bárczy barnabás - integrálszámítás

8/10/2019 Brczy Barnabs - Integrlszmts

1/166


2/166

BRCZY BARNABS

ESTEGRLSZMTS

PLDATR

6. kiads

MSZAKI KNYVKIAD, BUDAPEST, 1992


3/166

Lektorlta T A R T A L O M

SCHARNITZKY VIKTOR

tanszkvezet tanr

) Brczy Barnabs, 1969, 1992

ETO: 517.3ISBN 963 10 3752 5 (els kiads)ISBN 963 10 9731 5

HATROZATLAN INTEGRL

I. Alapfogalmak... 7

1. A hatrozatlan integrl fogalma s fbb tulajdonsgai .......... 72. Alapintegrlok ............................................................................ 9

IL Integrlsi mdszerek 21

1. Bevezets........................................................................................ 212 .f(ax- \-b)alak integrandus ........................................................ 2 13. / W /'( jc) alak in teg rand us .................................................... 23

4. alak in tegrandu s............................................................ 25fi x )

5. Integrls helyettestssel............................................................ 276 . Parcilis in tegr ls ...................................................................... 44

III . Racionlis trtfggvnyek integrlsa ........................................... 59

1. Egyszerbb specilis tpusok .................................................... 592. Parcilis trtekre bonts mdszere .......................................... 73

IV. Trigonometrikus fggvnyek racionlis kifejezseinek integrlsa 101

1 . Egyszerbb specilis tpusok .................................................... 1012. Trigonometrikus fggvnyek ltalnos alak racionlis kife-

zsnek in tegrl ja........................................................................ 106

V. Exponencilis s hiperbolikus fiiggvnyek radonlis kifejezseinekintegrlsa......................................................................................... 119

1 . Egyszerbb specilis tpusok .................................................... 1192. Exponencilis fggvnyek ltalnos alak racionlis kifeje

zseinek integrlsa................................................................... 125

VI. Nhny tovbbi specilis alak kifejezs integr ls a.................... 131

1. r{x,} Iax-\-b) alak integrandus ............................................ 131

5
http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/


4/166

. n ____

2. R integrandus...................................... .135

3. R {x , a ^ -x ^ ) alak integrandus ............................................144

4. alak integrandus ............................................147

5. r{x,i x^ a ) alak integrandus .............. ..............................152

6 . R{xy ax^ -\ -bx+c) alak integrandus .......... ..........................156

7. , = - alak integrandus ........................ ....................164)a x^+bx+c

HATROZOTT INTEGRL

VIL Alapfogalmak.....................................................................................167

1. A hatrozott integrl fogalma s fbb tulajd ons ga i............ ..1672 . Egyszer feladatok.......................................................................169

VIII. Hatrozo tt integrl kiszmtsa parcilis integrlssals helyettestssel.................................................................................177

1. Parcilis integrls.......................................................................177

2. Integrls helyettestssel............................................................

186

IX. Improprius integrl............................................................................194

1. Vgtelen integrlsi intervallum.................................................1942. Nem korltos fggvnyek improprius integrlja ......................205

X. A hatrozott integrl alkalmazsa ....................................................213

1. Terletszmts............................................................................2132. lyhossz-szmts............................................ ............. ................2453. Forgstestek felszne ......................................... ........................2684. Slypontszmts ........................................................................287

5. Trfogatszmts......................................................................... .3006 . Numerikus integrls.......................................... ....................... ..3187. Fizikai feladatok............................................... ......................... ..349

HATROZATLAN INTEGRL

I. ALAPFOGALMAK

1. A hatrozatlan integrl fogalma s fbb tulajdonsgai

Valamely adott fggvny hatrozatlan integrlja minden olyanfggvny, amelynek derivltja az adott fggvny.

Legyen egy fggvny derivltja 2x. Hatrozzuk meg az ere-deti fggvnyt! Mint elz tanulmnyainkbl tudjuk, az eredetifggvny, amit differenciltunk, lehetett pl. y = x . Ha br-mely olyan fggvnyt differencilunk, amely ettl csak egykonstans sszeadandban klnbzik, a derivlt szintn 2x.Belthat, hogy az sszes olyan fggvny, amelynek derivltja2x, csak y= x^ + C alak lehet, ahol C tetszleges vals szm.(A vals rtket azrt ktjk ki, mert e knyvben csak valsvltozj s rtk fggvnyekkel foglalkozunk.)

ltalban: Az F(x) fggvnyt az f(x) fggvny primitv

fggvnynek (hatrozatlan integrljnak) nevezzk az (a, b)vges vagy vgtelen intervallumban, ha differencilhnyadosa(derivltja) ezen intervallum minden pontjban /(x). (Az (a, b)intervallum lehet / (x) teljes rtelmezsi tartomnya is.)

Jells:

ha

Az integrljel mgtt ll fggvny az integrandus.Legyen az f{x ) fggvny valamely primitv fggvnye F(jc);

akkor F{x) + Cis primitv fggvnye /(x)nek:

[F{x) + Cy = F \ x \

dCmert = 0, konstans derivltja nulla.

Valamelyf{x) fggvny primitv fggvnyei koordintarend-szerben brzolva grbesereget hatroznak meg (1. bra).Az A"ysk brmely olyan pontjn, amelynek abszcisszja f {x ) rtelmezsi tartomnyhoz tartozik, thalad egy ilyen grbe.
http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/


5/166

1 . bra

E grbk egymsba prhuzamos eltolssal tvihetk. Vagyisa grbesereg minden egyes grbjnek ugyanaz az rtelmezsitartomnya, rtkkszlete pedig /"(jc) rtkkszletn kvl Crtktl is fgg.

Figyelembe vve az utbb elmondottakat, a primitv fgg-vnyt ezentl a konstans feltntetsvel jelljk :

= f f ( x ) d x = F(x) + C.

Ha a primitv fggvnyek kzl egy bizonyosat keresnk, akkor annak egy pontjt meg kell adnunk. Legyen ez a pont ^oC^oJ'o) A pont koordintinak ismeretben a C konstans rtkt egyrtelmen meg tudjuk hatrozni.

Legyen azf{x) fggvny primitv fggvnye:

y = F(x) + C.

Ebbe Po koordintit helyettestve, C az albbi mdon fejez-het ki:

yo = F(xo) + C, C = Jo

A feladat megoldsa teht:

y = F(x) + [y o- F( Xo )l

Igazolhat, hogy ha egy fggvny valamely [a, b] intervallum-ban folytonos, akkor ott van primitv fggvnye.

A hatrozatlan integrls, vagy ms szavakkal, a primitvfggvnyek keresse, bizonyos rtelemben a differencils meg-fordtsa. A differencilssal szemben azonban itt ltalbannincs rutin mdszer, amellyel adott fggvny primitv fgg-vnyt megtallhatjuk, st viszonylag egyszer alak fgg-vnyekre sem bizonyos, hogy ltezik zrt alak primitv fggv-nyk (ilyen pl. y = e ~ ^ \ Viszont az elemi fggvnyek differen-cilhnyadosnak ismeretben, az integrlsi szablyok s n-hny gyakran clravezet fogs segtsgvel nagyon sok fgg-

vny primitv fg^nye meghatrozhat.A hatrozatlan integrl kt fontos tulajdonsgt emltjk meg:1. Ha egy (a, b) intervallumban amely lehet vges vagy

vgtelen

J f (x ) dx = F (x) + Cl s J g( x) dx= G{x)+ Cg,

akkor az {a, b) intervallumban a kt fggvny sszege, ill. k-lnbsge is integrlhat, s

/ [ /W g W ] dx = F{x) G(;c) + C.

Az sszegfggvny teht tagonknt integrlhat.2. Legyen c tetszleges szm, akkor

f c f (x )dx = c f f (x )d x .

A c lland szorztnyez az integrljel el kiemelhet.

2. Alapintegrlok

Azokat az integrlokat, amelyeket valamilyen elemi fggvnyderivlsnak megfordtsakor kapunk, alapintegrloknak ne-vezzk.

o) J dx = x + C.

rb) I x"dx = ----- r + C, ahol n brmilyen egsz vagy trt

n + 1


6/166

lehet, de ri9^ \ (mert akkor /; f 1 = 0, s gy a szablytmechanikusan alkalmazva, rtelmetlen kifejezst kapnnk).

c) W+c.

Ellenrizzk az integrl helyessgt! Legyen x > 0 , akkor

1[ lnW + C]'= [ lnx + cr =

ha jc


7/166

3. J ^ x d x ^ J x*/.x = y + C = jV ' a :H C = j x J ^ + C .

T

/ * 3 _ r - 3 3 _ 3 3 ,_ 4 , j ix dx= jx dx =y + c = y ^ ; < H C = y . v / . x H C .

n \ / -i - 4 S5. j d x = j x *fcc = + C = y 'x ^ + C .

7

Az eddigiekben olyan fggvnyek integrljt hatroztuk meg,amelyek hatvny alakba rhatk voltak. Most olyan fggv-nyek integrlsval foglalkozunk majd, amelyek az elbbi t-pusok valamelyikre vezethetk vissza.

' 3 + 2

X dx =6. f i x i x d x = f x^ x^ d x = j >

11

r x 6 6= j x S /a: = + C = ~ V ^ + C =

7 . = Az integrland fggvnyt elbb egyszerbb alakra hozzuk

i xntegrljuk.s csak azutn

f x _ x

3 _ ~i x x

3 ^ i .= ; c = ; c .

/ jc 6 1 6x ^ d x ^ l-C = V ^+ C = x Y x ^ C ,

J 1 1 1

6

X X8. = = x \

x' ^

/ JL Y* 5 5 *X dx= + c = y ^ + C = - ~ ; c y ^ + C .6 6 6i/ ~ Jl L i. JL

9. y = r a:/a: = (x*x )^ - x* = a: = x*.

/

x^ 3 * 3a: /.y = -f-C = = xjG ?+ C .

5 5 5"3

10. y1 / ^ JL_ JL JL K;cy'A* (x- x^) * x^x ^^ x^^ x^ 4- X

t i_ L>^x A Af* a: a:'*

17/ _L x 15 __ 15 i5_

x^ ^d x = + C = = x/x + C.17 17 1715

11. y= 3a + = 3a,"|4a:.

Az integrandus sszegfggvny, ennek hatrozatlan integrlja a tagokhatroza tlan integrljnak sszege.

/ 3x x~* 3 1(3x^-^4x-^)dx= ----+ 4 ----- + C = AT'------ +C.5 - 4 5 X*

1 2 . = / 2 - 3 / = 0 ' 2 - 3 ) ) ^ i = ( / 2 - 3 ) x * .

T .V * Wv 2

T

J ( /2-3) ;c* /a: = ( /2 -3 ) J x * dx =--

-----f C

= y ( / 2 - 3 ) x / ;+ C .

Ha olyan trtfggvnyt kell integrlnunk, amelynek szm-llja tbb tag s nevezje egytag, akkor a szmll minden tagjt osztjuk a nevezvel, s az gy kapott hatvnyfggvnytintegrljuk.

12 13


8/166

ebbl27 23

/ ( x + 4 ; c V x^ x^

) d x = + 4 + C =

= j x> + ^ ^ x ^ + C= ^ :^ ) lx+ ^ x^ ) lx+ C.

3 __ M 16

x*-4x^+2^ x ;c 4x'+2a: ^14. y = - = = jc 4x +2x

5 __

) ;c*

r 11 2.J {x^ -4 x^ '+ 2a: ;

21 16

Y

5 5 15

5 6 ____ 5 5 ____ 1 5 1 5 _ 5 6 _ 5 5 _ 1 5 1 5 _

= ~ y x ^ ^ yx^^-h y x ^ + c = x * ^ x x ^ y x + yx ^- ^c .2 1 4 4 2 1 4 4

A tovbbiakban olyan feladatokat oldunk meg, amelyekbena keresett primitv fggvny egy pontja adott, s az ezen a pon-ton thalad fggvnyt keressk.

15. >;=3;c; Po(3;2).

A feladat te ht a kv etkez : Hatrozzuk meg az > = 3x fggvny primitv fggvnyei kzl azt, amelyik a koordintarendszer Po(3;2) pontjnhalad t.

A fggvny hatroztalan integrlja:

r 3x^/ t o * - + c .

A felttelt kielgt fggvny legyen:

3j 2/( jc ) = + C o.

Mivel/(3)=2, ezrt

A felttelt is kielgt megolds teht

f ( x ) = ^ x ^ - l l 5 .

A fggvny grbje mint errl behelyettestssel knnyen meggy

zdhetnk tmegy a Po(3;2) ponton. Brmely ms C rtkre kapottprimitv fggvny grbje nem megy t a Pqponton!

1 1 I16. = = ^ * ; i o (4 ; i) .

2^x 2

Az > (4)= 1 felttelt kielgt primitv fggvnyt FoW-szel, a h atrozatlan integrlt pedig FW-sze l jellve,

F( x) = f ^ x ' ^ d x = J L - + C = \ ^ + C .

. 1

Mivel Fo (4)= l, ezrt l = y^+ Co, ebbl

Co = 1 2 = 1 .

Teht

a keresett primitv fggvny.

n . y = - ^ ; P o (- i ; 4).2 ^ x

A hatrozatlan integrl ismt az F(x) = ]/x-hC fggvny lenne, de

mivel sem az > = , sem az F(x ) = }/x+ Cfggvny nincs rtelmezve2Yx

negatv x rtkekre, nem ltezik a felttelt teljest primitv fggvny.

Valamely integrlsi feladatot teht akkor tekinthetnk meg-oldottnak, ha azt is megadjuk, hogy a megoldsul kapott pri-mitv fggvnynek mi az rtelmezsi tartomnya. Az rtelmezsitartomny meghatrozst ltalban az Olvasra bzzuk.

14 15


9/166

Megemltjk, hogy a fggetlen vltozt nem mindig xszel,a fggvnyrtket pedig nem mindig vnal jelljk. Most egyfizikai feladatot oldunk meg, a fizikban szoksos jellsekethasznlva.

18. Az egyenletesen vltoz, egyenes vonal mozgs pillanatnyi sebessgt megad fggvny vat, ha a /o= 0 idpillanatban a testnek nincskezdsebessge: t;=0. Itt v a sebessget, a a gyorsulst, t az idt jelenti.Hatrozzuk meg a test ltal megtett s utat mint az id fggvnyt! Legyen

s{ to )=So=2m, Ez azt jelenti, hogy az idmrs megkezdsekor a test

a vonatkozsi ponttl pl. a koordintarendszer kezdpontjtl 1 2 mtvolsgra van.

