bai giang toan kinh te 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–

ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG

BÀI GIẢNG

TOÁN KINH TẾ

Thái Nguyên, năm 2015

Danh sách hình vẽ

1.1 Đồ thị của hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Đường pha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Đường pha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định . . . . . . . . . . . . 332.5 Điểm trạng thái tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Đồ thị pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Quỹ đạo thời gian của giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Chương 1. Một số ứng dụng mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Một số mô hình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Mô hình cân bằng thị trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2. Phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Đại cương về phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Cấp của phương trình vi phân.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.4. Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2. Cách giải.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1. Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3. Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4. Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế

2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong phân tích kinh

tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số kinh tế bằng phươngpháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5. Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ cấp . . . . . . 412.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 trong phân

tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.1. Điều kiện ổn định động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.1. Thời gian rời rạc và khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.1. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2. Một số mô hình phương trình ôtônôm tuyến tính trong kinh tế học . . . . 573.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Phương trình sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.2. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.3. Phương trình phi ôtônôm tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi . . . . . . . . . 683.3.4. Một số mô hình phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 trong kinh tế . . 70

3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3

Lời nói đầu

Tập bài giảng này được viết cho môn học Toán kinh tế. Trên cơ sở đề nghị của Khoa

chuyên môn quản lý chuyên ngành, tài liệu tham khảo chính của môn học là cuốn "Toán

cao cấp cho các nhà kinh tế" của tác giả Lê Đình Thúy, NXB Đại học Kinh tế quốc dân,

2007 (hai phần Đại số và Giải tích toán học). Tuy nhiên, với thời lượng 02 tín chỉ đề

cương môn học chỉ đề cập một số phần chính. Vì vậy bài giảng ngắn gọn này sẽ giúp các

em sinh viên tiếp cận nhanh đến môn học. Nội dung bài giảng bám sát đề cương, gồm 3

chương:

Chương 1: Một số ứng dụng mở đầu. Chương này giới thiệu các ứng dụng đơn giản

từ việc sử dụng mô hình toán học để mô tả, phân tích kinh tế đến những khái niệm ban

đầu. Sinh viên sẽ làm quen với ứng dụng của hàm số, cấp số nhân, đạo hàm, hệ phương

trình tuyến tính.v.v để giải một số bài toán kinh tế đơn giản.

Chương 2: Phương trình vi phân. Chương này có hai mục đích chính. Một là giúp

sinh viên học các phương pháp tìm nghiệm giải tích của một số dạng phương trình vi

phân cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế số phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích

là rất ít, nhất là các phương trình vi phân thể hiện các hệ động lực nói chung và các mô

hình kinh tế nói riêng. Hơn nữa, người ta cũng không quá quan tâm chi tiết đến nghiệm

cụ thể mà quan tâm đến mặt định tính, nghĩa là các tính chất của nghiệm. Vì vậy mục

đích thứ hai của chương là giúp sinh viên hiểu được các tính chất định tính của nghiệm

như quỹ đạo pha, trường hướng, điểm cân bằng, tính ổn định (bất ổn định) của điểm cân

bằng, tính tuần hoàn v.v. thông qua các mô hình kinh tế cụ thể.

Chương 3: Phương trình sai phân. Mô hình toán học để thể hiện các hệ động lực

nói chung và mô hình kinh tế nói riêng nhìn chung có hai cách tuỳ thuộc vào việc sử dụng

biến độc lập (thời gian) t. Cách thứ nhất nếu biến thời gian là liên tục chúng ta sử dụng

phương trình vi phân (đạo hàm riêng). Cách thứ hai, nếu sử dụng thời gian rời rạc (tuỳ

thuộc vào việc lấy mẫu, chẳng hạn một mô hình kinh tế cần tính lãi theo tháng, quý,

năm, v.v..) thì chúng ta sử dụng phương trình sai phân. Vì vậy, cũng tương tự như cách

tiếp cận của chương 2, chúng ta cũng sẽ được học cách giải một số phương trình sai phân

cụ thể (rất ít so với thực tế) và tiếp cận cách phân tích định tính nghiệm thông qua một

4


số mô hình kinh tế.

Sau mỗi chương chúng tôi đưa ra một số bài tập để các em có thể luyện tập củng cố

kiến thức đã học.

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn tập bài giảng còn mắc nhiều loại lỗi, từ chính

tả đến nội dung. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của sinh viên,

của đồng nghiệp để chúng tôi nhận ra và chỉnh sửa những sai sót. Thêm nữa, phải nhấn

mạnh lại rằng tập bài giảng này được soạn trên cơ sở tài liệu tham khảo chính của môn

học đã nêu ở trên để phục vụ giảng dạy; Chúng tôi không giữ bản quyền, việc nhân bản,

sử dụng vì mục đích học tập không phải xin phép. Trân trọng cảm ơn.

Thái nguyên, ngày 1/2/2015

Thay mặt nhóm tác giả

Th.S Đàm Thanh Phương.


Chương 1

Một số ứng dụng mở đầu

1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế

1.1.1. Hàm cung và hàm cầu

Định nghĩa 1. Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng

cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.

Ký hiệu:

Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở

mỗi mức giá;

Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua

ở mỗi mức giá;

Giá hàng hóa là p

Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng:

Qs = S(p) (1.1)

Qd = D(p) (1.2)

Chú ý :

- Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác

giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua

sẽ mua ít đi.

- Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu.

- Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức giá

cân bằng p và lượng cân bằng Qs = Qd = Q ta lập phương trình hoành độ điểm chung

S(p) = D(p).

- Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng p, người bán sẽ

bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.


Khi p > p thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd. Ngược lại

Khi p < p thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd

- Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng

Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm cung và hàm

cầu: p = S−1(Qs), p = D−1(Qd)

Hình dáng đồ thị:

Hình 1.1: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu

1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào

các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao

động lần lượt được ký hiệu là K(Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn người ta giả sử K

không đổi, do đó:

Định nghĩa 2. Hàm sản xuất ngắn hạn mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá của

nhà sản xuất vào yếu tố lao động

Q = f(L) (1.3)

1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng doanh thu ký hiệu TR(Total Revenue); Tổng chi phí ký hiệu TC(Total Cost);

Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo

quy luật hàm số.

Định nghĩa 3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận là hàm số mô tả sự phụ

thuộc của doanh thu, chi phí, lợi nhuận vào sản lượng hàng hoá. Ta có:

Hàm doanh thu:

TR = TR(Q) (1.4)

Hàm chi phí

TC = TC(Q) (1.5)



Hàm lợi nhuận

π = π(Q) (1.6)

Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:

π = TR(Q)− TC(Q)

1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm

Định nghĩa 4. Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C(Consumption)

vào biến thu nhập Y (Income):

C = f(Y ) (1.7)

Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn

nên hàm tiêu dùng là hàm đồng biến.

Định nghĩa 5. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S(Saving) vào

biến thu nhập Y

S = S(Y ) (1.8)

Hàm tiết kiệm cũng là hàm đồng biến.

1.2. Một số mô hình tuyến tính

Phần này trình bày một số mô hình kinh tế có thể giải quyết bằng việc đưa về hệ

phương trình đại số tuyến tính A.X = B đã biết.

1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường

a. Thị trường một loại hàng hóa.

Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu:

Qs = −a0 + a1pQd = b0 − b1p

trong đó a0, a1, b0, b1 là các hằng số dương.

Như trên đã nói, điểm cân bằng thị trường là điểm gặp nhau giữa đường cung và đường

câu. Vì vậy mô hình cân bằng thị trường có dạng:Qs = −a0 + a1pQd = b0 − b1pQs = Qd

⇔

Qs = −a0 + a1pQd = b0 − b1p−a0 + a1p = b0 − b1p

(1.9)

Giải hệ phương trình này ta được:

Giá cân bằng: p =a0 + b0

a1 + b1



Lượng cân bằng: Qs = Qd =a1b0 − a0b1

a1 + b1

b. Thị trường nhiều loại hàng hóa. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá

của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác.

Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau:

Qsi: Lượng cung hàng hóa thứ i.

Qdi: Lượng cầu hàng hóa thứ i.

pi: Giá hàng hóa thứ i

Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng

như sau:

Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ...+ ainpn(i = 1, 2, ..., n)

Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1p1 + ...+ binpn(i = 1, 2, ..., n)

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau:Qsi = ai0 + ai1p1 + ...+ ainpnQdi = bi0 + bi1p1 + ...+ binpnQsi = Qdi, i = 1, 2, ..., n

(1.10)

Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó

thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng.

Ví dụ:

Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung và hàm

cầu như sau:

Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1;Qd1 = 10− 2p1 + p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2;Qd2 = 15 + p1 − p2

Hệ phương trình xác định giá cân bằng:{−2 + 3p1 = 10− 2p1 + p2

−1 + 2p2 = 15 + p1 − p2⇔{

5p1 − p2 = 12−p1 + 3p2 = 16

Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa:

p1 =26

7; p2 =

46

7

Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng:

Q1 =64

7; Q2 =

85

7

1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Ký hiệu:

Y: Tổng thu nhập quốc dân;

E: Tổng chi tiêu kế hoạch;



Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần

sau:

C: Tiêu dùng;

G: Chi tiêu của chính phủ;

I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất

Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính

phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất:

C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0)

Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:Y = EE = C + I0 +G0

C = aY + b⇔{Y = C + I0 +G0

C = aY + b⇔{Y − C = I0 +G0

−aY + C = b(1.11)

Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng

của nền kinh tế:

Y =b+ I0 +G0

1− a; C =

b+ a (I0 +G0)

1− aVí dụ:

Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và

mức tiêu dùng cân bằng là:

Y =200 + 300 + 400

1− 0.75= 3600

C =200 + 0.75 (300 + 400)

1− 0.75= 2900

1.3. Ứng dụng của cấp số nhân

1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân

- Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện:

x0, x1 = x0q, ....xn = xn−1q = x0qn

Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số

q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu cho trước công bội q

và số hạng ban đầu x0 thì ta sẽ xác định được mọi số hạng của cấp số nhân.

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:

Sn = x0 + x1 + ...+ xn = x0

(1 + q + q2 + ...+ qn

)= x0

(1− qn+1)

1− q



- Một cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn có công thức: Sn =

x0 + x1 + ...+ xn + ... =x0

1− q

1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ

Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần trăm

một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền lãi).

Định nghĩa 6. Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm

nay và ngược lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai.

Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay.

Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những

người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay,

trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được

quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta

giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r% (lãi suất liên ngân hàng), biểu diễn dưới

dạng thập phân.

Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A+ rA = A(1 + r). Sau năm thứ

hai là B2 = B1 +B1r = A(1 + r)2....

Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân

thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với giá

trị ban đầu A và công bội q = (1 + r): Bt = A(1 + r)t. Vậy công thức tính giá trị tương

lai của A sau t năm là:

B = A(1 + r)t (1.12)

Ngược lại, để nhận được B sau t, giá trị cần gửi vào ngân hàng hiện tại là:

A = B(1 + r)−t (1.13)

Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu

đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự

án không?

Giải:

Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3 = 119

triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi:

119− 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án.

Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không thực



hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3 = 126 triệu đồng. Con số này nhỏ hơn

150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay.

Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng của

một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai

và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang

lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là NPV (Net Present Value). Ta có:

NPV = B(1 + r)−t − C (1.14)

Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là NPV > 0, ngoài ra việc so sánh NPV giữa

các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất.

Ví dụ:

Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:

Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm;

Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm;

Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm

Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào?

Giải:

Ta có NPV1 = 3000(1 + 0.1)−4 − 2000 = 49; NPV2 = 4000(1 + 0.1)−6 − 2000 = 258;

NPV3 = 4800(1 + 0.1)−5 = −20. Vậy nên chọn dự án 2.

1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn

Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm...).

Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản.

Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng

các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai

của một luồng kỳ khoản.

Ví dụ 1:

Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau

đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó

với điều kiện lãi suất 10% một năm.

Giải:

Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present

Value),



PV = 5000(1 + 0.1)−1 + 5000(1 + 0.1)−2 + ...+ 5000(1 + 0.1)−10 =

= 5000

(1

1.1+

1

1.12 + ...+1

1.110

)= 5000

(1

1.1

)(1−

(1

1.1

)10)

1− 1

1.1

= 30723

Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$.

Ví dụ 2:

Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức

này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền

nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá

trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu

thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được?

Giải:

Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp

tại thời điểm hiện tại là:PV = a(1 + 0.01)−1 + a(1 + 0.01)−2 + ...+ a(1 + 0.01)−24 =

= a

1

1.01

(1−

(1

1.01

)24)

1− 1

1.01

= 21.24a

Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: PV = 21.24a = 2500, hay

a = 117.7$

Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không

vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn.

1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế

1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên

Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh tế học

người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một

lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

f ′ (x0) = lim∆x→0

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x

Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có:

f ′ (x0) ≈ f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x⇒ ∆y = f (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′ (x0) ∆x

Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f ′ (x0).



Định nghĩa 7. Đạo hàm f ′ (x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng

thêm 1 đơn vị tại điểm x0. Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x0.

Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:

Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), f ′(L0) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên

tại điểm L0. Giá trị này được ký hiệu là MPPL (Marginal Physical Product of Labor),

nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao

động tại điểm L0.

Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q), TR′(Q0) được gọi là doanh thu cận biên tại

điểm Q0, ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu

tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.

Đối với hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC ′(Q0) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0, ký

hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất

thêm một đơn vị sản phẩm.

Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C ′(Y0), ký hiệu là

MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu hướng tiết kiệm

cận biên là MPS = S ′(Y0) (Marginal Propensity to Save).

Ví dụ:

Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5√L. ở mức sử dụng L = 100 đơn

vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận biên

của lao động tại điểm L = 100 là:

MPPL = Q′ =5

2√L

= 0.25

Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương

ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật.

1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá

Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà

kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.

Định nghĩa 8. Hệ số co dãn của cung (cầu) theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm

của lượng cung (cầu) khi giá tăng 1%.

Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì

lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu

tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:



ε =

(∆Qd

Qd

).100(

∆p

p

).100

=∆Qd

∆p

p

Qd

. Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính

hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p:

ε = D′(p).p

D(p)(1.15)

Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công

thức:

ε = S ′(p).p

S(p)(1.16)

Ví dụ:

Nếu hàm cầu là Q = 1400− p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là

ε = D′(p).p

D(p)=

(1400− p2)′p

1400− p2=

−2p2

1400− p2

Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng

1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%.

1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên

Chúng ta đã biết hàm chi phí TC = TC(Q) biểu diễn tổng chi phí TC ở mỗi mức sản

lượng Q. Khi phân tích sản xuất, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm

chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân trên một đơn vị sản phẩm

được định nghĩa là;

AC =TC(Q)

Q

Ta có:

(AC)′ =

(TC

Q

)′=TC ′Q− TC

Q2=TC ′ − TC

Q

Q=MC − AC

Q

Từ đây ta thấy đạo hàm của hàm chi phí bình quân là tỷ số giữa hiệu chi phí cận biên

và chi phí bình quân với mức sản lượng Q. Do đó:

- Nếu MC > AC thì (AC)′ > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì

chi phí bình quân tăng.

- Nếu MC < AC thì (AC)′ < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân

thì chi phí bình quân giảm.

- MC = AC khi và chỉ khi (AC)′ = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt cực tiểu tại

điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân

Tương tự, doanh thu bình quân AR = TR(Q)Q

và doanh thu cận biên MR = TR′(Q) liên



hệ với nhau như sau:

- Nếu MR > AR thì AR′(Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình

quân thì doanh thu bình quân tăng.

- Nếu MR < AR thì AR′(Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình

quân thì doanh thu bình quân giảm.

- MR = AR khi và chỉ khi AR′(Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực

đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân.

1.5. Bài tập

Bài tập 1: Trình bày các khái niệm hàm cung, hàm cầu, điểm cân bằng thị trường và

nêu các tính chất, ý nghĩa liên quan.

