balansarea sistemelor neliniare real pozitive/marginite ... · pdf fileproblema aproximarii...

Reducerea dimensionala a sistemelor dinamice

Trunchierea balansata a sist. nelin. real pozitive/marginite

Valorile singulare pasive invariante ale unui circuit RL

Balansarea sistemelor neliniare real

pozitive/marginite - o abordare pe baza de

functii de controlabilitate si observabilitate

Tudor C. Ionescu, Kenji Fujimoto∗ & Jacquelien Scherpen∗∗

∗ Univ. Kyoto JP∗∗ Univ. din Groningen NL

ACSE, UPB

5 nov. 2015

TC Ionescu, K Fujimoto & JMA Scherpen Balansarea sistemelor neliniare real pozitive/marginite




Cuprins

1 Reducerea dimensionala a sistemelor dinamice

Motivatie

Metode de aproximare existente

Metoda propusa

2 Trunchierea balansata a sist. nelin. real pozitive/marginite

Recapitulare: trunchierea balansata a sistemelor stabile

Functii energetice sub forma controlabila si observabila

Functii energetice si factorizari coprime

Aproximari balansate care pastreaza disipativitatea

3 Valorile singulare pasive invariante ale unui circuit RL

Modelul unui circuit RL

Valorile singulare





Motivatie


Metoda propusa


Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare





Motivatie


Metoda propusa

Problema aproximarii sistemelor dinamice





Motivatie


Metoda propusa

Necesitate

Applicatii: sisteme mecanice, circuite electrice neliniare power

systems, procese de incinerare a deseurilor, etc.

Exemplu

modelul unui generator→ 8 stari = 6 curenti + 1 pozitie

unghiulara + 1 viteza unghiulara;

dificil de analizat (greu de determinat pasivitatea), greu de

controlat;

sistem energetic = numar mare de generatoare

interconectate prin linii de transmisie⇒ model neliniar

complex.





Motivatie


Metoda propusa

Aproximare neliniara

Este nevoie de o aproximare care sa pastreze proprietatile si

structura sistemului, e.g., pasivitate, topologie (daca ∃).Aproximarea neliniara obtinuta poate fi analizata si simulata cu

eforturi de calcul mai mici. Se poate aplica control neliniar, e.g.,

Control Bazat pe Pasivitate (PBC).





Motivatie


Metoda propusa

Problema generala de aproximare neliniara

Problema. Dandu-se un sistem dinamic descris de ecuatia

x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (1)

unde x(t) ∈ Rn, x(0) = x0 ∈ R

n este starea sistemului, u(t) ∈ Rm este

intrarea si y(t) ∈ Rp este iesirea sistemului ın timpul t > 0, sa se gaseasca

un alt sistem

˙x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (2)

cu x(t) ∈ Rr , y(t) ∈ R

p astfel ıncat

r ≪ n,

sistemul (2) pastreaza structura/proprietatile sistemului (1) pentru un

scop bine determinat, e.g., sinteza unui anumit tip de regulator,

sistemul (2) aproximeaza sistemul (1) ın conditii date si cu o eroare mai

mica decat o limita data,

sistemul (2) este usor de calculat.





Motivatie


Metoda propusa


Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare





Motivatie


Metoda propusa

Metode pentru sisteme liniare

Metode bazate pe descompunerea valorilor singulare:

trunchierea balansata, aproximarea ın norma Hankel.

Procedeu: eliminarea dinamicii ”greu” de controlat si ”greu”

de observat coresp. v. s. Hankel mici. Avantaje: pastreaza

automat stabilitatea, margine de eroare apriorica. Extinse

la cazurile real pozitiv si real marginit. Dezavantaj: dificil

de calculat.

Metode de potrivire de momente← interpolarea functiei de

transfer. Procedeu: proiectarea sistemului pe un subspatiu

Krylov. Avantaje: metode eficiente de calcul, utilizate pe

scara larga. Dezavantaje: imposiblitatea de a cuantifica

eroarea.

