bab 2 landasan teori - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/doc/bab2/2007-2-00244-if-bab 2.pdf ·...
TRANSCRIPT
5
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Objek Fraktal
Fraktal memiliki dua arti yang saling berhubungan. Dalam penggunaan sehari-hari,
fraktal adalah bentuk yang dibentuk secara berulang atau self-simiar. Atau dengan kata lain,
sebuah bentuk yang mirip pada semua tingkat pembesaran. Karena alasan ini objek fraktal
seringkali dianggap “rumit tidak berhingga – infinitely complex.” Dalam sudut pandang
matematika, fraktal adalah objek yang memenuhi spesifikasi teknis tertentu. Spesifikasi ini
adalah:
Dimensi Hausdorff > Dimensi Topologi (Mandelbrot, 1983, p361)
Objek-objek dengan spesifikasi ini sudah lama dikenal jauh sebelum kata fraktal ini di
definisikan. Objek-objek ini dapat ditemukan dalam kerajinan primitif di benua Afrika.
Konsep self-similar sudah timbul sejak abad ke 17. Pada tahun 1960, Benoit Mandelbrot mulai
mempelajari konsep self-similar dan pada tahun 1975 mulai mempopulerkan istilah fraktal.
Asal usul penggunaan kata fraktal adalah:
”Fraktal berasal dari bahasa Latin, yaitu kata sifat “fractus” dan kata kerja “frangere”.
“Frangere” berarti memecah: membuat fragmen-fragmen yang tidak beraturan.
Sebagai tambahan untuk istilah terfragmen (seperti dalam fraksi (fraction) atau
refraksi (refraction)), “fractus” juga berarti tidak teratur atau terfragmentasi, tetapi
juga dapat berarti dimensi fraksional (fractional dimensional). Keduanya berarti
terbagi dalam bentuk fragmen.” (Mandelbrot, 1983, p15)
6
Menurut Mandelbrot, (Mandelbrot, 1983, p16) fraktal adalah bentuk geometri kasar
yang terfragmentasi, dapat dibagi dalam beberapa bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan
dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya.
Berdasarkan uraian tersebut, fraktal dapat dikatakan sebagai objek geometri yang
serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala perbesarannya.
2.1.1 Sifat Objek Fraktal
Objek fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakan objek-objek fraktal
dengan objek-objek geometri pada umumnya, yaitu:
Self-similarity, atau sifat keserupaan diri. Sifat ini berarti suatu objek fraktal terdiri dari
banyak tiruan yang sama, dari objek fraktal itu sendiri, dengan ukuran yang lebih kecil
terkubur di dalam bentuk aslinya. Dengan kata lain, terdapat kesamaan di dalam
bagian-bagian objek dibanding keseluruhan objek fraktal itu sendiri.
Infinite detail, atau detil yang tak berhingga. Sifat ini berarti bahwa semakin objek
fraktal diperbesar akan didapatkan bentuk objek yang lebih mendetil. Detil dari objek
fraktal tidak terlihat langsung, tetapi akan muncul secara bertahap ketika objek fraktal
tersebut dilihat ‘semakin dekat’ dengan perbesaran. Setiap tahap perbesaran yang
semakin meningkat akan memunculkan detil-detil baru. Karena itu sifat ini juga berarti
bahwa objek fraktal tidak terpengaruh dengan ukuran skala, tidak mempunyai variasi
penskalaan (invariance of scale).
7
(a) (b)
Gambar 2.1 Segitiga Sierpinski
Sebagai contoh, segitiga Sierpinski, salah satu jenis objek fraktal, pada Gambar 2.1
ditunjukkan dalam dua macam ukuran perbesaran. Pada Gambar 2.1(b), yang merupakan
perbesaran dari Gambar 2.1(a), terlihat detil-detil tambahan yang bentuknya serupa dengan
bentuk objek pada Gambar 2.1(a). Jika gambar semakin diperbesar, detil- detil baru akan terus
muncul.
2.1.1.1 Dimensi Objek Fraktal
Di awal bab ini didefinisikan fraktal memiliki sifat: dimensi Hausdorff > dimensi
Topologi. Untuk itu diperlukan pengertian mengenai kedua dimensi tersebut.
Pada awalnya manusia mengenal dimensi paling dasar, sebuah dimensi klasik yang
seringkali disebut dimensi Euclidean. Dimensi ini adalah dimensi yang terdiri dari:
- Garis dikenal sebagai satu dimensi, atau dimensi dimana diperlukan satu parameter
untuk menemukan sebuah titik. Seperti di gambarkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Garis
8
- Bidang datar dikenal sebagai dua dimensi, atau dimensi dimana yang memerlukan dua
parameter untuk menentukan sebuah titik. Contohnya (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) dan (x4,y4).
Contoh dua dimensi digambarkan pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Bidang Datar
- Gambar 2.4 menggambarkan contoh bentuk bangun ruang. Bangun ruang dikenal
sebagai tiga dimensi, atau dimensi yang memerlukan tiga buah parameter untuk
menentukan sebuah titik di dalamnya. Contohnya (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3),
(x4,y4,z4) dan seterusnya.
Gambar 2.4 bangun ruang
Dari pengertian dimensi Euclidean, dapat diambil kesimpulan bahwa sebuah garis
merupakan satu dimensi, bidang datar merupakan dua dimensi, dan bangun ruang merupakan
tiga dimensi dan pada umumnya ruang Euclidean sebagai n-dimensi. Atau, dimensi dari
sebuah ruang sama dengan jumlah parameter real yang diperlukan untuk menunjukkan titik
yang berbeda pada ruang.
9
Pandangan dimensi euclidean mendapat sanggahan pada akhir abad ke-19 oleh dua
penemuan berikut:
• Cantor set membuktikan adanya korespondensi satu-satu antara (satu dimensi) dan
(dua dimensi).
