BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Câu 1.1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a. , b. ,

c. , d. .

Câu 1.2: Tìm các giới hạn kép sau:

a. b. c.

d. e. f.

Câu 1.3: Tìm và

a. b.

c.

d.

Câu 1.4: Chứng minh rằng hàm số liên tục theo

từng biến tại (khi cố định biến kia) nhưng không liên tục theo tập hợp các biến.

Câu 1.5: Tính đạo hàm riêng các hàm số sau:

a. b. ,

c. , d. .

1

Câu 1.6: Chứng minh các hệ thức sau đây với các điều kiện tương ứng

a. , với ,

b. , với , f(t) khả vi.

Câu 1.7: Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau:

a. b.

Câu 1.8: Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau:

a. , b. ,

c. , d.

Câu 1.9: Tính gần đúng các số sau đây :

a. b.

Câu 1.10: Cho là hàm số ẩn xác định từ phương trình . Hãy tính gần

đúng

Câu 1.11: Cho hàm số Tính các đạo hàm riêng biết rằng là hàm số ẩn

của xác định từ phương trình Câu 1.12: Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình tương ứng

a. , tính . b. tính .

c. , tính . d. , tính .

Câu 1.13: Chứng minh các hệ thức sau đây, với các điều kiện tương ứng

a. , với , f(t) khả vi liên tục đến cấp hai,

b. , với

c.. , với

d. , với

Câu 1.14: Tính vi phân cấp hai của các hàm số

2

a. b. c.

Câu 1.15: Cho , . Tính .

Câu 1.16: Cho , . Tính , gọi là véc tơ bán kính.

Khi nào .

Câu 1.17: Cho . Khi nào

.Câu 1.18: Tìm cực trị của các hàm số

a. , b. ,.

c. , d.

e. , f. ,

g. với x > 0, y > 0 , h. .

Câu 1.19: Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng x + 2y + 3z = 3.

Câu 1.20: Cho ellipse , tìm các điểm trên đó có khoảng cách gần nhất đến đường

thẳng .

Câu 1.21: Tìm a, b, c sao cho thể tích của ellipsoid đi qua điểm (1,2,1) là nhỏ nhất có thể có được.

Câu 1.22: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên ellipse là giao

của mặt trụ và mặt phẳng .Câu 1.23: Tìm thể tích lớn nhất có thể có của hình hộp chữ nhật có các mặt song song với các mặt tọa độ, một đỉnh ở gốc tọa độ và đỉnh đối qua đường chéo của nó nằm trên mặt phẳng

.Câu 1.24: Phân tích số dương a thành tích của bốn số dương có tổng bé nhất.Câu 1.25: Hình hộp nào nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất ?

3

Câu 1.26: Tìm hình hộp chữ nhật với thể tích V cho trước có diện tích toàn phần bé nhất.Câu 1.27: Tìm GTLN, GTBN của các hàm số sau:

a. trong miền ,

b. ,

trong miền ,

c. trong miền ,

d. trong miền tròn:

Câu 1.28: Chứng minh các công thức

a. , b. ,

c. .

Câu 1.29: Cho . Tính góc giữa các tại điểm (1,1) và (3,4).

Câu 1.30: Cho . Xác định điểm tại đó .

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Câu 2.1: Chứng minh các tích phân sau hội tụ đều đối với

a. , b. .

Câu 2.2: Cho hàm số . Chứng minh tích phân phụ thuộc tham số

là hàm số liên tục với mọi . Hãy vẽ đồ thị của hàm số

Câu 2.3: Xét sự liên tục của tích phân phụ thuộc tham số với liên

tục và dương trên .

4

Câu 2.4: Tính .

Câu 2.5: Chứng minh rằng hàm số liên tục và khả vi với mọi

. Từ đó tính Câu 2.6: Tính các tích phân

a. , b.

Câu 2.7: Đổi thứ tự tích phân các tích phân sau:

a. , b. , c. , d.

Câu 2.8: Tính các tích phân bội hai sau:

a. ,

b. ,

c. D là miền giới hạn bởi các đường ,

d. , D là miền giới hạn bởi các đường .

