basic m2-2-chapter4
TRANSCRIPT
![Page 1: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/1.jpg)
บทที่ 4เสนขนาน (18 ช่ัวโมง)
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ช่ัวโมง) 4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ช่ัวโมง)
นักเรียนเคยเรียนรูเกี่ยวกับเสนขนานและสมบัติบางประการของเสนขนานมาแลว ในบทนี้จะเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับสมบัติของเสนขนานและการนําสมบัติเหลานั้นไปใชในการใหเหตุผลเกี่ยวกับขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงสามารถนําไปใชในการใหเหตุผลอยางตอเนื่องเกี่ยวกับเงื่อนไขของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน ลักษณะการนําเสนอสาระในแตละหัวขอ จะมีกิจกรรมสํารวจที่เกี่ยวของกับสมบัติของเสนขนานซึ่งเปนทั้งทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทเหลานั้น ครูควรใหนักเรียนไดสรางขอความคาดการณจากผลการสํารวจแลวเขียนขอสรุปเปนทฤษฎีบท พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ในทฤษฎีบทดวย สําหรับแบบฝกหัดในบทนี้ตองการฝกใหนักเรียนรูจักใหเหตุผลบางเพียงเพื่อเปนพื้นฐานในการพิสูจนในชั้นตอไป ถึงแมวาโจทยแบบฝกหัดบางขอจะเปนการคํานวณหาขนาดของมุมตาง ๆ ครูก็อาจนําโจทยเหลานั้นมาใหนักเรียนไดบอกเหตุผลและเรียนรูรวมกันในชั้นเรียนดวย การเขียนคําอธิบายหรือการใหรายละเอียดในการบอกเหตุผลใหอยูในดุลพินิจของครู สําหรับตัวอยางการอางเหตุผลที่นําเสนอในหนังสือเรียนจะอางโดยใชขอความที่เปนทฤษฎีบท หรือสมบัติที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซ่ึงเปนการอางเหตุผลที่นิยมใชกันโดยทั่วไป อีกทั้งเพื่อใหนักเรียนคุนเคยและจดจําขอความนั้น ๆ ได
ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. บอกสมบัติของเสนขนาน และบอกเงื่อนไขที่ทําใหเสนตรงสองเสนขนานกัน
2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการ ใหเหตุผลและแกปญหาได
![Page 2: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/2.jpg)
63
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกบทนิยามของเสนขนานได 2. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน แลวระยะหางระหวางเสนตรงคูนั้นจะเทากันเสมอ 3. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนมีระยะหางระหวางเสนตรงเทากันเสมอ แลวเสนตรงคูนั้นจะ ขนานกัน 4. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อกําหนดใหเสนตรง เสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 5. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ ขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้ ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมรอบตัวที่มีลักษณะของเสนขนานบนระนาบเดียวกัน เพื่อนําเขาสูบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเห็นวา บทนิยามดังกลาวนี้สามารถนําไปใชกับการขนานกันของสวนของเสนตรงและรังสี เมื่อสวนของเสนตรงและรังสีนั้นเปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ขนานกัน 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับระยะหางระหวางเสนขนาน ครูอาจทบทวนความรูและทําความเขาใจเพิ่มเติมกับนักเรียนใน 2 ประเด็น ดังนี้ 1) ระยะหางระหวางจุดจุดหนึ่งกับเสนตรงจะหมายถึง ความยาวของสวนของเสนตรงที่ ลากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเสนตรง ดังรูป
จากรูป PQ ตั้งฉากกับ AB จะได PQ คือระยะหางระหวางจุด P กับ AB
P
A Q B
![Page 3: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/3.jpg)
64
2) เมื่อกลาวถึงระยะหางระหวางเสนขนานที่กลาววา มีระยะหางระหวางเสนตรง เทากันเสมอนั้น ในการตรวจสอบการเทากันของระยะหางของเสนขนานนี้ ในทางปฏิบัติ จะวัดหาระยะหางจากจุดที่แตกตางกันอยางนอยสองจุดบนเสนตรง เสนหนึ่งไปยังเสนตรงอีกเสนหนึ่งก็เปนการเพียงพอแลว ทั้งนี้เนื่องจากมีเสนตรงเพียง เสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดใหได 3. สําหรับกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน” เปนกิจกรรมที่ทําใหนักเรียนเกิดความตระหนักวาในการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไม ถาใชบทนิยามของเสนขนานโดยตรงหรือพิจารณาจากระยะหางระหางเสนตรงทั้งสองนั้นอาจไมสะดวก จึงใชกิจกรรมนี้นําเขาสูการตรวจสอบโดยใชวิธีการอื่นเชน