POD, Analiza modala, etc.





Motivatie


Metoda propusa

Cazul neliniar

Trunchierea balansata. Procedeu: crearea unei structuri

de tip functii de tip valori singulare Hankel invariante pe

baza careia se neglijeaza dinamica ”greu” de controlat si

de observat. Avantaje: pastreaza stabilitatea, teorie

completa. Dezavantaje: aproape imposibil de calculat la

dimensiuni mai mari, nu exista cuantificare a erorii.

Potrivire de momente ın domeniul timp. Procedeu:

Momente = raspuns permanent (daca ∃)⇒ potrivirea

raspunsului permanent la o intrare prestabilita. Avantaje:

rezulta o familie de modele, din care se poate alege

modelul corespunzator problemei de analiza si control

dorita.





Motivatie


Metoda propusa


Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare





Motivatie


Metoda propusa

Contributie

Formularea problemei trunchierii echilibrate a sistemelor

neliniare real pozitive si real marginite cu pastrarea acestor

proprietati.

Problema este reformulata ca trunchiere balansata clasica

(de tip neglijarea dinamicii valorilor singulare Hankel mici)

pe baza functiilor de controlablitate si observabilitate ale

unor sisteme extinse sau factorizate.

Solutiile acestei probleme sunt modele neliniare de

dimensiuni mai mici real pozitive/marginite← pastreaza

automat structura.





Motivatie


Metoda propusa

Background

Teoria realizarilor de stare liniare este destul de completa, ınca

din anii 70.

Realizari balansate si Gramieni (Moore 1981, . . .).

Studiul echilibrului ıntre efortul energetic pentru control

unei stari ın trecut si aportul energetic al starii respective

din viitor.

Operator Hankel, valori singulare Hankel (invarianti),

perpectiva intrare-iesire, i.e., valorile singulare Hankel

masoara cat de controlabila si cat de observabila este o

stare data.

Metode analitice bazate pe extinderea la cazul neliniar a

trunchierii balansate [Verriest & Gray, 2000; Scherpen, Fujimoto & Gray

din 1993 ıncoace].





Motivatie


Metoda propusa

Background - prezervarea structurii sistemelor

liniare

Interes crescut pentru metode de reducere dimensionala

care pastreaza proprietati fizice sau structurale, e.g.,

Antoulas, Sorensen, Brenner, Ha Bin Minh/Trentelman, Meyer, ... .

Interes major ın interpretarea fizica a rezultateor, i.e.,

structura port-Hamiltoniana, sisteme de ordinul doi, e.g.,

Oelof/van der Schaft, Meyer, Polyuga/van der Schaft, ...

Pastrarea structurii ın bucla ınchisa pentru control optimal,

e.g., Weiland, ...










Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare









Sisteme liniare stabile. Operator Hankel

Operatorul Hankel H : Lm2 [0,∞)→ Lm

2 (0,∞), H(u) = S ◦ F(u)cu S : u → y functie intrare-iesire stabila BIBO, (A,B,C)realizare de stare, si operatorul inversarii timpului

F : Lm+2 → Lm−

2 .

H∗H este compact si auto adjunct unde σi sunt valorile

singulare Hankel, i.e., σ2i sunt valorile proprii ale H∗H si ale

MW , cu W ≥ 0 si M ≥ 0 Gramienii de controllabilitate si

observabilitate.

(A,B,C) minimal si as. stabil⇒ ∃ coordonate a.ı.

Σ := M = W =

σ1 0. . .

0 σn

σ1 ≥ ... ≥ σn > 0valorile singulare Hankel.Forma balansata.









Cazul sistemelor neliniare as. stabile

Sistem neted

x = f (x) + g(x)u

y = h(x)

unde u ∈ Rm, y ∈ R

p, si x ∈ M (varietate de dim. n).