Câu 2.9: Tính các tích phân bội hai sau:

a. , D dược giới hạn bởi các đường tròn

,

b. , D là miền giới hạn bởi đường ,5

c. , D là giao của hai hình tròn ,

d. .

Câu 2.10: Cho trong đó

a. Tính

b. Chứng minh rằng . Từ đó hãy tính

Câu 2.11: Tính là miền giới hạn bởi các đường:

Câu 2.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a. , b. ,

c. , d. .

Câu 2.13: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt:

a. , b. .

Câu 2.14: Tính các tích phân bội ba sau:

a. ,

b.

,

c.

6

d. .

Câu 2.15: Xác định trọng tâm của các bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường:

a. b.

c. d.

Câu 2.16: Tính mô men quán tính đối với trục Oy của bản phẳng có mật độ khối lượng

giới hạn bởi đường .Câu 2.17: Xác định trọng tâm của các vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt:

a.

b.

c.

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Câu 3.1: Tính tích phân đường loại 1 sau:

, L là biên hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2),

Câu 3.2: Tính khối lượng của dây vật chất có phương trình

với khối lượng riêng .

Câu 3.3: Tính các tích phân đường loại 2 sau:

a. , là đường gấp khúc với A(0,0), B(2,2), C(4,0),

b. , L là cung parabol nằm ở phía trên trục 0x theo

chiều kim đồng hồ.

7

Câu 3.4: Tính từ A(1,0) đến B(0,2) theo:

a. đường , b. đường , c. đường .

Câu 3.5: Tính và theo chiều dương với L là:

a. Đường tròn , b. Biên của nửa hình tròn ,

c. Tam giác có ba đỉnh O(0,0), A(a,0) và B(0,b).

Câu 3.6: Tính

với L là biên của tam giác OAB theo chiều dương,

biết O(0,0), A(1,0), B(0,1). a. bằng cách tính trực tiếp, b. dùng công thức Green.

Câu 3.7: Tính với L là đường (theo chiều dương) bằng hai cách: a. trực tiếp, b. dùng công thức Green.Câu 3.8: Tính các tích phân đường sau theo chiều dương:

a. , L là biên của tam giác ABC, A(-1,0), B(1,-2), C(1,2).

b. , L là đường .

Câu 3.9: Tích phân đường sau đây có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không? Tính tích

phân theo tương ứng:

a. với , không cắt trục Oy.

b. với

có phương trình và không cắt các trục toạ độ.

8

Câu 3.10: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây là vi phân toàn phần của hàm

u(x,y) nào đó. Tìm hàm số u?

a. ,

b. ,

c. ,

d. .

Câu 3.11: Tính với:

a. L là đường (theo chiều ngược kim đồng hồ)

b. L là biên hình vuông với đỉnh (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1) (theo chiều thuận kim đồng hồ).

Câu 3.12:  Tìm m, a, b để các biểu thức sau là vi phân toàn phần của hàm số u nào đó và tìm hàm số đó

a. , b. .

Câu 3.13: Tính , L có phương trình

Câu 3.14: Tính nếu:

a. S là mặt nón ,

b. S là mặt cầu .

Câu 3.15: Tính các tích phân mặt loại một sau:

a. , S là phần của mặt phẳng nằm trong góc phần tám thứ nhất.

b. , S là phần của mặt nón nằm trong hình trụ

9

.

c. , S là phần của mặt trụ parabolic nằm trong góc phần tám thứ nhất

của hình trụ .

Câu 3.16: Tính khối lượng của mặt cong cho bởi phương trình ,

biết khối lượng riêng Câu 3.17: Tính các tích phân mặt loại hai sau:

a. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là mặt cầu xác định bởi

phương trình .

b. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là phần mặt cầu

xác định bởi phương trình

c. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là mặt ellipsoid

.

d. , lấy theo phía trên của S, trong đó S là nửa mặt cầu

Câu 3.18: Tính các tích phân đường sau theo hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ phía :

a. , L là đường tròn ,

b. , L là đường tròn .

