cos .(sin sin sin )
2 2 2 3
A B B C C A A B C
− − −+ + ≥ + +
i gi i .
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
45/450
44
Gi s ,3
A B C A π
≤ ⇒ ≤ . Bt ng thc cn chng minh t ng ng
3 2 4cos 2cos .cos .sin .cos .cos 0
2 4 4 2 23 3
B C B C A A B C A
π− − − −+ − − ≥
24 3 21 .cos . 2cos 1 2cos .cos .sin 02 4 4 43 3
A B C B C A A
π− − − ⇔ − − + − ≥
Xét hàm s 24 3 2
( ) 1 .cos .(2 1) 2 .cos sin2 43 3
A A f x x x A
π − = − − + −
i2
cos ,14 2
B C x x
−= ⇒ ∈
Ta có
/ 4 3( ) 4 1 .cos 2cos2 43
4 34 1 .cos 2cos
6 43
34 2cos
4
2 34. 2cos
2 4
0
4 3 2( ) (1) 1 .cos 2cos .sin ( )
2 43 3
A A f x x
A x
A x
A
A A f x f A g A
π
π π
π
π
π
− = − +
− ≤ − +
−= − +
−< − +
<−
⇒ ≥ = − + − =
Ta có
/ 2 2 3 3( ) .cos .sin .sin2 2 43 3
2 3 2sin cos 2sin 1 . sin cos
4 4 2 4 4 43
0( 0 )3
( ) 03
do
A A g A A
A A A A A
A
g A g
π
π
π
−= − + +
= + − + −
≤ < ≤
⇒ ≥ =
(1) 0 f ⇒ ≥
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
46/450
45
( ) 0
ñpcm.
f x⇒ ≥⇒
Nhn xét. Vic s dng công c o hàm trong ph ng pháp dn bin r t có l i khi
vic bin i t ng ng phc t p.
2. Dn bin theo các cnh.
Ví d.
Cho tam giác ABC tha mãn ,a b c≥ . Chng minh r ng
3.( )
2a b cl m m a b c+ + ≤ + +
i gi i .
Ta co
( )2 2 2 2 2 2 2 21. ( ) . 2 2 2 22( , , )
a b c
bcl m m b c a a b c a b c
b c
f a b c
+ + = + − + + − + − ++
=
Tröôùc heát, ta chöùng minh
22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 (1)
2
b ca b c a b c a
+ + − + − + ≤ +
Thaät vaäy2( ) ( )( ) 0(1) (hi eån nhieân ñuùng)b c a b c b c a⇔ − + + + − ≥
M aët khaùc, ta l aïi co
2 2 2 21. ( ) . ( ) (2)2
bcb c a b c a
b c+ − ≤ + −
+
Töø(1) vaø(2), ta co
2
2 2 21( , , ) . ( ) 22 2
, , (3)2 2
b c f a b c b c a a
b c b c f a
+ ≤ + − + + + + =
Ta seõchöùng minh
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
47/450
46
3, , .( ) (4)
2 2 2
b c b c f a a b c
+ + ≤ + +
Thaät vaäy
2
2 2 21 3(4) . ( ) 2 .( )2 2 2b cb c a a a b c+ ⇔ + − + + ≤ + +
2 2
2 2
3
1 8 3 1
1 8 3(1 ) ( (1,2])
( 2) ( 2) 0
trong ñoù
(hieån nhieân ñuùng)
b c b c b c
a a a
b c x x x x x
a
x x
+ + + ⇔ − + + ≤ +
+⇔ − + + ≤ + = ⇒ ∈
⇔ − + ≤
.K eát hôïp (3) vaø(4), ta suy ra ñpcm.Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaøchækhi a b c= =
Tuy ã r t c gng nhng bài vit này cng không th vét ht các kiu và dng bài
p dn bin cng nh nói v t duy và cách thc hình thành ph ng pháp. Nhng
tôi ngh nó cng ã các bn hình thành nên ph ng pháp này trong u, t ó
các bn s t cm nhn c cái hay ca ph ng pháp này cng nh các kiu dn
bin khác mà bài vit này cha c p n. Chú ý r ng các l i gii trên là phù
p v i bài vit này nên cng có th có nhng cách khác hay h n.VI. Bài tp.