Az utat mint az id fggvnyt, a sebessgid fggvny hatrozatlanintegrlja adja meg.

- f v d t = f atdt ---- +C.

A C konstans rtkt a felttelbl hatrozzuk meg:

z* 012 = + C vagyis C = 12.

5 = y + 1 2 .

Ez a fggvny a tetszleges a gyorsulssal, de nulla kezdsebessggel,az origtl 1 2 m tvolsgbl indul pont mozgst adja meg.

Ezutn a tbbi alapintegrl felhasznlsval megoldhatfeladatokat trgyalunk.

/ 5*19. 5^dx = : + .

J In 5

20. /2e*/x = 2 / e*dx = 2e^+C.

21. J(6sinA;+5cosjf)/.v = 6 ( cos jr) + 5 sin A-+C =

= - 6 COSX + 5 si nx-f C.

/*22. / (5 2'*' + 4 sin A' - 3 cos ,y) {/x = 5 -------4 cos a*- 3 sin a + C.J In 2

23. f t g x O x = 1

A feladatot e ^ lpsben nem tudjuk megoldani, hiszen nem szerepel azalapintegrlok kztt. Ezrt az integrandust ismert trigonometrikus sszefggsek felhasznlsval trigonometrikus vagy ms alapintegrlokra igyeksznk visszavezetni.

dx =/sinÂ c l co s^ A r ( ^---- d x = ------ d x = -1

COS A j COS A J ycos^x

= f d x - f dx = t g x A + C .J COS A j

24. f ctg2x d x 1 Az integrandust talaktjuk:

/cosÂ . /*l-s in*A , r 1 . r ,- r ^ d x = / ---- dx = / . ^ d x - l d x= - c tg A - A + C .sm*A J smÂ J smÂ J

/cosÂS c-------------- Ja = / 1+ cos 2a J sir

cos*A 5

26.

- !

/

+ cos2a

cos* A5

2 cos* A

1+ cos 2a

-d x

sin* A+ cos*A+ cos* Asin* a

dx r S

-dx =

, /a = tgAf C.Icos^x 2 2

dxcos* A 1

cos^x= /

" / f /sin* A+ cos*A+ cos*A- sin*a

sin* A

/cos*X r-dx = - l / ctg*A/a =sm*A J

dx =

= 2 [ c t g A A ] f C = 2ctgA+2A+C.

5 cos 2a . c 5(cos* a sin* a)dx

= / dx =

sin A + cos A J SmA+COSA

= 5 / (cos Asinx )d x = 5 sin a + 5 cos a + C .

A hatrozatlan integrl C konstanst nem szoktuk semmilyenszmegytthatval megszorozni, hiszen C amgy is tetszlegeskonstans lehet.

28. U _______J Vcos*a: 5 sin* a

dx = 3tgA + y CtgA+C.

Most hiperbolikus fggvnyek integrljt hatrozzuk meggy, hogy elbb ha kell az integrandust alapintegrllalaldtjuk t.

2 Integrlszmts

16 17


10/166

29. / ( 4 shx+ 2 ch j c ) / x = 4chx+ 2sh ; c+ C .

' h ' 30.

Sh JC

y2

dx = - 5 c thx+ C.

31. f ~ d x = ^ 2 tb x + C. J ch^x

32. J 5 t h ^ x d x = ?

Mivel th^jc

sh^x, s sh 'c= c h ^ x - 1 , ezrtch jc

ch2jcl /JCch A:

= 5 ^ - 5 th x + C .

fch*jcr . rch x , /l + shAT ,33. / cth*x d x = Idx = I dx =

J J sh x J sh A:

= [ d x = - c t h x + x + C ,J sh ^x J

f c h ^ x - 234. / ----------- dx =7J ch2x+lMivel ch*;c~sh*jc =1 s ch2;c = sh^jc+ch^-x:, ezrt

j ch^x2(eh* jc - sh2x )+ (sh* jc+ ch2x)

n - i

n ch^x-2/ -- - - dx =

J 2 ch X

d x r d x X = - thx-hC.

ch^x 2o

/ 1 /ch jfsh jc35. / ------------- dx = / -----------------dx =

J sh jc+chx J shjc+chjc= j (ehX+sh jc) /jc = sh jcH- eh JC+ C.

36. J - ^ dx 7 Az integrandus kiemelssel alapintegrll2+2x*

alakthat.

- - -2J 1+.

dx4V5-5X* 4'5

38. J ( 6 + 6 x )" ^ d x = J*

L r _ L]/5' VT^

dx = arc sin x + C .;c 4V'5

y6+6x* = / *]^6' 'l+x*dx =

= ar sh a:H-C = ln(jc+^I+3^+C =

1^6

lnC.(x+/T+]*),

ahol a C = In Ci sszefggs felrsval a tetszleges konstans tag he-V6

lyett a logaritmus argumentumban tetszleges szorztnyez lp fel.

/ 5 5 r 1 FiW , h a W < l ,

J 4 -4 x ^ ^ ~ 4 J 1 -x* ~ ha \x\> 1 .

A fggvny hatrozatlan integrlja kt fggvny.

- f iW = ^ s ir t h x + C = - ^ In^ - ^+ C , ha \x\ < 1 ;4 8 lJC

F iM = ar cth j f+C = In^ ^^ +C , ha \x\ > 1 .4 8 x - 1

Ellenrizzk a megolds helyessgt!

5 1- Jc ( l - j c ) . l - ( l + ; c ) . ( - l )Fi (x)

5 - x

5 , 1 + ^ In ------- hC8 l - x 8 1+x ( i - x y

8 1+a: ( 1 - x y 4 1~JC*

Az is(x) fggvny derivltja valban-------, de Fi(jc) csak \ x \ ^ l

4 1-jc*rtkekre van rtelmezve, mivel klnben a logaritnms argumentuma 0 , vagy negatv.

Meghatrozzuk az Fa(x) fggvny derivltjt. Termszetes, hogy a derivlt csak azokhoz az x rtkekhez tartozhat, amelyekre F2(x)rtelmezett.

F( x)5 x-hl ^- - I n ---- - + C8 x - 1

5 x - 1 (x-1)*1-(a:+1) .1

5 x - 1 - 2

8 x+ 1

5 - 1 5(^D*

8 ; c+l i x - \ y 4 x ^ - 1 4 1-x*

18 19


11/166

Teht az F^ix) fggvny derivltja is 4

x + C,f 1 . J

J J2+l J X^ +l

f d x - dx = X SLTCtgX+C^J J JC* + 1

I L I N TEGR L S I MD S ZER EK

1. Bevezets

Ha egy adott fggvny integrljt primitv fggvnyt ke-

ressk, akkor feladatunk abbl ll, hogy az integrland fgg-vnyt ha az nem alapintegrl igyeksznk azonos tala-ktsokkal, valamint az eddig ismertetett s a tovbbiakban is-mertetend integrlsi szablyok, mdszerek felhasznlsvalgy talaktani, hogy egy vagy tbb alapintegrlt kapjunk. Ezta clt sokszor tbbfle mdon is el lehet rni.

A legegyszerbb esetek azok, amelyekben nhny azonostalaktssal rhetnk clt. Ilyen pldkat mr az elz fejezettrgyalsa sorn is megoldottunk.

20

2. f (ax + b ) alak integrandus

Differencilssal ellenrizhet, hogy

J f ( a x + b)d x = + C,

ahol F(x)az / (a:) fggvny primitv fggvnyt jelli.Ugyanis a kzvetett (sszetett) fggvnyek differencilsi

szablyt felhasznlva

F(ax-^b)+ C

Gyakorl feladatok

1 . J i 3 x + 2 f d x =

F'(ax + b)a = F' {ax+ >) =f { a x+ b).

(3x+2)* 1

A megolds helyessgt differencilssal ellenrizzk:

1 ( 3 a: + 2 )H C4(3jc+2)*-3

2O x + 2 ) \

21


12/166

A tovbbiakban az ellenrzst az Olvasra bzzuk!

2 . J ( 5 x - 4 y d x = ^ ^ ^ ^ + C = ^ ( 5 x - 4 r + C.

3. J i l x - 16dx= f ( 7 x - 16) dx + c =

= ^ v ' ( 7 ^ - 1 6 ) + c = ^ ( 7 x - 1 6 ) ilx- 1 6 + C

= ( - 3 x + 4 ) - + C = -------- -------- + C9 9( _3 ;,+ 4)3

J e'> **dx =

5* x - 7

+ c .

/34X7

= ------- +C .41n3

7. J 5*-*'rf.

jt -s x ^1-ax+ C = - +C.

- 3 In 5 3 In 5

cos(6jc+4) f C7,8 . J sin (6 x+ 4) dx =

9. J* cos (-4-5 x)< &

10. f_______J sin(3A:+2)

7

12. f sh(2 -7x)< fa= = -ch(2-7A:) + C.7 7

sin ( 4 5jt) sin ( - 4 5,t)

--------------

~s-------------------------------------------------------------

j------------------+ ' ^ -

* ! | 2 i + C - - l c , g ( 3 , + 2 )*C .

cos*( 6jc+4) 6 6

3. f" (x )/ '(x ) alak ntegrandus

Differenciljuk az albbi fggvnyt:

f ^ H x )

r t + 1

r^H x )+ C

+ l

Ebbl kvetkezik, hogy

n + 1

J f '(x)f'( x)dx = - L ^ + C ^ 1 ) .

Ennek specilis esete n = l, vagyis

f f ( x ) f ( x ) d x = ^ + C.

Elszr az utbbira, azutn az elbbire oldunk meg felada-tokat. Sokszor gyakorlott szem kell annak megllaptshoz,hogy az integrandus ilyen alak, ill. hogy egyszer talaktsok-kal ilyen alakra hozhat.

Gyakorl feladatok

1 . f x> (2x^ + 4) dx =1

Mivel (2x+4)' = 6x^, teht az albbi talaktst vgezzk:

J x*( 2>^+4)dx= Y f 6 x H 2 x > + 4 ) d x =

= - ( 2 ^ + 4 ) + C .


+ C.

1(2^ 3 + 4)2 + c2(2x^ + 4)-6x^

2= x^ (2x + 4).

//% sin Xsinx c o sx d x = J sin x*(sinjc )' dx = ----- h C.

22 23


13/166

/ \nx ^ /* , 1 , ^------dx = / (Inx )~ -d x =- + C.

X J X 2

4. J(2 x+4yx> dx = 6x^(2x^+4ydx =

l L ^ J i > V c = l(2 .3 ,4 )e ^C .6 6 36

Ez mr az ltalnos esetre volt plda! E llenrizzk a megolds helyessgt:

;i(2x+4)+C3o

6(2x^-i-4r-6x^36

= xH2x + 4y.

A tbbi feladatmegolds helyessgnek ellenrzst az Olvasra bzzuk.

1 (6x + 4 y18

- + C =

= ^Y(6x^+4y+C= ^(6x^ + 4)y6x^ + 4 + C.

6 . f --------- dx= f 2x(x^ + 6) dx =J lfi + 6 2J

+ C =)^x^ + 6 + C.

/ / (le*)7. j e * ( l - e * ) & = - j - e * ( l- e * ) x = -^ ----------- + C.

8 . JsinA:sin2 A:fo:=?

Itt elszr trigonometrikus sszefggs felhasznlsval igyek-sznk a ktszeres szget kikszblni.

/ sinx r - dx = I sin.Y(cos:>f)

f c ^

= - y* ( - sinx)(cos x) ^ dx = - +C = 3 ^ c ^+ C

/sinS;* : nsin^x 1 , ^ 1 , tgA: _

10. /---

= /---

-

/x = / tg AT/aC= + C .J cos a: / cos^;c cos^^ J cos^;^ 6

/ ' (arctg ^ )2 ^ xo 1 , (arc tg x)11. / dx = I (arc tgx y dx =

J l+x^ J 1+x 3+ C.

f '(x)4. alak ntegrandus

J\^)

Differenciljuk a kvetkez fggvnyt:

ln | / (x )KC .

[ ln |/w i + c r = ^ .

Ez egyszeren belthat kln /( x ) > 0 s kln / ( x ) < 0 esetre.


// w/w J;c = ln |/(x)| + C.

Gyakorl feladatok

2x/ 2x^2^7 ^ ln(A;247) + C.Ha a nevez brmely .v-re pozitv, akko r felesleges kirnunk az abszolt

rtk jelt!

24 25


14/166

/5x

/x = ? A nevez derivltja 3x^,ezrt kiemelssel, ill b-

x^ + 4vitssel talaktjuk az integrandust:

f dx = /* 3 ^ = - ^ln ix 3 + 4| + C.J x + 4 3J x + 4 3

/4 sinx . 4 r -5 sin x ^ i ,c ,

------------- dx = ------ / ------------- dx = ------ In 15COSX+ 41+ C.Scosjc + 4 5 J 5 cosx-4

4 sinx

iCOSX+ ^

5 sin 2x4 ^ f ---- !!dx=? A nevez derivltja: (sin2x+127r)' =J sin^A:+I27r= 2sinxcosjc. A szmllt talaktva: s in2x = 2s inxcosx .

h5 sin 2x

sin2 ^ + 127T

- s i n 2 x

-dxJ S

2 sin .VCOSX/x: = 5 In (sin2x+ 12ti)-\-C.

sin2^+ 12;r

dx =1 A nevez der ivlt ja: (S + cos jc)' =5fcos2^

= 2 cosA:(-sin>f)= - 2 sin a:cos x= - sin 2x.

sin 2x

5 + cos :v

' I

f

6. - J J COS JVtgJV j tg x

1

/ dx _ sin^.sin^xctgjv J ci gx

dx = In (5 + cos x) -f C.

1

dx = - In |ctgAf| + C.

/ r sin X r smxt g x d x = / ------- dx = - --------- /jr = -lnlcos;c|4-C.

J cos X J cosx

1

9. dx = I dx = ln|lnx|4-C.J XInX J Inx

1

10. f-------- -------- dx f ^ (/at = In |ar th + C.J (x 1) ar th a: J ar th x

/ c'*='+3dx = In |e*+31 + C.

5. Integrls helyettestssel

Differenciljuk az y = F[u{x)] kzvetett fggvnyt x szerint!

dF[u{x)] duix)^ du{x) ' dx

l. rvidebben felrva

y ' = ^ ' ^ = / ( ) '> ahol F'(x) = f( x).