Câu 3.19: Tính các tích phân mặt theo phía ngoài của vật thể bao bởi mặt cong S.

10

a. , S là biên của hình chóp

,

b. , S là mặt cầu ,

c. , S là biên của hình lập phương

.

Câu 3.20:  Tính , L có phương trình

, hướng theo chiều tăng của t.

Câu 3.21: Tìm thông lượng của các trường véc tơ sau:

a. qua phần của mặt cầu hướng ra ngoài:

.

b. qua mặt cầu hướng ra ngoài.

c. qua mặt hướng lên trên.

d. qua mặt cầu hướng ra ngoài.

e. qua biên hướng ra ngoài của vật thể V giới

hạn

bởi các mặt cong:

Câu 3.22: Tính lưu số của trường dọc theo cung tròn

nhỏ nhất của đường tròn lớn của mặt cầu nối các điểm M(3,4,0) và

N(0,0,5).

11

Câu 3.23: Tính lưu số của trường véc tơ , trong đó L có phương trình

hướng theo chiều tăng của t.Câu 3.24: Chứng minh rằng các trường vectơ sau đây là những trường thế, tìm hàm thế vị của

chúng.

a. ,

b. ,

c. .

Câu 3.25: Cho u và v là các hàm điều hoà. Chứng minh trường véc tơ là

trường ống.

Câu 3.26: Tìm hàm số khả vi thỏa mãn các điều kiện:

Câu 3.27: Cho hàm véc tơ . Hãy tìm hàm

số để tồn tại một véc tơ thỏa mãn các điều kiện:

Câu 3.28: Tìm hàm sao cho trường véc tơ

là trường thế và hãy tìm hàm thế của trường đó.

Câu 3.29:Cho hai hàm số khả vi liên tục đến cấp hai trong miền liên thông V có biên là

mặt cong S. Chứng minh , trong đó

là véc tơ pháp tuyến của mặt cong S hướng ra phía ngoài.

Câu 3.30:Cho trường véc tơ , với khả vi liên tục. Chứng minh:

là điều kiện cần và đủ để tồn tại trường véc tơ thỏa mãn:

BÀI TẬP CHƯƠNG 4Câu 4.1: Giải các phương trình:

12

a. , b. , c. ,

d. , e. , f. .Câu 4.2: Giải các bài toán Cauchy:

a. b.

c. d.

Câu 4.3: Giải các phương trình:

a. , b. ,

c. , d. .Câu 4.4: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:

a. , b. ,

c. , d. .Câu 4.5: Giải các bài toán Cauchy:

a. b.

Câu 4.6: Chứng minh hàm số là một nghiệm của phương trình . Hãy tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện y(1) = 1.Câu 4.7: Giải các phương trình:

a. , b. ,

c. , d. .Câu 4.8: Giải các phương trình vi phân toàn phần:

a. , b. ,

c. ,

13

d. .Câu 4.9: Giải các phương trình sau đây bằng cách tìm thừa số tích phân

a. , b. ,

c. , d. .Câu 4.10: Giải các phương trình vi phân sau:

a. , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng

b. , biết nó có một nghiệm riêng dạng

c. , biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) có dạng đa thức,

d. biết rằng nó có hai nghiệm riêng

.Câu 4.11: Giải các phương trình sau khi biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng.

a. b.

c.

d. có dạng đa thức.Câu 4.12: Giải các phương trình:

a. , b. ,

c. , d. .Câu 4.13: Giải các phương trình:

a. , b. ,

c. , d. ,

e. , f. .Câu 4.14: Giải các bài toán Cauchy

14

a. ,

b.

Câu 4.15: Giải bài toán Cauchy Câu 4.16: Giải các phương trình sau tương ứng với phép đổi biến

a.

b.

c. d.

e. Câu 4.17: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )

a. , b. . Câu 4.18: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )

a. , b. ,Câu 4.19: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )

a. , b. Câu 4.20: Giải các hệ phương trình vi phân sau:

a. b. Câu 4.21: Giải các bài toán Cauchy sau:

15

a. b.

16