Bài 1. (Vietnam TST 1996)
, ,Cho .Tìm giaùtrònhoûnhaát cuûa bieåu thöùca b c ∈ R
4 4 4 4 4 44( ) ( ) ( ) .( )7
P a b b c c a a b c= + + + + + − + +
Bài 2. (China TST 2004)
, , , 0Cho thoûa maõn 1. Chöùng minh raènga b c d abcd > =
2 2 2 2
1 1 1 11
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) P
a b c d = + + + ≥
+ + + +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
48/450
47
Bài 3.
, , 0 1Cho thoûa maõn . Chöùng mi nh raènga b c a b c≥ + + =
3 3 3 15 1.4 4
a b c abc+ + + ≥
Bài 4.
, , , 0 4Cho thoûa maõn . Chöùng minh raènga b c d a b c d ≥ + + + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8abc abd acd bcd a b c a b d a c d b c d + + + + + + + ≤
Bài 5. (Phm Kim Hùng)
, , 0 3Cho thoûa maõn . Chöùng minh raènga b c a b c≥ + + =
2 2 2( )( )( ) 13a b b c c a abc+ + + ≤ +
Bài 6.
, , , 0 4Cho thoûa maõn .a b c d a b c d ≥ + + + =
a) Chng minh r ng
( )2 4a b c d abc abd acd bcd + + + ≥ + + + +
b) Tìm min ca
( )7 P a b c d abc abd acd bcd = + + + − + + +
Bài 7.
Cho tam giác nhn BC . Chng minh r ng
2 2 2sin .sin sin .sin sin .sin 9
sin sin sin 4
B C C A A B
A B C
+ + ≥
Bài 8.
Cho tam giác ABC . Chng minh r ng
( )2 3 3 4 p R r ≤ + −Bài 9.
Cho , , , , 0a b c d e ≥ tha mãn 1a b c d e+ + + + = . Chng minh r ng
5 5 5 5 5 1845 1.256 256
a b c d e abcde+ + + + + ≥
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
49/450
48
Bài 10.
, , 0 3Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Tìm giá tr l n nht và giá tr nh nht ca
biu thc
( ) ( ) ( )2 2 2
3 3 3 P a a b b c c= + + + + + +Bài 11. (Phm Kim Hùng)
Cho , , 0a b c > tha mãn 1abc = . Chng minh r ng
2 2 2
3 3 33
( 1) ( 1) ( 1)
a b c
a b c
+ + ++ + ≥
+ + +
Bài 12.
Cho , , 0 x y z ≥ tha mãn 1 y yz zx+ + = . Chng minh r ng
1 1 1 12
2 y z z x x y+ + ≥ +
+ + +
Bài 13.
, , 0 1Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = . Chng minh r ng
1 1 1 21
1 1 1 3
a b c
a b c
− − −+ + ≤ +
+ + +
Bài 14.Cho , , , 0a b c d ≥ . Chng minh r ng
4 4 4 4 3 3 3 33( ) 4 ( )( )a b c d abcd a b c d a b c d + + + + ≥ + + + + + +
Bài 15. (Phm Kim Hùng)
, , 0 3Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Chng minh r ng
3 3 3 3 3 3 3 3 336( ) ( )( )ab bc ca a b b c c a a b c+ + ≥ + + + +
Bài 16. (Võ Quc Bá Cn)
, , 0 1Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Tìm min
4 4 4 4 4 4 4 4 4( )( )
ab bc ca P
a b b c c a a b c
+ +=
+ + + +
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
50/450
49
N BIN KHÔNG XÁC NH
I. Dn bin không xác nh.Cái tên nghe có v l nh? tìm hiu ph ng pháp m i m này chúng ta hãy cùng
bàn n hai bài toán quen thuc sau
Bài toán 1.
Cho n là s nguyên d ng và 1 2, ..., n x x x là các s thc thuc n [ , ] p q v i , p q
là hai s thc cho tr c. Tìm giá tr l n nht ca biu thc 1 2( , ..., )n f x x x
Bài toán 2.
Cho n là s nguyên d ng và là 1 2, ..., n x x x các s thc không âm có tng bng n .
