bağımlı kukla değişkenler öğr · bağımlı kukla değişkenler •bağımlı değişken...

Bağımlı Kukla Değişkenler

•Bağımlı değişken özünde iki değer alabiliyorsa yani bir özelliğin varlığı ya da yokluğu söz konusu ise bu durumda bağımlı kukla değişkenler söz konusudur.

•Bu durumdaki modelleri tahmin etmek için dört yaklaşım vardır:

-Doğrusal Olasılık Modeli

-Logit Modeli

-Probit Modeli

-Tobit Modeli

Doğrusal Olasılık Modeli

Yi = b1 + b2Xi +ui (1)

Yi= 1Eğer i. Birey istenen özelliğe sahipse(iki durumlu bağımlıdeğişken)

0 Diğer Durumlarda

Xi= Bağımsız değişken

Model, iki durumlu Y bağımlı değişkenini X’in doğrusal fonksiyonu olarak gösterir. Buna doğrusal olasılık modeli denir. Bu modele olasılıklı model denmesinin nedeni Y’nin X için şartlıbeklenen değerinin, Y’nin X için şartlı olasılığına eşit olmasıdır

E(Yi|Xi)=Pr(Yi=1| Xi)= b1 + b2Xi (2)

Basit doğrusal olasılıklı model şöyledir:

Olasılık 0 ile 1 arasında olduğundan aşağıdaki sınırlama daima geçerlidir:

0 ≤ E(Yi |Xi) ≤ 1

E(Yi |Xi)= b1 + b2Xi

2 nolu denklem şöyle ispatlanır:

Bilindiği gibi:

E(ui) = 0

Ayrıca

E(Yi|Xi)=Pr(Yi=1| Xi)= b1 + b2Xi (2)



E(Yi |Xi) = ΣYiPi=0.(1-Pi) + 1.(Pi) = Pi

E(Yi |Xi)= b1 + b2Xi = Pi

Beklenen değer tanımına göre

Yi Olasılık

0 1-Pi

1 Pi

Toplam 1

DOM Tahminindeki Sorunlar

ui hata teriminin normal dağılmayışı(binom dağılımlıdır)•Normallik varsayımının sağlanmaması durumunda tahmin ediciler sapmasızlıklarını korurlar.

•Nokta tahminde normallik varsayımı gözardı edilir.

•Örnek hacmi sonsuza giderken EKK tahmincileri çoğunlukla normal dağılıma uyarlar

•DOM ile yapılan istatistiksel çıkarsamalar normallik varsayımıaltındaki EKK sürecine uyarlar.

ui=Yi-b1-b2X (3)Yi=0 için ui=-b1-b2XYi=1 için ui=1-b1-b2X


Yi ui İhtimal=P(ui)0 -b1-b2X (1-Pi)1 1-b1-b2X Pi

2 2i 1 2 i 1 2 iVar(u ) ( b b X) (1 P ) (1 b b X) (P )= − − − + − −

i 1 2 1 2Var(u ) (b b X)(1 b b X)= + − −

i i i i iVar(u ) E(Y | X )[1 E(Y | X )] P (1 P )= − = −

ui hata teriminin değişen varyanslı olması:

u ların varyansı farklıdır . u’nun varyansı Y’nin X için şartlıolasılığına bağlıdır. u’nun varyansı X’in değerine bağlıdır ve eşit değildir.

Yi ui İhtimal=P(ui)0 -b1-b2X (1-Pi)1 1-b1-b2X Pi

2 2i 1 2 i 1 2 iVar(u ) ( b b X) (1 P ) (1 b b X) (P )= − − − + − −

i 1 2 1 2Var(u ) (b b X)(1 b b X)= + − −

ui hata teriminin değişen varyanslı olması:


0 ≤ E(Yi |Xi) ≤ 1 varsayımının yerine gelmeyişi:

Y tahminlerin 0’dan küçük ya da 1’den büyük çıkmasıdurumunda veri seti az ise 0’dan küçük değerlere “0”, 1’den büyük değerlere “1” değeri verilir. Eğer veri seti büyük ise gözlemler çıkartılabilir.

