bc0005 aula 04_erros_e_funcoes_2009-1c
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BC-0005Bases Computacionais da
CiênciaBases Computacionais da
Ciência
Aula 04Elaboração de Gráficos, Erros e
Santo André, março de 2009
Equipe de Professores de Bases Computacionais
Elaboração de Gráficos, Erros eAproximações de Funções
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Roteiro desta aula
PARTE I – Utilização do BrOffice para Elaboração de Gráficos
• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais• Linhas de tendência: regressão linear, logarítmica, exponencial e geométrica• Equação da curva de ajuste e função de correlação• Barras de erro: constante, percentual• Mudanças de escala
PARTE II – Exercícios Propostos
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Elaboração de Gráficos (revisão) Suponha que determinado processo tenha como resultado um aumento de temperatura da água (ºC) ao longo do tempo (horas). As medidas foram tabeladas, como mostrado a seguir
Tempo (horas) Temperatura (ºC)
0 23
2 27
4 31
6 36
8 418 41
10 45
12 49
14 52
3
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Gráfico de Dispersão
• Usando o BrOffice, selecione as colunas referentes aos dados de tempo e temperaturadados de tempo e temperatura
• Vá ao menu Inserir →Gráfico → XY (Dispersão)
• Série de dados em colunas e a primeira linha como rótulo
4
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Elementos Gráficos
• Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos • Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos eixos x e y
• Exibir grades para os eixos x e y
5
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Alteração das Dimensões
• As dimensões dos gráficos 60
• As dimensões dos gráficos podem ser alteradas conforme a necessidade
• Para a alteração das dimensões, use o mouse, alterando o tamanho do eixo x, do eixo y ou de
10
20
30
40
50
Te
mp
era
tura
(ºC
)
eixo x, do eixo y ou de ambos (diagonal)
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
Tempo (horas)
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Estatística dos Dados
• Para analisar dados adquiridos em um experimento sempre é aconselhável usar estatística, para melhor entendimento dos resultadosresultados• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Linhas de Tendência
7
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Linhas de Tendência
• As linhas de tendência procurarão ajustar uma curva analítica para a descrição dos dados (experimentais) da planilha
• As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: • As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: nenhuma (padrão: não mostra curva), linear, logarítmica, exponencial e geométrica
• Há também a opção de mostrar a equação de ajuste e o coeficiente R2
• O coeficiente R2 define quão boa é a curva de ajuste definida para os dados e varia boa é a curva de ajuste definida para os dados e varia de 0 a 1
• Quanto mais próximo de 1 for o coeficiente, melhor será a curva de ajuste
8
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Curva de Tendência Linear
Equação de 50
60
O número de casas decimais Equação de
ajuste e Coeficiente R2
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668
Te
mp
era
tura
(ºC
)decimais mostrado pelo BrOffice e o tamanho da fonte podem ser ajustados nas propriedades!
9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
propriedades!
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Curva de Tendência Logarítmica
50
60
Observe que haverá sempre um
10
20
30
40
f(x) = 13,17043 ln(x) + 14,97380R² = 0,94434
Te
mp
era
tura
(ºC
)
haverá sempre um ajuste do tipo de curva escolhida que melhor se ajusta aos dados!
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,94434
Tempo (horas)
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Curva de Tendência Exponencial
50
60
10
20
30
40
f(x) = 24,22593·1,06094 x̂R² = 0,97947
Te
mp
era
tura
(ºC
)
11
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,97947
Tempo (horas)
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Curva de Tendência Geométrica
50
60
10
20
30
40
f(x) = 20,09878 x 0̂,34925R² = 0,97499
Te
mp
era
tura
(ºC
)
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,97499
Tempo (horas)
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Barras de Erro• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Barras de Erro Y As opções mais comuns serão valor constante e valor percentual
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Barra de Erro Constante
• Os erros aparecem sempre devido a imprecisões nas medidas dos dados. Pense, por exemplo, na medida de tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva para percorrer determinada distância
• Nesse caso, a medida dependerá bastante da precisão com que o operador do cronômetro para o processo de contagem do tempo
• O erro de um determinado instrumento é sempre suposto como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou • O erro de um determinado instrumento é sempre suposto como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou para menos. No caso do termômetro do exemplo ter divisões de 1 ºC, seu erro será de 0,5 ºC
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Barras de Erro de 0,5 ºC
Observe se a curva ajustada se
50
60
curva ajustada se encontra no intervalo definido pelas barras de erros!
