bab iii limit & kekontinuan fungsi.pdf
TRANSCRIPT
-
25
c
L
x x
f(x)
c
L
x x
f(x)
LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Jika kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju ke suatu titik
tertentu di sumbu X, (artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut
semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak
bebasnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu Y, atau bagaimana perilaku peubah
tak bebas jika peubah bebasnya membesar sampai tak hingga?
Limit
Definisi : (Definisi Limit secara intuisi)
Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati suatu nilai tertentu c , ditulis
lim ( )x c
f x L
, berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c x c maka ( )f x
dekat ke L . ( lim ( )x c
f x L
dibaca limit ketika x mendekati c dari ( )f x adalah L ).
Baik fungsi f terdefinisi di c ataupun tidak, untuk x yang semakin dekat dengan c
maka nilai ( )f x semakin dekat dengan L .
Contoh 1. Carilah 3
lim 4 5x
x
Solusi :
Ketika x dekat 3, maka 4 5x dekat dengan 4 3 5 7 . Ditulis 3
lim 4 5 7x
x
.
Contoh 2. Carilah 2
3
6lim
3x
x x
x
-
26
Solusi :
2
3 3 3
6 ( 3)( 2)lim lim lim ( 2) 3 2 5
3 3x x x
x x x xx
x x
.
Ingat bahwa 3
13
x
x
selama 3x .
Pendekatan Limit Secara Numerik
Contoh 1
Misalkan 2( )f x x dan 3c . Carilah secara numerik untuk 23
limx
x
.
Solusi :
Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat
sedekat mungkin dengan 3, baik
sebelum maupun sesudah 3 maka nilai
( )f x semakin dekat dengan 9.
Berarti 23
lim 9x
x
.
Contoh 2. Carilah secara numerik 3
1
1lim
1x
x
x
!
Solusi :
Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat sedekat mungkin
dengan 1, baik sebelum maupun sesudah 1 maka nilai
( )f x semakin dekat dengan 3.
Berarti 3
1
1lim 3
1x
x
x
.
x 2( )f x x 2( )f x x x
2 4 16 4
2,5 6,25 12,25 3,5
2,7 7,29 10,89 3,3
2,8 7,84 10,24 3,2
2,9 8,41 9,61 3,2
2,99 8,9401 9,0601 3,01
2,999 8,994001 9,006001 3,001
2,9999 8,9994 9,0006 3,0001
3 ? ? 3
x 3 1
( )1
xf x
x
1,25 1,10 1,01
1,001
1
0,999 0,99 0,9
0,75
3,813 3,310 3,030 3,003
?
2,997 2,970 2,710 2,313
-
27
7
2
3
f
f(c)
c
y=f(x
)
L
c
y=f(x
)
f(c)
L
c
y=f(x
)
Pendekatan Limit Secara Grafik
Contoh 1
Gambar grafik fungsi 3 1, 2
( )3 , 2
x xf x
x
, dan gunakan grafik itu untuk mencari
2lim ( )x
f x
.
Solusi :
Dari grafik untuk x mendekati 2, nilai ( )f x mendekati
7. Pada kenyataannya, secara numerik, dengan
memilih x sedekat mungkin dengan 2, maka nilai
( )f x juga akan sedekat mungkin dengan 7. Terlihat
bahwa (2) 3f tetapi 2
lim ( ) 7x
f x
.
Jadi, limit L suatu fungsi ( )y f x ketika x mendekati c tidak bergantung pada nilai
f di c .
Ilustrasi
lim ( ) ( )x c
f x f c
lim ( ) ( )x c
f x L f c
lim ( )x c
f x L
f(c) tidak terdefinisi
-
28
Sifat-sifat Limit
Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di c , maka :
1. limx c
k k
2. limx c
x c
3. lim ( ) lim ( )x c x c
kf x k f x
4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
6. lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
7. lim ( )( )
lim ,( ) lim ( )
x c
x c
x c
f xf x
g x g x
asalkan lim ( ) 0x c
g x
8. lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
9. lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x
, asalkan lim ( ) 0x c
f x
10. Untuk setiap polinomial 11 1 0( ) ...
n n
n np x a x a x a x a
maka
lim ( ) ( )x c
p x p c
11. Teorema Apit
Jika ( ) ( ) ( )f x g x h x untuk setiap interval buka yang memuat c (kecuali mungkin
di c sendiri), dan lim ( ) lim ( )x c x c
f x h x L
maka
lim ( )x c
g x L
.
Contoh 1. Carilah 24
lim 3 2x
x x
Solusi :
2
2 2 2
4 4 4 4 4 4 4lim 3 2 lim 3 lim 2 3lim 2lim 3 lim 2limx x x x x x x
x x x x x x x x
2
3 4 2 4 40 .