Tìm giá tr nh nht ca biu thc 1 2( , ..., )n f x x x
c hai bài trên thì 1 2( , ..., )n f x x x u là các biu thc i xng ca 1 2, ..., n x x x )
Thông th ng i v i các Bài toán 1 chúng ta th ng s p th t các bin và dn giá
tr ca bin v hai biên so sánh tr c ti p chúng. Chng hn so sánh
1 2( , ..., )n f x x x v i 2( , ..., )n f p x x v i mc ích là a bài toán v tr ng h p n
gin v i s l ng bin ít h n. Còn v i Bài toán 2 chc chn các bn s ngh ngay
n ánh giá 1 2 1 21 2( , ..., ) , ,...,2 2n n x x x x
f x x x f x+ +
≥
hoc hi hu lm thì chúng
ta có ánh giá 1 2 1 2( , ..., ) (0, ,..., )n n f x x x f x x x≥ + . Có th thy nhng suy ngh nh
trên là vô cùng t nhiên nhng nói chung là khó thc hin vì nhng bài có th gii
tr c ti p là t ng i n gin. Vì vy chúng ta cn mt b c phát trin h n cho
ph ng pháp này ó là dn bin không xác nh. Vy dn bin không xác nh là
gì? Tôi có th gi i thiu luôn t t ng chính ca ph ng pháp này là “Dn các bin
do v mt trong nhng m c bit mà ta cha th xác nh rõ s dn c th v
m c bit nào”. Có v h i khó hiu phi không? Chúng ta s cùng quay tr li
i 2 bài toán trên
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
51/450
50
(i) V i Bài toán 1, thay vì chng minh 1 2 2( , ..., ) ( , ,..., )n n f x x x f p x x≤ chúng ta s
chng minh
1 2 2 2( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )}maxn n n f x x x f p x x f q x x≤
(ii) V i Bài toán 2, thay vì ánh giá ã nói trên chúng ta s ch ra c
1 2 1 21 2 1 2( , ..., ) min , ,..., , (0, ,..., )2 2n n n
x x x x f x x x f x f x x x
+ + ≥ +
c n ây bn ng vi c i vì nó ch tin b h n ph ng pháp ban u mt
chút khi u kin dn bin c n i lng mà trông li có v phc t p v i max, min
ng nhng! Bn hãy xem th sc mnh ca t t ng này thông qua ví d quen
thuc sau ây nhng tr c ht chúng ta hãy n v i B c bn
1.Cho , ,a b c là các s thc tha mãn b c≥ . Khi ó ít nht mt trong hai bt ng thc
sau úng
(i) a c≥
(ii) a b≤
Ch ng minh.
Gi s c hai bt ng thc trên u sai ta suy ra c a b c> > ≥ (Mâu thun).
qu 1.
Cho ,a b là các s thc. Khi ó ít nht mt trong hai bt ng thc sau úng
(i) a b≥
(ii) a b≤
Các bn ng nên xem th ng B 1, tuy ây là mt B n gin theo úng
ngh a ca nó nhng li là mt B cc k hiu qu y. Sau ây là mt ví d cho
thy u ó
Ví d 1.
Cho , p q là hai s thc d ng, n là s nguyên d ng và 1 2, ,..., n x x là các s thc
thuc n [ , ] p q v i , p q là hai s thc d ng cho tr c. Tìm giá tr l n nht ca
biu thc
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
52/450
51
1 2 1 21 2
1 1 1( , ,..., ) ( ... ) ...n n
n
f x x x x x x x x x
= + + + + + +
i gi i .
t 2 32 3
1 1 1... , ...n
nS x x x T x x x= + + + = + + +
1 2 2
11
11
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1 1( ) ( )
( ) 0
(1)
n n f x x x f p x x
x S T p S T x p
S x p T
px
S
T px
≤
⇔ + + ≤ + +
⇔ − − ≤
⇔ ≤
1 2 2
11
11
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1 1( ) ( )
( ) 0
(2)
n n f x x x f q x x
x S T q S T x q
S x q T
qx
S T
qx
≤
⇔ + + ≤ + +
⇔ − − ≤
⇔ ≥
Do1 1
S S
px qx≥ nên theo B 1 s có ít nht mt trong hai bt ng thc (1), (2)
úng.
Suy ra 1 2 2 2( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )}maxn n n f x x x f p x x f q x x≤
Hoàn toàn t ng t ta nhn c k t qu sau
n ti 1 2, ,..., { , }n y y y p q∈ sao cho 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x f y y y≤
Bài toán a v tìm giá tr l n nht ca 1 2( , ,..., )n f y y y v i 1 2, ,..., { , }n y y y p q∈ .