• Konstruksi Peano mengenai pemetaan yang berkelanjutan dari (satu dimensi) ke
(dua dimensi).
Sanggahan ini menunjukkan bahwa pandangan mengenai dimensi belum cukup kuat.
Pada awal abad ke 20, ahli matematika menemukan definisi yang tepat mengenai dimensi.
Definisi ini disebut dimensi topologi.
Sebagai permulaan perlu dimengerti mengenai open set dan closed set. Dalam sebuah
ruang metrik X didefinisikan (Barnsley, 1994, p12):
Open ball: sebuah open ball dalam X adalah sebuah subset dalam bentuk
Untuk dan radius . Artinya, mengandung semua dengan
jarak dari kurang dari .
Open: sebuah subset adalah open jika merupakan arbitrary union dari open
balls dalam X. Artinya tiap titik dalam S dikelilingi oleh open ball yang seluruhnya
berada di dalam X.
Closed: sebuah subset adalah closed jika komplemennya dalam X
adalah open. Hal ini juga bisa digambarkan dengan mengatakan bahwa titik manapun
di dalam X yang merupakan limit dari deretan titik dalam S harus terkandung dalam S.
10
Dalam ruang topologi X, dianggap bahwa tidak ada distance function, tetapi dianggap
apa yang merupakan open subsets. Artinya dimiliki sekelompok dari subset X yang disebut
open subsets dari X. Kelompok ini harus memiliki tiga aksiom dasar topology:
• Baik X dan open.
• Union dari open set apapun juga open.
• Simpangan dari open set apapun adalah open.
Sebuah subset S dari ruang topologi X mewarisi sebuah topologi dari X.
dikatakan open jika ada open subset seperti . Ini disebut topologi
subspace pada S. Kemudian ada konsep lain yang berhubungan yaitu:
Covering: Sebuah covering dari subset S adalah kumpulan dari open subset dalam X
dimana union-nya mengandung semua S.
Refinement: Sebuah refinement dari covering dari S adalah covering lainnya berupa
dari S dimana tiap set B dalam berada dalam beberapa set dalam set A dalam .
Jadi set dalam lebih kecil dari set dalam dan memberikan cakupan yang lebih
rinci dari S.
Coverings berperan penting dalam definisi dimensi topologi dan dimensi Hausdorff.
Sebagai contoh, pada Gambar 2.5 ditunjukkan covering dari kurva Koch dalam warna
merah dengan garis merah putus-putus yang menunjukkan batas dari lingkaran open, dan
refinement dari dengan warna biru. Terlihat bagaimana tiap lingkaran biru berada dalam
beberapa lingkaran merah, dan kurva Koch berada dalam union dari kedua covering.
11
Gambar 2.5 Covering dari kurva Koch
Sebuah ruang topologi X memiliki dimensi topologi sebesar m jika tiap covering dari
X memiliki refinement dimana tiap titik dari X berada pada paling besar m+1 set pada ,
dan m adalah paling kecil dari bilangan bulat ini. Gambar 2.5 menunjukkan gambaran untuk
menemukan refinement dari covering dari kurva Koch dimana tiap titik dari kurva berada pada
paling banyak dalam dua set pada kurva Koch, yang menunjukkan mengapa kurva koch
memiliki dimensi topologi bernilai 1.
Dimensi Hausdorff, didefinisikan oleh Felix Hausdorff (1868-1942), adalah dimensi
dengan definisi: Untuk objek apapun dengan ukuran (P) yang terdiri dari objek-objek dengan
ukuran (p), dan jumlah objek (N) yang dapat dimasukkan ke dalam objek yang lebih besar
sama dengan rasio ukuran (P/p) dipangkatkan dimensi Hausdorff (d). (Tucek, 2006, p1)
d
pPN ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= atau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
pPnd
log
log
12
Sebelum memulai dengan objek fraktal, dicontohkan dengan objek sederhana. Pada
Gambar 2.6 sebuah garis (satu dimensi) dengan (P) 2cm dibagi menjadi dua, akan didapatkan
dua buah garis (N) dengan (p) 1cm. Apabila Rumus diatas diaplikasikan.
1
12log
2log=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= dmakad
Gambar 2.6 Garis dibagi dua
Sedangkan pada Gambar 2.7 sebuah bidang persegi dengan sisi (P) 2cm dibagi dua,
didapatkan empat (N) buah persegi dengan sisi (p) 1cm.
2
12log
4log=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= dmakad
Gambar 2.7 Bidang persegi dibagi empat
13
Terakhir, pada Gambar 2.8 tiap sisi sebuah kubus dengan sisi (P) 2cm dibagi dua, akan
menghasilkan delapan (N) buah kubus dengan sisi (p) 1 cm.
3
12log
8log=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= dmakad
Gambar 2.8 Kubus dibagi delapan
Sekarang persamaan diatas diaplikasikan dengan sebuah objek fraktal. Sebagai contoh
digunakan kurva Koch pada Gambar 2.9. Dengan segmen garis yang panjangnya 3cm (P),
dibuat kurva Koch, yang berbentuk bintang yang terdiri dari 12 segmen. Jika kurva ini
ditingkatkan dan menggunakan segmen garis dengan panjang 1cm (p), jumlah segmen garis
yang digunakan meningkat menjadi 48 segmen garis. N = 48 segmen dibagi 12 segmen.
4292618595071.1
13log
4log=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= dmakad
Hasilnya kurva Koch pada Gambar 2.9 memiliki dimensi 1.2618595071429. Jadi
kurva Koch memiliki dimensi Hausdorff > dari dimensi topologi (1.261859071429 > 1).