Bài tập 2: Tìm điểm cân bằng thị trường (xác định giá cân bằng, lượng cân bằng) của

mô hình thị trường nhiều loại hàng hoá sau:

1, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 4p1;Qd1 = 12− 2p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 6p2;Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2

2, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1;Qd1 = 1− 2p1 + 3p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 5p2;Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2

3, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1;Qd1 = 10− 2p1 + p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2;Qd2 = 15 + p1 − p2

4, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 5p1;Qd1 = 2− p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2;Qd2 = 3 + 2p1 − p2

5, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1;Qd1 = 3− 4p1 + 5p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2;Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2

6, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 7p1;Qd1 = 2− p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2;Qd2 = 4 + 3p1 − 5p2

7, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 2p1;Qd1 = 13− 4p1 + 3p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2;Qd2 = 10 + 3p1 − 4p2

8, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1;Qd1 = 12− 3p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 3p2;Qd2 = 16 + 2p1 − 4p2

9, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 6p1;Qd1 = 23− 6p1 + 7p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 7p2;Qd2 = 20 + 8p1 − 4p2

10, Hàng hóa 1:Qs1 = −4 + 5p1;Qd1 = 22− 7p1 + 4p2

Hàng hóa 2: Qs2 = −6 + 8p2;Qd2 = 25 + 5p1 − 3p2

11, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1;Qd1 = 32− 9p1 + 4p2



Hàng hóa 2: Qs2 = −9 + 6p2;Qd2 = 24 + 6p1 − 8p2

Bài tập 3: Tìm điểm cân bằng của mô hình kinh tế vĩ mô (tìm tổng thu nhập quốc dân

cân bằng Y và tiêu dùng cân bằng C) cho như sau:

a, C = 300 + 0.75Y , I0 = 300, G0 = 400

b, C = 500 + 0.8Y , I0 = 350, G0 = 400

c, C = 0.85Y + 600, I0 = 400, G0 = 550

Bài tập 4:Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại A (triệu đồng) và sẽ đem lại B (triệu

đồng) sau n năm với lãi suất thịnh hành r (phần trăm) một năm. Yêu cầu:

a, Tính giá trị tương lai của khoản A

b, Tính giá trị hiện tại của khoản B

c, Ra quyết định có nên thực hiện dự án hay không? (giải theo hai cách và nêu rõ ý nghĩa)

1, A = 120, B = 220, n = 3, r = 10

2, A = 150, B = 220, n = 3, r = 10

3, A = 170, B = 220, n = 3, r = 10

4, A = 200, B = 220, n = 3, r = 10

5, A = 150, B = 250, n = 4, r = 10

6, A = 150, B = 250, n = 5, r = 10

7, A = 120, B = 220, n = 4, r = 12

8, A = 120, B = 220, n = 4, r = 15

9, A = 120, B = 220, n = 4, r = 20

10, A = 200, B = 800, n = 13, r = 15

Bài tập 5: Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền ra để thực hiện một trong 3 dự án:

Dự án 1: Chi phí hiện tại A1 và sẽ đem lại B1 đồng sau thời gian n1 năm



Cho biết lãi suất thịnh hành là r phần trăm một năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và

đánh giá nên thực hiện dự án nào?

1, A1 = 2000, B1 = 3000, n1 = 4

A2 = 2000, B2 = 4000, n2 = 6

A3 = 3000, B3 = 4800, n3 = 5

r = 10

2, A1 = 2475, B1 = 4536, n1 = 3

A2 = 3245, B2 = 5678, n2 = 3

A3 = 3567, B3 = 4532, n3 = 2

r = 11

3, A1 = 1255, B1 = 2750, n1 = 3



A2 = 2775, B2 = 4160, n2 = 2

A3 = 1885, B3 = 3190, n3 = 2

r = 10

4, A1 = 4522, B1 = 5643, n1 = 4

A2 = 3245, B2 = 4578, n2 = 3

A3 = 4423, B3 = 5436, n3 = 4

r = 10

5, A1 = 3500, B1 = 7000, n1 = 3

A2 = 4000, B2 = 8000, n2 = 4

A3 = 3400, B3 = 5000, n3 = 2

r = 10

Bài tập 6: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí hiện tại 3400. Kỳ vọng của nhà

đầu tư là NPV của dự án phải lớn hơn 320. Hỏi giá trị dự án mang lại sau 2 năm phải

đạt tối thiểu bao nhiêu để nhà đầu tư đạt được kỳ vọng. Cho biết lãi suất thịnh hành

r = 10% một năm.

Bài tập 7: Một nhà đầu tư dự định thực hiện dự án với kỳ vọng là NPV của dự án phải

lớn hơn 3263. Giả sử sau 7 năm, dự án mang lại 20000. Hỏi chi phí hiện tại của dự án tối

đa là bao nhiêu? Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm.

Bài tập 8: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí ban đầu 4000. Sau khoảng thời

gian t năm, dự án mang lại 13000. Hãy ước lượng thời gian thực hiện dự án t để dự án

đạt được NPV tối thiểu bằng 4879. Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm.

Bài tập 9: Một người dự định mua ô tô theo phương thức trả góp. Giá xe tại thời điểm

người đó mua là 40 000$ và lãi suất liên ngân hàng là 12% một năm (1% một tháng). Giả

sử người đó đã trả trước 10 000$, số còn lại tính theo phương thức trả góp, nghĩa là mỗi

tháng phải trả cho chủ hàng A$, liên tiếp trong 36 tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là

bao nhiêu thì việc mua trả góp của người đó là chấp nhận được? (không cao hơn việc vay

ngân hàng để trả thẳng).

Bài tập 10

a, Cho hàm sản xuất Q = 20√L. Tính giá trị MPPL tại giá trị L = 100 và nêu ý nghĩa?

b, Cho hàm cầu Q = 1400 − p2. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20

và nêu ý nghĩa?


Chương 2

Phương trình vi phân

2.1. Đại cương về phương trình vi phân

Khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số, nhiều khi người ta không thể

thiết lập một cách trực tiếp quy luật phụ thuộc hàm số, trong khi đó lại có thể thiết lập

mối liên hệ hỗn hợp giữa các biến số có quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc vi phân

của hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của một biến vào các biến còn lại. Trong nhiều trường

hợp hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa hàm số phải tìm dưới dấu

đạo hàm hoặc vi phân, phương trình đó được gọi là phương trình vi phân.

Trong các phương trình, nếu không có gì đặc biệt thì biến số độc lập được sử dụng là

x. Trong một số trường hợp có thể sử dụng biến số độc lập t.

2.1.1. Định nghĩa.

Định nghĩa 9. Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và các

đạo hàm (hay vi phân) của nó được gọi là một phương trình vi phân.

Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình vi phân.

a,dy

dx+ 5t sinx = 0

b, y′′′ + 5yy′′ = 0

Có hai loại phương trình vi phân:

- Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ

thuộc một biến số độc lập. Phương trình vi phân thường có dạng F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0,

trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y′, y′′, .., y(n) là các đạo hàm

của hàm số. - Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình mà hàm phải tìm phụ

thuộc ít nhất hai biến số.

Ví dụ: Phương trình∂2u

∂x2+∂u

∂t= sinx. sin t , u = u(x, t), là phương trình vi phân đạo

hàm riêng.

19


2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.

Định nghĩa 10. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong

phương trình

- Phương trình F (x, y,dy

dx) = 0 có chứa đạo hàm cấp 1 là phương trình vi phân cấp 1

(phương trình nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 1).


dx,d2y

dx2) có chứa đạo hàm cấp 2 là phương trình vi phân cấp 2

(nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 2).


dx, ...,

dny

dxn) = 0 là phương trình vi phân cấp n, ở đây nhất thiết

phải có mặtdny

dxn.

Ví dụ:

a, y′ = y3 + x là phương trình vi phân cấp 1.

b, xdx− ydy = 0 là phương trình vi phân cấp 1.

c,d2y

dx2= −4y2 + x là phương trình vi phân cấp 2.

2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân.

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số ϕ(x) mà khi thay

y = ϕ(x), y′ = ϕ′(x), ..., y(n) = ϕ(n)(x)

vào phương trình đã cho ta được một đồng nhất thức, tức là

F (x, ϕ(x), ϕ′(x), ..., ϕ(n)(x)) = 0

Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm dưới dạng

y = φ(x,C1, C2, ..., Cn)

chứa n hằng số tuỳ ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình. Nếu cho C1, C2, ..., Cn

những giá trị cụ thể ta sẽ được nghiệm riêng của phương trình.

2.1.4. Phương trình vi phân cấp một.

+ Phương trình vi phân cấp một có dạng

F (x, y, y′) = 0 hay y′ = f(x, y)

+ Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là một hàm số ϕ(x) thỏa mãn

F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0



Ví dụ:

a, y = Cex, C là hằng số, là nghiệm của phương trình vi phân y = y′. Vì

(Cex)′ = Cex

b, Hàm số y =1

xlà nghiệm của phương trình xdy + ydx = 0 .Vì

xd

(1

x

)+

1

xdx = x

(−dxx2

)+

1

xdt = 0

Định lý 1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm).

Cho phương trình vi phân cấp một y′ = f(x, y). Giả sử f(x, y) xác định, liên tục trong

một lân cận V của điểm M0(t0, y0) và tồn tại hằng số L sao cho:

|f(x, y2)− f(x, y1)| ≤ L|y2 − y1|,∀ (x, y1) , (x, y2) ∈ V

Khi đó, trong một khoảng (x0 − δ, x0 + δ) với δ đủ nhỏ, tồn tại một và chỉ một nghiệm

của phương trình thoả mãn điều kiện y = y0 khi x = x0.

Điều kiện y = y(x) lấy giá trị y0 khi x = x0 được gọi là điều kiện ban đầu và viết

y|x=x0= y0. Bài toán tìm nghiệm của phương trình y′ = f(x, y) thỏa mãn điều kiện ban

đầu được gọi là bài toán Cauchy.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một y′ = f(x, y) là một hàm số có

dạng y = ϕ(x,C) trong đó C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình vi phân với mọi

giá của C. Nghiệm riêng của phương trình y′ = f(x, y) là hàm số y = ϕ(x,C0) mà ta có

được bằng cách cho C trong nghiệm tổng quát một giá trị C0 xác định . Phương trình

y′ = f(x, y) có thể có một số nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát, những nghiệm

ấy gọi là nghiệm kì dị.

2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

2.2.1. Định nghĩa.

Định nghĩa 11. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình vi phân có

dạng

y′ + p(x)y = q(x) haydy

dx+ p(x)y = q(x)

trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục.

Đặc biệt nếu q(x) = 0 phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần

nhất, nếu q(x) 6= 0 khi đó phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất.



2.2.2. Cách giải.

a. Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Với q(x) = 0, ta có phương trình y′ + p(x)y = 0 hay

dy

dx+ p(x)y = 0 (2.1)

y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y ta códy

y= −p(x)dx. Lấy tích phân hai vế

ta được

ln |y| = −∫p(x)dx+ ln |C|

với C là hằng số tùy ý.

Do đó y = C.e−∫p(x)dx là nghiệm tổng quát của phương trình 2.1. Mặt khác y = 0 cũng

là nghiệm riêng của phương trình 2.1ứng với C = 0.

b. Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (Phương pháp biến

thiên hằng số)

Với q(x) 6= 0, ta có phương trình y′ + p(x)y = q(x) hay

dy

dx+ p(x)y = q(x) (2.2)

+ Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 2.1, có nghiệm tổng quát là y =

C.e−∫p(x)dx.

+ Coi C là hàm số của x; C = C(x), ta có

y′ = C ′(x).e−∫p(x)dx + C(x).(−p(x)).e−

∫p(x)dx

Thay vào phương trình 2.2 ta được

C ′(x).e−∫p(x)dx−C(x).p(x).e−

∫p(x)dx+C(x).p(x).e−

∫p(x)dx = q(x) hay C ′(x) = q(x).e

∫p(x)dx

do đó

C =

∫q(x).e

∫p(x)dxdx+K

trong đó K là một hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2.2 là

y = e−∫p(x)dx

∫q(x).e

∫p(x)dxdx+K.e−

∫p(x)dx

Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình (x2 + 1)y′ + xy = 1 thỏa mãn điều kiện

y|x=0 = 2.



Giải:

+ Giải phương trình thuần nhất

(x2 + 1)y′ + xy = 0 hay (x2 + 1)dy

dx= −xy hay

dy

y= − x

x2 + 1dx

Lấy tích phân hai vế ta được

ln |y| = −1

2ln(x2 + 1

)+ ln |C|

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y =C√x2 + 1

.

+ Coi C là hàm số của x ta có

y′ =C ′(x2 + 1)− Cx(x2 + 1)

√x2 + 1

thay y và y′ vào phương trình ban đầu ta được

C ′(x2 + 1)− Cx√x2 + 1

+Cx√x2 + 1

= 1 hay C ′ =1√

x2 + 1hay C = ln

∣∣∣x+√x2 + 1

∣∣∣+K

trong đó K là hằng số tùy ý. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là

y =ln∣∣x+

√t2 + 1

∣∣+K√x2 + 1

Mặt khác ta có y|x=0 = 2 ⇒ K = 2. Vậy nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều

kiện y|x=0 = 2 là

y =ln∣∣x+

√x2 + 1

∣∣+ 2√x2 + 1

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân eydx+ (xey − 1)dy = 0.

Giải:

Nếu xem y là hàm số phải tìm với biến số x thì phương trình có dạng (xey− 1)y′+ ey = 0

phương trình này không có dạng phương trình vi phân tuyến tính.

Nếu xem x là hàm số phải tìm với biến số y ta có phương trình x′ + x =1

ey. Phương

trình này là phương trình vi phân tuyến tính.

Xét phương trình x′ + x = 0 haydx

dy= −x hay

dx

x= −dy. Lấy tích phân hai vế ta có

ln |x| = −y+ ln |C| trong đó C là hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất là x = C.e−y.

Coi C là hằng số của y suy ra x′ = C ′.e−y − C.e−y, thay x và x′ vào phương trình ban

đầu ta được C ′.e−y −C.e−y +C.e−y = e−y hay C ′ = 1 hay C = y+K trong đó K là hằng

số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là x = (y +K).e−y.

Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân y′ =x

cos y− tany.



Giải:

Ta có phương trình đã cho không phải là phương trình vi phân tuyến tính.

Đặt z(x) = sin y ta có z′ = y′ cos y , thay vào phương trình đã cho ta được z′ + z = x.

Đây là phương trình vi phân tuyến tính.

Xét phương trình z′ + z = 0 haydz

z= −dx hay ln |z| = −x+ ln |C| hay z = C.e−x trong

đó C là hằng số tùy ý.

Coi C là hàm số của x suy ra z′ = C ′.e−x − C.e−x, thay z và z′ vào phương trình trên ta

được C ′.e−x − C.e−x + C.e−x = x hay C ′ = x.ex hay C = x.ex − ex + K trong đó K là

hằng số tùy ý, do đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là z = x− 1 +K.e−x. Vậy

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là sin y = x− 1 +K.e−x.

2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1.

2.3.1. Phương trình biến số phân ly.

Phương trình biến số phân ly có dạng

f(x)dx = g(y)dy (2.3)

trong đó f(t), g(y) là các hàm số liên tục trên miền D nào đó.

Cách giải: Lấy tích phân hai vế của phương trình ta có∫f(x)dx =

∫g(y)dy . Vậy nghiệm

tổng quát của phương trình (2.3) là F (x) = G(y)+C trong đó F (x), G(y) là nguyên hàm

của các hàm số f(x), g(y) , C là hằng số tùy ý.

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân (1 + x)ydx+ (1− y)xdy = 0.

Giải: Với x 6= 0,y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho xy ta có(1

x+ 1

)dx+

(1

y− 1

)dy = 0

Lấy tích phân hai vế ta được∫ (1

x+ 1

)dx+

∫ (1

y− 1

)dy = C

hay ln |x|+x+ln |y|−y = C. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ln |xy|+x−y = C.

Ngoài ra x = 0, y = 0 cũng là nghiệm của phương trình.

Chú ý.

- Nếu phương trình có dạng f1(x).g1(y)dx = f2(x).g2(y)dy (f2(x) 6= 0, g1(y) 6= 0) đưa

về dạng phương trình (2.3) bằng cách chia hai vế cho f2(x).g1(y) ta được

x1(x)

f2(x)dx =

g2(y)

g1(y)dy



- Nếu phương trình có dạng y′ = f(ax+ by). Đặt z = ax+ by và xem z là hàm số của

x ta có z′ = a+ by′ haydz

dx= a+ b

dy

dx

haydy

dx=

1

b

dz

dx− a

b

Thay vào phương trình trên ta được

1

b

dz

dx− a

b= f(z)

haydz

dx= b.f(z) + a đây là phương trình biến số phân ly.

Ví dụ 2. Giải phương trìnhdy

dx= 2x+ y.