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668
Te
mp
era
tura
(ºC
)
15
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
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Barras de Erro de 5 ºC
Nesse caso, as barras de
50
60
Apenas para melhor
as barras de 5 ºC só fariam sentido se o termômetro tivesse precisão de 10 ºC!!
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668
Te
mp
era
tura
(ºC
)melhor visualizar as barras de erros, estas foram alteradas para 5 ºC!
10 ºC!!
16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
alteradas para 5 ºC!
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Barra de Erro Percentual
• O erro percentual depende da grandeza que está sendo medidaO erro percentual depende da grandeza que está sendo
medida
• Isso tende a causar erros grandes quanto maiores forem as leituras do equipamento, o que pode ser evidenciado pelo gráfico a seguir, onde são mostrados os dados do nosso termômetro de exemplo com erros de 5% (diferente de 5ºC !) sobre a medida 5ºC !) sobre a medida
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Barra de Erro Percentual
Note que para valores
50
60
para valores maiores de temperatura, as barras de erros são também maiores.
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668
Te
mp
era
tura
(ºC
)
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
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Barra de Erro Padrão• O erro padrão (parâmetro estatístico que será abordado em aula futura) também pode ser usado para a descrição dos erros no BrOffice, assim como o desvio padrão e a variância
60
20
30
40
50
60
Te
mp
era
tura
(ºC
)
19
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
10 f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668
Tempo (horas)
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Linhas de Tendência com Gráfico de Barras
• O uso de linhas de tendência pode ser feito também com • O uso de linhas de tendência pode ser feito também com outros tipos de gráficos, como os gráficos de barras
6
8
10
12
14
16
Empresa A
Regressão
linear de
Empresa A
Empresa B
Lu
cro
Ap
ura
do
(m
ilhõ
es
de
R$
)
6
8
10
12
14
16
Empresa A
Regressão
logarítmica
de Empresa
A
Lu
cro
Ap
ura
do
(m
ilh
õe
s d
e R
$)
2004 2005 2006 2007 2008
0
2
4
6 Empresa B
Regressão
linear de
Empresa B
Ano
Lu
cro
Ap
ura
do
(m
ilhõ
es
de
R$
)
2004 2005 2006 2007 2008
0
2
4
6 Empresa B
Regressão
logarítmica
de Empresa
B
Ano
Lu
cro
Ap
ura
do
(m
ilh
õe
s d
e R
$)
Regressão Linear Regressão Logarítmica20
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Problema com Escalas• A tabela a seguir representa os resultados de probabilidade de Bloqueio em duas Redes de Comunicação • Esses dados são apresentados em um gráfico de linhasEsses dados são apresentados em um gráfico de linhas
Carga na Rede (%)
Probabilidade de Bloqueio
Rede A Rede B
0.2 8,00E-002 7,63E-003
0.4 2,43E-001 8,00E-002
0.6 4,30E-001 2,83E-001
0.8 6,70E-001 4,58E-001 3,00E-001
4,00E-001
5,00E-001
6,00E-001
7,00E-001
8,00E-001
Rede A
Rede B
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
0.8 6,70E-001 4,58E-001
• Note que a escala linear não permite a visualização correta da significância de um dos dados!!