14
Gambar 2.9 Kurva Koch
2.1.1.2 Klasifikasi Objek Fraktal
Fraktal diklasifikasikan berdasarkan kemiripannya dengan diri sendiri atau self-
similarity. Ada tiga jenis self-similarity dalam fraktal:
Exact self-similarity — bentuk terkuat self-similarity; fraktal tampak sama persis pada
ukuran dan rasio berbeda. Fraktal yang dibuat oleh iterated function systems biasanya
menghasilkan jenis ini.
Quasi-self-similarity — bentuk yang lebih lemah dari self-similarity; fraktal tampak
mirip (tetapi tidak sama persis) pada ukuran dan rasio yang berbeda. Fraktal Quasi-
self-similar terdiri dari bentuk yang lebih kecil dari seluruh fraktal dalam bentuk yang
terdistorsi. Fraktal seperti ini biasanya dibuat dengan cara recurrence relations.
Statistical self-similarity — bentuk self-similarity yang paling lemah; fraktal jenis ini
memiliki ukuran numerik atau statistik yang dipertahankan pada ukuran dan rasio yang
berbeda. Sebenarnya ini bentuk fraktal yang paling dasar karena semua fraktal pasti
memiliki bentuk self-similarity karena fraktal adalah ukuran numerik yang
dipertahankan pada ukuran apapun. Fraktal seperti ini biasanya di buat dengan Random
Fractal.
15
Perlu dicatat bahwa tidak semua objek yang self-similar adalah fraktal – contohnya
garis nyata (garis Euclidean) berbentuk self-similar, tetapi karena dimensi Hausdorff dan
dimensi topologinya sama-sama bernilai satu, garis tersebut tidak termasuk fraktal.
2.1.2 Teori Chaos
Teori Chaos adalah adalah teori yang menggambarkan pergerakan rumit dan tidak
dapat ditebak atau dinamika sebuah sistem yang mudah berubah dari kondisi inisialnya.
Sistem Chaos dapat dijelaskan secara matematika karena mengikuti hukum tertentu. Tapi
karena sifat berubah-ubahnya akan tampak acak bagi mata awam. Teori Chaos merupakan
suatu bentuk perkembangan dari teori sistem dinamis (dynamical system), yang memfokuskan
pembahasan pada gerakan-gerakan yang sangat kompleks (highly complex motions) yang
dikenal dengan nama gerakan keotik (chaotic motions). Hal ini ditemukan oleh Henri Poincaré
sekitar tahun 1890-an dalam usahanya membuktikan kestabilan sistem tata surya (solar
system).
Poincaré menyatakan:
“Mungkin terjadi bahwa perbedaan kecil pada kondisi awal menghasilkan perbedaan
yang sangat besar pada fenomena akhirnya. Sebuah kesalahan kecil di awal akan
menghasilkan kesalahan besar di akhir. Hal ini menyebabkan prediksi menjadi
mustahil (Microsoft Corporation, 2005, p243).”
Teori sistem dinamis sendiri merupakan cabang ilmu matematika yang membahas
berbagai gerakan (motion) dalam berbagai sistem yang terbentuk dan senantiasa berubah
berdasarkan aturan-aturan yang sederhana. Teori ini ditemukan pertama kali oleh Isaac
16
Newton, sekitar abad ketujuhbelas, untuk memperagakan pergerakan sistem tata surya,
bersamaan dengan teori gravitasi universalnya (universal gravitation) (Abraham, 2004, p16).
Chaos terjadi didalam suatu sistem dinamis, yaitu jika dua buah titik acak yang
mendekati titik pemicu (starting point) terbagi-bagi secara eksponensial, sehingga hasil
akhirnya menjadi tidak dapat diprediksi.
Fraktal juga merupakan salah satu dari sekian banyak topik menarik dalam teori
Chaos. Contohnya, pada Gambar 2.9, adalah jenis fraktal dengan metode Strange Attractor
dari persamaan logistik (logistic equation), yang dapat dilihat pada Gambar 2.9(a) berikut,
serupa dengan diagram bifurkasi dari metode Chaos pada Gambar 2.9(b)
Gambar 2.9 (a) Gambar 2.9 (b)
Gambar 2.10 Perbandingan antara Fraktal dengan Chaos 2.9 (a) Objek Fraktal Strange
Attractors dan Persamaan Logistik, 2.9 (b) Diagram Bifurkasi
Fraktal berhubungan erat dengan chaos karena keduanya sama-sama merupakan sistem
yang kompleks, yang memiliki sifat-sifat yang jelas. Fraktal dan chaos, keduanya tidak sama,
walaupun fraktal sendiri sering kali dibentuk dari chaos.
Devaney (Devaney, 1990, p35) mendefinisikan suatu fungsi sebagai chaotic function
jika fungsi tersebut cenderung tergantung pada kondisi-kondisi inisial, jika fungsi tersebut
transitif secara topologis, dengan titik-titik periode yang padat dan teratur. Dengan kata lain,
sebuah fungsi merupakan chaotic function jika fungsi tersebut tidak terduga, tidak dapat
diperkirakan, tidak dapat didekomposisi, tetapi tetap mengandung keteraturan. Sedangkan
17
Allgood dan Yorke mendefinisikan chaos sebagai jalur, garis, atau kurva yang tidak stabil
baik secara eksponensial maupun menurut periodenya (Strohbeen, 2006, p14).
Perilaku Chaotic sering dijumpai pada berbagai sistem seperti jaringan listrik,
penyebaran penyakit, laser, ritme jantung, aktivitas listrik pada otak, cairan, populasi binatang
dan reaksi kimia.
2.1.3 Metode Pembuatan Fraktal
Ada beberapa teknik yang biasa digunakan untuk membuat fraktal. Teknik-teknik
tersebut adalah:
Metode Iterated Function Systems
Metode Iterated Complex Polynomial
Metode L-system
Metode Strange Attractor
2.1.3.1 Metode Iterated Function System
Iterated function systems atau IFS adalah sebuah metode pembentukan fraktal yang
divisualisasikan ke dalam bentuknya seperti sekarang oleh John Hutchinson dan di populerkan
oleh Michael Barnsley dalam buku Fractals Everywhere.