Ipoteze de lucru:

f (0) = 0, 0 echilibru as. stabil pentru u = 0, x ∈ X .

h(0) = 0.

Functia de controlabilitate Lc si functia de observabilitate

Lo exista si sunt netede.









Functiile de controlabilitate si observabilitate

Lc(x0) = minu∈L2(−∞,0)

1

2

∫ 0

−∞

‖ u(t) ‖2 dt , x(−∞) = 0, x(0) = x0

Lo(x0) =1

2

∫

∞

0

‖ y(t) ‖2 dt , x(0) = x0 u(τ) = 0, 0 ≤ τ <∞

Cazul liniar: Lo(x) =12xT Mx si Lc(x) =

12xT W−1x .

Lo si Lc solutiile ecuatiilor Lyapunov si, respectiv,

Hamilton-Jacobi-Bellmann neliniare.

Observatie

Solutiile sunt unice si pozitiv definite ın ipoteze specifice de

controlabilitate si observabilitate neliniare. Nu sunt neaparat

echivalente cu cele liniare.









Realizari balansate neliniare

In ipoteze corespunzatoare exista

local (ıntr-o vecinatate a lui zero) x = Φ(z) a.ı.

Lc(Φ(z)) =1

2

n∑

i=1

z2i

σi(zi )Lo(Φ(z)) =

1

2

n∑

i=1

z2i σi(zi).

In particular, pe X , ‖Σ‖H = supz1

Φ(z1,0,...,0)∈X

σ1(z1).

Functiile de valori singulare sunt unice pe axele de

coordonate.

Instrument pentru trunchierea balansata cu proprietati.

Varianta discreta ın Fujimoto, Scherpen 2007.










Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare









Sisteme neliniare disipative

Consideram sistemul neliniar neted Σ

x = f (x) + g(x)uy = h(x) + d(x)u

,

x ∈ Rn, u ∈ R

m, y ∈ Rp.

Ipoteze de lucru:

controlabilitate si observabilitate de tip neliniar in jurul lui 0.

f (0) = 0.

h(0) = 0.









Sisteme neliniare dispative

Definitie

Σ este disipativ cu rata de alimentare s(u, y), daca ∃ functia

energetica de stocare S : Rn → R, S(x) ≥ 0, a.ı. are loc

inegalitatea de disipare

S(x0) +

∫ t1

t0

s(u, y)dt ≥ S(x1),

∀x , u si t1 ≥ t0, cu x0 = x(t0) si x1 = x(t1).

Varianta diferentiala:∂S(x)

∂x(f (x) + g(x)u) ≤ s(u, y).

Ipoteza:

∃ ϕ(·), a.ı. s(ϕ(y), y) < 0, ϕ(0) = 0.









Sisteme neliniare dispative

Functia de stocare disponibila a lui Σ

Sa(x0) = sup

u ∈ L2(0,∞)x(∞) = 0, x(0) = x0

−

∫

∞

0

s(u(t), y(t)) dt .

Functia de aport necesar a lui Σ

Sr (x0) = inf

u ∈ L2(−∞, 0)x(−∞) = 0, x(0) = x0

∫ 0

−∞

s(u(t), y(t)) dt .

Lema

Daca Σ este disipativ cu rata s(u, y), atunci 0 ≤ Sa ≤ Sr .









Sisteme neliniare disipative

Disipativitatea lui Σ cu rata s(u, y) = 12 [u

T yT ]J

[

u

y

]

.

Definim r(x) = [I dT (x)]J

[

I

d(x)

]

.

Ipoteza: r(x) > 0. Atunci

Sa este solutia stabilizatoare (minima)

Sr este solutia anti-stabilizatoare (maxima)

a ecuatiei Hamilton-Jacobi-Bellman.