0.2 0.4 0.6 0.8
0,00E+000
1,00E-001
2,00E-001
3,00E-001 Rede B
Carga na Rede
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
21
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Mudança de Escala• A escala linear não é adequada para a apresentação de dados com ordens de grandeza muito diferentes • Nestes casos deve-se optar por uma mudança de escala
• Selecione o eixo para o qual a escala será alterada (Ex: Eixo Y – dê dois cliques sobre o Eixo Y) • Uma caixa de diálogo com todas as características do Eixo Y será apresentada 22
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Escala Logarítmica• Na aba Escala, selecione a opção Escala do logaritmo.
1,00E+000
1,00E-002
1,00E-001
1,00E+000
Rede A
Rede B
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
0.2 0.4 0.6 0.8
1,00E-003
Carga na Rede (%)
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
23
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Comparação Escala Linear X Logarítmica
8,00E-001 1,00E+000
1,00E-001
2,00E-001
3,00E-001
4,00E-001
5,00E-001
6,00E-001
7,00E-001
Rede A
Rede B
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
1,00E-002
1,00E-001
1,00E+000
Rede A
Rede B
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io0.2 0.4 0.6 0.8
0,00E+000
1,00E-001
Carga na Rede
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
0.2 0.4 0.6 0.8
1,00E-003
Carga na Rede (%)
Pro
ba
bilid
ad
e d
e B
loq
ue
io
Escala Linear Escala Logarítmica24
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Dados melhor visualizados em Escala Logarítmica, mas apresentados em Escala Linear
20000
30000
40000
50000
60000
y
10 100 1000 10000 100000
0
10000
x
Atenção especial para os valores dos dados!!!Note que a Escala do Eixo X já é logarítmica.
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Escala Log x Log
100000
10
100
1000
10000y
10 100 1000 10000 100000
1
x
Melhor apresentação dos valores reais!
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Concluindo...
o Nesta aula discutimos alguns pontos importantes da visualização de dados usando gráficos. Estes pontos visualização de dados usando gráficos. Estes pontos são:
• Elementos (eixos e legendas) • Tamanho• Aproximação de Funções• Curvas de Erros• Escalas• Escalas
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ExercíciosExercício de Sala de Aula: Dado um conjunto de dados que representam os resultados de exames de saúde obtidos de um grupo de 40 homens (Tabela 1):
1- Faça dois gráficos de dispersão do IMC x Peso, atribuindo errosde 5 e 10% para o IMC2- Para cada um dos gráficos trace linhas de tendência linear,logarítmica, exponencial e geométrica3- Discuta a equação da curva de ajuste e o coeficiente R2 paratodos os ajustes realizados
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Exercício para casa: Dado o conjunto de dados que relaciona massa com diâmetro em um experimento de dimensão fractal (Método utilizado paramedir comprimentos, áreas e volumes fragmentados) (Tabela 2):
1- Faça um gráfico linear da massa (M) x diâmetro (D) 2- Faça um gráfico (“loglog”) da massa (M) x diâmetro (D) 3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráficolinear dos dados convertidos3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráficolinear dos dados convertidos4- Determine a dimensão fractal, dado pelo coeficiente angular da retado gráfico de logM x LogD
Obs.: A dimensão fractal é dada pela relação:
M ~ Ddf
onde M e D correspondem à massa e ao diâmetro medidosrespectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D respectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D temos que:
log (M) = df. log (D)
Desta forma, se o gráfico “loglog” for uma reta descrita por uma equaçãodo tipo: y= A.x+ B, o valor da dimensão fractal será dado por A
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Tabela 1
30
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D (mm) M(g)
2 10,56
4 111,43
5 237,96
8 1176,27
10 2511,89
12 4668,92
14 7885,61
Tabela 2
14 7885,61
16 12416,75
18 18532,18
20 26515,63
22 36663,77
24 49285,39
26 64700,76
28 83241,00
30 105247,62
32 131072,00
34 161075,07
31
34 161075,07
36 195626,87
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