Giải: Đặt z = 2x + y suy radz

dx= 2 +

dy

dxhay

dy

dx=dz

dx− 2. Thay vào phương trình

ta códz

dx− 2 = z hay

dz

dx= z + 2

haydz

z + 2= dx. Lấy tích phân hai vế ta có ln |z + 2| = x+ ln |C| hay z + 2 = C.ex. Vậy

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2x+ y = C.ex − 2.

Ví dụ 3. Tìm hàm cầu Q = D(p) biết hệ số co dãn của cầu theo giá là ε = −5p+ 2p2

Qvà lượng cầu ở mức giá p = 10 là 500.

Giải: Từ công thức xác định hệ số co dãn của cầu theo giá, ta có phương trình vi

phân:dQ

dp

p

Q= −5p+ 2p2

Q⇒ dQ

dp= −5− 2p

Ta có nghiệm tổng quát: Q = −p2 − 5p+C. Tìm nghiệm riêng với p = 10 và Q = 500 ta

xác định được hằng số C = 650. Vậy nghiệm cần tìm là Q = 650− p2 − 5p

2.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất).

Phương trình đẳng cấp có dạng

y′ = f(yx

)(2.4)

(phương trình này không đổi khi ta thay (x, y) bởi (kx, ky) với k là hằng số).

Cách giải: Đặt u =y

xtrong đó u là hàm số của x. Ta có y = ux suy ra

y′ = u′x+ u = f(u) hay xu′ = f(u)− u hay xdu

dx= f(u)− u

Nếu f(u)− u 6= 0, ta códx

x=

du

f(u)− u



đây là phương trình vi phân với biến số phân ly. Lấy tích phân hai vế ta được

ln |x| =∫

du

f(u)− u= φ(u) + ln |C|

trong đó φ(x) là nguyên hàm của hàm số1

f(u)− u. Do đó x = C.eφ(x). Vậy nghiệm tổng

quát của phương trình 2.4 là x = C.eφ

(yx

).

Nếu f(u) − u = 0 thì phương trình có dạng y′ =y

x. Nghiệm tổng quát của phương

trình 2.4 là y = Cx.

Ví dụ 1. Giải phương trình y′ =x+ ay

ax− y.

Giải: Ta có

y′ =1 + a

y

x

a− y

x

Đặt u =y

xhay y = ux suy ra y′ = u′x+ u . Thay vào phương trình ta được

u+ xu′ =1 + au

a− uhay x

du

dx=

1 + au

a− u− u hay

dx

x=

a− u1 + u2

du

Lấy tích phân hai vế ta có

ln |x| =∫

a− u1 + u2

du = a.arctgu− 1

2ln(1 + u2) + ln |C|

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

x

√1 + y2/

x2 = C.ea.arctgu hay√x2 + y2 = C.e

a.arctgy

x

Chú ý.

Phương trình có dạng y′ = f

(a1x+ b1y + c1

a2x+ b2y + c2

)trong đó a1, a2, b1, b2, c1, c2 là các hằng

số.

+ Nếua1

a2

=b1

b2

= k đặt z (x) = a2x+ b2y và đưa phương trình về dạng phương trình

biến số phân ly.

+ Nếua1

a2

6= b1

b2

ta biến đổi phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bằng cách:

- Giải hệ phương trình

{a1x+ b1y + c1 = 0a2x+ b2y + c2 = 0

, ta tìm được (x0, y0).

- Đặt {x = t+ x0

y = u+ y0⇒{dx = dtdy = du

⇒ dy

dx=du

dt

Thay vào phương trình ta được

du

dt= f

(a1t+ b1u

a2t+ b2u

)Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 26


hay

u′ = f

a1 + b1u

t

a2 + b2u

t

= f(ut

)Đây là phương trình đẳng cấp.

Ví dụ 2. Giải phương trình (x+ y − 3) dy − (x− y + 1) dx = 0.

Giải: Giải hệ {x+ y − 3 = 0x− y + 1 = 0

có nghiệm duy nhất

{x0 = 1y0 = 2

Đặt {x = t+ 1y = u+ 2

⇒{dx = dtdy = du

thay vào phương trình ta có

(t+ 1 + u+ 2− 3) du− (t+ 1− u− 2 + 1) dt = 0

hay

du

dt=t− ut+ u

hay u′ =1− u

t

1 +u

t

Đặtu

t= z hay u = zt⇒ u′ = z′t+ z thay vào phương trình trên ta có

z′t+ z =1− z1 + z

hay1 + z

1− 2z − z2dz =

dt

t

Lấy tích phân hai vế ta được

−1

2ln∣∣1− 2z − z2

∣∣ = ln |t|+ ln |C|

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1√1− 2 (y − 2)

x− 1− (y − 2)2

(x− 1)2

= C (x− 1)

2.3.3. Phương trình Becnuly.

Là phương trình vi phân có dạng

y′ + p(x)y = q(x)yα (2.5)

trong đó α 6= 0, α 6= 1 (nếu α = 0, α = 1 phương trình có dạng phương trình vi phân

tuyến tính).

Cách giải: Với y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho yα ta được

y−αy′ + p (x) y1−α = q (x)



Đặt z = y1−α ta có z′ = (1− α) y−αy′ thay vào phương trình ta được

z′+ (1− α) p (x) z = (1− α) q (x)

Đây là phương trình vi phân tuyến tính.

Mặt khác y = 0 cũng là một nghiệm của phương trình 2.5.

Ví dụ. Giải phương trình y′ +y

x= x2y4.

Giải:

+ Với y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y4 ta có

y−4y′ +y−3

x= x2

Đặt z = y−3 ta có z′ = −3y−4y′ thay vào phương trình trên ta được −z′

3+z

x= x2, đây

là phương trình tuyến tính.

Xét phương trình −z′

3+z

x= 0 hay

dz

z= 3

dx

x. Lấy tích phân hai vế ta được

ln |z| = 3 ln |x|+ ln |C| ⇒ z = C.x3

Coi C là hàm số của x suy ra z′ = C ′x3 +3Cx2 thay vào phương trình tuyến tính ta được

C ′ = −3

x⇒ C = −3 ln |x|+K

do đó nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là z = Kx3− 3x3 ln |x|. Vậy nghiệm

tổng quát của phương trình đã cho là

1

y3= x3 (K − 3 ln |x|) hay y =

1

x 3√K − 3 ln |x|

+ Mặt khác y = 0 cũng là một của phương trình.

2.3.4. Phương trình vi phân toàn phần.

Là phương trình vi phân có dạng

P (x, y) dx+Q (x, y) dy = 0 (2.6)

trong đó P (x), Q(x) là các hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp một của chúng

trong miền đơn liên D thỏa mãn điều kiện

∂P

∂y=∂Q

∂x

Khi đó P (x, y) dx+Q (x, y) dy là vi phân toàn phần của hàm số u(x, y) nào đó, tức là

du (x, y) = P (x, y) dx+Q (x, y) dy



Cách giải: Với D = R2, hàm số u(x, y) được xác định bởi công thức

u (x, y) =

x∫x0

P (x, y) dx+

y∫y0

Q (x0, y) dy

hoặc

u (x, y) =

x∫x0

P (x, y0) dx+

y∫y0

Q (x, y) dy

trong đó (x0, y0) là điểm thuộc miền D.

Vậy tích phân tổng quát của phương trình 2.6 là

x∫x0

P (x, y) dx+

y∫y0

Q (x0, y) dy = C

hoặcx∫

x0

P (x, y0) dx+

y∫y0

Q (x, y) dy = C

Ví dụ 1. Giải phương trình (3x2 + 6xy2) dx+ (6x2y + 4y3) dy = 0.

Giải: Ta có P (x, y) = 3x2 + 6xy2, Q (x, y) = 6x2y + 4y3 suy ra

∂P

∂y= 12xy,

∂Q

∂x= 12xy ⇒ ∂P

∂y=∂Q

∂x= 12xy

Vậy

P (x, y) dx+Q (x, y) dy

là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y). Chọn x0 = y0 = 0 ta có

x∫0

(3x2 + 6xy2

)dx+

y∫0

4y3dy = u (x, y) hay x3 + 3x2y2 + y4 = C

Chú ý. Có những trường hợp phương trình (2.6) không phải là phương trình vi phân

toàn phần, nhưng ta có thể chọn hàm số α (x, y) sao cho phương trình

α (x, y)P (x, y) dx+ α (x, y)Q (x, y) dy = 0 (2.7)

trở thành phương trình vi phân toàn phần, tức là

∂

∂y(αP ) =

∂

∂x(αQ)

Khi đó hàm số α (x, y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình vi phân (2.6).

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.7) cũng là nghiệm tổng quát của phương trình



(2.6).

Cách tìm thừa số tích phân.

Ở đây ta chỉ đề cập đến trường hợp thừa số tích phân là hàm số một biến x hoặc biến y.

+ Nếu∂P/∂y − ∂Q/∂x

Q (x, y)= φ (x)

thì

α (x, y) = α (x) = e∫φ(x)dx

+ Nếu∂P/∂y − ∂Q/∂x

P (x, y)= φ (y)

thì

α (x, y) = α (y) = e−∫φ(y)dy

Ví dụ 2. Giải phương trình ydx− (4x2y + x) dy = 0.

Giải: Ta có P (x, y) = y, Q (x, y) = − (4x2y + x) suy ra

∂P

∂y= 1,

∂Q

∂x= − (8xy + 1) ⇒ ∂P

∂y6= ∂Q

∂x

Mặt khác∂P/∂y − ∂Q/∂x

Q (x, y)=

8xy + 2

− (4x2y + x)= -

2

x= φ (x)

suy ra

α (x) = e−∫ 2

xdx

= e−2 ln|x| =1

x2

Nhân hai vế của phương trình với1

x2ta có

y

x2dx−

(4y +

1

x

)dy = 0.

Khi đó

P (x, y) =y

x2, Q (x, y) = −

(4y +

1

x

)suy ra

∂P

∂y=

1

x2,

∂Q

∂x=

1

x2⇒ ∂P

∂y=∂Q

∂x

Vậy P (x, y) dx + Q (x, y) dy là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y). Chọn

x0 = 1, y0 = 0 ta có tích phân tổng quát của phương trình là

x∫1

y

x2dx−

y∫0

(4y + 1) dy = u (x, y) hay − y

x− 2y2 = C



2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong

phân tích kinh tế

2.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số

kinh tế bằng phương pháp đồ thị

Một trong các đề tài quan trọng của kinh tế học là phân tích xu hướng vận động của các

biến số kinh tế theo thời gian. Giả sử quy luật vận động của biến số y theo thời gian t

được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân cấp 1:

dy

dt= f(t, y) (2.8)

Nghiệm y = y(t) của phương trình (2.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) = y0 được gọi

là quỹ đạo thời gian của biến số y. Việc phân tích định lượng quỹ đạo thời gian chỉ có

thể thực hiện được khi ta giải được phương trình vi phân (2.8) và biểu diễn nghiệm của

nó dưới dạng hàm hiện. Phương pháp định tính dưới đây cho phép ta phân tích quỹ đạo

thời gian của biến số y ngay cả khi không tìm được nghiệm của phương trình (2.8) dưới

dạng hiện.

Xét trường hợp vế phải của phương trình (2.8) khuyết biến số t:

dy

dt= f(y) (2.9)

Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân otonom. Trong trường hợp này ta

có thể phân tích xu hướng vận động theo thời gian của biến số y thông qua hàm số f(y)

ở vế phải.

a, Biểu đồ pha

Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn biến số y và trục tung biểu diễn biến số

y′, ta lập đồ thị hàm số (2.9). Đồ thị đó được gọi là đường pha. Ta đã biết y′ cho biết xu

hướng tăng giảm của y theo t, do đó xu hướng vận động của y theo thời gian có thể được

xác định theo quy tắc sau:

• Tại những điểm của đường pha nằm trên trục hoành, y′ nhận giá trị dương, do đó

y tăng theo thời gian.

• Tại những điểm của đường pha nằm dưới trục hoành, y′ nhận giá trị âm, do đó y

giảm theo thời gian.

• Tại giao điểm (y, 0) của đường pha với trục hoành, y′ = 0.

Ta gọi y là trạng thái tĩnh, hay trạng thái cân bằng của biến số y. Trạng thái cân bằng

tồn tại khi và chỉ khi đường pha cắt trục hoành.



Hai trường hợp thường gặp của biểu đồ pha được thể hiện như hình dưới đây.

Hình 2.1: Đường pha 1

Hình 2.2: Đường pha 2

b, Quỹ đạo thời gian và tính ổn định động của trạng thái cân bằng

Dựa vào biểu đồ pha chúng ta có thể phân tích định tính quỹ đạo thời gian của biến số

y. Để minh hoạ, ta biểu diễn quỹ đạo thời gian tương ứng với hai biểu đồ pha trên. Trục

hoành biểu diễn thời gian t, trục tung biểu diễn biến số y, đường thẳng y = y biểu diễn

trạng thái cân bằng.

Quỹ đạo thời gian tương ứng với biểu đồ pha ở hình 2.1 được minh hoạ ở hình 2.3. Nếu

tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y1 < y (y = y1 khi t = 0) thì điểm tương ứng trên

đường pha nằm phía trên trục hoành, do đó y tăng theo thời gian và tiến dần đến trạng

thái cân bằng y. Nếu tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y2 > y thì điểm tương ứng

trên đường pha nằm phía dưới trục hoành, do đó y giảm theo thời gian và tiến dần đến

trạng thái cân bằng y. Như vậy trong trường hợp này mọi quỹ đạo thời gian của biến số

y đều hội tụ đến trạng thái cân bằng, điều này có nghĩa là:

limt→∞

y(t) = y

Trong trường hợp này người ta nói rằng trạng thái cân bằng y ổn định động và y được

gọi là trạng thái ổn định.



Quỹ đạo thời gian tương ứng với biểu đồ pha ở hình 2.2 được minh hoạ ở hình 2.4. Nếu

tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y1 < y thì điểm tương ứng trên đường pha nằm

phía dưới trục hoành, do đó y giảm theo thời gian và ngày càng dời xa trạng thái cân

bằng y. Nếu tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y2 > y thì điểm tương ứng trên đường

pha nằm phía trên trục hoành, do đó y tăng theo thời gian và cũng ngày càng dời xa

trạng thái cân bằng. Trong trường hợp này ta nói trạng thái cân bằng y không ổn định.

Hình 2.3: Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định

Phân tích trên đây cho thấy tính ổn định của trạng thái cân bằng y phụ thuộc vào dấu

Hình 2.4: Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định

của f ′(y) tại điểm cân bằng y, trạng thái cân bằng y ổn định động khi và chỉ khi f ′(y) < 0.

Ví dụ: Xét mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:

dy

dt+ py = q ⇔ dy

dt= −py + q

Trong trường hợp này f(y) = −py + q, f ′(y) = −p. Trạng thái cân bằng y = qpổn định

động khi và chỉ khi p > 0.

2.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar

Mô hình tăng trưởng Domar đề cập đến việc xác định luồng đầu tư cho nền kinh tế

luôn luôn ở trạng thái cân bằng. Các giả thiết của mô hình như sau:



1. Các yếu tố sản xuất được sử dụng theo một tỷ lệ cố định:

K

L= const

do đó có thể xét hàm sản xuất như là hàm số một biến số K:

Q = f(K)

trong đó Q là sản lượng tiềm năng và K là tư bản hay quỹ vốn.

2. Tỷ lệ giữa sản lượng tiềm năng và quỹ vốn không đổi, tức là

Q = ρK, (ρ là một hằng số dương).

3. Nền kinh tế luôn luôn ở trạng thái sử dụng hết khả năng sản xuất, tức là thu nhập

Y bằng sản lượng tiềm năng Q:

Y = Q

4. Xu hướng tiết kiệm cận biên không đổi và đầu tư bằng tiết kiệm:

I = S = sY

Hằng số s là xu hướng tiết kiệm cận biên, 0 < s < 1). Ta xét tất cả các biến số nêu

trên như các hàm số của biến thời gian t. Tại thời điểm t lượng đầu tư I(t) biểu thị

tốc độ gia tăng của quỹ vốn K(t), do đó

I(t) =dK(t)

dt

Theo giả thiết thứ hai ta có:dQ

dt= ρ

dK

dt= ρI (2.10)

Từ giả thiết thứ ba suy radQ

dt=dY

dt(2.11)

Từ giả thiết thứ tư suy radI

dt= s

dY

dt⇔ dY

dt=

1

s

dI

dt(2.12)

Kết hợp các hệ thức (2.10), (2.11), (2.12) ta được

1

s

dI

dt= ρI (2.13)

Phương trình (2.13) là phương trình tuyến tính thuần nhất. Giải phương trình này ta

được quỹ đạo thời gian của biến số I:

I = Aeρst



với t = 0 ta có I(0) = A, do đó

I = I(0)eρst

trong đó I(0) là lượng đầu tư ban đầu (tại thời điểm xuất phát). Do ρ > 0 và s > 0 nên,

với I(0) > 0, I tăng không ngừng. Trạng thái cân bằng không tồn tại và I → +∞ khi

t→ +∞.