Belirlilik katsayısının güvenli olmaması:

Belirlilik katsayısı düşük çıktığından model seçiminde belirlilik katsayısı dikkate alınmaz.


Di = b1 + b2Mi +b3 Si +ui

Di= 1 Eğer i. Kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa

0 Diğer Durumlarda

Mi= 1 Eğer i. Kadın evliyse ve diğer durumlarda 0

Si = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim

Di Mi Si Di Mi Si

1 0 16 1 0 101 1 14 1 1 141 1 16 0 1 100 0 9 0 1 121 0 12 1 0 130 1 12 1 0 141 0 14 1 1 121 0 10 0 1 70 0 12 0 1 111 0 8 0 1 121 0 11 1 1 101 0 14 1 0 150 1 12 0 1 101 1 13 0 1 110 1 9 1 1 12

Kadının İşgücüne KatılımıModeli:

Di= 1 i.Kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa

0 Diğer Durumlarda

Mi= 1 i. Kadın evliyse

0 diğer durumlarda


Kadının İşgücüne KatılımıModeli

Di = b1 + b2Mi +b3 Si +ui

Dependent Variable: DI

Included observations: 30

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.284301 0.435743 -0.652452 0.5196

MI -0.381780 0.153053 -2.494430 0.0190

SI 0.093012 0.034598 2.688402 0.0121

R-squared 0.363455 Mean dependent var 0.600000

Adjusted R-squared 0.316304 S.D. dependent var 0.498273

S.E. of regression 0.412001 Akaike info criterion 1.159060

Sum squared resid 4.583121 Schwarz criterion 1.299179

Log likelihood -14.38590 F-statistic 7.708257

Durbin-Watson stat 2.550725 Prob(F-statistic) 0.002247

White Heteroskedasticity Test:F-statistic 1.759076 Probability 0.168742Obs*R-squared 6.589061 Probability 0.159265

Dependent Variable: RESID^2Included observations: 30Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.390620 0.700490 -0.557639 0.5821MI -0.410659 0.315325 -1.302336 0.2047MI*SI 0.036202 0.026225 1.380429 0.1797SI 0.132421 0.116635 1.135344 0.2670SI^2 -0.007102 0.004809 -1.476822 0.1522R-squared 0.219635 Mean dependent var 0.15277Adjusted R-squared 0.094777 S.D. dependent var 0.16180S.E. of regression 0.153942 Akaike info criterion -0.75347Sum squared resid 0.592452 Schwarz criterion 0.51994Log likelihood 16.30209 F-statistic 1.75907Durbin-Watson stat 1.963424 Prob(F-statistic) 0.16874

DOM’de Farklı Varyansı Önleme

ui hata teriminin değişen varyanslı olması:•Var(ui) = Pi(1-Pi)

1 2 i i

i i i i

b b X uYv v v v

= + +

i i i i iv E(Y | X )[1 E(Y | X )] P (1 P )= − = −

i i iˆ ˆv Y (1 Y )= −

Ancak burada anakütle değerleri

E(Yi |Xi)= Pi

bilinmediğinden, örnek tahmini ler hesaplanarak iYelde edilir.

