bahan ajar metode numerik
DESCRIPTION
bahan ajar ini dibuat untuk membantu mempermudah pembelajaran metoode numerikTRANSCRIPT
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat dalam Komputasi Numerik
• Pengantar
• Sumber Galat
• Penyajian Bilangan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 1
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pengantar
• Masalah matematika tidak selalu dapat
diselesaikan secara analitik, misalnya yang
melibatkan integral dari fungsi-fungsi yang
berbentuk kompleks
• Dalam kasus demikian, komputasi numerik
(penyelesaian masalah menggunakan metode
numerik) menjadi salah satu pendekatan
alternatif yang dapat digunakan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 2
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Strategi yang digunakan dalam komputasi
numerik adalah menyederhanakan masalah
melalui transformasi berikut:
• infinite → finite
• differential → algebraic
• nonlinear → linear
• complicated → simple
• Dalam penyelesaian masalah, metode numerik
menggunakan operasi-operasi yang dapat
dilakukan oleh komputer, yaitu operasi aritmatika
dan logika.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 3
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Penggunaan komputer dapat memperpendek
waktu yang digunakan untuk penyelesaian
masalah-masalah yang membutuhkan waktu
sangat lama bila dikerjakan secara manual.
• Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik
biasanya berupa suatu hampiran, yang
mengandung kesalahan numerik
• Aspek penting dalam komputasi numerik selain
kecepatan proses adalah keakuratan hasil
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 4
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Metode numerik yang baik adalah yang bisa
memberikan solusi yang akurat dalam waktu
yang relatif cepat
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 5
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Sumber Galat
• Sebelum proses komputasi:
• Kesalahan akibat model yang salah
• Kesalahan karena hasil observasi yang salah/ pengukuran yang salah
• Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya
• Selama proses komputasi:
• Kesalahan karena hasil pendekatan/ hampiran
• Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 6
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Kesalahan yang terjadi dalam perhitungan luas
permukaan bumi menggunakan formula
A = 4 π r2 adalah:
• Memodelkan bumi sebagai bola dengan
permukaan yang rata
• Perhitungan jari-jari bumi
• Perhitungan nilai π
• Hasil komputasi yang melibatkan proses
pembulatan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 7
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Penyajian Bilangan
• Sistem Bilangan:
� Sistem Desimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
� Sistem Biner : 0, 1
� Sistem Oktal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
� Sistem Hexadesimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C , D, E, F
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 8
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Sistem Biner
• Sistem bilangan yang mendasari operasi
komputer adalah sistem bilangan biner, sehingga
sistem bilangan ini perlu dibahas lebih lanjut.
• Suatu bilangan biner � adalah suatu sekuens
terbatas dari digit-digit 0 dan 1, serta dapat
dilambangkan sebagai berikut :
� = ���������� …����� �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 9
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Sistem Biner ke Desimal
� = ���������� …����� �↓
� = ��2� + ����2��� +⋯+ ��2 + �Contoh:
� = 110101 � = 2� + 2� + 2� + 2 = 53
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 10
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Program MATLAB:
Pada Command Window, ketik
>> bin2dec(‘110101’)
Sehingga jawabannya
adalah:
ans =
53
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 11
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Sistem Desimal ke Biner
Algoritma:
� = 2� + �� = 2�� + ���� = 2�� + ��
⋮���� = 2���� + ����
���� = 2�� + ��, �� = 0dengan �� ∈ 0,1 .
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 12
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Selanjutnya, dalam sistem biner y dapat dinyatakan:
� = ���������� …����� �Contoh:
53 = 2 26 + 126 = 2 13 + 013 = 2 6 + 16 = 2 3 + 03 = 2 1 + 11 = 2 0 + 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 13
53 = 110101 �
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Program MATLAB:
Pada Command Window, ketik
>> dec2bin(53)
Sehingga jawabannya
adalah:
ans =
110101
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 14
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pecahan Biner
• Suatu pecahan biner adalah bilangan biner �dalam bentuk pecahan yang berupa suatu
sekuens (bisa tak terbatas) dari digit-digit 0 dan 1
berikut :
� = . ������ …�� … �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 15
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Pecahan Biner ke Pecahan Desimal
� = . ������ …�� … �↓
� = ��2�� + ��2�� + ��2�� +⋯
Contoh:
� = .1101 � = 2�� + 2�� + 2�� = .5 + .25 + .0625 = 0.8125
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 16
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Perhatikan deret geometrik berikut:
� !"
!#= 1 − "%�
1 − , ≠ 1
• Untuk ' mendekati takhingga, akan diperoleh:
� !(
!#= 1
1 − , ≠ 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 17
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Sifat ini dapat digunakan untuk menghitung
.0101010101010⋯ � = 2�� + 2�� + 2�) +⋯= 2�� 1 + 2�� + 2�� +⋯
sehingga menghasilkan 1/3.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 18
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Pecahan Desimal ke Pecahan Biner
Algoritma:
2� = �� + *�2*� = �� + *�2*� = �� + *�
⋮2*��� = �� + *�
⋮
Selanjutnya, dalam pecahan biner � dapat dinyatakan:
� = . ������ ⋯�� ⋯ �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 19
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
2 0.3 = 0 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.6
⋮
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 20
0.3 = .010011001⋯ �