bab iii persamaan dan pertidaksamaan3
TRANSCRIPT
-
Bab III | 1
BAB III
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
D1
F
x1
K1
M1
K2
M2
D2 K3
x2
-
Bab III | 2
Deskripsi
Bagian persamaan dan pertidaksamaan terdiri terdiri 5 bagian yang meliputi 5
kompetensi dasar, yaitu : Persamaan dan pertidaksamaan linier, Persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat, Penerapan persamaan dan pertidaksamaan, Sistem persamaan,
Persamaan Polinomial
a. Persamaan dan pertidaksamaan linier, membahas penyelesaian persamaan dan
pertidaksamaan linier, dijelaskan dengan konsep yang berlaku
b. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, membahas penyelesaian persamaan menurut
bnetuk persamaan kuadrat, jenis-jenis akar, dan menyelesaikan pertidaksamaan
kuadrat.
c. Penerapan persamaan dan pertidaksamaan, membahas penerapannya dalam bidang
teknik mesin
d. Sestem persamaan lenier, membahas system dua dan tiga persamaan linier, system dua
persamaan satu linier yang lainnya kuadrat, dan keduanya kuadrat
e. Persamaan Polinomial, membahas persamaan derajat 1, derajat 2 dan derajat 3
Standar Kompetensi:
Memiliki pengetahuan dan kemampuan untuk pengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan dalam memecahkan masalah di bidang teknik
Kompetensi Dasar
x Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier
x Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
x Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
x Menyelesaikan sistem persamaan lenier
x Menyelesaikan persamaan derajat tinggi
x Dapat menggunakan persamaan untuk memecahkan persoalan teknik
-
Bab III | 3
Indikator Hasil Belajar
1. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan sederhana
2. Menyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
3. Menyelesaikan persamaan derajat 1, derajat 2 dan derajat 3
4. Menyelesaikan permasalahan program keahlian dengan menggunakan persamaan
dan pertidaksamaan
5. Menyelesaiakan sistem persamaan linier
6. Menerapkan persamaan pada bidang keteknikan
Kerangka Isi Persamaan dan Pertidaksamaan
-
Bab III | 4
Persamaan Pertidaksamaan
Linier sederhana
Kuadrat
Polinomial
Sistem Persamaan
1. Dua persamaan linier dengan dua variable
2. Tiga persamaan linier dengan tiga variable
3. Dua persamaan satu linier lainnya kuadrat
4. Keduanya kuadrat
Pertidaksamaan Linier sederhana
Sistem Pertidaksamaan Linier dua variabel
Pertidaksamaan kuadrat 1. Derajad 1 2. Derajat 2 3. Derajat 3
Penerapan Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Pada Pemecahan
Masalah Bidang Teknik
Mempelajari
Persamaan dan Pertidaksamaan
Terdiri atas Terdiri atas
-
Bab III | 5
Uraian Materi 3.1 Persamaan Linier Sederhana
Persamaan linier sederhana atau persamaan derajat satu adalah persamaan di mana
kuntitas-kuantitas yang tidak diketahui ( variabelnya ) memiliki pangkat tertinggi sama
dengan 1. Persamaan ini mempunyai bentuk umum ax = b, di mana a dan b bilangan real
dan a 0, x adalah kuantitas yang tidak diketahui. Menyelesaikan suatu persamaan berarti
mencari nialai kuantitas yang tidak diketahui. Semua operasi aritmatika dapat dilakukan
terhadap suatu persamaan, selama kesamaan dari persamaan tersebut tetaap dipertahankan.
Nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar
disebut penyelesaian atau akar persamaan
Untuk menyelesaikan persamaan digunakan sifat dasar bahwa :
Suatu persamaan tidak berubah himpunan penyelesaiannya, jika kedua ruas persamaan:
- ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
- dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, asal bukan nol
Contoh -Contoh Soal Persmanaan Linier Sederhana
Soal 1 Selesaikanlah persamaan 4x = 20
Penyelesaiaan
Bagilah masing-masing ruas dengan 4, maka diperoleh
420
44 x
Dengan penyederhanaan diperoleh hasil x = 5
-
Bab III | 6
x = 5 merupakan penyelesaian dari persamaan. Bila diperiksa dengan mengganti x
dengan 5 diperoleh kesamaan dimasing-masing ruas benar, yaitu 4.5 = 20
Soal 2
Selesaikannlah y -5 = 8
Penyelesaian
Tambahkan 5 pada masing-masing ruas maka persamaan menghasilkan:
y 5 + 5 = 8 + 5
y = 13
Hasil dari prosedur tersebut adalah pemindahan 5 dari ruas kiri ke ruas kanan
persamaan semula tandannya berubah menjadi + 5 pada persamaan baru.
Soal 3
Selesaikanlah x + 3 = 7
Penyelesaian
Kurangkan pada masing-masing ruas persamaan dengan 3, maka dihasilakan:
x + 3 3 = 7 3
x = 4
Hasil dari prosedur tersebut adalah pemindahan +3 dari ruas kiri ke ruas kanan
persamaan semula tandannya berubah menjadi - 3 pada persamaan baru.
Jadi suatu suku dapat dipindahkan dari satu ruas keruas lainnya selama kita kita
melakukan perubahan tanda.
Soal 4
-
Bab III | 7
Selasaikanlah 6t + 1 = 2t + 9
Penyelesaian:
Untuk persamaan seperti ini, suku-suku yang mengandung variable dikelompokkan
pada salah satu ruas, sedangkan suku yang tidak mengandung variable dikelompokkan
pada ruas lainnya. Sebagaimana telah dilakukan pada soal 1, 2, dan 3, perubahan dari
salah satu ruas suatu persamaan ke ruas lainnya disertai dengan perubahan tanda. Jadi :
6t + 1 = 2t + 9
6t 2t = 9 1
4t = 8
48
44 t
t = 2
Soal 5
Selesaikanlah 3(p - 2) = 9
Penyelesaian:
Tanda kurung dihilangkan, maka:
3p 6 = 9
Dilaksanakan pengaturan ulang, diperoleh:
3p = 9 + 6
3p = 15
39
33 p
p = 3
-
Bab III | 8
Pemeriksaan: 3(3 - 2) = 3(3) = 9 = ruas kanan
Soal 6
Selesaikanlah 4(2r -3) 2(r 4) = 3(r 3) 1
Penyelesaian
Hilangkan tanda kurung, diperoleh:
8r 12 2r + 8 = 3r - 9 1
Lakukan pengaturan ulang untuk memisahkan letak suku yang mengandung variable
dengan konstanta, diperoleh:
8r 2r 3r = - 9 - 1 + 12 8
3r = -6
236r
Pemeriksaan jawaban: Ruas kiri 4{2(-2)-3} 2{(-2) 4} = -16
Ruas kanan: 3{(-2) 3} 1 = -16
Jadi r = -2
Soal 7
Selesaikanlah: 2
3y2015
43
52y
Penyelesaian:
KPK penyebutnya adalah 20, kalikanlah setiap sukunya dengan 20, maka diperoleh:
-
Bab III | 9
23y)20(
201)20(5)20(
43)20(
52y).20(
Sederhanakanlah bentuknya, sehingga diperoleh bentuk:
8y +15 + 100 = 1 30y
8y + 30y = 1 - 15 100
38y = - 114
338114y
Pemeriksaan jawaban:
Ruas kiri 201145
43
565
43
52(-3)
Ruas kanan: 20114
2091
2090
201
29
201
23(-3)
201
Jadi y = -3
Soal 8
Selesaikanlah 43t
42t
3
Penyelesaian:
Sederhanakan bentuknya dengan melakukan perkalian silang, sehingga diperoleh bentuk:
3(3t + 4) = 4(t 2)
9t + 12 = 4t - 8
9t 4t = -8 12
13t = -20
-
Bab III | 10
4520t
Soal 9
Koefisien suhu dari suatu resistensi D dapat dihitung dengan rumus Rt = Ro (1+ Dt). Hitunglah D jika diketahui Rt = 0,928, Ro = 0,8 dan t = 40
Penyelesaian
Diketahui
Maka Rt = Ro (1+ Dt)
0,928 = 0,8(1+D.40)
0,928 = 0,8 + 0,8. D. 40
0,928 0,8 = 32 D
0,128 = 32D
004,032
128 D
Jadi D = 0,004
Soal 10
Ketika tiga resistor dalam satu rangkaian listrik dihubungkan secara paralel, maka
resistensi total RT dinyatakan oleh 321
1111RRRRT
. Hitunglah resistensi total jika R1
= 5:, R2 = 10:, dan R3 = 30:
Penyelesaian
-
Bab III | 11
Karena: 321
1111RRRRT
Maka 301
101
511
TR
Samakan penyebut pecahan diruas kiri didapatkan
301
303
3061
TR
31030
30101 RT
RT
Jadi RT = 3:
2.1.2 Uji Kompetensi
Latihan 2.1
Selasikanlah persamaan berikut
1. 3x 2 5x = 2x 4
2. 2(x 1) = 4
3. 31t32
4. 4 0,925r r753
5. 20d 3 + 3d = 11d + 5 8
6. 5(t 2) - 3(2t +5) +15 = 0
7. 6( 2 3p) 42 = -2( p 1)
8. 4(3r + 1) = 7(r + 4) -2(r + 5)
-
Bab III | 12
9. 10 + 3(q 7) = 16 (q + 2)
10. 8 + 4(y -1) 5(y 3) = 2( 5 2y)
Latihan 2.2
Selasikanlah persamaan berikut
1. 65
321
432 pp
2. 213)12(
41 t
3. 3)92(51)45(
41)63(
31 mmm
4. 253 tt
5. 247
41
31
pp
6. 25
34
3 xx
7. 12
33
2 aa
8. 2
35
64
xxx
9. 334
p
10. 613 t
t
-
Bab III | 13
11.
1
2510 y
12. 222(
tt
Latihan 2.3
1. Sebuah kawat tembaga memiliki panjang l 1,5 km, resistensi R 5:, dan resistivitas
17,2 x 10-6 :mm. Hitunglah luas penampang A dari kawat, jika diketahui A
l R
(5,16)
2. Sebuah persegi kotak persegi kedua sisi tepinya berbentuk bujursangkar memiliki
panjang 15 cm lebih panjang dari pada lebarnya , sedangkan panjang total dari
rusuk-rusuknya adalah 2,04 m. Hitunglah lebar dan volume kotak (12 cm, 3888cm3)
3. Perpanjangan dari x m dari sebuah batang alumanium sepanjang l dan luas
penampang A m2 ketika memilkul beban F newton dapat dihitung dengan rumus
Axl FE . Hitunglah perpanjangan dari batang (dalam mm) jika E = 70 x 109 N/m2,
F = 20 x 106 N, A = 0,1 m2, dan l = 1,4 m (x = 4 m)
4. Rumus yang digunakan untuk menghitung resistensi dari suatu kabel adalah
A.lU R . Jika diketahui R = 1,25, l = 2500, dan A = 2x10-4, hitunglah U
5. Gaya F newton dihitung dengan rumus F = ma, di mana m adalah masa dalam
kilogram dan a adalah percepatan dalam meter per detik kuadrat. Tentukanlah
percepatan jika suatu gaya sebesar 4 kN diberikan ke sebuah benda bermasa 500 kg
6. PV = mRT persamaan karakteristik gas . Tentukanlah nilai dari m jika p = 100x103,
V = 3, R = 288, dan T = 300
-
Bab III | 14
7. Ketika tiga resistor R1, R2, dan R3 dihubungkan secara parallel, resistensi total RT
adalah 321
1111RRRRT
.
Tentukanlah:
a. Resistensi total jika R1 = 3:, R2 = 6 :, dan R3 = 18 :
b. Nilai R3, jika RT = 3:, R1 = 5 :, dan R2 = 10 :
8. Hukum Ohm dapat dinyatakan oleh rumus RVI di mana I adalah arus dalam
ampere, V = adalah tegangan dalam Volt, dan R adalah resistensi dalam ohm.
Sebuah alat penyolder mengambil arus 0,30 A dari sebuah sumber daya 240 V.
Tentukanlah resistensi dari elemen tersebut.
9. Daya di dalam suatu rangkaian listrik DC dirumuskan oleh R
VP2
di mana V
adalah tegangan yang diberikan dan R adalah resistensi rangkaian listrik.
Tentukanlah tegangan yang diberikan jika resistensi rangkaiannya 1,25 : dan daya terukurnya adalah 320 W
10. Sebuah rumus yang menghubungkan tekanan awal dan akhir P1 dan P2, volume
awal dan akhir V1 dan V2, dengan suhu mutlak awal dan akhir T1 dan T2, dari
suatu gas ideal adalah 2
22
1
11
TVP
TVP . Tentukanlah nilai dari P2 jika P1 = 100x103,
V1 = 1,0; V2 = 0,266; T1 = 423; dan T2 = 293
3.2 Sistem Persamaan Linear Dengan Dua Variabel
Sebuah persamaan dengan dua variable x dan y adalah berbentuk ax + by = c di mana a
dan b tidak sama dengan nol. Bila kita perhatikan dua persamaan
a1x + b1y = c1..(1)
-
Bab III | 15
a1x + b1y = c1..(2)
maka dikatakan bahwa kita menpunyai dua persamaan linear simultan dengan dua
variable atau suatu system dua persamaan linier dengan dua variable. Pasangan x dan y
yang memenuhi kedua persamaan dikatakan penyelesaiaan simultan, ditulis (x,y).
Menyelesaiakan persamaan linear simultan, artinya mencari nilai (x,y) yang memenuhi
persamaan simultan tersebut. Jadi penyelesaian simulatan dari system persamaan:
x + y = 7..(1)
x - y = 3..(2)
adalah x = 5, dan y = 2 atau ( 5,2)
Sistem dua persamaan linear dengan dua variable, dapat diselesaiakan dengan beberapa
metode, yaitu: eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi dan substitusi, grafik, dan
determinan matrik.
a. Penyelesaian Dengan Metode Eliminasi.
Metode eliminasi adalah metode menghilangkan salah satu variable, yaitu dengan
melakukan pengurangan atau penjumlan, terhadap kedua persamaan, sedemikian hingga
didapatkan satu persamaan dengan satu variable. Apabila diperlukan, kalikan persamaan
yang diberikan dengan satu bilangan sedemikian hingga membuat koefisien-koefisien
dari salah satu variable dari kedua persamaan menjadi sama. Apabila tanda dari
koefisien-koefisien berbeda, maka lakukan penjumlahan. Jjika tanda dari koefisien-
koefisien sama maka lakukan pengurangan. Sebagai contoh perhatikanlah system
persamaan
2x y = 4 (1)
x + 2y = -3 ...(2)
Untuk mengeliminasi y, kalikan (1) dengan 2 dan tambahkan dengan (2) kalikan 1
untuk mendapatkan persamaan baru
2 x (1): 4x 2y = 8
1 x (2): x+ 2y = -3 --------------- (+) 5x = 5
-
Bab III | 16
x = 1 Substitusi x = 1 ke dalam (1) didapatkan 2.1 y = 4 atau 2 y = 4 atau y = -2.
Penyelesaiaannya menjadi x = 1 dan y = -2 atau ( 1,-2).
b. Penyelesaian Dengan Metode Substitusi Metode substitusi adalah mencari nilai satu variable dalam bentuk persamaan dari salah
satu persamaan. Harga persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan yang lain.
Sebagai contoh, perhatikanlah persamaan
2x y = 4 (1)
x + 2y = -3 ...(2)
Dari persamaan (1) diperoleh
y = 2x 4 .(3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2), didapatkan
x + 2(2x 4) = -3
x + 4x 8 = -3.
5x = 5
x = 1
Selanjutnya substitusikan x = 1 ke persamaan (3) dan diperoleh y = 2.1 4 = -2. Jadi
penyelesaiaannya x = 1 dan y = -2 atau ( 1,-2).
Menyelesaian persamaan simultan dengan metode grafik dan determinan matrik akan
dibahas pada bab.
Contoh-Contoh Soal Persamaan Simultan yang Dipecahkan
Soal 1
Selesaikanlah persamaan berikut dengan metode eliminasi.
3x + 2y = 16 .. (1)
4x 3y = 10 .. (2)
Penyelesaian:
-
Bab III | 17
Jika dilakukan eliminasi terhadap y, kalikan kedua sisi persamaan (1) dengan 3 dan
kedua sisi (2) dengan 2, dan tambahkan hasilnya untuk mendapatkan:
3 x (1): 9x + 6y = 48
2 x (2): 8x 6y = 20 Tambahkan: ---------------- (+)
17 x = 68 atau x = 4 Substitusi x = 4 ke dalam persamaan aslinya (1), didapatkan
3(4) + 2y = 16
12 + 2y = 16
2y = 16 12
2y = 4 atau y = 2
Jadi penyelesainnya x = 4 dan y = 2
Soal 2
Selesaikanlah persamaan berikut.
5x +2y = 3 (1) 2x + 3y = -1 (2)
Penyelesaian
Bila eliminasi y, kalikan (1) dengan 3 dan (2) dengan 2 lalu kurangkan hasilnya,
didapatkan:
3 x (1): 15x + 6y = 9
2 x (2): 4x + 6y = -2
11x = 11
x = 1
( - )
-
Bab III | 18
Selanjutnya substitusi x = 1 ke persamaan asal (1) atau (2), maka diperoleh
5(1) + 2y = 3
5 + 2y = 3
2y = - 2
y = -1
Jadi penyelesainnya x = 1 dan y = -1
Soal 3
Selesaikanlah persamaan berikut
2x + 3y = 3 (1) 6y 6x = 1 (2)
Penyelesaian:
Lakukan pengaturan kembali sedemikian hingga suku-suku yang mengandung variable
sama ada dalam suku yang sama untuk mendapatkan:
2x + 3y = 3 (1) -6x + 6y = 1 (2)
Selanjutnya untuk eleminasi x, kalikan (1) dengan 3, kalikan (2) dengan , lalu jumlahkan
hasilnya, dipeoroleh
3 x (1): 6x + 9y = 9
1 x (2): -6x + 6y = 1
15y = 10
32y
( + )
-
Bab III | 19
Selanjutnya substitusi 32y ke persamaan asal (1) atau (2) diperoleh
21x
Jadi penyelesaiannya: 21x dan
32y
Soal 5
Selesaikan persamaan
5y = 3 2x (1) 3x = 2y + 1 (2)
dengan metode substitusi
Penyelesaian:
Dari persamaan (1) didapatkan 5
)23( xy , selanjutnya substitusikan harga ini ke
persamaan (2), diperoleh:
152x)(323x
554x)(63x
15x = 11 4x
19x = 11
1911x
Selanjutnya substitusikan 1911x ke
52x)(3y , diperoleh
5
)1911(23
y
-
Bab III | 20
197y
Soal 6
Selesaiakan persamaan
(2) 12
12y4
3x
(1) 26
1y3
2x
Penyelesaian
Untuk mengeliminasi pecahan, kalikan (1) dengan 6 dan (2) dengan 4 dan sederhanakan,
diperoleh
1- 4y - x :(2) x 4 15 y 2x : (1) x 6
Proses selanjutnya sama dengan contoh sebelumnya, hingga diperoleh penyelesaian
917ydan
959x
Soal 7
Dua partikel bergerak pada kecepatan yang berbeda tetapi konstan sepanjang keliling
lingkaran 276 meter. Partikel mulai bergerak pada waktu yang sama dan dari tempat yang
sama. Apabila partikel-partikel bergerak berlawanan maka akan berpapasan setiap 6 detik
dan apabila bergerak dengan arah yang sama paartikel yang satu melewati yang lainnya
setiap 23 detik. Tentukanlah kecepatan partikel tersebut.
Penyelesaian:
Miasalkan x dan y adalah kecepatan kedua partikel dalam m/detik, maka jarak yang
ditempuh
-
Bab III | 21
Jika bergerak berlwanan arah: 6 dt ( x + y) m/dt = 276 m
Jika bergerak searah: 23 dt (x y) m/dt = 276 m
Persamaanya jarak yang ditempuh:
6x + 6y = 276 (1)
23x 23y = 276 (2)
23 x (1): 138x + 138y = 6348
6 x (2): 138x - 138y = 1656
276x = 8004
x = 29 m/dt
Substitusi x = 29 m/dt ke (1) didapatkan: y = 17 m/dt
Jadi kecepatan kedua partikel tersebut 29 m/dt dan 17 m/dt
a. Sistem Persamaan Linear Dengan Tiga Variabel
Sistem persamaan linear dengan tiga variable x, y, dan z dapat dinyatakan dalam bentuk
umum sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1 (1) a2x + b2y + c2z = d2 (2) a3x + b3y + c3z = d3 (3) Cara menyelesaikan persamaan di atas adalah dengan mencari nilai x, y, dan z yang
memenuhi ketiga persamaan tersebut. Misalkan (xo, yo, zo) merupakan penyelesaian dari
persamaan di atas maka:
a1xo + b1yo + c1zo = d1 (1) a2xo + b2yo + c2zo= d2 (2)
( + )
-
Bab III | 22
a3xo + b3yo + c3zo = d3 (3)
Langkah pertama untuk menyelesaikan system persamaan linear dengan tiga variable
adalah dengan menghilangkan( mengiliminasi) salah satu variabelnya, sehingga terbentuk
system persamaan liear dengan dua variable. Langkah kedua menyelesaikan system
persamaan linear dengan dua variable menggunakan metode eliminasi atau substitusi
Soal 1
Selesaikanlah system persamaan:
2x + y + 3z = 9 (1)
x + 3y - z = -8 (2)
3x - 2y + 4z = 19 (3)
Peneyelesaian
Hilangkanlah x dari persamaan (1) dan (2), diperoleh persamaan (4)
2x + y + 3z = 9 (1) x 1 2x + y + 3z = 9 x + 3y - z = -8 (2) x 2 2x + 6y 2z = -16
-5y + 5z = 25
y z = - 5 (4)
Hilangkanlah x dari persamaan (2) dan (3), diperoleh persamaan (5)
x + 3y - z = -8 (2) x 3 3x + 9y 3z = -24 3x - 2y + 4z = 19 (3) x 1 3x - 2y + 4z = 19
11y -7z = -43 (5)
Sistem persamaan linear dengan dua variable yang diperoleh adalah
y z = - 5 (4)
11y -7z = -43 (5)
-
Bab III | 23
Penyelesaiannya dapat diperoleh dengan metode eliminasi atau substitusi
Kita selesaikan dengan metode substitusi
Persamaan (4) dapat ditulis y = z 5. Selanjutnya substitusi nilai y = z 5 ke persamaan
(5), diperoleh
11(z -5) 7z = -43
11z 55 7z = -43
4z = -43 + 55
4z = 12
z = 3
Substitusikan z = 3 ke persamaan (4) diperoleh y = 3 5 = -2
Substitusikan y = -2 dan z = 3 ke persamaan (1), (2) atau pilihlah persamaan yang paling
sederhana misalnya persamaan (2)
x + 3y - z = -8
x + 3(-2) 3 = -8
x 6 3 = - 8
x = 1
Jadi penyelesaiannya: x =1, y = -2, dan z = 3
Soal 2
Selesaikanlah system persamaan:
-
Bab III | 24
3).........( 423
3z
4y
2x
.(2).......... 61
2z
3y
4x
.(1).......... 24z
2y
3x
Penyelesaian:
Hilangkan bentuk pecahan, dengan mengalikan 12 pada masing persamaan dan diperoleh
4x + 6y 3z = 24 (4)
3x + 4y 6z = 2 .(5)
6x 3y + 4z = 46 (6)
Eliminasi x dari (4) dan (5), diperoleh persamaan (7)
4x + 6y 3z = 24 (4) x 3 12x + 18y 9z = 72
3x + 4y 6z = 2 .(5) x 4 12x + 16y 24z = 8
2y + 15z = 64 (7)
Eliminasi x dari (5) dan (6), diperoleh persamaan (8)
3x + 4y 6z = 2 .(5) x 2 6x + 8y 12z = 4
6x 3y + 4z = 46 (6) x 1 6x 3y + 4z = 46
11y -16z = -42 (8)
Dari persamaan (7) dan (8) diperoleh
2y + 15z = 64 ...(7) x 11 22y + 165z = 704
11y -16z = -42 (8) x 2 22y -32z = - 84
197z = 788
-
Bab III | 25
z = 4
Substitusi z = 4 ke persamaan (7), diperoleh:
2y + 15(4) = 64 ...(7)
2y + 60 = 64
2y = 4
y = 2
Substitusi y = 2, z = 4, ke persamaan (4), (5), atau (6), kita pilih yang paling sederhana (5)
diperoleh
3x + 4y 6z = 2 .(5)
3x + 4(2) 6(4) = 2
3x + 8 - 24 = 2
3x = 18
x = 6
Jadi penyelesaiannya: x = 6; y = 2; dan z = 4
Soal 5
Selesaikanlah system persamaan:
3).........( 3z3
y1
x3
.(2).......... 1z1
y3
x2
.(1).......... 0z2
y2
x1
Penyelesaian:
-
Bab III | 26
Misalkan: wz1 v;
y1 u;
x1 , persamaan dapat ditulis menjadi:
u 2v 2w = 0 (4)
2u + 3v + w = 1 ....(5)
3u v 3w = 3 (6)
Dari persamaan (4), (5), dan (6) diperoleh; u = -2, v = 3, dan w = -4
Jadi: 41- zatau -4
z1 ;
31 y atau 3
y1 ;
21 - atau x -2
x1
Penyelesaiannya: 41- zdan ;
31 y ;
21 - x
Soal 8
Bila A dan B bekerja bersama- sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 4 hari. B dan
C bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 3 hari. Sedangkan bila A
dan C bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut selama 2,4 hari.
Dalam berapa harikah mereka dapat menyelesaikan pekerjaan apabila mereka bekerja
sendiri-sendiri?
Penyelesaian:
Misalkan x, y dan z adalah jumlah hari yang dibutuhkan oleh masing-masing A, B, dan C
untutk dapat menyelesaikan pekerjaan.
Maka z1 ;
y1 ;
x1 adalah pekerjaan yang diselesaikan oleh A, B, C masing-masing dalam 1
hari. Jadi
-
Bab III | 27
)3..(..........2,41
z1
x1
)2....(..........31
z1
y1
)1....(..........41
y1
x1
Ambil wz1dan v;
y1 u;
x1 , maka
.....(6) 12,4w2,4u 2,41wu
......(5) 13w3v 31wv
.......(4) 14v4u 41vu
Dari persamaan (4) didapatkan 44v1 u dan dari (5) didapatkan
33v1w
Substitusi 44v1u dan
33v1w ke (5) untuk mendapatkan
133v-14,2
44v14,2
Kedua ruas dikalikan 12 diperoleh
2,4(3)(1 - 4v) + 2,4(4)(1 5v) = 12
7,2(1- 4v) + 9,6(1 3v) = 12
7,2 28,8v + 9,6 28,8v = 12
16,8 57,6v = 12
-57,6v = -4,8
-
Bab III | 28
121
6,578,4
v
v
41
343
3411
3
)1213(1
w
61
432
4311
4
)1214(1
u
6x61
x1
12y121
y1
441
z1 z
Jadi bila A, B, dan C bekerja sendiri-sendiri pekerjaan tersebut dapat diselesaikannya
berturut-turt selama 6 hari, 12 hari dan 4 hari
Soal Latihan
1. Selesaikanlah persamaan berikut dengan metode yang ditentukan
a. 2x - 2y = 7 .. (1)
2x + y = 5 (2) dengan metode eliminasi
b. 3x y = - 4 .. (1)
2x + 3y = 7 .. (2) dengan metode eliminasi
-
Bab III | 29
c. 4x + 2y = 5 .. (1)
5x 3y = -2 .( 2) dengan metode eleminasi
d. 2y x = 1 (1)
2x + y = 8 (2) dengan metode substitusi
e. 2x 5y = 10 .. (1)
4x + 3y = 7 . (2) dengan metode substitusi
f. (2) ...... 4-
2y
6x
(1) ...... 65y
32x
dengan metode gabungan elimenasi dan substitusi
g. (2) ....... 3
32y
23x
(1) ...... 44
2y3
12x
dengan metode gabungan elimenasi dan
substitusi
2. Seleaikan persamaan
a. 3x + 2y z = 19 . (1)
4x y + 2z = 4 (2)
2x + 4y - 5z = 32 .. (3) (3,4,-2)
b. x = y 2z .. (1)
2y = x + 3z + 1 . (2)
z = 2y 2x 3 (3) (0,2,1)
-
Bab III | 30
c.
.....(3) 13z
4y
6x
....(2) 622
23y
4x
.....(1) 7z2y
3x
(6,4,-3)
d.
.....(3) 6-z1
y2
x3
....(2) 11z4
y3
x2
.....(1) 51y1
x1
z
(1/2, -1/3,1/6)
3. Dari rangkaian listrik seperti pada gambar (2.1) diperoleh persamaan:
10 I1 + 5I1 + 5I2 = 12
20 I2 + 5I2 + 5I1 = 6
Gambar 2.1
Tentukanlah besarnya nilai I1 dn I2 yang memenuhi persamaan tersebut
4. Pada perhitungan beban tumpukan vertical (Bv) dan horizontal (Bh) dari suatu
konstruksi, diperoleh persamaan sebagai berikut.
-2Bv + 9 + 5Bh = 0
-5,5 Bv + Bh + 35,5 = 0
+
E2 = 6V
E1 = 12V
R1 = 10: R2 = 20:
R3 = 5 :
-
Bab III | 31
Tentukanlah nilai Bv dan Bh yang memenuhi persamaan tersebut
5. Carilah kecepatan sebuah motor boot di air tenang dan di arus sungai, jika motor
boot itu memerlukan tiga jam untuk melayari suatu jarak sejauh 45 km arus-mudik,
dan 2 jam untuk melayari sejauh 50 km arus milir
6. Ketika dua buah mobil berpacu mengelilingi jalan lingkar bertandakan mil yang
dimulai dari tempat yang sama dan pada saat yang sama, kedua kendaraan itu akan
saling berpapasan antara satu dengan yang lain apabila meluncur dalam arah yang
berlawanan, dan salingberlintasan apabila meluncur dalam arah yang sama. Carilah
kecepatan mobil itu dalam mil/jam.
7. Tinggi A berisi 32 gallon larutan berupa alcohol 25% menurut isinya. Tangki B
memuat memuat 50 gallon larutan berupa 40% menurut isinya. Berapa isi yang
harus diambil dari setiap tangki untuk diaduk untuk membuat 40 gallon larutan
yang memuat 30% alcohol menurut isi?
3.3 Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Pada bagian ini akan mempelajari cara mendapatkan penyelesaian dari pertidaksamaan
linier satu variable
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang ruas kiri dan ruas kanan kalimat
tersebut dihubungkan dengan tanda < , > , , atau
Sifat-sifat Pertidaksamaan :
1. Jika a < b maka b > a
2. Jika a > b maka :
x a c > b c x ap > bp, p > 0 x ap < bp, p < 0 x a3 > b3
3. Jika a > b, dan b > c maka a > c
-
Bab III | 32
4. Jika a > b, dan c > d maka a + c > b + d
5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd
6. Jika a > b > 0 maka:
x a2 > b2
x b1
a1
7. Jika 0ab maka,0ba !!
8. Jika 0ab maka,0ba
9. Jika 0a1 maka,0a !!
10. Jika 0a1 maka,0a
Pertidaksamaan linier satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah
variabel dan pangkat variable tersebut adalah satu.
Suatu pertidaksamaan linear dalam variabel x dapat berbentuk ax + b < 0, ax + b > 0,
ax + b 0 atau ax + b 0, dengan a 0. Bilangan a disebut lebih besar dari pada bilangan
b jika a b > 0 dan a disebut lebih kecil dari pada b jika a b < 0. Untuk menyelesaikan
pertidaksamaan digunakan sifat-sifat bahwa :
x Ruas ruas suatu pertidaksamaan boleh ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
x Ruas ruas suatu pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
x Jika ruas ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negative yang sama, maka tanda pertidaksamaannya harus dibalik.
x Jika a dan b bilangan positif dan a < b, maka a2 < b2
-
Bab III | 33
Contoh 11:
5w + 7 > w -8 , merupakan pertidaksamaan linier satu variabel karena banyak variabelnya
satu (yaitu w) dan pangkatnya 1.
Contoh 12:
2n + 9 d 21, merupakan pertidaksamaan linier satu variabel karena banyak variabelnya satu (yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1.
Contoh 13:
5t + 7r > 12, bukan pertidaksamaan linier satu v karena peubahnya dua (yaitu t dan m ).
Contoh 14:
3y34y 2 t , bukan pertidaksamaan linier satu variabel walaupun variabelnya hanya satu
tetapi variabelnya ada yang berpangkat 2.
Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier satu peubah
adalah bsebagai berikut
1. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan
yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.
2. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif
yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.
3. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif
yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.
Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :
1) Semua yang mengandung variabel dipindahkan ke ruas kiri, sedangkan konstanta ke ruas kanan.
-
Bab III | 34
2) Sederhanakan
Contoh 1: misalkan S = R (himpunan bilangan real). Selesaikan
pertidaksamaan berikut ini dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan!
a) 3x + 4 > 19
3x + 4 4 > 19 4 {kedua ruas dikurangkan dengan 4}
3x > 15
(3x) : 3 > (15) : 3 {kedua ruas dibagi dengan 3}
x > 5
HP = {x | x > 5, x R}
b) x 5 < 3x + 4
x 5 + 5 < 3x + 4 + 5 {kedua ruas ditambah 5}
x < 3x + 9
x 3x < 3x + 9 3x {kedua ruas dikurangkan 3x}
-2x < 9
9).21()x2)(
21(- ! {kedua ruas dikalikan
21
tanda pertidaksamaan dibalik
Jadi X = 29
Beberapa trik berikut sangat membantu dalam menyelesaikan pertidaksamaan:
a b < c maka a < c b
a . b > c maka a > bc , b > 0
-
Bab III | 35
ba c maka a bc, b > 0
Jika dikalikan atau dibagikan dengan nilai negatif maka persamaan berubah tanda
Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier berikut!
a) 3 2x 2 7x, S R
Penyelesaian :
3 2x 2 7x
2x + 7x 2 + 3
5x 5
x 1
HP = {x | x 1, S R}
Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier berikut!
a. )bulatbilangan (Z ZS ,55
2x32 dd
Penyelesaian:
,55
2x32 dd {dikalikan semua dengan 5}
10 3x 2 25 {ditambahkan dengan 2}
10 + 2 3x 2 + 2 25 + 2
12 3x 27 {dibagi dengan 3}
4 x 9
HP = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
c) 9x + 7 - 3x 5
-
Bab III | 36
Penyelesaian:
9x + 7 - 3x 5
-9x + 3x -5 7
-6x -12 {dibagi dengan -6, tanda ingat dibalik}
x 2
d) 2
3x35
5x7 t
Penyelesaian:
2
3x35
5x7 t {kedua ruas dikalikan dengan 10}
-2 (7x 5) 5 (3x 3) {kedua ruas dikalikan dengan 10}
-14x + 10 15x 15
-14x 15x -15 10
-29x - 25 {dibagi dengan -29, tanda ingat dibalik}
Jadi 2925x d
Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. 5b 3 < 7b + 11
b. 19 3e < 2 5(e + 1)
c. 9(h + 1) 3h < 10(h 1) 5
d. -2(5x + 4) 3x > 1 (8x 6)
e. 2
q125
3q2 d
f. 4
4r243
2r
-
Bab III | 37
g. 5x23x23 t
3.4 Persamaan Kuadrat
Persamaan adalah sebuah pernyataan bahwa dua kuantitas setara. Menyelesaiakan
persamaan berarti menentukan nilai-nilai dari factor yang tidak diketahui nilainya. Faktor
yang tidak diketahui nilainya disebut variable. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
dimana pangkat tertinggi dari variabelnya yaitu dua. Persamaan kuadrat dengan variable x
mempunyai bentuk umum ax2 + bx + c = 0 di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta
dan a 0; a dan b disebut koefisien dari variabel. Contonya: x2 - 6x + 5 = 0; 2x2 + x - 6 =
0; dan 3x2 5 = 0. Jika dua persamaaan terahkir masing-masing dibagi 2 dan 3 diperoleh
03x21x 2 , dan 0
35x 2 . Koefisien dari x2 dalam setiap persamaan adalah 1.
Menyeleaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah mencari harga x yang memenuhi
persamaan. Harga x ini disebut penyelesaian atau akar-akar dari persamaan. Contoh x2 -
5x + 6 = 0 dipenuhi oleh x = 2 dan x = 3. Maka x = 2 dan x = 3 adalah akar-akarnya
persamaan.
Terdapat 4 metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan:
(i) Fakktorisasi
(ii) Melengkapi kuadrat sempurna
(iii) Rumus kuadrat
a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Faktorisasi Pekalian (3x - 1)(x + 4) menghasilkan 3x2 + 12x - x 4 atau 3x2 + 11x 4. Proses dengan
proses sebaliknya dari 3x2 + 12x - x 4 ke (3x - 1)(x + 4) disebut faktorisasi. Jika suatu
pernyataan kuadrat dapat difaktorisasikan, maka cara ini menjadi metode yang paling
sederhana untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode faktorisasi ini sering kali
bersifat coba-coba atau trial and error.
Soal 1
Selesaiakanlah persamaan- persamaan berikut dengan metode faktorisasi
a. x2 + 2x 8 = 0
-
Bab III | 38
b. 2x2 - 5x 3 = 0
Penyelesaian
a. x2 + 2x 8 = 0. Faktor-faktor dari x2 adalah x dan x. Keduanya diletakkan di dalam
tanda kurung sebagai bentuk perkalian suku dua berikut.
x2 + 2x 8 = (x )( x .) = 0
Faktor dari -8 adalah 8 dan -1, atau -8 dan 1, atau 4 dan -2, atau -4 dan 2. Satu-
satunya kombinasi yang dapat menghasilkan suku tengah 2x adalah 4 dan -2, yaitu:
x2 + 2x 8 = (x + 4 )( x - 2) = 0. Perhatikan bahwa jumlah hasil perkalian dua suku di bagian dalam dengan hasil perkalian dua suku di bagian luar harus sama dengan suku tengah yaitu 2x.
