bb - raciocínio lógico - 5 - 2012

BB – RACIOCÍNIO LÓGICO (ESCRITURÁRIO) 10/02/2011

APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 1

1. Lógica sentencial e de primeira ordem. 2. Enumeração por recurso. 3. Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. 4. Arranjo. 5. Permutação. 6. Combinação simples e com repetição.

LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM

Elementos de Lógica sentencial 1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predicados. A lógi-

ca sentencial estuda argumentos que não dependem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo:

(1) Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. Deus existe. Logo, a felicidade eterna é possível. A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as senten-

ças são conectadas, mas não depende da estrutura interna das senten-ças. A forma lógica de (1) deixa isso claro:

(1a) Se A, então B. A. Logo, B. Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumentos cuja vali-

dade depende da estrutura interna das sentenças. Por exemplo: (2) Todos os cariocas são brasileiros. Alguns cariocas são flamenguistas. Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. A forma lógica de (2) é a seguinte: (2a) Todo A é B. Algum A é C. Logo, algum B é A. A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto dos indiví-

duos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. A segun-da, diz que „dentro‟ do conjunto dos cariocas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são flamenguistas, pois esses flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas.

Note, entretanto, que as sentenças „todos os cariocas são brasileiros‟

e „alguns cariocas são flamenguistas‟ têm uma estrutura diferente da sentença „se Deus existe, a felicidade eterna é possível‟. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças „Deus existe‟ e „a felicidade eterna é possível‟, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutura interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras. O que caracteriza a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum e nenhum. É por esse motivo que a validade de um argumento como o (2) depende da estrutura interna das sentenças. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade.

Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sentencial, e se-

guiremos esse caminho aqui. Nesta unidade vamos estudar alguns ele-mentos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos elementos

da lógica de predicados. 2. Sentenças atômicas e moleculares Considere-se a sentença (1) Lula é brasileiro. A sentença (1) é composta por um nome próprio, „Lula‟, e um predi-

cado, „... é brasileiro‟. Em lógica, para evitar o uso de „...‟, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predi-cado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Consi-dere agora a sentença (2) Xuxa é mãe de Sasha.

A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras diferentes, que

correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (2):

(2a) x é mãe de Sasha; (2b) Xuxa é mãe de x; (2c) x é mãe de y. Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado de um pre-

dicado binário, isto é, um predicado que, diferentemente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença.

As sentenças (1) e (2) acima são denominadas sentenças atômicas.

Uma sentença atômica é uma sentença formada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos opera-dores lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores todo, nenhum, algum etc.

Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos

operadores sentenciais. Exemplos de sentenças moleculares são (3) Lula é brasileiro e Zidane é francês, (4) Se você beber, não dirija, (5) João vai à praia ou vai ao clube. 3. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas

do português não, ou, e, se...então, se, e somente se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é determinado somen-te pelos valores de verdade das sentenças que a constituem.

Os operadores sentenciais se comportam de uma maneira análoga às

funções matemáticas. Estas recebem números como argumentos e pro-duzem números como valores. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valo-res de verdade. Considere-se a seguinte função matemática:

(4) y

Dizemos que y g-nifica que o valor de y depende do valor atribuído a x.

Quando x 1, y 2;

x 2, y 3;

x 3, y 4, e assim por diante. Analogamente a uma função matemática, uma

função de verdade recebe valores de verdade como argumentos e produz valores de verdade como valores.

As chamadas tabelas de verdade mostram como os operadores da

lógica sentencial funcionam. No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sentenças a partir

das quais a sentença composta foi formada – no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso.

4. A negação Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a negação. A ta-




bela de verdade da negação de uma sentença A é A não A V F F V A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma

sentença verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa.

Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em portu-

guês. Considere a sentença verdadeira (5) Lula é brasileiro. As sentenças (6) Não é o caso que Lula é brasileiro, (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e (8) É falso que Lula é brasileiro são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma sentença atô-

mica, podemos também negar (5) por meio da sentença (9) Lula não é brasileiro. A negação em (9) é denominada negação predicativa, pois nega o

predicado, ao passo que em (6) há uma negação sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de sentenças atômicas, a negação predicati-va é equivalente à negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com sentenças moleculares e sentenças com quantificadores.

Note que negar duas vezes uma sentença equivale a afirmar a própria

sentença. A negação de (5) Lula é brasileiro é (9) Lula não é brasileiro, e a negação de (9), (10) Não é o caso que Lula não é brasileiro, é a negação da negação

de (5), que é equivalente à própria sentença (5). 5. A conjunção Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjunção. Conside-

re-se a sentença (11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol. A sentença (1) é composta por duas sentenças, (12) João foi à praia e (13) Pedro foi ao futebol conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação vero-funcional do

operador e, o valor de verdade de (11) depende apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). É fácil perceber que (11) é verdadeira somente em uma situação: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. A tabela de verdade de uma conjunção A e B é a seguinte:

A B A e B V V V V F F F V F F F F Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção, A e B é equi-

valente a B e A. Não faz diferença alguma afirmarmos (11) ou (14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia.

É importante observar que a interpretação vero-funcional da conjun-

ção não expressa todos os usos da partícula e em português. A sentença (15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é equivalente a (16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho. Em outras palavras, o e que ocorre em (15) e (16) não é uma função

de verdade. 6. A disjunção Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjunção. Há dois

tipos de disjunção, a inclusiva e a exclusiva. Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade como

resultado. Começarei pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença (17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube, que é formada pela

sentenças (18) João vai à praia e (19) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. A sentença (17)

é verdadeira em três situações: (i) João vai à praia e também vai ao clube; (ii) João vai à praia mas não vai ao clube e (iii) João não vai à praia mas vai ao clube. A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte: A B A ou B V V V V F V F V V F F F No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira quando

uma das sentenças A e B é verdadeira ou quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B serem simul-taneamente verdadeiras.

No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira ape-

nas em duas situações: (i) A é verdadeira e B é falsa; (ii) B é verdadeira e A e falsa. Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem ambas as

sentenças verdadeiras. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é A B A ou B V V F V F V F V V F F F Um exemplo de disjunção exclusiva é (20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde, que é for-

mada a partir das sentenças: (21) o PMDB receberá o ministério da saúde; (22) o PP receberá o ministério da saúde. Quando se diz que um determinado partido receberá um ministério,

isso significa que um membro de tal partido será nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da saúde, não é possível que (21) e (22) sejam simultaneamente verdadeiras. O ou da sentença (20), portanto, é exclusivo.

Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para designar o

ou inclusivo e o exclusivo. No latim, há duas palavras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. No português isso não ocorre. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva ou exclusiva.

Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e B ou A são

equivalentes. Isso vale tanto para o ou inclusivo quanto para o exclusivo. 7. A condicional Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B. A é deno-

minado o antecedente e B o conseqüente da condicional. Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença entre um ar-

gumento (23) A, logo B e uma condicional (24) se A, então B. Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. Note que o que

vem depois do „logo‟ é afirmado como verdadeiro e é a conclusão do argumento. Já em (24), nada se diz acerca da verdade de A, nem de B. (24) diz apenas que se A é verdadeira, B também será verdadeira. Note que apesar de uma condicional e um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em (23) dizemos que A é o antecedente do argumento, e B é o conseqüente do argumento. Em (24), dizemos que A é o antecedente da condicional, e B é o conse-




qüente da condicional. Da mesma forma que analisamos o e e o ou como funções de verda-

de, faremos o mesmo com a condicional. Analisada vero-funcionalmente, a condicional é denominada condicional material.

Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpretação vero-

funcional do operador sentencial e não corresponde exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos se...então para expressar uma relação entre os conteúdos de A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de B. Isso não ocorre na interpretação do se...então como uma função de verdade. A tabela de verdade da condicional material é a seguinte:

A B se A, então B V V V V F F F V V F F V Uma condicional material é falsa apenas em um caso: quando o ante-

cedente é verdadeiro e o conseqüente falso. A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da condicional mate-

rial costumam causar problemas para estudantes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicional seja verdadeira sempre que o antecedente é falso, mas veremos que isso é menos estranho do que parece.

Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que Victor é um pa-

rente do seu vizinho que acabou de chegar da França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora considere a sentença:

(25) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro. O antecedente de (25) é (26) Victor é carioca e o conseqüente é (27)

Victor é brasileiro. A sentença (25) é verdadeira, pois sabemos que todo carioca é brasi-

leiro. Em outras palavras, é impossível que alguém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por esse motivo, a terceira linha da tabela de verdade, que tornaria a condicional falsa, nunca ocorre.

Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades, que corres-

pondem às seguintes situações: (a) Victor é carioca. (b) Victor é paulista. (c) Victor é francês. Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o antecedente e o conse-

qüente da condicional são verdadeiros. Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui não há pro-

blema algum. Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o antecedente da

condicional (26) Victor é carioca é falso, mas o conseqüente (27) Victor é brasileiro é verdadeiro.

Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade da condicio-

nal. Note que a condicional (25) continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o antecedente é falso.

Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto (26) Victor é

carioca quanto (27) Victor é brasileiro são falsas. Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da condicional material. Mas, ainda assim, a sentença (25) é verdadeira.

Vejamos outro exemplo. Considere a condicional (28) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prêmio. Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é impossível

(em uma situação normal) o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente

falso. Isto é, não é possível Pedro não jogar e ganhar na loteria. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (28).

Não é difícil perceber, em casos como (25) e (28) acima, por que uma

condicional é verdadeira quando o antecedente é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma função de verdade, coisas como (29) se 2 + 2 = 5, então a Lua é de queijo são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos condicionais com o antecedente falso.

Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não expressa

todos os usos do se...então em português e, além disso, produz resulta-dos contra-intuitivos como a sentença (29), por que ela é útil para o estudo de argumentos construídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O caso em que a condicional material é falsa, a segunda linha da tabela de verdade, corresponde exatamente ao caso em que, no uso corrente da linguagem, uma sentença se A, então B é falsa. Considere-se a sentença (30) Se Lula conseguir o apoio do PMDB, então fará um bom governo.

Em (30), o ponto é que Lula fará um bom governo porque tem o apoio

do PMDB. Há um suposto nexo explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, entretanto, que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, (30) é falsa.

Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar, na lingua-

gem natural, uma condicional se A, então B, todas equivalentes. Se A, B B, se A Caso A, B B, caso A As expressões abaixo também são equivalentes a se A, então B: A, somente se B Somente se B, A A é condição suficiente para B B é condição necessária para A,mas elas serão vistas com mais a-

tenção na seção sobre condições necessárias e suficientes. 8. Variantes da condicional material Partindo de uma condicional (31) Se A, então B podemos construir sua conversa, (32) Se B, então A sua inversa (33) Se não A, então não B e sua contrapositiva (34) Se não B, então

não A. Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima que precisam

ser observados. Vimos que A e B e B e A, assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto, se A, então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!!

Isso pode ser constatado facilmente pela construção das respectivas

tabelas de verdade, que fica como exercício para o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Considere as sentenças: (35) Se João é carioca, João é brasileiro e

(36) Se João é brasileiro, João é carioca. Enquanto a sentença (35) é verdadeira, é evidente que (36) pode ser

falsa, pois João pode perfeitamente ser brasileiro sem ser carioca. Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se não B, então

não A são equivalentes. Isso pode ser constatado pela construção da tabela de verdade, que fica como um exercício para o leitor. Mas note que a contrapositiva de (35), (37) Se João não é brasileiro, não é carioca, é verdadeira nas mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. A dife-rença entre (35) e (37) é que (35) enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, enquanto (37) enfatiza que ser brasileiro é




condição necessária para ser carioca. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e suficientes.

9. Negações Agora nós vamos aprender a negar sentenças construídas com os

operadores sentenciais. Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é falsa. Por

esse motivo, para negar uma sentença construída com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é falsa.

9a. Negação da disjunção Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclusiva). Como

vimos, uma disjunção A ou B é falsa no caso em que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma disjunção, nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A ou B e não A e não B para constatar que são idênticas.

(1) João comprou um carro ou uma moto. A negação de (1) é: (2) João não comprou um carro e não comprou uma moto, ou (3) João nem comprou um carro, nem comprou uma moto. Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a negação de uma

disjunção com a expressão nem...nem. Nem A, nem B significa o mesmo que não A e não B.

(4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP receberá o mi-nistério da cultura.

A negação de (4) é: (5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o PP receberá

o ministério da cultura. Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a nega-

ção das sentenças do lado esquerdo. DISJUNÇÃO NEGAÇÃO A ou B não A e não B A ou não B não A ou B não A ou não B 9b. Negação da conjunção Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da disjunção, para

negar uma conjunção precisamos afirmar os casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a segunda, a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade. Isto é, A e B é falsa quando:

(i) A é falsa, (ii) B é falsa ou (iii) A e B são ambas falsas. É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pelo e ser falsa

para a conjunção ser falsa. A negação de A e B, portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A e B e não A ou não B para constatar que são idênticas.

Exemplos de negações de conjunções: (6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério da cultura. A negação de (6) é (6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou não receberá o

ministério da cultura. (7) Beba e dirija. A negação de (7) é (7a) não beba ou não dirija.

Fonte: http://abilioazambuja.sites.uol.com.br/1d.pdf

ENUMERAÇÃO POR RECURSO Enumeração é a seqüência de pelo menos dois elementos de mesmo

status sintático no discurso. Há três tipos de enumeração:

Aditiva - representada pelo conetivo 'e'. Optativa exclusiva - representada pelo conetivo 'ou'. Optativa não exclusiva - representada pela conexão 'e/ou'.

EXERCÍCIOS

01) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.

A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:

a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer

Patrícia não seja uma boa amiga c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena

não é uma boa amiga d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga 02) Na questão, observe que há uma relação entre o primeiro e o

segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternati-vas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interro-gação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e ex-clui as letras K, W e Y.

CASA : LATA : : LOBO : ? a) SOCO b) TOCO c) TOMO d) VOLO 03) Uma das formas mais simples de argumentar consiste em duas

frases, uma das quais é conclusão da outra, que é chamada pre-missa. Dentre as opções a seguir, assinale aquela em que a asso-ciação está correta.

a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos. Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a alunos e a pro-fessores.

b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente primitivos. Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários deuses.

c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6. Conclusão: N não é um número ímpar.

d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as eleições presi-denciais.

Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no interior do país. 04) Em uma carpintaria há mestres-carpinteiros e aprendizes. Os

mestres têm todos a mesma capacidade de trabalho. Os aprendi-zes, também.

Se 8 mestres juntamente com 6 aprendizes têm a mesma capaci-dade de produção de 6 mestres juntamente com 10 aprendizes, a capacidade de um dos mestres, sozinho, corresponde à de:

a) 2 aprendizes. b) 3 aprendizes. c) 4 aprendizes. d) 5 aprendizes. 05) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes

do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia Regina e Roberto voltaram?

a) Quarta-feira. b) Quinta-feira. c) Sexta-feira. d) Domingo. 06) Considere as seguintes afirmativas: I. Todas as pessoas inteligentes gostam de cinema; II. Existem pessoas antipáticas e inteligentes.

Admitindo-se que as afirmações acima são corretas, pode-se con-cluir que:

a) todas as pessoas que gostam de cinema são inteligentes. b) toda pessoa antipática é inteligente. c) podem existir pessoas antipáticas que não gostem de cinema.




d) as afirmações a, b e c são todas falsas. 07) Considere uma pergunta e duas informações as quais assumiremos

como verdadeiras. Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais baixo?