DOM’de Farklı Varyansı Önleme

Dependent Variable:



-0.184154 0.316834 -0.581231 0.5659

-0.362893 0.135229 -2.683551 0.0123

0.081678 0.022231 3.674022 0.0010







i 1 2 i 3 i iD v b v b M v b S v u v= + + +D / v

1/ vM / v

S/ v

UYGULAMA:Cep telefonunun kullanılıp kullanılmamasını ifade eden bağımlı kukla değişken 50 kişiye yapılan anket sonuncunda yaş ve aylık ortalama gelir ile açıklanmıştır.(Y=1, cep telefonuna sahip ise, Y=0 cep telefonuna sahip değilse)

Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş) Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş)1 1 250 23 26 0 185 212 1 350 21 27 1 250 213 0 150 23 28 1 500 214 1 600 22 29 1 790 235 1 200 22 30 1 500 226 0 150 20 31 1 675 227 1 390 27 32 1 490 228 0 200 18 33 1 500 21

9 0 900 25 34 1 760 2110 0 150 18 35 1 550 2611 0 255 18 36 1 400 2412 0 300 20 37 1 200 2113 1 640 25 38 0 220 2114 1 500 27 39 1 175 2315 1 300 22 40 1 840 2116 0 550 19 41 1 150 2317 1 800 18 42 1 200 2318 1 875 21 43 1 200 2319 0 600 17 44 1 485 2320 0 500 20 45 1 250 2121 0 500 19 46 1 300 2022 1 500 21 47 1 470 1923 1 550 22 48 1 800 2324 1 750 21 49 0 250 2125 1 225 23 50 0 130 23

Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 50

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.373086 0.585035 -2.347017 0.0232X 0.000492 0.000259 1.900372 0.0635Z 0.086130 0.026781 3.216041 0.0024

R-squared 0.240106 Mean dependentvar0.700000Adjusted R-squared 0.207770 S.D. dependent var0.462910S.E. of regression 0.412024 Akaike info criterion1.122653Sum squared resid 7.978889 Schwarz criterion 1.2373Log likelihood -25.06633 F-statistic 7.425357Durbin-Watson stat 1.552777 Prob(F-statistic)0.001577

White Heteroskedasticity Test:F-statistic 2.305076 Probability 0.060504Obs*R-squared 10.37848 Probability 0.065195

Dependent Variable: RESID^2Included observations: 50Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.341377 2.147612 1.090224 0.2815X -0.004404 0.001530 -2.878146 0.0062X^2 1.63E-06 6.58E-07 2.475147 0.0172X*Z 0.000132 6.84E-05 1.927924 0.0603Z -0.116457 0.191111 -0.609369 0.5454Z^2 0.001301 0.004396 0.295915 0.7687R-squared 0.207570 Mean dependent var0.159578Adjusted R-squared 0.117521 S.D. dependent var 0.225222S.E. of regression 0.211574 Akaike info criterion -0.156314Sum squared resid 1.969602 Schwarz criterion 0.073128Log likelihood 9.907860 F-statistic 2.305076Durbin-Watson stat 2.375111 Prob(F-statistic) 0.060504

Kişi Kişi Kişi Kişi1 0.7308 16 0.5338 31 0.8536 46 0.49702 0.6077 17 0.5705 32 0.7627 47 0.49443 0.6817 18 0.8658 33 0.6815 48 1.00124 0.8167 19 0.3861 34 0.8093 49 0.55865 0.6201 20 0.5953 35 1.1367 50 0.67186 0.4233 21 0.5092 36 0.89077 1.1442 22 0.6815 37 0.53408 0.2756 23 0.7922 38 0.54389 1.2226 24 0.8044 39 0.6939

10 0.2510 25 0.7185 40 0.848611 0.3026 26 0.5266 41 0.681712 0.4970 27 0.5586 42 0.706213 1.0948 28 0.6815 43 0.706214 1.1982 29 0.9963 44 0.846315 0.6693 30 0.7676 45 0.5586

Y∧

Y∧

Y∧

Y∧

Dependent Variable: Method: Least Squares

Included observations: 50Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

0.211853 0.604622 0.350388 0.7276-0.000120 0.000249 -0.481933 0.63210.029798 0.023603 1.262427 0.2130