J /[ W ]' W dx= - ^ d x = j f ( u ) du = F[m(x)] + C.

A fentiek alapjn knnyen belthat a kvetkez szably:

Ha egy olyan szorzatot kell integrlnunk, amelynek egyik tnye-zje egy kzvetett fggvny, msik tnyezje pedig e kzve-tett fggvny bels fggvnynek derivltja, akkor a bels fgg-vnyt j vltozval helyettestjk, majd gy integrlhatunk,mintha a bels fggvnynk lett volna a fggetlen vltoz.

Sokszor nem lthat kzvetlenl, hogy az integrandus ilyen alak, ill. talaktssal ilyen alakra hozhat s mg ha ilyen alakra hozzuk, sem biztos, hogy integrlhat fggvnyt ka-punk , mgis rdemes behelyettestssel prblkoznunk, mi-vel az fleg bizonyos gyakorlat szerzse utn szmos eset-ben eredmnyre vezet.

Ms esetekben bizonyos tpus helyettests mindig clravezet. Ezeket ksbb trgyaljuk.A helyettestst az albbi mdon vgezzk: Ha u{x) = t, akkor

^ = u'(x), s gy u'(x)dx = dt, vagyis

f {u {x )]u \x )d x = f m d t = F{t) + C,

ahol most mr visszahelyettesth^k = w(;c)et.

26 27

4 +
http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/


15/166

Gyakorl feladatok

1, /(3.x: + 2) f/.v

Ezt a feladatot mr a 2. pontban is megoldottuk, de most alkalmazzuka helyettests mdszert.

Mivel hatvny integrlsa igen egyszer, ezrt legyen 3x + 2 = r, vagyist - 2 d t

A' = , t eht d x = - - .

Vagyis

f ( 3 x + 2y dx = 4- f = ^ ( 3 x + 2)* + C.J 3 / 3-4 12

2. VTa: - 16/;c = ? A feladatot helyettestssel oldjuk meg.

+ 16 dtLegyen 7a: - 16 = vagyis a = - , ebbl dx ^

______ 1 r - 4 -

p x - 1 6 d x = ~ j = dt = + C ^

4 V= (7a-16 )" -hC = - U l x - \ 6 f + C =

= ^ (7a-16 ) | /7a : -164 -C .

/ rl

3a+ 4)- /a = ?

Helyettests az elbbi mdon: - 3 a -{-4 = vagyis a =

es dx

t - 4 4 - r

- 3 3

f ------------- dx = f ( -3 x -^4 )-* dx = - f t ' ^ =J { - 3 x + 4y J J 3

r 1 t-^ 1 1 ^ 1 1 t / ^ ^ ~ 9 ( -3 a + 4)^ "

4. +

t - 4 d t Legyen 5a+4 = t, ekkor x ------s dx = .

5 5

f e**dx =^fedt =e+C =e**+C.J 5 J 5 5

5 . / 3 * ' - < i c = ?

Legyen 4 a - 7 = r, ebbl x = s dx = .4 4

/ I n 1 3 3 "3 ^-V ;c = - r y d t = + C = +C.

4 / 4 In 3 4 In 3

6. /5*


16/166

9. f------- ------- d x = l J sinM3A: + 2 )

t - 2 d t Legyen 3jr-f 2 = /, ebbl a: = dx =

r 1 1 r dt 1/ ---------------- dx = / -------- = ------ c t g /+ C =

J sin^(3A: + 2 ) 3*/ sin*/ 3

= - y ctg (3a: + 2) + C.

10./cos2 ( - 6 at + 4) =?4 - / - d t

Legyen ~ 6j: + 4 = , ebbl ,v = ------s dx = 7

/ cosM -6 x4-4)5 / // 5

^ tg/ + C:6 / cos* r 6

= 7 t g ( - 6 ;c + 4) + C.6

1 1 . / sh(2-7x) = y a r c t g + C1 x

=y a r c tg y + C.

13. Az elbbi feladatot ltalnosan is megoldjuk:

dx= 7

^+x^

*-et kiemeljk a nevezbl:

1 / dx

Legyen = , ebbl x at s dxadt. a

/ dx \ r ad t 1 n dt 11 JC

arc tg \-C,a a

/dx

36+16a:*= 1 A z integrandus nevezjbl 36-ot kiemelnk, gy

rjk el azt, hogy a trt1+ r*

alakra hozhat.

I 36+ 16x* 36\ ^ dx 1 f dx

J ! + [ - ) J l+(yArJ

2x 3 3Legyen = t, ebbl x = t s dx = dt,

r ^ d t r _ W 2 1 / rf/ 1

J 36+16x 36J l + / 24J l+ M

1 2jc ^- a r c t g y + C .

30 31

15. Az elz tpus feladatot ltalnosan is megoldjuk:


17/166

p g j

dxf

J

Az integrandust kiemelsvel alaktjuk t:

dx

I1 1^ dx

Legyen = t, ebbl x = s dx = ~ d t , o b h

a . dt

b \ r dt 1------- = / -------- = arc tg / -f Ci + r2 abJ 1+ /2 ab ^

= arc tg -----h C.ab a

16. = ? Tudjuk;juk, hogy f_________ _ _____ alapintegrl. gyV36-16^2 Y T ^

prbljuk talaktani az integrandust, hogy az j vltozban ilyen alaklegyen:

1 dx

4a'21 -

(2x, 3~

Helyettestsnk:

2jc 3 3

t , ebbl X t s dx dt.

r dx _ 1 / 2 _ 1 /*

J V36-16x jAiTITi

1 1 Xv= arc sm + C = arc sin + C.

4 4 3

32

17. A fenti tpus ltalnos feladat:

dx 1 . dx

Elvgezve az albbi helyettestst:

r dt r dx l I b r dt

1 . ^ 1 , b x= arc sm r 4- C = arc sm h C.

^ b a

18./X

1+ ()5v 4 4

Legyen t = , ebbl .v = t s dx = dt.4 5 5

r dt r dx 1 / 5 l r dt

^ / I + H y ^ 4 J /y +T ^ 5 J |/7 7 7

1 1 5x 1= ar sh 4- C = ar s h ---- HC = In

5 5 4 5

19. A fenti tpus feladat ltalnos alakja:

dx 1 /. dx

^C.

fU + b-x'-1+

?)

bx a aLegyen t , ebbl x = t s dx = dt.

a b b

3 Integrlszmts

33


18/166

/dx 1 1 r dt

o J Vi+t* * ' VT+TU*+b^x* / l +

= -7- a r s h /+ C = a r s h + C = 4 -lnb b a b r R ? )

+ C.

20.dx

= ? Remljk, hogy az integrandus kiemelssel sV25;c*36

/dt alapintegrll alakthat. Ennek rdekben

y 7 ^albbi talaktsokat s helyettestst vgezzk el:

j dx 1 ^ dx

az

V25x2361

5x 6 6Legyen r = , ebbl x = t, s dx = dt,

6 5 5

cr dx 1 / 5 \ n dt^ V25;c 36 i^TTTT 1^7^31

1 1 5x (Sx i f B i a rc h /+ C = ar eh + C = ln I + ^ x ^ - l \ + C.

5 5 6 v6 ^ 3 6 /

21. A fenti tpus feladat ltalnos alakja:

dx 1 ^ dx

I

bx a aLegyen / = , ebbl a: = t s dx =dt.

a b b

r dt

/ dx 1 I b 1 * dt / l b J1 1 bx , l / (bx

= a r c h / + C = a r c h -----h C = ln H l /I b b a I a ^ V^

1 f C.

22. f J 4 9 -

/ dx l p dxA9-25x^ ~^ J *5jc 7 7

Legyen ^ = ebbl x = t s dx = dt,

r ^ d t n dx W ^ I r dt

J 49-25a:2 49J l - * 35J l - />

'i ( 0 = ^ a r t h /+ C i = ; ^ I n ^ + C ha | |-= l.

1 1 + 1faO = arc th /+ C j = j +C j ha | /| >1 .

Teht

/dx 49-2525a:2

1 + ^1 5jc 1 7 7

- ar fh y + C, = - ' " - ^ + ha W - - ;

1 5x 1 T *'* 7- a r c t h - + Q = - I n ^ + Q . h a |x|

7

23. A fenti feladattpus ltalnos alakja:

/ dx l I* dxa^-b^x^ ""02/ bxY ' b )

bx a aLegyen / = , ebbl x = t s dx =dt

a b b

34 35

26 / (3a'2+ 2 ) sin (x^ i 2x 4 )dx= ^


19/166

r dt

/ dx ^ ^ 1 i* dt ^W l \ - t^ ^1 1 1+ /

Fiit) = arth/ +Ci = ^rrln+Ci, ha U( < 1 ;r^ l b l - t

Fît) = âr cth+ Ca = ha |/1 >1.ab 2ab l

Teht

J ic6a:*

I + -1 bx l a a

a r t h + C i = - In -----ha \ x \ ^ - - ;ab a 2ab bx b

a

1\ bx \ a a a rc th +Ca = - In -------- + C2 , ha \x\ > .ab a lb bx b

24. / . COSx d x = l Mivel integrlsa igen egyszer, prblkozzunk a /=sinx helyettestssel;

Itt az inverz fggvny felrsra s differencilsra nincs is szksg,dt

mert ebbl = cosx s gy dt cos xd x az integrandusba kzvetlenldx

behe lyettesthet:

j '"^ 'coixdx = f ^ d t = e+ C = e "'+C.

2 5 . / sinx d x = lMost helyettestssel alak kifejezst igyeksznkkapni az integrandusban.

Legyen t=cosXj ebbl dt = sin xd x s

/5 C0SX x d x = - J 5d t = -

5* 5 *+C = -fC.

In 5 In 5

36

26. / (3a2 + 2 ) sin (x^ - i-2x-4 )dx= ^

dtLegyen t = x^-\-2x-4, ekkor = 3jc*+2 s / = 0x ^ + 2) dx.

dx

j (3x^-h2) sin (x^ + 2 x - 4 ) d x = f s in td r = - c o s t + C =

= -co s (x + 2x-4)-hC ,

27. / ---------dx =?J 1fe"

I. Megolds:

Legyen .x = In /, s gy dx =

C c dt c 1 C t/ ---------d x = / -------- ;------- = / ------------- d t ^ / --------dt.

J l-ê^ J / J l + t t J \-\-t

Az talakts sorn fehasznltuk aze* *=/, ill. = azonossgoka t.

A primitv fggvny most mg / fggvnye, ezt x fggvnyv kellalaktanunk.

f - - f l ^ c i x = e ^ - l n \ l + e \ + C,J l-i-e""

ugyanis .x= ln/-b l / =

II. Megolds:

Ezt a feladatot megoldjuk mg gy is, hogy fggvnyt helyettestnk jfggetlen vltozval:

/ l+e^- -d x = }dt at

Legyen t=ê^, ekkor = e'" = t s gy dx =.dx t

f - ^ d x = f = f ~ ^ d t .J 1+ e* J 1+ t t J 1 + t

Lthat, hogy most is az elbbi integrandust kaptuk, amelynek primitvfggvnye r - l n 11+ | -t- C, amint ezt az elbbiekben kiszmtottuk.

37

28 / / T ^ < f e = ? 1 o l - c o s 2 r


20/166

28. / / T < f e ?

Ha most azx fggetlen vltoz helyett a Miek szinuszt vagy koszinusztvezetjk be, akkor a gykkifejezs kikszblhet.

/. Megolds:

Legyen A:=sin ; dx^cos tdL

f y 1;c*dx = f y l - sin* tcos td t = f cos tcos tdt = f cos* / dt.

r iH-cosZ r 1 r c o s 2 t j - x * d x = = j -------------d t = j d t+ J =

1 sin 2 /

- T ' +

A primitv fggvny a / vltoz fggvnye. Ezt kell ta laktanunk azX vltoz fggvnyv.

Mivel x = si n t, ezrt /= arc sinx, l. sin 2t = 2sin c o s t == 2 sin /Vl sin* t= 2 x ^ 1jc*, gy

II. Megolds:

Oldjuk meg a feladatot j:= cos / helyettestssel is:

/ f T ^ * d x = ?

Legyen x=cos r, ebbl dx= - s i n t dt,

j yi-jc* dx = f / l - c o s * t( - sin /) // = / - sin / sin t dt

= - f sin* t dt.

38

1 o l c o s 2 rMivel sm * = ------------- , ezert

r f----- - / lc os 2 / co s2 l

sin 2t 1 + C .

dt

4 2

Az eredmnyt ismtx vltozjv alaktjuk: x= co s , s ebbl /= arc cosx \

sin 2t = 2sin cos = 2 V l-cos* / cos / = 2 x ^l-jc*.

A kt mdszerrel kapott primitv fggvny alakja klnbzik egyms

tl, mivel azonban arc cos a:= - ar c sin jc, ezrt

;r arc sinx-+ C =

a: ------

arc sin jv _ n

A kt primitv fggvny teht csak a k onstansban klnbzik egymstl,vagyis lnyegben megegyeznek.

29. / yr +x * /x = ? Az integrandusban lev gykkifejezs sokszorkikszblhet, ha felhasznljuk a hiberbolikus fggvnyekre tanult nhny azonossgot, amelyek kzl nhnyat most felrunk:

ch *x sh* a: = 1 ;

sh 2jc = 2 sh A ehx;

eh* jc+sh* X = eh 2x.

Ezekbl kaphat mg:

l + ch 2 A:eh* jc =

sh*x =

2

ch 2j c - l

39

Legyen most A:=sh t,ugyanis ekkor a ngyzetek klnbsgre vonatkoz t h lh tj k f l

f l 6 - x ^ d x = 4 J /1 - sin^ / 4 cos tdt = 16 f cos^ d t =


21/166

azonossgot hasznlhatjuk fel:

dx=ch t dt\

J ^T+ x^dx = J j /I+s?7ch/ / / = J c h ^ t d t =

1+ eh 2 t sh 2dt = -+C.

2 2 4

Visszaalaktjuk az eredmnyt a: fggvnyv; .v=sh t,ebbl = a r sh ; '------ a r shxl^rx^dx = ---------+ ------- -f C

j }!x^\ dx 1 Most az x = c h helyettests vezet clhoz,ugyanis dx= sh td t , s gy

/ x ^ - \ dx = f )^ch2 1- 1sh td t = j t dt

/eh 2 - 1 sh 2 r t 2 sh / eh / t

Az eredmnyt x fggvnyv alaktjuk:

sh 2 / = 2 sh eh = 2 x ix ^- 1 ; = ar eh jc.