Informação 1: João é mais alto do que Luís. Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís. Diante desses dados conclui-se que: a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda

corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente. b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda

corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente. c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se

responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente.

d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente à pergunta.

08) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: a) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. b) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. c) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. d) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. 09) Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguar-

davam seu vôo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada embarcaram os idosos, que correspondiam à metade de P; na segunda, embarcaram as mulheres não idosas, cuja quantidade correspondia à metade do número de passageiros que haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns ho-mens, em quantidade igual à metade do número de passageiros que ainda restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, che-garam à sala mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na sala passou a ser a metade de P, então na:

a) primeira chamada embarcaram 34 passageiros. b) primeira chamada embarcaram 36 passageiros. c) segunda chamada embarcaram 16 passageiros. d) segunda chamada embarcaram 18 passageiros. 10) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logica-

mente eqüivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 11) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases AB = a e CD

= b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro tri-ângulos. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por ba-ses AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diagonais do trapézio é igual a:

a) (a + b)/2 b) (a + b)h/2 c) (a - b)h/2 d) (a - b)/2 12) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João,

Pedro, Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi reali-zada em uma mesa retangular com dois lugares de cada lado opos-to da mesa e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo as-sim, um lugar na mesa estava vago e este não estava perto do psi-cólogo. Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que:

a) o lugar vago estava perto do Paulo. b) o lugar vago estava perto do José. c) o lugar vago estava perto do João. d) o lugar vago estava perto do Pedro. 13) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido,

então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia

c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia 14) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado

em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à es-querda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sen-tada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sen-tada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete 15) Com a promulgação de uma nova lei, um determinado concurso

deixou de ser realizado por meio de provas, passando a análise curricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso preenches-sem e entregassem a ficha de inscrição e tivessem curso superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 anos. José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía curso superior, mas não passou no concurso. Conside-rando o texto acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma contradição com a desclassificação de José?

a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corretamente.

b) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil. c) José tem menos de 35 anos e curso superior completo. d) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil. 16) Se Beatriz não é mãe de Ana, é tia de Paula. Se Beatriz é irmã de

Flávio, é mãe de Ana. Se Beatriz é mãe de Ana, não é irmã de Flá-vio. Se Beatriz não é irmã de Flávio, não é tia de Paula. Logo, Bea-triz:

a) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. b) é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. c) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e é tia de Paula. d) é mãe de Ana, não é irmã de Flávio e não é tia de Paula. 17) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos

capacitados para a elaboração de determinado estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível hierárquico está entre:

a) 0,01 e 0,05. b) 0,06 e 0,10. c) 0,11 e 0,15. d) 0,16 e 0,20. 18) Estava olhando para o Norte. Girei 90º para a esquerda e passei,

portanto, a olhar para o Oeste. Girei 180º e depois girei 45º à es-querda. Depois girei 90º à esquerda e, depois, 135º à direita. Pas-sei, nesse momento, a olhar para o:

a) Norte; b) Leste; c) Nordeste; d) Sudeste; 19) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo,

e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente pa-ra o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jar-dim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a prince-

sa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.




20) Antônio, Bento, Ciro e Dorival são profissionais liberais. Um deles é advogado, outro é paisagista, outro é veterinário e outro é profes-sor. Sabe-se que: o veterinário não é Antônio e nem Ciro; Bento não é veterinário e nem paisagista; Ciro não é advogado e nem pai-sagista. A conclusão correta quanto à correspondência entre carrei-ra e profissional está indicada em:

a) advogado - Dorival b) paisagista - Dorival c) paisagista - Antônio d) advogado - Antônio 21) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João,

Pedro, Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi reali-zada em uma mesa retangular com dois lugares de cada lado opos-to da mesa e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo as-sim, um lugar na mesa estava vago e este não estava perto do psi-cólogo. Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que:

a) o lugar vago estava perto do Paulo. b) o lugar vago estava perto do José. c) o lugar vago estava perto do João. d) o lugar vago estava perto do Pedro. 22) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por

segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se mo-vimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou an-dando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a:

a) 1 minuto e 20 segundos. b) 1 minuto e 24 segundos. c) 1 minuto e 30 segundos. d) 1 minuto e 40 segundos. 23) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo

de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Pergun-tados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando Disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os

outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Tarso 24) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas,

sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaí-no. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, fi-cando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do fla-menguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a espo-sa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado en-tre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:

a) Regina e Sandra b) Tânia e Sandra c) Sandra e Tânia d) Regina e Tânia 25) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será

verdade que: a) todos não-artistas são não-atletas

b) nenhum atleta é não-artista c) nenhum artista é não-atleta d) pelo menos um não-atleta é artista 26) Os advogados Clóvis, Rui e Raimundo trabalham em agências

diferentes de um mesmo banco, denominadas Norte, Sul e Leste. Exercem, não necessariamente nesta ordem, suas funções nos se-tores de Financiamento, Cobrança e Ouvidoria. Sabe-se, ainda, que:

• Clóvis e o advogado da Agência Leste não trabalham na Ouvidoria. • O advogado da Agência Norte não é Clóvis nem Rui. • Na Agência Sul, o advogado não trabalha na Ouvidoria nem no

Financiamento. É possível concluir que: a) Clóvis trabalha no setor de Cobranças da Agência Norte. b) Rui, o advogado da Agência Leste, trabalha no setor de Ouvidoria. c) nem Raimundo, nem Rui trabalham no setor de Financiamento. d) nas Agências Sul e Norte, os advogados não trabalham com Finan-

ciamento. 27) Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários

cursos de português, inglês e italiano. Sabe-se que 20 funcionários cursam italiano e inglês; 60 funcionários cursam português e 65 cursam inglês; 21 funcionários não cursam nem português nem ita-liano; o número de funcionários que praticam só português é idênti-co ao número dos funcionários que praticam só italiano; 17 funcio-nários praticam português e italiano; 45 funcionários praticam por-tuguês e inglês; 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas informações pode-se concluir que a diferença entre o total de fun-cionários da empresa e o total de funcionários que não estão matri-culados em qualquer um dos cursos é igual a:

a) 93 b) 83 c) 103 d) 113 28) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras às terças,

quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da sema-na, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação "Eu menti ontem e também mentirei amanhã."?

a) Terça e quinta-feira. b) Terça e sexta-feira. c) Quarta e quinta-feira. d) Quarta-feira e sábado. 29) Paulo, João, Beto, Marcio e Alfredo estão numa festa. Sabendo-se

que cada um deles possui diferentes profissões: advogado, admi-nistrador, psicólogo, físico e médico. Temos: o advogado gosta de conversar com beto, Marcio e João, mas odeia conversar com o médico Beto joga futebol com o físico Paulo, Beto e marcio jogam vôlei com o administrador alfredo move uma ação trabalhista contra o médico. Podemos afirmar que Paulo é....

a) Paulo é o advogado, João é o administrador b) Alfredo é o advogado, Paulo é o médico. c) Marcio é o psicólogo, Alfredo é o médico d) Beto é o físico, Alfredo é o administrador 30) Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum

Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Gringles é:

a) Necessariamente verdadeira. b) Verdadeira, mas não necessariamente. c) Necessariamente falsa. d) Falsa, mas não necessariamente. 31) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois

cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é

a) 518.400 b) 1.440




c) 720 d) 120 32) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de

Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ô-nibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma pa-rada no trajeto, podemos afirmar que: I - Quando os dois se cruza-rem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165. II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.

a) Somente a hipótese (I) está errada. b) Somente a hipótese (II) está errada. c) Ambas as hipóteses estão erradas. d) Nenhuma das hipóteses está errada. 33) A hipotenusa de um triangulo retângulo mede 10 cm, e um de seus

catetos mede 6 cm. A área deste triangulo é igual a: a) 24 cm2 b) 30 cm2 c) 40 cm2 d) 48 cm2 34) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz

X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira or-dem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor comple-mentar do elemento y23 é igual a:

a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 35) Maria vai de carona no carro de sua amiga e se propõe a pagar a

tarifa do pedágio, que é de R$ 3,80. Verificou que tem no seu porta-níqueis moedas de todos os valores do atual sistema monetário brasileiro, sendo: duas moedas do menor valor, três do maior valor e uma moeda de cada um dos outros valores. Sendo assim, ela tem o suficiente para pagar a tarifa e ainda lhe sobrarão:

a) doze centavos. b) onze centavos. c) dez centavos. d) nove centavos. 36) Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um técnico

constatou que: • se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II, esta ficaria

com 46 transistores a mais do que a caixa I tinha inicialmente; • se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III, esta ficaria

com 30 transistores a mais do que a caixa II tinha inicialmente. • Se o total de transistores nas três caixas era de 183, então o núme-

ro inicial de transistores em: a) I era um número par. b) II era um número ímpar. c) III era um número menor que 85. d) I e III era igual a 119. 37) Para asfaltar 1 quilômetro de estrada, 30 homens gastaram 12 dias

trabalhando 8 horas por dia, enquanto que 20 homens, para asfalta-rem 2 quilômetros da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastam x dias. Calcule o valor de x.

a) 30 b) 22 c) 25 d) 24 38) Uma circunferência sobre um plano determina duas regiões nesse

mesmo plano. Duas circunferências distintas sobre um mesmo pla-no determinam, no máximo, 4 regiões. Quantas regiões, no máxi-

mo, 3 circunferências distintas sobre um mesmo plano podem de-terminar nesse plano?

a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 39) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à

frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encon-tra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitandose do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a por-ta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia esco-lhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nes-sa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a:

a) 1/2. b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. 40) Num concurso para preencher uma vaga para o cargo de gerente

administrativo da empresa M, exatamente quatro candidatos obtive-ram a nota máxima. São eles, André, Bruno, Célio e Diogo. Para decidir qual deles ocuparia a vaga, os quatro foram submetidos a uma bateria de testes e a algumas entrevistas. Ao término dessa etapa, cada candidato fez as seguintes declarações:

• André declarou: Se Diogo não foi selecionado, então Bruno foi selecionado.

• Bruno declarou: André foi selecionado ou eu não fui seleciona-do.

• Célio declarou: Se Bruno foi selecionado, então eu não fui selecionado.

• Diogo declarou: Se André não foi selecionado, então Célio foi. Admitindo-se que, das quatro afirmações acima, apenas a declara-

ção de Diogo seja falsa, é correto concluir que o candidato selecio-nado para preencher a vaga de gerente administrativo foi:

a) Célio b) André c) Bruno d) Diogo 41) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distin-

tas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obti-da no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A e os 30 seguintes na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso:

a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. c) As médias de ambas as turmas melhoraram. d) As médias de ambas as turmas pioraram. 42) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira,

independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme

é gordo 43) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem

10 letras: 6 do tipo I e 4 do tipo II. As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. As letras do tipo II são: g, p, q, y.




Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I.

Pode-se afirmar que: a) dhtby é acentuada. b) pyg é acentuada. c) kpth não é acentuada. d) kydd é acentuada. 44) A seção "Dia a dia", do Jornal da Tarde de 6 de janeiro de 1996,

trazia esta nota: "Técnicos da CETESB já tinham retirado, até o fim da tarde de

ontem, 75 litros da gasolina que penetrou nas galerias de águas pluviais da Rua João Boemer, no Pari, Zona Norte. A gasolina se espalhou pela galeria devido ao tombamento de um tambor num posto de gasolina desativado."

De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar a respeito da quantidade de litros de gasolina vazada do tambor para as gale-rias pluviais?

a) Corresponde a 75 litros. b) É menor do que 75 litros. c) É maior do que 75 litros. d) É impossível ter qualquer idéia a respeito da quantidade de gasoli-

na. 45) Certo dia, durante o expediente do Tribunal de Contas do Estado de

Minas Gerais, três funcionários Antero, Boris e Carmo executaram as tarefas de arquivar um lote de processos, protocolar um lote de documentos e prestar atendimento ao público, não necessariamen-te nesta ordem. Considere que:

- cada um deles executou somente uma das tarefas mencionadas; - todos os processos do lote, todos os documentos do lote e todas as

pessoas atendidas eram procedentes de apenas uma das cidades: Belo Horizonte, Uberaba e Uberlândia, não respectivamente;

- Antero arquivou os processos; - os documentos protocolados eram procedentes de Belo Horizonte; - a tarefa executada por Carmo era procedente de Uberlândia.

Nessas condições, é correto afirmar que: a) Carmo protocolou documentos. b) a tarefa executada por Boris era procedente de Belo Horizonte. c) Boris atendeu às pessoas procedentes de Uberaba. d) as pessoas atendidas por Antero não eram procedentes de Ubera-

ba. 46) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não existiria. Lenin

existiu. Logo, a) Lenin e Rasputin não existiram. b) Lenin não existiu. c) Rasputin existiu. d) Rasputin não existiu. 47) Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos

no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o quinto.

a) 17942 b) 25742 c) 65384 d) 86421 48) De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exata-

mente 3 elementos, do conjunto {1 ,2,3,4,5,6} no qual NÃO haja e-lementos consecutivos?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 18 49) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorren-

gos são cronópios então pode-se concluir que: a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.

b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. c) Todos os momorrengos são jaguadartes. d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. 50) Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm³ de volume,

3 cubos pretos, cada um com 2 cm³ de volume e 1 cubo azul de 3 cm³ de volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposi-ção, necessariamente um deles:

a) terá volume menor do que 3 cm³. b) terá volume maior do que 3 cm³. c) será uma bola. d) será azul. 51) Quatro pessoas querem trocar presentes. O nome de cada pessoa

é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas sorteia um papelzinho para saber quem ela irá presentear. A chance de as quatro pessoas sortearem seus pró-prios nomes é de

a) 1 em 3 b) 2 em 7 c) 1 em 4 d) 1 em 8 52) A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advoga-

dos é 40 anos. A média aritmética das idades dos médicos é 35 a-nos e a dos advogados é 50 anos. Pode-se, então, afirmar que:

a) O número de advogados é o dobro do número de médicos no grupo.

b) O número de médicos é o dobro do número de advogados no grupo.

c) Há um médico a mais no grupo. d) Há um advogado a mais no grupo. 53) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira,

independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme

é gordo 54) Na beira de uma lagoa circular existe, dentre outras coisas, um

bebedouro (B), um telefone público (T) e uma cerejeira (C). Curio-samente, uma pessoa observou que, caminhando de:

- B a T, passando por C, percorreu 455,30 metros; - C a B, passando por T, percorreu 392,50 metros; - T a C, passando por B, percorreu 408,20 metros.