R-squared 0.769835 Mean dependent var 2.679190Adjusted R-squared 0.760041 S.D. dependent var 3.426238S.E. of regression 1.678363 Akaike info criterion 3.931639Sum squared resid 132.3944 Schwarz criterion 4.046361Log likelihood -95.29098 F-statistic 78.60087Durbin-Watson stat 1.419773 Prob(F-statistic) 0.000000

1/ v

Y / v

X / vZ / v

DOM’e Alternatif Model Arama

•DOM ile ilgili sayılan sorunların hepsi bir şekilde aşılabilir

•Ancak, DOM

Pi=E(Y=1|X) olasılığının X’le doğrusal olarak arttığınıvarsayar. Yani X’deki marjinal veya küçük bir artış hep sabittir. Gerçek hayatta ise bu beklenen bir durum değildir.

•DOM ile ilgili sorunlar şu iki özellik sayesinde aşılabilir:

1.Xi arttıkça Pi=E(Y=1|X)’de artar ancak 0 ile 1 aralığının dışına çıkmaması istenir,

2.Pi ile Xi arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması istenir.

DOM’e Alternatif Model AramaYukarıdaki özelliği taşıyan modelin şekli aşağıda verilmiştir:

0

1P

-∞ +∞X

KDF

•Yukarıdaki eğri kümülatif dağılım fonksiyonuna benzemektedir.

•Bu fonksiyon bağımlı kukla değişkenli regresyon modellerinde kullanılabilir.

Logistik Dağılım Fonksiyonu

i

i

P 1 1.1-P 1

zz

z z

e ee e

−

− −

+= =

+

1 2 ii (b b X )

1P =E(Y=1|X)1 e− +=+

11 iZe−=+

i1 1 11 - P 1

1 1 1

i i

i i i

z z

z z ze e

e e e

− −

− − −

+ −= − = =

+ + +

Bahis ya da olabilirlik oranı

Zi = b1 + b2Xi

Logit Model

•Zi, -∞ ile +∞ arasında değerler alırken Pi’nin aldığı değerler ise 0 ile 1 arasında değişmektedir.

•Zi ile Pi arasındaki ilişki doğrusal değildir.

1 2ln1

ii i

i

PL Z b b XP

⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥−⎣ ⎦

Kümülatif logistik fonksiyon

Li fark oranı logaritması olup hem X hem de bi parametrelerine göre doğrusaldır.

Logistik modelde b2 katsayısı, X’deki bir birimlik artışın L’de(yani ev sahibi olma lehine fark oranında ) yapacağı artışı gösterir.

Logit Model

Logit Modelin Özellikleri

Pi=1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 0

1ln11

1lnP1

Plni

i = +∞

Pi=0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1

0ln01

0lnP1

Plni

i= -∞

1. Pi, 0’dan 1’e kadar değer aldığında, Logitte -∞ile +∞ arasında değer alır.

2. Logit, X’e göre doğrusal iken olasılıklara göre değildir.

3. Logit modelin b2 katsayısı şu şekilde yorumlanır: Bağımsız değişkendeki bir birimlik değişme karşısında Logitteki değişmeyi gösterir.

4. Logit model tahmin edildikten sonra, X bağımsız değişkeninin belirli bir değeri için logitin gerçekleşme olasılığı hesaplanabilir.

Logit Modelin EKKY İle Tahmini

1.Adım: olasılıkları hesaplanır.i i iP n N=

2.Adım: fark oranı logaritmaları hesaplanır.i i iL ln(P 1 P )= −

3.Adım: orijinal lojistik modeli tahminlenir.i 1 2 i iL b b X u= + +

i i i iL ln[n (N n )]= −

Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir.iv

i 1 2 i iL b b X u= + + i i i iv N P (1 P )= −

Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir.

iv

i i 1 i 2 i i i iv L b v b v X v u= + +

Logit Modelin EKKY İle Tahmini

* *1 i 2 i iL b v b X w= + + Dönüşümlü veya Tartılı

EKK Lojistik Modeli

i i i iv N P (1 P )= −

i i iw u v=

Logistik Model Uygulaması300 aileden oluşan küçük bir kasabada ailelerin, yıllık gelirleri (Xi) ve ev sahibi olanların sayısı (ni) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

