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BCC244
Strings, Linguagens, Autômatos
Agenda
Hoje Strings Linguagens Autômato Finito Determinista
Para a próxima aula: Leia até antes do Cap. 1.2 (Sipser)
Alfabetos, Strings, LinguagensDEF: Um alfabeto é um conjunto finito
de símbolos (caracteres, letras). Um string (ou palavra) sobre é uma
sequência finita de símbolos. O string vazio é um string que não
contém nenhum símbolo, e é denotado por
Alfabetos, Strings, LinguagensDEF: O comprimento de um string é o
número de símbolos que ele contém (repetições são permitidas).
EX: Os comprimentos dos strings (QDD, DQD, DDQ, QQQQDD) são: 3, 3, 3, 6
Q: Qual é o comprimento de ?
Alfabetos, Strings, LinguagensDEF: Dados os strings u e v, denotamos
sua concatenação por uv, ou simplesmente uv.
EX: aba cate = abacate, QQDD = QQDD,
Q1: Defina concatenação recursivamente.
Q2: Obtenha uma fórmula para u v
Alfabetos, Strings, Linguagens
R1: v = v a:u v = a:(u v)
R2: u v u +v
Alfabetos, Strings, Linguagens
DEF: reverso de um string u é denotado por u R.
EX: (banana)R = ananab
DEF: denota o conjunto de todos os strings sobre o alfabeto
Uma linguagem sobre é um subconjunto de , i.e. um conjunto de strings, sendo cada um uma sequência de símbolos de
Alfabetos, Strings, Linguagens
EX: D, Q ,
D, Q, DD, DQ, QD, QQ,DDD, DDQ, DQD, DQQ, QDD, QDQ, QQD, QQQ,DDDD, DDDQ, …
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Operações Regulares – Tabela Resumo
Operação
Simbolo
Versão UNIX
Significado
União | casa um dos padrões
Concatenação implicito em
UNIX
casa os padrões em sequencia
Kleene-star
* *casa o padrão
0 ou mais vezes
Kleene-plus
+ +casa o padrão
1 ou mais vezes
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Operações Regulares - Concatenação
Seja:L = {aardvark, bobcat, chimpanzee}
Q: Qual é a linguagem resultante de concatenar L com ela própria:
LL ?
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Operações Regulares - Concatenação
A: LL = {aardvark, bobcat, chimpanzee}{aardvark, bobcat,
chimpanzee}
={aardvarkaardvark, aardvarkbobcat, aardvarkchimpanzee, bobcataardvark, bobcatbobcat, bobcatchimpanzee, chimpanzeeaardvark, chimpanzeebobcat,
chimpanzeechimpanzee}
Q1: O que é L ?
Q2: O que é LØ ?
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Algebra de LinguagensA1: L = L. De modo geral, é a identidade da
“algebra” de linguagens. I.e., se pensarmos na concatenação como sendo multiplicação, age como o número 1.
A2: LØ = Ø. Dualmente a , Ø age como o número zero,
obliterando qq string com o qual é concatenado.
Nota: Na analogia entre números e linguagens, a adição corresponde à união e a multiplicação corresponde à concatenação, formando assim uma “algebra”.
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Operações Regulares – Kleene-*
Computabilidade: Considere a linguagemB = { ba, na }
Q: Qual é a linguagem B * ?
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Operações Regulares – Kleene-*
A:B * = { ba, na }*= { ,
ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }
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Operações Regulares – Kleene-+Kleene-+ é tal como Kleene-* exceto que o
padrão deve ocorrer pelo menos uma vez.
B+ = { ba, na }+= { ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }
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Linguagens Regulares
DEF: Linguagens regulares são aquelas que podem ser geradas a partir de linguagens finitas pela aplicação de operações regulares.
Q: Podemos começar a partir de linguagens ainda mais básicas que linguagens finitas arbitrárias?
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Linguagens RegularesR: Sim. Podemos começar com linguagens que
consistem de um único string, os quais consistem de um único caractere. Essas são chamadas linguagens regulares “atômicas”.
EX: Para gerar a linguagem finita L = { banana, nab }
Podemos começar com as linguagens atômicasA = {a}, B = {b}, N = {n}.