O perímetro da lagoa, em metros, é igual a: a) 942 b) 871 c) 785 d) 628 55) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: "Alguma mulher é vaidosa." "Toda mulher é inteligente." Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamente verda-

deira? a) Alguma mulher inteligente é vaidosa. b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente. c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente. d) Toda mulher inteligente é vaidosa. 56) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à

presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspei-tos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de ca-misa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são ino-centes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre




eles era o culpado. Disse o de camisa azul: "Eu sou o culpado". Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: "Sim, ele é o culpado". Disse, por fim, o de camisa preta: "Eu roubei o co-lar da rainha; o culpado sou eu". O velho e sábio professor de Lógi-ca, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre men-

te. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a

verdade. 57) Três meninos, cujos nomes são Arnaldo, Beto e Carlos, têm as

seguintes características: - Um dos três é louro, outro é moreno e outro é ruivo. - Arnaldo mente sempre que Beto diz a verdade. - Carlos mente quando Beto mente. Cada um dos meninos faz uma afirmação. - Arnaldo afirma: Eu sou brasileiro ou não sou brasileiro. - Carlos afirma: Beto é ruivo. - Beto afirma: Eu sou louro ou Carlos é ruivo. Considerando as características e as afirmações citadas, é correto

concluir que Arnaldo, Beto e Carlos são, respectivamente, caracte-rizados como:

a) louro , ruivo , moreno b) ruivo, louro , moreno c) louro, moreno , ruivo d) ruivo, moreno, louro 58) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma

velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a:

a) 20 km por hora. b) 10 km por hora. c) 25 km por hora. d) 30 km por hora. 59) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada

eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deve-rá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua se-gunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:

- 22 para A - 18 para B - 20 para C Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é

igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 60) Caso Antonio seja mais alto que o Atanásio e Maurício seja mais

baixo que o Antonio, mas não seja o mais baixo dos três, podemos concluir que Atanásio é o mais baixo dos três. Diante da conclusão apresentada, podemos afirmar que ela é:

a) Necessariamente verdadeira. b) Verdadeira, mas não necessariamente. c) Necessariamente falsa. d) Falsa, mas não necessariamente. 61) Vislumbrando uma oportunidade na empresa em que trabalha, o Sr.

Joaquim convidou seu chefe para jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma mesa retangular de seis lugares - dois lugares de cada um dos la-dos opostos da mesa e as duas cabeceiras, as quais ficariam vazi-as. No dia do jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença da filha de seu chefe junto com ele e a esposa, sendo que a mesa que havia preparado esperava apenas quatro pessoas. Rapidamente a

esposa do Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as duas cabeceiras fi-carem vazias, uma foi ocupada pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe. Considerando-se que o lugar vago não ficou perto do Sr. Jo-aquim, perto de quem, com certeza, estava o lugar vago?

a) Perto do chefe do Sr. Joaquim. b) Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim. c) Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim. d) Perto da esposa do Sr. Joaquim. 62) Dois litros de refrigerante enchem 16 copos de _______ cada um. a) 12,5 ml b) 0,125 dl c) 125 ml d) 1,25 cl 63) Quantos números ímpares de cinco algarismos, menores que

66.380, podem ser formados a partir dos dígitos 2, 3, 6, 7 e 9? a) 927 b) 915 c) 943 d) 975 64) O Brasil conquistou o primeiro campeonato mundial de futebol, na

Suécia, no dia 29 de junho de 1958, um domingo que ficou marcado na memória dos brasileiros. Sobre essa data, considere as seguin-tes afirmativas:

1. O mês de junho de 1958 teve 5 domingos. 2. A primeira quinta-feira de junho de 1958 foi o dia 4. 3. Houve 5 quartas-feiras no mês de junho de 1958. 4. No ano de 2006, comemoramos 48 anos da conquista do primeiro

campeonato mundial de futebol, e o aniversário dessa conquista se-rá numa quinta-feira.

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. 65) Considere as seguintes premissas de um argumento: • Não há aumento de produtividade, se novas técnicas agrícolas não

são empregadas. • Se novas técnicas agrícolas são empregadas, aumentam os custos

de produção e não aumentam os preços dos insumos. • A produtividade aumenta. Uma conclusão logicamente derivada destas premissas é que: a) a produtividade aumenta e novas técnicas agrícolas não são em-

pregadas. b) novas técnicas agrícolas são empregadas na produção de insumos. c) custos de produção aumentam e preços dos insumos diminuem. d) os custos de produção aumentam e a produtividade aumenta. 66) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italia-

no, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Dé-bora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. 67) Um grupo de excursionistas iniciou uma trilha ao topo de uma

montanha às 9:00h, atingindo o cume às 17:00 h. No dia seguinte, o grupo iniciou o retorno do cume pela mesma trilha às 9:00 h, che-gando ao local de partida às 17:00 h. As condições dadas permitem concluir que:

a) (A) existe um local da trilha em que o grupo passou no mesmo horário do dia na subida e na descida.

b) o grupo fez o mesmo número de paradas no percurso de subida e de descida.

c) o grupo permaneceu no topo da montanha mais tempo do que o




despendido no trajeto total de subida e descida. d) a velocidade média do grupo na subida pode ter sido diferente da

velocidade média na descida. 68) Se o produto A é mais caro que o produto B e se o produto C é

mais barato que o produto A, mas não o mais barato dos três, pode-se concluir que o produto B é o mais barato dos três. Essa conclu-são é:

a) Necessariamente falsa. b) Verdadeira, mas não necessariamente. c) Necessariamente verdadeira. d) Falsa, mas não necessariamente. 69) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é: a) me caso e não compro sorvete; b) não me caso ou não compro sorvete; c) não me caso e não compro sorvete; d) não me caso ou compro sorvete; 70) Rui é guia turístico da empresa AAAA. É sabido que uma condição

necessária para que um indivíduo x seja guia turístico desta empre-sa é que x fale inglês ou francês; e uma condição suficiente é que x tenha diploma de curso superior em turismo ou em letras. A partir destas informações, é correto concluir que:

a) se Rui fala inglês, então Rui fala francês b) se Rui não fala inglês, então Rui fala francês c) Rui tem diploma de curso superior em turismo e letras d) Rui tem diploma de curso superior em turismo ou letras 71) Uma rede de concessionárias vende somente carros com motor 1.0

e 2.0. Todas as lojas da rede vendem carros com a opção dos dois motores, oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais. Quando comprados na loja matriz, carros com motor 1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com motor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direção hidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um car-ro com ar-condicionado e direção hidráulica em uma loja da rede.

Considerando-se verdadeiras as condições do texto acima, qual das alternativas abaixo precisa ser verdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr. Asdrubal?

a) Caso seja um carro com motor 2.0, a compra não foi realizada na loja matriz da rede.

b) Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um carro com motor 2.0.

c) É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não o comprou na loja matriz.

d) O Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro com motor 2.0. 72) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos

não vazios): - Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" - Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente: a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y 73) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão partici-

par de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmen-te, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de di-ferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 74) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número

525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla cor-

respondente ao 6? a) 93 b) 92 c) 88 d) 87 75) Os filhos de Matilde, Benta e Penélope são, não necessariamente

nesta ordem, Marcos, Beto e Paulo. Uma delas é irmã de Oscar, a outra é irmã de Fernando, e a outra é irmã de Sérgio. Matilde é irmã de Oscar. Penélope é mãe de Paulo. Benta não é irmã de Sérgio e não é mãe de Marcos. Assim, os filhos e os irmãos de Benta e Pe-nélope são, respectivamente,

a) Beto e Sérgio, Paulo e Fernando. b) Beto e Fernando, Marcos e Sérgio. c) Paulo e Fernando, Beto e Sérgio. d) Beto e Fernando, Paulo e Sérgio. 76) Pedro namora ou trabalha; lê ou não namora; rema ou não trabalha.

Sabendo-se que Pedro não rema, é correto concluir que ele: a) trabalha e namora. b) não namora e lê. c) não lê e trabalha. d) lê e namora. 77) Ao preparar o relatório das atividades que realizou em novembro de

2006, um motorista viu que, nesse mês, utilizara um único carro pa-ra percorrer 1875 km, a serviço do Ministério Público da União. Cu-riosamente, ele observou que, ao longo de todo esse percurso, ha-via usado os quatro pneus e mais o estepe de tal carro e que todos estes cinco pneus haviam rodado a mesma quilometragem. Diante disso, quantos quilômetros cada um dos cinco pneus percorreu?

a) 375 b) 750 c) 1125 d) 1500 78) Considere verdadeiras as afirmativas a seguir. I - Alguns homens gostam de futebol. II - Quem gosta de futebol vai aos estádios. Com base nas afirmativas acima, é correto concluir que: a) Todos os homens vão aos estádios. b) Apenas homens vão aos estádios. c) Há homens que não vão aos estádios. d) Se um homem não vai a estádio algum, então ele não gosta de

futebol. 79) O prefeito de um município, em campanha para reeleição, divulgou

que, durante seu governo, o número de crianças na escola aumen-tou em 100%. Considere os comentários feitos por Pedro, João e André sobre esta afirmativa:

- Pedro: “Agora temos muito mais crianças na escola.” - João: “Agora todas as crianças estão na escola”. - André: “Ainda existem mais crianças fora da escola do que crianças

na escola”. A única afirmativa de que podemos ter certeza ser verdadeira é: a) Se André está correto, então o prefeito mentiu. b) Se o prefeito disse a verdade, então João está correto. c) Se Pedro está correto, então André está errado. d) Se André está correto, então João está errado. 80) Jurandir, Kátia, Karina e Márcio são programadores. Eles trabalham

com as linguagens JAVA, Visual Basic, C e Pascal. - Jurandir diz: “Eu programo em Pascal e Márcio em linguagem C”. - Márcio diz: “Karina programa em Visual Basic e Kátia em linguagem

C”. - Karina diz: “Márcio programa em linguagem C e Kátia em JAVA”. Sabendo que apenas uma pessoa mente, podemos afirmar que: a) Jurandir programa em Pascal e Kátia em Visual Basic. b) Karina programa em Visual Basic e Márcio em JAVA. c) Márcio programa em linguagem C e Kátia em JAVA. d) Jurandir programa em JAVA e Márcio em linguagem C.




81) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em

a) 15 minutos. b) 22 minutos. c) 25 minutos. d) 36 minutos. 82) Paulo venceu uma prova de atletismo em 12 minutos. O tempo

gasto pelo segundo colocado está para o tempo de Paulo assim como 4 está para 5. O segundo colocado completou a prova em:

a) 18 minutos b) 16 minutos c) 14 minutos d) 15 minutos 83) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor

igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do tri-ângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a:

a) 7 b) 5 c) 17 d) 10 84) Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de

lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se:

a) 36 b) 0,036 c) 0,36 d) 0,0036 85) Para a implementação de uma biblioteca, um analista ministerial foi

incumbido de dar plantões, num período de 30 dias. Durante esse período, observou-se que:

- sempre que deu plantão de manhã, também deu plantão à tarde; - houve 10 manhãs e 6 tardes sem plantão. Nessas condições, é verdade que houve a) 7 dias sem plantão. b) 6 dias de plantão só de manhã. c) 4 dias de plantão só à tarde. d) 22 dias de plantão de manhã e de tarde. 86) Dizer que "Ana não é alegre ou Beatriz é feliz" é do ponto de vista

lógico, o mesmo que dizer: a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. 87) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se

Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo,

a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz 88) Inicialmente temos dois montes, um deles com 52 cartas pretas

(monte P), o outro com 52 cartas vermelhas (monte V). Retiramos 26 cartas do monte P que serão embaralhadas no monte no monte V.

Após o embaralhamento, retiramos aleatoriamente 26 cartas do monte V, que são repassadas para o monte P. Após as operações descritas, três afirmações são feitas:

I. existem mais cartas pretas no monte V do que vermelhas no monte P;

II. existem menos cartas pretas no monte V do que vermelhas no monte P;

III. o monte P tem um total de cartas pretas maior ou igual ao total de cartas pretas do monte V.

Está correto o que se afirma APENAS em: a) I e III. b) II e III. c) I. d) III. 89) A negação da sentença “Todas as mulheres são elegantes” está na

alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante. 90) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada

eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deve-rá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua se-gunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:

- 22 para A - 18 para B - 20 para C Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é

igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

RESPOSTAS

LÓGICA

A lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à

Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material.

Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência

que visam representar formalmente o raciocínio válido. Diferentes

01. B 02. B 03. C 04. A 05. D 06. C 07. C 08. A 09. C 10. D

11. C 12. A 13. C 14. B 15. D 16. D 17. B 18. B 19. C 20. C

21. A 22. B 23. D 24. C 25. D 26. D 27. A 28. A 29. B 30. A

31. B 32. C 33. A 34. C 35. A 36. D 37. D 38. D 39. C 40. D

41. C 42. A 43. D 44. C 45. B 46. C 47. D 48. A 49. A 50. D

51. D 52. B 53. A 54. D 55. A 56. A 57. D 58. C 59. C 60. A

61. A 62. C 63. A 64. D 65. D 66. A 67. D 68. C 69. C 70. B

71. B 72. B 73. A 74. C 75. D 76. D 77. D 78. D 79. D 80. C

81. D 82. D 83. D 84. B 85. C 86. C 87. C 88. D 89. C 90. C

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles

http://pt.wikipedia.org/wiki/Organon




sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na computação e em Inteligência artificial.

Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de

sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado nas outras áreas, como na psicologia cognitiva.

Como ciência, a lógica define a estrutura de declaração e argumento

e elabora fórmulas através das quais estes podem ser codificados. Implícita no estudo da lógica está a compreensão do que gera um bom argumento e de quais os argumentos que são falaciosos.

A lógica filosófica lida com descrições formais da linguagem natural. A

maior parte dos filósofos assumem que a maior parte do raciocínio "normal" pode ser capturada pela lógica, desde que se seja capaz de encontrar o método certo para traduzir a linguagem corrente para essa lógica.

Abaixo estão discussões mais específicas sobre alguns sistemas

lógicos. Veja também: lista de tópicos em lógica. Lógica Aristotélica Dá-se o nome de Lógica aristotélica ao sistema lógico desenvolvido

por Aristóteles a quem se deve o primeiro estudo formal do raciocínio. Dois dos princípios centrais da lógica aristotélica são a lei da não-contradição e a lei do terceiro excluído. A lei da não-contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma *P ou não-P* é verdadeira. Esse princípio deve ser cuidadosamente distinguido do *princípio de bivalência*, o princípio segundo o qual para toda proposição p, ela ou a sua negação é verdadeira. A lógica aristotélica, em particular, a teoria do silogismo, é apenas um fragmento da assim chamada lógica tradicional.

Lógica formal A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica, se preocupa

basicamente com a estrutura do raciocínio. A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e fornece um meio de compor provas de declarações. Na Lógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.

As letras minúsculas p, q e r, em fonte itálica, são convencionalmente

usadas para denotar proposições: p: 1 + 2 = 3 Esta declaração define que p é 1 + 2 = 3 e que isso é verdadeiro. Duas proposições --ou mais proposições-- podem ser combinadas por

meio dos chamados operadores lógicos binários , formando conjunções, disjunções ou condicionais. Essas proposições combinadas são chamadas proposições compostas. Por exemplo:

p: 1 + 1 = 2 e "Lógica é o estudo do raciocínio." Neste caso, e é uma conjunção. As duas proposições podem diferir

totalmente uma da outra! Na matemática e na ciência da computação, pode ser necessário

enunciar uma proposição dependendo de variáveis: p: n é um inteiro ímpar. Essa proposição pode ser ou verdadeira ou falsa, a depender do valor

assumido pela variável n. Uma fórmula com variáveis livres é chamada função proposicional

com domínio de discurso D. Para formar uma proposição , devem ser usados quantificadores. "Para todo n", ou "para algum n" podem ser especificados por quantificadores: o quantificador universal, ou o quantificador existencial, respectivamente. Por exemplo:

para todo n em D, P(n). Isto pode ser escrito como:

Quando existem algumas variáveis livres, a situação padrão na

análise matemática desde Weierstrass, as quantificações para todos ... então existe ou então existe ... isto para todos (e analogias mais complexas) podem ser expressadas.

