bab 5-madis tree.pdf
TRANSCRIPT
Bab V Tree
BAB V TREE
1.Pengantar
Pada bab 1 dan 4 telah dibahas Teori Himpunan dengan objek diskrit dan graf
beserta beberapa contoh soal dan latihan materi yang telah dipelajari tersebut
mendasari dalam mempelajari materi tree(pohon) pada bab ini.
2. Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat memahami pentingnya
mempelajari tree (aplikasi graf ) dan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari
secara tepat.
3. Pokok bahasan: Pohon (Tree)
Sub Pokok bahasan :
Definisi Pohon (Tree) Hutan (forest)
Pewarnaan pohon
Pohon Perentang(spanning tree)
Terminologi pada pohon berakar
Pohon terurut
Pohon m-aray
Pohon Biner
Pohon Ekspresi
Pohon Keputusan
Kode Huffman
4. Kegiatan Belajar :
Pohon (Tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung
sirkuit. Konsep pohon merupakan salah satu konsep dari graf yang terapannya
Matematika diskrit V-1
Bab V Tree
banyak digunakan baik di bidang ilmu komputer maupun bidang lain yang mengkaji
pohon sebagai obyek matematika. Pada kehidupan sehari hari tanpa disadari kita
telah menerapkan konsep tree untuk menggambarkan hirarki, misalnya hirarki silsilah
keluarga, pertandingan olah raga, struktur organisasi. Penggunaan dalam tata bahasa
seperti untuk menguraikan kalimat yang disebut dengan pohon parsing(parse tree)
Menurut sejarah, teori pohon(tree) telah digunakan sejak tahun 1857 yaitu
matematikawan Inggris Arhtur cayley menerapkan teori pohon untuk menghitung
jumlah senyawa kimia. Pada bab 5 ini kita akan membahas tree yang ditinjau dari
teori graf.
Definisi 5.1. Pohon(tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak
mengandung sirkuit
Contoh 5.1.
Gambar 5.1. : G1 pohon , G2 dan G3 bukan pohon Gambar 5.1. menerangkan bahwa G1 merupakan pohon karena G1 merupakan graf
tak berarah terhubung dan tidak mengandung sirkuit, G2 bukan pohon karena dalam
graf G2 memuat sirkuit dan G3 juga bukan pohon karena grafnya tak terhubung.
Apabila G = (V,E) adalah pohon maka V tidak boleh berupa himpunan
kosong, tetapi E boleh berupa himpunan kosong. Contohnya graf yang terdiri atas
satu simpul, disini V tidak kosong tetapi himpunan sisi E kosong.
4.1. Hutan (forest)
Forest adalah kumpulan pohon yang saling lepas, atau graf yang tidak
terhubung dan tidak mengandung sirkuit.
Matematika diskrit V-2
Bab V Tree
Pohon didefinisikan juga sebagai graf tidak berarah dengan sifat bahwa
hanya terdapat sebuah lintasan tunggal antara setiap pasang simpulnya .
Contoh 5.2.
Gambar 5.2. : Hutan yang terdiri atas tiga buah pohon
Ketiga graf gambar 5.2 merupakan hutan yang terdiri atas tiga pohon yang saling lepas atau
tidak terhubung.
Sifat Pohon :
Sifat–sifat pohon dapat diperhatikan pernyataan pada teorema 5.1 sebagai
berikut.
Teorema 5.1. : Misalkan G = (V,E) adalah graf tidak berarah sederhana dengan jumlah simpulnya n. Maka pernyataan berikut ekivalen :
1. G adalah pohon
2. Setiap pasang simpul didalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n-1 buah sisi
4. G tidak mengandung sirkuit dan memilik m = n-1 buah sisi.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan
membuat hanya satu sirkuit .
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan ( Jembatan adalah sisi
yang apabila dihapus menyebabkan graf tidak terhubung).