Fraktal yang dibentuk dari IFS dapat berada pada dimensi spasial manapun (pada
dimensi apapun). Tetapi biasanya fraktal IFS di hitung dan di gambar pada dua dimensi.
Sebuah fraktal IFS adalah hasil dari sebuah persamaan set rekursif. Fraktal IFS tediri dari
union atau gabungan dari beberapa tiruan dirinya sendiri. Masing-masing tiruan ini di
transformasikan oleh sebuah fungsi (function system). Contoh utama adalah Sierpinski gasket.
18
Fungsi ini biasanya contractive yang berarti fungsi ini membawa titik-titik menjadi lebih dekat
dan membuat objek menjadi lebih kecil. Oleh karena itu bentuk fraktal IFS terdiri dari
beberapa tiruan objek yang lebih kecil dan saling tumpang tindih, yang masing-masing juga
terdiri tiruan dirinya sendiri. Hal ini berlangsung secara tak hingga. Inilah yang membuat
fraktal IFS self similar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.11
Umumnya, dimana dan
Gambar 2.11 Sierpinski gasket dengan IFS
Secara umum ada dua metode dalam membentuk fraktal IFS. Metode pertama adalah
Supercopier dan metode kedua adalah metode Chaos game.
IFS Supercopier merupakan pendekatan yang menerapkan konsep mesin fotokopi
khusus yang memproduksi citra baru I1 dari citra awal I0. Citra I1 ini merupakan superposisi
dari beberapa reduksi citra I0. Kemudian citra I1 diproses lagi dengan mesin fotokopi tersebut
untuk memproduksi citra I2. Proses ini dilakukan berulang-ulang hingga didapatkan citra- citra
baru (I3, I4, …, Ik) yang merupakan komposisi bentuk yang lebih kecil dari citra awalnya.
Sedangkan metode Chaos Game, atau yang dikenal dengan nama Algoritma Iterasi
Acak (Random Iteration Algorithm) memberikan konsep nonrekursif yang sederhana untuk
memproduksi gambar dari attractor IFS. Konsep ini menghilangkan kebutuhan akan memori
komputer yang besar dalam membentuk Fraktal IFS. Chaos Game sendiri merupakan salah
satu bentuk penerapan dari teori Chaos.
19
2.1.3.2 Metode L-System
Fraktal L-system dikembangkan oleh seorang ahli biologi, Lindenmayer, yang bekerja
dengan ragi dan jamur berfilamen dan meneliti pola pertumbuhan berbagai jenis ganggang
(algae), seperti bakteri Anabaena catenula. L-system awalnya di bentuk untuk menyediakan
deskripsi formal perkembangan organisme multisel yang sederhaha, dan menggambarkan
hubungan antar sel tumbuhan. Kemudian, sistem ini diperluas untuk menggambarkan jenis
tumbuhan yang lebih tinggi dan struktur dahan yang rumit
Perilaku rekursif L-system mengarah pada self similarity. Hal ini menyebabkan
bentuk-bentuk natural seperti fraktal mudah di gambarkan dengan L-system. Bentuk
tumbuhan dan bentuk organisme lainnya cukup mudah untuk di definisikan karena dengan
memperbesar tingkat perulangan, bentuk ini akan tumbuh dan menjadi lebih rumit. Contoh
hasil fraktal L-system digambarkan pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12 Contoh hasil fraktal L-system
2.1.3.3 Metode Iterated Complex Polynomial
Metode Iterated Complex Polynomial digunakan untuk menggambarkan bentuk-
bentuk fraktal yang menerapkan perhitungan bilangan kompleks. Contoh fungsi
perhitungannya adalah Julia set dan Mendlebrot set. Penelitian pertama tentang metode ini
dilakukan oleh Julia (1918) dan Fatou (1919-1920).
20
Gambar 2.13 Mandelbrot set Metode Iterated Complex Polynomial
2.1.3.4 Metode Strange Attractor
Metode strange attractor, berhubungan erat dengan konsep space of phase dan
attractor. Space of phase adalah ruang yang memiliki koordinat dari variabel yang digunakan
pada persamaan yang mendeskripsikan gerak. Untuk setiap pergerakan keotik, attractor
adalah sebuah garis dengan panjang tak terbatas, tapi selalu berisi dalam bagian yang terbatas
dari space of phase. Tipe attractor inilah yang disebut dengan strange attractor. Strange
attractor ini terbukti juga mempunyai struktur fraktal. Hal ini dapat dilihat dari bentuknya
yang tak beraturan yang merupakan garis-garis yang tak terputus dengan detil-detil yang tak
berhingga. Strukturnya tampak sangat rumit. Contoh bentuk fraktal yang dapat dibuat dengan
menggunakan metode ini dapat dilihat pada Gambar 2.14.
Gambar 2.14 Kurva Simpanim metode Strange Attractor
21
2.1.4 Fraktal Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Fraktal digunakan hampir di setiap bidang ilmu. Beberapa metode fraktal digunakan
pada bidang biologi dan obat-obatan, seperti dalam pemodelan sel, protein, struktur
kromosom, bentuk DNA, enzim dan tumbuhan. Bentuk-bentuk fraktal sering dianggap mirip
dengan bentuk-bentuk yang ada di bidang biologi, seperti bentuk Julia set yang dianggap mirip
dengan bentuk sel, atau bentuk daun pakis yang mendetil dengan menggunakan metode IFS,
sehingga untuk menggambarkan bentuk-bentuk biologi pada komputer dapat menggunakan
salah satu metode fraktal.