Lógica material Trata da aplicação das operações do pensamento, segundo a matéria

ou natureza do objeto a conhecer. Neste caso, a lógica é a própria metodologia de cada ciência. É, portanto, somente no campo da lógica material que se pode falar da verdade: o argumento é válido quando as premissas são verdadeiras e se relacionam adequadamente à conclusão.

Lógica matemática Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio

matemático-- ou, como propõe Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, New Jersey:Princeton University Press,1956; décima edição, 1996),'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada 'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos;

Lógica filosófica A lógica estuda e sistematiza a argumentação válida. A lógica tornou-

se uma disciplina praticamente autônoma em relação à filosofia, graças ao seu elevado grau de precisão e tecnicismo. Hoje em dia, é uma disciplina que recorre a métodos matemáticos, e os lógicos contemporâneos têm em geral formação matemática. Todavia, a lógica elementar que se costuma estudar nos cursos de filosofia é tão básica como a aritmética elementar e não tem elementos matemáticos. A lógica elementar é usada como instrumento pela filosofia, para garantir a validade da argumentação. Quando a filosofia tem a lógica como objeto de estudo, entramos na área da filosofia da lógica, que estuda os fundamentos das teorias lógicas e os problemas não estritamente técnicos levantados pelas diferentes lógicas. Hoje em dia há muitas lógicas além da teoria clássica da dedução de Russell e Frege (como as lógicas livres, modais, temporais, paraconsistentes, difusas, intuicionistas, etc.), o que levanta novos problemas à filosofia da lógica. A filosofia da lógica distingue-se da lógica filosófica, que não estuda problemas levantados por lógicas particulares, mas problemas filosóficos gerais, que se situam na intersecção da metafísica, da epistemologia e da lógica. São problemas centrais de grande abrangência, correspondendo à disciplina medieval conhecida por «Lógica & Metafísica», e abrangendo uma parte dos temas presentes na própria Metafísica, de Aristóteles: a identidade de objetos, a natureza da necessidade, a natureza da verdade, o conhecimento a priori, etc. Precisamente por ser uma «subdisciplina transdisciplinar», o domínio da lógica filosófica é ainda mais difuso do que o das outras disciplinas. Para agravar as incompreensões, alguns filósofos chamam «lógica filosófica» à filosofia da lógica (e vice-versa). Em qualquer caso, o importante é não pensar que a lógica filosófica é um gênero de lógica, a par da lógica clássica, mas «mais filosófica»; pelo contrário, e algo paradoxalmente, a lógica filosófica, não é uma lógica no sentido em que a lógica clássica é uma lógica, isto é, no sentido de uma articulação sistemática das regras da argumentação válida.

A lógica informal estuda os aspectos da argumentação válida que não

dependem exclusivamente da forma lógica. O tema introdutório mais comum no que respeita à lógica é a teoria clássica da dedução (lógica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Intelig%C3%AAncia_artificial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_dedutivo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_indutivo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_cognitiva

http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_de_t%C3%B3picos_em_l%C3%B3gica&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9lica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_da_n%C3%A3o-contradi%C3%A7%C3%A3o


http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_do_terceiro_exclu%C3%ADdo




http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_silogismo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conceito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A1rios

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Disjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Condicional_l%C3%B3gica&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia_da_computa%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Quantificador_universal&action=edit

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http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass

http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_matem%C3%A1tico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_matem%C3%A1tico

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XX

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=A._N._Whitehead&action=edit




proposicional e de predicados, incluindo formalizações elementares da linguagem natural); a lógica aristotélica é por vezes ensinada, a nível universitário, como complemento histórico e não como alternativa à lógica clássica.» [Desidério Murcho]

"Lógica", depois ela foi substituída pela invenção da Lógica

Matemática. Relaciona-se com a elucidação de idéias como referência, previsão, identidade, verdade, quantificação, existência, e outras. A Lógica filosófica está muito mais preocupada com a conexão entre a Linguagem Natural e a Lógica.

Lógica de predicados Gottlob Frege, em sua Conceitografia (Begriffsschrift), descobriu uma

maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças se relacionam em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando palavras como "e", "ou" e "não", mas não podia quebrar sentenças em partes menores. Não era possível mostrar como "Vacas são animais" leva a concluir que "Partes de vacas são partes de animais".

A lógica sentencial explica como funcionam palavras como "e", "mas",

"ou", "não", "se-então", "se e somente se", e "nem-ou". Frege expandiu a lógica para incluir palavras como "todos", "alguns", e "nenhum". Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças.

"Todos os humanos são mortais" se torna "Todos os X são tais que, se x é um humano então x é mortal." que pode ser escrito simbolicamente como:

"Alguns humanos são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao

menos um) x tal que x é humano e x é vegetariano" que pode ser escrito simbolicamente como:

. Frege trata sentenças simples sem substantivos como predicados e

aplica a eles to "dummy objects" (x). A estrutura lógica na discussão sobre objetos pode ser operada de acordo com as regras da lógica sentencial, com alguns detalhes adicionais para adicionar e remover quantificadores. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea.

Frege adiciona à lógica sentencial:

o vocabulário de quantificadores (o A de ponta-cabeça, e o E invertido) e variáveis;

e uma semântica que explica que as variáveis denotam objetos individuais e que os quantificadores têm algo como a força de "todos" ou "alguns" em relação a esse objetos;

métodos para usá-los numa linguagem. Para introduzir um quantificador "todos", você assume uma variável

arbitrária, prova algo que deva ser verdadeira, e então prova que não importa que variável você escolha, que aquilo deve ser sempre verdade. Um quantificador "todos" pode ser removido aplicando-se a sentença para um objeto em particular. Um quantificador "algum" (existe) pode ser adicionado a uma sentença verdadeira de qualquer objeto; pode ser removida em favor de um temo sobre o qual você ainda não esteja pressupondo qualquer informação.

Lógica de vários valores Sistemas que vão além dessas duas distinções (verdadeiro e falso)

são conhecidos como lógicas não-aristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas, ou ainda polivalentes).

No início do século 20, Jan Łukasiewicz investigou a extensão dos

tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor, "possível".

Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas com um

número infinito de "graus de verdade", representados, por exemplo, por

um número real entre 0 e 1. Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo.

Lógica e computadores A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência

Artificial, e Ciência da computação. Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o

conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto.

Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por

humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.

Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de

hardware. Tipos de Lógica De uma maneira geral, pode-se considerar que a lógica, tal como é

usada na filosofia e na matemática, observa sempre os mesmos princípios básicos: a lei do terceiro excluído, a lei da não-contradição e a lei da identidade. A esse tipo de lógica pode-se chamar "lógica clássica", ou "lógica aristotélica".

Além desta lógica, existem outros tipos de lógica que podem ser mais

apropriadas dependendo da circunstância onde são utilizadas. Podem ser divididas em dois tipos:

Complementares da lógica clássica: além dos três princípios da lógica clássica, essas formas de lógica têm ainda outros princípios que as regem, estendendo o seu domínio. Alguns exemplos:

Lógica modal: agrega à lógica clássica o princípio das possibilidades. Enquanto na lógica clássica existem sentenças como: "se amanhã chover, vou viajar", "minha avó é idosa e meu pai é jovem", na lógica modal as sentenças são formuladas como "é possível que eu viaje se não chover", "minha avó necessariamente é idosa e meu pai não pode ser jovem", etc.

Lógica epistêmica: também chamada "lógica do conhecimento", agrega o princípio da certeza, ou da incerteza. Alguns exemplos de sentença: "pode ser que haja vida em outros planetas, mas não se pode provar", "é impossível a existência de gelo a 100°C", "não se pode saber se a duendes existem ou não", etc.

Lógica deôntica: forma de lógica vinculada à moral, agrega os princípios dos direitos, proibições e obrigações. As sentenças na lógica deôntica são da seguinte forma: "é proibido fumar mas é permitido beber", "se você é obrigado a pagar impostos, você é proibido de sonegar", etc.

Anticlássicas: são formas de lógica que derrogam pelo menos um dos três princípios fundamentais da lógica clássica. Alguns exemplos incluem:

Lógica paraconsistente: É uma forma de lógica onde não existe o princípio da contradição. Nesse tipo de lógica, tanto as sentenças afirmativas quanto as negativas podem ser falsas ou verdadeiras, dependendo do contexto. Uma das aplicações desse tipo de lógica é o estudo da semântica, especialmente em se tratando dos paradoxos. Um exemplo: "fulano é cego, mas vê". Pelo princípio da lógica clássica, o indivíduo que vê, um "não-cego", não pode ser cego. Na lógica paraconsistente, ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não-cego para ver outras coisas.

Lógica paracompleta: Esta lógica derroga o princípio do terceiro excluído, isto é, uma sentença pode não ser totalmente verdadeira, nem totalmente falsa. Um exemplo de sentença que pode ser assim classificada é: "fulano conhece a China". Se ele nunca esteve lá, essa sentença não é verdadeira. Mas se mesmo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Refer%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Previs%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Verdade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Exist%C3%AAncia

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Substantivo

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http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_difusa

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Probabilidade_bayesiana&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/Intelig%C3%AAncia_Artificial

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Prolog

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Demonstra%C3%A7%C3%A3o_autom%C3%A1tica_de_teoremas&action=edit

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http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booleana

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hardware



http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Lei_da_identidade&action=edit

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Lei_da_identidade&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_epist%C3%AAmica

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_de%C3%B4ntica&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_paraconsistente

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sem%C3%A2ntica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_paracompleta&action=edit




nunca tendo estado lá ele estudou a história da China por livros, fez amigos chineses, viu muitas fotos da China, etc; essa sentença também não é falsa.

Lógica difusa: Mais conhecida como "lógica fuzzy", trabalha com o conceito de graus de pertinência. Assim como a lógica paracompleta, derroga o princípio do terceiro excluído, mas de maneira comparativa, valendo-se de um elemento chamado conjunto fuzzy. Enquanto na lógica clássica supõe-se verdadeira uma sentença do tipo "se algo é quente, não é frio" e na lógica paracompleta pode ser verdadeira a sentença "algo pode não ser quente nem frio", na lógica difusa poder-se-ia dizer: "algo é 30% quente, 25% morno e 45% frio". Esta lógica tem grande aplicação na informática e na estatística, sendo inclusive a base para indicadores como o coeficiente de Gini e o IDH.

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar

relações entre objetos. Por exemplo, se fôssemos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias seme-lhantes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos captando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua incapaci-dade de representar instâncias de um propriedade geral. Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposicional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3", usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase é uma instância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrá-rio de um universo tem uma certa propriedade, seria razoável querermos concluir que esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um indiví-duo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propri-edade vale para qualquer indivíduo do universo" usaríamos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro.

A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos

de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indiví-duos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional.

Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo". Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo)

que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso, sem identi-ficar os objetos deste universo.

Considere agora a sentença "Existem números naturais que são pa-

res". Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que vale para al-

guns (pelo menos um dos) indivíduos do universo dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" ou "2" ou "4",etc em particular.

Para expressar propriedades gerais (que valem para todos os indiví-

duos) ou existenciais (que valem para alguns indivíduos) de um universo

são utilizados os quantificadores (universal) e (existencial), respecti-vamente. Estes quantificadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, captando, desta forma, a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum".

Considere as sentenças: - "Sócrates é homem" - "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda

lógica" A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de um indiví-

duo distinguido ("Sócrates") de um domínio de discurso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "departamento de Ciência da Computação" e "lógica". Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos , soc para "Sócrates", cc para "departamento de Ciência da Computação", lg para "lógica".Tais símbolos são chamados de símbolos de constantes.

As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam objetos do uni-

verso de discurso considerado, isto é, "ser aluno de " relaciona os indiví-duos de uma universidade com os seus departamentos, "estuda" relacio-na os indivíduos de uma universidade com as matérias. Para representar tais relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação binária. As relações unárias expressam propriedades dos indiví-duos do universo ( por exemplo "ser par","ser homem"). A relação "ser igual a" é tratata de forma especial, sendo representada pelo símbolo de

igualdade . Desta forma podemos simbolizar as sentenças consideradas nos e-

xemplos da seguinte forma:

- "Todo mundo é igual a si mesmo " por x xx;

- "Existem números naturais que são pares" por xPar(x); - "Sócrates é homem" por Homem(soc); - "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda

lógica" porx(Aluno(x,cc) Estuda (x,lg)). Já vimos como representar objetos do domínio através de constan-

tes.Uma outra maneira de representá-los é atravez do uso de símbolos de função.

Por exemplo podemos representar os números naturais "1", "2", "3",

etc através do uso de símbolo de função, digamos, suc, que vai gerar nomes para os números naturais "1", "2", "3", etc. a partir da constante 0, e. g., "1" vai ser denotado por suc(0), "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc. Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) são chamadas termos.

Assim, a frase "Todo número natural diferente de zero é sucessor de

um número natural" pode ser simbolizada por x(x0 ysuc(y)x). Fonte: UFRJ

ENUMERAÇÃO POR RECURSO

Enumeração é a seqüência de pelo menos dois elementos de mesmo status sintático no discurso. Há três tipos de enumeração:

Aditiva - representada pelo conetivo 'e'.

Optativa exclusiva - representada pelo conetivo 'ou'.

Optativa não exclusiva - representada pela conexão 'e/ou'. Geralmente os elementos de uma enumeração são comuns a uma

classe. Quando isso ocorre temos uma enumeração com paralelismo de similaridade. Hipoteticamente pode-se supor uma enumeração caótica, aquela em que os elementos são totalmente disjuntos.

Enumeração ordenada: é aquela em que a disposição dos elementos

na seqüência admite algum tipo de ordem. Enumeração na enumeração: há casos em que um ou mais elemen-

tos da enumeração são enumeração. Enumeração classificada: ocorre quando os termos da enumeração

são classes de uma taxonomia. Diferencia-se da enumeração com parale-lismo pois, no paralelismo, não existe a obrigatoriedade de atender às regras que definem uma taxonomia, como conter todos os elementos do universo considerado e não haver interseção de domínios.

LÓGICA NA MATEMÁTICA

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_difusa

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_fuzzy&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Gini

http://pt.wikipedia.org/wiki/IDH




INTRODUÇÃO Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da validade de

ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente dividi-dos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se ver-

dadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal." Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro. ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para

assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro. As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma

linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro.

UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade, não se-

rá abordada neste roteiro. LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em: • LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica de-

dutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus sub-sistemas. Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDEN-TIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante.

• LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complemen-tam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc.

• LÓGICAS NÃO - CLÁSSICAS: Assim caracterizadas por derro-garem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Exem-plos: paracompletas e intuicionistas (derrogam o princípio do ter-ceiro excluído); paraconsistentes (derrogam o princípio da con-tradição); não-aléticas (derrogam o terceiro excluído e o da con-tradição); não-reflexivas (derrogam o princípio da identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...

"ESBOÇO" DO DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA • PERÍODO ARISTOTÉLICO (390 a.C. a 1840 d.C.) A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTE-

LES (384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. A-ristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciên-cia. Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desen-volvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Knea-le e Kneale (O Desenvolvimento da Lógica), houve durante mui-tos anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megá-rios e que isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da ló-gica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem com-plementares.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 a-nos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

PERÍODO BOOLEANO: (1840 a 1910)

• Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL A-NALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC.

• GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvi-mento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As i-déias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou me-nos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da ló-gica que se seguiu.

• GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da ma-temática se deve a essa escola italiana.

- PERÍODO ATUAL: (1910- ........) • Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH

WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA.

• DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neu-man, Bernays, Ackerman e outros.

• KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições. Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA (Universi-dade de São Paulo) com as lógicas paraconsistentes , L. A. ZA-DEH (Universidade de Berkeley-USA) com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da In-teligência Artificial com os Sistemas Especialistas.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica en-

globam muitas áreas do conhecimento. CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o

CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de

uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

• A lua é quadrada. • A neve é branca. • Matemática é uma ciência. Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamati-

vas. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas

p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca : q • CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser com-

binadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

: e , : ou , : se...então , : se e somente se , : não

Exemplos:

A lua é quadrada e a neve é branca. : p q (p e q são cha-

mados conjunctos)

A lua é quadrada ou a neve é branca. : p q ( p e q

são chamados disjunctos)

Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p q

(p é o antecedente e q o conseqüente)

A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. :

p q

A lua não é quadrada. : p

• SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ), parênteses que ser-

vem para denotar o "alcance" dos conectivos;




Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua

não é quadrada. : ((p q) p)

• A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca. : (( p) q))

• DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.

2. Se A e B são fórmulas então (A B) , (A B) , (A

B) , (A B) e ( A) também são fórmulas.

3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .

Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela

direita.

Exemplo: a fórmula p q r p q deve ser en-

tendida como (((p q) ( r)) ( p ( q)))

AS TABELAS VERDADE

A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:

• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.

• Princípio da Contradição: Dadas duas proposições

contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.

• Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas propo-sições contraditórias, uma delas é verdadeira.

Com base nesses princípios as proposições simples são

ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das pro-

posições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usa-remos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p ~p

V F

F V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verda-

deira se e somente os conjunctos são verdadeiros.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

3. Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa se,

e somente, os disjunctos são falsos.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa

se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conse-qüente é falso.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é

verdadeira se, e somente se seus componentes são ou am-bos verdadeiros ou ambos falsos

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p q)

~p) (q p)

p q ((p q) ~p) (q p)

V V V F F V V

V F V F F V F

F V V V V F F

F F F V V F F

• NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:

Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há

tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2

n. Assim,

para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 pro-

posições são 23 = 8; etc.

Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p q) r) terá

8 linhas como segue :

p q r ((p q) r )

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que

"ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo

(disjunção) ("vel") e exclusivo ( "aut") onde p q significa ((p

q) (p q)).

]

p q ((p q) (p q))

V V V F F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F F V F

LÓGICA Com o aparecimento dos diversos sistemas filosóficos e depois de

disseminado pela Grécia antiga o gosto pelas teorias racionais abstratas, impôs-se a necessidade de uma ciência que disciplinasse a argumentação e o pensamento, estabelecendo critérios de validade e veracidade das proposições.

Lógica é a ciência que tem por objeto determinar, entre as operações




intelectuais orientadas para o conhecimento da verdade, as que são válidas e as que não são. Estuda os processos e as condições de verdade de todo e qualquer raciocínio. O conhecimento só é científico quando, além de universal, é metódico e sistemático, ou seja, lógico. Assim, a lógica se entende como método, ou caminho que as ciências trilham para determinar e conhecer seu objeto, e como característica geral do conhe-cimento científico.

Do ponto de vista didático, a lógica se alinha com a metafísica, a éti-

ca, a estética etc. como disciplina da filosofia. Assim entendida, chama-se mais propriamente lógica formal, pois não se aplica ao conteúdo do que enuncia, mas unicamente aos conceitos, aos juízos e raciocínios.

Origens. A lógica foi desenvolvida de forma independente e chegou a

certo grau de sistematização na China, entre os séculos V e III a.C., e na Índia, do século V a.C. até os séculos XVI e XVII da era cristã. Na forma como é conhecida no Ocidente, tem origem na Grécia.

O mais remoto precursor da lógica formal é Parmênides de Eléia, que

formulou pela primeira vez o princípio de identidade e de não contradição. Seu discípulo Zenão foi o fundador da dialética, segundo Aristóteles, por ter empregado a argumentação erística (arte da disputa ou da discussão) para refutar quem contestasse as teses referentes à unidade e à imobili-dade do ser.

Os sofistas, mestres da arte de debater contra ou a favor de qualquer

opinião com argumentos que envolviam falácias e sofismas, também contribuíram para a evolução da lógica, pois foram os primeiros a analisar a estrutura e as formas da linguagem. Foi sobretudo em vista do emprego vicioso do raciocínio pelos sofistas que o antecederam que Aristóteles foi levado a sistematizar a lógica.

Sócrates definiu o universal, ou essência das coisas, como o objeto

do conhecimento científico e, com isso, preparou a doutrina platônica das idéias. Ao empregar o diálogo como método de procura e descobrimento das essências, antecipou a dialética platônica, bem como a divisão dos universais em gêneros e espécies (e das espécies em subespécies), o que permitiu situar ou incluir cada objeto ou essência no lugar lógico correspondente.

Lógica aristotélica. Aristóteles é considerado o fundador da lógica

formal por ter determinado que a validade lógica de um raciocínio depen-de somente de sua forma ou estrutura, e não de seu conteúdo. Introduziu a análise da quantificação dos enunciados e das variáveis, realizou o estudo sistemático dos casos em que dois enunciados implicam um terceiro, estabeleceu o primeiro sistema dedutivo ou silogístico e criou a primeira lógica modal, que, ao contrário da lógica pré-aristotélica, admitia outras possibilidades além de "verdadeiro" e "falso".

No século II da era cristã, as obras de Aristóteles sobre lógica foram

reunidas por Alexandre de Afrodísia sob a designação geral de Órganon. Inclui seis tratados, cuja seqüência corresponde à divisão do objeto da lógica. Estuda as três operações da inteligência: o conceito, o juízo e o raciocínio.

Conceito é a mera representação mental do objeto. Juízo é um ato

mental de afirmação ou de negação de uma idéia a respeito de outra, isto é, da coexistência de um sujeito e um predicado. Raciocínio é a articula-ção de vários juízos. O objeto próprio da lógica não é o conceito nem o juízo, mas o raciocínio, que permite a progressão do pensamento. Em outras palavras, não há pensamento estruturado quando se consideram idéias isoladas.

Em Perí hermeneías (Da interpretação), um dos tratados do Órganon,

Aristóteles estuda a proposição, que é a expressão verbal do juízo. O juízo é verdadeiro quando une na proposição o que está unido na realida-de, ou separa, na proposição, o que está realmente separado. A verdade é, assim, a adequação ou a correspondência entre o juízo e a realidade. Esse tratado procura principalmente determinar as oposições possíveis entre as proposições.

A partir do juízo de existência ou de realidade, considerado primordial,

Aristóteles estabelece as seguintes modalidades de oposição e de nega-ção: o animal é; o animal não é; o não-animal é; o não-animal não é. As proposições simples apresentam as mesmas modalidades. Outro tipo de proposições admite maior número de modalidades: o homem é mortal; o homem não é mortal; o homem é não-mortal; o homem não é não-mortal; o não-homem é mortal; o não-homem não é mortal etc.

Os juízos se dividem de acordo com a qualidade, a quantidade, a re-

lação e a modalidade. Quanto à qualidade, podem ser afirmativos ou negativos. Os afirmativos sustentam a conveniência do predicado ao sujeito (o homem é racional), enquanto os negativos sustentam a não conveniência entre eles (o homem não é imortal). De acordo com a quan-tidade, os juízos podem ser de três tipos: universais, quando o sujeito é tomado em toda sua extensão (todo homem é mortal); particulares, quan-do o sujeito é tomado em parte de sua extensão (alguns homens são brasileiros); e individuais ou singulares, situações em que o sujeito é tomado no mínimo de sua extensão (Aristóteles é filósofo).

Com relação à quantificação do sujeito, distingue-se a compreensão,

que é o contéudo do conceito, e a extensão, que indica a quantidade de objetos aos quais o conceito se aplica. Quanto maior for o conteúdo, ou conjunto de atributos característicos do conceito, menor será a extensão. Por exemplo, o conceito "mesa" abrange todos os membros da classe. Quando se acrescenta o atributo "branca", aumenta-se a compreensão, mas limita-se a quantidade de mesas individuais a que se refere e diminui-se a extensão.

Do ponto de vista da relação, os juízos se distinguem em categóricos,

hipotéticos e disjuntivos. No juízo categórico, o enunciado independe de condições (Aristóteles é grego); no hipotético, é condicional (se fizer bom tempo, sairemos); no disjuntivo, também condicional, a condição está na própria predicação (o objeto real é físico ou psíquico).

De acordo com a modalidade, os juízos podem ser assertóricos, pro-

blemáticos e apodícticos. No juízo assertórico, a validade do enunciado é de fato e não de direito (o livro está aberto, mas poderia estar fechado); no problemático, a validade é apenas possível (talvez as injustiças sejam reparadas); no apodíctico a validade é necessária e de direito, e não de fato (dois mais dois são quatro).

Raciocinar, em lógica, significa estabelecer uma relação necessária

entre duas proposições ou enunciados. No tratado Analysis próté (Primei-ras analíticas), terceira parte do Órganon, Aristóteles estuda o silogismo, cuja doutrina criou, para estabelecer as condições fundamentais do co-nhecimento científico. O silogismo é "um argumento do qual, admitidas certas coisas, algo diferente resulta necessariamente de sua verdade, sem que se precise de qualquer outro termo". Aristóteles distingue o silogismo, ou dedução, da indução. A dedução vai do universal ao particu-lar, e a indução do particular ao universal. Mesmo assim, compreende que a indução é no fundo silogística.

No tratado do Órganon intitulado Análysis deutera (Segundas analíti-

cas), Aristóteles estuda a demonstração e a definição. A propósito, indica os temas possíveis da investigação científica: (1) o que a palavra significa; (2) o que o objeto correspondente é; (3) qual a essência desse objeto; (4) quais são suas propriedades; (5) por que tem essas propriedades. Assim, o método científico começa com a determinação de um objeto conhecido apenas pelo nome, e prossegue com a determinação da essência e da existência do objeto.

A demonstração é um silogismo científico cujas premissas devem ser

verdadeiras, primeiras, indemonstráveis e mais inteligíveis do que a conclusão e a causa da conclusão. Os princípios, ou pontos de partida do conhecimento científico, são os axiomas e as teses das diversas ciências, subdivididas em hipóteses e definições. Acrescentam-se ainda os postu-lados que, ao contrário dos tipos de proposição mencionados, só devem ser admitidos depois de demonstrados.

A ciência consiste no encadeamento lógico das proposições que, to-

madas isoladamente, não poderiam ser conhecidas como verdadeiras. A rigor, a demonstração trata de evidenciar, por meio de mediações suces-sivas, o que é inicialmente admitido como simples hipótese ou suposição.




Além da demonstração ou da prova, Aristóteles admite, como forma de conhecimento, os primeiros princípios, que excluem a demonstração.

Perguntar o que é alguma coisa é perguntar qual é a essência dessa

coisa, e responder à pergunta é expor essa essência em sua definição. Aristóteles classifica três espécies de definição: a indemonstrável (a unidade em aritmética, por exemplo); a definição causal ou real; e a definição nominal. A propósito da definição da espécie, recomenda: (1) só tomar como características de espécie os atributos que pertencem a sua essência; (2) apresentar os atributos em ordem, do determinável ao determinando; (3) dar as indicações necessárias para distinguir o definido de tudo o que dele difere. A obediência a essas regras permitirá definir, pela indicação do gênero próximo e da diferença específica, determina-ções que, por hipótese, devem conter a essência do objeto definido.

Por consistir numa redução à evidência, a demonstração implica a a-

preensão dos primeiros princípios, indemonstráveis. No processo que conduz da percepção à ciência, Aristóteles vê que o primeiro momento é a memória ("persistência da percepção") e o seguinte é a experiência, que é a lembrança das percepções dos mesmos objetos e a abstração daquilo que apresentam em comum. A passagem do particular ao universal é possível porque o que se percebe no objeto particular não é o que o particulariza, mas os caracteres que tem em comum com objetos seme-lhantes. Ao ascender a universais cada vez mais extensos, chega-se, pela razão intuitiva, aos primeiros princípios da ciência, os axiomas, as defini-ções, os postulados e as hipóteses. Segundo Aristóteles, é por indução que se aprendem os primeiros princípios, pois é assim que a percepção produz o universal.

Lógica na Idade Média. Traduzidos para o latim por Boécio, alguns

tratados da obra de Aristóteles passaram a ser usados, na Idade Média, no ensino da lógica, incluída nas disciplinas dos cursos de direito e teolo-gia. A esterilidade criativa que predominou durante cerca de cinco séculos só foi interrompida no século XII com a dialética de Abelardo, teólogo eminente e controvertido, autor de Sic et non (Sim e não).

Durante o século XII, traduções complementares do Órganon de Aris-

tóteles acrescentaram tópicos desconhecidos da "velha lógica" que foram agrupados sob o nome geral de "nova lógica". No século XIII, houve uma cisão entre os lógicos: alguns aderiram à ortodoxia aristotélica, enquanto outros adotaram uma visão mais liberal e, nas escolas de artes e nas recém-criadas universidades, propuseram a lógica moderna.

Guilherme de Sherwood e seu discípulo Pedro Hispano (posterior-

mente papa João XXI), autor do livro sobre lógica mais utilizado nos 300 anos que se seguiram, foram os principais representantes dessa nova tendência. Entre os lógicos do século XIV, deve-se pelo menos mencionar Guilherme de Occam, além de Jean Buridan e seu aluno Alberto da Saxô-nia. No século seguinte, Paulo Vêneto, teólogo agostiniano, produziu uma extensa obra intitulada Logica magna, usada como livro didático durante os séculos XV e XVI.

No mundo grego, a tradição de parafrasear e comentar os tratados

lógicos de Aristóteles teve continuidade nas obras de João Filopono e Estêvão de Alexandria, neoplatonista do século VII, entre outros. Nos séculos XI e XIII, foram produzidos vários compêndios de lógica.

Os árabes também cultivaram a lógica e, no início do século IX, já

contavam com traduções de alguns tratados do Órganon de Aristóteles. Entretanto, a produção dos representantes da escola de Bagdá, surgida no século seguinte, quase toda perdida, foi criticada pelo filósofo Avicena, que a considerava exageradamente servil à doutrina de Aristóteles. Avice-na defendeu uma linha mais independente e expressou seu conceito de lógica no livro Kitab al-shifa (O livro da cura).

O valor da contribuição árabe ao desenvolvimento da lógica não é

muito grande, exceto pelo fato de ter mantido vivo o interesse na lógica aristotélica numa época em que, no Ocidente, era pouco divulgada. No mundo medieval, em que houve a lógica bizantina, a árabe e a escolásti-ca, a vertente escolástica parece ter trazido as maiores contribuições.

Lógica no Renascimento. A tradição da lógica medieval sobreviveu

por mais três séculos após ter atingido a maturidade no século XIV. Entre-tanto, o clima intelectual que se estabeleceu no Ocidente com o advento do Renascimento e do humanismo não estimulava o estudo da lógica. O crescimento das ciências naturais também contribuiu para o abandono da lógica que, como disciplina dedutiva, cedeu lugar às pesquisas metodoló-gicas.

