Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe olyan, hogy élei nem látszanak pontnak, lapjai nem látszanak szakasznak. A térbeli alakzaton, vagy ahhoz kapcsolva kitűntetünk három fő irányt, ezzel egy koordinátarendszerben helyezzük el azt. Az ábrázolást a tengelykereszt segítségével végezzük. Maga az axonometria szó jelentése: tengelyek mentén való mérés. Az ábrázolás során nemcsak a tengelyek irányában, hanem azokkal párhuzamos irányokban tudunk könnyen mérni.

Mielőtt a leképezést definiálnánk, azt nézzük meg, hogy milyen módon tudunk egy pontot a térbeli koordinátarendszerhez kötni. Adott a térben egy derékszögű ortonormált koordinátarendszer O origóval, x, y, z koordinátatengelyekkel és xE , yE , zE egységpontokkal. Egy általános helyzetű P pontot merőlegesen vetítünk az ún. koordinátasíkokra, azaz az [x,z], [z,y], [x,y] síkokra és rendre a P′ , P′′ , P′′′ pontokat kapjuk. Ezután a P pontot merőlegesen vetíthetjük a koordinátatengelyekre, ekkor rendre a xP , yP , zP pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, xE , xP pontokat. Ha a három pont x x(P E O) osztóviszonyát vesszük, akkor ez az érték a P pont első koordinátáját fogja adni. Hasonlóak igazak az y és z tengelyek estén is. Az O, xP , yP , zP , P′ , P′′ , P′′′ és a P pont egy ún. koordinátahasábot alkot a térben. A P pont axonometrikus ábrázolásánál ezt a hasábot fogjuk alkalmazni. Definíció:

Tekintsünk egy képsíkot. Ezen a képsíkon vegyünk fel egy általános helyzetű, de egyébként tetszőleges O , xE , yE , zE pontnégyest, melyek a térbeli origó és az egységpontok axonometrikus képei lesznek. Az xOE , yOE , zOE egyenesek a térbeli tengelyek képei lesznek, melyeket x , y , z jelölünk. Az x egyenesen xP az a pont, melyre x x x x(P E O) (P E O)= . Hasonló módszerrel a yP és zP pontok is egyértelműen meghatározhatók. Ezek után a

xP , yP , zP pontokból a tengelyek képeivel párhuzamosokat húzva felépítjük a koordinátahasáb síkbeli megfelelőjét, melynek az O -sal szemköztes csúcsa a térbeli P pont axonometrikus képe, melyet most P -vel jelölünk.

Megjegyzések − A szemléletesség miatt a z tengely képét általában függőlegesnek választjuk. − Egy pont ábrázolása során a koordinátatengelyekkel párhuzamosan húzott

egyeneseket rendezőknek nevezzük. − Nem keletkezik a koordinátahasáb, ha a pont illeszkedik a koordinátasíkok vagy

koordinátatengelyek valamelyikére. − Ha egy P pont ábrázolásánál ismerjük a P , P′ , P′′ , P′′′ pontnégyesből bármely két

pontot, akkor ezekből a koordinátahasáb axonometrikus képe meghatározható. − Általában egy P pontot a P , P′ pontpár megadásával ábrázolunk, a

koordinátahasáb további pontjait csak akkor tűntetjük fel, ha szükség van rájuk. − A tengelyekhez megadható egy valós szám, melyet az adott tengelyhez tartozó

rövidülésnek nevezünk. Tekintsünk egy szakaszt egy egyik koordinátatengelyen, illetve annak axonometrikus képét. Az axonometrikus képen mérhető hossz és a térbeli szakaszhossz hányadosát nevezzük az adott tengelyhez tartozó rövidülésnek. Például: az x tengely esetén a rövidülés (melyet xq -szel jelölünk) az

xOE szakasszal is kifejezhető.

x xx x

x

OE OEq : OE

OE 1= = =

− Az egyszerűbb betűzés kedvéért az axonometrikus képen a felülvonásokat elhagyjuk.

Az ábrázoló geometriai eljárásokban a képek készítéséhez vetítéseket alkalmazunk. Az axonometrikus leképezés előbbi definíciója azonban nem tartalmazott sem párhuzamos, sem középpontos vetítést, csak egy eljárást arra, hogyan kapható meg egy-egy pont képe a rajzunk síkján. Az eljárást azonban egyértelműen jellemzik az alábbi tulajdonságok:

− ponttartó − egyenestartó − illeszekedéstartó − osztóviszonytartó.