Selain aplikasi di bidang biologi, fraktal juga digunakan untuk memperkirakan grafik
bursa saham, melukiskan seismic. Dari penerapan-penerapan ini, musik fraktal merupakan
bentuk penerapan yang terkenal. Dalam pembuatannya, musik fraktal dapat menerapkan
algoritma yang biasa digunakan untuk melukiskan suatu bentuk fraktal.
Di bidang lainnya, fraktal juga dimanfaatkan dalam proses pembuatan permainan di
komputer. Banyak bentuk-bentuk fraktal yang dimanfaatkan dalam pembuatan permainan
seperti Bush yang digunakan sebagai bentuk tumbuhan di dalam permainan, dan Dragon curve
yang dapat dijadikan suatu peta wilayah dalam permainan. Sebagai contoh, Gambar 2.15
menunjukkan contoh peta permainan yang digambar dengan menggunakan fraktal Dragon
Curve.
Gambar 2.15 Peta Permainan dengan Dragon Curve
22
Algoritma fraktal juga dapat digunakan dalam membuat permainan itu sendiri. Selain
geometri fraktal, musik fraktal yang unik juga digunakan sebagai lagu tema pengiring yang
mengisi permainan di komputer. Fraktal juga sedang dikembangkan sebagai metode kompresi
gambar. Diharapkan kompresi dengan menggunakan metode fraktal dapat membuat kompresi
yang jauh lebih kecil dari metode kompresi yang ada saat ini.
Fraktal juga dimanfaatkan di bidang konstruksi untuk membuat antena yang sangat
kompak dan optimal untuk penggunaan komunikasi microwave maupun komunikasi selular.
Fraktal juga dimanfaatkan dalam fracture mechanics atau ilmu memprediksi kerusakan atau
adanya retakan pada sebuah bangunan
2.2 Musik
Kata 'musik' berasal dari bahasa Yunani, mousike. Menurut Kamus Besar Miriam-
Webster, istilah musik (music) berarti (1) suatu komposisi atau kombinasi berbagai bunyi atau
suara (sound); (2) seni bunyi-bunyian, atau kumpulan bunyi atau suara.
Sound (suara) dihasilkan dari getaran, baik udara maupun benda-benda padat. Ketika
getaran itu bersifat tidak teratur, maka suara itu adalah noise; ketika getaran tersebut teratur,
maka suara itu disebut tone atau nada. Musik tergantung dari nada, tidak termasuk noise
(seperti bunyi simbal, tabrakan, piring pecah, dan lain-lain). Getaran yang pelan akan
menghasilkan nada dan bunyi yang rendah (low), getaran yang cepat akan menghasilkan suara
yang lebih tinggi (high). Pada prakteknya suara musik berkisar antara 40 – 40000 getaran per
detik (hertz). Frekuensi dari getaran akan menghasilkan bunyi yang sering disebut pitch. Pitch
digunakan sebagai standar tinggi rendah dari sebuah tone atau nada.
23
2.2.1 Tangga Nada
Komposisi bunyi atau suara tersebut merupakan kombinasi deretan frekuensi bunyi
yang berbeda-beda di dalam suatu interval nada yang disebut dengan satu oktaf. Istilah 'oktaf'
dapat diartikan 'jarak' antara nada dasar dan nada oktafnya atau nada kedelapannya. Istilah ini
digunakan, misalnya untuk menetapkan luas suara piano atau luas suara seseorang. Satu oktaf,
terdiri dari delapan (oktal) tingkat nada, yaitu dari nada do sampai nada do yang lebih tinggi.
Secara keseluruhan, satu oktaf terdiri dari dua belas nada, nada C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,
A, A#, dan B.
Gambar 2.16 Satu Oktaf Nada pada Tuts Piano
Gambar 2.16 menunjukkan gambaran satu oktaf pada sebagian tuts-tuts (keys) piano.
Piano mempunyai 88 tuts, sedangkan keyboard biasa mempunyai 61 tuts. Semua nada disusun
secara continue dari yang terendah (sisi kiri) ke yang tertinggi (sisi kanan). Tuts putih, dalam
urutan dari kiri, disebut dengan nama huruf C D E F G A B, sedangkan yang hitam dinamakan
C# atau Db; D# atau Eb; F# atau Gb; G# atau Ab; A# atau Bb.
Jarak antara dua tuts putih adalah whole-tone atau satu nada, kecuali E-F dan B-C', dua
bagian itu berjarak semitone atau halftone atau setengah nada. Setiap semitone mempunyai
perbedaan frekuensi sekitar 1.059463hz. Tuts hitam memisahkan dua tuts putih, jarak tuts
putih ke tuts hitam, dalam hal ini C-C#; D- Eb; F-F#;G- G#;A-A#, adalah semitone. Jarak
antar nada atau tone ini disebut interval.
24
Gambar 2.16 juga menunjukkan 'derajat' pada nada dasar C diwakili dengan angka 1
sampai dengan 7. Pada Gambar 2.16 juga digambarkan solmisasi (solmization). Solmisasi
adalah nada yang pertama kali digunakan oleh Guido d'Arezzo (Italia, 1025), dengan nama ut
re mi fa sol la untuk 6 nada dari hexachord, pada awal abad XVII nada si ditambahkan dan
nada ut diganti menjadi nada do.
Antara C ke C' ada 11 tuts (baik hitam maupun putih). Satu oktaf (one octave) adalah
jarak terdekat antara dua nada yang sama tapi berbeda pitch, yang dipisahkan oleh 12
semitones atau bisa juga dibilang 11 tuts. Misalnya C ke C' atau E ke E', dan seterusnya. Jika
disebutkan dua oktaf maka pengertiannya sama, hanya saja dibedakan oleh (12x2) semitones
atau 24 semitones, begitu dengan tiga oktaf dan seterusnya.