Uma nova atitude em relação à lógica surgiu no século XVI com Pe-

trus Ramus (Pierre de La Ramée), lógico antiaristotélico e reformador educacional. Ramus descreveu a lógica como a "arte de discutir" e distin-guiu-a da gramática e da retórica que, a seu ver, concentravam-se nas questões relativas ao estilo. De acordo com Ramus, a lógica deveria tratar de conceitos, juízos, inferências e provas, nessa ordem de prioridade. Entre as inferências, incluía os silogismos categóricos e hipotéticos.

As divisões da lógica sugeridas por Ramus foram adotadas pelos jan-

senistas Antoine Arnauld e Pierre Nicole, autores de La Logique: ou l'art de penser (1662), traduzido e publicado em inglês em 1851 sob o título The Port-Royal Logic (A lógica de Port-Royal). As duas primeiras de suas quatro partes trazem poucas contribuições originais, muito mais no campo da epistemologia que da lógica. A terceira, sobre o raciocínio, trata da validade dos silogismos. Na quarta parte, sobre o método, a obra Elemen-tos de Euclides é recomendada como modelo do método científico. Como René Descartes, fundador da filosofia moderna, os autores insistiam que, em qualquer investigação científica, termos obscuros ou equívocos devem ser definidos; que somente termos perfeitamente conhecidos devem ser usados em definições; que somente verdades auto-evidentes devem ser usadas como axiomas; e que todas as proposições que não são auto-evidentes devem ser confirmadas com o auxílio de axiomas, definições e proposições já comprovados. Apesar de competir com uma concepção inteiramente nova da lógica apresentada por Leibniz, racionalista alemão, as idéias expostas pela lógica de Port-Royal mantiveram sua reputação durante o século XIX.

Lógica moderna. Com Leibniz, no século XVII, teve início a lógica

moderna, que se desenvolveu em cooperação com a matemática. Leibniz influenciou seus contemporâneos e sucessores com um ambicioso plano para a lógica, que para ele deixava de ser "uma diversão para acadêmi-cos" e começava a tomar a forma de uma "matemática universal". Seu plano propunha uma linguagem universal baseada num alfabeto do pen-samento (ou characteristica universalis), um cálculo geral do raciocínio e uma metodologia geral.

A linguagem universal, na visão de Leibniz, seria como a álgebra ou

como uma versão de ideogramas chineses, formada de sinais básicos representativos de noções não analisáveis. Noções complexas seriam representadas por conjuntos apropriados de sinais que, por sua vez, representariam a estrutura de noções complexas e, em última análise, a noção de realidade.

Uma das contribuições mais positivas de Leibniz para o desenvolvi-

mento da lógica foi a aplicação bem-sucedida dos métodos matemáticos à interpretação da silogística aristotélica. Outra foi sua proposta de um "cálculo de adição real", em que demonstra que partes da álgebra são passíveis de interpretação não aritmética. Sua forma de interpretação se comprovaria adequada mesmo à intrincada regra da rejeição proposta para os silogismos pelo polonês Jerzy Stupecki, da escola de lógica de Varsóvia, na década de 1940.

Na segunda metade do século XIX, foram lançados os alicerces para

os mais notáveis progressos da história da lógica. Merece menção a obra do matemático francês Joseph-Diez Gergonne, cuja grande inovação foi a expansão do vocabulário do silogismo e a proposição de novos tipos de inferência baseados na expansão. A axiomatização de seu trabalho, no entanto, coube ao lógico John Acheson Faris, de Belfast. Também trouxe-ram contribuições importantes o metafísico escocês William Hamilton e os ingleses George Bentham, botânico, e Augustus De Morgan.

Ainda no século XIX, as novas idéias de George Boole, matemático

autodidata, representaram um grande progresso para a lógica. A chamada álgebra de Boole foi aprimorada por vários pesquisadores, entre eles o economista e lógico britânico William Stanley Jevons; o lógico, engenheiro




e filósofo americano Charles Sanders Peirce; e o lógico e matemático alemão Ernst Schröder. Coube, porém, ao matemático e filósofo alemão Gottlob Frege estabelecer a relação entre os dois sistemas lógicos trata-dos por Boole, e outros importantes estudos relativos à teoria da lingua-gem e à redução da aritmética à lógica. Outra tendência no estudo da lógica e dos fundamentos da matemática foi introduzida pelo matemático e filósofo alemão Georg Cantor.

Lógica no século XX. Quando, no início do século XX, Bertrand Rus-

sell se dispôs a mostrar que a aritmética era uma extensão da lógica, foi beneficiado pelas pesquisas anteriores de Giuseppe Peano, matemático e lógico italiano que, no fim do século XIX e início do XX, questionara no-ções primárias da aritmética. Após escrever The Principles of Mathematics (1903; Princípios da matemática), Russell produziu, em cooperação com o também britânico Alfred North Whitehead, a monumental Principia Ma-thematica (1910-1913), que se tornou um clássico da lógica. A obra, em três volumes, reuniu os resultados das pesquisas sobre lógica e funda-mentos da matemática que vinham sendo realizadas desde a época de Leibniz e tornou-se o ponto de partida para a evolução da lógica no século XX.

A visão da matemática como continuação da lógica, sem uma linha

delimitadora clara entre as duas disciplinas, como defendeu Russell, chamou-se logicismo. A essa abordagem se opõem o intuicionismo, associado aos nomes de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemático holandês, e seu discípulo Arend Heyting, e o formalismo, fundado por David Hilbert.

Bertrand Russell afirmou que há duas vertentes da pesquisa em ma-

temática: uma visa à expansão, e a outra explora os fundamentos. O mesmo se pode dizer sobre qualquer outra disciplina, mas na exploração dos fundamentos de uma ciência o pesquisador volta a encontrar a lógica, pois todas as ciências que pretendem descrever e comprovar algum aspecto da realidade fazem uso do vocabulário lógico. Isso quer dizer que a lógica, localizada no ponto mais alto de uma hierarquia de ciências, pode ser entendida como a mais abstrata e mais geral descrição da realidade. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

SILOGISMO A doutrina do silogismo desenvolvida pelo filósofo grego Aristóteles

no século IV a.C. constituiu até a era moderna o principal instrumento da lógica.

Silogismo, segundo a definição de Aristóteles, é uma expressão pro-

posicional na qual, admitidas certas premissas, delas resultará, apenas por serem o que são, outra proposição diferente das estabelecidas anteri-ormente. O termo vem do grego syllogismós, que significa argumento ou raciocínio. Posteriormente, a terminologia tradicional passou a definir essa operação lógica como um argumento formado de três proposições -- duas premissas e uma conclusão -- que apresentam a forma "sujeito-predicado".

Indubitavelmente, o silogismo é a forma mais simples de demonstra-

ção ou de argumento inferencial. É sempre precedido de uma pergunta: quer-se saber se um dado predicado convém ou não, necessariamente, a um sujeito. A resposta, quando está de acordo com as regras do silogis-mo, é rigorosa e necessariamente certa. O exemplo mais clássico é o seguinte: "Todo animal é mortal; todo homem é animal; logo, todo homem é mortal."

As duas premissas, estruturadas segundo a fórmula "sujeito-

predicado", são denominadas maior e menor. Por meio delas, dois termos (maior e menor) são postos em relação com um terceiro (médio). No exemplo citado, "mortal" é o termo de maior extensão, e portanto o termo maior. O termo de menor extensão, chamado termo menor, é "homem". O termo médio, que contém ambos, é "animal". Por ser afirmativo, esse tipo de silogismo é chamado categórico e se baseia na lei de generalização do universal para o particular. Os termos que compõem cada premissa são sempre os mesmos -- maior e médio na premissa maior, menor e médio na premissa menor -- mas sua ordem pode mudar. O termo médio pode assumir quatro posições diferen-tes, segundo as quais se definem as quatro "figuras" do silogismo. Tais

figuras, em função do caráter e das combinações de suas proposições (universais ou particulares, afirmativas ou negativas) dão lugar aos 23 tipos de silogismo conhecidos como silogismos modais.

Os chamados silogismos hipotéticos são mais complexos que os ca-

tegóricos e os modais, ainda que derivem das mesmas leis. A denomina-ção se explica devido à ocorrência de premissas hipotéticas, que de acordo com sua forma podem ser condicionais ou disjuntivas. Uma formu-lação clássica de silogismo hipotético condicional seria, por exemplo: se P então Q; se Q então não R; logo, se P então não R.

A teoria silogística teve grande desenvolvimento durante a Idade Mé-

dia. A distinção entre os termos maior, menor e médio foi elaborada pelos pensadores escolásticos, que distinguiam três espécies de silogismo: regulares, irregulares e compostos. Os regulares se constituem dos três termos clássicos. Os irregulares e os compostos se caracterizam por terem termos implícitos (ocultos), ou por terem mais de três proposições. Um exemplo de silogismo irregular, conhecido como entimema, expressa-se na frase "penso, logo existo", na qual está subentendida a premissa maior, que poderia ser "tudo o que pensa existe".

Os pensadores renascentistas, no entanto, assim como os racionalis-

tas do século XVII, criticaram o silogismo como insuficiente e tautológico. Para eles, todas as conclusões se encontram implícitas nas premissas e portanto nada acrescentam ao conhecimento. A moderna lógica formal, contudo, reconheceu o valor histórico do silogismo como instrumento de formalização e integrou os antigos esquemas silogísticos à lógica quantifi-cativa e à lógica de classes. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publica-ções Ltda.

LÓGICA MATEMÁTICA Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito,

tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática.

Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar

em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, dedu-zindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fun-damenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.

Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé)

500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atribu-tos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a elimina-ção das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal conver-teu-se numa disciplina associada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores,

propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verda-deiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas ope-

rações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem proprie-dades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A




tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjun-

tos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elemen-tos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determina-do teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para

a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescen-tam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema

como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevale-cem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das rela-ções entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre

as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambigüidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria

com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comporta-mento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático e-

xige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposi-ção cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer siste-ma. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.

Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as

próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemá-tico, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabele-cido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.

As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de e-

nunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao lon-

go do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas definidas previamente. Fonte: ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

TESTE DE HABILIDADE NUMÉRICA

1. Escreva o número que falta. 18 20 24 32 ? 2. Escreva o número que falta.

3. Escreva o número que falta. 212 179 146 113 ? 4. Escreva o número que falta.

5. Escreva o número que falta. 6 8 10 11 14 14 ? 6. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 17 (112) 39 28 ( . . . ) 49 7. Escreva o número que falta. 7 13 24 45 ? 8. Escreva o número que falta. 3 9 3 5 7 1 7 1 ? 9. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.




234 (333) 567 345 (. . .) 678 10 Escreva o número que falta.

11. Escreva o número que falta. 4 5 7 11 19 ? 12. Escreva o número que falta. 6 7 9 13 21 ? 13. Escreva o número que falta. 4 8 6 6 2 4 8 6 ? 14. Escreva o número que falta. 64 48 40 36 34 ? 15 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 718 (26) 582 474 (. . .) 226 16. Escreva o número que falta.

17 Escreva o número que falta. 15 13 12 11 9 9 ? 18. Escreva o número que falta. 9 4 1 6 6 2 1 9 ? 19 Escreva o número que falta. 11 12 14 ? 26 42 20. Escreva o número que falta. 8 5 2 4 2 0 9 6 ? 21 Escreva o número que falta.

22 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.

341 (250) 466 282 (. . .) 398 23 Escreva o número que falta.

24 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 12 (336) 14 15 (. . .) 16 25 Escreva o número que falta. 4 7 6 8 4 8 6 5 ?

RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE NUMËRICA

1 48. (Some 2, 4, 8 e, finalmente 16). 2 24. (No sentido contrário aos ponteiros do relógio, os números

aumentam em 2, 3, 4, 5 e 6). 3 80. (Subtraia 33 de cada número). 4 5. (Os braços para cima se somam e os para baixo se subtraem,

para obter o número da cabeça). 5 18. (Existem duas séries alternadas, uma que aumenta de 4 em 4

e a outra de 3 em 3). 6 154. (Some os números de fora do parêntese e multiplique por 2). 7 86. (Multiplique o número por dois e subtraia 1, 2, 3 e 4). 8 3. (Subtraia os números das duas primeiras colunas e divida por 2). 9 333. (Subtraia o número da esquerda do número da direita para

obter o número inserto no parêntese). 10 5. (O número da cabeça é igual a semi--soma dos números dos

pés). 11 35. (A série aumenta em 1, 2, 4, 8 e 16 unidades sucessivamente). 12 37. (Multiplique cada termo por 2 e subtraia 5 para obter o seguin-

te). 13 7. (Os números da terceira coluna são a semi-soma dos números

das outras duas colunas). 14 33. (A série diminui em 16, 8, 4, 2 e 1 sucessivamente). 15 14. (Some os números de fora do parêntese e divida por 50 para

obter o número inserto no mesmo). 16 3. (No sentido dos ponteiros do relógio, multiplique por 3). 17 6. (Existem duas séries alternadas: uma diminui de 3 em 3; a outra

de 2 em 2). 18 4. (Cada fileira soma 14).




19 18. (Dobre cada termo e subtraia 10 para obter o seguinte). 20 3. (Os números diminuem em saltos iguais, 3 na primeira fileira, 2

na segunda e 3 na terceira). 21 18. (Os números são o dobro de seus opostos diametralmente). 22 232. (Subtraia a parte esquerda da parte direita e multiplique o

resultado por dois). 23 21. (Os números aumentam em intervalos de 2, 4, 6 e 8). 24 480. (O número inserto no parêntese é o dobro do produto dos

números de fora do mesmo). 25. 2. (A terceira coluna é o dobro da diferença entre a primeira e a

segunda).

PROVA SIMULADA

1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo (A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. (C) todos os republicanos são marinheiros. (D) algum marinheiro não é republicano. (E) nenhum marinheiro é republicano. 2. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. (B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. (C) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. (D) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. (E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 2. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que

conhecem Maria não a admiram. Logo, (A) todos os que conhecem Maria a admiram. (B) ninguém admira Maria. (C) alguns que conhecem Maria não conhecem João. (D) quem conhece João admira Maria. (E) só quem conhece João e Maria conhece Maria. 3. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é

mais rico do que quem o inveja. Logo, (A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre do que Válter. (B) Geraldo é mais rico do que Válter. (C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele. (D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. (E) Geraldo não é mais rico do que Válter. 4. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a

banca de jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo,

(A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria. (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria. (C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal. (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria. 5. Um técnica de futebol, animado com as vitórias obtidas pela sua

equipe nos últimos quatro jogos, decide apostar que essa equipe também vencerá o próximo jogo. Indique a Informação adicional que tornaria menos provável a vitória esperada.

(A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez de apenas quatro. (B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão de que não choverá

no próximo jogo. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por uma diferença de

mais de um gol. (D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do estiramento muscular. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados em seu campo e os

outros dois, em campo adversário. 6. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre

tanto quanto Juliana. Logo, (A) Fátima corre menos do que Rita. (B) Fátima corre mais do que Marta. (C) Juliana corre menos do que Rita. (D) Marta corre mais do que Juliana. (E) Juliana corre menos do que Marta. 8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para se ir de Y a Z.

