bab iii ukuran pemusatan data a. ukuran gejala pusat · pdf filedata mengulang dengan...
TRANSCRIPT
BAB III
UKURAN PEMUSATAN DATA
A. Ukuran Gejala Pusat
Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan di mana suatu data
memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok).
Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal sebuah data yang dapat
memberikan gambaran lebih jelas dan singkat tentang di sekitar mana data itu
memusat, dan dianggap mewakili seluruh data.
Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah
peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.
Ukuran gejala pusat atau ukuran pemusatan data meliputi:
1. Rata-rata:
a. Rata-rata hitung (arithmetic mean)
Dirumuskan:
Rata-rata hitung = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎
𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎
Jika data merupakan data tunggal, maka
n
X
n
XXXXX
n
i
i
n
1321 ...
atau n
XX
Jika data merupakan data bergolong, katakanlah masing-masing nilai
data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka:
n
nn
ffff
XfXfXfXfX
...
...
321
332211 atau
f
fXX
Contoh 1
Nilai ujian statistik 5 Mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut adalah
80, 60, 75, 70, 65. Tentukan nilai rata-rata hitungnya!
705
6570756080
X
Contoh 2
Nilai ujian statistik 15 mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika berikut
adalah
• 2 mahasiswa mendapat nilai 95,
• 4 mahasiswa dengan nilai 80,
• 5 mahasiswa mendapat nilai 65,
• 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan
• 1 mahasiswa mendapat nilai 50,
Tentukan nilai rata-rata hitungnya.
71
15
1065
13542
)501()603()655()804()952(
X
X
X
Contoh 3
Penyelesaian dengan tabel distribusi frekuensi
Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan disajikan pada tabel
distribusi frekuensi berikut. Tentukan nilai rata-rata hitungnya.
525,14040
5621
f
fXX
Penyelesaian dengan memakai kode (koding)
Rumus:
f
fUcXX 0
Di mana:
• x: nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0),
• c: lebar kelas,
• U: kode kelas
525,140
475,2143
40
119143
0
f
fUcXX
b. Rata-rata ukur (geometric mean)
Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain
saling berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau hampir tetap.
Biasa digunakan untuk mengetahui persentase perubahan sepanjang waktu,
misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi,
harga, dan pendapatan nasional.
Dirumuskan:
• Untuk data tunggal
n
XantiG
n
XGG n
nxxxx
loglogatau
logloglogatau.....
321
• Untuk data bergolong
f
XfantiG
loglog
Contoh 4
Tentukan rata-rata ukur dari 2,4,8.
9031,08log6021,04log3010,02log
0,4
)6021,0log(
3
8062,1log
3
9031,06021,03010,0log
3
8log4log2loglog
G
antiG
antiG
antiG
antiG
Contoh 5
Tentukan rata-rata ukur dari data berikut.
757,139)145,2log(40
815,85log
loglog
antiantif
XfantiG
c. Rata-rata harmonis (harmonic mean)
Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau
desimal
Dirumuskan:
Untuk data tunggal:
X
nRH
1
Untuk data bergolong:
X
f
fRH
Contoh 6
Tentukan rata-rata harmonis dari 2,4,8.
43,3
8
7
3
8
1
4
1
2
1
3
1
X
nRH
Tentukan rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9
40,0397,008,10
4
4
9
3
7
2
53
4
1
X
nRH
Contoh 7
Diberikan data tabel sebagai berikut. Tentukan nilai rata-rata harmonisnya.
889,138288,0
40
X
f
fRH
2. Median
Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan
Dirumuskan:
• Untuk data tunggal:
Median data ganjil = nilai yang paling tengah = data ke 𝑛+1
2
Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah
• Untuk data bergolong:
f
Fn
cLMed 20
Contoh 8
Tentukan Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10.
Apakah himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki median?