4.2. Pewarnaan pohon
Apabila ditinjau dari teori pewarnaan graf, maka pohon mempunyai
bilangan kromatik 2 dengan kata lain dua buah warna cukup untuk mewarnai
Matematika diskrit V-3
Bab V Tree
simpul - simpul di pohon sedemikian tidak ada dua buah simpul yang bersisian
mempunyai warna sama. Untuk ilustrasi diberikan pohon dengan simpul
bertetangga diberi dua warna yang berbeda sbb:
Contoh 5.3 : Diberikan tree yang simpul bersisian akan diberi warna yang
berbeda maka dalam pewarnaannya cukup menggunakan dua warna.
Gambar 5.3. Tree yang simpulnya akan diberi warna
Jawab :
Diambil dua buah warna untuk mewarnai simpul-simpul misal merah dan
hijau dalam pewarnaannya dua simpul yang bersisian diberi warna yang berbeda
apabila simpul a diberi warna merah maka simpul b diberi warna hijau karena
simpul b bersisian dengan simpul a. Karena simpul b berwarna hijau maka
simpul c berwarna merah dan simpul d, e, f berwarna hijau karena bersisian
dengan simpul c. Maka simpul yang berwarna merah : a, c dan yang berwarna
hijau b, d, e, f jadi dua warna pada contoh tersebut merah dan hijau dapat
digunakan untuk mewarnai tree yang dimaksud .
4.3 Pohon Perentang (spanning tree)
Misalkan G =( V, E ) adalah graf tidak berarah terhubung yang bukan
pohon maka graf G memuat beberapa sirkuit. Graf G dapat diubah menjadi
pohon T = ( Vi, Ei) dengan cara memutuskan sirkuit yang ada yaitu :
Matematika diskrit V-4
Bab V Tree
1. Pilih salah satu circuit lalu putuskan dengan Graf G tetap terhubung.maka
jumlah circuit berkurang satu.
2. Lakukan proses tersebut sehingga circuitnya hilang dari graf G.
maka graf G berubah menjadi pohon T, yang disebut dengan Pohon perentang
(spanning tree). Dalam hal ini simpul dalam T sama dengan simpul dalam graf G
sedangkan sisi dalam T merupakan bagian dari sisi dalam graf G.
Contoh 5.4: Dari graf G sbb
Gambar 5.4. Graf yang akan dijadikan tree
Dapat dibangun pohon (tree) dengan cara menghapus circuit satu demi
satu sehingga diperoleh tree sbb :
Gambar 5.5 Tree yang mungkin terjadi
T1 , T2 dan T3 , adalah pohon yang diperoleh dengan menghapus circuit pada graf G
Gambar 5.4. 4.3.1. Pohon Rentang Minimum (minimum spaning tree).
Apabila G adalah graf berbobot, maka bobot pohon rentang T dari G
didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon rentang yang berbeda
Matematika diskrit V-5
Bab V Tree
mempunyai bobot yang berbeda pula . Diantara semua pohon rentang dalam graf
G, pohon rentang yang berbobot minimum dinamakan pohon rentang
minimum(minimum spaning tree) pohon merentang minimum ini mempunyai
terapan yang luas dalam masalah riil.
Contoh 5.5.: Misalkan akan dibangun jalur transpotasi darat yang menghubungkan
sejumlah kota di suatu pulau, dalam rancangannya digambarkan sbb :
Gambar 5.6. Graf rancangan jalur transpotasi darat
dari rancangan yang ada diambil jalur yang terpendek dengan harapan biaya
pembuatan lebih murah. Oleh karenanya diperlukan pohon merentang minimum
untuk menyelesaikan permasalahan yang ada yaitu :
Gambar 5.7. Pohon merentang minimum jalur transpotasi darat
Dalam membangun pohon rentang minimum terdapat dua algoritma yaitu
algoritma prim dan algoritma kruskal.
Matematika diskrit V-6
Bab V Tree
Algoritma Prim
Algoritma Prim membentuk pohon rentang minimum langkah demi langkah.
Pada setiap langkah diambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum
tetapi terhubung dengan pohon rentang minimum.