O número de caminhos de X a Z que passam por Y é (A) 10. (B) 12. (C) 18. (D) 24. (E) 32. 9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem

clorofila são comestíveis. Logo, (A) algumas plantas verdes são comestíveis. (B) algumas plantas verdes não são comestíveis. (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. (D) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. (E) todas as plantas vendes são comestíveis. 10. A proposição 'É necessário que todo acontecimento tenha causa' é

equivalente a (A) É possível que algum acontecimento não tenha causa. (B) Não é possível que algum acontecimento não tenha causa. (C) É necessário que algum acontecimento não tenha causa. (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa. (E) É impossível que algum acontecimento tenha causa. 11. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos (A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24. (E) 25. 12. ' ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e até predileção

por estados cognitivos de conflito, em que o problema ainda não é totalmente compreendido. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta correta', essa ansiedade pode impedir a exploração mais completa do problema.' (David Canaher, Senso Crítico).

O autor quer dizer que o pensador crítico (A) precisa tolerar respostas corretas. (B) nunca sabe a resposta correta. (C) precisa gostar dos estados em que não sabe a resposta correta. (D) que não fica aflito explora com mais dificuldades os problemas. (E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito. 13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não tenho dinheiro

suficiente para comprar duas dúzias de rosas. Logo, (A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. (B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. (C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia dúzia de lírios. (D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de lírios. (E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de lírios. 14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, (A) seu esforço é condição suficiente para vencer. (8) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar, então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) mesmo que se esforce, você não vencerá. 15. Se os tios de músicos sempre são músicos, então (A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. (B) os sobrinhos de não músicos sempre são músicos. (C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. (D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. (E) os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos. 16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está




bem. Logo, o paciente (A) tem febre e não está bem. (B) tem febre ou não está bem. (C) tem febre. (D) não tem febre. (E) não está bem.

INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de

nº 17 e 18. "O primeiro impacto da nova tecnologia de aprendizado será sobre a

educação universal. Através dos tempos, as escolas, em sua maioria, gastaram horas intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são aprendidas de forma comportamental e através de exercícios, repetição e feedback. Pertencem a esta categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau, mas também muitas daquelas ensinadas em estágios posteriores do processo educacional. Essas matérias - seja ler e escrever, aritmética, ortografia, história, biologia, ou mesmo matérias avançadas como neurocirurgia, diagnóstico médico e a maior parte da engenharia - são melhor aprendi-das através de programas de computador. O professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa a ser um líder e um recurso.

Na escola de amanhã os estudantes serão seus próprios instrutores,

com programas de computador como ferramentas. Na verdade, quanto mais jovens forem os estudantes, maior o apelo do computador para eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instrução. Historicamente, a escola de primeiro grau tem sido totalmente intensiva de mão-de-obra. A escola de primeiro grau de amanhã será fortemente intensiva de capital.

Contudo, apesar da tecnologia disponível, a educação universal apre-

senta tremendos desafios. Os conceitos tradicionais de educação não são mais suficientes. Ler, escrever e aritmética continuarão a ser necessários como hoje, mas a educação precisará ir muito além desses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com números e cálculos; uma compreensão básica de ciência e da dinâmica da tecnologia; conhecimento de línguas estrangeiras. Também será necessário aprender a ser eficaz como mem-bro de uma organização, como empregado." (Peter Drucker, A sociedade pós-capitalista). 17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como aritmética, ortografia,

história e biologia (A) deve ocorrer apenas no primeiro grau. (B) deve ser diferente do ensino de matérias como neurocirurgia e

diagnóstico médico. (C) será afetado pelo desenvolvimento da informática. (D) não deverá se modificar, nas próximas décadas. (E) deve se dar através de meras repetições e exercícios. 18. Para o autor, neste novo cenário, o computador (A) terá maior eficácia educacional quanto mais jovem for o estudante. (B) tende a substituir totalmente o professor em sala de aula. (C) será a ferramenta de aprendizado para os professores. (D) tende a ser mais utilizado por médicos. (E) será uma ferramenta acessória na educação. 19. Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um

processo de dedução. (A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco ...

então todos os cisnes são brancos. (B) Vi um cisne, então ele é branco. (C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes devem ser brancos. (D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é branco. (E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne pode ser branco. 20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que

Bruna. Logo, (A) Vera é mais gorda do que Bruna. (B) Cátia é menos gorda do que Bruna. (C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) Vera é menos gorda do que Cátia. (E) Bruna é menos gorda do que Vera. 21. Todo cavalo é um animal. Logo,

(A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. (B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. (C) todo animal é cavalo. (D) nem todo cavalo é animal. (E) nenhum animal é cavalo. 22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não prati-

cam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam fute-bol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de nº 23 e 24.

"Os homens atribuem autoridade a comunicações de posições supe-riores, com a condição de que estas comunicações sejam razoavelmente consistentes com as vantagens de escopo e perspectiva que são credita-das a estas posições. Esta autoridade é, até um grau considerável, inde-pendente da habilidade pessoal do sujeito que ocupa a posição. E muitas vezes reconhecido que, embora este sujeito possa ter habilidade pessoal limitada, sua recomendação deve ser superior pela simples razão da vantagem de posição. Esta é a autoridade de posição.

Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade superior. O seu co-

nhecimento e a sua compreensão, independentemente da posição, geram respeito. Os homens atribuem autoridade ao que eles dizem, em uma organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade de liderança.'

(Chester Barnard, The Functions of the Executive). 23. Para o autor, (A) autoridade de posição e autoridade de liderança são sinônimos. (B) autoridade de posição é uma autoridade superior à autoridade de

liderança. (C) a autoridade de liderança se estabelece por características indivi-

duais de alguns homens. (D) a autoridade de posição se estabelece por habilidades pessoais

superiores de alguns líderes. (E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade de liderança são

ineficazes. 24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as pessoas (A) não costumam respeitar a autoridade de posição. (B) também respeitam autoridade que não esteja ligada a posições

hierárquicas superiores. (C) respeitam mais a autoridade de liderança do que de posição. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. (E) confundem autoridade de posição e liderança. 25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um cientista deduz uma

predição sobre a ocorrência de um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mostra-se falsa. O cientista deve logicamente concluir que

(A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. (C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é verdadeira. (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verdadeira. 26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial, então ele

cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo,

(A) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. (B) Francisco não cometeu um grave delito. (C) Francisco cometeu um grave delito. (D) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. (E) alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. 27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, (A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.




(B) Rodrigo é culpado. (C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado. (D) Rodrigo mentiu. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 28. Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H . . ..., ..., temos,

respectivamente, (A) O, P. (B) I, O. (C) E, P. (D) L, I. (E) D, L. 29. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos (A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256. 30. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira

(que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico).

(A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto Sócrates é mortal.

(B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem.

(C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos.

(D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.

(E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés.

31. Cinco ciclistas apostaram uma corrida. • "A" chegou depois de "B". • "C" e "E" chegaram ao mesmo tempo. • "D" chegou antes de "B". • quem ganhou, chegou sozinho. Quem ganhou a corrida foi (A) A. (B) B. (C) C. (D) D. (E) E.

GABARITO

1-B; 2-A; 3-C; 4-E; 5-E; 6-B; 7-B; 8-D; 9-C; 10-B; 11-C; 12-C; 13-D; 14-A; 15-A; 16-D; 17-C; 18-A; 19-D; 20-D; 21-B; 22-E; 23-C; 24-B; 25-C; 26-E; 27-A; 28-D; 29-B; 30-E; 31-D.

BIBLIOGRAFIA

©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Edgard de Alencar Filho Livraria Nobrel S/A São Paulo, SP

CONTAGEM, PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO

Princípio fundamental da contagem (PFC) Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um

segundo evento, de k maneiras diferentes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente, existem m . k maneiras diferentes.

Aplicações 1) Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De quantos modos dis-

tintos ela pode se vestir? Solução:

A escolho de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras diferentes e a de uma saia, de 3 maneiras diferentes.

Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a escolha da blusa e

saia. Podemos resumir a resolução no seguinte esquema;

Blusa saia

4 . 3 = 12 modos diferentes

2) Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5 caminhos li-

gando os pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o número de trajetos diferentes que podem ser realiza-dos?

Solução: Escolher um trajeto de A a C significa escolher um caminho de A a B

e depois outro, de B a C.

Como para cada percurso escolhido de A a B temos ainda 5 possibili-

dades para ir de B a C, o número de trajetos pedido é dado por: 4 . 5 = 20. Esquema:

Percurso AB

Percurso BC

4 . 5 = 20

3) Quantos números de três algarismos podemos escrever com os

algarismos ímpares? Solução: Os números devem ser formados com os algarismos: 1, 3, 5, 7, 9. E-

xistem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibilidades para o das dezenas e 5 para o das unidades.

Assim, temos, para a escolha do número, 5 . 5 . 5 = 125.

algarismos da centena

algarismos da dezena

algarismos da unidade

5 . 5 . 5 = 125

4) Quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados três letras e três algarismos para a identificação de um veículo? (Considerar 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

Solução: Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilidades para cada po-

sição a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o número total de placas é dado por:

5) Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar




com os algarismos 1, 2, 3 e 4? Solução: Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo e, para

cada uma delas, 3 possibilidades para o segundo, visto que não é permiti-da a repetição. Assim, o número total de possibilidades é: 4 . 3 =12

Esquema:

6) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar

com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Existem 9 possibi1idades para o primeiro algarismo, apenas 8 para o

segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o número total de possibilida-des é: 9 . 8 . 7 = 504

Esquema:

7) Quantos são os números de 3 algarismos distintos?

Solução: Existem 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Temos 9 possibili-

dades para a escolha do primeiro algarismo, pois ele não pode ser igual a zero. Para o segundo algarismo, temos também 9 possibilidades, pois um deles foi usado anteriormente.

Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibilidades, pois dois deles já foram usados. O numero total de possibilidades é: 9 . 9 . 8 = 648

Esquema:

8) Quantos números entre 2000 e 5000 podemos formar com os

algarismos pares, sem os repetir? Solução: Os candidatos a formar os números são : 0, 2, 4, 6 e 8. Como os

números devem estar compreendidos entre 2000 e 5000, o primeiro algarismo só pode ser 2 ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o terceiro e duas paia o quarto.

O número total de possibilidades é: 2 . 4 . 3 . 2 = 48 Esquema:

Exercícios

1) Uma indústria automobilística oferece um determinado veículo em três padrões quanto ao luxo, três tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quantas são as opções para um comprador desse carro?

2) Sabendo-se que num prédio existem 3 entradas diferentes, que o prédio é dotado de 4 elevadores e que cada apartamento possui uma única porta de entrada, de quantos modos diferentes um mora-dor pode chegar à rua?

3) Se um quarto tem 5 portas, qual o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair do mesmo por uma porta diferente da que se utilizou para entrar?

4) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A á cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a mesma linha?

5) Quantas placas poderão ser confeccionadas para a identificação de um veículo se forem utilizados duas letras e quatro algarismos? (Ob-servação: dispomos de 26 letras e supomos que não haverá nenhu-ma restrição)

6) No exercício anterior, quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados 4 letras e 2 algarismos?

7) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

8) Quantos números de três algarismos podemos formar com os alga-rismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

9) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

10) Quantos números de 5 algarismos não repetidos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

11) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos ímpares?

12) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com o nosso sistema de numeração?

13) Quantos números ímpares com 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

14) Quantos números múltiplos de 5 e com 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, sem os repetir?

15) Quantos números pares, de 3 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? E quantos ímpares?

16) Obtenha o total de números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto (1, 2, 4, 5, 9), que contêm 1 e não contêm 9.

17) Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir?

18) Quantos números de 3 algarismos distintos possuem o zero como algarismo de dezena?

19) Quantos números de 5 algarismos distintos possuem o zero como algarismo das dezenas e começam por um algarismo ímpar?

20) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 2?

21) Quantos números se podem escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir, que estejam compreendidos entre 700 e 1 500?

22) Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem ocupar os luga-res?

23) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem obter os três primeiros colocados?

24) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas e um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos pares, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas, de mo-do que o número não tenha nenhum algarismo repetido?

25) Calcular quantos números múltiplos de 3 de quatro algarismos distintos podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

26) Obtenha o total de números múltiplos de 4 com quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

ARRANJO




Introdução: Na aplicação An,p, calculamos quantos números de 2 algarismos dis-

tintos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. Os números são : 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro

do agrupamento (12 21) ou pelos elementos componentes (13 24). Cada número se comporta como uma seqüência, isto é :

(1,2) (2,1) e (1,3) (3,4)

A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples. Definição: Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se arranjo simples dos n

elementos de /, tomados p a p, a toda sequência de p elementos distintos,

escolhidos entre os elementos de l ( P n).

O número de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, é indicado por An,p

Fórmula:

Aplicações 1) Calcular: a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4

Solução: a) A7,1 = 7 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 b) A7,2 = 7 . 6 = 42 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 2) Resolver a equação Ax,3 = 3 . Ax,2. Solução: x . ( x - 1) . ( x – 2 ) = 3 . x . ( x - 1)

x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0

x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0

x = 0 (não convém) ou x = 1 ( não convém) ou x = 5 (convém)

S = 5

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever

com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o principio fundamental

da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é: A9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números

Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples

usando apenas o principio fundamental da contagem. Exercícios 1) Calcule: a) A8,1 b) A8,2 c ) A8,3 d) A8,4

2) Efetue:

a) A7,1 + 7A5,2 – 2A4,3 - A 10,2 b) 1,102,5

4,72,8

AA

AA

3) Resolva as equações: a) Ax,2 = Ax,3 b) Ax,2 = 12 c) Ax,3 = 3x(x - 1) FATORIAL

Definição:

Chama-se fatorial de um número natural n, n 2, ao produto de todos os números naturais de 1 até n. Assim :

n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n 2 (lê-se: n fatorial)

1! = l

0! = 1

Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: Aplicações 1) Calcular:

a) 5! c) ! 6

! 8 e)

2)! - (n

! n

b) ! 4

! 5 d)

! 10

! 10 ! 11

Solução: a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

b) 5! 4

! 4 5

! 4

! 5

c) 56! 6

! 6 7 8

! 6

! 8

d)

12! 10

111! 10

!10

! 10 ! 10 11

! 10

! 10 ! 11

e)

nn! 2 - n

! 2 - n 1 - n n

2)! - (n

! n 2

2) Obter n, de modo que An,2 = 30. Solução: Utilizando a fórmula, vem :

302)! - (n

! 2) - n ( 1) - n ( n30

2)! - (n

! n

n = 6 n2 - n - 30 = 0 ou

n = -5 ( não convém)

3) Obter n, tal que: 4 . An-1,3 = 3 . An,3. Solução:

! 1 - n

! n3

! 4 - n

! 3 - n 4

! 3 - n

! n3

! 4 - n

! 1 - n 4

21n n312n4

! 1 - n

! 1 - n n3

! 4 - n

! 4 - n 3 - n 4

4) Obter n, tal que : 4! n

! ) 1n ( - ! ) 2 n (

Solução:

4! n

! n ) 1 n ( - ! n ! ) 1n ( ! ) 2 n (

4! n

1- 2 n ) 2 n ( ! n

n + 1 = 2 n =1

A n,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)),

N n p, e np

lN np, e n p ,

! pn

! nA P,N




(n + 1 )2 = 4 n + 1 = -2 n = -3 (não convém )

Exercícios 1) Assinale a alternativa correta:

a) 10 ! = 5! + 5 ! d) ! 2

! 10 = 5

b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! c) 10 ! = 11! -1!