Az említett tulajdonságok éppen az affin leképezéseket definiálják, ezért elmondható, hogy az axonometria a térnek a síkra való affin leképezése. Abban azért különleges, hogy a háromdimenziós teret a kétdimenziós síkra lehet affin módon csak dimenzióvesztéssel leképezni, azaz egy elfajuló affin leképezést kaptunk. Az affin leképezés rendelkezik még egy jól kihasználható tulajdonsággal:

− párhuzamosságtartó. És ha már a tulajdonságoknál tartunk, akkor érdemes azt is megemlíteni, hogy mivel a képsíkon a tengelyek képeit szabadon választjuk, ezért az axonometrikus leképezés

− általában nem távolságtartó − általában nem szögtartó.

Az axonometrikus leképezés során az egyenestartó tulajdonság némi kiegészítésre szorul. Azt fogjuk tapasztalni, hogy általában egyenes képe egyenes lesz, de minden megadott axonmetriánál egy egyenesállás esetén azonban azt fogjuk tapasztalni, hogy ezen egyenesek képe pontként jelenik meg az ábrán. (Az ilyen egyenesállást fogjuk ax. vetítősugárnak hívni.) Az axonometrikus leképezés előbb felsorolt tulajdonságai a párhuzamos vetítést is jellemzik. Ezért jogosan merül fel a kérdés, hogy lehet-e kapcsolatot találni egy alakzat axonometrikus képe és párhuzamos vetítéssel nyert képe között.

Az axonometria alaptétele: Az alakzat axonometrikus képe mindig tekinthető az alakzat paralelvetülete affin megfelelőjeként. Másként fogalmazva: Az alakzat axonometrikus képe mindig affin az alakzat valamely paralelvetületéhez.

Bizonyítás: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 135. o.

Ez a tétel élesíthető, amely most azt jelenti, hogy a paralelvetület lehet speciálisabb is. Tétel

Az alakzat axonometrikus képe mindig tekinthet az alakzat ortogonális vetülete affin megfelelőjének.

Bizonyítás: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 136. o.

Ha az alaptételben nem a paralelvetületet szeretnénk speciálisabbnak választani, hanem az affin kapcsolatot, akkor egy olyan tételhez jutunk, melyet sokáig tekintettek az axonometria alaptételének. Pohlke-tétel (1853)

Egy alakzat axonometrikus képe mindig hasonló az alakzat valamely párhuzamos vetületéhez.

Bizonyítás: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 137. o. illetve egy másik bizonyítás a 11.-15 o.

A Pohlke-tétel ma már azért nem veszi át az alaptétel helyét, mert ha az axonometrikus leképezést magasabb dimenzióra általánosítanánk, akkor a Pohlke-tétel magasabb dimenzióban nem lenne igaz, míg a mostani alaptétel magasabb dimenzióban is megfogalmazható.

Az axonometriák csoportosítása Ha a háromdimenziós teret a definíció szerint axonometrikusan leképezzük a képsíkra, akkor vizsgálhatnánk azt, hogy az axonometriák milyen csoportokba sorolhatók. A csoportosítást a Pohlke-tételre utalva aszerint fogjuk elvégezni, hogy hogyan keletkezik az a paralelvetület, amelyhez hasonló az axonometrikus kép. Most nézzük a paralelvetítés során vizsgálható eseteket. Az egyik szempont lehet az, hogy a vetítés iránya a képsíkhoz képest ferde, vagy arra merőleges volt. Egy másik szempont lehet az, hogy az alakzatot egy térbeli koordinátarendszerben elhelyezve, ez a koordinátarendszer a képsíkhoz képest általános helyzetű volt-e, vagy sem. Az általános helyzet most azt jelenti, hogy egyik tengely sem merőleges a képsíkra. Abban az esetben, ha egy tengely merőleges a képsíkra, a tengelykeresztet speciálisnak mondjuk. És most lássuk a következő csoportokat:

1. Általános helyzetű tengelykeresztet a képsíkra ferde vetítési irány mellett vetítjük. 2. Általános helyzetű tengelykeresztet a képsíkra merőlegesen vetítjük. 3. Speciális helyzetű tengelykeresztet a képsíkra ferde vetítési irány mellett vetítjük. 4. Speciális helyzetű tengelykeresztet a képsíkra merőlegesen vetítjük.

Az előbbi csoportok segítenek az axonometriák csoportosításában. Általános axonometriák

Az 1. esetben nyert vetületre alkalmazzunk egy hasonlóságot. Ha „csak úgy” rajzolgatunk, akkor szinte biztos, hogy a rajzuk ebbe a csoportba fog tartozni.

Ferde axonometriák

A 2. esetben nyert vetületre alkalmazzunk egy hasonlóságot. Az ide tartozó axonometriákat egyértelműen felismerjük a képsíkra rajzolt tengelykereszt alapján. Példák: − Kavalieri ax. − katona (madár)-perspektíva − béka-perspektíva (Az előbbi perspektíva szó nem a középpontos vetítésen alapuló perspektív leképezést jelenti, hanem a nézőpont, olyan irányú nézet jelentésben használjuk.)