Langkah 1 : Ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukan ke
dalam T.
Langkah 2 : Pilih sisi (V1,V2) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian
dengan simpul di T, tetapi (V1,V2) tidak membentuk sirkuit di T.
selanjutnya tambahkan (V1,V2) ke dalam T.
Langkah 3 : Ulangi langkah 2 sebanyak n-2 kali.
Secara keseluruhannya algoritma Prim mempunyai 1 + (n-2) = n-1 jumlah
langkah, yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon rentang dengan n buah simpul.
Algoritma prim jika ditulis dalam notasi pseudo-code sbb:
Algoritma 5.1. algoritma untuk membentuk pohon merentang minimum
Prosedur Prim (input G : graf, output T; pohon)
{Membentuk pohon merentang minimum T darigrafterhubung G.
Masukan :
graf-berbobot terhubung G = (V,E)yang sama |V| = n
Keluaran : pohon merentang minimum T = (V,E)
}
Deklarasi
e : sisi
algoritma
T ← sisi e yang mempunyai bobot minimum dalam E
dan bersisian dengan simpul dalam T
Matematika diskrit V-7
Bab V Tree
E ← E-{e}{ e sudah dipilih jadi e dibuang dari}
For i ← 1 to n – 2 do
E ← sisi yang mempunyai bobot terkecil di dalam E
dan bersisian dengan simpul di T
T ← T ∪ {e} {masukkan e ke dalam T yang sudah
terbentuk}
E ← E-{e} { e sudah dipilih , jadi buang e dari E}
Algoritma Kruskal Pada algoritma Kruskal ini, sisi-sisi graf akan diurut berdasarkan bobotnya
yang menaik ( dari kecil ke besar). Sisi dari graf G yang membentuk pohon
dimasukkan dalam himpunan T. Dalam keadaan awal, sisi yang sudah diurut
berdasarkan bobot membentuk hutan(forest), masing- masing pohon yang membentuk
hutan hanya berupa satu simpul. Hutan tersebut dinamakan hutan pohon rentang
(spaning forest) selanjutnya tambahkan sisi dari graf G kedalam T jika ia tidak
membentuk siklus di T.
Langkah Algoritma Kruskal
Langkah 0 : Sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot
kecil ke bobot besar.
Langkah 1 : T masih kosong
Langkah 2 : Pilih sisi (V1,V2) dengan bobot minimum yang tidak membentuk
sirkuit di T. Tambahkan (V1,V2) ke dalam T.
Langkah 3 : Ulangi langkah 2 sebanyak n-1 kali.
4. 3.2. Pohon Berakar
Pohon berakar(rooted tree) adalah pohon yang satu buah simpulnya diperlukan
sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah .
Akar mempunyai derajad masuk sama dengan nol dan simpul lainnya berderajad
masuk sama dengan satu. Simpul yang mempunyai derajad keluar sama dengan nol
disebut daun atau simpul terminal.
Matematika diskrit V-8
Bab V Tree
Simpul yang mempunyai derajad keluar tidak sama dengan nol disebut simpul
dalam atau cabang. Pada gambar 5.8. simpul A disebut sebagai akar dan dari
simpul A dapat dicapai simpul-simpul lainnya. Sedangkan F, G, H, D, J dan I
disebut dengan simpul akhir. Setiap simpul di pohon dapat dicapai dari akar dengan
sebuah lintasan tunggal.
Contoh ; 5.6
Gambar . 5.8. Lintasan tungggal dicapai dari akar A
4.4. Beberapa terminology pada pohon berakar
Pandang gambar pohon berakar berikut
.
Gambar 5.9. Pohon berakar
Anak (child atau children) dan orang tua (paren)
Misal X sebuah simpul di dalam pohon berakar. Simpul Y dikatakan anak
simpul X jika ada sisi dari simpul X ke Y , pada keadaan demikian X disebut
orangtua ( parent) Y.