C /- X ix"^- 1 ar eh .rj U - u . . ------------ J - + C .

31. = ? Ez az integrandus a 28. feladatra vezethetvissza.

f f 6 ^ d x =

Itt mr fggvnyt helyettestnk fggvnnyel:

= sin /; ;v = 4 sin /; dx=4 cos tdt, 4

40

f f

= 16 dt+SJ Qosltdt =2

sin 2t- + C = 8 /+ 4 sin 2/ + C.

X X 1/ / jc yr = arc sin ; sin 2 = 2 sin cos / = 2 1/ 1- .

4 A ^ \ A )

j \6~x' ^dx = 8arc sin^-f-2.Y|/ 1 - j + C.

32. A tpus ltalnos alakja s megoldsa:

bx

\ a )dx.

bx , a , a = sm ii\ X ~ sm w; dx = cos u dii.

a h b

j ^a^-b^x^dx = a J ^ l - s \ n - i i ^ c o s i t d u = y Jco s^u du =

u sin 2u

7"^ 4+ c .

u = arc sm, b xm ; sm 2u 2sm ucos m= 2 \ 1 - I .

a a ^ \ a )

bx 1 bx-\[^ fbx)m f y 1

a 2 a ' Va ^b' x' -dx =

barc sm

+ C.bx axi / ibx

= arc sin + 1/ 1 - 2b a 2 ' V ,

33. / S2$ + x^d x = ?

J 2 5 + d x = 5/ y * ^ (y )

Legyen y = sh vagyis a: = 5 sh m; gy dx = 5 eh du.

+ C =

41

J ]/25-\ -x^dx = 5fV1+ sh* weh udu 5feh^ udu / l ' x * - 16 d* = 4 / >^ch*t - 1*4shrf = 16/sh/rf/ =


22/166

] f f

' /l + ch2

du = 5' II sh 2u

4+ C = w+ --sh 2u+C.

2 4

X X "X[ l XM = arshy; sh2M = 2shwch = 2 * j 1 + ly j .

J }j25+x^ dx = y a r s h y + Y A c |/ T + ^ y j + C.


J U * + bx dx= aJ | / l +

bx a aLeg yen = shw; vagyis x = shw s dx = chudu,

a b b

J ]/a + b x^ dx = a j y T + s h ^ eh udu = J ch^ u du

/ 1+ eh 2m_a^ f i"^~bJ ' 2 "'" = 7

u sh 2u

4+ c .

bx bx1/jc = a r s h ; sh 2 = 2 shwchw = 2 \ 1+

a a '

i -\-b x dx= b

1 bx bx1r a r s h + 1/ 1 +

2 a 2a * v j+ C =

(fi , ATr ^= a r s h + ^ 1+ + C =

2^ a 2 f ^a)bx X

Y ) /2+ 6^+ c .

35. J ^x* -16dx = 4

Legyen = eh / ; vagyis ;c = 4 eh /; gy dx = 4s h dt.4

42

/ l x 16 d 4 / ch t 1 4shrf 16/sh/rf/

= 16 = s j (c h 2 - l ) r f / = 8 ^ ^ - 8 / + C ^

, - c h . s h 2 , - 2 , h , c h , - 2 ^ y ( | ) - l .

8arch^+C =

= y ^ ? ^ - 8 a r c h + C .2 4


J U^x*-a*dx = a J* ] /

= eh / ; X = eh /; dx = sh r dt, a b b

j ib ^x^ -a^dx = a J y c h ^ u - l - ^ s h t d t = sh*r//

t I

* rc h 2 r l a*------- dt =2 b

sh 2t t

~ 4 T

Mivel r = ar eh s sh 2/ = 2 sh / eh / = 2 m - 1 , ezrt

2b x^ l{b xy ^ cfi ^b x ^/ }/ b^ x^ -a ^d x = ----- \ \ I - 1 - a r c h |-C =

J Ab d ' \ a ) 2b a

a x i / ( b x Y * ^ b x

2 r [7 ) Yb ^ 7 ^

* bx U ^ x ^ - a ^----- ar eh + C

2 2b a

43

6. Parcilis integrls Ellenrizzk a megolds helyessgt!


23/166

A parcilis integrls szablya a szorzatfggvny derivlsiszablybl kaphat az albbi mdon:

Legyen u = u(x) s v = v(x), akkor (uv)' = u'v-\-uv\Mivel u'v = (uvYuv\ ezrt

Ju 'vdx = J (uv)' dxJ uv' dx,

vagyis

J u 'v d x = uv Juv' dx.

A mdszert ltalban akkor rdemes alkalmazni, ha az integ randus olyan szorzatknt . rhat fel, melyben az egyik w'knt felfogott tnyez integrlja ismert, a msik v-\d

jellt tnyez v' derivltjt knnyen meghatrozhatjuk, sfu v' dx knnyebben meghatrozhat, mint fu 'vdx . ltal-nos mdszert nem adhatunk arra, hogy a szorzat melyik t-nyezjt vlasszuk w'nek, ill. i;nek, de az egyes feladatok, ill.feladattpusok megoldsakor vlasztsunkat megindokoljuk.

a) Hatvnyfggvnnyel szorzot t exponencilis, trigonometrikus s hiperbolikus fggvnyek parcilis integrlsa. A deriv-ls a hatvnyfggvny fokszmt cskkenti, az integrls a tri-gonometrikus (csak szinusz s koszinusz), exponeniclis s hi-perbolikus (csak a szinusz s koszinusz hiperbolikus) fgg-vnyekt nem vltoztatja. PL: (sh x) ' = ch x stb. Ebbl kvet-kezik, hogy az ilyen tpus integrandusok gy alakthatk tegyszerbb alakra, hogy a hatvnyfggvnyt vlaszjuk ;neks az exponencilis, trigonometrikus, ill. hiperbolikus fggvnytw'nek.

Gyakorl feladatok

1. / x""' dx = l (Itt s a tovbbiakban k vals szmot jelent.)

gy

Legyen v = x s u' = ; ekkor t?' = 1 s u k

dx xe^^+ C.

44

(xe ^k

kx= x + = xe .

k k

A derivls alkalmval vigyzzunk arra, hogy az els tag szorzatfggvny! A tbbi feladat megoldsnak ellenrzst azOlvasra bzzuk.

2 . f l x s in x d K =?

cos 6x ,Legyen v = 2x; u' sin6x; teht v =2; w= ----------- . gy

J 2xsin 6x dx =

Xcos 6 a: 1

- 2x cos 6x

- I- 2cos 6x

dx =

1 p - x c o s 6 a' sin 6 x- -J cos 6x dx = -------------H----- 77 + C.

18

sin 4x

3. f 4xcos4xf/x =7

Legyen v=4x\ u'=cos4x; ekkor t)'=4; u= -H

J 4xcos 4x dx Xsin 4x j sinAx dx = sin 4a:

4. / 6 a: shI x dx =1

cos 4 x-+C.

Legyen v = 6x; u' = sh7x; ekkor v' = 6; u

r , , 6 x c h 7 x r 6 c h l x J 6xsh 7x dx = -------------J - dx

5 . /3xch 4x /x = ?

eh 7a-

6a

: ehIx 6 shIx4 9 4C.

Legyen v = 3x; ii' = ch4x ; ekkor v' = 3; w=sh 4 a:

/ 3a: eh 4x dx =3xsh 4ac / 3 sh4A:

- f -- dx =

3 a: sh 4 a: 3 eh 4x

4 i ? "- 4 - C .

45

Ha a hatvnyfggvnyben x magasabb hatvnya is szerepel,Legyen Vi=x; w=cos5jc; = \ ; Ui =

sin 5x


24/166

akkor a parcilis integrls mdszert szksg szerint ismteltenalkalmazhatjuk. Most ilyen tpus feladatokat oldunk meg.

6. f x e*"dx= l

e*Legyen v= xi u'=e*; ekkor v'=2x; u= .

4

J e**dx =

A parcilis integrls mdszert alkalmazva, a msodik tagban integrnsdsknt ismt szorzatfggvnyt kaptunk, de ebben a hatvnyfggvny fokszma mr eggyel kisebb, mint elbb volt, az exponencilis tnyez lnyegben vltozatlan. Erre ismt alkalmazzuk a parcilis integrls mdszert.

fx e^*d x=l

Legyen Vx=^x\ ekkor r = l ; Wi= .4

/ xe * * 1 1xe*-dx= ----f ^ d x =4 / 4 4 16

A kapott eredmnyt visszahelyettestve:

Jx ^ e* ^ dx = ^ x ^ e* - Y x e * * + ^ e * ' + C .

7. f 3 x si n5x dx =7

Legyen v = 3x^; jc' = sin5jc; ekkor v' = 6x; =-COS 5a:

sin 5a: dx - 3x cos 5x r COS5x dx =

3 6 /= -----jc* cos 5x+ Xcos 5x dx,

5 5 J

A msodik tag integrandusa szorzatfggvny, amit ismt parcilisnintegrlunk.

f Xcos 5xdx =1

46

Legyen Vi=x; w=cos5jc; = \ ; Ui =

J x c o s S x d x = - ^ x sin 5 x - ^ J sin 5x dx

1 1= y j vs i n 5x + cos5x +C,


r 3 6 6/ 3 ^ 2 sin 5xdx jccos 5;c H- x sin 5x-i------cos 5x+ C.5 2JT 125

kizzk a megolds helyessgt!

( 3 6 6 VI cos ^ ^ 5a:+ Cl =

6 6 6 6= ^ a: cos 5,v + 3x^sin 5x+ sm5x-h x cos ^ sin 5x =

= 3x sin 5a:.

A feladatot teht helyesen oldottuk meg.8. f x s h x d x = = l

Legyen vx; u' shx; ekkor t?'= \ \ ii c\\ x.

j x s h x d x = a: eh a: j ohx d x = .v eh jc sh a:+ C.

9. /;e3sh2 xic = ?

Legyen v = x^; ii' sh 2x\ ekkor v' = 3x^\ u ehI x

J x^ s h l xdx = x^ eh 2x J a: eh2 jc

dx,

A msodik tagra ismt a parcilis integrlst alkalmazzuk:

f x^eh 2x dx = ?

Legyen i\= x^; u[ = oh2x\ ekkor vi = 2x; Ui =

J x ^ c h lx d x = yAc^shl ;^-J x s h l x d x .

sh2A:

47

A szorzatfggvnyt jra parcilisn integrljuk. 12. J arc sin xdx = ?


25/166

f x s h Z x d x =?

Legyen V2 =x; U2= sh2x; vagyis v'o=l; z/, = ch2,v.

J x s h l x = y ;>rch 2 A: -YJ eh 2xdx =

1 1= x c h l x -----sh2x-{- C.2 4

Az eredeti integrl teht

/jcsh 2x dx x^eh 2x- a-2sh 2a' h---- .v eh 2x ------sh 2x-|- C.

2 4 4 8

b) Logaritmus , area- s arkuszfggvnyek integrlsa. Ezeka fggvnyek olyanok, hogy integrljukat nem tudjuk kzvetle-nl felrni, derivltjukat viszont ismerjk. Ha ilyen esetben az

integrandust olyan fggvnyszorzatnak tekintjk, amelynek egyiktnyezje az azonosan egy fggvny, a msik tnyezje pedig azintegrandus, akkor a feladat gyakran megoldhat. Ezzel a fogs-sal esetleg ms tpus integrandus esetben is clt rhetnk.

Gyakorl feladatok

1 0 . / Inxrfx =?

Legyen v = \nx; u' l: ekkor v' = ; u=x. EkkorA*

J In a: /a = A'In A*J x d x = A*lnA -A + C.

11. / \%xdx = ?

Legyen v = \g x\ /=1; teht v'= ~lg; m=a.A

j \%x dx = x l g x f Ig edx = x lg a - a Ige -hC.

Megjegyzs: Itt lg 0,4343 rtkkel szmolhatunk.

48

Legyen i; = arcsinA ; '= !, teht v' =V1 - a 2

/arc sinxdx = a arc sin a f .. dx.

Vegyk szre, hogy a msodik tag integrandust csekly talaktssal/ W / ' W alakra hozhatjuk, melynek integrlja mr kzvetlenl felrhat:

C X r - -= = - d x = - - U \ - x ^ ) ^ ( - 2 x ) d x =

^ 2 J

1 ( 1 - a V

T i

T

+c =-fT^^+c.

A feladat megoldsa teht

/ arc sinA dx ^ xarc sin a + f^l-A^ + C.

Az integrlsi konstans eljelvltozst termszetesen figyelmen kvlhagyhatjuk!


( a arc sin a + V1~x^4 C)' =

1--------------------------- A= arc sm A + A ------------ = arc sin a .

13. f arc sin (ax +b)d x = ?

Az integrandust elszr helyettestssel alaktjuk t gy, hogy az ax-hbfggvny helyett a t j vltozt vezetjk be.

dtLegyen ax-\-b = t, ekkor dt adx s gy dx .

a

J arc sin (ax + b) dx = a r csi n / // .

4 Integrlszmts

49

Az elbbi plda eredmnyt felhasznlva kapjuk: Ezt figyelembe vve a feladat megoldsa:


26/166

J a r c sin (ax +b) dx {tarc sin + C =

ax+b

aarc sin (ax+b)-\---- {ax+by+ C.

14. j arc cosx d x =1

Legyen t; = arcc os;c; ' =1 , teht v' =

y i- x^

; u==x.

Iarc cosx d x x arc cosx

Vegyk szre, hogy ( / I - a'*)'- ezrt

j arc cosx d x = x arc co sjc -^ -h C.

/arc cos d x = l

1X 3

Legyen u = arc co S y; w '=l, teht v' = :

/ arc cos /jc = jc arc cos I /

Vegyk szre, hogy a msodik tag integrandusa egyszeren az/ " ( jc)/ ' ( ;c)alakra hozhat:

/ -/a: = f ^ d x = 4 - f - 2 x { 9 - x ^ ) ' dx =/ ]^9_r2 2 /

1 (9-JC2)'*

T iY

50

/arc cos d x = x arc cos - x + C.

3 3

16. / arc tg 6 a' /a: = ?

Legyen z; = arc tg 6 a-; m' = 1, teht v'1+ 36JC*

6 a:

; M=A.