Real pozitivitate/pasivitate

Formularea echilibrarii sistemelor real pozitive (i.e.,

s(u, y) = uT y) ın termeni de functii de controlabilitate si

observabilitate:

p = m, J =

[

0 IRm×m

IRm×m 0

]

, r(x) = d(x) + dT (x)

Pentru sistemul liniar (A,B,C,D) ecuatia Riccati:

KA + AT K + (KB − CT )R−1(BT K − C) = 0.

Balansare real pozitiva: transformare care egalizeaza si

diagonalizeaza pe Kmin si pe Kmax .









Formularea de tip functii de controlabilitate si

observabilitate

Consideram sistemul Σextins

x = f (x) + g(x)r−1(x)h(x) − g(x)r−1/2(x)u1 + K (x)r−1/2(x)u2

y1 = −r−12 (x)gT (x)

∂T Sa(x)

∂xy2 = r−

12 (x)h(x),

.

cu functia K (x) aleasa a.ı.∂Sr (x)

∂xK (x) = hT (x).

Teorema

In ipotezele facute, consideram functiile Sa si Sr ale sistemului

(strict) pasiv Σ = (f (x),g(x),h(x),d(x)). Atunci Sa = Lo,

Sr = Lc, unde Lo este functia de observabilitate si Lc este

functia de controlabilitate a lui Σextins.









Cazul real marginit

Formulare asemanatoare pentru balansarea real marginita (i.e.,

s(u, y) = 12(||u||

2 − ||y ||2))

J =

[

I 0

0 −I

]

, r(x) = I − dT (x)d(x),

Consideram tot un sistem extins, i.e., Σext−boundedreal .

Teorema

In ipotezele facute, consideram functiile Sa si Sr ale sistemului

(strict) pasiv Σ = (f (x),g(x),h(x),d(x)). Atunci Sa = Lo,

Sr = Lc, unde Lo este functia de observabilitate si Lc este

functia de controlabilitate a lui Σext−boundedreal.










Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare









Abordarea de tip factorizari

In ipotezele de lucru, pt. sistemul disipativ cu rata s(u, y). Fara

nici o ipoteza de stabilitate! consideram Σfact

x = f (x) + g(x)r−1(x)

(

gT (x)∂T Sa(x)

∂x− c(x)

)

+ g(x)r−1/2(x)v

y1 = r−1(x)

(

gT (x)∂T Sa(x)

∂x− c(x)

)

y2 = h(x) + d(x)r−1(x)

(

gT (x)∂T Sa(x)

∂x− c(x)

)

.

Generalizarea factorizarii coprime normalizate! E.g., Scherpen, van der Schaft,

Ball, ....









Abordarea de tip factorizare

Teorema

Σfact are functiile de controlabilitate si observabilitate

(generalizata), respectiv, Lc(x) = Sr (x)− Sa(x) > 0 si

LJo(x) = Sa(x) > 0, cu

LMo (x) =

∫

∞

0

1

2yT My dt , x(0) = x , x(∞) = 0

pentru M = MT .

Observam ca energia minima necesara pentru a atinge o

anumita stare este data de diferenta dintre energia disponibila

si aportul necesar. Energia ponderata observata la iesirea

sistemlui factorizat reprezinta energia maxima stocata ın acea

stare.TC Ionescu, K Fujimoto & JMA Scherpen Balansarea sistemelor neliniare real pozitive/marginite









Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare









Aproximare pe baza reducerii factorizarii

Ipoteze:

0 < Sa < Sr , exista,

Hessienii functiilor Lo si Lc sunt pozitiv definiti.

Pentru sistemul Σ, similar abordarii de tip v. s. Hankel, scriem

π2i (s) =

Sa(ξi(s))

Sr (ξi(s))

Definim pentru Σfact:

ρ2i (s) =

LJo(ξi(s))

Lc(ξi(s))

parametrizat ın s ← independent de coordonate.









Aproximare pe baza reducerii factorizarii

Teorema

Pp ca ipotezele sunt satisfacute a.ı. ρi(s) exista. Daca πi(s)sunt valorile singulare din balansarea lui Sa si a lui Sr , atunci:

πi(s) =ρi(s)

√

1 + ρ2i (s)

.