ตรวจสอบจาก ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดของเสนตรงสองเสนที่กําหนดใหนั้น 4. ในกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด” สําหรับกิจกรรมขอ 3 ตองการใหนักเรียนสรางขอความคาดการณจากกิจกรรมขอ 1 และขอ 2 เพื่อใหไดผลสรุปเกี่ยวกบัผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด กิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสมบัติของเสนขนานที่เปนประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคเปนทฤษฎีบทที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ”ซ่ึงความรูในสวนนี้ เคยกลาวไวแลวในสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ม.1 เลม 2 เร่ืองการเตรียมความพรอมในการใหเหตุผล จึงอาจมีนักเรียนบางคนไมไดเรียนเนื้อหานี้มากอน ครูจึงตองใหความรูเพิ่มเติมกับนักเรียนกลุมนี้และอาจทบทวนความรูกับกลุมนักเรียนที่เคยรูจักคํานี้มาแลว ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูจะตองใหนักเรียนเขาใจความหมายของทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น พรอมทั้งชี้ใหเห็นวา เมื่อพบขอความที่ตองพิสูจนมีคําวา“ก็ตอเมื่อ” เชื่อมขอความอยู เราจะตองแยกขอความนั้นเปนประโยคเงื่อนไขสองประโยคแลวพิสูจนวาทั้งสองประโยคเปนจริง จึงจะถือวาเปนการพิสูจนขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ซ่ึงขอความเหลานี้มักเปนทฤษฎีบทที่มีบทกลับ เชน ทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งเสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา” 5. หลังจากนักเรียนไดเรียนตัวอยางที่ 4 แลว ครูควรสรุปใหนักเรียนเห็นวาการขนานกันของเสนตรงมีสมบัติถายทอด เมื่อมีเสนตรงสามเสนขนานกันก็จะไมใชสัญลักษณ เชน AB // CD // EF แตจะใชขอความวา AB, CD และ EF ขนานกัน 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีโจทยบางขอไดเชื่อมโยงความรูโดยใชสมการมาชวยหาขนาดของมุมที่เกี่ยวกับเสนขนาน ครูควรประเมินโดยการสังเกตวา นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรูดังกลาวนี้ไดหรือไม
![Page 4: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/4.jpg)
65
4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เมื่อกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวาเมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี ขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงสาระวา การพิจารณาหรือตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะใชความรูเกี่ยวกับเสนขนานและขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด มาตรวจสอบแลวยังสามารถใชสมบัติของมุมแยงมาตรวจสอบได ดังกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะของมุมแยงและขนาดของมุมแยง ครูควรกลาวถึงในประเด็นตอไปนี้ 1) มุมแยงที่เกิดจากเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง อาจเกิดจากเสนตรงที่ขนานกัน หรือไมขนานกันก็ได 2) มุมแยงที่มีขนาดเทากันจะตองเกิดจากเสนตรงที่ขนานกันเทานั้น ดังนั้นเมื่อกลาวถึง มุมแยงทั่ว ๆ ไป จะสรุปวามีขนาดเทากันไมได 3) การอางดวยสมบัติของมุมแยง ควรเขียนขอความของสมบัตินั้นใหสมบูรณ ไมควร เขียนอางวา “เพราะเปนมุมแยง” หรือเขียนวา “มุมแยงยอมมีขนาดเทากัน” 4) การพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้น ขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน” จะตองรูวาประโยคนี้คือประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคไดแก (1) ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน (2) ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน
![Page 5: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/5.jpg)
66
ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู
มุมแยงที่กลาวถึงในบทเรียนเปนมุมแยงภายใน (alternate interior angles) ในทางคณิตศาสตรกําหนดมุมแยง เปนดังนี้ กําหนดให EF เปนเสนตัด AB และ CD ดังรูป
∧2 และ
∧8 เปนมุมแยงภายนอก (alternate exterior angles)
∧1 และ
∧7 เปนมุมแยงภายนอก
∧3 และ
∧5 เปนมุมแยงภายใน
∧4 และ
∧6 เปนมุมแยงภายใน
เนื่องจาก ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน จึงทําใหได ∧1 =
∧3 ,
∧2 =
∧4 ,
∧5 =
∧7 และ
∧6 =
∧8