Pada Gambar 2.16 terdapat tanda # dan b. Tanda 'b' (flat atau mol), artinya nada
tersebut diturunkan semitone. Misalnya Eb, artinya nada E diturunkan semitone menjadi Eb.
Sebenarnya tanda flat atau mol bukanlah huruf 'b', tapi . Sedangkan tanda '#' (sharp atau
cruis), artinya nada tersebut dinaikkan semitone. Misalnya F#, artinya F dinaikkan semitone
menjadi F#. C# dan Db; D# dan Eb; F# dan Gb; G# dan Ab; serta A# dan Bb disebut
enharmonic, yang artinya berbeda tanda dan huruf tetapi memberikan bunyi yang sama. Tanda
“ ' ” menunjukkan tingkat oktaf. Misalnya C', berarti C satu oktaf lebih tinggi dari C.
Kebalikannya 'C, berarti C satu oktaf lebih rendah dari C. Tanda ''' juga menunjukkan nada
tertentu telah melewati C'.
Urutan nada pada tangga nada ditentukan oleh nada dasar tangga nada tersebut dan
jenis tangga nada, apakah tangga nada mayor (major) atau minor. Tangga nada mayor adalah
tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 – 1 – ½ - 1 – 1 – 1 – ½. Tangga nada minor
25
adalah tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 – ½ – 1 – 1 – ½ – 1 – 1. Tangga nada
paling dasar pada tangga nada mayor adalah (C = do) dan pada tangga nada minor (A = do).
Gambar 2.17 Tangga nada C Mayor pada not balok
Gambar 2.18 tangga nada A minor pada not balok
Pada Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 dijelaskan urutan tangga nada mayor dan minor.
Tangga nada mayor
Tangga Nada
Nada Dasar Urutan Nada
(7b) Cb Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab - Bb - Cb (6b) Gb Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb - F - Gb (5b) Db Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb - C - Db (4b) Ab Ab - Bb - C - Db - Eb - F - G - Ab (3b) Eb Eb - F - G - Ab - Bb - C - D - Eb (2b) Bb Bb - C - D - Eb - F - G - A - Bb (b) F F - G - A - Bb - C - D - E - F
Natural C C - D - E - F - G - A - B - C (#) G G - A - B - C - D - E - F# - G
(2#) D D - E - F# - G - A - B - C# - D (3#) A A - B - C# - D - E - F# - G# - A (4#) E E - F# - G# - A - B - C# - D# - E (5#) B B - C# - D# - E - F# - G# - A# - B (6#) F# F# - G# - A# - B - C# - D# - E# - F# (7#) C# C# - D# - E# - F# - G# - A# - B# - C#
Tabel 2.1 Tangga nada mayor
26
Tangga nada minor
Tangga Nada
Nada Dasar Urutan Nada
(7b) Ab Ab - Bb - Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab (6b) Eb Eb - F - Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb (5b) Bb Bb - C - Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb (4b) F F - G - Ab - Bb - C - Db - Eb - F (3b) C C - D - Eb - F - G - Ab - Bb - C (2b) G G - A - Bb - C - D - Eb - F - G (b) D D - E - F - G - A - Bb - C - D
Natural A A - B - C - D - E - F - G - A (#) E E - F# - G - A - B - C - D - E
(2#) B B - C# - D - E - F# - G - A - B (3#) F# F# - G# - A - B - C# - D - E - F# (4#) C# C# - D# - E - F# - G# - A - B - C# (5#) G# G# - A# - B - C# - D# - E - F# - G# (6#) D# D# - E# - F# - G# - A# - B - C# - D# (7#) A# A# - B# - C# - D# - E# - F# - G# - A#
Tabel 2.2 Tangga nada minor
Not dan nada (tone atau note) pada dasarnya adalah sama yaitu menunjukkan satu
karakter suara dengan pitch tertentu. Beberapa not tunggal dapat dirangkaikan dengan tinggi
rendah yang berbeda. Rangkaian semacam ini disebut melodi.
27
2.2.2 Chord
Chord adalah dua atau lebih nada yang digunakan pada waktu sama atau hampir
bersamaan. Chord terdiri dari sebuah nada dasar yang memberi nama utama chord tersebut
dan satu atau lebih nada lainnya. Nama kedua dari chord ditentukan dari nama nada selain
nada dasar pada chord tersebut. Chord yang paling banyak digunakan adalah chord mayor,
chord minor, chord mayor minor atau yang dikenal sebagai chord ke tujuh, chord mayor ke
tujuh dan chord minor ke tujuh.
Susunan nada masing-masing jenis chord adalah sebagai berikut:
• Chord mayor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada mayor ketiga
dan nada kelima. Contoh: chord C mayor terdiri dari nada C – E – G, dimana C
adalah nada dasar, E adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada mayor. G
adalah nada kelima sesudah C
• Chord minor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada minor ketiga
dan nada kelima. Contoh: chord C minor terdiri dari nada C – D# - G, dimana C
adalah nada dasar, Eb adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada minor. G
adalah nada kelima.
• Chord mayor minor atau yang lebih dikenal sebagai chord ke 7 terdiri dari chord
mayor yang ditambahkan nada minor ketujuh. Contoh: chord C7 terdiri dari nada C
– E – G – Bb. C – E – G merupakan nada-nada dari chord C mayor dan Bb
merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada minor.
• Chord mayor ke 7 terdiri dari chord mayor yang ditambahkan nada mayor ketujuh.
Contoh: chord C7 terdiri dari nada C – E – G – B. C – E – G merupakan nada-nada
28
dari chord C mayor dan B merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada
mayor.
• Chord minor ke 7 terdiri dari chord minor yang ditambahkan nada minor ketujuh.