-
29
Contoh 2. Carilah 2
3
9lim
3x
x
x
Solusi :
2
3 3 3
9 ( 3)( 3)lim lim lim ( 3) 3 3 6
3 3x x x
x x xx
x x
.
Contoh 3. Tentukan 2
22
9lim
3 5x
x
x
Solusi :
2 22 2 222 2 22 2 2
4 3 59 9 3 5lim lim lim
9 ( 5)3 5 3 5 3 5x x x
x xx x x
xx x x
2 2
2
22 2
4 3 5lim lim 3 5 6
4x x
x xx
x
.
Contoh 4. Tentukan 0
1 1
limh
h x x
h
Solusi :
20 0 0 0
1 1
1 1lim lim lim limh h h h
x h x
h x x hh x x
h h h h x x h x x x
.
Latihan
1. Tentukan nilai limit berikut!
a. 32
lim 4h
h h
e. 0
limh
x h x
h
b. 4 21
lim 3 8 4x
x x x
f. 2
21
2 3lim
1x
x
x
c. 3
2
2 5lim
3 2x
x x
x
g.
3 3
0
1 1
limh
xx h
h
d. 2
2lim
2x
x
x
-
30
L
L
L
c c c
2. Tunjukkan bahwa 0
1lim sin 0x
xx !
3. Jika 21 ( ) 2 2f x x x untuk setiap x , tentukan 1
lim ( )x
f x
!
Konsep Limit Secara Mendalam
lim ( )x c
f x L
, berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c x c maka
( )f x dekat ke L .
Mengatakan bahwa ( )f x berbeda dari L lebih kecil dari bilangan (epsilon) sama
saja dengan mengatakan
( )f x L
( )L f x L
Hal ini berarti ( )f x terletak dalam interval terbuka ,L L .
Kemudian, ucapan bahwa x cukup dekat tetapi berlainan dengan c sama saja dengan
mengatakan untuk suatu bilangan , x terletak dalam interval terbuka ,c c
dengan c tidak diikutkan. Hal ini dinyatakan dengan menuliskan
0 x c .
Perhatikan bahwa x c memberikan arti c x c sedangkan 0 x c
mensyaratkan x c dikecualikan, artinya x c .
Ilustrasi
( )f x L
0 x c
-
31
c c c
L
L
L
Definisi (Pengertian persis Limit)
lim ( )x c
f x L
berarti bahwa untuk setiap bilangan 0 yang diberikan (betapapun
kecilnya), terdapat bilangan 0 sedemikian sehingga jika 0 x c berlaku
( )f x L .
Secara simbol : lim ( ) 0, 0 0 ( )x c
f x L x c f x L
.
Ilustrasi
Contoh 1
Buktikan bahwa 4
lim 3 7 5x
x
!
Solusi :
Analisa pendahuluan. Andaikan bilangan positif sebarang, maka kita harus
menemukan suatu 0 sedemikian sehingga
0 4 3 7 5x x .
Perhatikan,
3 7 5 3 12x x
3 4x
3 4x
43
x
.
Jadi sekarang kita dapat memilih , pilih 3
.
-
32
Dengan demikian untuk sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan 0 yaitu pilih
3
sedemikian sehingga jika 0 4x berlaku
3 7 5 3 12 3 4 3x x x .
Jadi terbukti 4
lim 3 7 5x
x
.
Contoh 2
Buktikan bahwa 2
2
2 3 2lim 5
2x
x x
x
!
Solusi :
Analisa pendahuluan. Andaikan bilangan positif sebarang, maka kita harus
menemukan suatu 0 sedemikian sehingga
22 3 20 2 5
2
x xx
x
.
Perhatikan untuk 2x
22 3 2 (2 1)( 2)5 5
2 2
x x x x
x x
(2 1) 5x
2 2x
22
x
.
Dapat dipilih 2
.
Dengan demikian sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan 0 yaitu pilih 2
sedemikian sehingga jika 0 2x berlaku
22 3 2 (2 1)( 2)5 5 2 1 5 2 2 2
2 2
x x x xx x
x x
.
Terbukti bahwa 2
2
2 3 2lim 5
2x
x x
x
.
-
33
Contoh 3. Buktikan 22
lim 5 7x
x x
!
Solusi :
Analisa pendahuluan. Diberikan sebarang bilangan 0 , maka kita harus menemukan
0 sedemikian sehingga
20 2 5 7x x x .
Perhatikan
2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3x x x x x x x x .