/arc tg

6

a /a = x arc tg6

a: - f-----

% dx = arc tg6

a -J 1 + 36 a

- - - 12J 1

1+ 36a*

72a 1-------- -^A = Aarc tg 6 a ----- In (1 + 36a*)+ C.4- 36a2 12

f ' { x )Teht itt is a parcilis integrls utn kapott integrandus ---- alakra

f( x )volt hozhat.

17. farc ctg cxdx = ?

Legyen v = arc ctg ex; '=1, teht v' = ; w = A .

1+ c*a2

/arc ctg ex dx = Xarc ctg e x + f----------- dx.

J 1 H- c* jc*

Vegyk szre, hogy a msodik tag integrandusa / " ( a ) / ' ( a ) alakra hozhat!

*/ 1 + C* A^ 2c J 1 + A* 2 c


/arc ctg exdx = Xarc ctg c a 4-----In ( 1+c* a:) + C.2 c

18. f a r s h l x d x = ?

Legyen t ; = a r s h 7 A ; w ' = l , te h t ' =

J * a r s h 7 a / a = A a r s h 7 jc J

F H - 4 9 a *

Ix

i=x

4*51

A msodik tag integrandusa egyszer talaktssal f '{ x) f' {x ) alakrahozhat:

21. / arth.v'.v =?


27/166

hozhat:

C r - i / dx = (l + 49x ) ^-9 8xd x =

1 (l+49xa) 1 ,-------- + C = -~ \+A9x^-rC.14 1 7


J a r s h l x d x ^ x s T s h l x - ^ V1 + 49a;2 + C.

19. f a r c h x d x =/ l -arehjc/x: = ?

Legyen = arc h;c ; w '=l , ekkor i;' =^x^-l

; //=x.

/ar eh /x = X ar eh a: - f dx =

j / ___= jvarch^: J 2 x ( x ^ - l ) ^ dx = x ar c h x - \ 'x ^ ~ l-hC.

20. f ar eh 5x dx = /1 ar eh 5xdx = ?

Legyen t?= arch 5jc; i'= l, ekkor v'f25x^- l

/ar eh 5^ dx x a r eh 5 j

/ V'25.v21I /* JL

== a: ar eh J 50x {25x^ - l) ' dx =

-d x =

= ;c ar eh 5a :- -j }/25x - 1 + C.

A megolds sorn felhasznltuk, hogy a parcilis integrlssal kapottintegrandus / " ( jc) / ' ( jc) alakra hozhat volt.

52

Legyen r = arth;\:; '= 1, teht v ' = ------- ; u=x,l-x^

/ar th .r dx = .v ar th xf- dx = xs ltth jc-h f dx

J 1-x^ 2J 1-x^

= a r th x -r y ln(l -A:2)4-C.

/' WA parcilis integrlssal kapott integrandust ------ alakra hoztuk.

f ix )A fggvny s az integrl rtelmezsi tartomnya |jcl


28/166

gy

= i;= cos2a:, teht w = 3e ;

j e""sin 2x dx =1

~22 x + ( e"' sin 2 x - f c*' sin 2xc/x

2 1 ,2 J 2

1 3 9 r= ----- cos H--------- e"' sin 2 x ------ / e' sin 2x dx.

2 4 4 J

Azt ltjuk, hogy a jobb oldal utols tagjban az eredeti integrl lpettfel; most mr az egyenlsget rendezve, megkaphatjuk a keresett integrlt.

ebbl

J e""sin 2xdx = e*"" sin 2jc - cos 2 a:| ,

r 4 " 3 1 ^J e sin 2 .Vdx = I sin 2 x - cos 2x \ 4- C =

= (3 sin 2jc - 2 cos 2x)+ C.

//. Megolds:

Mivel az integrandus mindkt tnyezjnek egyarnt egy-szer a derivltja s az integrlja, megprblhatjuk a fordtott szereposztst is. Mint ltni fogjuk, ez szintn clhoz vezet. Le-gyen teht most

i;' = e s W= s in 2jc, ekkor i? = > s /' = 2 cos2 .v;

/e* sin 2 a: 2 / ,

e sin 2x dx = ----- --------- ^ J "' cos 2x dx.

A kapott integrlra a parcilis integrlst a fentihez hasonl szerep-

osztsban vgezzk el; legyenMi=cos2 x s = teht // = 2 sin 2 a*; gy

j e* sin 2x dx =

e^sin2jc 2 e"cos2 A: 2 r ^ ^ \ --------+ J sm 2x dx =

3 3

e* sin 2x 22 4 /---- e**cos2jc----- / e* sin2A:6c;

9 9 J

54

e13 r o / sin 2x/x = ( 3 sin 2 x - 2 cos 2x)+ C;

9 / 9

sin 2a:/a: = (3 sin 2a:-2 cos 2x)+C.

A ktfle ton kapo tt eredmny termszetesen megegyezik.

24. j cos 3x d x= i

Legyen M= t;'= cos3x, teht /' = 5e""; r =

/ cos 2ixdx =sin 3 x / sin 3a:

= y e"" sin 3a: -

3 J 3

3a: /jt.

-dx =

A msodik tagbeli integrlsra ismt alkalmazzuk a parcilis integrlsmdszert az eredetihez hasonl szereposztssal; legyen i = ; v{ =sin 3 a:,

teht u[ = 5e^^; Vi= .

/ e ^ ^c os 3a: /a:

= Y sin 3x5 cos 3a:

25 / = sin 3a:+ cos 3x----- / cos 3 a: dx.

3 9 9 J

Ebbl fejezzk ki a keresett integrlt:34 r 1 5

J cos 3a: dx = y e""sin 3a: + e""cos 3a;

/ 9 1 5cos 3xdx = I sin 3xH----cos 3a:34 V 3 9

+ C.

Ugyanezt az eredmnyt kaptuk volna, ha mindkt lpsben a fordtottszereposztst vlasztottuk volna.

55

Megoldunk egy ilyen tpus ltalnosabb feladatot.

eh Ax

I. Megolds:


29/166

25. / e^^^^cos{cx-{^d)dx = ?

Legyen u= v' = cs (cx + d), teht = + v =sin (ex f d)

f e ^''cosicx+d)dx =

1

c J c= (cx + d )- e^^^^sin (cx--d)dx.

c J c

A msodik tagra ismt alkalmazzuk a parcilis integrls mdszert.Legyen = +cos (cx+d)

v[ =sin {ex-}-d), teht u[= ^^*

J cos (ex+ (i) dx= e" *" sin (ex + d) ~

Le * +i>cos(cA:+ / ) + f cos(cx + d) dxc c J

sin (c;c+ /) H---- cos {ex+ d)e

rcos {ex-rd) dx.

Rendezve az egyenlsget:

a + e -j~e *----- / cos (ex + d) dx e^ J

ebbl

sin (ex-f /) H---- cos (ex-{-d)e

sin {ex-\-d)A---- cos {ex-\-d)e

+ C.

26. j s \ \ Ax dx ? Az integrlt ktfle mdon hatrozzuk meg:

1. Parcilis integrlssal.

2. A sh 4x = - azonossg felhasznlsval.

56

ehAxLegyen u= e ' ; ' = sh4.v, teh t u'= 2e"''; v

J e* sh 4xdx = e'* eh 4 x - ^ J eh 4xdx.

Legyen most = [ = ohAx, teht u{ = 2e ' ; =sh4x

J sh 4x dx =

sh 4x4

- jf sh 4x /xj =

1 1 l r ^ ^-----^2xsh 4 ;-_|-----/ sh 4x dx.4 8 4 J

Ebbl rendezssel a keresett integrlt kifejezzk:

f e ""sh 4x dx= e"' ch 4 x ----- sh 4x ;4 J 4 [ 2 ) '

r 1 ^J sh 4x dx= -y - eh 4a' - sh 4x1 + C.

Az eredmny ugyanez lelt volna akkor is, ha brmelyik esetben u sVszerept felcserljk.

II. Megolds:

J sh 4x dx = J c - dx (e^^ -e - ^ndx =

> e

, 6 - 2

sszehasonltjuk eredmnynket az elbb kapott eredmnnyel.

eh 4,v 4-C - + c =

12

12

57

A msodik megolds sokkal rvidebb; ezrt nemcsak azt kellmegnzni, hogy egy szorzatfggvny parcilisn integrlhate,

I I I . R A C I O N L I S T R T F G G V N Y E K I N T E G R L S A


30/166

g , gy gy gg y p g ,hanem azt is, hogy ez tnike a legclszerbb mdszernek az adott esetben.

Szgfggvnyek szorzatt is lehet parcilisn integrlni, mi-vel azonban az integrandus megfelel talaktsval a szorzat-fggvny sszegfggvnny alakthat, nem foglalkozunk vele.

58

I N T E G R L S A

1. Egyszerbb specilis tpusok

Elszr egyszerbb specilis tpusokat vizsglunk, a bonyolul-tabb eseteket majd ezekre vezetjk vissza.

a) Az integrandus nevezje elsfok, szmllja konstans.Azintegrl ltalnos alakja:

/ :ax + bdx.

Az integrandust gy alaktjuk t, hogy a szmll a nevezderivltja legyen.

f i - d x = - f j ax + b a j ax-], dx = In \ax + b\ + C.b a

b) Az integrandus nevezje egy elsfok fggvny n-edik {n 9 1)hatvnya, szmllja konstans. Az integrl ltalnos alakja:

/ {ax + by dx.Az integrandustf" ix )f '{x ) alakra hozzuk (ilyen tpus fgg-

vnyeket mr integrltunk a II. pontban).

A {ax + b f-" . ^ Aa \ - n

1

a ( l ) {ax + b y

59

c) Az integrandus nevezje egy elsfok fggvny n-edik halvnya (n 1), szmllja elsfok. Az integrl ltalnos alakja:

1 / ' 2 X + 3 3-dx I ------------- dx =

( 2 * + 3 ) * 2 J ( 2 x + 3 ) *5. f ---- ---- d x ^ f

J (2*+3)* 2 J


31/166

/Ax

{ a x ^ b f dx.

{Ax + B alak szmll esetn az integrandus kt taggbonthat, s a msodik tag ppen a b) eset.)

Ax , A I ax + b b ,

dx = I TT:rdx =f Ax j _ A f ,

J ( ax+)" a j ' ( a x + by

A f 1 , ^ a j (ax + by '^ ^ a j

dx (ax + b)

= J a (a x + b y~"dx^ J a ( f i x + b)~ dx -

_ A {ax + b f-" A b {ax + b f - \ ^

a 2 n a* 1

Gyakorl feladatok

/ 4 4 / 3 41. / ------- dx = / -------- dx = ln|3jc-5| + C.

J 3 x - 5 3J3JC-5 3

/ 5 5 / 3 5

5 {2x-A)-^

{2x-Ay

1 1

2 {2x~Af - + C = - -

1

2{2x-Ay + c .

/ 14 14 /l. / ----------- /a: = ------ / - 4 ( 6 - 4 a: )-V jc =

J ( 6 - 4 x y A J (6-Ax)

1 (6-4jc)-_ _

60

( 2 + 3 ) 2 J ( 2 x + 3 )J (2 +3) 2 J

2 J (2x+3y 4 J (2x-{ -3r

= 2( 2 x+ 3 ) - ^ d x- - ^ J 2{ 2x+ 3) - ^dx =

1 (2jc+3 )-2 3 (2a:H-3)-

- 2 4 - 3- + C-.

8 {2X+3Y 4 (2;c+3)3

2x+l

8(2;c+3)3

+C.8(2a:+3)3

5jc 5 r 3 x ~ 4 + 4r 5 x 5 f 3 X 4 + 4

J(3jc4) 3 J (3jc4)= f/a: + f ---- /a: =3 J (3x- 4Y 3 J (3x-4 Y

5 r 20 r= j 3 (3x -4 )-^ dx + J 3 (3 x-4 )-^d x =

5 (3jc- 4 ) - ^ ^ 2 0 ( 3a:-4)-

9 - 4 9 - 5

5 1 4 1

36(3 ;c-4)" 9 (3jc-4)^

4 - 15a: ^-+C.

- 5 ( 3 jc- 4 ) - 1 6+C = ---- --------------- + C =

36(3x-4r

36 (3x-4r

d) Az integrandus nevezje msodfok polinom, szmllja konstans. Az integrl ltalnos alakja:

/ ax^ -\-bx-\-c dx.

61

Az integrandus clszer talaktsa:

A A 1I alakra hozhat, s ennek primitv fggvnyei ar th m+ C


32/166

A A 1aax^-Ybx + c

A^

a

o b cx H JC+

a a

1

cA tovbbiakat az dnti el, hogy a kifejezs eljele

pozitv, negatv vagy pedig nullae.c b

H a ^ = 5^ > 0, akkor az integrl helyettestssel alapa 4a^

integrll alakthat t:

A , A r 1dx =

b

Ha az v; = M j vltozt vezetjk be, akkor az integB

randus a konstans szorzktl eltekintve 1

2 + lalak

lesz, s ennek primitv fggvnyei arc tg m+ C alakak.

c bH a ^ = 5^ < 0, akkor az integrandus az elz mdon

a 4a*

alakak.c b

H a p-5 = 0, akkor a nevezben lev msodfok poli

nm teljes ngyzet, s gy az integrl a b)ben trgyalt mdon szmthat ki.

A 1 7.a 2 c b'

+ a 4a

Gyakorl feladatok

1. f dx= f- - dx:v2-f 4JC+4 + 8 - 4

= f i ^ = 1 f____________J (,x+2) + 4 4 J

X 2 X I 2Alkalmazzuk most az = ------ helyettestst, ekkor u = ------ , ebbl

2 2dx

x = 2u -2 s = 2 , vagyis dx = 2dii.du

r 1 , I f i 1 r 1/ ------------- dx = / -------- 2 du = / -------- du =J x^ + 4x +S 4 J u^+1 2 J u ^ + \1 ^ 1 x ^ 2 ^

= arc tg M+ C = arc tg +C .J JL

f ----- '___ d x = f -J a: + 6 x + 2 0 J

1-dx

x2+ 6jc + 9 + 2 0 -9

r I 1 / 1= / --------------- dx= / ----------------- dx = ?

J ( x + 3 y + i i n J (X +3V

Az albbi helyettestst vgezzk:^ + 3 . du 1

= ; vagyis = _ , dx = y 11 au.j 'l l dx

1 ^ 1 jc+3z=rarctgM + C = a r c tgz^+C./II ^ii i n

6263

1

3x*+ 6a:+15,,, . i

3 J A f 2 x f 5

1 1 . r----- ------- dx f------------ dx = f (x+3)J x2+ 6 x + 9 J (x+3)- J

1

x2 + 6x + 9(x+3y^

-2/a- =


33/166

4 /1 1 r 1

~dxx^ + 2x+ 1+ 4

-dx.