2.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow

Trong mô hình Domar sản lượng tiềm năng được xét như là hàm số của một biến số K

(quỹ vốn). Sự vắng mặt của biến số lao động L hàm ý rằng lao động và vốn được kết hợp

theo một tỷ lệ cố định. Mô hình Solow đã tìm cách phân tích tăng trưởng trong điều kiện

vốn và lao động được kết hợp theo tỷ lệ thay đổi.

a. Thiết lập mô hình

Ta xuất phát từ hàm sản xuất:

Q = F (K,L), K > 0, L > 0

trong đó các biến số Q,K và L được xét dưới góc độ kinh tế vĩ mô. Các giả thiết của mô

hình như sau:

1. Hàm sản xuất Q = F (K,L) là hàm thuần nhất bậc 1 (biểu thị hiệu quả không đổi

theo quy mô). Với giả thiết này ta có:

1

LQ =

1

LF (K,L) = F

(1

LK,

1

LL

)= F

(K

L, 1

)= φ(k)

⇒ Q = Lφ(k)(2.14)

trong đó biến số k =K

Lđược gọi là tỷ số vốn - lao động. Biến số k biểu thị hàm

lượng vốn tính bình quân cho một đơn vị lao động.

2. Tại mọi thời điểm nền kinh tế phát huy hết khả năng công nghệ, tức là tổng thu

nhập Y bằng sản lượng tiềm năng Q:

Q(t) = Y (t)∀t ≥ 0

.

3. Tại mọi thời điểm, một tỷ phần cố định của thu nhập được tiết kiệm và dùng hết

cho đầu tư:dK

dt= I(t) = sY (t)

trong đó s là xu hướng tiết kiệm cận biên (s là hằng số dương nhỏ hơn 1).



4. Lực lựng lao động tăng theo quy luật hàm mũ.

dL

dt= λL

Từ đồng nhất thức K = kL ta có:

dK

dt= L

dk

dt+ k

dL

dt(2.15)

Từ giả thiết 3, kết hợp với giả thiết 2 và hệ thức (2.14) suy ra:

dK

dt= sQ = sL.φ(k)

Kết hợp hệ thức này với hệ thức ở giả thiết 4, ta có thể viết (2.15) dưới dạng:

sL.φ(k) = Ldk

dt+ kλL

Từ đây ta được mô hình Solow:

dk

dt= sφ(k)− λk (2.16)

Mô hình tăng trưởng Solow cho phép ta phân tích quỹ đạo thời gian của biến số k.

b. Phân tích định tính

Gọi f(k) là hàm số ở vế phải của phương trình (2.16). Trạng thái tĩnh k được xác định

từ phương trình

f(k) = sφ(k)− λk = 0⇔ sφ(k) = λk

Từ hệ thức (2.14) ta cóQ

L= φ(k)

Như vậy, hàm số φ(k) biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng bình quân của lao động (tỷ

số QL) vào tỷ số vốn - lao động k.

Nếu biểu diễn bằng đồ thị thì trạng thái cân bằng k là hoành độ giao điểm của đường

h = sφ(k) với đường thẳng h = λk. Theo quy luật kinh tế thì φ(k) là hàm đơn điệu tăng.

Mặt khác theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì φ′′(k) < 0, do đó đồ thị h = sφ(k) là

lồi. Với giả thiết K là một yếu tố không thể bỏ qua được của sản xuất, đường h = sφ(k)

xuất phát từ gốc toạ độ. Ngoài ra ta giả thiết rằng sφ(k) > λk trong một khoảng giá trị

nào đó của k, kể từ k = 0. Hình vẽ dưới đây biểu diễn vị trí của điểm tĩnh k và đồ thị

pha của phương trình (2.16)

Biểu đồ pha cho thấy trạng thái tĩnh k ổn định động: Dù xuất phát từ bất cứ giá trị

nào, cùng với thời gian k(t)→ k. Khi đó k được gọi là trạng thái ổn định.

Một điều có ý nghĩa quan trọng là khi trạng thái cân bằng k đã đạt được thì tỷ lệ vốn



Hình 2.5: Điểm trạng thái tĩnh

Hình 2.6: Đồ thị pha

- lao động không thay đổi theo thời gian, do đó K(t) và L(t) tăng với cùng tỷ lệ λ, kéo

theo đầu tư ròng I(t) cũng tăng với cùng tỷ lệ λ. Thật vậy, ta có:

k =KL− LK

L2= 0⇒ KL = LK ⇒ K

K=L

L= λ

⇒ K = K0eλt, L = L0e

λt ⇒ I = K = λK = λK0eλt = I0e

λt

Như vậy mô hình tăng trưởng Solow chỉ ra rằng nếu lực lượng lao động tăng với tỷ lệ ổn

định λ thì tự thân nền kinh tế sẽ tiến dần đến trạng thái tăng trưởng ổn định, khi mà

đầu tư ròng tăng theo cùng tỷ lệ λ, như K và L. Hơn nữa, do Q = Lφ(k) và φ(k) không

đổi nên Q cũng tăng với cùng tỷ lệ λ. Vì thế mà k được gọi là trạng thái tăng trưởng ổn

định.

Chú ý rằng các phân tích trên đây được thực hiện với giả thiết hàm sản xuất f không

thay đổi theo thời gian. Để tính đến tiến bộ công nghệ ta chỉ cần thay đổi mô hình hàm

sản xuất. Chẳng hạn, có thể xét hàm sản xuất dưới dạng:

Q = T (t)f(K,L), T > 0

Trong đó T (t) là hàm đặc trưng cho tiến bộ công nghệ theo thời gian: Ứng với mỗi tổ hợp

yếu tố (K,L) sản lượng tiềm năng Q được nhân với hệ số T (t) tăng theo thời gian. Trong

bối cảnh đó đường cong h = sφ(k) được đẩy lên phía trên và cắt đường thẳng h = λk tại



điểm có hoành độ k lớn hơn. Điều này có nghĩa là, với sự tiến bộ của công nghệ, trạng

thái ổn định sẽ đạt được với một hàm lượng vốn tính theo đầu công nhân ngày càng lớn

hơn.

c. Phân tích định lượng

Để có thể phân tích định lượng ta phải biết hàm sản xuất F . Chẳng hạn, nếu hàm sản

xuất có dạng Cobb-Douglas

Q = aKαL1−α, (a > 0, 0 < α < 1)

thì

φ(k) =Q

L= a

(K

L

)α= akα

Phương trình (2.16) trở thành

dk

dt= askα − λk ⇔ dk

dt+ λk = askα

Phương trình này là phương trình Becnully. Theo phương pháp đã biết ta tìm được

k =[(k0

1−α − as

λ

)e−λ(1−α)t +

as

λ

] 11−α

trong đó k0 = k(0).

Do λ > 0 và 1− α > 0 nên k →(asλ

) 11−α khi t→ +∞. Trạng thái ổn định là:

k =(asλ

) 11−α

2.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hoá như sau:

Qd = a− bP, (a > 0, b > 0) (2.17)

Qs = −c+ dP, (c > 0, d > 0) (2.18)

Khi đó giá cân bằng (Giá khi Qs = Qd) là một hằng số dương:

P =a+ c

b+ d

Nếu tại thời điểm xuất phát t = 0 giá P (0) đúng bằng giá cân bằng P thì thị trường

đã ở trạng thái cân bằng. Nhưng nếu P (0) 6= P thì phải sau một thời gian điều chỉnh

thị trường mới có thể tiến tới trạng thái cân bằng. Trong khoảng thời gian đó cả giá P ,

lượng cầu Qd và lượng cung Qs đều thay đổi, do đó ta xem cả giá và lượng là các hàm số

của thời gian t. Vấn đề phân tích động được đặt ra như sau: Nếu có đủ thời gian để điều

chỉnh thì liệu thị trường có tiến tới trạng thái cân bằng hay không? tức là P (t) có hội tụ



đến P hay không khi t→ +∞?

Để trả lời câu hỏi này ta lập quỹ đạo thời gian của giá cả, tức là thiết lập hàm số P = P (t).

Để cho đơn giản ta giả thiết rằng tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng chênh

lệch giữa cung và cầu Qd −Qs tại mọi thời điểm:

dP

dt= δ(Qd −Qs), (δ > 0) (2.19)

Hằng số δ được gọi là hệ số điều chỉnh. Chú ý rằng trong phương trình (2.19), dPdt

= 0 khi

và chỉ khi Qd = Qs. Thay (2.17) và (2.18) vào (2.19) ta được:

dP

dt= δ(a+ c)− δ(b+ d)P

⇔ dP

dt+ δ(b+ d)P = δ(a+ c) (2.20)

Phương trình (2.20) là một phương trình vi phân tuyến tính. Giải phương trình này ta

được:

P (t) =[P (0)− P

]e−δ(b+d)t + P

trong đó P là trạng thái cân bằng:

P =a+ c

b+ d

Do δ(b + d) > 0 nên[P (0)− P

]e−δ(b+d)t → 0 khi t → +∞. Như vậy, mô hình trên đây

cho thấy P (t)→ P khi t→ +∞, tức là trạng thái cân bằng P là trạng thái ổn định.

2.5. Phương trình vi phân cấp 2

2.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2

a. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Phương trình vi phân thường cấp 2 có dạng tổng quát như sau:

F (x, y, y′, y′′) = 0 (2.21)

trong đó F là một hàm số của 4 biến số x, y, y′, y′′.

Dạng đã giải theo đạo hàm cấp 2:

y′′ = f(x, y, y′) (2.22)

Việc giải phương trình vi phân cấp 2 thường phải qua hai lần lấy tính phân bất định, do

đó nghiệm của nó có dạng

y = ϕ(x,C1, C2) (2.23)



Họ hàm số (2.23) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân thường cấp

2 nếu khi gán cho mỗi C1, C2 các giá trị bất kỳ ta được một nghiệm của phương trình.

Mỗi nghiệm ứng với các giá trị cụ thể của C1, C2 được gọi là các nghiệm riêng của phương

trình.

Ví dụ: Phương trình y′′ = 2x có thể giải như sau:

(y′)′ = y′′ = 2x⇒ y′ =

∫2xdx = x2 + C1

⇒ y =

∫(x2 + C1)dx =

1

3x3 + C1x+ C2

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y =1

3x3 + C1x+ C2

Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng, chẳng hạn:

y = 13x3 (khi C1 = C2 = 0)

y = 13x3 + x+ 1 (khi C1 = C2 = 1),v.v..

b. Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2 được đặt ra như sau:

Tìm nghiệm của phương trình (2.22) thoả mãn các điều kiện:

y = y0, y′ = y′0 (2.24)

Với y0 và y′0 là giá trị tại điểm x = x0 cho trước.

Điều kiện (2.24) được gọi là điều kiện ban đầu. Chú ý rằng điều kiện ban đầu bao gồm

giá trị riêng của nghiệm và giá trị của đạo hàm của nó tại một điểm x0 cho trước. Bộ ba

số thực (x0, y0, y′0) được gọi là bộ giá trị ban đầu.

Khi đã tìm ra nghiệm tổng quát của phương trình (2.22), để tìm nghiệm riêng thoả mã

điều kiện ban đầu (2.24) ta tìm C1, C2 từ hệ 2 phương trình:

ϕ(x0, C1, C2) = y0, ϕ′(x0, C1, C2) = y′0

Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y′′ = 2x là:

y =1

3x3 + C1x+ C2

Đạo hàm của nghiệm tổng quát là y′ = x2 + C1.

Để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện y(1) = 1, y′(1) = 2 ta giải hệ phương trình:

{13

+ C1 + C2 = 11 + C1 = 2

⇔{C1 = 1C2 = −1

3



Nghiệm riêng thoả mãn điều kiện đã cho là:

y =1

3x3 + x− 1

3

. Định lý sau đây được gọi là định lý tồn tại và duy nhất đối với phương trình vi phân

cấp 2:

Định lý 2. Giả sử hàm số f(x, y, y′) ở vế phải của phương trình (2.22) xác định, liên

tục trong một lân cận V của điểm M0(x0, y0, y′0) và tồn tại các hằng số K,L sao cho:

|f(x, y2, y′)− f(x, y1, y

′)| ≤ K |y2 − y1| ∀(x, y1, y′), (x, y2, y

′) ∈ V|f(x, y, y′2)− f(x, y, y′1)| ≤ L |y′2 − y′1| ∀(x, y, y′1), (x, y, y′2) ∈ V

Khi đó, trong một khoảng (x0− δ, x0 + δ) với δ đủ nhỏ tồn tại một và chỉ một nghiệm của

phương trình (2.22) thoả mãn điều kiện ban đầu (2.24).

2.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp

hạ cấp

Xét phương trình vi phân cấp 2:

y′′ = f (x, y, y′) (2.25)

a. Dạng 1: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y,y′

Dạng tổng quát: y′′ = f(x)

Công thức nghiệm: y =∫ (∫

f (x) dx

)dx+ C1x+ C2

Ví dụ: Giải phương trình y′′ = x2 + xex + 1

Giải:y′ =

∫(x2 + xex + 1) dx+ C1 = x3

3+ xex − ex + C1

y =∫ (

x3

3+ xex − ex + C1

)dx = x4

12+ x2

2+ xex + C1x+ C2

b. Dạng 2: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y

Dạng tổng quát: y′′ = f (x, y′)

Phương pháp giải: Đặt y′ = z(x). Suy ra

y′′ = z′

. Thay vào phương trình ta được z′ = f(x, z). Đây là phương trình vi phân cấp 1. Giải

phương trình để tìm z, sau đó tìm y.

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

y′′ = x− y′

x



Giải: Đặt y′ = z được y′′ = z′, suy ra phương trình: z′ = x − z

x⇔ z′ + z

x= x. Đây là

phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nghiệm: z = e−∫dxx

(∫xe

∫dxxdx+ C1

)= x2

3+ C1

x

Do đó y′ = x2

3+ C1

x. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

y =x3

9+ C1 lnx+ C2

c. Dạng 3: Vế phải (2.25) không phụ thuộc x

Dạng tổng quát: y′′ = f (y, y′)

Phương pháp giải: Đặt y′ = p, quan niệm y là biến, p là hàm của biến y, ta có: y′′ = dy′

dx=

dpdx

= dpdy

dydx

= p′p. Thay vào phương trình ta được pp′ = f (y, p). Đây là phương trình vi

phân cấp 1 đối với hàm p. Giải phương trình này tìm ra p, rồi tìm được y.

Ví dụ: Giải phương trình vi phân cấp 2: yy′′ − y′2 = 0

Giải: Đặt y′ = p(y), có y′′ = pp′, thay vào phương trình ta có: ypp′ − p2 = 0

a, p = 0, suy ra y′ = 0,y = C1 là nghiệm.

b, yp′ = p hay dpp

= dyy

⇔ p = C1y. Thay p = y′ ta có y′ = C1y ⇔ dyy

= C1dx⇔∫

dyy

=∫C1dx+ lnC2

Nghiệm tổng quát: y = C2eC1x

2.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

a. Định nghĩa

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:

y′′ + p (x) y′ + q (x) y = f (x) (2.26)

trong đó p (x) , q (x) , f (x) là các hàm liên tục

Nếu f(x) = 0 thì phương trình

y′′ + p (x) y′ + q (x) y = 0 (2.27)

được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.

Nếu f (x) 6= 0 thì phương trình (2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp

hai không thuần nhất. Đặc biệt, nếu trong đó p (x) , q (x) là các hằng số thì phương trình

(2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số.

b. Các định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Định lý 3. Nếu y1 (x) ; y2 (x) là hai nghiệm của phương trình (2.27) thì y = C1y1 (x) +

C2y2 (x) cũng là một nghiệm của phương trình (2.27). Đặc biệt nếu y1 (x) ; y2 (x) là hai



nghiệm độc lập tuyến tính của (2.27) thì y = C1y1 (x) +C2y2 (x) là nghiệm tổng quát của

(2.27)

Chú ý:

1. Hai hàm số y1 (x) và y2 (x) được gọi là độc lập tuyến tính nếuy1 (x)

y2 (x)k 6= const

2. Đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có hệ số thay đổi, không có

phương pháp chung để tìm được hai nghiệm độc lập tuyến tính của nó. Tuy nhiên

người ta có thể tìm được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với một nghiệm khác

không cho trước.

