bab5rlocus

8/2/2019 Bab5RLocus

1/31

8/2/2019 Bab5RLocus

2/31

Bab5: Root Locus EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 2 dari 31

8/2/2019 Bab5RLocus

3/31


PENDAHULUAN

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup

dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop

tertutupnya).

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga

berubah.

Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole

dalam bidang s.

Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K

sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan.

Desain sistem kendali melalui kompensasi:

memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui

pole-zero cancellation.

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde

tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.

(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari

akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus.

Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan

karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.

Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak

pole-pole terhadap perubahan K, terhadap

penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.


8/2/2019 Bab5RLocus

4/31


DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s2 + 2s + K =0

Akar-akar Persamaan Karakteristik :

sK

K=

= 2 4 4

21 1

K s1 s20 0 -2

1 -1 -1

2 -1+j1 -1+j1

10 -1+j3 -1+j3

101 -1+j10 -1+j10


8/2/2019 Bab5RLocus

5/31


Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu

nyata.

Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk

K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk

K) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem

kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan

pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus

diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat

dipenuhi.

Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok

diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1

parameter untuk diatur masih dapat menggunakan

pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1

parameter pada satu saat.

Root Locus sangat memudahkan pengamatan

pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak

pole-pole.

Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan

untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh

idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat

melakukannya secara cepat dan akurat.

Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat

ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root

Locus.


8/2/2019 Bab5RLocus

6/31


PLOT ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0

Atau:G(s)H(s) = -1,

Sehingga:

G(s)H(s) = 1800(2k+1); (syarat sudut)k = 0, 1, 2, .

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)


8/2/2019 Bab5RLocus

7/31


PROSEDUR PENGGAMBARAN

ROOT LOCUS

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada

bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

Syarat Sudut:

G(s)H(s) = 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, .

Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero

dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root

Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

Banyaknya asimtot = n m

n = banyaknya pole loop terbuka

m= banyaknya zero loop terbuka

Sudut-sudut asimtot =mn

1)(2k1800

+

k=0, 1, 2,

Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

( ) ( )

mn

berhinggazeroletakberhinggapoleletak

=

a


8/2/2019 Bab5RLocus

8/31


4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

Untuk Persamaan Karakteristik:

B(s) + KA(s) = 0,

Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan

memenuhi persamaan:

0)(

)()()()(2

''

=

=sA

sAsBsAsB

ds

dK

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat

untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.


8/2/2019 Bab5RLocus

9/31


6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

Melalui Kriteria Routh Hurwitz.

Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s =

j

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-

daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yangmemenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-

pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang

memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara

analitis:

Secara grafis:


8/2/2019 Bab5RLocus

10/31


CONTOH 1:


8/2/2019 Bab5RLocus

11/31


CONTOH 2:


8/2/2019 Bab5RLocus

12/31


BEBERAPA CATATAN

Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat

mengubah total bentuk Root Locus.

Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di

hilangkan (cancelled) oleh zero-zero H(s)


8/2/2019 Bab5RLocus

13/31



8/2/2019 Bab5RLocus

14/31



8/2/2019 Bab5RLocus

15/31


ROOT LOCUS MELALUI MATLAB

Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:

0den

numK1 =+

n21

1n

n21

n

n21

m21

1m

m21

m

m21

ppps)ppp(s

)ps()ps)(ps(den

zzzs)zzz(s

)zs()zs)(zs(num

++++++=

+++=

+++++=

+++=

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep

Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu:

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K

secara otomatis ditentukan.

Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin

dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau

rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole

lup tertutup ingin dihitung.


8/2/2019 Bab5RLocus

16/31


Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan

menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] = rlocus(num,den)

[r,K] = rlocus(num,den,K)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K.

Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda

o` atau ,x`

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis,

maka plot Root Locus berikut ini :

)3s)(2s(s

)1s(K200)s(H)s(G

)3s)(2s(s

)1s(K10

)s(H)s(G

)3s)(2s(s

)1s(K)s(H)s(G

++

+=

++

+=

++

+=

adalah sama, dengan :

num = [ 0 0 1 1 ]

den = [ 1 5 6 0 ]


8/2/2019 Bab5RLocus

17/31


Contoh :

Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali

balikan satuan:

)1s4,1s)(6s)(4s(s

)4s2s(K)s(G

2

2

++++

++=

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk

polinomial.

Definisikan :

]14.11[c:1s4.1sc

]61[b:6sb

]041[a:s4s)4s(sa

2

2

=++=

=+=

=+=+=

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]


8/2/2019 Bab5RLocus

18/31


Program MATLAB nya:

%------Root-Locus -------

num = [0 0 0 1 2 4];

den = [1 11.4 39 43.6 24 0];

rlocus(num,den)

Warning:Divide by zero

v = [-10 10 -10 10]; axis(v)

grid

title(Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s +6)(s^2 + 1.4s + 1)])

KASUS KHUSUS__________________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 31

8/2/2019 Bab5RLocus

19/31


Parameter K bukan penguatan loop terbuka.

Umpanbalik positif.

Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.


8/2/2019 Bab5RLocus

20/31



8/2/2019 Bab5RLocus

21/31


Umpanbalik Positif.

Modifikasi Aturan

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka

titik tsb berada di Root Locus.

3. Sudut-sudut asimtot =mn

036 0

k; k=0, 1, 2,

5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan 00.

Contoh:


8/2/2019 Bab5RLocus

22/31



8/2/2019 Bab5RLocus

23/31



8/2/2019 Bab5RLocus

24/31


ANALISIS SISTEM

KENDALI Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan

Sistem stabil kondisional

Sistem fasa non-minimum

Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan

Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan

pemetaan konformal lokus G(s)H(s)= 1800(2k+1) dan |

G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s)


8/2/2019 Bab5RLocus

25/31


Sistem Stabil Kondisional

Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan

64

8/2/2019 Bab5RLocus

26/31


Sistem Fasa Non-Minimum(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero

sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang-s.

Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada

satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak

disebelah kanan bidang-s.

= 1800 (2k+1); k= 0, 1, 2,

Sehingga:

0

0)1(

)1( =+

Tss

sTK a


8/2/2019 Bab5RLocus

27/31


ROOT LOCUS DENGANTRANSPORT LAG

Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran

akibat sifat kelembaman sistem fisis.

Elapse time: T = L/v detik,

Sehingga : y(t) = x(t-T)

Fungsi Alih:


8/2/2019 Bab5RLocus

28/31


Contoh:


8/2/2019 Bab5RLocus

29/31



8/2/2019 Bab5RLocus

30/31


Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun

untuk sistem orde-1


8/2/2019 Bab5RLocus

31/31


Pendekatan Transport Lag

Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsbkontinyu dan smooth:

Pendekatan Lain:

bab5rlocus

Documents