Contoh 9
Tentukan Median dari data tabel berikut
75,14012
172095,138
95,1385,147
17854125,138maka
147139kelaspada 20kenilaiyaitu
,2
40keatau
2kenilaipadaterletakMedian
0
Med
c
FfL
n
3. Modus
Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul.
Dirumuskan:
Untuk data tunggal diambil dari nilai yang paling sering muncul
Untuk data bergolong:
21
1
0bb
bcLMod
moduskelassesudahkelassatutepatfrekuensi
denganmoduskelasfrekuensiantaraselisih
moduskelassebelumkelassatutepatfrekuensi
denganmoduskelasfrekuensiantaraselisih
kelaslebar
moduskelasbawahbatas
modus
2
1
0
b
b
c
L
Mod
Contoh 10
Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah...
Apakah himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus?
Apakah data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus?
Apakah data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?
Contoh 11
Tentukan Modus dari data tabel berikut.
77,14174
495,138
7512481295,1385,1475,138maka
12terbesarfrekuensidengan,147139kelaspadaterletakModus
210
Mod
bbcL
B. Ukuran Tata Letak Data
1. Kuartil
Konsep median diperluas dengan membagi data yang telah terurut menjadi
empat bagian sama banyak, dengan tiga bilangan pembagi yaitu kuartil
(Q1,Q2,Q3).
Bila data merupakan data tunggal, maka: 3,2,1,4
)1(keyangNilai
i
niQi
Bila data merupakan data bergolong, maka: 3,2,1,40
if
Fin
cLQi
i
i
Qf
QF
c
L
kuartilkelasfrekuensi
kuartilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah
kelaslebar
kuartilkelasbawahbatas
:manadi
0
Contoh 12
Data tunggal
Tentukan kuartil 1, 2 dan 3 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan
rupiah) berikut.
40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
Urutan data :
30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100
13manadi,4
)1(kenilai
n
niQi
5,42)4045(2
140
)3kenilai4kenilai(2
13kenilai
4kenilaidan3kenilaiantara
2
13kenilai
4
14kenilai
4
)113(1kenilai1
Q
5,82)8085(2
180
10)kenilai11kenilai(2
110kenilai
2
110kenilai
4
42nilaike
4
)113(3kenilai3
Q
Contoh 13
Data bergolong
Tentukan kuartil 1, 2, dan 3 dari data tabel distribusi frekuensi berikut.
156148padadan147139pada
,138130kelaspadamaka40,nKarena
ataske25%danbawahke75%menjadidatamembagi,
ataske50%danbawahke50%menjadidatamembagi,
ataske75%danbawahke25%menjadidatamembagi,
32
1
3
2
1
Q
Q
Q
Q
3,2,1,40
if
Fin
cLQi
625,1308
91095,129
8
94
40
95,129
89545,129
:Untuk
1
0
1
Q
fFL
Q
75,14012
172095,138
12178545,138
:Untuk
2
0
2
Q
fFL
Q
3,1495
293095,147
5295,147
:Untuk
3
0
3
Q
fFL
Q
2. Desil
Desil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian sama banyak
Dirumuskan :
Data tunggal: 9,...,3,2,1,10
)1(
i
nikeyangNilaiDi
Data bergolong:
9,...,3,2,1,100
if
Fin
cLDi
i
i
Df
DF
lc
L
desilkelasfrekuensi
desilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah
kelasebar
desilkelasbawahbatas
:manadi
0
Contoh 14
Data tunggal
Tentukanlah desil 3, dan 7 dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan
rupiah) berikut.
40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
13manadi,10
)1(kenilai
n
niDi
46)4550(5
145
)4kenilai5kenilai(5
14kenilai
5
14kenilai
10
42kenilai
10
)113(3kenilai3
D
78)7080(10
870
)9kenilai10kenilai(10
89kenilai
10
89kenilai
10
98kenilai
10
)113(7kenilai7
D
Contoh 15
Data bergolong
Tentukanlah desil 3, dan 7 dari tabel distribusi frekuensi berikut!