Không quá khó khn chúng ta tìm c
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
53/450
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
54/450
53
II. nh lý dn bin không xác nh U.M.V (Undefined Mixing Variables).
nh lý U.M.V. Cho 1 2, ,..., n x x x là các s thc không âm có tng là mt hng s
ng cho tr c. 1 2( , ,..., )n f x x x là mt hàm liên tc, i xng ca 1 2( , ,..., )n x x x
tha mãn u kin1 2 1 2
1 2 1 2( , ,..., ) min , ,..., , (0, ..., )2 2n n n x x x x
f x x x f x f x x x+ + ≥ +
i mi 1 2( , ,..., )n x x tha mãn u kin ã cho.
Khi ó, giá tr nh nht ca 1 2( , ,..., )n f x x x là giá tr nh nht ca
( 0,1,2,..., 1)t C t n= − trong ó ( 0,1,2,..., 1)t C t n= − là giá tr ca 1 2( , ,..., )n f x x x
khi trong 1 2( , ,..., )n x x x có t s bng 0 và n t − s còn li bng nhau.
Ch ng minh.
Tr c ht, ta chng minh B sau
2. Cho mt b s thc không âm 1 2( , ,..., ) ( 2)n x x x n ≥ thc hin phép bin
i ∆ nh sau
Chn 1 2( , ,..., )max n x x x x= và 1 2( , ,..., )mi n n x x x x= .
Gán , j x x b i2
j x x+ nhng vn gi nguyên v trí ca chúng trong 1 2( , ,..., )n x x x .
Khi ó sau vô hn ln thc hin ta c 1 21 2...
... nn x x x
x x xn
+ + += = = = .
Ch ng minh.
Ký hiu dãy ban u là 1 1 11 2( , ,..., )n x x x .
Ta chng minh bng quy n p.
i 2n = thì B hin nhiên úng.
Gi s b úng v i : 1n n= − ta chng minh nó úng v i :n n= .
Tht vy, gi s ln th k nào ó thc hin phép bin i ∆ ta s nhn c b
1 2( , ,..., )k k k
n x x x .
i 1 2 1 2min{ , ,..., }, { , ,..., }maxk k k k k k
k n k nm x x x M x x x= = .
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
55/450
54
thy { }k m là dãy không gim b chn trên b i 1 M nên lim k k
m m→∞
∃ = , còn { }k M
là dãy không tng b chn d i b i 1m nên lim k k
M M →∞
∃ = .
u b c th k nào ó thc hin phép bin i ∆ mà 1k
k x m= hoc 1k
k x M = thì
1 c gi là có tham gia vào phép bin i ∆ b c th k .
i 1 2 ... su u u< < < là tt c nhng ln 1 x tham gia phép bin i d i vai trò s
nh nht, còn 1 2 ... t v v v< < < là tt c nhng ln 1 x tham gia phép bin i d i vai
trò s l n nht.
*) Nu t + < ∞ , t 0 { , }maxk s t = suy ra t b c 0k tr i thì 1 x s không tham
gia vào phép bin i ∆ na. Nh th ta ch áp dng phép bin i này cho b
0 0 02 3( , ,..., )k k k
n x x x .
Áp dng gi thit quy n p, ta nhn c b
0 0 00 0 0 2 3
2 3
......
1
k k k k k k n
n
x x x x x
n
+ + += = = =
−.
Do 1 x không tham gia vào phép bin i ∆ nào na nên
0 0 00 0 0 2 3
1 2
......
1
k k k k k k n
n
x x x x x
n
+ + += = = =
− ây ta có pcm.
**) Nu t + = ∞ . Không gim tng quát, gi s = ∞ suy ra 1lim k u
k m
→∞= .
+ Tr ng h p 1. t < ∞
Do lim , limk k k k
m m M M →∞ →∞
= = nên theo nh ngh a gi i hn thì v i mi 0>ε nh
thì
1n∃ sao cho v i mi 1 N n> thì N m m− < ε
2n∃ sao cho v i mi 2 N n> thì N M M − < ε
Chn 3 1 2{ , , }max t n v n n= , suy ra v i mi 31iu n− > thì
1 1,i iu um m M M − −− < −
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
56/450
55
mà 1 11 2i ii
u uu m M
x − −+= nên 1 2
iu M m
x +
− < ε
1
1
lim2
lim2
iu
i
k
k
M m x
M m x
→∞
→∞
+⇒ =
+⇒ =
+ Tr ng h p 2. t = ∞ .