ดังนั้นสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานที่เกี่ยวกับมุมแยงภายใน จึงยังคงเปนจริงสําหรับมุมแยงภายนอกดวย หนังสือหลายเลมเมื่อกลาวถึงสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง จึงไมระบุวาเปนมุมแยงภายในหรือมุมแยงภายนอก
1
8
A B
DC
243
756
E
F
![Page 6: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/6.jpg)
67
4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อ กําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนํา สมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ก็ทําเชนเดียวกันกับหัวขอ 4.2 นักเรียนจะตองเกิดความคิดรวบยอดวา ในการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไมนั้น นอกจากจะตรวจสอบโดยใชผลบวกของขนาดของมุมภายในหรือพิจารณาขนาดของมุมแยงแลว ยังสามารถตรวจสอบไดอีกวิธีหนึ่งโดยใชความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน ตามกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. การพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน” วิธีพิสูจนที่นําเสนอในหนังสือเรียนใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เพื่อใหเห็นความหลากหลายของวิธีการพิสูจนก็ได ดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให AB // CD มี EF เปนเสนตัดตองการพิสูจนวา ∧
1 = ∧5 ,
∧2 =
∧6 ,
∧7 =
∧3 และ
∧8 =
∧4
1
8
A B
DC
243
75 6
E
F
![Page 7: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/7.jpg)
68
พิสูจน AB // CD (กําหนดให)
∧5 +
∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)
∧1 +
∧3 = 180o (ขนาดของมุมตรง)
∧1 +
∧3 =
∧5 +
∧3 (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น ∧1 =
∧5 (นํา
∧3 มาลบทั้งสองขางของสมการ)
การพิสูจนวา ∧2 = ∧6 , ∧7 = ∧3 และ ∧8 = ∧4 อาจใหนักเรียนลองพิสูจนโดยใชสมบัติ
ดังตัวอยางขางตนก็ได ในทํานองเดียวกันการพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน”วิธีพิสูจนที่นําเสนอไวในหนังสือเรียน ใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยงดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให EF ตัด AB และ CD ทําให EXA∧
= XYC∧
ตองการพิสูจนวา AB // CDพิสูจน เนื่องจาก EXA
∧ = YXB
∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมี
ขนาดเทากัน) และ EXA
∧ = XYC
∧ (กําหนดให) จะได YXB
∧ = XYC
∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก YXB
∧ และ XYC
∧ เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนาน
กัน)
A B
DCY
XE
F
![Page 8: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/8.jpg)
69
1
3
22 3 1
4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา และ นําสมบัตินี้ไปใชได 2. บอกไดวา ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้ ไปใชได 3. บอกไดวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการและนําสมบัตินี้ไปใชได 4. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผล และแกปญหาได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนวา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ดวยการใหนักเรียนสังเกตผลจากการลงมือปฏิบัติ เชน การใหนักเรียนเขียนรูปสามเหลี่ยม กลุมละ 3 – 4 รูป วัดขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป แลวหาผลรวมโดยบันทึกผลในตาราง
ขนาดของมุม (องศา)รูปสามเหลี่ยม ∧1
∧2
∧3
ผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม(องศา)
ครูอาจแนะใหนักเรียนตัดหรือฉีกมุมทั้งสามของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวกของขนาดของมุมทั้งสามมุม ดังรูป
3
1 2
![Page 9: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/9.jpg)
70
1 2
3
1 23
นอกจากนี้แลว ครูอาจแนะใหนักเรียนทํากิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” หนา172 – 177 หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 พิมพคร้ังที่ 1 ขอคนพบหรือผลสรุปจากการสํารวจตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยผลสรุปที่ไดนี้อาจเปนจริงทุกกรณีหรือไมก็ได เพื่อเปนการยืนยันวา ผลสรุปนี้เปนจริง จึงตองใชการใหเหตุผลแบบนิรนัย ซ่ึงแสดงไดโดยการพิสูจน สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” สามารถนําไปใชพิสูจนเกี่ยวกับความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม” และที่สําคัญคือนําไปใชในการพิสูจนวา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” 2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงความรูในการนําสมบัติของเสนขนานมาใชในการพิสูจน ซ่ึงทําใหไดทฤษฎีบทใหม ๆ ตอเนื่องกันดังแผนภูมิตอไปนี้
สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง
สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแบบ ม.ม.ด.
ทําใหไดความคิดรวบยอดวาความสัมพันธแบบ ม.ด.ม. มีความสัมพันธแบบ ม.ม.ด. ดวย
![Page 10: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/10.jpg)
71
3. สําหรับกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร” มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคนที่นําความรูทั้งหมดมาใชในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําเปนกลุมยอยและสุมใหนักเรียนออกมานําเสนอหนาช้ันเรียนและใหบอกเหตุผลในการคิดคํานวณดวย 4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” นอกจากจะมีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการคํานวณโดยใชสมบัติตาง ๆ ที่เรียนรูมาแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนเห็นรูปที่มีความสวยงามคลายรูปดาวหาแฉก และสามารถเขียนรูปจากการลากเสนตอเนื่องกันไดในครั้งเดียว (ไมตองยกดินสอขึ้น) 5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ขอ 8 หลังจากนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนวา“ขนาดของมุมภายนอกของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกันเทากับ 360 องศา” 6. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อใหเห็นวา สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนํามาใชหาสูตรผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียมเมื่อ n แทนจํานวนเต็มบวก และเมื่อนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้แลว ครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหตอวาผลบวกของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหล่ียมเทากับเทาไร 7. สําหรับกิจกรรม “เฉลว” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับงานจักสานซึ่งเปนภูมิปญญาทองถ่ิน ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาที่จริงแลวงานจักสานลวนมีความเกี่ยวของกับสมบัติทางเรขาคณิต ผูจักสานประดิษฐงานโดยใชความรูเกี่ยวกับขนาดของมุม ความยาวของดาน ตลอดจนใชเสนขนานมาประดิษฐเปนลวดลายที่สวยงาม เชน ทําฝาชีครอบอาหาร ทําหมวก ตะกรา ฯลฯ ซ่ึงความรูทางดานเรขาคณิตนี้ ผูจักสานเรียนรูมาจากบรรพบุรุษที่ไดส่ังสอนกันตอ ๆ มา อาจ ไมไดเรียนรูเชิงทฤษฎีโดยตรง นอกจากนี้ครูอาจสนทนาและใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่ใชประโยชนจากเสนขนาน เชน การสรางรั้วสนามที่ทําใหลูกกรงอยูในแนวขนานกัน การตัดถนนหรือทําขอบสนามใหขนานกัน การทําขอบประตูหรือหนาตางใหขนานกนั เพื่อใหดูสวยงามและปดเปดไดสะดวก
![Page 11: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/11.jpg)
72
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน”
1. ขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวเทากัน 2. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 3. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 4. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
คําตอบกิจกรรม “มุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1. FEA∧
และ EFC∧
FEB∧
และ EFD∧
2. YXM∧
และ XYP∧
YXN∧
และ XYQ∧
คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1. 1) ไมเทากับ 180o 2) ไมเทากับ 180o
2. 1) เทากับ 180o 2) เทากับ 180o
3. 1) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ไมขนานกัน ไมเทากับ 180o
2) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ขนานกัน เทากับ 180o
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.1
1. 1) ขนานกัน เพราะ 117 + 63 = 180o 2) ไมขนานกัน เพราะ 112 + 58 ≠ 180o
3) ไมขนานกัน เพราะ 90 + 80 ≠ 180o 4) ขนานกัน เพราะ 90 + 90 = 180o
![Page 12: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/12.jpg)
73
2. 1) x = 79 2) x = 88 3) x = 60 4) x = 61 3. 1)
FDC∧
= 148o
2)
FDC∧
= 50o
4. CDA∧
= 127o และ DCB∧
= 109o
5.
