bab xii. uji hipotesis

5/21/2018 Bab XII. Uji Hipotesis

1/24

1

12. Pengujian Hipotesis

12.1.Pendahuluan

Hipotesis adalah adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi itu

dikhususkan mengenai populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistic. Kecuali

dinyatakan lain, di sini hipotesis dimaksudkan hipotesis statistic. Demikianlah misalnya,

yang berikut dapat dianggap sebagai hipotesis.

12.2.

Dua macam kekeliruan

Untuk menguji hipotesis, penelitian dilakukan, sampel acak diambil, nilai-nilai sta tistik

yang perlu dihitung kemudian dibandingkan; menggunakan kriteria tertentu; dengan

hipotesis. Jika hasil yang didapat dar i penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbeda

dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi

sebaliknya, hipotesis diterima.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruanyang dapat terjadi,

dikenal dengan nama-nama:

a) Kekeliruan tipe I: ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima.

b) Kekeliruan tipe II: ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan, dapat

dilihat dalam table di bawah ini.

Daftar 12.1

Tipe kekeliruan ketika membuat kesimpulan tentang hipotesi

KesimpulanKeadaan Sebenarnya

Hipotesis Benar Hipotesis Salah

Terima Hipotesis BenarKeliru

(Kekeliruan tipe II)

Tolak HipotesiKeliru

(Kekeliruan tipe I)Benar

Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekliruan itu kita nyatakan dalam

peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan dan peluang

membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan . Berdasarkan ini, kekeliruan tipe I

dinamakan pula kekeliruan dan kekeliruan II dinamakan kekeliruan .

Dalam penggunaannya, disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau sering

disebut pula taraf nyata. Besar kecilnya dan yang dapat diterima dalam pengambilan

kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu.

2

Untuk keperluan praktis, akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa

digunakan, yaitu = 0,01 atau = 0,05. Dengan = 0,05 misalnya, atau sering pula

disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan

menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa

kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis

telah ditolak pada taraf nyata 0,05yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.

Untuk setiap pengujian dengan yang ditentukan, besar dapat dihitung. Harga (1 - )

berbeda untuk harga parameter yang berlainan, jadi bergantung pada parameter,

katakanlah , sehingga didapat () sebuah fungsi yang bergantung pada . Bentuk ()

dinamakan fungsi ciri operasi, disingkat C.O., dan 1 - () disebut fungsi kuasa.

12.3.Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau

menolak hipotesis. Pasangan H dan A diberikan untuk lebih tepatnya H melawan A, lebih

jauh juga menentukan kiteriapengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah

penolakanhipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula dikenal dengan nama daerah

kritis. Kalau yang sedang diuji itu parameter (dalam penggunaannya nanti bisa rata-rata

,proporsi , simpangan baku dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal:

a) Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A adalah:

1)

H : = 0 3) H : = 0

A : = 1 A : > 0

2)

H : = 0 4) H : = 0

A : 0 A : < 0

dengan 0, 1 dua harga berlainan yang diketahui. Pasangan 1) dinamakanpengujian

sederhana lawan sederhana sedangkan pasangan yang lain merupakan pengujian

sederhana lawan komposit.

b)

Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Unutk ini H dan A berbentuk:

H : 0

A : > 0

Yang biasa dinamakanpengujian komposit lawan komposit.

c) Hipotesis mengandung pengertian minimum. Perumusan H dan A b erbentuk:

H : 0

A : < 0

Ini jugapengujian komposist lawan komposit.


2/24

3

Kemudian yang akan kita pelajari selanjutnya yakni pengujian terhadap hipotesis yang

perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut

hipotesis nol dengan lambang H0melawan hipotesis tandingannya dengan lambing H1yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih lebar atau lebih kecil. H 1 ini harus dipilih atau

ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Pasangan H0dan H1yang telah dirumuskan, akan ditulis dalam bentuk:

H0: = 0

H1: 0

atau H0: = 0

H1: > 0

atau H0: = 0

H1: < 0

Langkah berikutnya, kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah z, t,

x2, F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih, besarnya dihitung dari data sampel yang

dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata atau disebut juga ukuran daerah

kritis, kriteria pengujian kita tentukan. Peran Hipotesis tandingan H1 dalam penentuan

daerah kritis adalah sebagai berikut:

1) Jika tandingan H1mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan, normal untuk z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah

kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah

penolakan pada tiap ujung adalah . Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka

pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1dan d2yang harganya didapat dari daftar distribusi yang

bersangkutan dengan menggunakan peluang yang ditentukan oleh . Kriteria yang

didapat adalah terima hipotesis Hojika harga statistik yang dihitung berdasarkan

data penelitian jatuh antara d1 dan d2, dalam hal lainnya Hoditolak.

Gambar 12.1

Daerah

Penerimaan H0

Luas = Luas =

Daerah Penolakan H0

(daerah kritis)Daerah Penolakan H0

(daerah kritis)

d1 d2

4

2) Untuk tandingan H1mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi yang

digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas

daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan .

Kriteria yang dipakai adalah tolak Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan

sampel tidak kurang dari d. dalam hal lainnya kita terima Ho.pengujian ini kita

namakan uji satu pihak,tepatnyapihak kanan.

3) Akhirnya, jika tandingan H1mengandung pernytaan lebih kecil, maka daerah kritis ada

di ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini = yang menjadi batas

daerah penerimaan Ho oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang

bersangkutan. Peluang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyata.

Kriteria yang digunakan adalah terima Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan

penelitian lebih besar dari d, sedangkan dalam hal lainnya Hokita tolak.

Dengan demikian, dalam hal ini kita mempunyai uji satu pihak, ialahpihak kiri.Atas

dasar hasil pengujian yang dilakukan, akhirnya kesimpulan dapat dirumuskan.

12.4.Menguji rata-rata : uji dua pihak

Umpamakan kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata

dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata

Gambar 12.2

Daerah

Penerimaan H0

Luas =

Daerah Penolakan H0

(daerah kritis)

d

Gambar 12.3

Daerah

Penerimaan H0

d

Luas =

Daerah Penolakan

H0


3/24

5

Untuk ini, seperti biasa diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik dan s. kita bedakan hal-hal berikut:

Hal A). diketahui

Untuk pasangan hipotesis H0: = 0

H1: 0

dengan 0 sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:

=

/ 12.1

Dari bab 10, statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan

kriteria pengujian seperti tertera dalam gambar 12.4, digunakan daftar distribusi

normal baku. Ho kita terima jika ()<


4/24

7

12.5.Menguji rata-rata : uji satu pihak

Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata berdasarkan H0dan

H0adalah H0: = 0

H1: >0

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan dari padanya sebuah sampel acak

berukuran n telah diambil. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung dan s. didapat hal-hal berikut:

Hal A). diketahui

Jika simpangan baku untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan statistik z

yang tertera dalam rumus 12.1. Sketsa untuk kriteria pengujian seperti Nampak dalam

gambar 12.2, ialah menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria, tentunya didapat

dari daftar normal baku. Kita tolak H0 jika z z0,5 - dengan z0,5 - didapat dari daftar

normal baku menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0kita terima.

Contoh: Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi mempunyai

varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang lama jika rata-rat perjam menghasilkan

paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode dig anti atau tidak, metode baru dicoba

20 kali dan ternyata rata-rata per jam menghasilkan 16,9 buah.

Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode inirata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha?

Jawab: Dengan memisalkan hasil produksi berdistribusi normal, maka kita akan menguji pasangan hipotesi

:

H0: = 16; berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi, metode lama masih

dipertahankan.

H1: >16; berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16 dan karenanya metode lama dapat

diganti.

Harga-harga yang perlu untuk menggunakan rumus 12.1 adalah = 16,9 buah, n = 20, =2,3dan0= 16 bu ah. Didapat:

= 16,916(2,3)/ 20= 2,65

Gambar 12.6

Dari daftar Normal baku standar dengan =

0,05 diperoleh = 1,64. Kriteria pengujian:

tolak H0jika z hitung lebih besar atau sama

dengan 1,64. Jika z hitung lebih kecil dari

1,64 maka H0diterima.0,05

Distribusi

Normal baku

1,64

Daerah

Penerimaan H0

8

Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi H0ditolak. Ini

menyimpulkan bahwa metode baru dapat mengganti metode lama dengan mengambil resiko

5%.

Catatan: Pengujian yang menghasikan H0 ditolak dengan taraf nyata 0,05 dinamakan uji nyata atau uji

berartiatau ujisignifikan.

Jika H0 ditolak pada taraf 5% tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan bahwa hasil uji

barangkali berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk melakukan penelitian lebih lanjut dan

pengujian dapat dilakukan lagi.

Sering dikehendaki berapa besar peluang yang terjadi ketika keputusan berdasarkan

hasil pengujian dibuat. Untuk contoh diatas misalnya, peluang tersebut adalah P(z 2,65) =

0,5 0,4960 = 0,0040.

Ini berarti: berdasarkan penelitian yang dilakukan, kesempatan melakukan kekeliruan ketika

memutuskan mengambil metode baru adalah 4 dari setiap 1.000. dalam bentuk ini biasa

dituliskan bahwa peluang p < 0,05, bahkan p < 0,01.

Contoh: Bagaimana kesimpulannya jika d iambil = 0,01?

Jawab: Untuk = 0,01, dari daftar normal baku didapat z = 2,33. Dari perhitungan, harga z = 2,65 dan ini

lebih besar dari 2,33. Jadi jatuh pada daerah kritis. Karenanya H 0ditolak. Kesimpulan dapat dibuat

seperti di atas. Hanya sekarang resikonya 1%.

Catatan: Uji yang berarti pada taraf 1% dikatakan hasil uji sangatberarti, atau sangatnyataatau sangat

signifikan .

Contoh: Dengan melakukan percobaan sebanyak 20 kali, berapa seharusnya hasil rata-rata per jam paling

sedikit untuk menyakinkan si pengusaha mengganti metode lama?

Jawab: Dengan = 0,01 dan dimisalkan populasi hasil produksi berdistribusi normal dengan nilai-nilai

=2,3, 0= 16 dan n = 20, maka dari rumus 12.1 didapat:2,33=

(,/atau = 16,79Dari 20 percobaan yang dilakukan paling sedikit harus mencapai rata-rata 16,79 buah

perjam.

Hal B). tidak diketahui

Seperti dalam bagian 4, maka jika tidak diketahui, statistik yang digunakan untuk

menguji

H0: = 0

H1: >0

Adalah statistik t seperti dalam rumus 12.2.

Kriteria pemgujian didapat dari daftar distribusi Student t dengan dk (n 1) dan peluang (1

- ). Jadi kita tolak H0jika t t1 - dan terima H0dalam hal lainnya.

Contoh: Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam hormone tertentu kepada ayam akan menambah

berat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 31 butir telur tersebut telah


5/24

9

disuntikan hormone dan rata-ratanya menjadi 4,9 gram, simpangan bakunya s = 0,8 gram. Cukup

beralasankah untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur paling sedikit 5,5

gram?

Jawab: yang kita hadapi adalah pasangan hipotesi:

H0 : = 4,5; menyuntik ayam dengan hormone tidak menyebabkan bertambahnya rata-rata berat telur

dengan 4,5 gram.

H1: > 4,5; suntikan hormone mengakibatkan berat telur rata-rata bertambah paling sedikit dengan 4,5 gram.

Dari rumus 12.2 dengan =4,9gram , s = 0,8 gram, n = 31 dan 0= 4,5 didapat=4,9 4,50,8/31 = 2,78

Kriteria pengujian adalah:

Contoh: Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersi makanan A dalam kaleng

tidak sesuai dengan yang tertulis pada kemasan sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng

makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke 23 isi kaleng tersebut, berat rata-ratanya 4,9 ons dan

simpangan bakunya 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang akan kita katakana tentang

keluhan masyarakat tersebut?

Jawab: ..

12.6.Menguji rata-rata : uji dua pihak

Misalkan kita mempunyai populasi binom dengan proporsi peristiwa A = .

Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji mengenai ujidua pihak: H0: = 0

H1: 0

dengan 0 sebuah harga yang diketahui. Dari sampel ukuran n itu kita hitung proporsi

sampel x/n adanya peristiwa A. dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal,

maka untuk pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:

= ()/ 12.3

Dengan mengambil = 0,01 dari daftar

distribus t dengan dk = 30 didapat t = 2 ,46

Gambar 12.7

Daerah

Penerimaan H0

=0,01

Distribusi

Student

Dk = 30

2,46

10

(lihat juga bab 10 rumus 10.7)

Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata adalah terima H0jika z1/2(1-)< z 0

maka pengujian demikian merupakan uji pihak kanan. Untuk ini pun, statistik yang

digunakan masih statistik z seperti tertera dalam rumus 12.3. Yang berbeda hanyalah dalam

penentuan kriteria pengujiannya. Dalam hal ini, tolak H0jika z z0,5-, dimana z0,5-didapat

dari daftar normal baku dengan peluang (0,5 - ). Untuk z < z0,5-hipotesis H0diterima.

Contoh: Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 6 0% anggota masyarakat termasuk golongan A.

sebuah sampel acak telah diambil yang terdiri atas 8.500 0rang dan ternyata 5.426 mtermasuk

golongan A. apabila = 0,01, benarkah pernytaan tersebut.

Jawab:Yang akan diuji ialah H0: = 0,6

H1: > 0,6

Contoh: akan diuji H0: = 0,3

H1: < 0,3

Sampel acak berukuran n = 425 memberikan x/n = 0,28. Bagaimana hasil pengujian dengan = 0,05?

Jawab: dari rumus 12.3 didapat:

= ,,(,)(,)/ =0,90Dari daftar normal baku dengan = 0,05 didapat z0,45= 1,64. Untuk uji pihak kiri maka

tolak H0jika z hitung -1,64 dan terima H0dalam hal lainnya. Jelas bahwa z hitung = -0,90

ada pada daerah penerimaan H0. Jadi H0 : = 0,3 diterima pada taraf nyata 0,05. Pengujian

tak berarti.

12.8.Menguji varians 2

Ketika menguji rata-rata untuk populasi normal, didpat hal di mana simpangan baku

diketahui (lihat bagian 4). Harga yang diketahui ini umumnya didapat dari pengalaman

dan untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk ini, kita misalkan


6/24

11

populasi berdistribusi normal dengan varians 2 dan daripadanya diambil sebuah sampel

acak berukuran n. Varians sampel besarnya s2dihitung dengan rumus 5.5 atau rumus 5.6.

Kita bedakan dua hal berikut:

Hal A).Uji dua pihak.

Untuk ini, pasangan H0dan H1adalah:

H0: 2=

H1: 2

Untuk pengujian ini dipakai statistik Chi-Kuadrat (lihat bab 10.8)

= () 12.4Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata , maka kriteria pengujian adalah terima H0

jika 0,50

Dengan s2= 0,81 dan n = 20 serta 2= 0,50 dari rumus 1 2.4 didapat:

= (201)(0,81)0,50

=30,78

Dari daftar chi-kuadarat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 maka diperoleh, = 30,1.Karena chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H 0ditolak pada taraf 5%.

Ini berarti variasi isi botol telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk menyetel

kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata.

12.9.Menguji kesamaan dua rata-rata : uji dua pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan atara dua keadaan atau tepatnya dua

populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh

dua macam obat dan lain sebagainya. Untuk keperluan ini akan digunakan dasar distribusi

sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata 1dan

2 sedangkan simpangan bakunya adalah 1 dan 2. Secara independen sampel acakberukuran n1dan n2diambil dari masing-masing populasi. Dari kedua sampel ini berturut-

turut didapat , s1dan , s2. Akan diuji tentang rata-rata 1dan 2.Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah

H0: 1= 2

H1: 12

Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut


7/24

13

Hal A) 1= 2= dan diketahui

Statistik yang digunakan jika H0benar adalah

= 12.5Dengan taraf nyata 1, maka kriteria pengujian adalah terima H0jika ()<


8/24

15

Jika B1 = x1-y1, B2= x2 y2, , Bn= xn yn, maka data B1, B2, , Bnmenghasilkan

rata-rata dan simpangan baku sB. Untuk pengujian hipotesis, gunakan sta tistik:= / 12.9

dan terima H0jika t1 < t < t1 dimana t1 didapat dari daftar distribusi t dengan

peluang (1 ) dan dk = (n 1). Dalam hal lainnya H0ditolak.

Contoh: Kita ambil contoh dalam bab 11.7 C mengenai tinggi anak laki-laki pertama dan tinggi ayah. Di

sana telah didapat n = 10,

= 0,8 dan

= 11,07. Maka,

= 0,811,07/10 =0,762Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,975 dan dk = 9 didapat t 0,975= 2,26. Ternyata t = 0,762 ada dalam

daerah penerimaan H0. Jadi penelitian menghasilkan uji yang tak berarti.

12.10.

Menguji kesamaan dua rata-rata : uji satu pihak

Sebagaimana dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun dimisalkan bahwa kedua

populasi bersistribusi n ormal dengan rata-rata 1 dan 2 dan simpangan baku 1 dan 2.

Karena umumnya besar 1 dan 2 tidak diketahui, maka di sini akan ditinjau hal-hal

tersebut untuk keadaan 1= 2atau 12.

Hal A). Uji pihak kananYang diuji adalah H0: 1= 2

H1: 1 > 2

Dalam hal 1= 2, maka statistik yang digunakan adalah statistik t seperti dalam rumus

12.6 dengan s2seperti dalam rumus 12.7. Kriteria pengujian yang berlaku ialah terima H 0

jika t < t1 - dan tolak H0jika t mempunyai harga-harga lain. Sedangkan dk = (n1 + n2 2)

dengan peluang (1 - ). Jika 12, maka statistik yang digunakan ada lah statistik t sperti

dalam rumus 12.8. Dalam hal ini, kriteria pengujian adalah tolak hipotesis H0 jika dan terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan

=

/

;

=

/

,

=

(

),(

)

dan = (),() . Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1)sedangkan dk-nya masing-masing ( 1)dan ( 1).Contoh: Diduga bahwa pemuda yang senangberenang r ata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda

sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang

berenang d an 20 pemuda yang tidak s enang b erenang. Rata-rata tinggi b adannya b erturut-turut

adalah 167,2 cm dan 160,3 cm. simpangan bakunya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf

nyata = 0,05, dapatka kita mendukung dugaan tersebut?

16

Jawab: Jika distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan 1= 2, maka statistic t

dalam rumus 12.6 dapat digunakan. Kita punya n 1= 15, = 16,72 cm, s1 = 6,7 cm, n2 = 20, =160,3 cm dan s2= 7,1 cm. dari rumus 12.7 didapat varians gabungan

=(15 1)(44,89) +(201)(50,41)15+20 2 =48,07

Sehingga statistic t mempunyai harga:

= 167,2160,3(48,07){(1/15) +(1/20)}= 2,913Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,95 dan dk = 33, didapat t0,95 = 1,70.

Dari penelitian didapat t = 2,913 dan ini lebih besar dari t = 1,70. Jadi H 0: 1= 2ditolak.

Penyelidikan memberikan hasil yang berarti pada taraf 5%. Dugaan di muka dapat diterima.