XMilyon TL)

Aile Sayısı=Ni

Ev Sahibi Olan Aile Sayısı=ni

Nispi Frekanslar

Pi=ni/Ni

12 20 5 0.2516 25 6 0.2420 35 10 0.2826 45 15 0.3330 50 25 0.5040 34 18 0.5350 30 20 0.6660 26 16 0.6170 20 15 0.7580 15 10 0.67

ΣNi = 300 Σni = 140

Logistik Model UygulamasıXi

112162026304050607080

Ni

220253545503430262015

ni

356

1015251820161510

Pi

4=3/20.250.240.280.330.500.530.660.610.750.67

1-Pi

5=1-40.750.760.720.670.500.470.340.390.250.33

Pi /1- Pi

6=4/50.330.310.390.491.001.131.941.563.002.03

Li

7=ln(6)-1.1086-1.1712-0.9416-0.71330.00000.12220.66260.44461.09860.7080

Logistik Model Uygulaması

Dependent Variable: L

Method: Least Squares



C -1.409706 0.215776 -6.533192 0.0002

X 0.032669 0.004667 7.000011 0.0001

R-squared 0.859649 Mean dependent var -0.089870





Durbin-Watson stat 1 .582165 Prob(F-statistic) 0.000113

Logistik Model Uygulamasıv=N.P.(1-P)

8=2.4.53.754.567.059.95

12.508.476.736.183.753.31

√vi

9= √81.93652.13542.65523.15433.53552.91032.59422.48591.93651.8193

L*10=7.9-2.1468-2.5009-2.5001-2.49990.00000.35561.71891.10522.12741.2880

X*11=1.923.237934.166653.103682.0134

106.0660116.4130129.7112149.1576135.5544145.5472

Logistik Model Uygulaması

Li*= -1.38056 √vi + 0.03363 Xi

*, s= 0.8421

s(bi): (0.2315) (0.00556) , R2= 0.80

t= (-5.9617) (6.0424) , d= 1.649, F= 36.95

Gelir bir birim arttığında ev sahibi olma lehine fark oranının logaritması 0.033 artmaktadır.

Bu fark oranından hareketle belli bir gelir düzeyinde ev sahibi olma olasılığı bulunabilir:

X=40 ise

Li*= -1.38056 (2.9103) + 0.03363 (116.413)=-0.10288

antilog(-0.10288))=0.9022

(P/1-P)=0.9022 ise P=0.4743

40 birim gelirli bir ailenin ev sahibi olma olasılığı%47.43’dür.

Logistik bir modelde belli bir gelir düzeyinde, gelirdeki bir birim artışın ev sahibi olma olasılığını ne ölçüde arttıracağı tahmin edilebilir:

b2(1-P)P formülünden

X=40 iken

gelir bir birim daha arttığında ev sahibi olma olasılığı

(0.03363)(1-0.4743).0.4743=0.00838

Probit Model

12

0 2 22

πσμ σ

−∞− −∫

Z Ze z( ) /F(z)= P R O B İ T (NORMAL) MODEL

FAYDA İNDEKSİ Ii= b1 + b2 Xi

Ii* ≤ Ii ifadesi faydanın belli bir eşik değerinden sonra söz konusu olabileceğini

gösterir.

Normal dağılım varsayımıyla Ii* ın Ii den küçük veya eşit olma ihtimali şu

standartlaştırılmış normal KDF ile hesaplanabilir:

Pi=Pr(Y=1)=Pr(Ii*≤ Ii)=F(Ii)

=π ∫ ∞−

−i 2I 2/t dte21 1

2

2 21 2π

e dttb b Xi −−∞

+∫ /

Probit Model

0

1Pi=F(Ii)

-∞ +∞

0

1Pi=F(Ii)

-∞ +∞

Pi

Ii= b1 + b2 Xi

Pi

Ii=F-1(Pi )

Ii verilmişken, ordinatta Pi ihtimali bulunur

Pi verilmişken, absiste Ii bulunur.