Hoàn toàn t ng t ta suy ra
1
1
lim2
lim2
i
i
u
i
v
i
M m x
M m x
→∞
→∞
+=
+=
Vì vy 1lim 2k
k
M m x
→∞
+=
Do ó trong mi tr ng h p ta u có
1lim 2k
k
M m x
→∞
+=
Hoàn toàn t ng t ta nhn c k t qu sau lim2
k i
k
M m x
→∞
+= v i mi 1,2,...,i n=
nên ta có pcm.Ch ng minh nh lý.
Thc hin thut toán t β v i {0,1,2,..., 1}t n∈ − cho tr ng h p t p 1 2( , ,..., )n x x x ã
có t s 1 2 ... 0t x x x= = = = nh sau
cho gn ta quy c 1 2( , ,..., ) ( , )n i j f x x x f x x= trong ó
1 2 1 2{ , ,..., }, min{ , ,..., }max n j n x x x x x x x= = tha mãn 0 j x > .
Tin hành so sánh ( , ) j f x x v i ,2 2 j i j x x x x
f + +
và (0, ) j f x x+ .
*) Nu ( , ) (0, ) j i j f x x f x x< + thì ( , ) ,2 2 j i j
i j
x x x x f x x f
+ +≥
. Khi ó áp dng
thut toán ∆ cho 1 2{ , ,..., }t t n x x x+ + . Nu trong mt b c nào ó li có
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
57/450
56
( , ) (0, ) j i j f x x f x x≥ + thì chuyn sang thut toán 1t +β . Nu không có thì phép
bin i ∆ s c thc hin vô hn ln nên 1 2 ...t t n x x∞ ∞ ∞+ += = = .
**) Nu ( , ) (0, ) j i j f x x f x x≥ + ta chuyn tr c ti p sang thut toán 1t +β .
Rõ ràng thut toán 1n−β ã là thut toán hng và ó là k t qu c nh.
Vì vy nh lý ã c chng minh hoàn chnh.
Trong nh lý U.M.V ta có th thay th u kin tng các bin bng các u kin
khác nh tng bình ph ng, tng l p ph ng...và có cách dn bin t ng ng thì
nh lý vn úng và cách chng minh không có gì khác.
qu. Cho 1 2, ,..., n x x x là các s thc không âm có tng là mt hng s d ng
cho tr c.1 2
( , ,..., )n
f x x x là mt hàm liên tc, i xng ca1 2
( , ,..., )n
x x x tha mãn
u kin
1 2 1 21 2 1 2
2 3
1 2 1 2 1 2
( , ..., ) min , ,..., , (0, ..., )2 2
(0, , ,..., ) 0
... ... ..., ,..., 0
n n n
n
n n n
x x x x f x x x f x f x x x
f x x x
x x x x x x x x x f
n n n
+ + ≥ + ≥
+ + + + + + ≥
v i mi 1 2( , ,..., )n x x tha mãn u kin ã cho thì 1 2( , ,..., ) 0n f x x x ≥ .III. Mt s ng dng ca ph ng pháp dn bin không xác nh.
s dng ph ng pháp dn bin không xác nh rõ ràng ta phi thc hin theo
trình t hai b c
c 1. Xác l p u kin dn bin.
c 2. Gii quyt bài toán v i u kin ã xác l p bên trên.
n nhiên B c 2 chính là ni dung ca nh lý U.M.V và ã c gii quyt mt
cách hoàn toàn trit . Do ó, phn quan tr ng nht ca chúng ta cn phi làm ólà thc hin c B c 1. Mt u kì l là b c này th ng c x lý r t gn nh
ng cách s dng B 1, mt b gn nh hin nhiên da trên quan h th t
a các s trên tr c s thc. Chúng ta hãy tìm hiu rõ h n qua các ví d c tr ng
sau
www.VNMATH.com
-
8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf
58/450
57
Ví d 3. (Phát trin t mt bài IMO)
Cho n là s nguyên d ng và 1 2, ,..., n x x là các s thc không âm có tng bng n .
Tìm s