Euclid Geometry

1

BAB I PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi

yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda

abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,

didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian

baru sebelumnya.

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang

tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat.

Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui

pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang

disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil

sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat

diterima melalui serangkaian pembuktian.

Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu

pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu

sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam

lambang. Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C dan

seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat

juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca: garis AB̅̅ ̅̅ ), dan

lambang-lambang yang lain seperti AB ⃡ yang menunjukkan segmen AB.

Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari

jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika

tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid,

kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok

persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan.

Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan

kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti

tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan

Euclid Geometry

2

ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan

gambar.

Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah

kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi

oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut

dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu

pada sisi transversal tersebut.

Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran

pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan

mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan

pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti

detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan

menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai

dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku

ajar.

Euclid Geometry

3

BAB II PEMBAHASAN

A. GEOMETRI EUCLID

Tidak banyak orang yang

beruntung memperoleh

kemasyhuran yang abadi seperti

Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang

besar. Meskipun semasa hidupnya

tokoh-tokoh seperti Napoleon,

Martin Luther, Alexander yang

Agung, jauh lebih terkenal

ketimbang Euclid tetapi dalam

jangka panjang ketenarannya

mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.

Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai

kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai

guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan

kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota

apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada

yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya

yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak

ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan

Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios,

Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum

Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar

dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti

yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma

sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius

dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di

Buku I.

Euclid Geometry

4

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-

rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku

itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan

kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan

dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan

penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil

serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis

lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil

sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia

menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan

mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.

Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan

pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung

bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000

tahun dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun

manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya

saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang

sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa

Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai

bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan

mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah

dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.

Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih

berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu

merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus

merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.

Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor

penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah

sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula

sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu

Euclid Geometry

5

pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan

percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang

punya dasar kuat di lain pihak.

Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan

bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah

semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh

orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna

yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang

ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa

sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme

Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani

kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina–meskipun berabad-abad lamanya

teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa–tak pernah memiliki struktur

matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang

matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina

menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi

pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang

mengandung kesimpulan.

Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-

prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar

karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada

umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah

sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan

dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang

sesungguhnya.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak

Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian,

mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan

Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara

logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli

matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.

Euclid Geometry

6

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid,

bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh

serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun

terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya,

sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa

geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala

yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron -

-misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak

memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan

penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi,

contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan

kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan

manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid

maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

The Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan proposisi-

proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal

kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar,

teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema

Pythagoras. Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan

teoremanya tidak lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku 3 menyelidiki

lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudut-

sudut yang digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak beraturan dan lingkaran-

lingkaran yang mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan teori aritmetika tentang

perbandingan. Buku 6 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang

datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar. Buku 7 menguraikan teori

bilangan dasar: misalnya bilangan prima, faktor persekutuan terbesar, dan lain-

lain. Buku 8 terkait dengan deret geometri. Buku 9 memuat macam-macam

aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema-teorema

ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. Buku 10

berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan (dengan kata lain

irasional) menggunakan apa yang disebut “metode keletihan”, suatu rintisan

Euclid Geometry

7

integral kuno. Buku 11 menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung,

dan bola menggunakan metode keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa

yang biasa disebut lima benda padat platonis.

B. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID

Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah :

1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu

sama lainnya.

2. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.

3. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama.

4. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya.

5. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau

bentuknya.

6. Setiap sudut memiliki bisektor.

7. Setiap segmen memiliki titik tengah.

8. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis.

9. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan

segmen yang diberikan.

10. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang

diketahui.

11. Semua sudut siku – siku sama besar.

Dari postulat – postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar.

Diantaranya adalah :

1. Sudut bertolak belakang sama besar.

2. Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS )

3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan konversinya

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut

5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal

6. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi

yang telah diberikan sebelumnya.

Euclid Geometry

8

7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama

pada sisi segitiga yang diketahui.

Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju

perkembangan lebih lanjut.

Teorema 1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior segitiga akan lebih besar

daripada sudut interior terpencil manapun.

Bukti. Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan

perpanjangan dari BC̅̅̅̅ melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior

∠ACD lebih besar dari ∠A. misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan

BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE =

EF dan ∠AEB = ∠CEF ( sudut bertolak belakang sama besar ). Jadi ∆ AEB = ∆

CEF ( SAS ), dan ∠BAE = ∠FCE ( akibat segitiga kongruen ). Karena ∠ACD >

∠FCE ( keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya ), maka disimpulkan

bahwa ∠ACD > ∠BAE = ∠A.

Untuk menunjukkan bahwa ∠ACD > ∠B, perluas 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ melalui C hingga H, yang

membentuk ∠BCH. Kemudian tunjukkan bahwa ∠BCH > ∠B, dengan

menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik

tengah BC̅̅̅̅ , perluas panjang AM̅̅̅̅̅melalui M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti,

perhatikan bahwa ∠BCH dan ∠ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga

sudut tersebut sama besar.

Pernyataan ∠ACD > ∠FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah

melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting.

Euclid Geometry

9

Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk

pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar.

Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar

jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal

membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut

interior dalam berseberangan, ∠1 dan ∠2, yang sama besar, dan misalkan garis l

dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang

membentuk ∆ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi yang lainnya.

Untuk kasus lainnya, sudut eksterior ∆ ABC sama dengan sudut interior terpencil.

(misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai ∠2 maka sudut eksterior ∠1

sama dengan sudut interior terpencil ∠2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema

sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar.

Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.

Sebagai akibat langsung akibat 1 adalah

Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik

eksternal.

Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada garis l, maka

akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.

Euclid Geometry

10

Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q,

dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan

garis l menurut akibat 1.

Teorema 3. Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180o.