Probit Modelin Tahmin Aşamaları1. Pi= ni/Ni hesaplanır.

2. Ii = F-1 (Pi)= normal eşdeğer sapma bulunur.

3. Ii = b1 + b2 Xi + ui EKK ile tahmin edilir.

4. İstenirse, Ii yerine, (Ii + 5)=probit değerleri alınarak, EKKY ile (13.19) tahmin edilir.

5. modelinin hata terimi ui farklı varyanslıdır. Bu sebepten dönüşümlü değerler alınarak TEKKY uygulanabilir:=

=σ2u

P PN f

i i

i i

( )1− fi= F-1 (Pi) ifadesine eşit standart normal yoğunluk fonksiyonudur.

6. Büyük örnekler için bi'lerin güven aralıkları ve hipotez testleri uygulanarak, anakütlede durumun geçerliliği araştırılabilir.

7. Belirlilik katsayısı R2, modelin fonksiyonel biçiminin iyi seçilip seçilmediği konusunda bize fikir vermez.

Probit Model Uygulaması

Pi

0.250.240.280.330.500.530.660.610.750.67

Ii=F-1(Pi)-0.6745-0.7063-0.5828-0.43990.00000.07520.41240.27930.67450.4399

Probitler=Zi=(Ii+5)4.32554.29374.41724.56015.00005.07525.41245.27935.67455.4399

Xi12162026304050607080


Ii= -0.8587 + 0.0200 Xi , r2= 0.8628 r= 0.9289

s(bi) (0.0028) s= 0.2 d= 1.59

t= (7.094)

Zi= 4.1324 + 0.0201 Xi , r2= 0.8621 r= 0.9285

s(bi) (0.0028) s= 0.2 d= 1.5637

t= (7.071)


Ii= -0.8587 + 0.0200 Xi , r2= 0.8628 r= 0.9289

X =12 için Ii = -0.62 ve P = 0.26

X =30 için Ii = -0.26 ve P = 0.39

Wooldridge Example 17.1

inlf kidslt6 kidsge6 age educ exper nwifeincexpersq

Obs: 753

1. inlf =1 işgücüne katılıyorsa2. kidslt6 6 < yaşında küçük çocuk sayısı3. kidsge6 6-18 yaşları arasındaki çocuk sayısı4. age kadının yaşı5. educ eğitim yılı6. exper deneyim7. nwifeinc (ailegeliri – ücret*saat)/10008. expersq deneyimkare

Wooldridge Example 17.1-DOMDependent Variable: INLF

Method: Least Squares Included observations: 753


NWIFEINC -0.003405 0.001448 -2.350840 0.0190

EDUC 0.037995 0.007376 5.151194 0.0000

EXPER 0.039492 0.005673 6.961866 0.0000

EXPERSQ -0.000596 0.000185 -3.226959 0.0013

AGE -0.016091 0.002485 -6.476014 0.0000

KIDSLT6 -0.261810 0.033506 -7.813888 0.0000

KIDSGE6 0.013012 0.013196 0.986077 0.3244

C 0.585519 0.154178 3.797683 0.0002







Wooldridge Example 17.1-LOGİTDependent Variable: INLF Method: ML - Binary Logit Included observations: 753