Ortogonális axonometriák A 2. esetben nyert vetületre alkalmazzunk egy hasonlóságot. A képsíkra rajzolt tengelykereszt esetén fontos szabályokat kell majd betartanunk, sokak szerint az alakzatok ortogonális axonometrában történő ábrázolása a merőleges vetítéssel való kapcsolat miatt a igen szemléletes. Példák: − izometrikus ax. − konvencionális ax.

A 4. esetben nem keletkezik szemléletes kép, ezért ebből a vetületből nem származtatunk axonometriát. Ennek az oka egyszerű: az axonometrikus kép célja a szemléletes kép készítése, és ebben az esetben ezt nem tudjuk elérni.

Feladatok: 1. Általános helyzetű pont ábrázolása 2. Koordinátasíkra illeszkedő pont ábrázolása 3. Egyenes ábrázolása 4. Pont illesztése egyenesre 5. Egyenes nyompontjai 6. Koordinátasíkra illeszkedő egyenes ábrázolása 7. Koordinátasíkkal párhuzamos egyenes ábrázolása

A következő alakzatok vetületi ábráiból készítsük el az alakzat axonomertrikus képét! A következő alakzatok axonometrikus képéből készítsük el az alakzat vetületi ábráját!

Helyzetgeometriai feladatok A következőkben helyzetgeometriai feladatokkal foglalkozunk, természetesen a teljesség igénye nélkül. Ezen feladatok megoldása során általános axonometriát használunk, de az összefüggések bármely speciális tengelykereszt esetén hasonlóan alkalmazhatók. Fontos az is, hogy ezen feladatok esetén az egységszakaszokat most nem tüntettük fel, mert az egységpontokat nem fogjuk felhasználni. (De természetesen egy axonometrikus leképzés akkor adott, ha nemcsak a tengelyek képeit adjuk meg, hanem az egységpontok képeit is!)

Térelemek ábrázolása Koordinátasíkokra illeszkedő egyenesek Az e egyenes az [x,z] síkra illeszkedő, egyik tengellyel sem párhuzamos egyenes. Mivel az [x,z] síkban van, az egyenes ax. és harmadik képe egybeesik: e=e’”, az első képe az x tengellyel, a második képe a z tengellyel egyezik meg: e’=x, e”=z. Az e egyenes minden pontja az [x,z] síkon van, ezért harmadik nyompontról nem beszélhetünk, míg az N1 és N2 nyompont létezik. (N1: az e és e’ metszéspontja, N2: e és e” metszéspontja) Az f egyenes az [y,z] síkra illeszkedő, y tengellyel párhuzamos egyenes. Mivel az [y,z] síkban van, az egyenes ax. és második képe egybeesik: f=f”, az első képe az y tengellyel egyezik meg: f’=y. Az f egyenes merőleges az [x,z] síkra, ezért az erre eső merőleges vetülete egy pont lesz: f’”. Az f egyenes minden pontja az [y,z] síkon van és ezzel együtt párhuzamos az [x,y] síkkal, sem első, sem második nyompontról nem beszélhetünk. Az N3 nyompont létezik, és egybeesik azzal a ponttal, amely az egyenes harmadik képe. Koordinátasíkokkal párhuzamos egyenesek A h egyenes párhuzamos az [y,z] síkkal, de egyik tengellyel sem párhuzamos. A h’ párhuzamos az y, a h’” párhuzamos a z tengellyel. Az ax. kép és a h” egymással párhuzamosak. Az egyenesnek két nyompontja van: N1 és N3, a második nyompont nem keletkezik, mert az egyenes nem metszi az [y,z] síkot. A g egyenes párhuzamos az x tengellyel, ezért a g’ és g’” is párhuzamos az x tengellyel. A g” egy pont lesz, mert a g egyenes merőleges az [y,z] síkra. Ez a pont lesz az egyenes egyetlen nyompontja is, az N2. Az előbbi g és h egyenesek egymáshoz képest kitérő helyzetben vannak, ami azt jelenti, hogy nem metszők és nem párhuzamosak. „A g egyenes a másik mögött halad.”

Egyenesek kölcsönös helyzete

1. Metsző egyenespár Az a és b egyenesek metszők, ha a két egyenesnek van egy közös pontja. Ez az M pont a vetületeken úgy jelenik meg, hogy M’ az a’ és b’ egyenesek metszéspontja, az M” az a” és b” metszéspontja stb. Minden ilyen esetben a két egyenes egy síkot határoz meg. Ez a sík lehet általános helyzetű. Ekkor a sík mindhárom koordinátasíkot elmetszi.