(x+ iy+ 4-dx

+ 1

x-h 1 du 1Helyettests: u= ------; = ~ d x ^ l d i i .1 dx 2

/I ^ 1 j* 2 du r

3x2 + 6.r+15 ~~6Jdu

/2+1

1 1 ^= arc tg w+ C = arc tg -------h C.6 6 2

/ 2a:2-3a:+ 20 2 /1

---- A+ 102

-dx =

ynrn/+3 ^ ^X -------- ------- ; dx - -du.

f____LJ 2x^-3x2x^ -3x + 20

2

-dx =151I - .

1 y'151+1 4

du

f j +/151' "+1

2 2du = arc tg /( + C =

4a: - 3-arc tg------ f- C.

f T s /151

64

1(x 3yfC.

-1 ' a'+3 Ilyen tpus feladatok megoldsval mr foglalkoztunk.

12. f---------------dx = f---------- dx = f ----- !----- dx =J ,v=+ 8a:+12 J ,v2+8;r+164 J (x + 4)= 4

' V ( ^Helyettests: u =

- 1

A*-{-4 du 1; = ; dx = 2du.

2 dx 2

/I 1 n 2du \ r du

x^+ Sx+ \2 ~ T J u^-1 y J /2_ i

1 1 1+ wFi(u ) = ----- a r t h // + C i = In-------- hQ , ha 1 |< 1 ,

2 4 1 w

1 1 +1Fziu) = ----- ar cth//-(-C2 = ------In ------- -f-C2 , ha lw|>l.

2 4 w 1

Teht visszahelyettestve:

f___iJ x + SxA'2+ 8a:+ 12

dx=

a' + 4

1 a' 4 - 4 1 ~^~Y~ar th - + Ci = - In--------- - + C , =

2 2 4 ^ a: + 4

1 ^ ,= -----In ----------+Ci, ha

4 - 2 - a'

A f 4

a+4

1--------------a 4 4 1 2 -----ar cth ------ + C2 = ------In -------

2 2 4 a + 4

f ij C2

A: f4

5 Integrlszmts65

1Ox+20 f x ^ - \ 0 x + 2 5 - 5 dx = f ------------- dx =J ( X - 5 Y - 5

dx dxl y M 5 . 3 4r j 2 5


34/166

dx.- I f -------L _5 J ( ^ - 5 V

kW ) ~

Helyettests: = = - ^ ; dx=5du.^5 dx 1 5

r 1 ^ 1 r Y sd u f s r du

J x^- lO x+ 20 ^ ~ ~ 5 J 2_ i J u^- 1

V5 V5 1+ MFi() = - art hz / f Cl = -------In--------hCi, ha \u\ < 1 ,

5 10 1-M

V5 1 5 u -\-1^ 2 () = arcthz+Cg = In---- -+ C 2 , ha |m1 >1 .

5 10 w -1

Teht visszahelyettestve

f _____ iJ x^-10.IOjc+20

-dx

x - 5_ 1Hz _

1 5 V'5 ^ /5 JCrV 5 In f-Cl ------ In ----------- h Ci , ha

1 0 x - 5 10 f5 + 5_;c

a: - 5

1 5. r - 5

V'S, 5 In

+ 1

10 x -5

^ 5 x - 5 + ^ 5 -f"C*2 77 7^*^-----------ha

i s

x - 5

1

/

^5

5x'3 4 ^ ^In -----h h a

+ C , =

5x+2

2 M 5x+2-V'34 i u

67

e) Az integrandus szmllja elsfok, nevezje msodfokpolinom. Az integrandus szmlljt kt rszre boncuk: azegyik rszben ellltjuk a nevez derivl^t, a msik rsz egy

Teht visszahelyettestve

d


35/166

gy j gyf ' (x )

konstans; gy az egyik integrandus alak, mg a msikJ \ ^ )

az elbbi, d) tpus. A mdszert az els kidolgozott pldn mu-tatjuk be.

Gyakorl feladatok

2 x - 3-C/X = ?

x^-h4x-5

A nevez derivltja: 2x-h4.Ennek megfelelen alaktjuk t a szmllt:

J x + 4x-5 J Ax^ + 4x - 5

2x+4-dx

jc*44jc5

dx

x^ + 4 x - 5 x^ + 4 x - 5

Az els integrl rtke: In |jc*+4;c5[ + Cq.A msodik az elbbi mdszerrel szmthat ki.

dx

x *+ 4 x -S

dx

(x + 2 r -9

dx

x + 2\- 1

x + 2 du 1Helyettests: u = ------; = ; dx = 3du.

3 dx 3

^ i( ) = ^ a r t h t t + C = I n ^ ^ + C, h a | w |< L3 6 1M

Fziu) = - - a r c th u + C = + ha |m13 6 u - 1

68

dx

+ 4X-5

1+

Gi(x) = ^ a r t h ^ ^ + C , = - ^ In -------=3 3 o x + 2

1 - -

7 ^ 3+JC+ 2 _ 7 , 5 + JC ^ ^ In--------+ Cl = In------- f-Cl, ha6 3JC 2 6 l; c

JC + 2

^ 2

7 JC+2 7 3C2 W = y a rc th + C j = y

+ 1

-+ C 2 =

- 1

7 , JC+2+3 ^ 7 , :v-f5 ^ ^= In------- + C2= In ---- -+ C 2 , ha

6 x + 2 - 3 6 j c - l

;c+2


2JC-3

I ;dx In 1jc*+4jc51 +

x ^ ^ 4 x - 5

Az egyenltlensget x~v is felrjuk:

: 1 , akkor - 5 1 .

Ha

16.

x+ 2 x + 2- 1, akkor;c< - 5, ill.x ^ \ .

dx = l A nevez derivltja: 2^2, ennek megfele-- 2 X+ 1 0len alaktjuk t a trt szmlljt.

2

f J x -5 x - 6

dx2 J jc*-2jc+ 1 0 2 J x ^ -2x+l0

5 r 2 x - 2

2 jc~ 2

2 J jc*-2jc+ 1 0

dx

2 JC+ 1 0-dx

= f--------------- d x - f-------------2 J x ^ - 2 x - h l 0 J jc*- 2 X+ 1 0

Az els integrl rtke: ln|jc* 2x+10| + Ci.

69


36/166

Kifejezzk az utols tagot:20 .

' / i

1-dx = ? A rekurzis formult most nem lehel

Cy2+ 4a- + 20)3


37/166

Legyen I,

f dx l X 2 n - l f dxJ (x + a^*^ ~ 2naHx^ + a y '^ 2n J (x + a y

^ / c ? T a T (x^ + a^T

2 n a ^( x ^ + a y ~ ^ 2n a^ "'

2 n - \ ,+ r - i r L .

Gyakorl feladatok

18. Alkalmazzuk a rekurzis formult /?= 1, ill. // = 2 esetre.

) n=\

dx

2a ;c2+

l X 1 1 .Y

--------------- 1-----

- arc tg 4 -C =2a x -ha 2a a a

\ X \ X ---------------- 1------arc tg h C.2a x^ + a 2a a

b) 112

h =1 X 3

42 (x2 + a2)2

1 X 1 JC--------------H------ arc tg 2a 2a

+ C'.

1 a: 3 a: 3 .y-------------------- 1-----------------j----- arc tg h C.42 (x^^a^y a

19. f J {x^+9y

= 3, I2 esetre, ezrt

dx=^ A rekurzis formult kell alkalmaznunk az

/5 ^ 1 1 .V ^

dx = -r-T: r + T -^ a rc tg '4-C =(x^ + 9y 2-9 x^ + 9 2-27

1 x 1 a:-------------1 arc tg 1- C.Ux^ + 9 54 3

kzvetlenl alkalmazni, mert a zrjelen belli kifejezs nem x^ i-a^alak. talaktjuk az integrandus nevezjt, majd helyettestnk.

h1

-dx- h

dx

(;f2|_4x + 20)3 J [ + 2)tl6 p

Legyen x- ^2 u, ekkor dx=du, s az integrl:

/dx / du

(;c2 + 4a + 20)" J ( 16F A rekurzis kpletben: a = 4.

dx

f (x + 4x + 2 0f

1 II 3 / ( 3 u 1 1 arc tg hC =4-16 (((2+16) 8-256 i r + 16 8-1024 4

1 x + 2 3- +

64 [(;


38/166

meghatrozsra.a) A neveznek csak egyszeres, vals gyke i vannak. A zalgeb-

rbl ismeretes, hogy ha q{x) gykei x^, akkorq(x) egyrtelmen felrhat az n. gyknyezs alakban:

q{x) = ( x x i ) ( ; c x 2) . . .(xx).

Igazolhat, hogy ekkor

lis trtekre) bonthat:

p{ x)

p{x)

q{x)

p{x)

az albbi rsztrtekre (parci

q{x) i x - x i ) { x - x 2 ) . . . ( x - x )

A.-+

X :i:i X X2 x x

Az ismeretlen A , A 2, . .. ,A szmok meghatrozsra a pl-dk megoldsa sorn hrom mdszert mutatunk be. (A pl-dkban az ismeretlen szmllkat a knnyebb megklnbztethetsg kedvrt index nlkli A, B , ... nagybetkkel

jelljk.)

Gyakorl feladatok

1


39/166

3 A = - ; A = 1 1 16

A s B rtkt a differencils mdszervel is meghatrozzuk:

Gyakorl feladatok

3x + 4 x - 6/a'= ? A neveznek csak egy gyke van, s az vals


40/166

p{x) = 5x-6; q{x) = (,Yl)(;f + 2); q\x) = aI24xI = 2xf 1.

^'(1) 3 q'{-2) 3 3 *


JC"

dx f (x- l )(x + 2)

= J ( x - x + 3 ) d x - J 1 1 16 1

------+ -3 . V 1 3 .v + 2

o'x =

x x 1 16= \-3x\ In i^ Ij In |.vh2| + C.

3 2 3 3

b) A neveznek csak vals gykei vannak, de tbbszrs gy kk is elfordulnak. Ekkor q{x) gyktnyezs alakja:

r

q(x) = (x - Ai)"! (x Vo) 2.. . (.V x,Y- ahol ^ a, = n ;i = l

teht az wedfok q{x)polinomnak rklnbz vals gyke van.

Igazolhat, hogy ebben az esetben az albbi alak

rsztrtekre bonthat:

p{x) p{ x) _q (x) (x - XiT (x XoY... (.V X,)

^11 ^12 ^-4-^X -X i ( x - x ^ f

, ^21 , ^22~r \ ^

X X2 {X Xo)

fO

+... +1X1

( x - x , y ^

A , . ,

A ..

+

+ ...

x - x , ( x - x , ) -... +

s hromszoros. Ilyenkor a parcilis trtek egytthati az egytthatkegyeztetsvel hatrozhatk meg a legegyszerbben. Az egytthatkatismt index nlkli nagybetkkel jelljk.

3x^ +4x -6 A B C : + r n + -

( x + i y x + 2 (jc+2)2 i x + i r

A jobb oldalt kzs (a bal oldallal egyez) nevezre hozva, a szmllkra

az albbi azonossg rvnyes:3x^ + 4x -6 = A {x^ -2r^B {x^ l ) ^ -C .

A jobb oldalt is x fogy hatvnyai szerint rendezzk:

3a;2+ 4 a' - 6 = ^ ( x H 4 j c + 4 ) + 5 x + 2 5 f C;

3jc*+4a:6 = Ax'^+iAA-^ B) x^AA ^2B ^C .

Az egytthatk egyeztetsbl add egyenletrendszer:

^ = 3

AA + B = A

4A + 1B +C = - 6

^ = 3; 5 = 4 1 2 = 8 ; C = 6 1 2 + 1 6 = 2 .

Ha a differencils mdszert akarjuk alkalmazni az egyetlen tbbszrs vals gykkel rendelkez nevez esetn par-cilis trtek szmllinak meghatrozsra, akkor ismernnk

kell a /?(A:)szel jellt szmll derivltjait. Ha ugyanis

p(x)

( x - x i ) "

p( x) Ai

q{x)

alak, akkor a parcilis trtekre bontott alak:

q{x) x - x ^ ' { x - x ^ f ( x X i ) "

s ekkor

A \

P{ Xi )

A., = Cvi).(n -2 )!

(^i)A = = p{x^), ltalban , ahol X ^ k ^ n .

80 6 Integrlszmts81

Pldnkra visszatrve:

p{x) = 3a:2+ 4jc 6; p' {x) = 6 j c + 4 ; / ' ( j c)= 6 .

Most a megfelel szmllk:

rx -4 x + 2

J ( x - ^

d x = l


41/166

1! 1

C = / 7 ( 2 ) = '3 . 4 + 4 ( 2 ) 6 = 2 .


/3x>+4a: - 6

( ^ + 2 )

3 In |a: + 21 +

dx /

8

8

x ^ - l (x+ 2y (x + 2)3

1

dx =

: + C .(a:+2 )2

Felhasznlhatjuk a feladat megoldshoz a nevez gykeinek helyettestst is, de mivel egyetlen gyktnyez van, ezrt csak egy ismeretlenttudunk ezzel az eljrssal meghatrozni. Felrjuk a parcilis trt alakot:

3x^+4x-6

( x+2yz +

B

x- ^2 ( x + 2 r (x+ 2y

A jobb oldalt kzs nevezre hozzuk, majd a kt (egyenl nevezj)trt szmlljt tesszk egyenlv:

3x^ + 4 x -6 A(x + 2y+B (x-^2)+C

( x + 2 r ( x + 2 y

3x^ + 4x -6 = A (x + 2y+ B (x+ 2)+ C .

Behelyettestjk az ;c= - 2 rtket (ez az egyetlen gyk):

1 2 - 8 -6 = C ; C = - 2 .

Tbb egytthatt nem tudunk meghatrozni ezzel a mdszerrel. A tovbbi kt ismeretlent gy szmtjuk ki, hogy az azonossgban x helybe lehetleg kis egsz szmokat helyettestnk, majd az gy kapott ktismeretle-nes egyenletrendszert megoldjuk.

Legyen mondjuk jc= 0, ill. 1.