Matematika diskrit V-9
Bab V Tree
Contoh 5.7.: Dari gambar 5.9 dikatakan bahwa simpul B, C disebut simpul
anak(child) dari simpul A dan A disebut sebagai orang tua (parent).
Lintasan (path)
Lintasan dari simpul vi ke simpul vk adalah runtunan simpul-simpul v1 v2 …
vk sedemikian vi adalah orang tua dari v i+1 untuk 1 ≤ i ≤ k. panjang lintasan
adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan yaitu k-1.
Keturunan (descendant) dan leluhur (ancestor).
Jika terdapat lintasan dari simpul X ke simpul Y di dalam pohon, maka X
adalah leluhur dari simpul Y dan Y adalah keturunan simpul X. Contoh pandang
gambar 5.9., simpul C merupakan leluhur simpul J , begitu juga J merupakan
keturunan dari C
Saudara Kandung (sibling)
Simpul yang ber-orangtua sama disebut saudara kandung satu sama lain,
contoh. pandang gambar 5.9, simpul B,C merupakan merupakan saudara kandung
karena mempunyai orang tua yang sama yaitu A.
5. Upapohon (subtree)
Misalkan X adalah simpul didalam pohon T, maka yang dimaksud dengan
upapohon dengan X sebagai akarnya ialah subgraf T’(V’,E’) sedemikian V’
mengandung X dan semua keturunannya dan E’ mengandung sisi –sisi dalam
semua lintasan yang berasal dari X.
Matematika diskrit V-10
Bab V Tree
Contoh 5.8:
Gambar 5.10. Subtree T’ = (V,E) dengan G sebagai akarnya
Dari subtree gambar 5.10. diketahui subtree T’=(V,E) dengan G sebagai
akarnya dengan himpunan simpul adalah V’={ G, K, L, M} dan himpunan sisi
E’={(G,K),(K,L),(K,M)}
Derajad (degree)
Derajad sebuah simpul adalah jumlah subtree (atau jumlah anak) pada simpul .
Daun(leaf)
Simpul yang berderajat nol (tidak mempunyai anak). Simpul dalam(internal
nodes) adalah simpul yang mempunyai anak.
Aras (level) atau tingkat
Akar mempunyai tingkatan sama dengan 0 (nol), sedangkan tingkatan simpul
lainnya mempunyai tingkatan 1 (satu) ditambah panjang lintasan dari akar ke
simpul tersebut. Untuk ilustrasi dapat dilihat gambar berikut
Gambar 5. 11: Pendefinisian Level Tiap Simpul.
Matematika diskrit V-11
Bab V Tree
Tinggi (height) atau kedalam (depth)
Level maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman tersebut
atau tinggi pohon adalah panjang maksimum lintasan dari akar ke daun.
4.5. Pohon terurut
Pohon terurut (order tree) adalah pohon berakar yang memperhatikan urutan anak.
4.5.1. Pohon m-aray
Adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling
banyak m buah anak yang disebut m-ary. Jika m=2 pohon disebut sebagai pohon
biner(binary tree). Pohom m-ary dikatakan teratur atau penuh(full) jika setiap
simpul cabang mempunyai tepat m anak.
4.5.2. Pohon Biner
Pohon biner merupakan kasus khusus pohon m-ary jika m = 2. Pohon biner
adalah pohon yang setiap simpul cabangnya mempunyai maksimum dua buah anak,
anak dengan arah kiri disebut anak kiri(left child) dan anak kanan (right child). Left
subtree adalah pohon yang akarnya anak kiri dan pohon yang akarnya anak kanan
disebut dengan right subtree .
Gambar 5.12. : Pohon biner simpul cabang maksimum mempunyai dua anak
Pohon yang semua simpulnya terletak dibagian kiri saja atau dibagian kanan
saja disebut pohon condong(skewed tree), pohon yang condong ke kiri disebut pohon
condong kiri (skew left), pohon yang condong ke kanan disebut pohon condong
Matematika diskrit V-12
Bab V Tree
kanan (skew right). Pohon biner penuh (full binary tree) adalah pohon biner yang
setiap simpulnya mempunyai tepat dua buah anak kiri dan kanan.