Então podemos expressar L como:
L = (B A N A N A) (N A B )
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Exemplos de Linguagens Números primos unários:
{ 11, 111, 11111, 1111111, 11111111111, … }= {12, 13, 15, 17, 111, 113, … }= { 1p | p é um número primo }
Quadrados unários:{, 1, 14, 19, 116, 125, 136, … }= { 1n | n é um quadrado perfeito }
Strings de bits que são palíndromos:{, 0, 1, 00, 11, 000, 010, 101, 111, …} = {x {0,1}* | x = xR }
Veremos mais adiante de que classe são essas linguagens.
Exercícios Recomendados
Sipser pag. 26: 2, 3
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
esta seta denota inicio
círculoduplodenotaaceita
entrada em fita lida daesquerda p/ direita
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
1 1 0 0 1
01
REJEITA!
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
01
Q: Que tipos de bitstrings são aceitos?
Autômato Finito Determinista
0
1
0
1
01
R: Bitstrings que representam números binários pares.
Autômato Finito Determinista
Exercicio: Projete uma máquina que determina quando um string de entrada é um número na base-10 divisível por 3
Qual deve ser o alfabeto?Como você pode determinar se um
número é divisível por 3?
Autômato Finito Determinista
Solução:
0 mod 3
1 mod 3
2 mod 30,3,6,9
0,3,6,9
0,3,6,9
1,4,7
1,4,7
1,4,7
2,5,8 2,5,8
2,5,8
Definição Formal de FA
DEF: Um autômato finito (determinista) (FA) consiste de um conjunto de estados Q, um alfabeto , transições rotuladas entre estados , um estado inicial q0 Q,
e um conjunto de estados de aceitação F.
M = (Q, , , q0, F )
Porque Determinista?
Determinista significa que existe informação suficiente para sempre determinar qual é o próximo estado para o qual vai o autômato, ao ler um dado símbolo.
0 mod 3 1 mod 3
2 mod 3
0,3,6,9
0,3,6,9
0,3,6,9
1,4,7
1,4,71,4,7
2,5,8 2,5,8
2,5,8
Exercicio: Obtenha adescrição formal deste autômato.
Definição de FA, exemplo
Q = { 0 mod 3, 1 mod 3, 2 mod 3 } ( renomeie: {q0, q1, q2} )
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }q0 = 0 mod 3
F = { 0 mod 3 } – requer explicação adicional
A função de transição Determina o estado para o qual vai o
autômato, dado o estado corrente e o símbolo corrente na entrada. I.e., dado um estado q Q e um símbolo a , define um único estado alvo q ’Q. Em outras palavras, é uma função do
produto Cartesiano Q x emQ :
QQ :δ
A função de transição
?),(δ:Questão
.)5,(δ,)3,(δ ,)7,(δ
,)2,(δ,)9,(δ ,)2,(δ
:δ
122221
010020
jq
qqqqqq
qqqqqq
i
A função de transição
3 mod )(),(δ jii qjq
Usualmente a função de transição nãotem uma definição tal como nesse caso,dada por uma fórmula simples.
Definição Formal de FA:Dinâmica
Como um FA opera sobre um string?
Existe implicitamente a noção de uma fita que contém o string. O FA lê a fita da esquerda para a direita e cada caractere faz com que o autômato vá para um novo estado, definido pela função . Quando o string é lido completamente, ele é aceito ou não, conforme o estado final do FA seja ou não um estado de aceitação.
Definição Formal de FA:Dinâmica
DEF: Um string u é aceito por um autômato se o caminho rotulado por u, a partir do estado inicial q0, termina em um estado de aceitação.
Nota: Para definir precisamente o que significa um caminho rotulado por um string, aplicamos repetidamente à sequência de caracteres de u, guardando a sequência de estados correspondente.
Veja Sipser para maiores detalhes.
Linguagem aceita por um FA
DEF: A linguagem aceita por um FA M é o conjunto de todos os strings que são aceitos por M e é denotada por L (M ).
Intuitivamente, pense em todos os possíveis caminhos que levam do estado inicial a um estado de aceitação do autômato. Então pense em todas as possíveis maneiras de rotular esses caminhos (caso existam múltiplos rótulos em algumas setas).
Linguagens Regulares
Veremos mais adiante que nem toda linguagem pode ser descrita como uma linguagem aceita por um FA. Uma linguagem que é aceita por algum FA exibe um alto grau de regularidade.
THM: Toda linguagem L para a qual existe
um FA M tal que L = L (M ) é uma linguagem regular
Exercício
Defina um FA que aceita a linguagem L sobre o alfabeto {0,1} cujos strings começam com 0 e terminam com 10 ou com 11
Exercícios Recomendados
Sipser pags 83, 84: 1, 2, 3 e 4