Định lý 4. Nếu biết một nghiệm riêng y1 (x) 6= 0 của (2.27) thì ta có thể tìm được

nghiệm riêng thứ hai y2 (x) của (2.27) độc lập tuyến tính với y1 (x) bằng cách đặt y2 (x) =

y1 (x)u (x)

Chú ý: Để tìm nghiệm riêng thứ hai ta có thể sử dụng công thức Liouville:

y2 (x) = y1 (x)

∫e−

∫p(x)dx

y12 (x)

dx

Định lý 5. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

(2.26) bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (2.27) cộng với một

nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.26)

Định lý 6. (Nguyên lý chồng chất nghiệm)

Nếu vế phải của phương trình (2.26) được viết dưới dạng f (x) =n∑i=1

fi (x) và y∗i là nghiệm

riêng của phương trình y′′ + p (x) y′ + q (x) y = fi (x) (i = 1, n) thì y∗ =n∑i=1

y∗i là nghiệm

riêng của phương trình (2.26)

Định lý 7. (Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Nếu y1 (x), y2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2.27)

thì một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.27) là y∗ = C1 (x) y1 (x) +

C2 (x) y2 (x) trong đó C1 (x) ;C2 (x) là nghiệm của hệ:{C1′ (x) y1 (x) + C2

′ (x) y2 (x) = 0C1′ (x) y1

′ (x) + C2′ (x) y2

′ (x) = f (x)

c. Một số ví dụ

1. Các ví dụ về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Ví dụ 1

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (x2 + 1) y′′ − 2xy′ + 2y = 0 biết một nghiệm



riêng y1 = x

Giải: Theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ hai y2(x) độc lập tuyến tính với

y1(x) đươc xác định:

y2 (x) = x∫

x2+1x2

dx = x

(x− 1

x

)= x2 − 1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là:

y = C1x+ C2

(x2 − 1

)Ví dụ 2

Xác định α, β để y1 = α +β

1− xlà nghiệm của phương trình vi phân: x(x− 1)2y′′ +

x (x− 1) y′ − y = 0. Từ đó tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

Giải: Tính đạo hàm y1′ =

β

(1− x)2 ; y′′ =2β

(1− x)3 . Thay vào phương trình ta được đồng

nhất thức x(x− 1)2 2β

(1−x)3+ x (x− 1) β

(1−x)2−α− β

1−x = 0 hay (α + β)x− (α + β) = 0⇒α = −β. Chọn α = 1 ta được nghiệm riêng của phương trình cần giải:

y1 = 1− 1

1− x=

x

x− 1

Áp dụng công thức Liouville:

y2 =x

x− 1

∫e−

∫1

x−1dx(

xx−1

)2 dx =1 + x lnx

x− 1

.

2.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

a. Dạng tổng quát

y′′ + a1y′ + a2y = f (x) (2.28)

Để giải phương trình (2.28) người ta giải phương trình thuần nhất tương ứng

y′′ + a1y′ + a2y = 0 (2.29)

Sau đó dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm của phương trình

không thuần nhất. Trong một số trường hợp việc tìm nghiệm của phương trình không

thuần nhất (2.29) được quy về giải các phương trình đại số. Dưới đây ta chỉ đề cập các

trường hợp đặc biệt ấy.

b. Tìm nghiệm

Giả sử nghiệm của (2.29) có dạng y = ekx. Khi đó thay vào (2.29) ta được phương trình,

gọi là phương trình đặc trưng của (2.29).

k2 + a1k + a2 = 0 (2.30)



Các khả năng có thể xảy ra đối với cấu trúc nghiệm của phương trình đặc trưng và cấu

trúc nghiệm của phương trình thuần nhất (2.29) là:

Nếu (2.30) có hai nghiệm thực phân biệt k1 6= k2 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là

y = C1ek1x + C2e

k2x

Nếu (2.30) có nghiệm kép k0 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là y = ek0 (C1 + C2x)

Nếu (2.30) có nghiệm phức k = α± iβ thì nghiệm tổng quát của (2.29) là

y = eαx (C1 cos βx+ C2 sin βx)

Ví dụ: Giải các phương trình sauy′′ − 5y′ + 6y = 0y′′ − 4y′ + 4y = 0y′′ + 4y = 0

Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

(2.29), ta đi tìm một nghiệm riêng của (2.28). Việc nhẩm nghiệm được tiến hành trong

các trường hợp sau đây:

a/ Trường hợp f (x) = eαxPn (x) trong đó α là hằng số, Pn (x) là đa thức bậc n.

Trường hợp 1: Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.30). Khi đó phương

trình (2.28) có một nghiệm riêng có dạng y = eαxQn (x) trong đó Qn (x) là đa thức cùng

bậc với Pn (x). Các hệ số của Qn (x) được xác định bằng cách thay nghiệm riêng vào

phương trình (2.28) và đồng nhất hệ số hai vế.

Trường hợp 2: Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Xác định nghiệm riêng

có dạng: y = xeαxQn (x)

Trường hợp 3: Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng. Xác định nghiệm riêng

có dạng: y = x2eαxQn (x)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:y′′ − 2y′ + y = 1 + xy′′ − 3y′ + 2y = ex (3− 4x)y′′ − 4y′ + 4y = 4e2x

y′′ + y = xex + 2e−x

b/ Trường hợp f (x) = eαx (Pn (x) cos βx+Qm (x) sin βx)

Trường hợp 1: Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm

riêng của phương trình (2.28) có dạng y = eαx (Hs (x) cos βx+ Ls (x) sin βx) trong đó

Hs (x) , Ls (x) là các đa thức bậc s=max(m,n) có các hệ số cần xác định.

Trường hợp 2: Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của

phương trình (2.28) có dạng y = xeαx (Hs (x) cos βx+ Ls (x) sin βx)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:y′′ + y = 4x sinxy′′ − 2y′ = 2cos2x



2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính

cấp 2 trong phân tích kinh tế

2.6.1. Điều kiện ổn định động

Giả sử quy luật vận động theo thời gian t của biến số y được thiết lập dưới dạng phương

trình:

y′′ + py′ + qy = r (2.31)

Trạng thái cân bằng y = y là một nghiệm riêng của phương trình (2.31). Trạng thái cân

bằng y tồn tại khi và chỉ khi q 6= 0. Khi đó:

y =r

q

Điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng y là điều kiện để mọi quỹ đạo thời gian

hội tụ đến y.

Định lý 8. Trạng thái cân bằng y ổn định động khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của

phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0 đều có phần thực là số âm.

2.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá

Khi xét biến thời gian t liên tục, thông tin về xu hướng giá P (t) có thể biết được thông

qua P ′(t) (giá tăng hay giảm) và P ′′(t) (tốc độ tăng giảm). Các thông tin đó có thể ảnh

hưởng đến quyết định của người tiêu dùng và nhà sản xuất. Chẳng hạn nếu cho rằng

trong tương lai gần, giá một loại hàng hoá sẽ tăng thì người tiêu dùng sẽ mua nhiều hơn

hàng hoá đó. Để xem xét ảnh hưởng của kỳ vọng giá (nhận định về xu hướng thay đổi

của giá cả trên thị trường) đối với lượng cung và lượng cầu người ta xem xét hàm cung

và hàm cầu dưới dạng:Qdt = D[P (t), P ′(t), P ′′(t)]Qst = S[P (t), P ′(t), P ′′(t)]

Quỹ đạo thời gian của giá thị trường (giá cân bằng cung cầu) được thiết lập dưới dạng

phương trình vi phân cấp 2:

S[P (t), P ′(t), P ′′(t)] = D[P (t), P ′(t), P ′′(t)] (2.32)

Nếu hạn chế ở mô hình tuyến tính và đơn giản hoá các ký hiệu ta có thể viết:

Qd = a− bP + αP ′ + βP ′′

Qs = −c+ dP + γP ′ + δP ′′

Để cho đơn giản ta giả thiết rằng chỉ có hàm cầu chứa kỳ vọng giá, tức là γ = δ = 0. Khi

đó phương trình (2.32) có dạng:

−c+ dP = a− bP + αP ′ + βP ′′



⇔ P ′′ +α

β− b+ d

βP = −a+ c

β(2.33)

Trạng thái cân bằng là:

P =a+ c

b+ d

Dựa vào định lý về điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng ta có thể rút ra một

số kết luận khái quát về tính ổn định động của trạng thái cân bằng như sau

• Nếu β > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiêm thực trái dấu, do đó trạng

thái cân bằng P không ổn định

• Nếu β < 0 và α < 0 thì hệ số các phương trình (2.33) dương, do đó các nghiệm của

phương trình đặc trưng của nó hoặc là các số thực âm, hoặc là các số có phần thực

âm. Trong trường hợp này trạng thái cân bẳng P ổn định

• Nếu β < 0 và α > 0 thì hệ số của P ′ âm và hệ số của P dương. Trong trường hợp

này phương trình đặc trưng hoặc có các nghiệm thực dương, hoặc có các nghiệm

phức với phần thực dương, do đó trạng thái cân bằng P không ổn định.

2.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng

Trong mục 2.4.4 ta đã xét mô hình điều chỉnh giá với giả sử tốc độ điều chỉnh giá tỷ lệ

thuận với lượng chênh lệch cung và cầu:

dP

dt= α(Qd −Qs), α > 0

trong đó lượng cung Qs và lượng cầu Qd là các hàm số biến số t (thời gian).

Trong mô hình nói trên ta bỏ qua lượng hàng hoá tồn đọng khi có sự dư cung. Vấn đề

đặt ra là không chỉ lượng dư cung hiện thời mà cả lượng hàng tồn đọng chưa bán được

cũng gây áp lực hạ giá. Để biểu diễn ý tưởng này ta xét mô hình:

dP

dt= α(Qd −Qs)− β

t∫0

[Qs(x)−Qd(x)]dx (2.34)

trong đó α và β là các hằng số dương.

Từ (2.34) ta có:d2P

dt2= α(

dQd

dt− dQs

dt)− β[Qs(x)−Qd(x)]

Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính:

Qd = a− bP, (a > 0, b > 0)

Qs = −c+ dP, (C > 0, d > 0)



Khi đód2P

dt2= α

(−bdP

dt− ddP

dt

)− β[−(a+ c) + (b+ d)P ]

⇔ d2P

dt2+ α(b+ d)

dP

dt+ β(b+ d)P = β(a+ c) (2.35)

Quỹ đạo thời gian của giá cả được thiết lập gián tiếp dưới dạng phương trình vi phân

(2.35). Với giả thiết a, b, c, d, α, β là các hằng số dương, các hệ số của phương trình (2.35)

dương, do đó phương trình đặc trưng hoặc có các nghiệm thực âm, hoặc có các nghiệm

phức với phần thực âm. Trạng thái cân bằng

P =a+ c

b+ d

ổn định động. Dù xuất phát ở trạng thái P0 = P (0) nào, giá thị trường sẽ được điều chỉnh

dần đến trạng thái cân bằng.

2.7. BÀI TẬP

Bài tập 1. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau.

1, xy′ + y − ex = 0

2, y = x (y′ − x cosx)

3, ydx+ 2 (x+ y) dy = 0

4, xy′ − 2y = 2x4

5, y′ − y1−x2 − 1− x = 0

6, xy′ + (x+ 1) y = 3x2e−x

7, (xy′ − 1) lnx = 2y

8, xy′ = x+ 2y thỏa mãn y| x=1 = 0

9, y′ +3

xy = 2

x3thỏa mãn y|x=1 = 1

10, y′ − ytgx =1

cosxthỏa mãn y|x=0 = 0.

Bài tập 2. Giải các phương trình vi phân biến sô phân ly sau.

1, y′ =x2y − yx+ 1

2, 2x√

1− y2 + yy′ = 0

3, (xy2 + 4x) dx+ (y + x2y) dy = 0

4, y′ =cos y − sin y − 1

cosx− sinx+ 15, y′ = cos (x− y)

6, x√

1− y2dx+ y√

1− x2dy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0, y|x=0 = 0

7, sinxdy − y ln ydx = 0 thỏa mãn y|x=π

2

= e

8, (x2 − 1) y′ + 2xy2 = 0 thỏa mãn y|x=0 = 1



9, (xy2 − y2 + x− 1) dx+ (x2y − 2xy + x2 + 2y − 2x+ 2) dy = 0

10, y′ = (4x+ y − 1)2

Bài tập 3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau.

1, xy′ = y − xey

x

2, xy′ − y = (x+ y) lnx+ y

x3, y2 + x2y′ = xyy′

4, xy′ = x siny

x+ y

5, xy′ + xtgy

x− y = 0

6, xy′ + xtgy

x− y = 0

7, (x+ y + 2) dx+ (2x+ 2y − 1) dy = 0

8, (2x− 4y + 6) dx+ (x+ y − 3) dy = 0

9, xdy − (x+ y) dx = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

10,(y +

√x2 + y2

)dx− xdy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

Bài tập 4. Giải các phương trình vi phân Becnuly sau.

1, 3y′ + y = (1− 2x) y4

2, y′ + 2xy = 2x3y3

3, y′ + 2y = y2ex

4, y′ = y4 cosx+ ytgx

5, (xy + x2y3) y′ = 1

6, (x2 − 1) y′ sin y + 2x cos y = 2x− 2x3

7, x (ey − y′) = 2

8, xy′ + y = y2 lnx thỏa mãn y|x=1 = 1

9, y′ − y = xy2 thỏa mãn y|x=0 = 0

10, xy′ − y = y2 thỏa mãn y|x=1 = 0

Bài tập 5. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau.

1, (2x− y + 1) dx+ (2y − x− 1) dy = 0

2,xdy − ydxx2 + y2

= 0

3,2x (1− ey)(1 + x2)2 dx+

ey

1 + x2dy = 0

4, (1 + y2 sin 2x) dx− 2y cos2 xdy = 0

5,

x+ e

x

y

dx+ exy

(1− x

y

)dy = 0

6, 2x(

1 +√x2 − y

)dx−

√x2 − ydy = 0

7,

(1

ysin

x

y− y

x2cos

y

x+ 1

)dx+

(1

xcos

y

x− x

y2sin

x

y+

1

y2

)dy = 0

Bài tập 6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau bằng phương pháp thừa số tích



phân.

1, (x2 + y2) dx− 2xydy = 0

2, (y2 − 6xy) dx+ (3xy − 6x2) dy = 0

3, y (1 + xy) dx− xdy = 0

4,

(x

y+ 1

)dx+

(x

y− 1

)dy = 0

5, (x cos y − y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0

6, (x2 + y) dx = xdy

7,(x+ 2y) dx+ ydy

(x+ y)2 = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

8, (xy2 + y) dx− xdy = 0

9, (x+ y) dx+ (x− y) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0

10, (x− y) dx+ (2y − x) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0

Bài tập 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

1, y′′ − 5y′ + 7y = x2 + 1

2, y′′ − 6y′ + 3y = x2 + 3x

3, y′′ − 4y′ + 4y = 2x2 − x+ 3

4, y′′ + 6y′ = x2 + x

5, y′′ + y = x2 + 2x+ 3

6, y′′ − 5y′ + 6y = ex(x+ 1)

7, y′′ − 3y′ + 2y = e2x(2x+ 3)

8, y′′ − 2y′ + y = ex4x

9, y′′ − 4y′ + 3y = e2x(x− 3)

10, y′′ − 3y′ + 3y = exx2

11, y′′ − 2y′ + 2y = 5ex

12, y′′ − 4y′ + 3y = ex(x+ 2)

13, y′′ + 3y′ + 3y = e−x5x

14, y′′ + 4y′ + 3y = e−3x(x+ 1)

15, y′′ − 2y′ + y = ex(x+ 1)

16, y′′ − 4y′ + 4y = e2xx

17, y′′ + 4y′ + 4y = e−2x(2x+ 3)

18, y′′ + 4y′ + 4y = ex(sinx+ cosx)

19, y′′ − 2y′ + 2y = exsinx

20, y′′ + 4y′ − 5y = sinx.cos2x

Bài tập 8. Dùng nguyên lý chồng chất nghiệm, tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

1, y′′ − 3y′ + 2y = x+ sin2x

2, y′′ − 5y′ + 6y = e2x(x+ 1) + sinx

2cos

x

23, y′′ − y′ = x+ cos2x



4, y′′ + 2y = 2sin2x

25, y′′ − 3y′ + 2y = 5ex + sinx+ cosx

6, y′′ + y = 2cosx+ 3sinx+ x2

7, y′′ − 5y′ + 6y = e2x + sinxcos3x

8, y′′ − 2y′ + y = 4ex + cosx

9, y′′ − 2y′ + 2y = exsinx

10, y′′ + 3y′ − 4y = 2x+ 3 + excosx

Bài tập 9. Tìm điểm cân bằng và xét sự ổn định tại điểm cân bằng của quỹ đạo nghiệm

các phương trình sau:

1, y′ = siny

2, y′ = 4− y2

3, y′ = y2 − 4y + 3

4, y′ = −y2 + 3y + 2

5, y′ = (4− y2)(y2 + 2y − 3)

Bài tập 10. Giả sử mô hình thị trường với kỳ vọng giá được xây dựng dưới dạng các

phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 dưới đây. Tìm điểm cân bằng và nhận xét về tính

ổn định của trạng thái cân bằng trong mỗi trường hợp.