Gambar 5. 13 : Pohon biner penuh
Gambar 5. 13 : Pohon biner seimbang
Pohon biner seimbang (balanced binary tree) adalah pohon biner yang
perbedaan tinggi antara subtree kiri dan kanan maksimal 1( satu).
4.5.3. Pohon Ekspresi
Pohon biner ekspresi adalah pohon biner dengan daun menyatakan operand
dan simpul dalam menyatakan operator. Contoh ekspresi pohon biner (a + b) * (c /
(d + e )) dinyatakan dalam pohon biner gambar 5.14. Daun menyatakan operand a ,
b, c, d dan e simpul dalam termasuk akar dinyatakan operator +, * dan /.
Ilustrasi proses dari ekspresi pohon biner (a + b) * (c / (d + e )) adalah sebagai
berikut
Matematika diskrit V-13
Bab V Tree
Gambar : 5.14. Ekspresi pohon biner (a + b) * (c/(d+e))
Compiler menggunakan pohon ekspresi untuk mengevaluasi ekspresi yang
ditulis dalam notasi infix yaitu operator berada diantara dua buah operand pada
notasi prefik (polish notation) operand mendahului dua buah operand-nya,
sedangkan notasi postfik (inverse polish notation) kedua operan mendahului
Operatornya.
Contoh 5.9
Ekspresi dalam bentuk infix : (a+b)*(c/(d+e)) .
Ekspresi dalam bentuk prefix * + ab/c+de
Ekspresi dalam bentuk postfik ab+cde+/*
Pembentukan pohon Ekspresi dari eksppresi dalam bentuk infik (a+b)*(c/(d+e)) .
Gambar : 5.15. Pembentukan pohon ekspresi (a+b)*(c/(d+e)).
Matematika diskrit V-14
Bab V Tree
Gambar 5.15. menerangkan proses penyusunan pohon ekspresi bentuk infik
yang dibangun dari bawah ke atas dengan memperhatikan urutan prioritas
pengerjaan operator ( +, -, *, / ). Jadi dalam pembentukan pohon ekspresi (a + b) * (c
/(d + e)) diawali dengan membentuk subtree (d + e) selanjutnya membentuk subtree
(c /(d + e) dan (a + b) akhirnya subtree (c / (d + e) dan (a + b) digabung.
4.5.4. Pohon Keputusan
Pohon keputusan digunakan untuk memodelkan persoalan yang terdiri atas
serangkaian keputusan yang mengarah ke solusi. Setiap simpul dalam menyatakan
keputusan , sedangkan daun menyatakan solusi.
Contoh 5.10 : Akan diurutkan tiga bilangan a,b, dan c, alur kemungkinannya sbb :
Gambar 5.16. Pohon keputusan untuk membandingkan bilangan a, b dan c
Proses pengurutan bilangan gambar 5.16 adalah pertama membandingkan
bilangan a dan b apabila bilangan a > b maka a dibandingkan bilangan c.
apabila bilangan b > c maka b dan c dibandingkan demikian seterusnya sehingga
diperoleh kemungkinan bilangan a > b > c atau a > c > b atau b > a > c atau b > c> a.
Kode awalan
Kode awalan (prefix code) adalah himpunan kode, missal kode biner, sedemikian
sehingga tidak ada anggota kumpulan yang merupakan awalan dari anggota yang
lain.
Matematika diskrit V-15
Bab V Tree
Contoh diberikan himpunan kode perfiks { 000,001,01,10,11}, pohon biner dari
kode prefiks { 000,001,01,10,11}
Gambar 5. 17. Pohon biner dari kode prefiks { 000,001,01,10,11}
kode awalan pada pohon biner yang bersesuaian sisi diberi label 0 atau 1.