Teorema

∃ transformarea de coordonate x = Φ(z) a.ı.:

Sr (Φ(z)) =1

2

n∑

i=1

z2i

πi(zi )and Sa(Φ(z)) =

1

2

∑

i

z2i πi(zi),

cu πi(zi ) = πi(Φi(z)).









Procedura de reducere dimensionala

Daca πk > πk+1, atunci partitionam pe Σ corespunzator ın

Σ1 si Σ2.

Functiile energetice sunt nealterate

S1a(z

1) = Sa(z1,0), S1

r (z1) = Sr (z

1,0) si

S2a(z

2) = Sa(0, z2), S2

r (z2) = Sr (0, z

2).

Valorile singulare ale lui Σ1 sunt πi(zi ,0), i = 1, . . . , k si ale lui

Σ2 sunt πj(0, zj), j = k + 1, . . . , n.

Σ1,2 sunt disipative cu rata s(u, y1,2).

Rezultatul e valabil si ın cazul nefactorizat.






Valorile singulare


Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare






Valorile singulare


L2L1 R1

V

R

x1 = −x1 + x2 + u

x2 = x1 − x2 − x32

y = −x1 + 3u = x1 − x2 + 2u.

xi curentii prin bobina i , i = 1,2. Sistemul este strict real pozitiv,

strict pasiv de la tensiunea de intrare la tensiunile din rezistente.

Aproximarile Taylor ale functiilor Sa si Sr dau sistemul extins.






Valorile singulare


Motivatie


Metoda propusa








Valorile singulare






Valorile singulare

Sistemul extins si valorile singulare

Σextins:

x1 = −5

4x1 +

5

4x2 +

1

2u1 +

1

2K (x)u2

x2 = −x1 − x2 − x32

y1 = −0.08675x1 + 0.008485x2 − 0.5571926155x31

+ 1.38155909x21x2 − 0.950623382x1x2

2 + 0.04010539255x32

y2 =1

2x1 −

1

2x2,

cu ∂Sr∂x K (x) = x1 − x2 si

ρ1(s) = 2.506079510+ 69.19812137s2 + o(s4)

ρ2(s) = 0.4508902128+ 0.8176340704s2 + o(s4).






Valorile singulare

Concluzii

Cadru unificat pentru trunchierea balansata cu sau fara

pastrarea pasivitatii, etc. via operatorul Hankel.

Sistemele extinse/factorizate - element unificator.

Rezulta metode care prezerva disipativitatea.

Potentiala aplicatie: aproximarea unui generator de putere

conectat printr-o magistrala infinita la restul lumii (neliniar,

pasiv, 8 stari). Intrebare: care tip de fizica se pastreaza,

partea mecanica sau partea electrica? Depinde de

aplicatie. In power systems, aproximarile fizice pastreaza

partea mecanica drept relevanta.






Valorile singulare

Bibliografie

T. C. Ionescu, K. Fujimoto and J. M. A. Scherpen.

Positive and bounded real balancing for nonlinear systems -

a controllability and observability function approach.

Proc. of Joint 48th IEEE Conf. on Decision and Control &

28th Chinese Control Conference, pp. 4310–4315,

Shanghai, China, 2009.

T. C. Ionescu, K. Fujimoto and J. M. A. Scherpen.

Dissipativity preserving balancing for nonlinear systems - A

Hankel operator approach.

Systems & Control Letters, 59:108-194, 2010.

T. C. Ionescu.

Balanced truncation for dissipative and symmetric systems.University of Groningen, the Netherlands, 2009,

ISBN: 978-90-367-3889-7.TC Ionescu, K Fujimoto & JMA Scherpen Balansarea sistemelor neliniare real pozitive/marginite

balansarea sistemelor neliniare real pozitive/marginite ... · pdf fileproblema aproximarii...

Documents