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

NWIFEINC -0.021345 0.008421 -2.534621 0.0113

EDUC 0.221170 0.043440 5.091443 0.0000

EXPER 0.205870 0.032057 6.422002 0.0000

EXPERSQ -0.003154 0.001016 -3.104093 0.0019

AGE -0.088024 0.014573 -6.040235 0.0000

KIDSLT6 -1.443354 0.203585 -7.089695 0.0000

KIDSGE6 0.060112 0.074790 0.803750 0.4215

C 0.425452 0.860369 0.494500 0.6210

Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630



Log likelihood -401.7652 Hannan-Quinn criter. 1.107280

Restr. log likelihood -514.8732 Avg. log likelihood -0.533553

LR statistic (7 df) 226.2161 McFadden R-squared 0.219681

Probability(LR stat) 0.000000

Obs with Dep=0 325 Total obs 753

Obs with Dep=1 428

Wooldridge Example 17.1-PROBİTDependent Variable: INLF Method: ML - Binary Probit Included observations: 753


NWIFEINC -0.012024 0.004840 -2.484327 0.0130

EDUC 0.130905 0.025254 5.183485 0.0000

EXPER 0.123348 0.018716 6.590348 0.0000

EXPERSQ -0.001887 0.000600 -3.145205 0.0017

AGE -0.052853 0.008477 -6.234656 0.0000

KIDSLT6 -0.868329 0.118522 -7.326288 0.0000

KIDSGE6 0.036005 0.043477 0.828142 0.4076

C 0.270077 0.508593 0.531027 0.5954









Obs with Dep=1 428

Regresyon Katsayılarının En Çok Olabilirlik Tahminleri

EKKY dışında en çok kullanılan alternatif bir yöntem En Çok

Olabilirlik Yöntemi’dir. Büyük örneklerde her iki yöntemde

yakın sonuçlar vermektedir. Küçük örneklerde ise En Çok

Olabilirlik Yönteminde s2 sapmalıdır. Oysa EKKY’de s2

sapmasızdır.

9

Y’lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları.

X

Y

Xi

β1

β1 + β2Xi

Y = β1 + β2X

2

21 21

21)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−= σ

ββ

πσ

ii XY

i eYf


10

Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir.

2

21 21

21)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−= σ

ββ

πσ

ii XY

i eYf

2

212

21

1

211211

21...

21)(...)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−××=×× σ

ββσββ

πσπσ

nn XYXY

n eeYfYf


11

Olabilirlik fonksiyonunu β1, β2 ve σ ya göe kısmi türevlerini alarak en çok olabilirlik tahminlerini elde edebiliriz.,

2

21 21

21)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−= σ

ββ

πσ

ii XY

i eYf

2

212

21

1

211211

21...

21)(...)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−××=×× σ

ββσββ

πσπσ

nn XYXY

n eeYfYf

( )2

212

21

121

211211

21...

21,...,|,,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−××= σ

ββσββ

πσπσσββ

nn XYXY

n eeYYL


12

2

21 21

21)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−= σ

ββ

πσ

ii XY

i eYf

2

212

21

1

211211

21...

21)(...)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−××=×× σ

ββσββ

πσπσ

nn XYXY

n eeYfYf

( )2

212

21

121

211211

21...

21,...,|,,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−××= σ

ββσββ

πσπσσββ

nn XYXY

n eeYYL

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛××=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−2XY

212XY

21 n21n1211

e2

1...e2

1lnLln σββ

σββ

πσπσ


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛××=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−2XY

212XY

21 n21n1211

e2

1...e2

1lnLln σββ

σββ

πσπσ

221i2 XY

212ln

2nln

2nLln ∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−−−=σ

ββπσ

( ) ( ) 01XY2*21Lln

221i

1=−∑ −−

−=∂∂

σββ

β∑ ∑+= i21i XnY ββ

( ) ( ) 0XXY2*21Lln

i2i21i

2=−∑ −−

−=∂∂

σββ

β∑ ∑+∑= 2

2i1ii iXXYX ββ


( )4

221i

22XY*2*

211

2nLln

σσββ

σσ∑ −−

−−=∂∂

( ) 0XYnLln3

221i

2

2 =∑ −−+−=

∂∂

σββσ

σ

( )n

XY 221i2 ∑ −−

=ββσ


Örnek

Kadının İşgücüne KatılımıModeli:

Di= 1 i.Kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa

0 Diğer Durumlarda

Mi= 1 i. Kadın evliyse

0 diğer durumlarda


Ai= i. Kadının Yaşı

Logit Model TahminleriDependent Variable: DI

Method: ML - Binary Logit


Convergence achieved after 5 iterations

Covariance matrix computed using second derivatives


C -5.895933 3.324731 -1.773356 0.0762

MI -2.586110 1.180162 -2.191318 0.0284

SI 0.690368 0.315828 2.185899 0.0288









Obs with Dep=1 18

UYGULAMA: Kasımpatı yaprak bitkilerini öldüren bir ilaçtan 1 Ltsuya konan dozlar (X, Miligram), yaklaşık 50cl.’lik bit grupları(Ni) üzerine sıkılmış ve ölen bit sayısı (ni) aşağıdaki gibi tesbit edilmiştir:

Doz(Litre başına mg) XGruplardaki yaprak

biti sayısı (Ni)Ölen (ni) Li

2.6 50 6 ‐1.993.8 48 16 ‐0.695.1 46 24 0.097.7 49 42 1.7910.2 50 44 1.99

Bu verilerle ilgili Logit tahmin modeli aşağıdaki gibidir:

Dependent Variable: LIMethod: Least SquaresIncluded observations: 5

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -2.850133 0.602091 -4.733723 0.0179X 0.525044 0.092785 5.658686 0.0109

bir ilaçtan 1 Lt suya konan dozlar (X, Miligram),

50cl.’lik bit grupları(Ni)

ölen bit sayısı (ni)

a) Katsayı tahminlerini yorumlayınız

b) X=7.7 miligram doz seviyesinde ölüm ihtimali P’yihesaplayınız.

ii

i

PL ln( ) 2.85 0.525X1 P

= = − +−

ii

i

PL ln( ) 2.85 0.525(7.7) 1.1921 P

= = − + =−

i

i

Pln( ) 1.19251 P

=−

i

i

P 2.831 P

=− iP 0.739=

UYGULAMA: Aşağıda bir okulun eğitimi ile ilgili verileri kullanarak Probit denklemini çıkartınız.

GRADE: Yeni bir tekniğin uygulanması sonucu öğrencilerin elde ettiği başarıPSI: Yeni Öğretme YöntemiGPA: Çocuğun Ortalama DerecesiTUCE: Sınav Öncesi Konu ile ilgili Bilgi SKoru

Dependent Variable: GRADEMethod: ML - Binary ProbitIncluded observations: 32Convergence achieved after 5 iterations

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -7.452320 2.542472 -2.931131 0.0034GPA 1.625810 0.693882 2.343063 0.0191PSI 1.426332 0.595038 2.397045 0.0165TUCE 0.051729 0.083890 0.616626 0.5375

GRADE: Yeni bir tekniğin uygulanması sonucu öğrencilerin elde ettiği başarıPSI: Yeni Öğretme YöntemiGPA: Çocuğun Ortalama DerecesiTUCE: Sınav Öncesi Konu ile ilgili Bilgi Skoru

Dependent Variable: GRADEMethod: ML - Binary LogitSample: 1 32

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -13.02135 4.931317 -2.640541 0.0083GPA 2.826113 1.262940 2.237726 0.0252PSI 2.378688 1.064563 2.234426 0.0255TUCE 0.095158 0.141554 0.672235 0.5014

GRADE: Yeni bir tekniğin uygulanması sonucu öğrencilerin elde ettiği başarıPSI: Yeni Öğretme YöntemiGPA: Çocuğun Ortalama DerecesiTUCE: Sınav Öncesi Konu ile ilgili Bilgi SKoru

bağımlı kukla değişkenler öğr · bağımlı kukla değişkenler •bağımlı değişken...

Documents