Pelabelan harus konsisten sisi kiri diberi label 0 saja ( atau 1 saja) sedangkan sisi
kanan dilabeli 1 saja (atau 0 saja). Barisan sisi-sisi yang dilalui oleh lintasan dari
akar ke daun menyatakan kode awalan. Kode awalan ini ditulis pada daun.
Kode Huffman
Dalam komunikasi data pesan (messege) yang dikirim seringkali ukurannya
sangat besar sehingga waktu pengirimannya lama. Begitu juga dalam penyimpanan
data, arsip(file) yang berukuran besar memakan ruang penyimpanan yang besar
pula. Kedua masalah ini dapat diatasi
Table kode ASCII untuk beberapa karakter sbb :
No Simbol Kode ASCII
1 A 01000001
2 B 01000010
3 C 01000011
4 D 01000100
Matematika diskrit V-16
Bab V Tree
Akan dibuat pohon Huffman untuk pesan ABACCDA
Dengan rangkaian bit sbb
01000001010000100100000101000011010000110100010001000001
Tabel keseringan muncul dan kode Huffman untuk string ABACCDA sbb:
No Simbol Keseringan Probabilitas Kode Huffman
(diperoleh dari pohon biner)
1 A 3 3/7 0
2 B 1 1/7 110
3 C 2 2/7 10
4 D 1 1/7 111
Sehingga string ABACCDA dengan kode Huffman direpresentasikan sbb :
0110010101110
Kode Huffman untuk masing-masing karakter dapat diperoleh dari Pohon Huffman
Gambar 5,18. Pohon Huffman untuk string ABACCDA
Untuk memperoleh kode Huffman terlebih dahulu kita harus menghitung keseringan
kemunculan masing-masing symbol dalam teks, selanjutnya dibuat pohon biner sbb :
Matematika diskrit V-17
Bab V Tree
1. Kita pilih dua simbol dengan probabilitas paling kecil , pada contoh tersebut
huruf B dan D mempunyai probabilitas keseringan muncul paling kecil. Simbol
orang tua dari B dan D adalah BD dengan probabilitas keseringan muncul 1/7 +
1/7 = 2/7 yang merupakan jumlah dari probabilitas B dan D.
2. Pilih dua simbol berikutnya yang probabilitasnya kecil , pada contoh ini C
dengan probabilitas 2/7 dan BD 2/7. kombinasisikan kedua simbol sehinnga
diperoleh simpul orang tua CBD dengan probabilitas 4/7.
3. Simpul ABCD diperoleh dengan mengkombinasikan simpul A dan CBD
probabilitas keseringan muncul 7/7.
4. dalam pohon biner tersebut cabang pada sisi kiri diberi label 0 (nol) dan sisi
kanan diberi label 1(satu).
5. Dari pohon Huffman diperoleh symbol A mempunyai kode huffman 0, CBD
kode 1, C kode 10, B kode 110 dan symbol D mempunyai kode 111.
Resume :
1. Pohon(tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit
2. Apabila G = (V,E) adalah pohon maka V tidak boleh berupa himpunan kosong,
tetapi E boleh berupa himpunan kosong.
3. Forest adalah kumpulan pohon yang saling lepas, atau graf yang tidak
terhubung dan tidak mengandung sirkuit.
4. Misalkan G = (V,E) adalah graf tidak berarah sederhana dengan jumlah
simpulnya n. Maka pernyataan berikut ekivalen :
a. G adalah pohon
b. Setiap pasang simpul didalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
c. G terhubung dan memiliki m = n-1 buah sisi
d. G tidak mengandung sirkuit dan memilik m = n-1 buah sisi.
e. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan
membuat hanya satu sirkuit .
f. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan ( Jembatan adalah sisi
yang apabila dihapus menyebabkan graf tidak terhubung).