-6== 4A + 2B -2

3 - 4 - 6 = A -h B -2

B = - 2 - 2 A

- 1 = ^ - 2 - 2 ^ - 2

.4 = 3; B = - 2 - 6 = - 8 .

/. Megolds:

;c9-4jc*+2 A B C D

( x - 3 y Jc-3 ( x - 3 y (jc-3) (jc-3)*

A hatrozatlan egytthatkat elszr a difierencils mdszervel sz-mitjuk ki.

f (x ) = jc3-4jc*+2; f ' ( x ) = 3jc-8jc; f% x)= 6j c - 8 ;

, r o ) 6 ^ ^ r o ) 1 0 ^^ = = - = B = ^ = _ = 5 ;

= Z ) = / ( 3 ) = 27 - 3 6+ 2 = - 7 . '

II. Megolds:

Hatrozzuk meg az egytthatkat az egytthatk egyeztetse tjn is:

x ^ - 4 x ^ ^ 2 _ A ( x - 3 y ^ B { x - 3 y - \ - C (x - y ) - D

( X - 3 Y (x-3)*

;c-4jc*+2 = v4(jc"-9;c*H-27jc-27)+jB(jc*-6jc-h9)+Cjc-3C+D;

jc- 4a:*+2=Ax ->t(-9 ^4 +J?) jcH(27y4 - 6B+C)x- 21A-\^9B-3C+D;

Az ebbl leolvashat egyenletrendszer:

A = l

- 9 A + B = - 4

2 7 ^ - 6 J5 + C = 0

-21A + 9B-3C-hD= 2

B = - 4 + 9 = 5;

C = 6B-21A = 30 -27 = 3 ;

D= 2 + 2 7 ^ - 9 i? + 3 C = 2 + 2 7 - 4 5 + 9 = 7.

Mindkt mdszerrel termszetesen ugyanazokat az egytthatkat kaptuk.

82 6* 83

Az integrl teht:

r^-4x^+2dx

/1 5

-4--x 3 ( x S r ( x 3 r (x ^ 3 ) \

dx =

2 }2165, = 2; 5 i= j = y .

1+J?2 5 Bi 6


42/166

/ x - 3 ( x - S r ( x - 3 r ( x 3 ) \

l n | x - 3 1 -

- 1

5 3 1

- 2

7+ :r:

- 3

1

x - 3 2 (Jc-3)2 3 { x - 3 yz+C.

7. fir-5 x - 3

- d x = l ( x - l ) ( x - 3 y

5 x - 3 A B,( x - l ) ( x - 3 r x - 1 x - 3 (x - 3 r '

(Ilyen esetben a differencils mdszere mr nagyon kompliklt, ezrtnem alkalmazzuk.)

I. Megolds:

Meghatrozzuk az egytthatkat az egyenl fokszm tagok egytthatinak sszehasonltsval.

5 x -3 _ /4(jc- 3 ) + 5 , (a: - 1 ) (x - 3 ) + 5 j (x - 1 )(jcl)(jc3)=* (x l) (x 3 )*

5JC-3 = ^( jc-3)*+ 5,(x- l ) (Ar-3)+ B2 (x- l ) ;

5x -3 = A(x*-6x+9)+Bi(x^-Ax+3)+B^x-B: , -,

5x-3 = {A + Bi)x+ (- 6A-4 B, + B )x+9A + 3Bi-B .

Az add egyenletrendszer:

A + Bf = 0- 6 A - 4 B ^ + B i = 5

9 A + 3 B i - B j ^ - 3

A = -B i6B,-4B^ + B = 5- 9 B i + 3 B i - B i = - 3

A = - B i

2 5 i + 5 a = 5

= - 3

-1+J?2 = 5; Bi =6 .

II. Megolds:

A nevez gykeinek behelyettestsvel csak rszben hatrozha tjuk megaz egytthatkat, mert a neveznek tbbszrs gykei vannak.

5JC-3 = ^( jc- 3 ) * + ^ i(jc- 1 ) ( x- 3 ) + ^ 2 ( ^ - 1 ) .

A megfelel gykk jc=l s 3, ezeket behelyettestjk:

1ha X = 1, 5 -3 = 4.4; ^

ha jc=3, 1 2 = 2 ^ 2-, ^ 2 = 6 .

Tbb egytthatt ezzel a mdszerrel mr nem tudunk meghatrozni,ezrt a kt egytthat ismeretben egy tetszleges x rtk behelyettestservn hatrozzuk meg rtkt.

Legyen x=0.

- 3 = 9 A ^ 3 Bi-B2;

3 = + 3Bi-6 ;

9 3

Az integrl teht:

Sjc- 3

( x - l ) ( x - 3 )

-d x

-f

1 1 1 1 6r + -

2 ; c l 2 J C 3 ( x - 3 r

/JC=

I r dx ^ r 1 6 r ^ -j J ^ ~ j J x - 3 J (X-3 Y

1 1 _= Inl x11 Inl x31+ 6 -----hC =

I I 6 1=y h i | x - l l - y l n | x - 3 1 - + C = y l n

JC-1

X-3 x 3+ C

84 85

/ .2x--4

A parcilis trtek:

dx = ? A nevezben kt ktszeres gyk van. II.IV.:

4^1=4; 5i=l.


43/166

2 x - 4

(x+ m x - 1) ;c + 1 ^ ( x + 1) r ( j c - 1)2

kzs nevezre hozva:

2 x - 4

( x + i r ( x - i r ^

^ ^ i ( ^ + 1) (X- 1 )* +A , (x^ y+ B^ (x^ l ) ( x-h D^-hB, (x+ 1)*

(x+iy(xî)>

L Megolds:

Ai, A2,Bi, ^ 2 rtkt az egytthatk egyeztetsvel szmtjuk ki. Ezrtfogy hatvnyok szerint rendezzk a szmllt:

2 x - 4 = î(a:+1)(jc*-2jcH-1) + >42(a:-2a:+1) +

2 x - A = î(jcH-:^--2x*~2;c+jc+1) + ^ 2 U * - 2jc + 1) +

+ B ^ { j ^ - x * + l x ^ - l x + x - \ ) - ^ B ^ { x ^ + 2 x + \ y ,

l x - 4 = (î+5i):e+(>-A+v4,+5i4-B2)jc*4-

+ {-A^-2A^-B^+1B; x -A -\-A -B + B ,

Az egyenletrendszer:

A\-\-B\ 0

Ax-\-A +B -\-B%= 0

- A i - 2 A 2 - B i + 2 B t = 2Ai-j- A2Bi~h Bj= 4

Ai= -B ^ I.

2b^ +a^+B2= 0 n.2â+25a = 2 m .

-2BÂ2Bt= 4 IV.

I.-be:

Ezeket felhasznlva:

2+A+^2 = 0

A2B2= 1

IL+III.

II.

III.

2 A + 2 = l ; ^ 2 = y .

III.-ba:

3 1

Az egytthatk teht:3 1

i4i= 1; y42= l = 1; 02=

/. Megolds:

Az egytthatkat a nevez gykeinek s alkalmasan vlasztott x rtkeknek a behelyettestsvel is meghatrozzuk.

2x4=y4i(jc+l)(JCl)* + 2(^l)*+Bi(xl)(x+l)*+B2(x+l)*.

3

Legyen jc= l, akkor 6=442; A2

1

Legyen x \, akkor -2= 402 ; a=

Legyenek x=0, ill. x=2 az nknyesen vlasztott a: rtkek, akkor

4 = y4i+ /2 i+ 52

0 = 3y4i+i42+9^1+9.02

86 87

Ide behelyettesftjkAts B, ismert rtkt, ezutn mr csak ktismeret-leaes egyenletrendszert kell megoldanunk.

4 ^ 1

I. Megolds:

2:- x + 2 x + 5 = A ^ { x ^ + 2 x * - 2 x ^ - A x + x + 2 ) + A i { x * - 2 x + V ) +

+ 5i(A * A >+4 * 4 +4 4)+5( t +4j +4)
http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/


44/166

4 1

0 = 3^i - 4 - + 9 5 i -

2 = A ,- B i2 = A^+3Bi

I I . - I .4=4A:A, = B , - 2 = 1 .


2 x - 4dx =

I.

II.

/1 3

/1 1 1 1

x - \

= l n | j c + l |

=ln|j[:+ 11+

JC-1

2 (jc4l)2 x - \

3

2 (a: - 1)2dx

2 - 1+ 1d \x 1 1 ~

= Inx+ 1

2 x+1

3

1 (^1)^2 - 1

1

f C =

2 JC1+ C =

2(jc+l) 2 ( x - l )+ C.

2a -; c*+2*+5dx = 1 A z integrandust parcilis trtekre bont-

( x + 2 n x - i yjuk , majd az ismeretlen egy tthatkat az elbbi feladat megoldsa sorn

felhasznlt mindkt mdszerrel meghatrozzuk.2jca:*+2x+5 A A>(x+2y(x-l)o

2x^ -x +2x+5

x + 2 (x+2)> x - 1 (x -1)*

(x+2)(x-\)>

_ A i( x+2) ( x - 1)+^(a: - 1)2+Bi(jc- 1) (;r+2)+52(jc+2)* (a:+2)(x-1)

+ 5i(A:*A:>+4;:*4;c+4;:4)+5(;t+4jc+4) =

= (/4i+ Bi);^+(.4 2+35i+Bi)x*+ ( 3^i + 4B,)jc+

+ 2 A ^ + A i - A B ^ + A B ^ - ,

Az egytthatk egyeztetsbl add egyenletrendszer:

^1+ 5, = 2 I.

Ai + 3Bi+B^ = - \ II.3^12^2+402=2 III.

2^+^2-4Bi+4^2 = 5 IV.

Az els egyenletbl:

Ai= 2Bu I.

ezt behelyettestve:

3 1+52 1

6+3Bi2^2+4B2 = 2

4 Z B , + ^ 2 4 5 ,+ 4 ^ 2 = 5

A msodik egyenletbl:

35 i = - ^ - ^ 2 - 1 ^

ezt behelyettestve:

^2521 2^2+ 452= 8

2 2 + 252 + 2+^2 + 452 = 1

rendezve:

3523^2 = 93/^2+652 = 1

III.+IV.:

95, = 8; 52 = y .

16 193/a +y = l ; ^ a = y

II.

III.

IV.

II.

III.

IV.

III.

IV.

88 89

Visszahelyettestve Il.-be :

8 9 2 2

* 9 9 9 9 27

45 13= 2 ^ - 4 5 ,

68


45/166

* 9 9 9 9 27

Visszahelyettestve I.-be:

Teht a kapott egytthatk:

52 19 2

//. Megolds:

Az egytthatkat meghatrozzuk mg a nevez gykhelyeinek, ill.tetszleges msx rtkeknek behelyettestsvel is. Felrjuk jra a szmllkra add azonossgot:

2x -jc+2jc+ 5 =

A nevez gykei 1 s - 2 , ezrt legyen a:= 1, akkor

82 -1 + 2+5 = 952; 52== .

19Legyen x !, akkor 164 4 + 5 = 9/a; ^ 2=

Legyen jc=0, ill. x = - l (ezek mr tetszleges szmok); akkor

5 = 2i4i+y42 4J9i +452

2 1 2 + 5 = 4 ^ +4 .4 22 51 + 52

Behelyettestjk y4a s 5a rtkt, majd megoldjuk a ktismeretlenesegyenletrendszert:

5 = I.

76 80 = 4 ^ , - - - 2 5 , + ~ IL

68- = 4 ^ 1 - 2 5 ,

32

~9= 2 .4 i -45 i

68- = 4 >,- 25 ,

n.

L

IL

2 . L + IL:

5232 8 16 4 2 A - - + ^ ; ^ = -7 + 2 ^ = -

Az egytthatk teht

^ 52 19 2 8A - - ; f i i - - :

A feladat megoldsa:

2x - jc*+ 2j


46/166

jezs, azonban a konjuglt gykk gyktnyezinek szorzataegy vals msodfok gyktnyezt ad, amely nem bonthat felvals elsfok kifejezsek szorzatra. Ha a neveznek tbbsz-rs vals gyktnyezi, valamint egyszeres komplex gykt-nyezi vannak, vagyis a nevez gyktnyezs alakja

q(x) = (x -x i) * i. ..( x x,)*>-(x*+6ix + ci)...(x** + z>sx + cj).

akkor

P (x ) ^ A u . , y _ A _ ,

q{x) (xXi)' ;=i

Bi X+ C l B ^x + Cg + CjH 9 ! , H 5 ! f ! " I '

x ^ + b i x + ci x^ + b^ x + Ci x^ + b ,x + c,

Amennyiben a neveznek tbbszrs komplex gykei isvannak, vagyis a vals elsfok gyktnyezk szorzatra nembonthat msodfok gyktnyezknek egynl magasabb hatv-nya is szerepel, akkor a nevez:

q{x) = + + + +

s a parcilis trt alakja:

p ( x ) ^ A , , _ 45 A ,

q {x ) l ( x - X i ) ' f i i ( x - x , y +

k= i( x + b iX + Ci)' i t ( x^ + b , x + c , y '

Megj egy z s: A feladatokban az egytthatkat index nlklinagybetkkel jelljk.

szorzatv, hiszen az (ac+4) tnyez diszkriminnsa Z)


47/166

II.

.+II.:

50 510 = -hlB;

4 4

c = = ? 4 = o.

2a: * / *-d x /JC= ?

A nevez kt elsfok egyszeres gyktnyezt s egy elsfok tnyezkszorzatra nem bonthat msodfok egyszeres gyktnyezt tartalmaz.Vgezzk el a parcilis trtekre bontst:

A B Cx ^-D7 + ------7 + -

(x+l) (x-l)(x* +l) ~ x+1 x -1 x^+1*2x^

(^+1)(x-1) (a:*+1) ^

_ A jx -^ lK x ^ - ^ lH B ix - ^ D ix ^ + D + iC x+ D H x*-! )

(JC+1)(X1)(JC*+1)

2;c* = A{ j^-x^+x-\)+B{x^+x*+x+l)-hC(x^-x)-hD(x^-l );

2jc* = (^ + 5+C )jc+ (^+B +D)j c*+(^ +^C )jc^ + 5 i ).

Az egytthatk egyeztetsbl felrhat egyenletrendszer:

A + B - \ -C = 0 I.-A + B+D==2 II.

A + B - C = 0 III.

- A + B - D = 0 IV.

I.~III.

2C=0; C=0.

2 B - D = 0 IV.

1 14 ^ = 2 ; B = ; A = ----- ; D = 1.