Contoh: chord C7 terdiri dari nada C – Eb – G – Bb. C – E – G merupakan nada-
nada dari chord C minor dan Bb merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga
nada minor.
2.2.3 Tempo
Melodi memerlukan rangkaian nada yang memiliki perbedaan panjang dan pendek
nada. Pada notasi balok, panjang pendeknya nada oleh bentuk atau wujud not-notnya, dan tiap
bentuk not mempunyai nilai tertentu. Nilai not ini dihitung dengan satuan hitungan yang
disebut dengan ketukan.
Gambar 2.19 Nilai ketukan not
Secara umum nilai ketukan not bernilai 4 ketuk, 2 ketuk, 1 ketuk dan seterusnya. Pada
notasi balok, panjang not dapat diperpanjang dengan menambahkan sebuah titik. Titik ini akan
menambahkan nilai not sebesar 50% dari nilai not awal. Pada notasi angka, penambahan nilai
atau panjang ketukan diwujudkan dengan menambah titik di belakang not yang ditambah.
Sebagai contoh, jika not bernilai 4 ketuk maka dalam not angka untuk nada do akan ditulis
menjadi (1 . . .).
Dalam musik, kecepatan lagu mempengaruhi bagaimana lagu tersebut dinyanyikan
dan apa yang di sampaikan oleh lagu.. Istilah untuk menyatakan kecepatan lagu dikenal
29
dengan tempo. Pencipta lagu atau komponis, biasanya telah menetapkan tempo lagunya. Jika
diperlukan perubahan kecepatan di tengah-tengah lagu, dapat memakai perubahan tempo.
Terdapat delapan istilah tempo yang sering digunakan, yaitu seperti yang terdapat pada
Tabel 2.3.
Tingkat Kecepatan Istilah Tempo Kecepatan Ketukan (per menit)
Lambat Sekali Lambat Sedang Cepat Cepat Sekali
Largo Lento Adagio Andante Moderato Allegro Vivace Presto
40 - 60 60 – 66 66 – 76 76 – 108 108 – 120 120 – 160 160 – 184 184 – 208
Tabel 2.3 Istilah Tempo Utama
Delapan istilah tempo tersebut mewakili kecepatan ketukan setiap not per menitnya.
Dua istilah yang pertama dan dua istilah yang terakhir lebih sering digunakan dalam musik
instrumental.
2.2.4 Musik Fraktal
Musik fraktal adalah musik yang merupakan hasil proses rekursif dimana sebuah
algoritma diaplikasikan berulang kali untuk memproses output sebelumnya. Dalam pandangan
yang lebih luas, semua bentuk musik, dalam tingkat mikro maupun makro dapat di buat
dengan proses ini.
Ada beberapa cara untuk membuat musik fraktal yang merupakan bentuk dari
komposisi berdasarkan algoritma. Komposisi berdasarkan algoritma bergantung pada
algoritma untuk menentukan fitur-fitur lagu. Pada bentuk paling dasar, algoritma digunakan
30
untuk menentukan nada apa saja yang dimainkan beserta urutannya. Dalam bentuk yang lebih
rumit algoritma digunakan untuk menentukan kekuatan atau volume sebuah not, tempo dan
panjangnya not.
Algoritma telah digunakan untuk membuat komposisi selama berabad-abad.
Contohnya, prosedur yang digunakan untuk menentukan suara utama dalam western
counterpoint dapat dipermudah menjadi determinan algoritma. Ada dua macam bentuk
komposisi algoritma.
Banyak algoritma yang tidak memiliki relevansi langsung terhadap musik digunakan
oleh composer sebagai inspirasi untuk musiknya. Diantaranya adalah algoritma fraktal IFS, L-
system. Bahkan algoritma dengan data yang acak seperti nilai sensus, koordinat system
informasi geografi telah digunakan untuk interpretasi musik.
Sukses atau tidaknya prosedur-prosedur ini dalam menghasilkan musik yang baik
sangat bergantung pada system mapping yang digunakan oleh komposes untuk
menerjemahkan informasi non-musik menjadi data stream musik yang acak. Salah satu cara
yang banyak digunakan adalah dengan mengambil suatu angka dengan algoritma kemudian
angka tersebut di mod dengan 88. Kemudian hasil mod tersebut digunakan untuk menentukan
not mana yang akan dimainkan. Untuk penentuan not mana yang dimainkan, diasumsikan
bahwa angka 0 adalah ‘C’ , angka 1 adalah ‘C#’, angka 2 adalah ‘D’ dan seterusnya hingga
angka ke 88 ‘C’. Untuk mendapatkan hasil yang lebih melodic dapat range nada dapat
diperkecil dari 88 menjadi 2 oktaf atau 25 (nada C hingga C’’). Atau dapat juga dengan
membatasi not yang dipilih agar berada dalam sebuah chord tertentu pada tiap beberapa bar.
Misalnya bar pertama diisi dengan chord C Mayor berarti not yang dimainkan adalah C – E –
G kemudian bar kedua diisi dengan chord DMayor7 (D – F# – A – C#) dan seterusnya.
31
2.2.5 MIDI
MIDI, adalah singkatan dari Musical Instrument Digital Interface. Dalam ilmu
komputer, MIDI adalah standar serial interface yang memungkinkan koneksi antara
synthesizer musik, instrumen musik dan komputer. Standar MIDI dibuat berdasarkan bagian
perangkat keras dan bagian penggambaran cara dimana musik dan suara di encode dan
dikomunikasikan antara perangkat MIDI. MIDI port adalah bagian perangkat keras dari
standar ini yang menentukan tipe saluran input/output. MIDI port menentukan tipe kabel
tertentu, sebuah kabel MIDI, yang terhubung ke port tersebut. Ada tiga tipe port yang
ditentukan oleh spesifikasi MIDI, yaitu, MIDI In, MIDI Out, dan MIDI Thru. Sebuah
synthesizer atau perangkat MIDI lainnya menerima pesan MIDI melalui port MIDI In. pesan
MIDI ini juga dikirimkan lagi melalui port MIDI Thru sehingga perangkat lainnya dapat
menerima pesan tersebut. Perangkat MIDI dapat mengirim pesan mereka sendiri ke perangkat
lainnya melalui port MIDI Out.