เนื่องจาก PL // MN และมี AB เปนเสนตัด (กําหนดให) LKM
∧ + NMK
∧ = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)
P
BN
LA
M
K
A B
FE D
C 32o
D
130o
CA B
FE
![Page 13: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/13.jpg)
74
NMB∧
+ NMK∧
= 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได NMB
∧ + NMK
∧ = LKM
∧ + NMK
∧ (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น NMB∧
= LKM∧
(นํา NMK∧
มาลบทั้งสองขาง ของสมการ) 6. x = 90 และ y = 90 7. ขนานกัน เพราะ ถาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่ง รวมกัน เทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมแยง”
1. 1) FEA
∧ และ EFD
∧
FEB∧
และ EFC∧
2) FEA∧
และ EFD∧
FEB∧
และ EFC∧
2. 1) FEA
∧ และ EFD
∧
FEB∧
และ EFC∧
2) FEA∧
และ EFD∧
FEB∧
และ EFC∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ก
1. BAF∧
= NBA∧
เพราะ BN // FM มี AB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน 2. AEM
∧ = KAE
∧ เพราะ EM // KY มี NB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน
3. EBO∧
= 126o
4. ECA∧
= 131o
5. EDC∧
= 40o
![Page 14: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/14.jpg)
75
6.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CBA
∧ = DCB
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก BC // DE (กําหนดให) จะได DCB
∧ = EDC
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA
∧ = EDC
∧ (สมบัติของการเทากัน)
7.
เนื่องจาก PQ // RS (กําหนดให) จะได CAP
∧ = SBA
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)SBA
∧ = CBR
∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน) ดังนั้น CAP
∧ = CBR
∧ (สมบัติของการเทากัน)
AB
CD
E
R
B C
Q S
P
A
![Page 15: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/15.jpg)
76
8.
เนื่องจาก AD // CF (ดานตรงขามของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ยอม ขนานกัน) จะได EAD
∧ = EBF
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AE = BE (E เปนจุดกึ่งกลางของ AB )
DEA∧
= FEB∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AED ≅ ∆ FEB
∧(ม.ด.ม.)
ดังนั้น DE = FE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
9.
เนื่องจาก AE // HB (กําหนดให) จะได FAE
∧ = GBH
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AF = BG (กําหนดให) เนื่องจาก FE // HG (กําหนดให)
CD
F
E BA
E
FG
H
BA
![Page 16: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/16.jpg)
77
จะได GFE∧
= FGH∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) EFA
∧ + GFE
∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)
HGB∧
+ FGH∧
= 180o (ขนาดของมุมตรง) EFA
∧ + GFE
∧ = HGB
∧ + FGH
∧ (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น EFA∧
= HGB∧
(สมบัติของการเทากัน โดยนํา GFE∧
และ FGH
∧ ที่มีขนาดเทากันมาลบทั้งสองขางของ
สมการ) จะได ∆ AFE ≅ ∆ BGH (ม.ด.ม.โดยมี FAE
∧ = GBH
∧, AF = BG,
EFA∧
= HGB∧
) ดังนั้น FE = GH (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ข
1. 1) AE // BC 2) AD // BM 3) SR // PQ 4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดขนานกันเลย
2. x = 98 และ y = 60 3.