1, p′′ + 32p′ − 7

2p = −7

2, p′′ + 53p′ + 3p = 6

3, p′′ − 53p′ + 6p = 9

Bài tập 11. Cho mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng dưới dạng phương

trình

d2p

dt2= 0.25

(dQd

dt− dQs

dt

)+ 0.17 (Qs(t)−Qd(t))

Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính:

Qd = 3− 4p;Qs = −5 + 6p

Xác định trạng thái giá cân bằng và tính ổn định động tại trạng thái cân bằng đó.


Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

3.1. Khái niệm sai phân

3.1.1. Thời gian rời rạc và khái niệm sai phân

Để phân tích sự thay đổi của một biến kính tế y nào đó, ta cần xác định quỹ đạo thời

gian y = y(t), với t là biến thời gian. Trong các mô hình sử dụng đạo hàm và vi phân ta

xét t thay đổi liên tục. Tuy nhiên, trên thực tế việc phân tích các biến số kinh tế được

tiến hành rời rạc theo thời gian: theo giờ, theo ngày, theo tháng, theo quý, theo năm, . . .,

tức là theo các thời kỳ đều đặn. Với cách xem xét như vậy thì biến số t chỉ nhận các giá

trị nguyên: t = 0 (thời ký bắt đầu), t = 1 (thời kỳ thứ nhất), t = 2 (thời kỳ thứ 2), . . .

Để phân biệt với các hàm số đối số liên tục, ta dùng ký hiệu yt để nói rằng y là hàm số

đối số rời rạc t = 0, 1, 2, 3, . . .

Khi xét hàm số đối số liên tục y(t) vi phân của hàm số được xác định thông qua đạo

hàm

y′(t) = lim

∆t→0

∆y

∆t= lim

∆t→0

y (t+ ∆t)− y (t)

∆t.

Khi xét t biến thiên rời rạc thì giá trị nhỏ nhất của |∆t| bằng 1, do đó khái niệm đạo

hàm và vi phân không có nghĩa. Trong trường hợp này, thay cho vi phân, người ta sử

dụng khái niệm sai phân.

Định nghĩa 12. Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số đối số rời rạc y = yt là độ chênh

lệch giá trị của hàm số tại hai thời kỳ kế tiếp.

Sai phân của hàm số y = tt tại thời điểm t được ký hiệu là ∆yt và được xác định

bởi công thức

∆yt = yt+1 − yt

Ví dụ:

• Nếu hàm số yt biến thiên theo quy luật cấp số cộng với công sai d thì sai phân cấp

một là hằng số d: ∆yt = yt+1 − yt = d.

52


• Nếu hàm số yt biến thiên theo quy luật cấp số nhân với công bội q thì sai phân tại

thời điểm t được tính theo công thức:

∆yt = yt+1 − yt = qyt − yt = (q − 1) yt.

Tương tự như đạo hàm, sai phân ∆yt của hàm số y = yt là một hàm số đối số rời rạc

t, do đó khái niệm sai phân cấp cao được định nghĩa tương tự như vi phân cấp cao.

Định nghĩa 13. Sai phân cấp n của hàm số y = yt là sai phân cấp n− 1 của hàm số đó.

Sai phân cấp n của hàm số yt tại điểm t được ký hiệu là ∆nyt:

∆nyt = ∆(∆n−1yt

)= ∆n−1yt+1 −∆n−1yt.

Đặc biệt, sai phân cấp hai được tính bởi công thức

∆2yt = ∆ (∆yt) = ∆yt+1 −∆yt = (yt+2 − yt+1)− (yt+1 − yt) = yt+2 − 2yt+1 + yt.

3.1.2. Phương trình sai phân

a. Khái niệm về phương trình sai phân

Định nghĩa 14. Phương trình sai phân là phương trình với đối tượng phải tìm là một

hàm số đối số rời rạc y = yt, trong đó hàm số phải tìm có mắt dưới dạng sai phân các

cấp.

• Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân của hàm phải tìm có

mặt trong phương trình.

• Phương trình sai phân cấp n có dạng

Φ(t, yt,∆yt,∆

2yt, . . . ,∆nyt)

= 0. (3.1)

Từ phương trình (3.1), ta biểu diễn sai phân các cấp theo định nghĩa; tức là biểu

diễn ∆nyt qua yt, yt+1, . . . , yt+n, khi đó phương trình (3.1) có dạng

F (t, yt, yt+1, . . . , yt+n) = 0. (3.2)

Nếu từ dạng tổng quát (3.2), ta có thể biểu diễn yt+n theo yt, yt+1, . . . , yt+n−1 thì

phương trình sai phân cấp n có dạng

yt+n = f (t, yt, yt+1, . . . , yt+n−1) . (3.3)



b. Nghiệm của phương trình sai phân

Nghiệm của phương trình sai phân (3.3) là hàm số đối số rời rạc yt = ϕ (t) mà khi

thay yt = ϕ (t) , yt+1 = ϕ (t+ 1) , . . . , yt+n = ϕ (t+ n) vào phương trình đó ta được một

đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên t > 0.

Giải phương trình sai phân tức là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Tương tự như trong phương trình vi phân, nghiệm tổng quát của phương trình sai

phân cấp n là hàm số đối số rời rạc yt = ϕ (t, C1, C2, . . . , Cn), trong đó C1, C2, . . . , Cn là

các hằng số tùy ý. Nếu cho C1, C2, . . . , Cn một giá trị xác định ta được một nghiệm và gọi

là nghiệm riêng của phương trình. Nghiệm riêng của phương trình sai phân cấp n được

xác định khi cho trước điều kiện ban đầu. Điều kiện ban đầu đối với phương trình sai

phân (3.3) được cho dưới dạng một bộ giá trị xác định của y tại n tời kỳ đầu tính từ thời

kỳ xuất phát (t = 0, t = 1, . . . , t = n− 1).

Ví dụ: Hàm số yt = 2t+C, với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương trình

sai phân cấp một yt+1 = yt + 2.

Nếu cho trước giá trị y0 của nghiệm yt tại thời kỳ xuất phát (khi t = 0) thì y0 = 0+C = C.

Nghiệm nhận giá trị ban đầu y0 cho trước là nghiệm riêng ứng với C = y0: yt = 2t+ y0.

c. Phương trình sai phân ôtônôm

Phương trình (3.3) được gọi là phương trình ôtônôm nếu nó không chưa biến thời gian

t dưới dạng

yt+n = f(yt, yt+1, . . . , yt+n−1

Phương trình sai phân ôtônôm cấp một tổng quát có dạng

yt+1 = f(yt). (3.4)

Việc biểu diễn phương trình sai phân dưới dạng (3.4) cho phép ta tìm nghiệm của

phương trình theo một phương pháp tương đối đơn giản gọi là phương pháp lặp.

Ví dụ: Giải phương trình yt+1 = yt + 5

Giải : Nếu không có thông tin gì về giá trị của y tại thời kỳ xuất phát t = 0 thì ta đặt

y0 = C, với C là hằng số tùy ý. Từ biểu thức của phương trình đã cho ta có:

y1 = y0 + 5 = C + 5

y2 = y1 + 5 = C + 2.5

y3 = y2 + 5 = C + 3.5...

yt = yt−1 + 5 = C + t.5 = 5t+ C



Nếu biết y = y0 khi t = 0 thì từ nghiệm tổng quát ta xác định được nghiệm riêng

yt = 5t+ y0.

3.2. Phương trình sai phân cấp 1

3.2.1. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 1

a. Phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 15. Phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp một có dạng

yt+1 + pyt = q, (3.5)

trong đó p và q là các hằng số tùy ý.

Nếu q = 0 thì phương trình (3.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

yt+1 + pyt = 0 (3.6)

Cách giải : Phương trình (3.6) viết dưới dạng yt+1 = −pyt. Bằng phương pháp lặp ta

tìm được nghiệm tổng quát của phương trình là

yt = C(−p)t, (3.7)

trong đó C là hằng số bất kỳ.

Nghiệm riêng của phương trình (3.6) thỏa mãn điều kiện y = y0 khi t = 0 (điều kiện

ban đầu) là

yt = y0(−p)t

Ví dụ: Giải phương trình yt+1 − 9yt = 0.

Giải : Áp dụng công thức ta có nghiệm tổng quát của phương trình là yt = C9t.

Nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y = 3 khi t = 0 là yt = 3.9t.

b. Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Phương trình (3.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu q 6= 0.

Phương trình (3.6) được gọi là phương trình thuần nhất liên kết với phương trình (3.5).

Mối liên hệ giữa phương trình thuần nhất và không thuần nhất tương tự như phương

trình vi phân tuyến tính.

Định lý 1. Nếu y∗t là một nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất (3.5) và yt là một nghiệm của phương trình thuần nhất (3.6) thì y∗t + yt là nghiệm

của phương trình (3.5).



Chứng minh. Giả sử y∗t là một nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất (3.5) và yt là một nghiệm của phương trình thuần nhất (3.6) thì

y∗t+1 + py∗t = q và yt+1 + pyt = 0,∀t = 0, 1, 2, . . .

Khi đó (y∗t+1 + yt+1

)+ p (y∗t + yt) =

(y∗t+1 + py∗t

)+(yt+1 + pyt

)=

= q + 0 = q,∀t = 0, 1, 2, . . .

Vậy y∗t+1 + yt+1 là nghiệm của phương trình (3.5).

Hệ quả 1. Nếu y∗t là nghiệm riêng của phương trình (3.5) thì nghiệm tổng quát của nó

là

yt = y∗t + C(−p)t.

Như vậy để giải phương trình (3.5) ta cần tìm nghiệm riêng của nó.

Trước hết ta tìm nghiệm riêng của phương trình (3.5) dưới dạng y∗t = k, với k là hằng

số tùy ý. Hàm số yt = k là nghiệm của phương trình (3.5) khi và chỉ khi k + kp = q.

• Nếu p 6= −1 thì k =q

1 + psuy ra y∗t =

q

1 + plà một nghiệm riêng của (3.5)

• Nếu p = −1 thì phương trình (3.5) trở thành

yt+1 − yt = q. (3.8)

Ta tìm nghiệm riêng của phương trình này dưới dạng y∗t = mt, với m là hằng số tùy

ý. Thật vậy , hàm số y∗t = mt là nghiệm của (3.8) khi và chỉ khi m(t+ 1)−mt = q,

từ đó suy ra m = q. Vậy y∗t = qt là một nghiệm riêng của phương trình (3.8).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.5) là

• Trường hợp p 6= −1 thì

yt = C(−p)t +q

1 + p(3.9)

• Trường hợp p = −1 thì

yt = C + qt (3.10)

Nếu cho trước giá trị ban đầu y = y0 khi t = 0 thì từ (3.9) và (3.10) ta xác định được

hằng số C:

Trường hợp p 6= −1: C = y0 −q

1 + p.

Trường hợp p = −1: C = y0.

Vậy nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y = y0 khi t = 0 của phương trình (3.5) là



• Trường hợp p 6= −1 thì

yt =q

1 + p+

(y0 −

q

1 + p

)(−p)t (3.11)

• Trường hợp p = −1 thì

yt = qt+ y0 (3.12)

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm của phương trình yt+1 +2yt = 9 thỏa mãn điều kiện y = 4 khi t = 0.

Giải : Ta có p = 2, q = 9 suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là yt = C(−2)t + 3.

Mặt khác do y = 4 khi t = 0 nên C = 1. Vậy nghiệm của phương trình thỏa mãn điều

kiện y = 4 khi t = 0 là yt = (−2)t + 3.

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm của phương trình yt+1− yt = 3 thỏa mãn điều kiện y = 5 khi t = 0.

Giải : Ta có p = −1, q = 3 suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là yt = C + 3t. Mặt

khác do y = 5 khi t = 0 nên C = 5. Vậy nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện

y = 5 khi t = 0 là yt = 5 + 3t.

3.2.2. Một số mô hình phương trình ôtônôm tuyến tính trong

kinh tế học

a. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu

Trong một số ngành, việc sản xuất kéo dài theo thời gian, do đó nhiều khi các quyết

định sản xuất được tiến hành trước khi hàng hóa được bán ra thị trường một thời kỳ.

Khi ra quyết định sản xuất bao nhiêu, các nhà sản xuất căn cứ theo giá hiện hành, nhưng

hàng hóa lại được bán ra vào thời kỳ tiếp theo. Điều này có nghĩa là lượng cung ở thời

kỳ t + 1 phụ thuộc vào giá ở thời kỳ t. Nếu xét P và Q là các hàm số có thời gian t thì

mô hình cân bằng thị trường có dạng:

Qd,t+1 = Qs,t+1,

Qd,t+1 = α− βPt+1

(α và β > 0

),

Qs,t+1 = −γ + δPt(γ và δ > 0

).

Phương trình xác định giá trị cân bằng thị trường là:

α− βPt+1 = −γ + δPt

⇔ Pt+1 +δ

βPt =

α + γ

β(3.13)

Phương trình (3.13) là phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính dạng (3.5). Giá cân bằng

trong trường hợp này xác định từ phương trình

P +δ

βP =

α + γ

β.



Từ đó suy ra

P =α + γ

β + δ.

Áp dụng công thức (3.11) ta tìm được quỹ đạo thời gian của giá sản phẩm là

Pt = P +(P0 − P

)(− δβ

)t(3.14)

trong đó P0 là giá tại thời kỳ xuất phát t = 0.

Biểu thức (3.14) cho thấy:

• Với P0 6= P quỹ đạo thời gian của giá thị trường dao động lên xuống quanh giá cân

bằng P

(do − δ

β< 0

).

• Điều kiện ổn định của giá cân bằng làδ

β< 1⇔ δ < β

tức là quỹ đạo thời gian của giá thị trường hội tụ đến mức giá cân bằng khi và chỉ khi

đường cung phẳng hơn đường cầu (hệ số δ biểu thị độ dốc của đường cung và hệ số β

biểu thị độ dốc của đường cầu). Nếu δ > β thì quỹ đạo thời gian của giá thị trường ngày

càng rời xa mức cân bằng P (xem hình vẽ).

Hình 3.1: Quỹ đạo thời gian của giá thị trường

b. Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng

Trong mô hình trên đây ta giả thiết giá được xác định ở mức cân bằng cung cầu trong

từng thời kỳ, người bán hàng không có hàng tồn đọng. Sau đây là mô hình thị trường với

giả thiết những người bán có hàng tồn đọng. Các giả thiết của mô hình:



1. Cả lượng cung Qs và lượng cầu Qd đều không bị trễ và đều là hàm tuyến tính của

giá cả ở mỗi thời kỳ:Qdt = α− βPt

(α và β > 0

),

Qst = −γ + δPt(γ và δ > 0

).

2. Giá được điều chỉnh không theo không theo nguyên tắc cân bằng thị trường ở mỗi

thời kỳ. Việc đặt giá của người bán ở đầu mỗi thời kỳ căn cứ vào giá của thời kỳ

trước và lượng hàng tồn kho của thời kỳ trước. Nếu theo mức giá của thời kỳ trước

mà hàng hóa còn tồn đọng thì người bán đặt giá thấp hơn cho thời kỳ hiện tại và

ngược lại, nếu lượng hàng hóa không đủ bán thì người bán đặt giá cao hơn.