Matematika diskrit V-18
Bab V Tree
5. Pohon Perentang (spanning tree)
Misalkan G =( V, E ) adalah graf tidak berarah terhubung yang bukan pohon
maka graf G memuat beberapa sirkuit. Graf G dapat diubah menjadi pohon
T = ( Vi, Ei) dengan cara memutuskan sirkuit yang ada yaitu :
a. Pilih salah satu circuit lalu putuskan dengan Graf G tetap terhubung
maka jumlah circuit berkurang satu.
b. Lakukan proses tersebut sehingga circuitnya hilang dari graf G. 6. Pohon berakar (rooted tree)
Pohon berakar (rooted tree) adalah pohon yang satu buah simpulnya diperlukan
sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah.
a. Akar mempunyai derajad masuk sama dengan nol dan simpul lainnya
berderajad masuk sama dengan satu. Simpul yang mempunyai derajad
keluar sama dengan nol disebut daun atau simpul terminal.
b. Simpul yang mempunyai derajad keluar tidak sama dengan nol disebut
simpul dalam atau cabang.
7. Pohon terurut (order tree) adalah pohon berakar yang memperhatikan urutan anak.
a. Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak
m buah anak yang disebut m-ary.
b. Jika m = 2 pohon disebut sebagai pohon biner(binary tree). Pohon biner
adalah pohon yang setiap simpul cabangnya mempunyai maksimum dua
buah anak, anak dengan arah kiri disebut anak kiri (left child) dan anak
kanan (right child).
c. Pohom m-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul
cabang mempunyai tepat m anak.
Matematika diskrit V-19
Bab V Tree
Referensi :
1. Deo N, 1984, Graph theory with Applications to Engineering and Computer
Science, Prentice-Hall .
2. Johnsonbaugh, 2005, Discrete Mathematics , Prentice Hall.
3. John A. Dossey. Albert D. Otto 2006, Discrete Mathematics , Addison
Wesley New York.
4. Munir R, 2005, Matematika Diskrit', Informatika Bandung.
5. Susana EP , 2004, Discrete Mathematics with Aplications , Thomson
Learning Singapoure
Latihan :
Graf soal 5.1- 5.4 mana yang termasuk tree
5.5. Berapa banyak simpul pada tree dengan 15 sisi?
5.6. Berapa banyak sisi pada tree dengan 21 simpul?
5.7. Dengan menggunakan algoritma prime tentukan minimal spaning tree untuk
gambar berikut
Matematika diskrit V-20
Bab V Tree
5.8. Tunjukkan bahwa sebuah pohon biner teratur mempunyai sejumlah ganjil
simpul.
5.9. Gambarkan semua pohon rentang dari graf lengkap dengan 4 buah simpul.
5.10 . Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut :
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O,
a). Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.
b). Tentukan hasil penelusuran preorder , inorder dan postorder dari jawaban a).
Soal 5.11 – 5.12 untuk setiap pohon berakar berikut tentukan
a) Akar
b) Simpul dalam
c) Simpul akhir
d) Orang tua(parent) dari F
e) Keturunan (descendant) dari D
f) leluhur (ancestor) dari H
Matematika diskrit V-21
Bab V Tree
5.13. Kontruksikan ekspresi tree pada ekspresi berikut :
a). a * b + c
b). ((a-b/c)*(d + e/f )
c). (4 + 2) * ( 6 - 8)
5.14. Gambarkan binary Tree pada ekspresi berikut
a). a * b – (c/(d+e)
b). a /(b-c.d )
5.15. Buatlah pohon Huffman untuk string abaaccdeba dengan ketentuan simbol
dengan peluang lebih kecil sebagai anak kiri dan simbol dengan peluang lebih
besar sebagai anak kanan , sisi kiri dilbeli dengan 0 dan sisi kanan dengan 1.
Tuliskan kode Huffman untuk setiap simbol pembentuk string, selanjutnya
tuliskan rangkaian bit yang merepresentasikan string tersebut dengan kode
Huffman.
5.16. Tentukan spaning tree yang mungkin terjadi untuk tree berikut
Matematika diskrit V-22
Bab V Tree
5.17. Gunakan algoritma kruskal untuk menentukan spaning tree untuk graf berikut
Dengan simpul awal A
Matematika diskrit V-23