Andaikan 1 dan karena 0 3x maka
4 3 7 3 7 1 7 8x x x .
Jadi 4 8x .
Sehingga,
2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3 8 3x x x x x x x x x .
Dengan demikian 2 5 7 38
x x x
.
Pilih 8
.
Jadi untuk sebarang bilangan 0 , terdapat 08
sedemikian sehingga jika
0 3x berlaku
2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3 8 3 8x x x x x x x x x .
Terbukti bahwa 22
lim 5 7x
x x
.
Limit Kiri dan Limit Kanan
Definisi (Limit Kiri dan Limit Kanan)
Limit Kiri : lim ( )x c
f x L
berarti ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c maka ( )f x
dekat ke- L .
lim ( ) 0, 0 ( )x c
f x L c x c f x L
.
-
34
-1
1
L
c
y=f(x)
c
y=f(x)
)
q
p
Limit Kanan : lim ( )x c
f x L
berarti ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c maka
( )f x dekat ke- L .
lim ( ) 0, 0 ( )x c
f x L c x c f x L
.
Teorema
lim ( ) lim ( )x c x c
f x f x L
jika dan hanya jika lim ( )x c
f x L
.
Ilustrasi
Contoh 1
Tentukan nilai dari 0
limx
x
x.
Solusi :
Menurut definisi , 0
, 0
x xx
x x
Ketika 0x ( x berada disebelah kanan 0) maka 00
lim lim 1xx
x x
x x , sedangkan
Ketika 0x ( x berada disebelah kiri 0) maka 00
lim lim 1xx
x x
x x
.
Karena 0 0
lim limx x
x x
x x , maka
0limx
x
x tidak ada.
Contoh 2
Jika 2 2 2, 1
( )3 , 1
x x xf x
x x
, tentukan nilai dari
1lim ( )x
f x
!
lim ( )x c
f x L
lim ( )x c
f x L
lim ( )x c
f x p
lim ( )x c
f x q
-
35
Solusi :
211
lim ( ) lim 2 2 1xx
f x x x
, dan 11
lim ( ) lim 3 2xx
f x x
. Karena
1 1lim ( ) lim ( )x x
f x f x
maka 1
lim ( )x
f x
tidak ada.
Latihan
1. Berdasarkan grafik berikut, apakah lim ( )x c
f x
ada?
a. b. c.
2. Tentukan limit berikut jika ada!
a. 2
3
9lim
3x
x
x
c.
2
1
1lim
1x
x
x
e.
2
3lim
1x
x x
x
b. 3
3lim
3x
x
x
d.
3
3lim
3x
x
x
f.
23
3lim
9x
x
x
3. Tentukan limit kiri dan limit kanan di titik c yang telah ditentukan, kemudian
tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada.
a. 2 , 0
( ) , 01 , 0
x xf x c
x
c.
3 1, 1
( ) 4 , 1, 1
2 , 1
x x
f x x c
x x
b.
3 1, 1
( ) 2 , 1, 1
2 , 1
x x
f x x c
x x
d.
2 9, 3
( ) , 33
6 , 3
xx
f x cx
x
.
-
36
4. Diketahui fungsi sebagai berikut!
2
15 5 , 2
5 , 2( )
9 ,2 3
2 , 3
x x
xf x
x x
x x
Tentukan :
a. 2
lim ( )x
f x
; 2
lim ( )x
f x
, dan 2
lim ( )x
f x
b. 3
lim ( )x
f x
; 3
lim ( )x
f x
, dan 3
lim ( )x
f x
Limit Fungsi Trigonometri
Rumus limit fungsi trigonometri :
0lim cos 1x
x
0
lim tan 0x
x
0
lim 1sinx
x
x
0
tanlim 1x
x
x
0lim sin 0x
x
0
sinlim 1x
x
x
0lim 1
tanx
x
x
0
sinlim 1
tanx
x
x
Catatan :
sin 2 2sin cosx x x 2cos2 2cos 1x x
2cos2 1 2sinx x 2 2sin cos 1x x
Contoh 1. Carilah 0
sin 3limx
x
x!
Solusi :
0 0 0 0
sin3 3sin3 3sin sinlim lim lim 3lim 3(1) 3
3x x y y
x x y y
x x y y .
Contoh 2. Carilah 0
1 coslim
sinx
x
x
!
Solusi :
0
0 0
0
1 cos1 coslim
1 cos 0lim lim 0
sin sinsin 1lim
x
x x
x
xx
x xxx xx
x x
-
37
Contoh 3. Carilah 20
tanlim
3x
x
x x !