3. Lượng điều chỉnh giá từ thời kỳ này sang thời kỳ khác tỉ lệ với lượng dư cung theo

chiều ngược lại:

Pt+1 − Pt = −λ (Qst −Qdt) , (λ = const > 0) .

Với các giả thiết trên ta có phương trình

Pt+1 − Pt = −λ (−γ + δPt − α + βPt)

hay

Pt+1 − [1− λ (β + δ)]Pt = λ (α + γ) . (3.15)

Phương trình (3.15) là phương trình sai phân ôtônôm cấp tuyến tính cấp một. Nghiệm

của phương trình là:

Pt = P +(P0 − P

)[1− λ (β + δ)]t

trong đó P =α + γ

β + δlà giá cân bằng và P0 là giá ở thời kỳ xuất phát t = 0. Điều kiện ổn

định động là

−1 < 1− λ (β + δ) < 1⇔ 0 < λ (β + δ) < 2⇔ 0 < λ <2

β + δ.

c. Mô hình Harrod

Mô hình Harrod được sử dụng để giải thích động thái tăng trưởng của nền kinh tế.

Các giả thiết của môn hình

1. Tiết kiệm ở mỗi thời kỳ tỷ lệ với thu nhập ở cuối thời kỳ đó: St = sYt, trong đó

hằng số s được gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên (0 < s < 1.

2. Đầu tư tỷ lệ với lượng thay đổi của thu nhập quốc dân theo thới gian (nguyên lý

gia tốc):

It = a (Yt − Yt−1) , (a > 0) .



3. Đầu tư bằng tiết kiệm ở mỗi thời kỳ It = St.

Từ các giả thiết trên ta có a(Yt − Yt−1 = sYt hay Yt −a

a− sYt−1 = 0. Phương trình này

tương đương với phương trình

Yt+1 −a

a− sYt = 0.

Từ đây suy ra quỹ đạo thời gian của thu nhập

Yt =

(a

a− s

)tY0.

Doa

a− s> 1, thu nhập tăng không ngừng theo thời gian, không có giới hạn và không

dao động lên xuống.

d. Mô hình thu nhập có trễ

Xét mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô ở dạng đơn giản, không tính đến vai trò của

chính phủ và quan hệ kinh tế với nước ngoài: Y = C + I. Giả sử I = I0, tức là lượng đầu

tư không thay đổi và giả sử tiêu dùng của thời kỳ t+ 1 phụ thuộc vào thu nhập của thời

kỳ t dưới dạng tuyến tính

Ct+1 = C0 + cYt (0 < c < 1) .

Khi đó ta có phương trình

Yt+1 = Ct+1 + I0 = C0 + cYt + I0 ⇔ Yt+1 − cYt = C0 + I0.

Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một này ta được

Yt =(Y0 − Y

)ct + Y

trong đó Y =C0 + I0

1− c.

Hằng số c là xu hướng tiêu dùng cận biên (0 < c < 1), do đó quỹ đạo thời gian của

thu nhập quốc dân hội tụ đến Y khi t→ +∞ và không có dao động.

3.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 tổng quát

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng tổng quát như sau:

yt+1 = ptyt + qt (3.16)

trong đó pt và qt là các hàm số đối số rời rạc t = 0, 1, 2....

Đặt bt = −pt, khi đó phương trình (3.16) có dạng

yt+1 = btyt + qt (3.17)



Gọi y0 là giá trị của y tại thời điểm xuất phát, ta

y1 = b0y0 + q0

y2 = b1 (b0y0 + q0) + q1 = b0b1y0 + q0b1 + q1,

y3 = b2 (b0b1y0 + q0b1 + q1) + q2 = b0b1b2y0 + q0b1b2 + q1b2 + q2,

y4 = b3 (b0b1b2y0 + q0b1b2 + q1b2 + q2) + q3 =

= b0b1b2b3y0 + q0b1b2b3 + q1b2b3 + q2b3 + q3, . . .

Định lý 2. Nghiệm của phương trình (3.17) thỏa mãn điều kiện ban đầu (y = y0 khi

t = 0) là:

yt = y0

t−1∏k=0

bk +t−1∑k=0

(qkbk

t−1∏i=k

bi

)(3.18)

Chứng minh. Từ (3.18), với mọi t = 1, 2, 3, . . . ta có:

yt+1 = y0

t∏k=0

bk +t∑

k=0

(qkbk

t∏i=k

bi

)=

= y0

t∏k=0

bk +t−1∑k=0

(qkbk

t∏i=k

bi

)+ qt =

= y0bt

t−1∏k=0

bk +t−1∑k=0

(qkbkbt

t−1∏i=k

bi

)+ qt =

= bt

[y0

t−1∏k=0

bk +t−1∑k=0

(qkbk

t−1∏i=k

bi

)]+ qt = btyt + qt.

Điều đó chứng tỏ yt là nghiệm của phương trình (3.17).

Ta xét một số trường hợp riêng:

• Trường hợp bt không đổi (bt = b), nhưng qt thay đổi theo t, khi đó nghiệm (3.18) là

yt = y0bt +

t−1∑k=0

qkbt−k−1.

• Trường hợp bt thay đổi theo t, nhưng qt không đổi (qt = q), khi đó nghiệm (3.18) là

yt = y0

t−1∏k=0

bk + qt−1∑k=0

(1

bk

t−1∏i=k

bi

).

• Trường hợp bt, qt không đổi (bt = b và qt = q), khi đó phương trình (3.17) trở thành

phương trình ôtônôm.

Hệ quả 2. Nghiệm tổng quát của phương trình (3.17) là

yt = Ct−1∏k=0

bk +t−1∑k=0

(qkbk

t−1∏i=k

bi

)(3.19)



3.3. Phương trình sai phân cấp 2

3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 tổng quát

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng tổng quát là:

yt+2 + ptyt+1 + qtyt = rt, (3.20)

trong đó pt, qt, rt là các hàm số đối số rời rạc cho trước (t = 0, 1, 2, . . .).

Nếu rt ≡ 0 ta có phương trình

yt+2 + ptyt+1 + qtyt = 0. (3.21)

và được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với phương trình (3.20).

Tương tự như phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, ta có các định lý về nghiệm

của phương trình sai phân cấp hai sau:

Định lý 3. Nếu yt là nghiệm của phương trình thuần nhất (3.21) thì Cyt cũng là nghiệm

của nó, với C là hằng số tùy ý.

Định lý 4. Nếu yt và yt là các nghiệm của phương trình thuần nhất (3.21) thì yt + yt

cũng là nghiệm của nó.

Định lý 5. Nếu yt và yt là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất

(3.21) thì hàm số

yt = C1yt + C2yt,

trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý, cũng là nghiệm của nó.

Định lý 6. Nếu hàm số yt = ut+ ivt là nghiệm phức của phương trình thuần nhất (3.21),

với ut, vt là các hàm thực, thì phần thực ut và phần ảo vt cũng là các nghiệm của nó.

Định lý 7. Nếu yt là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (3.21) và y∗t là một

nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (3.20) thì yt = yt + y∗t là nghiệm tổng

quát của phương trình (3.20).

Chứng minh. Do yt là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (3.21) nên

yt+2 + ptyt+1 + qtyt = 0,∀C.

Mặt khác y∗t là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (3.20) nên ta cũng

có

y∗t+2 + pty∗t+1 + qty

∗t = rt

Suy ra (yt+2 + y∗t+2

)+ pt

(yt+1 + y∗t+1

)+ qt (yt + y∗t ) =

=(yt+2 + ptyt+1 + qtyt

)+(y∗t+2 + pty

∗t+1 + qty

∗t

)= 0 + rt = rt,∀C

Vậy yt = yt + y∗t là nghiệm tổng quát của phương trình (3.20).



3.3.2. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2

a. Phương trình ôtônôm tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình

yt+2 + pyt+1 + qyt = 0, (3.22)

trong đó p, q là các hằng số thực.

Ta tìm nghiệm của (3.22) có dạng yt = kt (k 6= 0). Hàm số yt = kt là nghiệm của

phương trình (3.22) khi và chỉ khi

kt+2 + pkt+1 + qkt = 0⇔ kt(k2 + pk + q) = 0.

Do k 6= 0 nên điều này xẩy ra khi và chỉ khi

k2 + pk + q = 0 (3.23)

Phương trình (3.23) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (3.22).

Ta có kết quả sau:

Định lý 8. i, Nếu phương trình đặc trưng (3.23) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì

nghiệm tổng quát của phương trình (3.22) là

yt = C1kt1 + C2k

t2. (3.24)

ii, Nếu phương trình đặc trưng (3.23) có nghiệm kép k0 thì nghiệm tổng quát của

phương trình (3.22) là

yt = (C1 + C2t) kt0. (3.25)

iii, Nếu phương trình đặc trưng (3.23) có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 = a ± ib =

h (cosϕ± i sinϕ). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3.22) là

yt = ht (C1 cosϕt+ C2 sinϕt) . (3.26)

Chứng minh. • i,: p2− 4q > 0. Phương trình đặc trưng (3.23) có 2 nghiệm thực phân

biệt k1, k2 thì nó có hai nghiệm độc lập tuyến tính kt1, kt2, nên nghiệm tổng quát của

phương trình (3.22) là

yt = C1kt1 + C2k

t2.

• ii,: p2 − 4q = 0. Phương trình đặc trưng (3.23) có nghiệm kép k0 thì yt = kt0 là

nghiệm của (3.23). Mặt khác do k0 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên

k20 + pk0 + q = 0 và k0 = −p

2hay 2k0 + p = 0.



Ta chứng minh yt = tkt0 cũng là nghiệm của phương trình . Thật vậy, ta có

(t+ 2) kt+20 + p (t+ 1) kt+1

0 + qtkt0 =(k2

0 + pk0 + q)tkt0 + (2k0 + p) kt+1

0 = 0,

suy ra yt = tkt0 là nghiệm của phương trình (3.22). Do hai nghiệm yt = kt0 và yt = tkt0

độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương trình (3.22) là

yt = (C1 + C2t) kt0.

• iii,: p2 − 4q < 0. Phương trình đặc trưng (3.23) có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 =

a± ib = h (cosϕ± i sinϕ), trong đó

h =√a2 + b2, cosϕ =

a

h=

a√a2 + b2

, sinϕ =b

h=

b√a2 + b2

.

Ta có

(a± ib)t = ht (cosϕt± i sinϕt)

Từ đó ta có hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phương trình (3.22) là yt =

ht cosϕt, yt = ht sinϕt. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.22) là

yt = ht (C1 cosϕt+ C2 sinϕt) .

Ví dụ 1 : Giải phương trình sai phân yt+2 − 5yt+1 + 6yt = 0. Tìm nghiệm riêng thỏa

mãn điều kiện y0 = 3, y1 = 5.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng là k2 − 5k + 6 = 0 có hai nghiệm thực k = 2, k = 3

nên nghiệm tổng quát của phương trình là

yt = C12t + C23t,

trong đó C1, C2 là hằng số tùy ý.

Mặt khác ta có y0 = 3, y1 = 5, suy ra{C1 + C2 = 3

2C1 + 5C2 = 5⇔

{C1 = 4

C2 = −1

Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y0 = 3, y1 = 5 là yt = 42t − 3t.

Ví dụ 2 : Giải phương trình sai phân yt+2 + 6yt+1 + 9yt = 0. Tìm nghiệm riêng thỏa mãn

điều kiện y0 = 4, y1 = 12.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng là k2 + 6k+ 9 = 0 có nghiệm kép k = −3 nên nghiệm

tổng quát của phương trình là

yt = (C1 + C2t)(−3)t,




Mặt khác ta có y0 = 4, y1 = 12, suy ra{C1 = 4

(C1 + 5C2)(−3) = 12⇔

{C1 = 4

C2 = −8

Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y0 = 4, y1 = 12 là yt = 4(1− 2t)(−3)t.

Ví dụ 3 : Giải phương trình sai phân yt+2 + 2yt+1 + 2yt = 0.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng là k2 + 2k+ 2 = 0 có hai nghiệm liên hợp k = −1± i.Mặt khác ta có

k = −1± i =√

2

(cos

3π

4± i sin

3π

4

).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

yt =√

2t(C1 cos

3π

4t+ C2 sin

3π

4t

),


b. Phương trình ôtônôm tuyến tính không thuần nhất

Xét phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2

yt+2 + pyt+1 + qyt = r, (3.27)

trong đó p, q, r là các hằng số thực cho trước, r 6= 0.

Áp dụng định lý 7, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (3.27) ta phải tìm

nghiệm tổng quát yt của phương trình thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng y∗t của

phương trình (3.27). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3.27) là yt = yt + y∗t .

Ta tìm nghiệm riêng y∗t của phương trình (3.27) có dạng hằng số y∗t = k, với k là

hằng số. Thậy vậy, k là nghiệm của phương (3.27) khi và chỉ khi k + pk + qk = r hay

k (1 + p+ q) = r. Xét các trường hợp sau:

• Nếu p+ q 6= −1 thì k =r

1 + p+ q. Khi đó nghiệm riêng của phương trình (3.27) là

y∗t =r

1 + p+ q.

• Nếu p+ q = −1, suy ra q = −p− 1 thì phương trình (3.27) có dạng

yt+2 + pyt+1 − p+ 1yt = r. (3.28)

Ta tìm nghiệm của phương trình (3.28) có dạng y∗t = kt. Thật vậy, hàm số y∗t = kt

là nghiệm của phương trình (3.28) khi và chỉ khi

k (t+ 2) + pk (t+ 1)− (p+ 1) kt = r ⇔ k (2 + p) = r.

Khi đó:



– Nếu p 6= −2 thì k =r

2 + pvà nghiệm riêng của phương trình (3.27) là y∗t =

rt

2 + p.

– Nếu p = −2 thì phương trình (3.28) có dạng

yt+2 − 2yt+1 + yt = r. (3.29)

Ta tìm nghiệm của phương trình (3.29) có dạng y∗t = kt2. Thật vậy, hàm số

y∗t = kt2 là nghiệm của phương trình (3.29) khi và chỉ khi

k(t+ 22

)− 2k

(t+ 12

)+ kt2 = r ⇔ k =

r

2.

Vậy nghiệm riêng của phương trình (3.27) là y∗t =rt2

2.

Chú ý : Công thức tìm nghiệm riêng y∗t của phương trình ôtônôm tuyến tính không thuần

nhất (3.27):

yt+2 + pyt+1 + qyt = r.

• Nếu p+ q 6= −1 thì nghiệm riêng của phương trình (3.27) là y∗t =r

1 + p+ q.

• Nếu

{p+ q = −1

p 6= −2thì nghiệm riêng của phương trình (3.27) là y∗t =

rt

2 + p.

• Nếu

{p+ q = −1

p = −2thì nghiệm riêng của phương trình (3.27) là y∗t =

rt2

2.

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình yt+2 + 4yt+1 + 3yt = 16.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2 + 4k + 3 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt k =

−1, k = −3 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1(−1)t+C2(−3)t.

Mặt khác ta có p = 4, q = 3, r = 16 suy ra p+ q = 7 6= −1, nên nghiệm riêng của phương

trình là y∗t = 2.


yt = C1(−1)t + C2(−3)t + 2.

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình yt+2 − 8yt+1 + 16yt = 39.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2 − 8k + 16 = 0 có nghiệm kép k = 4 nên nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất là y = (C1 + C2t)4t.

Mặt khác ta có p = −8, q = 16, r = 39 suy ra p + q = 8 6= −1, nên nghiệm riêng của



phương trình là y∗t =13

3.


yt = (C1 + C2t)4t +

13

3.

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình yt+2 − 2yt+1 + 4yt = 15.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2 − 2k + 4 = 0 có nghiệm phức liên hợp

k = 1± i√

3 = 2(

cosπ

3± i sin

π

3

)nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

yt = 2t(C1 cos

π

3t+ C2 sin

π

3t).

Mặt khác ta có p = −2, q = 4, r = 15 suy ra p + q = 2 6= −1, nên nghiệm riêng của

phương trình là y∗t = 5.


yt = 2t(C1 cos

π

3t+ C2 sin

π

3t)

+ 5.

Ví dụ 4 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình yt+2 + 5yt+1 − 6yt = 4.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2 + 5k − 6 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt

k = 1, k = 6 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1 + C26t.