Bukti. Misalkan ∆ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa

∠A + ∠B < 180o. Perluas CB melalui B hingga ke D. maka ∠ABD merupakan

sudut eksterior ∆ABC. Dengan menggunakan teorema 1, ∠ABD > ∠A, tetapi

∠ABD = 180o - ∠B.dengan mensubstitusikan untuk ∠ABD pada relasi pertama,

maka : 180o - ∠B > ∠A, atau 180o > ∠A + ∠B. Jadi, ∠A + ∠B < 180o, dan

teorema tersebut terbukti.

Pengganti Postulat Sejajar Euclid

Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini :

Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis

tersebut.

Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan

dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama.

Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan

pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut

memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan

pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan

pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali

postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema;

dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama

dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama

Euclid Geometry

11

dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan

mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan

dideduksi sebagai suatu teorema.

Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair

Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair.

Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan

dideduksi postulat Playfair.

Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan

bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis

melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara

menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l

dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada 𝑃𝑄 ⃡ . Maka garis m

sejajar garis l.

Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan

garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan

∠1, ∠2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan 𝑃𝑄 ⃡ . Maka ∠1 bukan

merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit,

berlawanan dengan asumsi. Jadi ∠1 atau ∠2 adalah sudut lancip, misalnya ∠1

yang merupakan sudut lancip.

Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga

membentuk sudut lancip ∠1 dan sudut siku – siku, yang merupakan sudut interior

pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut

kurang dari 180o, postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan

bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu – satunya garis

Euclid Geometry

12

yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat

Playfair dari postulat sejajar Euclid.

Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat

sejajar Euclid.

Gambar 2.6

Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk ∠1

dan ∠2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki

jumlah sudut kurang dari 180o ( gambar 2.6 ), adalah :

(1) ∠1 + ∠2 < 180o

Misalkan ∠3 menunjukkan tambahan ∠1 yang terletak pada sisi berlawanan

𝑃𝑄 ⃡ dari ∠1 dan ∠2 ( gambar 2.6 ), maka :

(2) ∠1 + ∠3 = 180o

Dari hubungan (1), (2) maka :

(3) ∠2 < ∠3

Pada titik P, bentuk ∠QPR yang sama dengan dan yang interior dalam

berseberangan dengan ∠3. Maka ∠2 < ∠PQR, sehingga 𝑅𝑃 ⃡ berbeda dari garis m.

menurut teorema 2, 𝑅𝑃 ⃡ sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m

tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu.

Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari 𝑃𝑅 ⃡ dari ∠1 dan

∠2, katakanlah di titik E maka ∠2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya

∠2 > ∠3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m

dan l bertemu pada sisi garis transversal 𝑃𝑄 ⃡ yang memuat ∠1 dan ∠2. Jadi

Euclid Geometry

13

postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat

tersebut menjadi ekivalen.

C. PERAN POSTULAT SEJAJAR EUCLID

Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan

beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan :

1. Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut

interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar.

2. Jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.

3. Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar.

4. Garis sejajar selalu berjarak sama.

5. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.

6. Teori luas menggunakan unit persegi.

7. Teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran

sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.

Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat

penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori

luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal

itu.

Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa

sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid

manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya

sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut.

Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki

kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian

dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba

mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat

tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti.

Euclid Geometry

14

D. TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETRY

Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid

Prolus (410-485) memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid yang

kita ringkas sebagai berikut :

Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P

merupakan titik tidak berada pada garis l (gambar 2.7). kita bentuk garis m

melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan PQ ⃡

tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus dengan PQ ⃡ di P. Sekarang,

anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n

membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi

kanan PQ ⃡ . Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah

yang dibatasi oleh garis l, m dan PQ ⃡ . Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik

di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan XY̅̅̅̅ tegak lurus dengan l di Y

dan misalkan garis XY̅̅̅̅ tersebut bertemu dengan garis n di Z. Maka XY̅̅̅̅ > XZ̅̅̅̅ .

Misalkan X mundur di garis m, maka XZ̅̅̅̅ meningkat secara tidak menentu, karena

XZ̅̅̅̅ setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n.

Jadi XY̅̅̅̅ juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar

harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah.

Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan

garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat

sejajar Euclid.

Euclid Geometry

15

Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi :

a. jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke

garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut

mundur (menyusut) tak berujung.

b. segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis

merupakan segmen yang tegak lurus.

c. jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.

(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti

persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai

postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi.

Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar

Proclus. Postulat sejajar Euclid mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar

selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat

dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid.

Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan

bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut.

Percobaan Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid

Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang

geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun

saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan

pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya

ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan

menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat

sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.

Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama

panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang

postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut

yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan

segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10).

Euclid Geometry

16

Saccheri membuktikan bahwa ∠C = ∠D dan kemudian mempertimbangkan tiga

kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

1. hipotesis tentang sudut siku-siku (∠C = ∠D = 90°)

2. hipotesis tentang sudut tumpul (∠C = ∠D > 90°)

3. hipotesis tentang sudut lancip (∠C = ∠D < 90°)

Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku

akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut

sebarang segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:

Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip

keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut

siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki

alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi.

Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya

ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai

berikut:

Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.

Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari

sifat di bawah ini di penuhi:

a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut

divergen dari titik perpotongan.

b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang

sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari

garis tegak lurus yang sama tersebut.

Euclid Geometry

17

c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang

sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah,

dan divergen pada arah lainnya.

Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir

harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang

bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri

Euclid.

Euclid Geometry

18

BAB III PENUTUP

KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat ditarik dari penyusunan makalah ini adalah sebagai

berikut:

1. Geometri Euclid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema

("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas,

artinya hasil-hasil penting/teorema-teorema tersebut merupakan akibat dari

postulat sejajar.

2. Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil

yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak

akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori

Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan

apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat

lainnya yang lebih pasti.