Solusi :
20 0 0 0
tan tan tan 1 1 1lim lim lim lim 1
3 ( 3) 3 3 3x x x x
x x x
x x x x x x
.
Contoh 4. Carilah 1 cos
limsinx
x
x
!
Solusi :
21 cos 2. 1 2cos 1 2cos cos cos1 cos 2 2 2 2 2lim lim lim lim lim 0
sin2sin cos 2sin cos sinsin 2.
2 2 2 2 22
x x x x x
x x x x xx
x x x x xxx
.
Latihan
Tentukan limit berikut!
1.
2
coslim
2
x
x
x
5. 0
tan 2lim
sin 2 1x
x
x
2. 0
coslim
1x
x
x 6.
21
sin 1lim
2x
x
x x
3. 2
0
coslim
1 sinx
x
x 7.
2
0
coslim
1x
x x
x
4. 0
sin3 4lim
secx
x x
x x
8.
2
0
tan 2lim
3x
x
x
Limit Tak-hingga
Definisi (Limit tak hingga)
Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang memuat c , kecuali
mungkin di c sendiri, maka
lim ( )x c
f x
berarti untuk setiap bilangan positif M terdapat 0 sedemikian hingga
jika 0 x c berlaku
-
38
y=M
c y=N
c
( )f x M .
lim ( )x c
f x
berarti untuk setiap bilangan negatif N terdapat 0 sedemikian
hingga jika 0 x c berlaku
( )f x N .
Ilustrasi
Contoh 1. Carilah
21
1lim
1x x
dan
21
1lim
1x x
!
Solusi :
2
1
1lim
1x x
dan
21
1lim
1x x
. Karena kedua limit adalah , maka dapat
dituliskan bahwa
21
1lim
1x x
.
Contoh 2. Tentukan 2
2lim
2x
x
x
dan
2
2lim
2x
x
x
Solusi :
2
2
2
lim 22 2lim
2 lim 2 0
x
x
x
xx
x x
, dan
2
2
2
lim 22 2 2lim
2 lim 2 0
x
x
x
xx
x x
.
-
39
N
L
xx
M
L
x
Limit di Tak-hingga
Definisi (Limit ketika x)
Misalkan f terdefinisi pada [ , )c .
lim ( )x
f x L
berarti untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0M sedemikian
sehingga jika x M maka berlaku
( )f x L .
Definisi (Limit ketika x)
Misalkan f terdefinisi pada ( , ]c .
lim ( )x
f x L
berarti untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0M sedemikian
sehingga jika x M maka berlaku
( )f x L .
Ilustrasi
Contoh 1
Tunjukkan bahwa jika k bilangan bulat positif maka
1lim 0
kx x dan
1lim 0
kx x .
Solusi :
Diberikan 0 , maka kita harus menemukan bilangan positif M sedemikian hingga
jika
10
kx M
x .
Diperhatikan jika x M maka 1 1
x M
-
40
1 1 1 10
k k k kx x x M (kita harapkan
1
1 1 kk
MM
)
Pilih
1
1 kM
.
Jadi untuk sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan positif
1
1 kM
sedemikian
sehingga jika x M berlaku
1 1 1 10
k k k kx x x M .
Karena 1
0kx
asalkan x M maka 1
lim 0kx x .
Bukti untuk 1
lim 0kx x sejalan.
Contoh 2. Carilah 2
lim1x
x
x !
Solusi :
2
22
2 22
1 1lim
0lim lim lim 0
1 111 0 11 lim 1
x
x x x
x
x
x x x x
xx
x xx
.
Contoh 3. Carilah 3
3
2lim
1x
x
x !
Solusi :
3
3 3
33
33
2
2 2 2lim lim lim 2
111 0 11
x x x
x
x x
xx
xx
.
Bentuk-bentuk Tak Tentu Limit Fungsi
Perhatikan limit fungsi trigonometri 0
sinlimx
x
x, dimana limit peenyebut dan
pembilangnya nol. Bentuk demikian disebut bentuk tak tentu pada limit. Bentuk-bentuk
tak tentu yang lain adalah 0 0; ; 0. ; 0 ; ; 1
.
-
41
Contoh 1. Carilah 4
2lim
4x
x x
x
!
Solusi :
4 4
2 ( 2)( 1) 3lim lim
4 4( 2)( 2)x x
x x x x
x x x
Contoh 2. Carilah 1
lim sinx
xx
!
Solusi :
0
1sin
1 sinlim sin lim lim 1
1x x y
yxxx y
x
(ketika x maka
10y
x )
Latihan
Tentukan limit fungsi berikut!
1. lim 1x
x x
5. 2
lim5x
x
x 9. 2 2lim 2 3 2 5
xx x x x
2. 2
lim4x
x x
x
6.
1lim
4x
x
x
10.
2
2 1lim
3 1x
x
x
.
3. 2
2lim
7x
x
x 7. 2lim 2
xx x x
4. 2
3lim
5x
x
x 8.
3
3
9 1lim
2 2x
x
x x
-
42
f(c)
c
y=f(x
)
L
c
y=f(x
)
f(c)
f(c)
c
y=f(x
)
L
c
y=f(x
)
c
y=f(x
)
Kontinuitas Fungsi
Kata kontinu diartikan sebagai suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan
yang mendadak.
Pernah dijumpai suatu fungsi dimana lim ( ) ( )x c
f x f c
, kadang-kadang lim ( )x c
f x
ada
tetapi ( )f c tidak ada (tak terdefinisi). Bagaimana hubungan lim ( )x c
f x
dan ( )f c ?
Berbagai kemungkinan hubungan tersebut dijelaskan oleh grafik berikut :
Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval buka yang memuat c . Fungsi f dikatakan
kontinu di c jika memenuhi :
i. Nilai ( )f c ada, terdefinisi
ii. lim ( )x c
f x
ada, dan
lim ( ) ( )x c
f x f c
lim ( ) ( )x c
f x L f c
lim ( )x c
f x L
f(c) tidak terdefinisi
lim ( )x c
f x
tidak ada
f(c) terdefinisi
lim ( )x c
f x
tidak ada
f(c) tidak terdefinisi
-
43
iii. lim ( ) ( )x c
f x f c
.
Jika salah satu atau lebih dari tiga syarat di atas tidak terpenuhi, maka f dikatakan
diskontinu di c .
Contoh 1.
Fungsi 2( ) 4 4f x x x kontinu di 2x , sebab :
i. 2(2) 2 4(2) 4 0f ( terdefinisi)
ii. 22 2
lim ( ) lim 4 4 0x x
f x x x
, dan
iii. 22 2
lim ( ) lim 4 4 0 (2)x x
f x x x f
.
Contoh 2
Fungsi 2 4 4
( )2
x xf x
x
diskontinu di 2x , sebab :
(2)f tidak terdefinisi, artinya nilai (2)f tidak ada meskipun nilai
2
2 2 2
4 4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim 4
2 2x x x
x x x xf x
x x
ada.
Fungsi 2 4 4
( )2
x xf x
x
dapat menjadi kontinu di 2x dengan mendefinisikan
(2) 4f .
Contoh 3
Diberikan fungsi sebagai berikut
2 4 4, 2
( ) 2
4 , 2
x xx
f x x
x
Apakah fungsi f kontinu di 2x ?
Solusi :
Fungsi f dikatakan kontinu di 2x jika memenuhi tiga syarat di atas :
i. Nilai (2) 4f ada (terdefinisi)
-
44
ii. 2
2 2 2
4 4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim 4
2 2x x x
x x x xf x
x x
, dan
iii. 2
2
4 4lim 4 (2)
2x
x xf
x
.
Jadi fungsi f kontinu di 2x .
Contoh 4
Selidi apakah fungsi
2 2 8, 2
( ) 2
2 , 2
x xx
f x x
x
kontinu di 2x !
Solusi :
Diselidiki tiga syarat di atas, yaitu :
i. Nilai (2) 2f ada (terdefinisi)
ii. 2
2 2 2
2 8 ( 4)( 2)lim ( ) lim lim 6
2 2x x x
x x x xf x
x x
iii. 2 2
lim ( ) 6 4 (2)x x
f x f
.
Karena syarat ke-tiga, yaitu 2 2
lim ( ) 6 4 (2)x x
f x f
, tidak terpenuhi, maka f diskontinu
di 2x .
Sifat-sifat kekontinuan fungsi
Jika fungsi f dan fungsi g masing-masing kontinu di x c , maka :
i. ; ;f g f g fg kontinu di x c
ii. f
g , ( ) 0g c kontinu di x c .
Latihan
1. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di c ?
a.
3 1, 1
( ) 4 , 1, 1
2 , 1
x x
f x x c
x x
b.
2
2
4 3 , 0
( ) 4 , 0 , 0
16 ,0 4
x x
f x x c
x x
2. Tentukan ( )f c sehingga fungsi-fungsi berikut kontinu di c
-
45
a. 2 4
( ) , 22
xf x c
x
b.
2 , 1( ) , 1
1, 1
x xf x c
x x
3. Tentukan nilai k sehingga fungsi f kontinu di 2x
2 5 7, 2
( ) 2
, 2
x xx
f x x
k x
.