Jika untuk contoh di muka dimisalkan 12, maka digunaka statistik t dalam rumus

12.8. harga-harga yang perlu adalah

w1= 44,89/15 = 2,99 ; w2= 50,41/20 = 2,52

t1= t(0,95),14 = 1,76 ; t2= t(0,95),19 = 1,73

=(,)(,)(,)(,),, = 1,75

Sehingga diperoleh:

= 167,2 160,344,89/15) +(50,41/ 20)= 2,49

Kriteria pengujian adalah tolak H0 jika t 1,75. Karena t = 2,49 maka H0ditolak dan

hasil pengujian seperti di atas dapat disimpulkan.

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis tandingan H1

untuk uji pihak kanan adalah

H0: B= 0

H1: B > 0

Statistik yang digunakan masih statistik t dalam rumus 12.9 dan tolak H 0 jika t t1 - di

mana t1 -didapat dari daftar distribusi Student dengan dk = (n 1) dan peluang (1 - ).

Contoh: Untuk mempelajari kemampuan belajar 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil

secara acak. Dari pengamatan, kemampuan belajar anak laki-laki lebih baik daripada kempuan

belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah

Laki-laki : 30 21 21 27 20 25 27 22 28 18

Perempuan :31 22 37 24 30 15 25 42 19 38

Apakah yang dapat disimpulkan dari hasil u ji ini?

Jawab: Ambil L = rata-rata hasil ujian untuk anak laki-laki dan P = rata-rata hasil ujian untuk anak

perempuan.


9/24

17

Akan diuji pasangan hipotesis:

H0: B= P- L= 0

H1: B > 0

Dari data di atas, setelah dihitung berasarkan beda (selisih) tiap pasang data, didapat = 4,4 dan sB=11,34. Rumus 12.9 memberikan

= 4,411,3410= 1,227

Dengan dk = 9 dan peluang =0,95 dari daftar distribusi student didapat t0,95= 1,83. Karena t = 1,22 lebih kecil

dari 1,83 maka H0diterima. Dalam hal ini masih dapat d ikatakan bahwa rata-rat hasil ujian anak laki-laki lebih

baik dari pada rata-rata hasil ujian anak perempuan.

Hal B). Uji pihak kiri

Perumusan hipotesis H0dan hipotesis tandingan H1untuk uji pihak kiri adalah

H0: 1= 2

H1: 1 < 2

Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji

pihak kanan.

Jika 1 = 2, kedua-duanya memiliki nilai yang tidak diketahui, maka digunakan

statistik t dalam rumus 12.6. Kriteria pengujian adalah tolak H0jika t -t1-, di mana t1-

didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n 1+ n 2 2) dan peluang (1 - ). Untuk harga-

harga t lainnya, H0diterima.

Jika 12, maka yang digunakan adalah statistik t dalam rumus 12.8 dan tolak H 0

untuk

() di mana w1, w2, t1dan t2semuanya seperti telah diuraikan di muka. Jika t lebih besar

dari harga tersebut, maka H0diterima.

Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0dan tandingannya yang akan diuji adalah

H0: = 0

H1: < 0

Statistik yang digunakan adalah statistik t dalam rumus 12.9 dan tolak H0jika t - t (1 -

), (n 1)dan terima H0untuk t > - t (1 - ), (n 1).

12.11. Menguji kesamaan dua proporsi : uji dua pihak

Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya masing-

masing didapat proporsi peristiwa A sebesar 1 dan 2. Dari populasi pertama diambil

sebuah sampel acak berukuran n1 dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar

18

x1/n1. Dari populasi kedua, angka-angka tersebut berturut-turut adalah n 2dan x2/n2. Kedua

sampel diambil secara independen. Akan diuji hipotesis:

H0: 1= 2

H1: 1 2

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal d engan statistik

= (/)(/){(/)(/)} 12.10dengan = dan = 1 .Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata , maka kriteria pengujian adalah

terima H0untuk ()< < () dan tolak H0untuk harga-harga z lainnya.Seperti biasa, () didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

12 (1 ).

Contoh: Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Ternyata 150 pemilih menyatakan

akan memilih calon C. di daerah B penelitian dilakukan terhadapa 300 pemilih dan terdapat 162

yang akan memilih calon C. adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilihan calon C di antara

kedua daerah itu?

Jawab: Hipotesis yang akan diuji adalah

H0: A= Btidak terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu terhadap pemilihan calon C.

H1: ABterdapat adanya perbedaan yang nyata antara kedua daerah terhadap pemilihan calon C.

12.12.

Menguji kesamaan dua proporsi : uji satu pihak

Untuk uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisinya adalah

H0: 1= 2

H1: 1 > 2

Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal, jadi

digunakan statistik z dalam rumus 12.10. Dalam hal ini tolak H 0jika z z0,5 - dan terima

H0untuk z < z0,5 - , dengan = taraf nyata.

Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis nol H0dan tandingannya H1berbentukH0: 1= 2

H1: 1 < 2

Dengan statistik yang sama seperti di atas, tolak H0untuk z -z0,5 - dan terima H0jika

z > z0,5 - didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 - ).

Contoh: Terdapat dua kelompok ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 100 pasien yang menderita

semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan sebuah serum tertentu tetapi tidak kepada

kelompok B. kelompok B sering dinamakan kelompok control. Setelah jangka waktu tertentu,


10/24

19

terdapat 80 yang sembuh dari kelompok A dan 68 dari kelompok B. apakah penelitian ini

memperlihatkan bahwa pemberian serum ikut membantu memyembuhkan penyakit?

Jawab: untuk ini diperoleh

= = 0,74dan = 0,26Sehingga statistik z besarnya

= 0,800,68(0,74)(0,26)(0,02) = 1,94Jika Amenyatakan presentase yang sembuh dari kelompok A dengan Byang sembuh dari kelompok B,

maka diperoleh hipotesis

H0: A= B

H1: A < B

Tolak H0 untuk z 1,64 dan terima H0untuk z < 1,64 dengan = 0,05. Penelitian menghasilkan z = 1,9 4

yang jatuh dalam daerah kritis. Jadi pengujian barangkali berarti (untuk = 0,01 harga z = 2,33)

Meskipun pada taraf sekarang kita dapat mengatakan pemberian serum membantu

menyembuhkna penyakit, namun untuk lebih meyakinkan lagi dianjurkan agar penelitian

lebih lanjut dilakukan lagi.

12.13. Menguji kesamaan dau varians

Ketika menaksir selisih rata-rata, lihat bab 11.7 dan menguji kesamaan atau perbedaan

rata-rata telah berulang kali ditekankan adanya asumsi bahwa kedua populasi mempunyai

varians yang sam agar menaksir dan menguji bisa berlangsung. Dalam hal varians yang

berlainan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara pendekatan. Oleh karena itu terasa

perlu untuk melakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi-

populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang

homogen.dalam hal lainnya disebutpopulasi dengan varians yang heterogen.

Dalam bagian ini akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal untuk pasangan hipotesis nol H0 dan .Akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasanga hipotesis H0dan tandingannya H1:

H0:

=

H1: Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil dari populasi

tersebut. Jika sampel dari populasi pertama berukuran n1dengan varians dan sampeldari populasi kedua berukuran n2dengan varians maka untuk menguji hipotesis di atasdigunakan statistik.

= 12.11Kriteria pengujian ialah terima hipotesis H0jika

20

()()<

Dan uji pihak kiri

H0: = H1:


11/24

21

Maka dalam kedua hal, statistik yang digunakan masih F = / seperti dalam rumus 12.1.untuk uji pihak kanan, kriteria pengujian adalah tolak H0jika (,)sedangkanuntuk uji pihak kiri, tolak H0jika ()(,) . Dalam hal-hal lain, H0diterima.Contoh: Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan = 25,4 gram dan = 30,7 gram.

Penimbangan masing-masing dilakukan sebnayak 13 kali. Ada anggapan bahwa metode pertama

menghasilkan penimbangan dengan variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu?

Jawab: Yang akan diuji H0: = H1:

>

Dari rumus 12.11 didapat F = 25,4/30,7 = 0,83. Dari daftar distribusi F didapat F0,05(12,12)=

2,69. Karena 0,83 < 2,69, maka dalam taraf nyata 0,05 kita terima H0.

Metode penimbangan pertama variabilitasnya lebih kecil dari pada metode kedua.

12.14. Kuasa uji dan kurva ciri operasi

Dalam bagian 4 bab ini, diberikan contoh tentang uji rata-rata masa hidup lampu, ialah

H0: = 800 jam melawan H1: 800 jam dengan = 60 jam diketahui. Dengan sampel

berukuran n = 50 dan = 792 jam, pengujian menyatakan menerima H0pada taraf = 0,05.Jika sebenarnya rata-rata masa hidup lampu itu bukan 800 jam, melainkan = 778 jam,

berapakah , yaitu peluang membuat kekeliruan tipe II, dalam pengambilan keputusan diatas?

Untuk menentukan , kita buat sketsa dua distribusi normal yang satu dengan = 800

dan satu lagi dengan = 778. Kedua-duanya mempunyai = 60.

Uji dua pihak dengan = 0,05 menghasilkan daerah penerimaan H0berbentuk -1,96 0,5

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

1,0000 0,9998 0,95 0,3050 0,0032 0,0000

1 - 0,0000 0,0002 0,05 0,6950 0,9968 1,0000

Kurva cirri operasi (CO) untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam gambar 12.13.

Makin tegak jalan kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang

seharusnya ditolak.

Kurva kuasa pengujian di atas dapat dilihat dalam gambar 12.14. ternyata kebalikan

daripada kurva cirri operasi.

Kurva ciri operasi dan kurva kuasa adalah

ekivalen.

Hingga kini, dan (1 - ) telah dihitung

berdasarkan populasi normal dengan tidak

diketahui. Jika tidak diketahui, pengujian akan

berdasarkan distribusi t dan untuk menentukan

kuasa diperlukan distribusi yang nonsentral. Hal

ini tidak dibicarakan lebih lanjut, karena

memerlukan teori yang lebih jauh.