เนื่องจาก AO = BO (กําหนดให CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O) DOA
∧ = COB
∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน) DO = CO (กําหนดให AB แบงครึ่ง CD ที่จุด O)
DA
C B
O
![Page 17: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/17.jpg)
78
ดังนั้น ∆ AOD ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) จะได ODA
∧ = OCB
∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)
4.
เนื่องจาก BAC∧
= DBE∧
(กําหนดให) EBA
∧ + DBE
∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)
จะได EBA∧
+ BAC∧
= 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน DBE∧
ดวย BAC
∧)
เนื่องจาก EBA∧
และ BAC∧
เปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB ซ่ึงตัด AC และ BE ดังนั้น AC // BE (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ เสนตัดรวมกันเทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา BC // DE
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมภายนอกและมุมภายใน” 1. 1) PRA
∧และ PSC
∧
SRA∧
และ QSC∧
PRB∧
และ PSD∧
SRB∧
และ QSD∧
A B D
EC
![Page 18: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/18.jpg)
79
2) PRA∧
และ PSC∧
SRA∧
และ QSC∧
PRB∧
และ PSD∧
SRB∧
และ QSD∧
2. 1) และ 2) PEA
∧ และ PFC
∧
QEA∧
และ QFC∧
QEB∧
และ QFD∧
PEB∧
และ PFD∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.3 ก
1. QPA∧
= SRP∧
และ SRB∧
= QPR∧
เพราะวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน 2. TSN
∧ = MSQ
∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
TSN∧
= KTS∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) TSN
∧ = PTL
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู
ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) 3. DYX
∧ = 52o
4. DCE∧
= 128o
5. BAD∧
= DCB∧
= 47o
CBA∧
= CDA∧
= 133o
6. x = 65
![Page 19: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/19.jpg)
80
7.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CAB
∧ = ECD
∧ (เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) AC = CE (กําหนดให) เนื่องจาก CB // ED (กําหนดให)
จะได BCA∧
= DEC∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ CDE (ม.ด.ม.)
คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข
1. 1) DF // CB เพราะ DAE
∧ เปนมุมภายนอกและ CBA
∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด BE มีขนาดเทากัน 2) AB // MN เพราะ CNM
∧ เปนมุมภายนอกและ CBA
∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัด BC มีขนาดเทากัน 3) AB // CD เพราะ ABP
∧ เปนมุมภายนอกและ CDB
∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด PD มีขนาดเทากับ 44o เทากัน 4) MN // PQ
เนื่องจาก QDA∧
+ 50 = 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได QDA
∧ = 180 – 50
= 130o
เนื่องจาก NBA∧
= 130o (กําหนดให)
DB
A C E
![Page 20: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/20.jpg)
81
ดังนั้น NBA∧
= QDA∧
= 130o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ MN // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง คูนั้นขนานกัน) QR // NP เพราะ FEQ
∧ = DCN
∧ = 96o (ใหเหตุผลในทํานองเดียวกันกับขางตน)
2. ECD∧
= 98o
3.
เนื่องจาก YM // QR (กําหนดให) จะได MAP
∧ = RQP
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) MYX
∧ = RQP
∧ (กําหนดให)
จะได MAP∧
= MYX∧
(สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น YX // QP (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
Y
Q R
M
PX
A
![Page 21: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/21.jpg)
82
4.
เนื่องจาก ∆ ABC และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะได CAB
∧ = ACB
∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน) และ FDE
∧ = DFE
∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน) CAB
∧ = DFE
∧ (กําหนดให)
ดังนั้น CAB∧
= FDE∧
และ ACB∧
= DFE∧
(สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ AB // DE และBC // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
คําตอบกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร”
1. x = 48 2. x = 75 และ y = 15 3. x = 130 และ y = 110 4. x = 54 และ y = 78 5. x = 107 6. x = 56 และ y = 68 7. x = 25 และ y = 10
แนวคิด เนื่องจาก 2x + y + 120 = 180 2x + y = 60 y = 60 – 2x
A D C F
EB
![Page 22: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/22.jpg)
83
เนื่องจาก 2x – y + 140 = 180 จะได 2x – (60 – 2x) + 140 = 180 (แทน y ดวย 60 – 2x) 2x – 60 + 2x + 140 = 180 4x = 100 x = 25 จะได y = 60 – (2 × 25) = 10 8. x = 15 และ y = 57.5
แนวคิด เนื่องจาก 3x + 25 = x + 55 2x = 30 x = 15 เนื่องจาก (x + 55) + (2y – 5) = 180 15 + 55 + 2y – 5 = 180 (แทน x ดวย 15) 2y + 65 = 180 2y = 115 y = 57.5 9. x = 8 และ y = 12
แนวคิด เนื่องจาก (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180 10x + 100 = 180 10x = 80 x = 8 เนื่องจาก 100 + (5x + y) + (2x + y) = 180 100 + (5 × 8) + (2 × 8) + 2y = 180 (แทน x ดวย 8) 100 + 40 + 16 + 2y = 180 2y = 24 y = 12
![Page 23: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/23.jpg)
84
10. x = 12 และ y = 28แนวคิด
เนื่องจาก HEA∧
= CGH∧
= 48o
จะได 2x + 2y = 32 + 48 = 80 เนื่องจาก 5y – 8 + 48 = 180 5y = 140 y = 28 จะได 2x + (2 × 28) = 80 2x = 24 x = 12
คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”
m = 26 r = 36n = 50 s = 72p = 86 t = 118q = 22 u = 44
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.4
1. 1. DCE
∧, XCA
∧, EDC
∧, YDB
∧ และ EBA
∧
2. BAE∧
= 68o
2. PQ // ADเนื่องจาก PAB
∧ = 32 + 28 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม
เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน ที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
= 60o
PAB∧
+ PAD∧
= 180o (ขนาดของมุมตรง)
![Page 24: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/24.jpg)
85
จะได PAD∧
= 180 – 60 (แทน PAB∧
ดวย 60) = 120o
ดังนั้น PQ // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
3.
สราง ลาก BDเนื่องจาก
∧1 +
∧2 +
∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)
∧4 +
∧5 +
∧6 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) จะได
∧1 +
∧2 +
∧3 +
∧4 +
∧5 +
∧6 = 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)
หรือ ∧1 + (
∧2 +
∧5 ) +
∧4 + (
∧3 +
∧6 ) = 360o
ดังนั้น DAB∧
+ CDA∧
+ BCD∧
+ ABC∧
= 360o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกัน เทากับ 360 องศา
4.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
52
13 6
4
AB
CD
A FE
B C
![Page 25: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/25.jpg)
86
ดังนั้น CBA∧
= BCA∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด เทากัน) เนื่องจาก EF // BC (กําหนดให) จะได EAB
∧ = CBA
∧ และ FAC
∧ = BCA
∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) ดังนั้น EAB
∧ = FAC
∧ (สมบัติของการเทากัน)
5.
เนื่องจาก AB = EF (กําหนดให) CG // DH มี AE เปนเสนตัด (กําหนดให)
จะได FBG∧
= BFH∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน)
FBG∧
= CBA∧
และ BFH∧
= DFE∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA
∧ = DFE
∧ (สมบัติของการเทากัน)
BC = FD (กําหนดให) จะได ∆ ABC ≅ ∆ EFD (ด.ม.ด.) ดังนั้น BAC
∧ = FED
∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AC // ED (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)
F E
DGBA
C H
![Page 26: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/26.jpg)
87
6.