2) Assinale a alternativa falsa; a) n! = n ( n-1)! d) ( n –1)! = (n- 1)(n-2)! b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) c) n! = n(n – 1) (n - 2) (n - 3)! 3) Calcule:

a) ! 10

! 12 c)

! 4 ! 3

! 7

b) ! 5

! 5 ! 7 d)

! 5

! 6 - ! 8

4) Simplifique:

a) ! 1) - n (

! n d)

! 1) - n ( n

! n

b)

2 ! 1 n

! n ! 2 n

e)

! M

! ) 1 - M ( 2 - ! 5M

c) ! n

! ) 1 n ( ! n

5) Obtenha n, em:

a) 10! n

1)!(n

b) n!+( n - 1)! = 6 ( n - 1)!

c) 62)! - (n

1)! - (n n d) (n - 1)! = 120

6) Efetuando 1)! (n

n

! n

1

, obtém-se:

a) ! 1)(n

2

d)

! 1)(n

1 2n

b) ! n

1 e) 0 c)

1 - n

! 1) n ( ! n

7) Resolva as equações: a) Ax,3 = 8Ax,2 b) Ax,3 = 3 . ( x - 1)

8) obtenha n, que verifique 8n ! = 1 n

! 1) (n ! 2) (n

9) o número n está para o número de seus arranjos 3 a 3 como 1

está para 240, obtenha n.

PERMUTAÇÕES

Introdução: Consideremos os números de três algarismos distintos formados com

os algarismos 1, 2 e 3. Esses números são : 123 132 213 231 312 321

A quantidade desses números é dada por A3,3= 6.

Esses números diferem entre si somente pela posição de seus ele-

mentos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os algarismos 1, 2 e 3.

Definição: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples

dos n elementos de l a toda a seqüência dos n elementos.

O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. OBSERVA ÇÃO: Pn = An,n . Fórmula: Aplicações 1) Considere a palavra ATREVIDO. a) quantos anagramas (permutações simples) podemos formar? b) quantos anagramas começam por A? c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? d) quantos anagramas possuem a sílaba TR E? e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam em

consoante? Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. Assim:

Ou então, P8 = 8 ! = 40 320 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos

distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então:

c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pela sílaba TRE,

devemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então:

d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos

permutar entre si 6 elementos,

e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as

letras T, R, E como um único elemento:

Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem :




Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispos-

tas de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos P6 . P3 anagramas. Então: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas

f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim:

Exercícios 1) Considere a palavra CAPITULO: a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e P juntas e

nesta ordem? d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas e nesta

ordem? e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam em conso-

ante? 2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA começam e terminam

por vogal? 3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA possuem as vogais e

consoantes alternadas? 4) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da

palavra ESPANTO, de modo que as vogais e consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem?

5) obtenha o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as vogais se mantenham nas respectivas posições.

PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPETIDOS

Dados n elementos, dos quais :

1 são iguais a

2 são iguais a

. . . . . . . . . . . . . . . . .

r são iguais a

sendo ainda que: r2 1 . . . = n, e indicando-se por

) . . . , ,(p r21n o número das permutações simples dos n elemen-

tos, tem-se que:

Aplicações 1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos

algarismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número.

Solução:

os números são

3223 3232 3322

2332 2323 2233

A quantidade desses números pode ser obtida por:

números 6

1 2 ! 2

! 2 3 4

! 2 ! 2

! 4P 2,2

4

2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra

AMADA? solução: Temos:

Assim:

anagramas 20

! 3

! 3 4 5

! 1 ! 1 ! 3

! 5 p 1,1,3

5

3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela

sílaba RA? Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para

serem permutadas, sendo que: Assim, temos:

anagramas 60 ! 2

! 2 3 4 5 p 1,1,2

5

Exercícios 1) o número de anagramas que podemos formar com as letras da

palavra ARARA é: a) 120 c) 20 e) 30 b) 60 d) 10 2) o número de permutações distintas possíveis com as oito letras

da palavra PARALELA, começando todas com a letra P, será de ; a) 120 c) 420 e) 360 b) 720 d) 24 3) Quantos números de 5 algarismos podemos formar com os

algarismos 3 e 4 de maneira que o 3 apareça três vezes em todos os números?

a) 10 c) 120 e) 6 b) 20 d) 24 4) Quantos números pares de cinco algarismos podemos escrever

apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas?

a) 120 c) 20 e) 6 b) 24 d) 12 5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA terminam pela

sílaba MA? a) 10 800 c) 5 040 e) 40 320 b) 10 080 d) 5 400

COMBINAÇÕES SIMPLES E COM REPETIÇÃO

Introdução: Consideremos as retas determinadas pelos quatro pontos, conforme a

figura.

Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB( )AD e BD ,AC por-

que , . . . ,BA e AB DC e CD representam retas coincidentes.

1 13

D M A A,,A

{{{

1121

F R AA, G

1

11 11 a ., . . , a ,a a

2

2222 a , . . . ,a ,a a

r

rrrr a , . . . ,a ,a a




Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D.

Diferem entre si apenas pelos elementos componentes, e são

chamados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2.

O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é

indicado por Cn,p ou

p

n.

OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p.

Fórmula:

Aplicações 1) calcular: a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 Solução:

a) C7,1 = 7! 6

! 6 7

! 6 ! 1

! 7

b) C7,2 = 21! 5 1 2

! 5 6 7

! 5 ! 2

! 7

c) C7,3 = 35! 4 1 2 3

! 4 5 6 7

! 3 ! 4

! 7

d) C7,4= 35 1 2 3 ! 4

! 4 5 6 7

! 3 ! 4

! 7

2) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um conjunto de 5

elementos?

ossubconjunt 101 2 ! 3

! 3 4 5

! 2 ! 3

! 5 C5,3

3) obter n, tal que 3

4

C

C

n,2

n,3

Solução:

3

4

! n

! ) 2- n ( ! 2

) 3 - n ( ! 3

! n

3

4

! ) 2 - n ( ! 2

! n

! ) 3 - n ( ! 3

! n

42-n 3

4

! ) 3 - n ( 2 3

! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2

convém 4) Obter n, tal que Cn,2 = 28. Solução:

56! )2n(

! ) 2 - n ( ) 1 -n ( n28

) 2 - n ( ! 2

! n

n = 8

n2 – n – 56 = 0 n = -7 (não convém)

5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 distintos. Obter o número de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos indicados:

Solução: Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 desses pontos,

não importando a ordem. Assim, o número de triângulos é dado por:

562 3

6 7 8

! 5 ! 3

! 8C8,3

6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 moças. Quantas

comissões de 5 pessoas, 3 rapazes e 2 moças, podem ser for-madas?

Solução: Na escolha de elementos para formar uma comissão, não importa a

ordem. Sendo assim :

escolher 3 rapazes: C6,3 =! 3 ! 3

! 6= 20 modos

escolher 2 moças: C5,2= 3! 2!

! 5 = 10 modos

Como para cada uma das 20 triplas de rapazes temos 10 pares de

moças para compor cada comissão, então, o total de comissões é C6,3 . C5,2 = 200.

7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos.

a) Quantas retas esses pontos determinam? b) Quantos triângulos existem com vértices em três desses

pontos? Solução: a) C10,2 - C6,2 - C4,2 + 2 = 26 retas onde C6,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por seis pontos C4,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por quatro pontos

b) C10,3 – C6,3 -- C4,3 = 96 triângulos onde C6,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados em uma das retas, pois pontos colineares não determinam triângulo. C4,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados da outra reta.

8) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos

modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas?

Solução: As retiradas podem ser efetuadas da seguinte forma: 4 pretas e 3 brancas C6,4 . C10,3 = 1 800 ou

5 pretas e 2 brancas C6,5 . C10,2 = 270 ou

6 pretas e1 branca C6,6 . C10,1 = 10

Logo. 1 800 + 270 + 10 = 2 080 modos

Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combinação sim-ples dos n elementos de /, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l.

n = 6

lN } n p, { e np ,! ) p - n ( ! p

! n C p, n




Exercícios 1) Calcule: a) C8,1 + C9,2 - C7,7 + C10,0 b) C5,2 +P2 - C5,3 c) An,p . Pp 2) Obtenha n, tal que : a) Cn,2 = 21 b) Cn-1,2 = 36 c) 5 . Cn,n - 1 + Cn,n -3 = An,3 3) Resolva a equação Cx,2 = x. 4) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8

elementos? 5) Numa reunião de 7 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas

podemos formar? 6) Um conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos. Obtenha o

número de elementos de A,

7) Obtenha o valor de p na equação: 12C

A

4,p

3,p .

8) Obtenha x na equação Cx,3 = 3 . Ax.2. 9) Numa circunferência marcam-se 7 pontos distintos. Obtenha: a) o número de retas distintas que esses pontos determinam; b) o número de triângulos com vértices nesses pontos; c) o número de quadriláteros com vértices nesses pontos; d) o número de hexágonos com vértices nesses pontos. 10) A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4

japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses po-dem ser formadas?

11) Uma urna contém 10 bolas brancas e 4 bolas pretas. De quantos

modos é possível tirar 5 bolas, das quais duas sejam brancas e 3 sejam pretas?

12) Em uma prova existem 10 questões para que os alunos escolham 5

delas. De quantos modos isto pode ser feito? 13) De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser

dividido em 3 grupos contendo, respectivamente, 5, 3 e duas pes-soas?

14) Quantas diagonais possui um polígono de n lados? 15) São dadas duas retas distintas e paralelas. Sobre a primeira mar-

cam-se 8 pontos e sobre a segunda marcam-se 4 pontos. Obter: a) o número de triângulos com vértices nos pontos marcados; b) o número de quadriláteros convexos com vértices nos pontos

marcados. 16) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5, e somente 5, estão

alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?

17) Uma urna contém 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 azuis. De

quantos modos podemos tirar 6 bolas das quais: a) nenhuma seja azul b) três bolas sejam azuis c) pelo menos três sejam azuis 18) De quantos modos podemos separar os números de 1 a 8 em dois

conjuntos de 4 elementos? 19) De quantos modos podemos separar os números de 1 a 8 em dois

conjuntos de 4 elementos, de modo que o 2 e o 6 não estejam no

mesmo conjunto? 20) Dentre 5 números positivos e 5 números negativos, de quantos

modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo?

21) Em um piano marcam-se vinte pontos, não alinhados 3 a 3, exceto

cinco que estão sobre uma reta. O número de retas determinadas por estes pontos é:

a) 180 b) 1140 c) 380 d) 190 e) 181 22) Quantos paralelogramos são determinados por um conjunto de sete

retas paralelas, interceptando um outro conjunto de quatro retas paralelas?

a) 162 b) 126 c) 106 d) 84 e) 33 23) Uma lanchonete que vende cachorro quente oferece ao freguês:

pimenta, cebola, mostarda e molho de tomate, como tempero adi-cional. Quantos tipos de cachorros quentes diferentes (Pela adição ou não de algum tempero) podem ser vendidos?

a) 12 b) 24 c) 16 d) 4 e) 10 24) O número de triângulos que podem ser traçados utilizando-se 12

pontos de um plano, não havendo 3 pontos em linha reta, é: a) 4368 b) 220 c) 48 d) 144 e) 180 25) O time de futebol é formado por 1 goleiro, 4 defensores, 3 jogado-

res de meio de campo e 3 atacantes. Um técnico dispõe de 21 jo-gadores, sendo 3 goleiros, 7 defensores, 6 jogadores de meio cam-po e 5 atacantes. De quantas maneiras poderá escalar sua equipe?

a) 630 b) 7 000 c) 2,26 . 109

d) 21000 e) n.d.a. 26) Sendo 5 . Cn, n - 1 + Cn, n - 3, calcular n.

27) Um conjunto A possui n elementos, sendo n 4. O número de subconjuntos de A com 4 elementos é:

a)

) 4 - n (24

! n c) ( n – 4 ) ! e) 4 !

b) ) 4 - n (

! n d) n !

28) No cardápio de uma festa constam 10 diferentes tipos de salgadi-nhos, dos quais apenas 4 serão servidos quentes. O garçom encar-regado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contenha sempre só dois tipos diferentes de salgadinhos frios e dois diferentes dos quentes. De quantos modos diversos po-de o garçom, respeitando as instruções, selecionar os salgadinhos para compor a travessa?

a) 90 d) 38 b) 21 e) n.d.a. c) 240




29) Em uma sacola há 20 bolas de mesma dimensão: 4 são azuis e as restantes, vermelhas. De quantas maneiras distintas podemos ex-trair um conjunto de 4 bolas desta sacola, de modo que haja pelo menos uma azul entre elas?

a) ! 12

! 16

! 16

! 20 d)

! 12

! 16

! 16

! 20

! 4

1

b) ! 16 ! 4

! 20 e)n.d.a.

c) ! 16

! 20

30) Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. Quantas comissões

diferentes podemos formar com 4 meninos e 3 meninas, incluindo obrigatoriamente o melhor aluno dentre os meninos e a melhor alu-na dentre as meninas?

a) A10,4 . A9,3 c) A9,2 – A8,3 e) C19,7 b) C10,4 - C9, 3 d) C9,3 - C8,2

31) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão, De quantas maneiras distintas o grupo pode ser formado, sabendo que dos dez estudantes dois são marido e mulher e apenas irão se juntos?

a) 126 b) 98 c) 115 d)165 e) 122

RESPOSTAS Principio fundamental da contagem 1) 63 2) 12 3) 20 4) 72 5) 6 760 000 6) 45 697 600 7) 216 8) 180 9) 360 10) 2 520 11) 120 12) 4 536 13) 60

14) 24 15) 90 par e 120 impares 16) 18 17) 48 18) 72 19) 1 680 20) 504 21) 30 22) 20 23) 720 24) 480 25) 72 26) 96

Arranjos simples 1) a) 8 c) 336 b) 56 d) 1680 2) a) 9 b) 89,6 3) a) s = {3} b) S = {4} c) S = {5} Fatorial 1) e 2) e 3) a) 132 b) 43 c) 35 d) 330

4) a) n b) 1n

2n

c) n + 2 d) 1 e)

M

2M5

5) n = 9 b) n = 5 c) n = 3 d) n = 6 6) a 7) a) S = {10} b) S = {3} 8) n = 5 9) n = 17 Permutações simples 1) a) 40 320 d) 720 b) 5 040 e) 4 320 c) 120 f) 11 520

2) 144 3) 72 4) 288 5) 120

Permutações simples com elementos repetidos 1) d 2) c 3) a 4) d 5) b Combinações simples

1) a) 44 c) )!pn(

!p!n

b) 2 2) a) n = 7 b) n = 10

c) n = 4 3) S = {3} 4) 70 5) 35 6) 10 7) p=5 8) S={20} 9) a) 21 c) 35

b) 35 d) 7 10) 140 11) 180 12) 252 13) 2 520

14) 2

)3n(n

15) a) 160 b) 168 16) 210 17) a) 28 c) 252

b) 224 18) 70 19) 55 20) 110 21) e 22) b 23) c 24) b 25) d 26) n =4 27) a 28) a 29) d 30) d 31) b

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bb - raciocínio lógico - 5 - 2012

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