Mặt khác ta có p = 6, q = −6, r = 4 suy ra p + q = −1, nên nghiệm riêng của phương

trình là y∗t =4t

7.


yt = C1 + C26t +4t

7.

c. Trạng thái cân bằng và tính ổn định

Giả sử quy luật vận động theo thời gian của biến số y được xác định dưới dạng phương

trình ôtônôm tuyến tính (3.27). Trạng thái cân bằng là trạng thái mà yt = yt+1 = yt+2.

Trạng thái cân bằng y được xác định từ hệ thức:

y + py + qy = r

Suy ra trạng thái cân bằng tồn tại khi và chỉ khi p+ q 6= −1. Khi đó y =r

1 + p+ q.



• Từ công thức nghiệm tổng quát yt = C1kt1 + C2k

t2 +

r

1 + p+ q, (trong đó k1, k2 là

hai nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng) suy ra nghiệm yt hội tụ đến y

khi và chỉ khi k1, k2 có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

• Từ công thức nghiệm yt = (C1 + C2t)kt0 +

r

1 + p+ q, (trong đó k0 là nghiệm kép

của phương trình đặc trưng) suy ra nghiệm yt hội tụ đến y khi và chỉ khi k0 có giá

trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

• Từ công thức nghiệm yt = ht (C1 cos θt+ C2 sin θt) +r

1 + p+ q, (trong đó k =

α± iβ, h =√α2 + β2 là nghiệm của phương trình đặc trưng) suy ra nghiệm yt hội

tụ đến y khi và chỉ khi môđun của hai nghiệm phức liên hợp của phương trình đặc

trưng nhỏ hơn 1 (h < 1).

Định lý 9. Trạng thái cân bằng y ổn định động khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của

phương trình đặc trưng có môđun nhỏ hơn 1 (môđun của các số thực k1, k2, k0 là trị tuyệt

đối, còn môđun của số phức k = α± iβ là số dương h =√α2 + β2)

Ví dụ: Xét phương trình yt+2 − yt+1 +1

4yt = 5.

Ta có p+ q = −1 +1

4= −3

4, r = 5 và phương trình đặc trưng có nghiệm kép k0 =

1

2< 1.

Theo định lý trên, trang thái cân bằng

y =r

1 + p+ q=

5

1− 3

4

= 20

ổn định chuyển động. Từ đó ta có

yt = (C1 + C2t)1

2t+ 20→ 20 khi t→ +∞.

Trong trường hợp này ta đã có |k0| =

∣∣∣∣12∣∣∣∣ =

1

2< 1 nên mọi nghiệm của phương trình

luôn hội tụ đến y = 20.

Nhận xét: Trường hợp p2 − 4q > 0, theo quy tắc so sánh các nghiệm thực của phương

trình đặc trưng k2 + pk + q = 0 với ±1 ta có thể chứng minh được rằng trạng thái cân

bằng y ổn định khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau:

1 + p+ q > 0, 1− p+ q > 0, q < 1 (3.30)

3.3.3. Phương trình phi ôtônôm tuyến tính cấp 2 với hệ số không

đổi

Xét phương trình

yt+2 + pyt+1 + qyt = rt, (3.31)



trong đó p, q là các hằng số và rt là hàm số đối số rời rạc t.

Phương trình thuần nhất liên kết với phương trình (3.31) là phương trình ôtônôm

tuyến tính cấp hai, do đó ta tìm được ngiệm tổng quát của nó theo công thức nghiệm của

phương trình đặc trưng. Để giải phương trình (3.31) ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng của

nó. Tưng tự nhưng phương trình vi phân, ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình

của phương trình sai phân (3.31) bằng phương pháp hệ số bât định trong các trường hợp

sau:

1. Trường hợp hàm số rt là một đa thức P (t). Khi đó

• Nếu k = 1 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0

thì nghiệm riêng của phương trình (3.31) là y∗t = Q(t), trong đó Q(t) là đa

thức cùng bậc với P (t) và có hệ số tìm được bằng phương pháp hệ số bất định.

• Nếu k = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0 thì nghiệm

riêng của phương trình (3.31) là y∗t = tsQ(t), trong đó Q(t) là đa thức cùng

bậc với P (t) và có hệ số tìm được bằng phương pháp hệ số bất định, s = 1 nếu

k = 1 là nghiệm đơn và s = 2 nếu k = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc

trưng.

2. Trường hợp hàm số rt = atP (t), trong đó a là hằng số và P (t) là một đa thức. Khi

đó

• Nếu k = a không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0

thì nghiệm riêng của phương trình (3.31) là y∗t = atQ(t), trong đó Q(t) là đa

thức cùng bậc với P (t) và có hệ số tìm được bằng phương pháp hệ số bất định.

• Nếu k = a là nghiệm của phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0 thì nghiệm

riêng của phương trình (3.31) là y∗t = tsatQ(t), trong đó Q(t) là đa thức cùng

bậc với P (t) và có hệ số tìm được bằng phương pháp hệ số bất định, s = 1 nếu

k = a là nghiệm đơn và s = 2 nếu k = a là nghiệm kép của phương trình đặc

trưng.

Ví dụ 1: Giải phương trình yt+2 − 3yt+1 + 2yt = t+ 1.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2 − 3k + 2 = 0 có hai nghiệm thực k = 1, k = 2, do

đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với phương trình là

y = C12t + C2.

Mặt khác rt = t+ 1 suy ra k = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, nên ta tìm

nghiệm riêng có dạng y∗t = t(A+Bt) = At+Bt2. Thay vào phương trình đã cho ta được

A(t+ 2)2+B(t+2)−3[A(t+ 1)2 +B (t+ 1)

]+2(At2 +Bt

)= t+1⇔ −2At+A−B = t+1,



suy ra

A = −1

2

B = −3

2

.


yt = C12t + C2 −1

2t2 − 3

2t.

Ví dụ 2: Giải phương trình yt+2 − 9yt+1 + 14yt = 2t.

Giải : Ta có phương trình đặc trưng k2− 9k+ 14 = 0 có hai nghiệm thực k = 2, k = 7, do

đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất liên kết với phương trình là

y = C12t + C27t.

Mặt khác rt = 2t suy ra k = 2 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, nên ta tìm

nghiệm riêng có dạng y∗t = At2t. Thay vào phương trình đã cho ta được

A(t+ 2)2t+2 − 9A(t+ 1)2t+1 + 14At2t = 2t ⇔ −10A2t = 2t,

suy ra A = − 1

10.


yt = C12t + C27t − 1

10t.2t

3.3.4. Một số mô hình phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

trong kinh tế

a. Mô hình hệ số gia tốc của Samuelson

Xét mô hình kinh tế vĩ mô:

Y = Ct + It +Gt (3.32)

với các giả thiết sau:

• Tiêu dùng của thời kỳ t tùy thuộc vào thu nhập của thời kỳ trước đó. Để cho đơn

giản ta giả sử rằng Ct tỷ lệ với Yt−1:

Ct = αYt−1, (3.33)

trong đó α là xu hướng tiêu dùng cận biên (0 < α < 1).

• Đầu tư ở thời kỳ t là hàm số của lượng tăng tiêu dùng. Để cho đơn giản ta giả sử

It tỷ lệ với Ct − Ct−1:

It = β(Ct − Ct−1), (3.34)

trong đó β > 0 là hệ số gia tốc.



• Chi tiêu của chính phủ không đổi (xem như yếu tố ngoại sinh): Gt = G0.

Từ (3.33) và (3.34) ta có

It = αβ(Yt−1 − Yt−2). (3.35)

Thay Ct từ (3.33), It từ (3.34) và Gt = G0 vào (3.32) ta được phương trình

Yt = α (1 + β)Yt−1 − αβYt−2 +G0.

hay

Yt+2 − α (1 + β)Yt+1 + αβYt = G0. (3.36)

Vậy mô hình hệ số gia tốc của Samuelson được biểu diễn dưới dạng phương trình sai phân

ôtônôm tuyến tính (3.36). Từ phương trình này ta xác định được trạng thái cân bằng của

thu nhập quốc dân:

Y =G0

1− α (1 + β) + αβ=

G0

1− α

Tính ổn định của trạng thái Y phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng:

k2 − α (1 + β) k + αβ = 0. (3.37)

Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi các nghiệm của phương trình (3.37) có

môđun nhỏ hơn 1. Xét các điều kiện này theo α và β.

1. Trường hợp[α(1 + β)2]− 4αβ > 0 hay α >

4β

(1 + β)2

Khi đó phương trình đặc trưng (3.37) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Theo

điều kiện (3.30), hai nghiệm đó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi thỏa

mãn cả ba bất đẳng thức:

1− α (1 + β) + αβ = 1− α > 0,

1 + α (1 + β) + αβ = 1 + α + 2αβ > 0,

αβ < 1

.

Hai bất đẳng thức đầu thỏa mãn do 0 < α < 1. Vì vậy trạng thái cân bằng Y trong

trường hợp này ổn định động khi và chỉ khi αβ < 1.

2. Trường hợp [α (1 + β)]2 − 4αβ = 0 hay α =4β

(1 + β)2

Khi đó phương trình đặc trưng (3.37) có nghiệm kép k0 =1

2α (1 + β). Trạng thái

cân bằng động Y trong trường hợp này ổn định động khi và chỉ khi

1

2α (1 + β) =

2β

1 + β< 1⇔ β < 1.



3. Trường hợp [α (1 + β)]2 − 4αβ < 0 hay α <4β

(1 + β)2 .

Khi đó phương trình đặc trưng (3.37) có hai nghiệm phức liên hợp. Môđun của các

nghiệm phức đó là h =√αβ. Trang thái cân bằng động Y trong trường hợp này ổn

định động khi và chỉ khi

h =√αβ < 1⇔ αβ < 1

b. Mô hình Cobweb

Trong mô hình Cobweb ở phần trước ta giả thiết rằng nhà sản xuất ra quyết định về

lượng sản phẩm đưa ra thị trường ở thời kỳ t+ 1 dựa trên mức giá của thời kỳ t (do thời

gian sản xuất kéo dài) Qs,t+1 = −γ + δPt. Từ mô hình này ta thấy trạng thái cân bằng

của giá sản phẩm ổn định động khi và chỉ khi đường cung phẳng hơn đường cầu (hệ số

góc của đường cung nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của hệ số góc của đường cầu). Trường hợp

ngược lại trạng thái cân bằng không ổn định. Việc lấy giá của thời kỳ t là giá kỳ vọng

của thời kỳ t+ 1 mang tính thụ động. Để cải tiến mô hình ta xét hàm cung có dạng sau:

Qs,t+1 = −γ + δEtPt+1,

trong đó EtPt+1 là giá mà nhà sản xuất ở thời kỳ t kỳ vọng sẽ hiện hành ở thời kỳ t+ 1.

Ta giả sử rằng

EtPt+1 = Pt − ρ∆Pt−1 = Pt − ρ (Pt − Pt−1) ,

trong đó ρ là một tham số −1 ≤ ρ ≤ 1. Tham số ρ có ý nghĩa như sau: 0 6 ρ 6 1 nếu

nhà sản xuất cho rằng khi giá tăng (giảm) ở thời kỳ này thì nó sẽ giảm (tăng) ở thời kỳ

tiếp theo; −1 6 ρ 6 0 nếu nhà sản xuất cho rằng khi giá tăng (giảm) ở thời kỳ này thì

nó sẽ tiếp tục tăng (giảm) ở thời kỳ tiếp theo. Chú ý mô hình Cobweb mà ta xét ở phần

trên là trường hợp riêng khi ρ = 0.

Với giả thiết trên hàm cung có dạng

Qs,t+1 = −γ + δ [Pt − ρ (Pt − Pt−1)] .

Giả sử hàm cầu có dạng

Qd,t+1 = α− βPt+1.

Khi đó giá cân bằng cung cầu được xác định từ phương trình

α− βPt+1 = −γ + δ [Pt − ρ (Pt − Pt−1)]

⇔ Pt+1 +δ (1− ρ)

βPt +

δρ

βPt−1 =

α + γ

β

Phương trình có thể viết lại dưới dạng tương đương:

Pt+2 +δ (1− ρ)

βPt+1 +

δρ

βPt =

α + γ

β(3.38)



Trạng thái cân bằng được xác định từ phương trình:

P +δ (1− ρ)

βP +

δρ

βP =

α + γ

β⇒ P =

α + γ

β + δ

Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc vào các nghiệm của phương trình đặc

trưng:

k2 +δ (1− ρ)

βk +

δρ

β= 0 (3.39)

Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi các nghiệm của phương trình (3.38) có

môđun nhỏ hơn 1. Ta xét điều kiện này theo các tham số của mô hình

1. Trường hợp −1 6 ρ < 0:

Khi đó phương trình đặc trưng (3.39) có hai nghiệm thực trái dấu. Hai nghiệm đó

có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi thỏa mãn cả ba bất đẳng thức

1 +δ (1− ρ)

β+δρ

β=β + δ

β> 0,

1− δ (1− ρ)

β+δρ

β=β + δ (2ρ− 1)

β> 0,

δρ

β< 1.

Bất đẳng thức thức nhất và thứ ba luôn được thỏa mãn, do đó trang thái cân

bằng ổn định động khi và chỉ khi bất đẳng thức thứ hai được thỏa mãn, tưc là

β + δ (2ρ− 1) > 0.

2. Trường hợp 0 < ρ 6 1:

Khi đó phương trình (3.39) có thể có nghiệm thực hoặc phức.

• Nếu phương trình (3.39) có hai nghiệm thực phân biệt thì cả hai nghiệm đó

đều âm. Tương tự như trường hợp trên, điều kiện để cả hai nghiệm đó có giá

trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 là

β + δ (2ρ− 1) > 0 vàδρ

β< 1.

• Nếu phương trình (3.39) có nghiệm kép thì điều kiện ổn định động của trạng

thái cân bằng là

−1 <−δ (1− ρ)

2β< 1⇔ δ (1− ρ) < 2β

• Nếu phương trình (3.39) có hai nghiệm phức liên hợp thì bình phương mônđun

của các nghiệm phức đó bằng số hạng tự do của phương trình bậc hai (3.39),

do đó điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng làδρ

β< 1.



3.4. Bài tập

Bài tập 1. Giải các phương trình sai phân cấp 1

1, Tìm nghiệm tổng quát: yt+1 − 9yt = 0

2, Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ban đầu y0 = 5: yt+1 − yt = 9

3, Tìm nghiệm tổng quát: yt+1 − 3yt = 5

4, Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ban đầu y0 = 4: yt+1 + 3yt = 8

Bài tập 2. Giải các phương trình sai phân cấp 2 sau

1, yt+2 − 3yt+1 + 2yt = t× 2t

2, yt+2 − 3yt+1 + 2yt = t× 2t−1

3, yt+2 − 4yt+1 + 3yt = t× 3t

4, yt+2 − 4yt+1 + 3yt = t× 3t−1

5, yt+2 − 6yt+1 + 7yt = t× 7t−1

6, yt+2 − 6yt+1 + 7yt = t× 7t

7, yt+2 − 5yt+1 + 6yt = t× 3t

8, yt+2 − 5yt+1 + 6yt = t× 2t

9, yt+2 − 5yt+1 + 6yt = t× 3t−3

10, yt+2 − 5yt+1 + 6yt = t× 2t−2

11, yt+2 − 2√

11yt+1 + 44yt = 6 + 3t

12, yt+2 + 2√

11yt+1 + 44yt = 2 + 7t

13, yt+2 − 2√

13yt+1 + 26yt = 4 + t

14, yt+2 + 2√

13yt+1 + 26yt = 4 + 3t

15, yt+2 − 2√

13yt+1 + 52yt = 4 + 9t

Bài tập 3. Xác định điểm cân bằng và khảo sát tính ổn định tại điểm cân bằng với các

mô hình động lực học có phương trình

1, yt+2 − 3yt+1 + 2yt = 200

2, yt+2 − 56yt+1 + 1

6yt = 300

3, yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 230

4, yt+2 + 23yt+1 + 1

9yt = 233

5, yt+2 − 6yt+1 + 10yt = 221

Bài tập 4.

1, Xây dựng lại phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp 2 thể hiện mô hình hệ

số gia tốc của Samuelson với các giá trị cụ thể đảm bảo trạng thái cân bằng của hệ thống

ổn định

2, Xây dựng lại phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp 2 thể hiện mô hình

Cobweb với các giá trị cụ thể đảm bảo trạng thái cân bằng của mô hình ổn định.


bai giang toan kinh te 2015

Education