147139pada,138130kelaspadamaka,40Karena
ataske30%danbawahke70%menjadidatamembagi,
ataske70%danbawahke30%menjadidatamembagi,
73
7
3
DDn
Q
D
75,14612
172895,138
12
1710
)40(7
95,138
:Untuk
875,1328
91295,129
8
910
)40(3
95,129
:Untuk
7
7
3
3
D
D
D
D
3. Persentil
Persentil adalah sekelompok data yang dibagi menjadi 100 bagian sama banyak
Dirumuskan:
Data tunggal: 99,...,3,2,1,100
)1(
i
nikeyangNilaiPi
Data bergolong
99,...,3,2,1,1000
if
Fin
cLPi
i
i
Pf
PF
c
L
persentilkelasfrekuensi
persentilkelassebelumkelassemuafrekuensijumlah
kelaslebar
persentilkelasbawahbatas
:manadi
0
Contoh 16
Terdapat sebanyak 253 data yang sudah tersortir ascending
Data ke-190 bernilai 175 dan Data ke-191 bernilai 180
Data ke-50 bernilai 45 dan Data ke-51 bernilai 48
Data ke-165 bernilai 100 dan Data ke-166 bernilai 102
Tentukan nilai Persentil ke-65 (p-65).
Letak persentil ke-p = 𝑝(𝑛+1)
100
= 65(253+1)
100 =
16510)
100 = 165.1
Nilai Persentil ke-65 = Data ke 165 + 0.1 (Data ke-166 – data ke-165)
= 100 + (0.1x2) = 100 + 0.2 = 100.2
LATIHAN
1. Diketahui data sampel sebagai berikut.
2 4 4 8 2 2 2 2
Carilah:
a. Rerata hitung, rerata geometrik, dan rerata harmoniknya.
b. Median, modus, dan kuartil-kuartilnya.
2. Diketahui data sampel nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata
kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut.
Nilai 50 60 70 80 90 100
Frekuensi 1 5 5 4 3 2
Carilah rerata hitung, median, modus, kuartil ketiga, dan desil ketujuh dari data
tersebut.
3. Diberikan tabel frekuensi dari tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai berikut.
Tinggi badan Banyaknya
mahasiswa
140-144
145-149
150-154
155-159
160-164
164-169
4
7
10
12
6
3
a. Tentukan mean, median, dan modus.
b. Tentukan Q1 dan D7
4. Diberikan tabel frekuensi dari rata-rata gaji harian dari 171 karyawan sebagai berikut.
Interval Kelas Gaji
(dalam ribuan)
frekuensi
101-110
111-120
121-130
131-140
141-150
151-160
161-170
171-180
181-190
191-200
201-210
211-220
221-230
231-240
9
18
23
23
26
22
18
15
5
8
2
0
0
2
c. Tentukan mean, median, dan modus.
d. Tentukan Q3, D8, dan P85
5. Hasil nilai ujian Statistik dan Probabilitas pada tahun 2015 adalah sebagai berikut.
Nilai ujian paling rendah 40
Nilai nyata atas yang pertama 49,5
Nilai ujian kurang dari 50 sebanyak 10 mahasiswa
Nilai ujian kurang dari 60 sebanyak 22 mahasiswa
Nilai ujian kurang dari 70 sebanyak 40 mahasiswa
Nilai ujian kurang dari 80 sebanyak 50 mahasiswa
Nilai ujian lebih dari 80 sebanyak 10 mahasiswa
Nilai ujian lebih dari 90 sebanyak 3 mahasiswa
a. Susunlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut.
b. Hitung mean, median, dan modus.
c. Hitung kuartil pertama, kedua, dan ketiga.
d. Hitung desil pertama, kedua, dan kesembilan.
e. Hitung persentil pertama, kedua, dan kelima puluh.
Tim Penyusun: • Sukirman • Sri Rejeki
Sumber:
• Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta • N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS • Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS