bab ii landasan teori a. sistem bilangan realrepository.ump.ac.id/6185/3/bab ii_dwi...
TRANSCRIPT
4
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan real π adalah himpunan bilangan real yang disertai
dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma
tertentu. Pada sistemnya diperlakukan tiga aksioma, yang dikenal sebagai
aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.
1. Aksioma Lapangan
Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, sifat komutatif, assosiatif dan distributif,
terdapatnya unsur 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap
penjumlahan dan perkalian. Dari operasi dasar ini didefinisikan operasi
pengurangan dan pembagian.
Pada π didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian (jumlah
dan hasil kali bilangan real a dan b ditulis a + b dan ab) yang memenuhi
sifat β sifat berikut :
a. Sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika βπ, π β π
maka π + π β π dan ππ β π .
b. Sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
βπ, π β π maka π + π = π + π dan ππ = ππ.
4
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
5
c. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
βπ, π, π β π maka π + π + π = π + (π + π) dan ππ π = π(ππ).
d. Adanya unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika
terdapat 0 dan 1 β π dan 0 β 1 sehingga π + 0 = π dan π. 1 = π
untuk setiap π β π . Bilangan 0 dinamakan unsur kesatuan terhadap
penjumlahan dan 1 unsur kesatuan terhadap perkalian.
e. Adanya unsur negatif atau invers terhadap penjumlahan yaitu jika
βπ β π maka terdapat βπ β π sehingga +(β π) = 0 . Bilangan real β
a dinamakan negatif atau lawan dari a.
f. Adanya unsur lawan atau invers terhadap perkalian, jika βπ β π ,
π β 0 maka terdapat πβ1 β π sehingga ππβ1 = 1 . Bilangan real
πβ1 dinamakan kebalikan dari π.
g. Sifat distributif, yaitu jika βπ, π, π β π maka π π + π = ππ + ππ.
(Martono, 1999)
Operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan
real didefinisikan sebagai berikut
Definisi II.A.1
Diberikan π dan π bilangan real
a. Pengurangan dari π dan π, hasilnya disebut selisih dari a dan b ditulis
π β π, didefinisikan sebagai bilangan real π + (βπ)
b. Pembagian dari a dan b, hasilnya disebut hasil bagi dari a dan b,
π β 0 ditulis π
π didefinisikan sebagai bilangan real ππβ1
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
6
2. Aksioma Urutan
Aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan
negatif. Berdasarkan ini, setiap bilangan real dapat diurutkan dari kecil
sampai besar. Dari aksioma ini diturunkan berbagai sifat yang mendasari
penyelesaian suatu pertidaksamaan, kemudian dirancang konsep nilai
mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan merupakan suatu alat
untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
(Martono, 1999)
Pada π terdapat suatu himpunan bagian yang unsurnya
dinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut:
a. Jika π β π maka π = 0 atau a bilangan positif jika π > 0 atau βa
positif bila π < 0
b. Jumlah dan hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif.
Definisi II.A.2
Diberikan a dan b bilangan real
a. Bilangan a dikatakan lebih besar dari b, ditulis π > π, jika π β π
bilangan positif.
b. Bilangan a dikatakan lebih kecil dari b, ditulis π < π, jika π β π
bilangan positif.
c. Lambang β€ (lebih kecil atau sama dengan ) dan β₯ (lebih besar atau
sama dengan) menyatakan relasi π β€ π jika π < π atau π = π dan
π β₯ π jika π > π atau π = π.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
7
d. Pernyataan yang dihubungkan dengan tanda <, >, β€, β₯ dinamakan
pertidaksamaan.
e. Bilangan real a dikatakan negatif jika βa adalah bilangan positif
3. Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada Sistem bilangan Real menyatakan
bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari π yang terbatas ke atas
selalu mempunyai batas atas terkecil. Aksioma ini mengakibatkan bahwa
setiap himpunan bagian tak kosong dari π yang terbatas ke bawah selalu
mempunyai batas bawah terbesar.
(Martono, 1999)
Pada aksioma ini meliputi batas atas, batas bawah, batas atas
terkecil dan batas bawah terbesar.
a. Batas Atas dan Batas Bawah himpunan terurut
Sebelum mempelajari batas atas dan batas bawah himpunan
terurut, maka terlebih dahulu akan didefinisikan suatu himpunan
terurut sebagai berikut.
Definisi II.A.3.a.1).
Diberikan himpunan . Suatu urutan pada himpunan π adalah suatu
relasi dua sifat berikut :
1) βπ₯ , π¦ β π maka tepat satu pernyataan berikut benar : π₯ > π¦ atau
π₯ = π¦ atau π₯ < π¦
2) βπ₯ , π¦, π§ β π, jika π₯ < π¦ dan π¦ < π§ maka π₯ < π§
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
8
Contoh II.A.3.a.1).:
π = himpunan semua bilangan real merupakan himpunan terurut.
Di bawah ini didefinisikan pengertian konsep batas suatu
himpunan terurut.
Definisi II.A.3.a.2).
Diberikan π himpunan terurut, π β β dan πΈ β π
1) Himpunan πΈ dikatakan terbatas ke atas jika terdapat π β π
sehingga π₯ β€ π untuk βπ₯ β πΈ, π dinamakan batas atas himpunan
πΈ.
2) Himpunan πΈ dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat π β π
sehingga π₯ β₯ π untuk βπ₯ β πΈ, π dinamakan batas bawah
himpunan πΈ.
3) Himpunan πΈ dikatakan terbatas jika πΈ terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah.
(Soemantri,1988 )
Contoh II.A.3.a.2).:
Diberikan himpunan πΈ β π dengan πΈ = {β1, 0 , 1 , 2 , 3 }. Selidiki
apakah πΈ terbatas !
Jawab :
πΈ terbatas ke atas karena βπ = 3 β π β βπ₯ β πΈ , π₯ β€ 3 dan πΈ
terbatas ke bawah karena βπ = β1 β π β βπ₯ β πΈ , π₯ β₯ β1. Karena
πΈ terbatas ke atas dan πΈ terbatas ke bawah maka πΈ merupakan
himpunan terbatas.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
9
b. Batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan terurut
Suatu himpunan terurut yang terbatas ke atas memiliki batas
atas terkecil dan himpunan terurut yang terbatas ke bawah memiliki
suatu batas bawah terbesar. Adapun pengertian dari batas atas terkecil
dan batas bawah terbesar sebagai berikut.
Definisi II.A.3.b.1).
Diberikan π suatu himpunan terurut dengan π β 0 , πΈ β π dan πΈ
terbatas ke atas. Jika βπ β π yang memenuhi sifat berikut :
1) π adalah suatu batas atas πΈ
2) Jika π β₯ π maka π batas atas πΈ
maka π dikatakan batas atas terkecil (Supremum) dari πΈ ditulis
π = sup π
Definisi II.A.3.b.2).
Diberikan π suatu himpunan terurut dengan π β 0 , πΈ β π dan πΈ
terbatas ke bawah. Jika βπ β π yang memenuhi sifat berikut :
1) π adalah suatu batas bawah πΈ
2) Jika π β€ π maka π batas bawah πΈ
maka π dikatakan batas bawah terbesar (infimum) dari πΈ ditulis
π = inf π
Contoh II.A.3.b.1).:
Berdasarkan Contoh II.A.3.a.2)., maka himpunan semua batas atas πΈ
adalah{ π β π dan π β₯ 3}, sehingga 3 merupakan batas atas terkecil
atau Sup πΈ = 3. Sedangkan himpunan semua batas bawah πΈ adalah
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
10
{π β π dan π β€ β1} , sehingga β1 merupakan batas bawah terbesar
atau Inf πΈ = β1.
c. Sifat batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan
terurut
Adapun pengertian himpunan terurut dengan sifat batas atas
terkecil dan sifat batas bawah terbesar didefinisikan sebagai berikut.
Definisi II.A.3.c.1).
Himpunan terurut π dikatakan mempunyai sifat batas atas terkecil
(s.b.a.t) jika setiap himpunan πΈ β π yang tidak kosong dan terbatas ke
atas mempunyai Supremum.
Definisi II.A.3.c.1).
Himpunan terurut π dikatakan mempunyai sifat batas bawah terbesar
(s.b.b.t) jika setiap himpunan πΈ β π yang tidak kosong dan terbatas ke
bawah mempunyai Infimum.
(Soemantri,1988 )
Contoh II.A.3. :
Himpunan π mempunyai s.b.a.t dan s.b.b.t, karena setiap π β π
dengan π = {π₯ β π π β€ π₯ β€ π} terbatas ke atas dan terbatas ke bawah
serta sup π dan inf π ada.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
11
Ilustrasi gambar himpunan tersebut adalah sebagai berikut.
Gambar II.A.3. Batas Bawah dan Batas Atas
(Bartle and Shelbert, 2000)
4. Interval
Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertidaksamaan
tertentu disebut interval (selang) hingga atau interval tak hingga. Interval
hingga adalah himpunan bagian dari π yang terbatas ke atas dan ke bawah,
sedangkan interval tak hingga tidak terbatas ke atas atau ke bawah.
Jika terdapat dua bilangan real π dan π, dengan π < π, maka
berturutβ turut dapat ditulis sebagai berikut :
1. π, π = {π₯ β π π < π₯ < π}
2. [π, π] = {π₯ β π π β€ π₯ β€ π}
3. (π, π] = {π₯ β π π < π₯ β€ π}
4. [π, π) = {π₯ β π π β€ π₯ < π}
5. π, β = {π₯ β π π₯ > π}
Batas Bawah dari π Batas Atas dari π
Himpunan
bilangan real
Himpunan
bilangan real
Batas Bawah
terbesar dari π
Batas Atas
terkecil dari π
π π
π
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
12
6. [π, β) = {π₯ β π π₯ β₯ π}
7. ββ, π = {π₯ β π π₯ < π}
8. (ββ, π] = {π₯ β π π₯ β€ π}
9. ββ, β = π
(Martono, 1999)
Interval π, π dinamakan interval terbuka karena tidak memuat
kedua titik ujung. Sedangkan Interval [π, π] dinamakan interval tertutup
karena memuat kedua titik ujung.
(Lipschutz, 1989)
Interval setengah terbuka atau setengah tertutup berbentuk [π, π)
atau π, π ditentukan oleh π dan π, interval [π, π) memuat titik ujung di π
sedangkan interval π, π memuat titik ujung di π.
(Bartle and Shelbert, 2000)
B. Sistem bilangan real yang diperluas
Sistem bilangan real diperluas terdiri dari sistem bilangan real dan
dua lambang +β dan ββ. Urutan dalam π tetap dipertahankan seperti
sebelum diperluas dan didefinisikan ββ < π₯ < +β untuk βπ₯ β π . Sistem
bilangan real diperluas diberi lambang π β π β = π βͺ ββ, +β .
Dari definisi tersebut jelas bahwa +β merupakan suatu batas atas
setiap himpunan bagian dari sistem bilangan real diperluas π β. Sehingga di
dalam π β setiap himpunan bagian pasti memiliki supremum. Himpunan
bilangan real yang tidak kosong dan tidak terbatas ke atas juga memiliki
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
13
supremum di dalam π β yaitu +β. Demikian juga himpunan bilangan real
yang tidak kosong dan tidak terbatas ke bawah mempunyai infimum dalam
π β yaitu ββ .
(Soemantri, 1988)
C. Topologi Dalam Ruang Metrik
Sebelum dibahas mengenai topologi dalam ruang metrik yang
meliputi himpunan terbuka dan himpunan tertutup, terlebih dahulu diberikan
definisi ruang metrik.
1. Ruang Metrik
Definisi II.C.1.
Diberikan himpunan π yang tidak kosong, yang elemen β elemennya
disebut titik. Didefinisikan fungsi bernilai real nonnegatif π pada π Γ π
(π fungsi dua variabel dengan variabel-variabel pada π) sebagai
berikut. Untuk βπ₯, π¦, π§ β π :
1) π π₯, π¦ β₯ 0
2) π π₯, π¦ = 0, jika hanya jika π₯ = π¦
3) π π₯, π¦ = π(π¦, π₯)
4) π π₯, π¦ β€ π π₯, π§ + π(π§, π¦)
Fungsi π yang memenuhi keempat fungsi di atas disebut fungsi jarak
atau metrik pada π. Nilai π(π₯, π¦) dinamakan jarak dari π₯ ke π¦. (π, π)
disebut ruang metrik karena dilengkapi π dengan fungsi π.
Contoh II.C.1. :
Apakah (π , π) ruang metrik jika π₯, π¦ = π₯ β π¦ , βπ₯, π¦ β π ?
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
14
Jawab :
Ambil sebarang , π¦, π§ β π , maka :
1) π π₯, π¦ = π₯ β π¦ > 0 untuk π₯ β π¦
2) (β¨)π π₯, π¦ = π₯ β π¦ = 0 β¨ π₯ β π¦ = 0 β¨ π₯ = π¦
β¦ π₯ = π¦ β¨ π₯ β π¦ = 0 β¨ π₯ β π¦ = 0 = 0 β¨ π π₯, π¦ = 0
3) π π₯, π¦ = π₯ β π¦
= β(β π₯ β π¦ )
= β1(βπ₯ + π¦)
= β1 π¦ β π₯
= β1 (π¦ β π₯) = 1 π¦ β π₯ = π¦ β π₯ = π π¦, π₯
4) π π₯, π¦ = π₯ β π¦ = π₯ β π§ + π§ β π¦
= π₯ β π§ + (π§ β π¦)
β€ π₯ β π§ + π§ β π¦ = π π₯, π§ + π(π§, π¦)
Jadi (π , π) merupakan ruang metrik
2. Persekitaran, Titik Limit dan Titik Interior
Apabila π, π ruang metrik, himpunan πΈ β π dan titik π β π,
maka bagian berikut ini dibahas mengenai persekitaran, titik limit dan
titik interior. Adapun pengertian dari persekitaran, titik limit dan titik
interior berturut β turut sebagai berikut.
Definisi II.C.2.a.
Untuk π > 0, persekitaran (Neighborhood) titik π dengan radius π
didefinisikan dengan ππ π = {π₯ β π, π π₯, π < π}. Titik π dinamakan
pusat persekitaran ππ π .
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
15
Definisi II.C.2.b.
Persekitaran π memuat titik π β πΈ dan π β π.
Dari definisi titik limit dapat disimpulkan bahwa
1) π adalah titik limit himpunan πΈ jika dan hanya jika :
(βπ > 0, ππ(π) β© πΈ β {π} β β
2) π bukan titik limit himpunan πΈ jika dan hanya jika :
(βπ > 0, ππ π β© πΈ β π = β .
Himpunan semua titik limit πΈ dinotasikan πΈβ² .
Contoh II.C.2.b.:
Diberikan himpunan πΈ = { π₯, π¦ β2 < π₯ β€ 2 dan β2 < π¦ β€ 2}
dengan πΈ β π 2 dilengkapi metrik usual
π π₯, π¦ = (π₯1 β π¦1)2 + (π₯2 β π¦2)2. Apakah titik πΎ(2,2) dan
πΏ β5
2,
9
4 merupakan titik limit πΈ ?
Jawab :
πΎ 2,2 merupakan titik limit πΈ, karena (βπ > 0, ππ(2,2) β© πΈ β {2,2} β β
Gambar II.C.2.b.1). Persekitaran titik (π, π) dengan radius r
π₯
π¦
β2
β2
2
2
ππ(2,2)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
16
Titik πΏ β5
2,
9
4 bukan merupakan titik limit πΈ, karena
(βπ > 0, ππ πΏ β© πΈ β πΏ = β yaitu π =1
8, sehingga
π18 β
5
2,9
4 β© πΈ β β
5
2,9
4 = β
Gambar II.C.2.b.2). Persekitaran titik βπ
π,π
π dengan radius
π
π
Definisi II.C.2.c.
Jika βπ > 0 sehingga ππ π β πΈ atau ada persekitaran titik π yang
dimuat di dalam himpunan πΈ. Himpunan semua titik interior πΈ diberi
notasi πΈπ
Contoh II.C.2.c.:
Diberikan himpunan π΄ = {π₯ β π 2 β€ π₯ < 5} . Apakah 2 merupakan
titik interior himpunan ?
Jawab :
Untuk 0 < π < 3 β ππ 2 = (2 β π, 2 + π) β π΄
π₯
π¦
β2
β2
2
2
9
4
β5
2
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
17
Untuk π > 3 β ππ 2 = (2 β π, 2 + π) β π΄
βπ > 0, ππ 2 β π΄ jadi 2 bukan titik interior himpunan π΄.
3. Himpunan Terbuka dan Himpunan Tertutup
Setelah mempelajari definisi dari titik interior dan titik limit
diberikan definisi dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup sebagai
berikut.
Definisi II.C.3.a.
Dinamakan himpunan terbuka jika setiap anggota πΈ merupakan titik
Interior himpunan πΈ. Jadi, πΈ terbuka jika πΈπ = πΈ.
Contoh II.C.3.a.
Jika pada π didefinisikan metrik diskrit π π₯, π¦ = 1 , π₯ β π¦ 0 , π₯ = π¦
dan
himpunan πΈ β π , dengan πΈ = {π₯ β π 0 β€ π₯ β€ 1} . Buktikan bahwa
himpunan πΈ terbuka !
Jawab :
Ambil π =1
2
Untuk π₯ β πΈ, π1
2
π₯ = π₯ β πΈ
Untuk π₯ β πΈ, π1
2
π₯ = π₯ β πΈ
Jadi βπ₯ β πΈ, βπ =1
2> 0 dimana ππ π₯ β πΈ, π₯ titik interior πΈ.
Dengan kata lain πΈ himpunan terbuka β .
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
18
Definisi II.C.3.b.
Dinamakan himpunan tertutup jika himpunan πΈ memuat semua titik
limitnya.
(Soemantri,1988)
Contoh II.C.3.b.:
Jika pada π didefinisikan metrik diskrit π π₯, π¦ = 1 , π₯ β π¦ 0 , π₯ = π¦
dan
himpunan πΉ β π , dengan πΉ = {1, 3, 4}. Selidiki apakah himpunan πΉ
tertutup!
Jawab :
Ambil π = 1
π1 1 β© πΉ β {1} = 1 β© 1, 3, 4 β 1 = 1 β 1 = β
π1 3 β© πΉ β {3} = 3 β© 1, 3, 4 β 3 = 3 β 3 = β
π1(4) β© πΉ β {4} = 4 β© 1, 3, 4 β 4 = 4 β 4 = β
Jadi βπ₯ β πΉ, βπ = 1 β π1 π₯ β© πΉ β {π₯} = β
Untuk βπ₯ β πΉ, ambil π = 1 β π1 π₯ β© πΉ β π₯ = π₯ β© πΉ β π₯
= β β π₯ = β
Jadi πΉβ² = β
Karena β merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan
berakibat πΉβ² β πΉ. Terbukti bahwa himpunan πΉ tertutup.
Teorema II.C.3.c.
Untuk sebarang ruang metrik, himpunan πΈ terbuka jika dan hanya jika
πΈπ tertutup.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
19
Untuk sebarang ruang metrik, himpunan πΈ tertutup jika dan hanya jika
πΈπ terbuka.
Teorema II.C.3.d.
Diberikan sebarang himpunan π΄ (berhingga atau tidak berhingga)
1) Jika πΊπ himpunan terbuka untuk βπ β π΄ maka πΊπ
πβπ΄
terbuka
2) Jika πΊπ himpunan tertutup untuk βπ β π΄ maka πΊπ
πβπ΄
tertutup
Teorema II.C.3.e.
1) Jika πΊ1, πΊ2, πΊ3 , β¦ β¦ . , πΊπ (berhingga) himpunan terbuka maka
πΊ
π
π=1
terbuka
2) Jika πΊ1, πΊ2, πΊ3 , β¦ β¦ . , πΊπ (berhingga) himpunan tertutup maka
πΊ
π
π=1
tertutup
Definisi II.C.3.c.
Diberikan π, π ruang metrik, πΎ β π)
Keluarga himpunan terbuka πΊπΌ πΌ β π΄ disebut suatu liput terbuka
ππππ πππ£ππ untuk himpunan πΎ jika πΎ β πΊπΌ
πΌβπ΄
Contoh II.C.3.c.1.
Jika π΄ β π dilengkapi metrik baku π΄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah π’ liput
terbuka π΄ jika = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 } ?
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
20
Jawab :
π’ = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 }
πΊ1 βͺ πΊ2 βͺ πΊ3 βͺ πΊ4 βͺ πΊ5 = (0,8)
Karena π΄ β πΊπ
5
πβ1
sehingga π’ liput terbuka π΄
Contoh II.C.3.c.2.
Jika π΄ β π dilengkapi metrik baku π΄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah π’ liput
terbuka π΄ jika = 0,3 , 1,5 , 2,7 ?
Jawab :
π’ = 0,3 , 1,5 , 2,7
πΊ1 = 0,3 β terbuka
πΊ2 = [1,5) β tidak terbuka
πΊ2 = 2,7 β tidak terbuka
Karena ada anggota π’ yang tidak terbuka maka π’ bukan merupakan
liput terbuka.
4. Ukuran Himpunan
Sebelum mempelajari definisi ukuran dari suatu himpunan,
terlebih dahulu diberikan definisi ukuran dari suatu interval.
πΊ1 πΊ2 πΊ3 πΊ4 πΊ5 β terbuka
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
21
Definisi II.C.4.a.
Ukuran interval terbuka (π, π) dinyatakan dengan π π, π dan
didefinisikan sebagai berikut π π, π = π β π.
Ukuran interval terbuka (π,β) atau (ββ, π) atau (ββ,β) didefinisikan
sebagai berikut π π,β = π ββ, π = π ββ,β = β.
Definisi II.C.4.b.
π β = 0, πΈ = himpunan terbuka tak terbatas sehingga π(πΈ) = β.
Definisi II.C.4.c.
Panjang suatu interval I dengan lambang β πΌ , didefinisikan sebagai
selisih antara titik ujung β ujungnya. Ukuran dari suatu himpunan E
diberi notasi π(E).
1) Jika I suatu interval maka π(πΌ) adalah β πΌ , dengan β πΌ β₯ 0 untuk
semua interval I.
2) Jika himpunan πΈ1 β πΈ2 maka π(πΈ1) β€ π(πΈ2).
3) Diberikan πΈ β π dan diambil π₯0 sebarang, π₯0 β π , didefinisikan
πΈ + π₯0 = {π₯ + π₯0 π₯ β πΈ} maka π(πΈ + π₯0) adalah π πΈ .
(Gordon, 1994)
Definisi II.C.4.d.
Diambil π himpunan terbuka di π maka π dapat ditulis sebagai
gabungan interval β interval terbuka yang saling asing {πΌπ}, maka
panjang himpunan π adalah jumlah dari panjang masing β masing
interval. Dengan kata lain :
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
22
β πΌ = β πΌπ
β
π=1
Terdapat dua ukuran di dalam suatu himpunan yaitu ukuran
luar dan ukuran dalam. Definisi dari kedua ukuran tersebut sebagai
berikut.
1) Ukuran Luar
Definisi II.C.4.1).
Diberikan himpunan πΈ β π . Ukuran luar πΈ diberi notasi πβ(πΈ)
yang didefinisikan sebagai berikut: πβ πΈ = Inf {π π : πΈ β π
dan π himpunan terbuka}
2) Ukuran Dalam
Definisi II.C.4.2).
Diberikan himpunan πΈ β π . Ukuran dalam πΈ diberikan notasi
πβ(πΈ) didefinisikan sebagai berikut: πβ πΈ = Sup{ π πΎ : πΈ β πΎ
dan πΎ himpunan tertutup}
Dari definisi diatas jelas bahwa πβ πΈ β€ πβ πΈ untuk himpunan πΈ dan
jika π΄ β π΅ maka πβ π΄ β€ πβ π΅ .
5. Himpunan terukur
Di bawah ini akan diberikan definisi dari himpunan yang terukur.
Definisi II.C.5.
Suatu himpunan πΈ β π dikatakan terukur jika ukuran luar sama dengan
ukuran dalam atau πβ πΈ = πβ πΈ .
(Royden,1968)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
23
D. Fungsi
Diberikan himpunan π΄, π΅ β π , fungsi π: π΄ β π΅ adalah suatu aturan
yang mengaitkan setiap unsur π₯ β π΄ dengan tepat satu unsur π¦ β π΅. Unsur π¦
yang berkaitan dengan unsur π₯ ini diberi lambang π¦ = π(π₯), yang dinamakan
aturan fungsi. Lambang π¦ = π π₯ , π₯ β π΄ menyatakan sebuah fungsi dengan
aturan π¦ = π π₯ yang terdefinisi pada himpunan π΄. Selanjutnya π₯ dinamakan
peubah bebas, dan π¦ yang nilainya bergantung dari π₯ dinamakan peubah tak
bebas.
Apabila terdapat suatu fungsi π¦ = π π₯ , π₯ β π΄, maka daerah asal
fungsi π adalah himpunan π΄, ditulis π·π = π΄ dan daerah nilai fungsi π adalah
himpunan π π = {π(π₯) π₯ β π΄ = π·π}. Unsur π π₯ β π΅ dinamakan nilai fungsi
π di π₯. Jika yang diketahui hanya π¦ = π π₯ maka daerah asal dan daerah nilai
fungsi π adalah π·π = {π₯ β π π(π₯) β π } dan π π = {π₯ β π π₯ β π·π} dengan π·π
merupakan daerah asal alamiah (Natural Domain) dari fungsi π dan π π
merupakan daerah nilai dari fungsi π. Daerah asal dan daerah nilai fungsi di
atas merupakan himpunan bagian dari π . Fungsi tersebut dinamakan fungsi
dengan peubah real dan bernilai real, disingkat fungsi real.
Gambar II.D.1. Fungsi π π
π·π π π
π
π₯
π(π₯)
π
π
π₯ π(π₯)
π
π·π π π
π
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
24
1. Fungsi Terbatas
Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi yang terbatas
sebagai berikut.
Definisi II.D.1.
Fungsi π dikatakan terbatas jika β π > 0 , βπ₯ β π·π dengan
π(π₯) β€ π.
Dari ingkaran definisi tersebut dapat di simpulkan bahwa Fungsi
π dikatakan tidak terbatas jika β π > 0 , βπ₯π β π·π dengan
π(π₯) > π.
(Martono,1999 )
Contoh II.D.1 :
a. Fungsi π π₯ = cos π₯ terbatas karena π(π₯) = cos π₯ β€ 1 untuk
βπ₯ β π·π dan π·π β π .
b. Fungsi π π₯ = π₯ + 1 tidak terbatas pada interval 0, β karena
untuk π > 0, terdapat π₯0 = 2π > 0 sehingga
π π₯0 = π 2π = 2π + 1 > π.
2. Limit fungsi
Limit suatu fungsi merupakan konsep dasar diferensial dan
integral. Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian limit fungsi.
Definisi II.D.2.a.
Diberikan fungsi π terdefinisi pada interval terbuka πΌ yang memuat π,
kecuali mungkin di π sendiri. Limit fungsi π di π adalah πΏ (ditulis
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
25
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ, atau π π₯ β πΏ bila π₯ β π) jika
βν > 0 βπΏ > 0 β 0 < π₯ β π < πΏ β¨ π π₯ β πΏ < ν
Gambar II.D.2.a. Limit Fungsi π di titik π
(Martono,1999 )
Contoh II.D.2.a. :
Buktikan limπ₯β1
(2π₯ + 3) = 5 !
Jawab :
Ambil sebarang ν > 0 , apakah ada πΏ > 0 sehingga untuk setiap π₯
dengan 0 < π₯ β 1 < πΏ berlaku (2π₯ + 3) β 5 < ν.
(2π₯ + 3) β 5 = 2π₯ β 2 = 2(π₯ β 1) = 2 π₯ β 1 < 2πΏ
Untuk 0 < π₯ β 1 < πΏ berakibat (2π₯ + 3) β 5 < 2πΏ.
Untuk setiap ν > 0 , agar 2π₯ + 3 β 5 < ν maka dipilih 2πΏ = ν atau
πΏ =1
2ν
Jadi untuk setiap ν > 0 ada > 0 , yaitu πΏ =1
2ν sehingga untuk 0 <
π₯ β 1 < πΏ β¨ (2π₯ + 3) β 5 < ν dan terbukti bahwa
π¦
πΌ
0 π₯ π₯
πΏ
π
π(π₯)
π(π₯)
π₯
π
β
β
π β πΏ π + πΏ
πΏ β ν
πΏ + ν
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
26
limπ₯β1
(2π₯ + 3) = 5.
Definisi II.D.2.b.
Diberikan fungsi π terdefinisi pada interval (π, π). Limit kanan fungsi
π di c adalah L (ditulis limπ₯βπ+
π π₯ = πΏ, atau π π₯ β πΏ bila π₯ β π+)
jika βν > 0 βπΏ > 0 β 0 < π₯ β π < πΏ β¨ π π₯ β πΏ < ν.
Diberikan fungsi π terdefinisi pada interval π, π . Limit kiri fungsi π
di π adalah πΏ (ditulis limπ₯βπβ
π π₯ = πΏ, atau π π₯ β πΏ bila π₯ β πβ) jika
βν > 0 βπΏ > 0 β 0 < π β π₯ < πΏ β¨ π π₯ β πΏ < ν.
Contoh II.D.2.b.:
Diberikan fungsi π π₯ =
π₯β4
π₯β2 , π₯ β€ 4
π₯2
4 , π₯ > 4
Tentukan (jika ada) :
1. limπ₯β4+
π(π₯)
2. limπ₯β4β
π(π₯)
3. limπ₯β4
π(π₯)
Jawab :
1. limπ₯β4+
π(π₯) = limπ₯β4
π₯2
4= 4
2. limπ₯β4β
π π₯ = limπ₯β4
π₯ β 4
π₯ β 2= lim
π₯β4
π₯ + 2 π₯ β 2
π₯ β 2
= limπ₯β4
π₯ + 2 = 4
3. karena limit kanan sama dengan limit kiri maka limit fungsi ada
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
27
dan limπ₯β4
π(π₯) = 4
3. Fungsi kontinu
a. Fungsi kontinu di suatu titik
Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat
suatu titik dengan daerah asal fungsi himpunan sebarang yang
memuat suatu titik dimana limit fungsi tidak diketahui, maka
kekontinuan fungsinya didefinisikan sebagai berikut.
Definisi II.D.3.a.
Fungsi π dikatakan kontinu di π β π·π jika
βν > 0 βπΏ > 0 β π₯ β π < πΏ β¨ π π₯ β π(π) < ν
(Martono,1999 )
Contoh II.D.3.a. :
Selidiki apakah π π₯ = 2π₯ + 5 kontinu di π₯ = 3
Jawab :
Ambil sebarang ν > 0 diselidiki apakah βν > 0 βπΏ > 0 sedemikian
sehingga π₯ β 3 < πΏ berlaku π π₯ β π(π) < ν.
π π₯ β π π = 2π₯ + 5 β 2.3 + 5 = 2π₯ β 6 = 2 π₯ β 3 < ν
Untuk π₯ β 3 < πΏ β¨ 2 π₯ β 3 < 2πΏ sehingga
π π₯ β π(π) =2 π₯ β 3 < 2πΏ untuk βν > 0 agar
π π₯ β π(π) < ν , maka dapat dipilih ν = 2πΏ atau πΏ =Ξ΅
2
Jadi untuk βν > 0 βΞ΅
2> 0 sehingga untuk π₯ β 3 < πΏ berlaku
π π₯ β π(π) < ν. Dengan kata lain fungsi π kontinu di π₯ = 3.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
28
Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat
suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan
dengan limit fungsi. Berdasarkan Definisi II.D.3.a. dapat dikatakan
bahwa fungsi π π₯ kontinu di π₯ = π jika :
1. π π₯ harus ada, yaitu didefinisikan di π₯ = π
2. limπ₯βπ
π π₯ ada
3. limπ₯βπ
π π₯ = π π
b. Kontinu Kiri dan Kanan
Sejalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan, maka
didefinisikan fungsi kontinu kiri dan kontinu kanan di satu titik
sebagai berikut.
Definisi II.D.3.b.
Diberikan fungsi π terdefinisi pada interval π, π . Fungsi π
dikatakan kontinu kiri di π jika limπ₯βπβ
π π₯ = π(π).
Diberikan fungsi π terdefinisi pada interval [π, π). Fungsi π
dikatakan kontinu kanan di π jika limπ₯βπ+
π π₯ = π(π).
c. Fungsi kontinu pada suatu interval
Kekontinuan suatu fungsi dapat didefinisikan pada interval
terbuka dan interval tertutup. Terdapat sembilan interval yang
mungkin, yaitu π, π , π, π , π, π , π, π , π, β , π, β , ββ, π ,
ββ, π dan (ββ, β). Berikut ini didefinisikan kekontinuan fungsi
pada dua selang sebagai berikut.
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
29
Definisi II.D.3.c.1).
Fungsi π dikatakan kontinu pada interval terbuka π, π jika fungsi π
kontinu di setiap titik (π, π).
Definisi II.E.3.c.2).
Fungsi π dikatakan kontinu pada interval tertutup [π, π] jika fungsi π
kontinu pada interval terbuka (π, π), kontinu kanan di π dan kontinu
kiri di π.
(Martono,1999 )
Contoh II.D.3.c.
Selidiki apakah fungsi π π₯ =1
π₯ kontinu pada [1, β)?
Jawab :
Akan dibuktikan bahwa π kontinu pada interval (1, β), dan kontinu
kanan di 1. Berdasarkan Definisi II.D.3.b. dan Definisi
II.D.3.c. diperoleh: limπ₯β1+
π π₯ = limπ₯β1
1
π₯=
1
1= 1 = π 1 = π(π₯)
Jadi, π kontinu pada π·π = 1, β .
4. Differensial atau Turunan
Di bawah ini akan diberikan definisi dari Differensial atau
Turunan sebagai berikut.
Definisi II.D.4.
Diberikan interval πΌ β π , Jika fungsi π: πΌ β π dan π β πΌ maka L disebut
differensial atau turunan f di c jika βν > 0 βπΏ > 0 sehingga untuk
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
30
βπ₯ β πΌ dengan 0 < π₯ β π < πΏ berlaku π π₯ βπ(π)
π₯βπβ πΏ < ν atau turunan
dari f di
π jika limπ₯βπ
π π₯ β π(π)
π₯ β π= π β² π dimana π β² π = πΏ
(Bartle anf Sherbert, 2000)
Fungsi π dikatakan mempunyai turunan di π jika πββ² π = π+
β² (π) serta
π β² π = πββ² π = π+
β² (π).
Dengan πββ² (π) = lim
π₯βπβ
π π₯ βπ π
π₯βπ dan π+
β² (π) = limπ₯βπ+
π π₯ βπ π
π₯βπ
Contoh II.D.4.
Selidiki apakah π π₯ = 7π₯ β 2 , π₯ < 1
2π₯2 + 3π₯, π₯ β₯ 1 mempunyai turunan di π₯ = 1,
jika ya, tentukan πβ² 1 !
Jawab :
πββ² 1 = lim
π₯β1β
π π₯ β π 1
π₯ β 1= lim
π₯β1
7π₯ β 2 β (2. 12 + 3.1)
π₯ β 1
= limπ₯β1
7π₯ β 2 β 5
π₯ β 1
= limπ₯β1
7π₯ β 7
π₯ β 1= lim
π₯β1
7 π₯ β 1
π₯ β 1= 7
π+β² (1) = lim
π₯β1+
π π₯ β π 1
π₯ β 1= lim
π₯β1
2π₯2 + 3π₯ β 2. 12 + 3.1
π₯ β 1
= limπ₯β1
2π₯2 + 3π₯ β 5
π₯ β 1
= limπ₯β1
2π₯ + 5 π₯ β 1
π₯ β 1
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
31
= limπ₯β1
2π₯ + 5 = 2.1 + 5 = 7
Karena πββ² 1 = π+
β² (1) maka π mempunyai turunan di π₯ = 1 dengan
π β²(1) = 7
5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Pada bagian ini dibahas mengenai definisi dari fungsi naik, fungsi
turun, fungsi naik monoton dan fungsi turun monoton.
Definisi II.D.5.a.
Fungsi π: πΌ β π dikatakan naik pada interval πΌ jika π₯1 < π₯2 maka
π π₯1 < π π₯2 , βπ₯1, π₯2 β πΌ
Fungsi π: πΌ β π dikatakan turun pada interval πΌ jika π₯1 < π₯2 maka
π π₯1 > π π₯2 , βπ₯1, π₯2 β πΌ
Definisi II.D.5.b.
Fungsi π: (π, π) β π dikatakan naik monoton pada (π, π) jika
π < π₯1 < π₯2 < π maka π π₯1 β€ π π₯2 , βπ₯1, π₯2 β (π, π)
Fungsi π: πΌ β π turun monoton pada (π, π) jika π < π₯1 < π₯2 < π maka
π π₯1 β₯ π π₯2 , βπ₯1, π₯2 β (π, π)
(Martono, 1999)
Contoh II.D.5.a.
Diberikan fungsi π π₯ = 2π₯ + 3.
Selidiki apakah π π₯ fungsi naik atau fungsi turun!
Jawab :
Ambil π₯1 < π₯2
π₯1 < π₯2 β 2π₯1 < 2π₯2
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
32
β 2π₯1 + 3 < 2π₯2 + 3
β π(π₯1) < π(π₯2)
Jadi, π(π₯) merupakan fungsi naik
Contoh II.D.5.b.
Diberikan fungsi π π₯ = β2π₯ + 3.
Selidiki apakah π π₯ fungsi naik atau fungsi turun!
Jawab :
Ambil π₯1 < π₯2
π₯1 < π₯2 β β2π₯1 > β2π₯2
β β2π₯1 + 3 > β2π₯2 + 3
β π(π₯1) > π(π₯2)
Jadi, π(π₯) merupakan fungsi turun
6. Fungsi terukur
Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi terukur sebagai
berikut.
Definisi II.D.6.a.
Suatu π: πΈ β π adalah terukur jika πΈ adalah himpunan terukur dan untuk
setiap π β π , himpunan π₯ β πΈ π π₯ > π adalah terukur.
Teorema II.D.6.b.
Diberikan πΈ himpunan terukur dan jika π: πΈ β π kontinu hampir
dimanaβmana pada πΈ, maka π terukur.
(Gordon,1994)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
33
7. Pendekatan Derivatif (Approximate Derivative)
Di bawah ini akan diberikan definisi dari pendekatan derivatif
sebagai berikut.
Definisi II.D.7.
Suatu fungsi terukur π dikatakan mempunyai pendekatan derivatif atas
πΉππ pada π₯0 jika πΉππ π₯0 = ap- limπ₯βπ₯0
sup π π₯ β π π₯0
π₯ β π₯0 ada
Dan juga untuk pendekatan derivatif bawah
πΉππ pada π₯0 jika πΉππ π₯0 = ap- limπ₯βπ₯0
inf π π₯ β π π₯0
π₯ β π₯0 ada
Definisi II.D.7.
Suatu fungsi terukur π mempunyai suatu pendekatan derivatif di π₯0 atau
πΉβ²ππ π₯0 jika πΉππ π₯0 = πΉππ π₯0
Adapun sifat β sifat dari pendekatan derivatif adalah sebagai berikut.
a. πΉππ (π) β€ πΉππ (π)
b. πΉππ βπ = βπΉππ (π)
c. πΉππ π1 + π2 β₯ πΉππ (π1) + πΉππ (π2)
d. πΉππ π1 + π2 β₯ πΉππ (π1) + πΉππ (π2)
e. Jika π hampir terdiferensialkan, maka π terdekati secara kontinu.
(Wittaya,1979)
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
34
8. Fungsi kontinu mutlak
Di dalam definisi fungsi kontinu mutlak terdapat interval yang
tidak saling tumpang tindih. Adapun definisi dari interval yang tidak
saling tumpang tindih sebagai berikut.
Definisi II.D.8.a.
Dua interval πΌ dan π½ di dalam π dikatakan tidak saling tumpang tindih
jika irisan antara interior masing-masing interval kosong, πΌπ π½π = β .
Jika tidak demikian πΌ dan π½ dikatakan saling tumpang tindih.
Contoh II.D.8.a.:
Diketahui interval πΌ = 1,2 dan π½ = [2,3]. Apakah interval πΌ dan π½
merupakan interval tidak tumpang tindih?
Jawab :
Jika πΌ = 1,2 maka πΌπ = (1,2) dan π½ = [2,3] maka π½π = (2,3). Sehingga
menurut Definisi II.D.8.a. maka πΌπ π½π = 1,2 2,3 = β .
Berikut adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak atau yang
lebih dikenal dengan AC (absolutely continuous) dan fungsi kontinu
mutlak teritlak (generalized absolutely continuous) atau ACG.
Definisi II.D.8.b.
Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak (absolutely continuous) atau
AC pada [π, π] jika untuk βν > 0 terdapat πΏ > 0 sehingga jika
ππ β ππ < πΏπ berlaku πΉ(ππ) β πΉ(ππ) < νπ untuk setiap
[ππ , ππ : 1 β€ π β€ π} koleksi berhingga interval yang tidak saling
tumpang tindih πΌπ di dalam [π, π].
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
35
Definisi II.D.8.c.
Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak teritlak (generalized absolutely
continuous) atau ACG pada [π, π] jika [π, π] merupakan gabungan
sejumlah himpunan terbatas ππ , π = 1,2, β¦ β¦, pada setiap fungsi F
adalah AC.
(Gordon, 1994)
9. Sifat hampir dimana-mana
Di bawah ini akan diberikan definisi dari sifat hampir dimana β
mana sebagai berikut.
Definisi II.D.9.
Suatu fungsi dikatakan mempunyai sifat π pada πΈ hampir dimana β mana
jika fungsi tersebut bersifat P pada πΈ kecuali untuk himpunan π΄ β πΈ dan
π π΄ = 0.
Contoh II.D.9. :
Suatu π: πΈ β π dan π: πΈ β π adalah sama atau π = π hampir dimana β
mana pada πΈ jika dan hanya jika π π₯ = π(π₯) untuk βπ₯ β πΈ β π΄ dengan
π π΄ = 0 dan π(π₯) β π(π) untuk π: πΈ β π untuk βπ΄ β πΈ dengan
π π΄ = 0.
E. Integral
Diberikan fungsi π yang terdefinisi pada interval terbuka I, ditentukan suatu
fungsi πΉ yang memenuhi πΉβ² π₯ = π(π₯) pada I. Fungsi πΉ seperti ini
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013
36
dinamakan anti turunan (integral) atau fungsi primitif dari fungsi f pada
interval I.
(Martono, 1999)
Integral terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu. Integral
tersebut terletak pada batasnya, dimana Integral tentu memiliki batas atas dan
batas bawah.
Pada bagian ini dibahas mengenai sifat β sifat yang berlaku pada
integral tentu.
Jikal π π₯ dan π π₯ adalah fungsi kontinu maka:
1. β« π π₯ ππ₯π
π= 0
2. β« π π₯ ππ₯π
π= β β« π π₯ ππ₯
π
π
3. β« ππ π₯ ππ₯π
π= π β« π π₯ ππ₯
π
π, dengan π konstanta
4. β« [π π₯ Β± π π₯ ]ππ₯π
π= β« π π₯ ππ₯
π
πΒ± β« π π₯ ππ₯
π
π
5. β« π π₯ ππ₯π
π= β« π π₯ ππ₯
π
π+ β« π π₯ ππ₯
π
π , dengan π < π < π
(Purcell,1984)
F. Integral Khintchine
Suatu fungsi π: [π, π] β π terintegral Khintchine pada [π, π] jika
terdapat suatu fungsi kontinu πΉ sedemikian sehingga πΉ kontinu mutlak
teritlak atau ACG pada π, π dan pendekatan derivatifnya πΉππβ² = π hampir
dimana β mana pada π, π .
Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013