สราง ลาก BDเนื่องจาก AB // CD มี BD เปนเสนตัด (สมบัติของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)
จะได DBA∧
= BDC∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก AD // BC มี BD เปนเสนตัด (สมบัติรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)
จะได BDA∧
= DBC∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) BD = DB (เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ม.ด.ม.) นั่นคือ
∧A =
∧C (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกัน ถาลาก AC จะพิสูจนไดวา
∧B =
∧D
7.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (กําหนดให) จะได CBA
∧ = CAB
∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน) CE // AB (กําหนดให)
จะได DCE∧
= CBA∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขาม บนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
B
D
A
C
E
D
A
B C
![Page 27: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/27.jpg)
88
และ CAB∧
= ACE∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
จะได CAB∧
= DCE∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CBA
∧)
ดังนั้น ACE∧
= DCE∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CAB
∧)
นั่นคือ CE แบงครึ่ง DCA∧
8.
เนื่องจาก ∧1 +
∧4 =
∧2 +
∧5 =
∧3 +
∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)
∧1 +
∧4 +
∧2 +
∧5 +
∧3 +
∧6 = 180 + 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 540 o
แต ∧1 +
∧2 +
∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)จะได
∧4 +
∧5 +
∧6 = 540 – 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 360 o
ดังนั้น ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ ABC รวมกันเทากับ 360 o
9.
C
B
A3
6
2514
E
BD
C
F
A
![Page 28: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/28.jpg)
89
เนื่องจาก ∧A +
∧B +
∧C = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o) และ
∧D +
∧E +
∧F = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o) จะได
∧A +
∧B +
∧C +
∧D +
∧E +
∧F = 180 + 180
= 360o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอดทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใด ๆ รวมกัน เทากับ 360o
10.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี BC เปนฐานจะได
∧1 =
∧2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน) เนื่องจาก BC // ED (กําหนดให) จะได
∧1 =
∧3 และ
∧2 =
∧4 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น
∧3 =
∧4 (สมบัติของการเทากัน)
∧3 +
∧5 =
∧4 +
∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)
จะได ∧5 =
∧6 (สมบัติของการเทากัน)
EG = DF (กําหนดให) GAE
∧ = FAD
∧ (กําหนดให)
ดังนั้น ∆ AEG = ∆ ADF (ม.ม.ด.) นั่นคือ AE = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
1
A
DE 5 6
B C
FG243
![Page 29: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/29.jpg)
90
คําตอบกิจกรรม “เฉลว”
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ BDF จะได
∧1 =
∧B +
∧D (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ CEG จะได
∧2 =
∧C +
∧E
เนื่องจาก ∧A +
∧1 +
∧2 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) นั่นคือ
∧A +
∧B +
∧D +
∧C +
∧E = 180o
(สมบัติของการเทากันโดยแทน ∧1 ดวย
∧B +
∧D และแทน
∧2 ดวย
∧C +
∧E )
หรือ ∧A +
∧B +
∧C +
∧D +
∧E = 180o
E
D C
B
A
F G1 2
![Page 30: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/30.jpg)
91
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ
![Page 31: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/31.jpg)
92
กิจกรรมเสนอแนะ 4.4
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ไปใชสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม
1. จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้ 1) รูปสี่เหล่ียม 2) รูปหาเหล่ียม 3) รูปหกเหลี่ยม
2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมในขอ 1 เกี่ยวของกับผลบวกของขนาดของ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหรือไม อยางไร
3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม เกี่ยวของกับจํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม หรือไม อยางไร
4. จงหาสูตรการหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.4
1. 1) 360 องศา
2) 540 องศา 3) 720 องศา
2. 1) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมเทากับสองเทาของผลบวก ของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 2) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหาเหล่ียมเทากับสามเทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 3) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเทากับสี่เทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
![Page 32: Basic m2-2-chapter4](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052505/5566b305d8b42a7e7a8b47f5/html5/thumbnails/32.jpg)
93
3. เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเทากับ จํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมลบดวย 2 แลวคูณดวยผลบวกของขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลี่ยม 4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม เทากับ 180(n – 2) องศา