Jadi persamaan x2 + 2x 8 = 0, dapat difaktorkan menjadi (x + 4 )( x - 2) = 0. Satu-satu cara bahwa persamaan ini akan menjadi benar, jika paktor pertama atau factor kedua sama dengan nol, maka:
b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x 3)2
merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk 722 xx dapat dimanipulasi aljabar sbb.
722 xx
71)12( 2 xx
8)1( 2 x memuat bentuk kuadrat sempurna 2)1( x
Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna
semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh:
-
Bab III | 39
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. 0232 xx
b. 0252 x
Jawab :
a. 0232 xx
232 xx
492
23x
2
49
48
23 2
x
41
23 2
x
41
23 r
x
23
21 r x
2 x atau 1 x b. 0252 x
252 x
25r x
5r x
c. Menggunakan rumus kuadrat
Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 02 cbxax dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.
Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat 02 cbxax .
-
Bab III | 40
Prosesnya sbb:
02 cbxax
02
cx
abxa
044
2
2
22
c
ab
abx
abxa
042
22
c
ab
abxa
ca
ba
bxa
42
22
2
22
44
2 aacb
abx
acbaa
bx 421
22
2
r
acbaa
bx 421
22 r
aacbbx
242 r
Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.
Misalkan a, b, c bilangan rela dan 0za maka akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax ditentukan oleh:
aacbbx
242
12r
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. 0232 xx
-
Bab III | 41
b. 0263 2 xx
Jawab :
a. 0232 xx
a = 1, b = 3, c = 2
1.2
2.1.433 212
r x
2
1312
r x
2 x atau 1 x
b. 0263 2 xx
a = 3, b = -6, c =2
3.2
2.3.4)6(6 212
r x
6326
6126
624366
12r r r x
3311
6326 x atau 3
311
6326 x
Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan Penyelesaian persamaan kuadrat )0(02 z acbxax adalah
aacbbx
242
12r
Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.
-
Bab III | 42
Jenis akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D = acb 42
Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda
Untuk D berupa bilangan kuadrat ( 2k ) akarnya rasional
Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional
Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama
Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan 032 2 xx tentukan jenis akar-akarnya !
Jawab :
032 2 xx
acbD 4
= )3.(2.412
= 25
= 25
Jadi 032 2 xx mempunyai dua akar berlainan dan rasional
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax )0( za adalah
aDbx
21 atau
aDbx
22
Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
-
Bab III | 43
aDb
aDbxx
2221
aDbDb
2
ab
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
aDb
aDbxx
2221
2
2
4aDb
ac
aac
aacbb 22
22
44
4)4(
Contoh Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan kuadrat 0532
2 xx , tentukan nilai dari : 2221 xx
Jawab :
4175
49
252
232)(
2
212
212
22
1
xxxxxx
3.5 Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:
1. 02 cbxax
2. 02 d cbxax
3. 02 ! cbxax
-
Bab III | 44
4. 02 t cbxax
dengan a, b, c bilangan real dan .0za
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x
dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan grafik dan garis biilangan
a. Menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus 43)( 2 xxxf grafiknya
berbentuk parabbola dengan persamaan 432 xxy . Sketsa grafik parabola
432 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi 0432 ! xx dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi 0432 xx untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang 1 < x < 4.
Jadi 0432 xx dalam selang 1 < x < 4.
-
Bab III | 45
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat 43)( 2 xxxf atau parabola 432 xxy dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. Pertidaksamaan kuadrat 0432 ! xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ RxxxHP
b. Pertidaksamaan kuadrat 0432 t xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ RxxxHP dd
c. Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ Rxxatau xxHP !
d. Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah: },41|{ Rxxatau xxHP td
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat 0)( 2 cbxaxxf dapat digunakan untuk menentukan
-
Bab III | 46
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 02 cbxax ; 02 d cbxax ; 02 ! cbxax ; 02 t cbxax
Contoh:
Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a. 0122 xx
b. 0122 d xx
c. 0122 ! xx
d. 0122 t xx
Jawab:
Sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf atau parabola ,122 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah Himpunan kosong ditulis I
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 d xx adalah }1|{ xxHP
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 ! xx adalah }1|{ z xdanRxxHP
4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 t xx adalah },11|{ RxxatuxxHP td dapat juga ditulis }|{ RxxHP
-
Bab III | 47
b. Menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dengan garis bilangan Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan 0432 ! xx
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
0432 xx
0)4)(1( xx
1 x atau 4 x
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
2 x maka nilai dari 64)2(3)2(43 22 xx sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0
1 x maka nilai dari 64)1(3)1(43 22 xx sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
5 x maka nilai dari 64)5(3)5(43 22 xx sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0432 ! xx adalah x < -1 atau x > 4.
-
Bab III | 48
Jadi himpunan penyelesainnya adalah 1|{ xxHP atau x > 4}
c. Pertidaksamaan Rasional
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.
i. 01
1 x
ii. 021 d
xx
iii. 0132 !
xx
iv. 02
42
2
t
xx
x
Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional
031
xx
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.
Langkah 1
Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x 3 = 0 x = 3.
-
Bab III | 49
Langkah 2
Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.
Misal x = -2 maka nilai dari 41
41
31
xx sehingga tanda dalam interval x < -1
(+) atau >0.
x = 0, maka nilai dari 31
31
31
xx sehingga tanda dalam interval -1 0.
Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.
Maka penyelesaian dari pertidaksamaan 031
xx adalah -1 < x < 3 dan himpunan
penyelesaiannya adalah }31|{ xxHP
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari 02
2
!
xxx !
Jawab :
-
Bab III | 50
Harga nol pembilang Harga nol penyebut
02 xx 02 x
0)1( xx 2 x
10 21 xx
Jadi penyelesaiannya adalah -2
-
Bab III | 51
Jadi himpunan penyelesaian dari 0634
2
2
t
xxxx adalah 3|{ xxHP atau
21 d x atau x >3}
d. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !
Jawab :
A
x+4
x
B x+2 C
222 ACBCAB
222 )4()2( xxx
16844 222 xxxxx
01242 xx
0)2)(6( xx
6 x atau 2 x (tidak memenuhi)
-
Bab III | 52
Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm
2.6. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat
Bentuk Umum :
y = px + q
y = ax2 + bx + c
p, q, a, b dan c R Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c
Diperoleh :
px + q = ax2 + bx + c
ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0
dengan D = (b-p)2 4.a.(c-q)
ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
Ada 3 kemungkinan :
D>0
D=0
D
-
Bab III | 53
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesian dari :
y = 2 x
y = x2
jawab :
Substitusika y = 2 x ke y = x2 diperoleh :
x2 = 2 x D = b2 4ac
x2 + x 2 = 0 D = (1)2 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
(x 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2
x = 1 disubstitusikan ke y = 2 x = 2 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke y = 2 (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
(-2,4)
(1,1)
-
Bab III | 54
3.7 Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat
Bentuk Umum :
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
(a p)x2 + (b q)x + (c r) = 0 dengan
D = (b q)2 4.(a p).(c r)
Kemungkinan penyelesaiannya :
a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
1. Grafik
Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
y = x2
y = 8 x2
Jawab :
Substitusikan (1) ke (2)
x2 = 8 x2
2x2 8 = 0
x2 4 = 0
(x 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
x = 2 diperoleh y = 22 = 4
x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4
Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}
-
Bab III | 55
Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x 3
y = x2 4x + 3
b. y = x + 3
2y = x2 2x + 1
c. y 2x 3 = 0
y 2x2 + 4x 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x2 3x 1
y = 3x2 + 5x + 7
b y = x2 + 1
y = 9 x2
c. y = 2x2 6x
y = x2 2x + 6
3.8 Persamaan Non Linier
Berbagai bentuk persamaan non linier, antara lain:
y = a0 xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an. ak , k=1,2,,n bilangan riil, a0, n 0
(-2,4) (2,4)
0
8
-
Bab III | 56
Disebut persamaan polinomial berderajat n.
y = ax , a bilangan riil, a 0.
y = a + b log x
Sesuai dengan silabus yang diberikan, yang dibahas dalam buku ini adalah persamaan
berderajat dua (kuadratik), persamaan berderajat tiga (kubik), fungsi eksponensial dan
fungsi logaritma.
Bentuk umum persamaan berderajat dua (kuadratik) adalah:
a x2 + b xy + c y2 + d x + e y + f = 0(i)
Misal D = b2 4 a c .
Bila D < 0, persamaan (i) disebut persamaan ellips. Bila juga berlaku a = c dan b
= 0, disebut persamaan lingkaran.
Bila D = 0, persamaan (i) disebut persamaan parabola.
Bila D > 0, persamaan (i) disebut persamaan hiperbola.
Gambar 4.4: Perpotongan bidang datar dengan kerucut.
Bentuk ellips, lingkaran, parabola dan hiperbola merupakan irisan suatu bidang datar
dengan kerucut, seperti terlihat pada Gambar 4.4. Ellips adalah irisan bidang yang
memotong kerucut tidak melalui puncak dan lingkaran alas. Lingkaran adalah irisan bidang
yang memotong kerucut tegak lurus sumbu kerucut. Parabola adalah irisan bidang yang
memotong kerucut dan lingkaran alas kerucut. Hiperbola adalah irisan bidang yang sejajar
dengan sumbu dua kerucut yang bertemu pada puncaknya.
Bentuk umum persamaan irisan kerucut:
(y-q) = 1/4t (x p ) 2. Parabola berpuncak di P (p, q), Fokus (p, q+t) dan garis
eksentrisitet y = b-t.
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R2. Lingkaran berpusat di P (a,b) berjari-jari R, atau
x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Lingkaran berpusat di P (- A/2, -B/2), jari-jari ( A2/4 +
B2/4 C)1/2
((x-p)/a) 2 + ((y-q)/b) 2 = 1 Ellips berpusat di P (p,q), panjang sumbu x dan y
masing-masing a dan b.
-
Bab III | 57
((x-p)/a) 2 ((y-q)/b) 2 = 1 Ellips berpusat di P (p,q), panjang sumbu x dan y
masing-masing a dan b.
Menggambar Persamaan Parabola
Pandang bentuk umum persamaan derajat dua: y = a x2 + bx + c atau
y = a ( x + b/a x) + c = a ( x b/2 a) 2- (b2 4ac)/ 4a = a ( x b/2 a) 2- D/ 4a, dimana D =
(b2 4ac)
Bila x = b/2 a, nilai y D/-4a.
Jadi persamaan derajat dua ini adalah persamaan parabola degnan puncak ( b/2 a, D/ 4a).
Untuk x = -b/2 a, bila a > 0 maka nilai y paling kecil, sedangkan bila a < 0, nilai y paling
besar.nilai y = D/4a , Untuk x -b/2 a
Menggambarkan Persamaan Parabola
Dengan cara yang serupa dapat pula digambarkan persamaan derajat dua dalam bentuk
persamaan x = a x2+ b x + c.
Contoh 4:
Gambarlah parabola y = 2 x2+ 8 x + 10.
Jawab: a = -2, b = 8 dan c = 10.
Lalu digambar seperti Gambar 4.5 berikut.
Gambar 4.5 : Grafik parabola y = 2 x2+ 8 x + 10
Untuk menggambarkan persamaan hiperbola y = (ax+b)/(cx + d) tentukan dulu asimptot-
asimptotnya(garis yang didekati oleh fungsi, tetapi tidak pernah memotongnya). Untuk x =
-d/c, y tidak terdefinisi, berari x = -d/c adalah asimptot tegaknya. Sebaliknya bila y= a/c,
juga nilai x juga tidak terdefinisi, sehingga y = a/c adalah asimptot datarnya. Selanjutnya
gambar grafik diperoleh dengan subtitusi nilai x pada persamaan hiperbola.
3.8 Persamaan Derajat Tiga (kubik), Fungsi Eksponensial dan Fungsi Kubik
Bentuk umum persamaan derajat tiga, fungsi eksponensial dan fungsi logaritama, masing-
masing adalah:
Untuk menggambarkan grafik dari kedua persamaan di atas dengan menentukan nilai-nilai
x lalu disubtitusi pada persamaan tersebut. Untuk menentukan titik belok dan titik ekstrim
dari persamaan-persamaan ini, nanti dibahas pada pembicaraan diferensial.
-
Bab III | 58
Gambar persamaan b), bila a> 1 grafik memotong sumbu x di y = 1, mempunyai asimptot
y = 0. Untuk nilai x negatif, nilai y lebih kecil dari 1 dan untuk x positif nilai y lebih besar
1. Dapat diselidiki lebih lanjut untuk nilai a yang lain. Grafik dari bagian c) tidak berlaku
untuk nilai x negatif. Bagian ini tidak dianalisa lebih lanjut, mengingat fungsi yang sering
dihadapi adalah polinomial dan fungsi eksponensial.