Hal yang sama juga berlaku untuk pengujian

yang menggunakan distribusi F dan distribusi Chi-

Kuadrat. Dalam hal ini untuk menghitung

diperlukan distribusi F nonsentral dan chi-kuadrat

nonsentral.

Distribusi-distribusi yang kita kenal sekarang

di sini semuanya distribusisentral.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

= 0,05

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8

1 -


13/24

25

12.15. Menentukan ukuran sampel

Dalam bab 11.9 telah diuraikan bagaimana cara menentukan ukuran sampel

sehubungan dengan penaksiran parameter. Sekarang sesudah kita mempelajari cara menguji

hipotesis, akan diberikan beberapa contoh bagaimana menentukan banyak objek yang perlu

diteliti. Faktor yang ikut menentukan dalam hal ini adalah

a. Mengenai parameter apakah hipotesis yang kan diuji itu

b. Bagaimana pengujian dilakukan, satu pihak atau dua pihak

c.

Berapa besar taraf nyata yang akan digunakan, atau ini tiada lain daripada

d. Berapa besar kekeliruab yang mau dilakukan

e. Berapa besar penyimpangan yang dapa t diterima diukur dari nilai hipotesis.

Contoh : Sebuah sampel acak diperlukan untuk menguji hipotesis H 0: = 50 melawan H1= 50 dengan

syarat-syarat sebagai berikut:

a)

Peluang menolak H0apabila sebenarnysa = 50 paling tinggi 0,05.

b) Peluang menerima H0apabila sebenanya berbeda dari 50 dengan 5 paling tinggi 0,10.

Jika diketahui populasi berdistribusi normal dengan = 6, berapa obyek yang paling sedikit

yang perlu diteliti?

Jawab : Syarat a) mengatakan bahwa paling tinggi = 0,05 sedangkan s yarat b) mengatakan paling tinggi

= 0,10 terjadi pada = 45 dan = 55. Keadaan ini dapat dilihat dalam gambar 12.15.

Daerah penenrimaan H0 adalah antara z = -1,96 dan z = 1,96. Dengan rumus 12.1, dari distribusi normal

dengan = 50 didapat:

1,96=/

,

= ukuran sampel, dan dari distribusi normal baku dengan = 55 dan = 0,10 didapat

1,28= /,= ukuran sampel.Kedua persamaan diatas memberikan

11,76 = 507,68 = 55Setelah diselesaikan didapat n = 15,12.

Paling sedikit perlu diteliti 16 obyek.

Dengan n = 16 ini akan didapat = 52,9 dan = 47,1

Gambar 12.15

50

0,025

5545

0,025

26

Kriteria pengujian adalah jik adari sampel berukuran 16 didapat antara 47,1 dan 52,9 maka H0diterima,sedangkan dalam hal lainnya H0harus ditolak.

Catatan : Hasil yang sama akan diperoleh apabila diambil distribusi normal dengan = 50 dan = 45.

Jika untuk contoh di a tas diambil = 0,05, maka persamaan yang perlu diselesaikan adalah

1,96=/ dan 1,645 = /

Atau

11,76/

=

50

9,87/= 55Hal ini memberikan hasil n = 18,71 yang berarti paling sedikit sampel itu harus berukuran 19.

Kita lihat bahwa makin kecil kekeliruan yang dikehendaki makin besar ukuran sampel

yang diperlukan. Hal yang sama akan terjadi apabila menghendaki penyimpangan yang

semakin kecil dari nilai yang dihipotesiskan.

Contoh : Diduga bahwa paling banyak 30% anggota masyarakat menderita penyakit A. Kita ingin menguji

pernyataan ini dengan mengambil = 0,05 dan = 0,05 untuk penyimpangan maksimal 10% dari

yang dihipotesiskan. Berapa anggota masyarakat yang harus diteliti?

Jawab : kita lihat bahwa hal ini uji pihak kanan dengan keadaan seperti tertera dalam gambar di bawah ini.

Daerah penerimaan H0adalah z = 1,645 ke kiri dalam kurva distribusi normal yang sesuai dengan = 0,3.

Dari rumus 12.3 didapat

1,645= /,(,)(,)/

, n = ukuran sampel

Dari = 0,05 dengan menggunakan kurva distribusi normal yang sesuai dengan = 0,4 didapat

1,645= /,(,)(,)/, n = ukuran sampel

Kedua persamaan di atas menjadi:

x/n0,3 = 0,7983/x/n0,4 = 0,8059/

Setelah diselesaikan didapat n = 257,35. Berarti sampel kita paling sedikit berukuran 258.

Gambar 12.16

0,25

x

0,05

=0,3=0,4


14/24

27

Masukkan n = 258 ke dalam salah satu persamaan di atas didapat x = 90. Jadi jika dari

sampel berukuran n = 258 didapat lebih dari 90 orang menderita penyakit A, maka H0kita

tolak. Dalam hal lainnya H0diterima.

Pada umumnya, simpangan baku tidak diketahui besar sebenarnya dan sering didapat

berdasasrkan penaksiran atau dari pengalaman. Dalam hal ini, cara yang tepat haruslah

digunakan distribusi t dan bukan distribusi normal. Untuk keperluan ini, karena

menyangkut keperluan seperti telah diuraikan di muka, disperlukan distribusi t nonsentral.

Hal yang sama berlaku untuk menentukan ukuran sampel berdasarkan pengujian yang

menggunakan distribusi yang tidak normal.

12.16. Menguji homogenitas varians populasi

Untuk menguji kesamaan beberapa rata-rata, lihat bab 14.3, dimisalkan populasinya

mempunyai varians yang homogeny, yaitu ===. Demikian pula dalambagian 9, untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah dimisalkan = . Untuk halterakhir ini, pengujian kesamaan varians = untuk dua populasi telah diuraikan dalam

bagian 13. Sekarang akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah (k

2) varians populasi yang berdistribusi normal. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k (k

2) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan varians, . Akan diuji hipotesis:H0: ===H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku, bedasarkan sampel-sampel

acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.

Ada beberapa metode yang telah ditemukan untuk melakukan pengujian ini, tetapi disini

hanya kan diberikan satu saja yang dikenal dengan nama uji Bartlett.

Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1, n2, , nkdengan data Yij(i = 1, 2,

, k dan j = 1, 2, n k) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Daftar 12.4.

selanjutnya, dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah

,,, . DAFTAR 12.4DATA SAMPEL DARI k BUAH POPULASI

DARI POPULASI KE

1 2 k

Data Hasil

Pengamatan

28

Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih

baik disusun dalam sebuah daftar seprti dalam Daftar 12.5.

DAFTAR 12.5

HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT

:===Sampel

kedk

1

s12 log s12 (dk) log s121

2

k

1 1 1

1/ 11/ 11/1

s12

s22

sk2

log s12

log s22

log sk2

( 1)log s12(1)log s22( 1)log sk2

Jumlah ( 1) 11 - - (1) lo

Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni:

1) Varians gabungan dari semua sampel

=

(

1)

/

(

1)

12.13

2)

Harga satuan B dengan rumus:

= (log)( 1) 12.14Ternyata untuk uji Bartlett digunakan statistik chi-kuadrat.

= (ln10){ ( 1) } 12.15dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma aslidari bilangan 10.

Dengan taraf nyata , kita tolak hipotesis H0 jika ()() , di mana()() didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1 - ) dan dk = (k 1).

Contoh: Bagaimana uji Bartlett ini digunakan, marilah kita ambil contoh tentang pertambahan berat badan

hewan karena emapat macam makanan.

DAFTAR 12.6

Data

Hasil

Pengamatan

Pertambahan berat karena makanan ke

1 2 3 4

12

20

23

10

17

14

15

10

19

22

6

16

16

20

9

14

18

19

Dengan rumus 5.5, varians untuk tiap sampel kita hitung, hasilnya:

= 29,3; = 21,5; = 35,7 dan = 20,7


15/24

29

Daftar 12.5 sekarang menjadi:

DAFTAR 12.7

HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT

:===Sampel

kedk

1 s12 log s12 (dk) log s121

2

3

4

4

4

3

3

0,25

0,25

0,33

0,33

29,3

21,5

35,7

20,7

1,4669

1,3324

1,5527

1,3160

5,8676

5,3296

4,6581

3,9480

Jumlah 14 1,16 - - 19,8033

Varians gabungan dari empat sampel itu adalah

= 4(29,3)+4(21,5)+3(35,7)+3(20,7)4+4+3+3

=26,6

Sehingga log= log26,6= 1,424882dan =(1,424882)(14)=19,94834akhirnya rumus 12.5 memberikan

= (2,3026)(19,94834

19,8033)=0,333969

Jika = 0,05, ari daftar distribus chi-kuadrat dengan dk = 3 didapat,() = 7,81.Ternyata bahwa = 0,333969 < 7,81 sehingga hipotesis:=== diterima dalam taraf nyata 0,05.

Jika hargayang dihitung dengan rumus 12.15 ada di atasdari dafatr dan cukupdekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap rumus 12.15 dengan

menggunakanfaktor koreksi Ksebagai berikut:

= 1+ () () 12.16Dengan faktor koreksi ini, sta tistikyang dipakai sekarang ialah

= (1/

)

12.17

Dengandi ruas kanan dihitung dengan rumus 12.15. dalam hal ini hipotesis H 0ditolak jika ()() .12.17. Catatan

30

13. Uji chi-kuadrat dan uji kecocokan

13.1.Pendahuluan

Masih ada beberapa persoalan lain yang dapat diselesaikan dengan mengambil manfaat

distribusi chi-kuadrat ini, diantaranya yang akan dibicarakan dalam bab ini adalah

a) Menguji proporsi untuk data multinom

b)Menguji kesamaan rata-rata distribusi Poisson

c) Menguji independen antara dua factor di dalam daftar kontingensi B x K

d)

Menguji kesesuaian antara data hasil pengmatan dengan model distribusi dari mana data

itu diduga diambil, dan

e) Menguji model distribusi berdasarkan data hasil pengamatan.

13.2.Menguji proporsi data multinom

Misalkan sebuah eksperimen menghasikan peristiwa-peristiwa atau kategori-kategori

A1, A2, , Akyang saling terpisah masing-masing dengan peluang p1= P(A1), p2= P(A2),

, pk = P(Ak).

Akan diuji hipotesis

H0: p1= pio, i= 1, 2, , k , dengan p iosebuah harga yang diketahui

H1: p1pio

Di sini, tentu saja pi= pio= 1.

Pengujian yang ditempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak berukuran n

yang didalamnya ada O1dari kategori pertama (A1), O2dari kategori kedua (A2), , Okdari

kategori ke k(Ak).

Dengan harga pioyang diberikan, kita dapa t menghitung masing-masing frekuensi yang

diharapkan E1= np10, E2= np20, , Ek= npk0.

Jelas bahwa O1 + O2 +,, Ok = E1 + E2+,, Ek = n. harga-harga O1, O2 ,, Ok

merupakan nilai-nilai yang Nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E1, E2 ,, Ek

merupakan nilai-nilai yang diharapkan terjadi atau nilai-nilai teoritik.

Agar mudah diingat, adanya kategori A i, hasil pengamatan Oi dan hasil yang

diharapkan Ei, sebaiknya disusun dalam daftar sebagai berikut.

Kategori A1 A2 . Ak

Pengamatan O1 O2 . Ok

DIharapkan E1 E2 . Ek

Untuk menguji pasangan hipotesis di atas, digunakan statistic:

= () 13.1


16/24

31

Bentuk lain untuk rumus diatas adalah

= 13.2Ternyata bahwa statistic di atas ternyata bahwa statistic di atas berdistribusi chi-kuadrat

dengan dk = (k 1). Kriteria pengujian adalah tolak H 0jika ()() dengan =taraf nyata untuk pengujian. Dalam hal lainnya, H0 diterima.

Contoh: Kita tahu bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu homogin masing-masing 1/6.

Sebuah eksperimen telah dilakukan sebanyak 120 kalidengan sebuah dadu dan menghasilkan 16

muka bermata 1, 24 mata 2, 23 m ata 3, 15 mata 4, 17 mata 5 dan 25 mata 6. Akan diuji apakah dadu

tersebut homogin atau tidak, yaitu akan d iuji hipotesis:

H0: p1= p2= = p6= 1/6

H1: paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.

Jika H0benar, yakni apabila dadu itu homogin kita harapkan akan d idapat

A1 (muka dengan mata satu) = 120 x 1/6 = 20

A2(muka dengan mata dua) = 120 x 1/6 = 20A6 (muka dengan mata enam) = 120 x 1/6 = 20

Jadi didapat:

Muka A1 A2 A3 A4 A5 A6

Pengamatan 16 24 23 15 17 25

diharapkan 20 20 20 20 20 20

Dengan rumus 13.1 didapat:

= (16 20)20

+(2420)

20 +

(23 20)20

+(15 20)

20

(17 20)20

+(2520)

20

Atau= 5,00.Dengan = 0,05 dan dk = 5, dari table distribusi chi-kuadrat didapat, = 11,1yang jelas lebih

besar daripada= 5,00Hasil pengujian tak berarti atau non-signifikan dan hipotesis H 0 diterima sehingga

dapat kita simpilkan bahwa dadu itu dibuat dari bahan yang homogin.

Contoh: Dalam suatu eksperimen genetika menurut Mendell telah ditemukan bahwa semacam karakteristik

diturunkan menurut perbandingan 1 : 3 : 3 : 9 untuk kategori-kategori A, B, C dan D. akhir-akhir ini

dilakukan 160 kali pengamatan dan terdapat 5 kategori A, 23 kategori B, 32 kategori C dan 100

kategor D. dengan menggunakan = 0,05 apakah data d iatas menguatkan teori genetika tersebut?

Jawab: Berdasarkan teori diharapkan terdapat 1/16 x 160= 10 kategori A, nmasing-masing 30 kategori B dan

C, dan 90 kategori D. data hasil pengamatan dan yang diharapkan adalah sebagai berikut.

Kategori A B C D

Pengamatan 5 23 32 100

Diharapkan 10 30 30 90

Dari rumus 13.1 didapat:

= (510)10

+(23 30)

30 +

(32 30)30

+(100 90)

90 = 5,18

32

Dari table distribusi chi-kuadrat diperoleh ,() =7,81. Sehingga pengujianmemperlihatkan hasil yang tidak berarti dan tidak ada alas an untuk tidak mempercayai

teori yang telah ditemukan.

Sebagai hal khusus dari data multinom ialah data binom yang didapat apabila banyak

kategori k = 2. Jika dalam hal ini kedua kategori disebut kategori I dan II dengan peluang

terjadinya kategori I dan II masing-masing dan (1 - ), maka untuk sebuah sampel acak

berukuran n di antaranya didapat x buah kategori I, dapat dibuat daftar sebagai berikut

Kategori I II Jumlah

Pengamatan x n - x n

Diharapkan n n(1 - ) n

Statistic yang digunakan untuk menguji hipotesis H0: = 0melawan H1: 0ialah:

=()() 13.3dan tolak H0jika ()() ; sedangkan dalam hal lainnya H0diterima.

Dalam hal data binom di mana digunakan distribusi chi-kuadrat dengan dk satu, rumus

13.3 perlu diperbaiki dengan menggunakan koreksi kontinuitas, yaitu harga mutlak |

|harus dikurangi dengan setengah. Jadi rumus yang dipakai adalah= || () 13.4Contoh: Diduga bahwa 50% dari semacam kacang bentuknya keriput dan 50% lagi halus. Pengamatan

dilakukan terhadap sebuah sampel acak terdiri dari 80 butir kacang dan terdapat 56 keriput

sedangkan sisanya halus. Dalam taraf 0,05, dapatkah kita menyokong dugaan tersebut?

Jawab:

Bentuk Keriput Halus

Pengamatan 56 24

teoritis 40 40

Dengan 0= , maka rumus 13.4 memberikan

= |

|

// = 12,01Dan dengan = 0,01 d idapat() = 6,63.

Pengujian memberikan hasil yang sangatberartisehingga kita tidak bisa menerima dugaan

tersebut.

13.3.Menguji kesamaan rata-rata poisson

Misalkan ada ( 2)buah distribusi Poisson denga parameter 1, 2, , k. akandiuji pasangan hipotesis:


17/24

33

H0: 1= 2= ,= k


Dari setiap populasi diambil sebuah sampel acak, berukuran n1dari populasi pertama,

n2dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nkdari populasi ke-k. untuk tiap sampel

dihitung banyak peristiwa yang mengikuti distribusi Poisson. Jika banyak peristiwa ini

dinyatakan dengan x1, x2, , xk, maka rata-ratanya = .Statistic yang digunakan untuk menguji hipotesis H0adalah

= () 13.4aDan tolak H0jika ()() . Dalam hal lainnya H0diterima.

Contoh: Lima orang sekretaris bertugas untuk menyalin data ke dalam sebuah daftar yang telah disediakan.

Misalkan bahwa banyaknya salah menyalin untuk setiap daftar berdistribusi Poisson masing-masing

dengan rata-rata 1, 2,, 5. Dari hasil salinan tiap s ekretaris diambil sampel acak berukuran empat

dan dicatat banyaknya kesalahan dalam tiap d aftar. Data ini akan d igunakan untuk menguji hipotesis:

H0: 1= 2= 3= 4= 5


Bersama-sama dengan satuan-satuan yang diperlukan, didapat data berikut.

Sekretaris Kesalahan tiap daftar Banyak kesalahan (xi)

I

II

III

IV

V

2,0,3,3,2,

0,0,2,1,2,

1,1,2,3,2,

2,1,1,1,4,

2,3,0,3,3.

10

5

9

9

11

Jumlah - 44

Dari kolom ketiga didapat = =4,8dan dengan rumus 13.4a diperoleh= (10 8,8)

8,8 +

(58,8)8,8

+(98,8)

8,8 +

(98,8)8,8

+(11 8,8)

8,8 =2,36

Dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan = 0,05 dan dk = 4 didapat(,) = 9,49dan ini lebih besar dari2,63.

Jadi H0diterima, sehingga kelima sekretaris itu dapat dikatakan tergolong ke dalam kelaskerja yang sama.

13.4.Uji independen antara dua factor

Banyak data hasil pengamatan yang dapat digolongkan kwdalam bebrapa factor,

karakteristik atau atribut dengan tiap factor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi,

kategori, golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap

fenomena demikian akan diselidiki mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar

34

factor. Dengan kata lain akan dipelajari apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara

factor-faktor itu bersifat independenatau bebas, tepatnya bebas statistic.

4.1 Asosiasi Antara Dua Faktor dalam Daftar Kontingensi B X K

Secara umum, untuk menguji independen antara dua factor dapat dijelaskan sebagai

berikut; Misalkan sebuah sampel acak berukuran n telah diambil, dimana tiap pengamatan

tunggal diduga terjadi karena adanya dua macam factor, ialah factor I dan factor II. Factor I

terbagi atas B taraf atau tingkatan dan factor II terbagi atas K taraf. Banyak pengamatan

yang terjadi karena taraf ke-I factor ke-I (i= 1, 2, , B) dan taraf ke-j factor ke-I (j = 1, 2,

, K) akan dinyatakan dengan O ij. Hasilnya dapat dicatat dalam sebuah daftar

berkontingensi B X K(lihat juga bagian bab 2.2).

DAFTAR 13.1

DAFTAR KONTINGEN BXK

UNTUK HASIL PENGAMATAN TERDIRI ATAS DUA FAKTOR

FAKTOR II (K TARAF)JUMLAH

1 2 . K

FAKTORI(B

TARAF)

1 011 012 . 01K n10

2 021 022 02K n20

B 0B1 0B2 . 0BK nBO

Jumlah nO1 nO2 . nOK n

Pasangan hipotesis yang akan diuji berdasarkan data seperti dalam daftar di atas adalah

H0: kedua factor bebas s tatistik

H1: kedua factor tidak bebas statistik

Pengujian secara eksak sulit digunakan, karenanya di sini hanya akan dijelaskan

pengujian yang b ersifat pendekatan. Untuk ini diperlukan frekuensi teoritik atau banyak

gejala yang diharapkan terjadi yang di sini akan dinyatakan dengan E ij. Rumusnya adalah

= / 13.5dengan nio= jumlah baris ke-i

noj= jumlah baris ke-j.

Demikian misalnya didapat:

E11= (n10X n01)/n ; E12= (n10X n02)/n

E21= (n20X n01)/n ; E22= (n20X n02)/n

dan seterusnya

Jelas bahwa n = n10+ n20+ + nBO= n01+ n02+ + nOK.

Statistic yang digunakan untuk menguji hipotesis di atas adalah


18/24

35

= / 13.6dan tolak H0jika().{()()} dalam taraf nyata = dan derajat kebebasan dk untukdistribus chi-kuadrat = ( 1)( 1). Dalam hal lainnya kita terima hipotesis H0.Contoh: Misalkan penggolongan pendapatan telah disetujui terbagi atas kelas-kelas tinggi, menengah dan

rendah. Selanjutnya untuk tingkatkan pendapatan ini terdapat pula empat kelas pasar tempat mereka

berbelanja makanan sehari-hari yaitu pasar-pasar kelas I, II, III dan IV. H asil penelitian untuk

keadaan ini dapat dilihat di bawah ini

Kelas Pasar

TingkatPendapatan

I II III IV JUMLAH

Tinggi56

30,5

71

71,9

12

35,2

35

36,5174

Menegah47

54,3

163

128,1

38

62,6

62

65,0310

Rendah14

32,2

42

76,0

85

37,2

43

38,5184

Jumlah 117 276 135 140 668

Dalam daftar di atas, tiap sel telah dibagi dua oleh garis diagonal. Bagian sel sebelah

kiri atas berisikan banyak data hasil pengamatan, jadi Oij, sdangkan bagian kanan bawah

berisikan banyak data teoritik a tau diharapkan terjadi, yakni E ij. Penyusunan sperti dalam

daftar di muka sering dapat memudahkan perhitungan X2 dengan rumus 13.6 dan agar

mudah dapat dilihat mana yang hasil pengamatan dan mana yang teoritik. Harga-harga Eij

dihitung dengan rumus 13.5 yakni

E11= ( 117 * 174)/668 = 30,5 ; E12= ( 276 * 174)/668 = 71,9

E13= ( 135 * 174)/668 = 35,2 ; E14= ( 140 * 174)/668 = 36,5

E21= ( 117 * 310)/668 = 54,3 ; E22= ( 276 * 310)/668 = 128,1

E23= ( 135 * 310)/668 = 62,6 ; E24= ( 140 * 310 /668 = 65,0

dan begitu seterusnya.

Untuk menguji hipotesis bahwa factor kelas pasar dan factor tingkat pendapatan

bersifat independen, digunakan rumus 13.6 untuk mendapatkan:

= (56 30,5)30,5

+(71 71,9)

71,9 +

(12 35,2)35,2

+(35 36,5)

36,5 +

(47 54,3)54,3

+(163128,1)

128,1 +

(38 62,6)62,6

+(62 65,0)

65,0 +

(14 32,2)32,2

+(42 76,0)

76,0 +

(85 37,2)37,2

+(43 38,5)

38,5

= 144,12

36

Dengan = 0,01 dan dk = (3 1)(4 1) = 6. Didapat,() = 16,8yang jelas jauhlebih kecil dari 144,12. Jadi penelitian memberikan pengujian yang sangat berarti, sehingga

dapat disimpilkan bahwa ada hubungan sangat nyata antara kelas pendapatan dan kelas

pasar tempat orang-orang berpendapatan demikian berbelanja.

Selanjutnya, sering ingi diketahui derajat hubungan antara factor yang satu dengan

lainnya. Jika ini dikehendaki, untuk data dalam daftar kontingensi, digunakan koefisien

konteingen Cyang rumusnya ditentukan oleh:

= 13.7dengan mengambil harga akar yang positif.

Untuk contoh soal di atas, dengan X2= 144,12 dan n = 668 didapat

= 144,12144,12+ 668

= 0,421

Agar supaya harga C yang diperoleh dapat dipakai untuk menilai derajat asosiasi antara

factor, maka harga harga C ini perlu dibandingkan dengan koefisien kontingensi maksimum

yang biasa terjadi. Harga C maksimum ini dihitung oleh rumus:

=

13.8

dengan m = harga minimum antara B dan K (yakni minimum antara banyak baris dan

banyak kolom.

Dalam contoh di atas, daftar kontingansi terdiri atas tiga baris dan empat kolom. Jadi

minimumnya tiga, sehingga

=(3 1)/3 = 0,816Makin dekat harga C kepada Cmaksmakin besar derajat asosiasi antara factor. Dengan kata

lain, factor yang satu makin berkaitan dengan factor yang lain.

Membandingkan C = 0,421 dengan 0,816 nampak bahwa derajat hubungan cukup besar.

Harga Cmaksuntuk daftar kontingensi dengan m = 2, 3, , 10 diberikan di bawah ini.

DAFTAR 13.2HARGA Cmaks UNTUK BERBAGAI m

m Cmaks2

34

5

67

8

910

0,707

0,8160,866

0,894

0,9130,926

0,935

0,9430,949

Nampak dari daftar bahwa makin besar m

makin dekat harga Cmakskepada satu.

Tetapi perlu dicatat bahwa Cmaksselalu lebih

kecil dari satu.


19/24

37

Cara pengujian independen di atas tidak saja hanya berlaku untuk dua factor yang

berbentuk atribut tetapi juga untuk data kuantitatif yang telah dibuat menjadi beberapa kelas

interval atau kelompok. Kita ambil misalnya antara umur pengemudi dan sering terjadinya

kecelakaan yang sering dialami oleh pengemudi itu. Pengemudi yang berumur 31 tahun

atau lebih telah dikelompokkan menjadi tiga kelas: 31 40, 41 50 dan 51 60 sedangkan

frekuensi kecelakaan lalu lintas yang dialaminya selama periode tertentu digolongkan

kedalam kategori tidak pernah mengalami kecelakaan (0), pernah mengalami satu kali

kecelakaan (1), dan lebih dari satu kali kecelakaan (2 atau lebih).

Hasil pengamatan dan seringnya mengalami kecelakaan secara teoritik dapat dilihat

dalam table berikut

Umur Pengemudi

31 - 40 41 - 50 51 - 60 Jumlah

FrekuensiKecelakaan

0420

404,6

472

469,4

340

358,01232

170

83,4

97

96,8

87

73,8254

2 atau

lebih

22

24,0

25

27,8

26

21,273

jumlah 512 594 453 1559

Seperti dalam contoh pertama, harga-harga E ij dihitung dengan rumus 13.5 dan hasilnya

dicantumkan di bagian kanan bawah dalam sel-sel daftar di atas. Maka rumus 13.6

menghasilkan:

= (,), ++ (,), = 7,56Dengan = 0,05 dan dk = (3 1)(3 1) = 4, dari daftar distribusi X

2didapat,() =

9,49. Ternyata hasil pengujian bersifat tak berarti dan frekuensi kecelakaan untuk

pengemudi berumur 31 tahu dan lebih tidak bergantung pada umur pengemudi.

4.1 metode Khusus untuk Daftar Kontingensi 2 X 2

Jika daftar kontingensi berukuran 2 X 2, maka untuk pengujian hipotesis digunakan

distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan satu. Ternyata bahwa untuk hal ini koreksi

kontinuitas perlu digunakan dan telah ditemukan dengan nama koreksi Yates, yaitu setiap

harga mutlak dikurangi dengan setengah.Hasil pengamatan yang dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi 2 X 2 adalah

seperti di bawah ini

38

FAKTORKESATU

FAKTOR KEDUA

Taraf 1 Taraf 2 Jumlah

Taraf 1 a b a + b

Taraf 2 c d c + d

Jumlah a + c b + d n

Jelas bahwa n = a + b + c + d

Rumus X2 untuk hal ini, bersama-sama dengan memperhitungkan koreksi Yates

tersebut di atas adalah

= (||/)()( )( )( ) 13.9

Seperti biasa, hipotesis yang akan diuji adalah

H0: kedua factor independen

H1: kedua factor tidak independen

Dan tolak H0jika ()()dengan = taraf nyata dan dk = satu.Contoh : Ada dua kelompok A dan B, masing masing terdiri dari 95 orang yang menderita semacam

penyakit. Kelompok A diobati dengan sejenis obat sedangkan kelompok B tidak diobati. (kelompok

B disebut kelompok control). Sesudah jangka waktu tertentu diperiksa beberapa orang yang

sembuh. Ternyata dari kelompok A ada 78 orang yang sembuh sedangkan dari kelompok B ada 62

orang. Akan diuji hipotesis bahwa obat yang digunakan tidak mempunyai pengaruh terhadap

penyembuhan penyakit.

Jawab : data diatas dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi sebagai berikut:

Sembuh Tidak Sembuh Jumlah

Kelompok A (diobati) 78 17 95

Kelompok B (tak diobati) 62 33 95

Jumlah 140 50 190

Dari rumus 13.9 didapat

= {||/()} = 6,11Untuk taraf nyata 9,05 dan dk = satu, maka

,

(

)

=3,84. Kita lihat bahwa pengujian

berarti pada ta raf 0,05. Tetapi jika = 0,01, maka,() =6,63 sehingga H0 diterimapada tarad 0,01.

Pengobatan barangkali berartidan penelitian lebih lanjut dianjurkan untuk dilakukan.

Contoh : Yang berikut adalah data hasil pengumpulan pendapat masyarakat terhadap dua calon pemimpin A

dan B.


20/24

39

Penduduk

Pemimpin

Ya Tidak Jumlah

A 37 22 59

B 18 7 25

Jumlah 55 29 84

Untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata mengenai

pendapat masyarakat terhadap kedua calon itu, diperlukan nilai

= (||) =0,32Dalam kedua taraf nyata = 0,01 dan = 0,05 hipotesis nol diterima.

13.5.Uji kecocokan

Untuk melakukan uji kecocokan ini akan dibandingkan antara hasil yang sebenarnya

diamati dengan frekuensi yang diharapkan berdasarkan model yang diandaikan dan untuk

ini digunakan rumus 13.1. nilai-nilai parameter populasi yang diasumsikan yang dipakai

untuk menghitung frekuensi diharapkan atau frekuensi teoritik, ditaksir berdasarkan nilai-

nilai statistic sampel yang takbias. Misalnya rata-rata ditaksir oleh dan varians 2olehs2. Distribusi chi-kuadrat yang digunakan sebagai akibat penggunaan rumus 13.1,

mempunyai dk = (k g 1) dimana k = banyak kategori atau kelas interval dan g = banyak

parameter yang ditaksir. Demikianlah misalnya untuk menguji kecocokan populasi normal

karena ada dua parameter yang ditaksir, ialah dan 2, maka dk untuk distribusi chi-

kuadrat sama dengan (k 3). Untuk menguji kecocokan distribusi Poisson, distribusi chi-

kuadrat yang digunakan akan mempunyai dk = (k 2).

5.1 Uji kecocokan distribusi binom

Dalam bab 8.2 telah didapat distribusi binom ()= (1 ) . Dapatdilihat bahwa disini hanya ada satu parameter yang perlu ditaksir ialah . Sehingga

distribusi chi-kuadrat akan mempunya dk = (k 2).

Sekarang marilah kita uraikan dengan contoh.

Lima mata uang dipakai untuk mengundi 1.000 kali. Nampaknya muka G dicatat dan

hasilnya seperti berikut

Banyak muka G 0 1 2 3 4 5

Frekuensi terjadi 36 142 345 289 159 29

Akan ditentukan bentuk distribusi binom yang cocok berdasarkan data hasil undian di atas.

40

Kita tahu bahwa = N= 5dengan = peluang nampaknya muka G di sebelah atas.

Dari hasil pengamatan didapat rata-rata nampaknya muka G

()()()()()(). = 2,48Menyamakan 5 dengan 2,48 didapat 5 = 2,48 yang menghasilkan = 0,496. Diduga

distribusi binom berdasarkan data yang diperoleh akan mempunyai persamaan: ()=5

(0,496)(0,504)

dengan x = 0, 1, 2, , 5

Dengan jalan memasukkan harga-harga x kedalam persamaan di atas, didapat:

P(0) = 0,0325; sehingga diharapkan muka G ada 32,5






Hasil-hasil di muka sebaiknya kita cantumkan dalam table sebagai berikut:

Muka G(x)

Diharapkan(Ei)

Sebenarnya(Oi)

0

1

2345

32,5

160,0

315,0310,0152,530,0

36

142

34528915929

Dengan rumus 13.1 diperoleh statistic

= (,), + () + () + () + (,), + () =6,99

Jadi hipotesis nol mengenai model distribusi binom di atas dapat diterima.

5.2 Uji kecocokan distribusi Poisson

Distribusi Poisson dengan parameter rata-rata mempunyai persamaan ()= ! dengan x = 0, 1, 2, , e = 2,71828 dan > 0Untuk menguji bentuk distribusi Poisson, akan digunakan contoh berikut.

Banyak kata salah cetak tiap halaman 0 1 2 3

Banyak halaman 28 15 6 1

Rata-rata banyak kata salah cetak tiap halaman adalah

()()()() = 0,6


21/24

41

Sehingga persamaan distribusi Poisson diduga berbentuk

()= ,(,)! Dengan x = 0, 1, 2, yang menyatakan banyak kata salah cetak terdapat dalam tiap

halaman. Dari persamaan di atas didapat

p(0) = 0,5488: diharapkan ada 27,4 hal. Dengan 0 salah cetak




frekuensi salah cetak sebagai hasil pengamatan dan yang diharapkan dapat dilihat di bawah

ini.

Banyaksalah cetak

Pengamatan(Oi)

Diharapkan(Ei)

01

2

3

2815

67

1

27,416,5

4,95,9

1,0

Dalam daftar di muka terlihat adanya frekuensi yang diharapkan atau teoritik (Ei) sebesar

1,0 untuk salah cetak sebanyak tiga. Frekuensi yang diharapakan yang terlalu kecil akan

mengakibatkan harga chi-kuadrat menjadi besar sehingga tidak mencerminkan

penyimpangan yang wajar mengenai hasil pengamatan dari yang teoritik. Untuk

mengatasinya dilakukan penggabungan antara kategori yang mempunyai Ei kecil dengan

kategori yang berdekatan sehingga hasil gabungan dianggap cukup besar. Sebgai pegangan

yang biasa dipakai, penggabungan demikian dilakukan jika terdapat Ei yang harganya

kurang dari lima.

Jika untuk contoh di muka kita gabungkan kategori salah cetak yang banyaknya tiga

dan dua, maka dengan menggunakan rumus 13.1 didapat

= (,), + (,), + (,), = 0,48Setelah dikakukan penggabungan, sekarang terdapat tiga ktegori jadi k = 3 sehingga dk

untuk distribusi chi-kuadrat besarnya satu.

Dengan = 0,05 diperoleh,() =0,48.Ternyata bahwa hipotesis tentang bentuk distribusi Poisson dengan persamaan di atas dapat

diterima.

42

5.3 Uji Distribusi Normal atau Uji Kenormalan

Sekarang mari kita tinjau mengenai uji n ormalitas. Persamaan distribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku dapat dilihat dalam bab 8.6. jika sebuah sampel acak

berukuran n telah diambil dengan rata-rata = x dan simpangan baku = s, maka kurva normal

yang cocok atau sesuai dengan data tersebut (untuk keperluan ini data harus disusun dalam

daftar distribusi frekuensi yang terdiri atas k buah kelas interval) ialah

=

/

13.10

Contoh : sebuah sampel acak berukuran 100 orang dicatat dalam daftar distribus frekuensi berikut

Daftar 13.3

Tinggi (cm) f

140 144

145 149

150 144155 159

160 164

165 169170 - 174

7

10

1623

21

176

Jumlah 100

Jika perhitungan yang sama dilakukan untuk kelas-kelas interval lainnya, didapat hasil seperti pada daftar

13.4.

Daftar 13.4FREKUENSI DIHARAPKAN DAN PENGAMATAN

Batas

kelas (x)

Z untuk

batas kelas

Luas tiapkelas

interval

Frekuensidiharapkan

(Ei)

Frekuensipengamatan

(Oi)

139,5

144,5149,5

154,5159,5

164,5

169,5

174,5

-2,26

-1,64-1,03

-0,410,21

0,83

1,45

2,06

0,03860,1010

0,18940,2423

0,2135

0,1298

0,0538

3,910,1

18,924,2

21,4

13,0

5,4

710

1623

21

17

6

Catatan: = 157,8 dan s = 8,09.Dengan rumus 13.1 didapat harga

= (,)

,

+

(,)

,

+

(,)

,

+

(,)

,

+

(,)

,

+

(,)

,

+

(,)

,

= 4,27Dari daftar distribusi frekuensi dapat dilihat bahwa banyak kelas k = 7, sehingga dk untuk

distribusi chi-kuadrat besarnya sama dengan empat.

Kita peroleh,() =9,49dan,() = 13,3sehingga jelas bahwa hipotesi sampel itu berasal dari distribusi normal dapat diterima.

Setelah dihitung didapat = 157,8 dan s = 8,09. Selanjutnya perluditentukan batas-batas kelas interval untuk menghitung luas dibawah

kurva normal bagi tiap interval. Kelas interval pertama dibatasi oleh

139,5 dan 144,5 atau dalam angka standar z dibatasi oleh -2,26 dan -

1,64. Luas di bawah kurva normal untuk interval pertama 0,4881

0,4495 = 0,0386, sehingga frekuensi teoritik untuk kelas interval ini =

100 x 0,0386 = 3,9.


22/24

43

14. Analisis varians

14.1.Pendahuluan

Dalam bab ini varians akan dibahas lebih lanjut dengan terlebih dahulu melihat

berbagai jenis varians kemudian menggunakannya untuk pengujian hipotesis melalui teknik

analisi varians, disingkat ANAVA.

Yang diberikan disini hanyalah ANAVA sederhana yaitu ANAVA satu arah.

14.2.

Jenis varians

Dalam bab-bab yang lalu telah kita kenal beberapa jenis varians ialah varian sampel s2

dan varians populasi 2. Selanjutnya juga kita kenal varians sampling berbagai statistic,

untuk rata-rata diberi lambing , untuk proporsi dengan lambang / dan untuk statisticlainnya seperti diberikan dalam bab 5.

Secara umum varians dapat digolongkan kedalam varians sistematikdan varians galat.

Varians sistematik adalah variasi pengukuran karena adanya pengaruh yang menyebabkan

skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan ke arah lain.

Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah varians

antar kelompok atau kadang-kadang disebut pula varians eksperimental. Varians ini

menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara kelompok-kelompok hasil

pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena adanya perbedaan antar kelompok-

kelompok individu.

Contoh: 1)Nilai akahir sebuah proses belajar dengan 4 metode berbeda meiliki rata-rata sebagai berikut:

Metode A B C D

Rata-rata 67,3 76,5 56,9 63,7

Anggap rata-rat ini sebagai data biasa lalu hitung variansnya, maka rata-rata untuk keempat rata-rata

itu (A, B, C, D) adalah: (67,3 + 76,5 + 56,9 + 63,7) = 66,1.

Jumlah kuadrat-kuadrat koreksi (IJ) yaitu:

(67,3 66,1)2+ (76,5 66,1)

2+ (56,9 66,1)

2+ (63,7 66,1)

2= 200.

Bagi oleh derajat kebebasannya ialah banyak kelompok dikurangi satu, jadi 4 1 = 3, diperoleh

varians antar kelompok A, B dan D sebesar 66,67200/3.

Contoh: 2) Pertambahan berat karena makanan adalah sebagai berikut

Makanan A 3,2 3,7 3,9 3,6 3,5

Makanan B 2,2 2,9 2,5 2,4 -

Rata-ratanya masing-masing = 3,58dan =2,50disebut varians antar kelompok karenarata-ratanya berbeda. Karena ukuran kedua sampel berbeda maka rata-rata untuk kedua data di atas

adalah(,)(,) =3,1

JK A = 5(5,38-3,1)2= 1,52.

JK B = 4(2,50-3,1)2= 1,44.

44

JK koreksi untuk kedua rata-rata antar kelompok: 1,52 + 1,44 = 2,592.

JK koreksi dibagi derajat kebebasan kedua rata-rata (2 1) = 1 maka di peroleh varians antar

kelompok 2,592.

Kemudian hitung varians total dengan menggunakan rumus 5.5=( )yang untuk itudiperlukan rata-rata ke-9 data, setelah dihitung besarnya 3,1.

JK total untuk ke 9 data adalah (3,2 - 3,1)2+ (3,7 - 3,1)2+ + (2, - 3,1)2= 31,2

Dibagi oleh derajat kebebsannya, ialah 9 - 1 = 8, maka diperoleh varians total sebesar 0,39.

JK dikoreksi untuk A = (3,2 3,58)2+ + (3,5 3,58)

2= 0,268

JK dikoreksi untuk B = (2,2 2,50)2+ + (2,4 2,50) 2= 0,26

Kedia JK jumlahnya = 0,528. Bagi oleh deajat kebebsannya (9 2 ) = 7, menghasilkan varians

dalam kelompok 0.0754.

Dari contoh di atas diperoleh kenyataan berikut:

JK dikoreksi antar kelompok = 2,592.

JK dikoreksi dalam kelompok = 0,528 yang jika dijumlahkan = 3,12. Jumlah ini

sam dengan JK dikoreksi total. Memang demikian bahwa untuk jumlah dikoreksi

ini berlaku aturan:

= + 14.114.3.Analisis varians satu arah

Dalam bab 12.9 telah diuraikan cara menguji kesamaan dua rata-rata populasi yang

masing-masing berdistribusi independen, berdistribusi normal dan memiliki varians yang

homogeny. Untuk itu digunakan uji t dalam hal kedua varians tidak diketahui dan uji z

untuk kedua varians yang diketahui besarnya. Sekarang dalam bagian ini akan dibahas

perluasannya yaitu menguji kesamaan k, (k > 2) , buah rata-rata populasi. Tepatnya,

misalkan kita mempunyai k, (k > 2) buah populasi yang masing-masing berdistribusi

independen dan normal dengan rata-rata 1, 2, , kdan simpangan baku berturut-turut

1, 2, k. akan diuji hipotesis nol H0dengan tandingan H1:

H0: 1= 2 = = k

H1: paling sedikit satu tanda sam dengan tidak b erlaku.

Selain daripada asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga akan

dimisalkan bahwa populasi bersifat homogenyialah bahwa = == .Dari tiap polpulasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak berukuran n1dari

populasi pertama dan n2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nkdari populasi ke-k.

Data sampel dinyatakan dengan Yijyang berarti data ke-j alam sampel yang diambil dari

populasi ke-i. untuk memudahkan sebaiknya data sampel disusun seperti dalam daftar 14.1

berikut ini.


23/24

45

Daftar 14.1Data sampel dari k buah populasi berdistribusi normal

Datahasil

pengamatan

Dari populasi ke

1 2 3 --- k

Y11Y12Y13

Y

Y21Y22Y13

Y

Y31Y32Y33

Y

.

..

..

Yk1Yk2Yk3

Y Jumlah J1 J2 J3 . Jk

Rata-rata Dalam bagian 2, dengan menggunakan contoh telah diperoleh berbagai jenis varians yakni

varians total, varians antar kelompok dan varians dalam kelompok yang jumlah kuadrat-

kuadratnya (JK) dihubungkan oleh rumus 14.1. untuk menguji H 0melawan H1yang kita

bicarakan, varians-varians inilah yan g akan digunakan, tepatnya varians antar kelompok

dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas, ternyata bahwa rasio varians

antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistic F, tepatnya

= 14.2

Statistic F inilah yang digunakan untuk menguji H0.Jika kedua varians dalam statistic F di atas dituliskan menggunakan jumlah kuadrat, maka

rumus 14.2 untuk menguji H0berubah menjadi

= ( )/ () / () 14.3Dengan

Yij= data ke-j dalam sampel ke-i

I= 1, 2, ,k dan j = 1, 2, , n i

(ni= ukuran sampel dari populasi ke-i)

= / =1 = rata-rata untuk sampel ke-i= = rata-rata untuk semua dataTernyata bahwa statistic di atas berdistribusi F dengan dk pembilang v i = (k 1) dan dk

penyebut v2= (ni+ + nk k). criteria pengujian adalah tolak H 0jika ()(.) ,dimana ()(.) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang (1 ) dan dk =(.). disini = taraf nyata untuk pengujian.

Untuk memudahkan perhitungan, rumus 14.3 diubah seperlunya dan akan digunakan

simbol simbol berikut

Ry= J2/dengan j = Ji+ Ji+ + Jk

46

Ay= (/) = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatanDy= ,,Dydan merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK), yang berturut-turut

berdasarkan jumlah variasi rata-rata, antarkelompok, dalamkelompokdan total. Setiap JK

sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk rata-rata dk = 1. Untuk antar

kelompok dk = (k 1), untuk dalam kelompok dk =

(

1)dan untuk total dk =

Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians untuk

masing-masing sumber variasi yang di sini akan disebut kuadrat tengah (KT). Dengan jalan

membagi KT antar kelompok oleh kT dalam kelompok, maka diperoleh harga

=/()/() 14.4yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi. Jika

harga F daftar dengan dk pembilang (k 1) dan dk penyebut (n 1) untuk yangdipilih, maka hipotesis nol H0kita tolak.

Analisis untuk menguji kesamaan k buah rat-rata populasi yang dibicarakan di sini

dikenal dengan analisis varians satu arah. Dinamakan demikian karena analisisnya

menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh satu factor. Untuk

memudahkan analisis, satuan JK ialah ,,Dy dan , sebaikknya disusun dalamdaftar analisis varians, daftar ANAVA, seperti dapat dilihat dalam Daftar 14.2.

DAFTAR 14.2

DAFTAR ANALISIS VARIANS UNTUK MENGUJI H 0: 1= 2= = k(POPULASI NORMAL HOMOGEN)

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata

Antar Kelompok

Dalam Kelompok

1

k 1(n 1)Dy

=/ 1=/( 1)D = Dy/(n1) A/D

Total --- ---Contoh : Empat macam campuran makanan diberikan kepda ternak dalam rangka percobaan untuk

meningkatkan pertambahan berat dagingnya. Setelah percobaan selesai, berat dagingnya dicatat

dalam table berikut

DAFTAR 14.3PERTAMBAHAN BERAT (DALAM KG)

SETELAH PERCOBAAN SELESAI

PERTAMBAHAN BERAT KARENA MAKANAN KE

1 2 3 4

Data

Hasil

Pengamatan

12

20

23

1017

14

15

10

1922

6

16

16

20

9

14

18

19

Jumlah 82 80 58 60

Rata-rata 16,4 16,0 14,5 15,0


24/24

47

Kita misalkan, bahwa pertambahan berat berdistribusi normal dan dalam bab 12.6,

dalam contoh untuk data yang sama tidak diuji bahwa populasinya mempunyai varians

yang homogeny, yaitu === . Untuk memperoleh daftar analisi varians,diperlukan harga-harga berikut

= () =4,35556= + + + = 10,24= 12+20++18+19= 4.738Dy= 4.738 4.355,56 10,24= 37,20

Dengan k = 4, n = 18 dan (n 1) = 14 maka daftar analisis varians atau ANAVAuntuk soal di atas Nampak seperti dalam daftar 14.4 berikut

DAFTAR 14.3

PERTAMBAHAN BERAT

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rataAntar Kelompok

Dalam Kelompok

13

14

4355,5610,24

372,20

4355,563,41

26,59

0,128

Total 14 4738 --- ---

Dengan rumus 14.4 didapat harga =,,= 0,128Dari daftar distribusi F dengan dk pembilang 3 dan deka penyebut 14 dan peluang 0,95

(jadi = 0,05) didapat F = 3,34. Ternyata bahwa F = 0,128 lebih kecil dari 3,34; jadi

hipotesis H0: 1= 2= = 4diterima dalam taraf nyata 0,05. Keempat macam campuran

makanan itu menyebabkan pertambahan berat badan kambing yang tidak berbeda secara

nyata. Dengan kata lain, keempat macam makanan itu sama efektifnya sehingga campuran

mana saja yang digunakan akan memberikan hasil yang secara n yata tidak berbeda.

14.4.Catatan

bab xii. uji hipotesis

Documents