2 2

A keresett egytthatk teht:

1 1^ = - y ; ^ = y ; C = 0 ; Z) = l.

Most meghatrozzuk az egytthatkat alkalmasan vlasztott jc rtkekbehelyettestsvel is:

2jc*= ^(;cl)(jc24l)f5(A:+l)Cv2fl) + (Cjc+Z))(A:2l).

Legyen a:=1 (az egyik vals gyk), akkor 2=4B;

Legyen x = - l (a msik vals gyk), akkor 2 = -4A; A =

Ezenkvl valasszuk mg x rtkt 0-nak s 2-nek. Ekkor

0 =- - A + B - D

8 = 5A + 5B^ 6C^ 3D

1 1

8 + 6C+3Z)2 2

D=1

3 = 6C+ 3; C=0.


r 2x r ( 1 1 1 1 I \l ' Y =

1 1= - In I.Y-I-11+ In a:l| + a rc tg jc+ C ==

1= y > n

X - 1

X - h l+ arc tgA -f C.

94 95

12. f d x = l A nevezben lev msodfok polinom nemJ (x^-2x+5Y

alakthat vals gyktnyezk szorzatv, mert az a'2 - 2x4-5 = 0 msodfok egyenlet diszkriminnsa negatv (Z) = 4 20 = 16). A trt nevezjben teh t ktszeres komplex gykk vannak

/ i = 3 r dx=J (x ^ - 2 x + 5 f

= 3 f ( 2 x - 2 ) ( x -2 x + 5 )- dx = ^ ----- +Cx.J x ^ 2 x + 5


48/166

jben teh t ktszeres komplex gykk vannak.

3x^ + 6 Ax-\ -B Cx-^D

(jc2-2 x + 5)2 (x^--2x-{-5f x^-2x-\-5 '

A jobb oldalon kzs nevezre hozunk, majd az egyenl fokszmtagok egytthati egyenlsgt felhasznlva felrjuk az ismeretlenA, C,Degytthatk egyenletrendszert.

3x + 6 JC+ B4(CxhZ))(x22jc+5)(x^-2x+5y ix^-2x+5YAx+B+Cx^ + Dx^ -2 C x ^ - 2Dx -h5 Cx ^5 D

(x^-2x^5fCx^+ iD-2C )x^ + (A + 5C-2D)x +5D-{- B

Az egyenletrendszer:

C = 0

D - 2 C = 3

A + 5C -2 D = 05D + B = 6

(x^-2x-\-5r

I.

II.

III.IV.

C=0, teht Il.-bl D=3, ezt a Ill.-ba helyettestve:

A - 6 = 0, vagyis A = 6.

AlV.-bl kapjuk: 154^5= 6, vagyis B = - 9 .

3x^ + 6 r 6 x - 9 . r 3( x ^ - 2 x + 5 y J ( x^ -2x-h5 f

-dx-\-2x + 5

-d x =

, f 2 x - l - \ , r

J (x -

2x+

5f

J (x ^- 2x + 5f J

(x^-2 x + 5f

2 x - 2

ix^-2x + 5f

2 x - 2

2x-h5

dx43

/ dx

{x -2x -5Y ' ' J x22x + 5Legyen

/ 2x-2 ^ c ------------------ dx, L = - 3 ---------

(x^-2x-i-5/ J (x^~:

/ dx2.v + 5)2

J x ^ - 2 x + 5

' " / l ddx

[{ x-iy +4Y

ezt x - l = u, dx=du helyettestssel alaktjuk t, majd az l.f) pontbanlevezetett rekurzis formulval hatrozzuk meg.

du

Mivel(2 + 4)2

/ dx{x + a f 1 x 1 X --------------- 1------arc tg h C,2a x^ ^a ^ 2a aezrt

3 u 3 u

3 x - \ 3 x - \

/dx I* i

x^ -2 x + 5 ^dx

( x - 1)^ + 4

Ezt is az jc 1 = w, dx=du helyettestssel alaktjuk t, majd figyelembevesszk, hogy

/ dx 1 X ^ ---------= a r c tg + C .x^ + a a a

/ du 3 u 3 x - 1 + C . .sszegezve a rszeredmnyeket, a feladat megoldsa:

3x* + 6. _ j x

J (x^ -dx =

-2JC+5

{x^-2x+5Y

3 3 x -1 3 x -1 3 x -1

? r T T ( T : i 7 5 i 6 " = ' * ~ + T

3 3 jc -1 21 x - 1

" ;c >- 2x +5 T x - 2 x + 5 16

9 67 Integrlszmts

97

13.J (jc- l)(jc* + 4)2

dx = l A nevezben egy vals gyktnyez

s egy ktszeres komplex gyktnyez van.A trtet parcilis trtek sszegre bontjuk:

= B - 7

B -5 D = - 2

- 2 0 D - B + 1 = 3.


49/166

p g j

2x^ -4x^ -hx-5 A Bx -h C D x+ E: + -T r -

(x-l)(x2-j.4)2 x -1 (x^+4y x^+4

A jobb oldalt kzs nevezre hozzuk, elvgezzk a kijellt mveleteket,majd az egyenl fokszm tagok egytthati egyenlsgbl felrhategyenletrendszert megoldjuk.

2 x ^ - 4 x ^ + x - 5i x - l ) ( x ^ + 4 y

A(x ^ + 4y + (B x + C ) (x - l )+ {D x + E ) (x ^ + 4 ) ( x - l )

(jc-l)(j c* + 4)2

2x^ -4x^ -hx-5 =

= Aix* + Sx^+16)-\-Bx^ + C x -B x -C + { D x + E ){x ^ + 4 x -x ^ -4 ) =

^ Ax^ + SAx^ +16A +B x ^ + C x -B x -C + D x * +Ex^+ 4/)jc*4-

+ 4 E x - D x ^ - E x ^ - 4 D x - 4 E = x*{A + D) + x^ {E -D ) +

+x \SA - \- B+ 4D -E)-{ -x (C -B + 4E -4 D) -\ -( \6 A- C -4E ) .

Az egytthatk egyenletrendszere:

y + Z) = 0 I.

E - D = 2 II.

%A + B + 4D -E = - 4 o III.

C - B + 4 E - 4 D = 1 IV.

1 6 A - C - 4 E = - 5 V.

D-\ kifejezzk A- t s E-t:

A = - D ; E = 2 + D ,

- S D + B + 4 D - 2 - D = - 4 III.

C - B + S + 4 D - 4 D = 1 IV.

-16Z)~-C-8 -4Z) = -5 V.

B S D = - 2 III.

C - B = - l IV.

- 2 0 / ) -C = 3 V.

A kt egyenletet sszeadjuk:

-25Z) = -6 , ebbl D =

6 6 10 4

^ = -I ^ -^ = T - T = - r

4 35 39C = ^ - 7

6 50 6 56

Az egytthatk:

6

25 - 1 . C - - ^ -

5 5 56

2 5

Az integrandus trzstnyezs felbontsa:

2 x ^ - 4 x ^ + x - 5

( x - \ ) { x ^ + 4 y

6 1

4 39 6 56

6 1 25^'*^

5 x ^ ^ (;t+4)* ;c+4

/

25 a : 1 5 (x + 4y

2 x ^ - 4 x ^ + x - 5

1 4JC+39 1 6JC+56+ -

25 Jc*+4

dx =

4JC+39 ^-----------dx +(jc*+4)* 25

6 p' dx 1 /

r _ ^ _ A f25J x -1 5J (jc*+4)> 5 J

g /dx+ 56

3 / 2x: 56 /

25 J x^ +4 25'

(x*+4)

56 /


50/166

/

/

2xdx

( x + 4 )

- = 7(jc*+4)*

A III. 1. pontban meghatroztuk az integrlt:

/dx \ X \ X

+ a rc tg +C s =( jc + 4 ) 2 . 4 jc> + 4 2 - 8

1 x 1 X

/

/

2*

J C + 4


51/166

= / (sinx - 2 cos*Xsin jc+cos*x sinx) dx=

= f s i n x d x - 2 fcos*xsinx d x + f cos* x sinx dx.

Mindhrom integrl kzvetlenl felrhat, mert az els aiapintegrl,a msik kett integrandusa pedig r ' ( x ) f ( x ) alak.

^ ^ COSJC COS*JCsm ^xd x = - c o s j c + 2 ----------- - + C =

2 1= -COSJV + COS*JC-----COS*JC+C.

3 . /cos*xsin*xrf;c = / cos*jc(l-cos*jc)* sinx/;c =

= /c0s*x(l~2c0s*jc+c0s*x)sinjcflx =

= /(c os* jv sin X2 cos* jc sin jc+cos*x sin ;c) dx =

cos* JC 2 cos* JC cosX= _ ^ _ _ ^ . c =

1 , 2 1= - y COS3 y COS*X----cos X+ C.

4. f cos"^xdx = f cos*xcosxdx = f ( \ - sin^ xy cosx dx =

= / ( I 3 sin* x + 3 sin* JCsin* jc) cos jcdx =

= / (cosx ~ 3 sin* cos 3 sin* jc cos x - sin*x cosx) dx =

= sinjc-sin jc + y sin j c - y sin jc-f C.

5. / sin*Xcos*x d x f sin* x cos* jc cosx d x -

= / sin* x( 1sin* jc)* cosx d x ^

sinX 2sina: sinx- + C =

3 5 7

= sin J C s in JCI s i n : c + C .3 5 7

Ha az integrandus mindkt szgfggvnyben pratlan hat

vny, akkor termszetesen teljesen mindegy, hogy melyiketalaktjuk t. Most erre oldunk meg feladatot.

6. / sinXcos x d x = 1 Mindkt mdszerrel meghatrozzuk azintegrlt.

I, Megolds:

f sin JCcosx d x = j sin^ xsin xcosx d x

= / (1 cos jc) cos X sin jc /jc = / (cos x sin x cos x sinx) dx =

cos^ X cos X 1 . 1 ^= ----- ------- 1------------h C = ----- cos^ xH cos x+ C.

4 6 4 6

II. Megolds:

/ sin X cosx d x = j sin x cos^ x co s x d x =

= / s i n x ( l s i n 2x ) c o s x d x = / (sin x c os x sin x cos x ) /x =

sin^ X sin x

= 6 ^ ^

c) sin "Xcos X alak integrandus. Ha az integrandusbanmindkt tnyez pros kitevj, akkor a ktszeres szgfgg-vnyekre tanult azonossgokat hasznlhatjuk fel az integrandustalaktsra:

sin cos a: = y s in zx ;

102 103

2 1 1 sinx = y ^c os2 x;

2 1 1 ocos'^x = :^+cos2x.

A msodik integrl integrandusa knn yen y '(,Y)/'(: ) alakra hozha t, ezrt

fsin 2a: cos 2a' d x = - ^ fsin 2a(2 cos 2x) d x =8 J 16 J


52/166

Gyakorl feladatok

7. J cosX dx 1 A harmadik azonossgot rva az integrandushelybe:

/ C ( \ 1 ^ sin2xcosx d x = / I

----cos 2x = h h C.

J \ 1 1 ) 2 4

8. / sin^^/^ = ? A msodik azonossgot felhasznlva kapjuk:

Jsinx d x =j 1 1 c o s 2 ,h ' -

sin 2jc-+ C .

9. J sin a: cosx dx = ^ Az integrandus elbb az els, majd a m-sodik azonossg felhasznlsval hozhat knnyen integrlhat alakra:

sin 2x/ fsin 2x 1 *( 1 1smx cosx d x = / dx = / I

J 4 4 J { 2 2cos 4x dx =

jc sin 4x~2 8~~

X sin 4x+ C = --------- ;----+C.8 32

10. J sinXcosx d x = J(sin a: cos jc)sin^x dx =

= fsin 2x { \ - 2cos 2x + cos 2x) d x =16 /

= fsin 2x d x ----- fsin 2x cos 2x /af fsin v cos 2x dx.\6J 8J 16J

Mindhrom integrlt kln szmtjuk ki.Az els integrl:

- fleJ sin 2 a: dx I1 1

Y cos 4x

1 / 1 / s in 4x '+ Q.

1 sin^ 2x 1

A harmadik integrl:

fsin 2a cos 2a: dx = f (sin 2x cos 2,y)dx =16*/ 16 J

1 r s \n4xY 1 /* ^ C ^ ^ \= / dx = / sin4 x d x = / cos 8x /y

16J { 2 ^ 64J 6 4J U 2 )

r 1 / si= ---- / (1 cos 8a ) dx = ---- 1jr

m J ^ 1 2 8 V

sin 8a' sin 8;c

1024

5a' sin 4.Y sin^ 2x sin Sx sin A' cos dx = T: + C,


ahol C1+ C .4 -C 3 = C.

1 1 . / s i n^ a: /a: = ?

1 2 8 1 2 8 48 1024

sin 2 a: V r 1 1 1 r / sin^ A' dx = /

, 2 ) C O S 2 . dx = Isin 2 x ( l cos 2xY dx =

16JJ J

= J*( l 2 cos 2 a:+ co s2x) dx

\ * 1= / 1 2 cos 2a + ---- 1---- cos 4.4 j y 2 2

1 r ^ 1 ^= / 2cos 2a^H cos 4a^I dx =

4 J \ 2 2 I

dx

( 3 2sin2A* sin4jf'j

3 1 1= X----- sin 2x-isin4A^fC.

8 4 32

104 105

12. + cos 2xj dx

= (1 + 2 cos 2^+cos2Ix ) dx =I

1+ sin X

1- cosx

1+

dx

2t

T^TT 2d t

1 - / * l - / *

* l +


53/166

( )

= J ' | l+ 2 c o s 2 ^ + Y + y cos4jcj dx =

= T / ( f -4-2 cos l x -\ cosAx2 dx =

W 3 2 sin2jv sin 4^ \

3 1 . 1= JC+ sin2x+ sin4jc+C.

2. Trigonometrikus fggvnyekltalnos alak racionlis kifejezsnek integrlja

A sinx, cos X, tgjc, valamint ctgx fggvnyek tetszleges/?(sinX,cos X, tg x, ctg x) racionlis kifejezse integrlhat. Mg-

pedig mindig clra vezet a ^= t g y helyettests, amelynek segt-

sgvel az integrandus racionlis (egsz vagy trt) kifejezsbe megy t ennek integrlsval az elz II., ill. III. fejezetben foglalkoztunk s ez mindig integrlhat.

bárczy barnabás - integrálszámítás

Documents