Informasi yang dikirimkan antar perangkat MIDI berada dalam bentuk yang disebut
MIDI message, yang mengkodekan aspek-aspek suara seperti pitch dan volume sebagai
informasi digital sebesar 8-bit bytes. Perangkat MIDI dapat digunakan untuk membuat,
merekam dan memainkan musik. Dengan menggunakan MIDI, komputer, synthesizer, dan
sequencer dapat saling berhubungan, apakah untuk mengendalikan tempo atau mengendalikan
musik yang dibuat oleh perangkat lainnya yang juga terhubung. Adanya standarisasi MIDI
oleh produsen synthesizer terkemuka cukup berpengaruh dalam suksesnya komputer dalam
profesi musik.
32
2.3 State Transition Diagram
State transition diagram (STD) atau yang juga dikenal sebagai behavioral modeling
adalah prinsip operasional untuk semua kebutuhan metode analisis. STD menggambarkan
perilaku dari sebuah sistem dengan menunjukkan kondisi (state) dan kejadian (event) yang
menyebabkan sistem berubah kondisi. Lebih lanjut, state transition diagram menunjukkan
tindakan apa (contohnya aktivasi proses) yang dijalankan sebagai hasil dari sebuah kejadian
tertentu. State digambarkan dengan kotak. Alur kendali digambarkan dengan tanda panah
memasuki dan keluar dari proses individu. Contoh dari STD digambarkan pada gambar 2.20.
Gambar 2.20 contoh STD pada software fotocopy
33
2.4 Flowchart
Flowchart adalah representasi skematik dari sebuah algoritma atau proses. Biasanya flowchart
digambarkan dengan symbol – symbol berikut:
• Symbol awal dan akhir, digambarkan sebagai kapsul, oval atau kotak dengan sudut
tumpul. Biasanya symbol ini berisi kata "Start" atau "End", atau frase lainnya yang
menunjukkan awal ataupun akhir dari sebuah proses
• "Flow of control" atau alur kendali pada ilmu computer digambarkan dengan panah.
Sebuah panah berasal dari sebuah symbol menunjuk ke symbol lainnya untuk
menggambarkan tahapan alur kendali.
• Langkah proses digambarkan dengan kotak. Kotak tersebut berisi perintah sederhana
• Input/Output, digambarkan dengan jajaran genjang.
• Kondisi digambarkan dengan limas atau diamond. Biasanya mengandung pertanyaan
dengan True/False.
Contoh flowchart digambarkan pada Gambar 2.21:
Gambar 2.21 Contoh Flowchart
34
2.5 Borland Delphi 6
Borland Delphi merupakan perangkat lunak yang dikembangkan oleh Borland dan
Delphi versi 6.0 ini merupakan pengembangan dari versi-versi sebelumnya.
Borland Delphi, atau yang lebih sering disebut Delphi, menggunakan bahasa
pemrograman Pascal. Delphi merupakan salah satu perangkat lunak yang banyak digunakan
oleh para programmer dunia saat ini. Dukungan Delphi terhadap control Active-X dan VCL
(Visual Component Library) menjadikan kompiler ini mudah digunakan dan cukup andal
untuk membangun program aplikasi Windows.(Nugroho, 2002, p1)
Delphi mengenkapsulasi fungsi-fungsi Windows API (Application Programming
Interface) yang terkenal rumit ke dalam fungsi, kelas, atau objek baru yang menjadi lebih
mudah digunakan. Dengan Delphi, seorang programmer dapat membuat program dengan
interface yang menarik secara lebih cepat dan mudah dengan memanfaatkan komponen-
komponen VCL yang telah disediakan.
Sebagai salah satu perangkat pemrograman berorientasi objek yang handal, Delphi
juga merupakan perangkat aplikasi database berbasis Windows, dengan kemampuan untuk
menggunakan bahasa SQL.
Saat ini komputer tidak hanya menangani informasi tetapi juga menampilkan gambar
di layar, menjalankan video, atau memperdengarkan suara. Delphi juga dapat memanfaatkan
multimedia untuk mengeluarkan suara atau musik. Umumnya Delphi akan memanggil
prosedur PlaySound dari komponen TMediaPlayer untuk memainkan sebuah file tipe wave
(ekstension WAV) atau memainkan suara sistem. Tipe file multimedia yang lain adalah MIDI.
File MIDI yang menyimpan suara berisi data mengenai alat musik yang dimainkan, dan
35
berapa lamanya musik tersebut. Keuntungan MIDI adalah ukuran filenya jauh lebih kecil
daripada file wave (Martina, 2000, p298-299).
Untuk dapat membuat dan mengkomposisi serta memainkan file MIDI, Delphi
membutuhkan komponen tambahan, antara lain yaitu komponen TMidiGen. TMidiGen
merupakan komponen yang dirancang oleh Alan Warriner yang dapat membantu dalam
membuat kreasi sederhana efek suara dan rangkaian not dan nada di dalam aplikasi tanpa
membutuhkan file-file ataupun sumber eksternal. TMidiGen merangkaikan data MIDI tersebut
di dalam memory. TMidiGen ini menyediakan 175 macam instrumen alat musik yang
mungkin disediakan dari sound card, penyesuaian volume suara, metode yang sederhana
dalam memainkan not-not tunggal, merangkaikan nada-nada dalam bentuk string, pengaturan
durasi sampai 10mS, dan lain sebagainya (Warriner, 2004, p1).