Az n1 első nyomvonal az egyenes első nyompontjait köti össze, az n2 áthalad az a egyenes második nyompontján, és teljesül az, hogy az n1 és n2 az y tengelyt ugyanabban a pontban metszi. Az n3 nyomvonal áthalad a b egyenes harmadik nyompontján. Természetesen az n2 áthalad mindkét egyenes második nyompontján, csak a b egyenes második nyompontja most elég messze esik, és nem látható, csak szerkeszthető. Hasonló mondható az a egyenes harmadik nyompontjáról is.

Metsző egyenespár speciális helyzetű síkot is meghatározhat. Most az egyenesek egy [x,y] síkra merőleges helyzetű síkot adnak. Ekkor az egyenesek első képe nem látszik metszőnek, hanem egybeesnek, de a közös pont első képe így is kijelölhető. A sík első nyomvonala most nem más, mint az egyenesek közös első képe, a másik két nyomvonal párhuzamos a z tengellyel.

Ha a két egyenes minden pontja ugyanolyan távol van az egyik koordinátasíktól, akkor két vetületen is egybeeső az egyenesek vetülete. Most az egyenesek párhuzamosak az [y,z] síkkal, ezért az első és harmadik képeik lesznek egybeesők. Ezek a közös vetületek lesznek a nyomvonalak is.

Párhuzamos egyenespár Ha két egyenes párhuzamos, akkor ez a vetületeken is megjelenik: a||b, a’||b’, a”||b”, a’”||b’”.

Párhuzamos egyenesekkel megadható speciális helyzetű sík is, most például egy [y,z] síkra merőleges sík. Ekkor az egyenesek második képei nem párhuzamosnak, hanem egybeesőnek látszanak, de minden más vetületre igaz a korábbi párhuzamossági feltétel. A sík második nyomvonala nem más, mint az egyenesek közös második képe, a másik két nyomvonal párhuzamos az x tengellyel. Ha a két

egyenes minden pontja ugyanolyan távol van az egyik koordinátasíktól, akkor két vetületen is egybeeső az egyenesek vetülete. Most az egyenesek párhuzamosak az [x,y] síkkal, ezért a második és harmadik képeik lesznek egybeesők. Ezek a közös vetületek lesznek a nyomvonalak is.

2. Kitérő egyenespár Mint azt korábban mondtam, ha két egyenesnek nincs közös pontja és nem is párhuzamos, akkor kitérőnek nevezzük. Az ábrázolásnál előfordulhat, hogy az ax. és első képük is metszőnek látszik, de ha ezeket a „metszéspontokat” összekötjük, akkor az nem lesz párhuzamos a z tengellyel. Egy másik lehetőség, hogy mondjuk az első képeik párhuzamosnak látszanak, de az ax. képek már nem.

Síkok megadása 1. Metsző egyenespárral

Lásd korábban. 2. Párhuzamos egyenespárral

Lásd korábban. 3. Három általános helyzetű ponttal

Ha három pont a térben általános helyzetű (azaz nem illeszkednek egy egyenesre), akkor a vetületeiktől is ezt várhatjuk. Ekkor az A’, B’, C’ is általános helyzetű, az A”, B”, C” is, stb. Ha egy síkot három ponttal adunk meg, akkor célszerű a rájuk illesztett háromszöglapot figyelni. Ez a láthatóság szerinti kihúzást könnyíti meg.

Ha három pont segítségével speciális helyzetű síkot szeretnénk megadni, akkor az egyik képen előfordulhat, hogy a három pont vetületei egy egyenesbe esnek, például, ha a sík merőleges az [x,y] síkra, akkor a pontok első képe egy egyenesre esik, de ez nem fordul elő a többi vetületnél.

Ha a pontok síkja párhuzamos az [x,z] síkkal, akkor az első és második képen is egy-egy egyenesbe esnek a pontok vetületei, de az ax. és a harmadik képen már ez nem fordulhat elő.

4. Egy egyenessel és rá nem illeszkedő ponttal

Ha a térben egy pont nem illeszkedik egy egyenesre, akkor ez általában a vetületen is így jelenik meg. Ekkor általános helyzetű síkot adtunk meg. Az ábrán egy speciális helyzetű síkot adtunk meg, ekkor a pont első képe illeszkedik az egyenes első képére, de a többi vetületen ennek már nem szabad előfordulnia.

Egyenes illesztése síkra Egyenest mindig két pontja segítségével tudunk egy síkra illeszteni. Ez azt jelenti, hogy olyan két pontot kell figyelni, melyekben az egyenes a sík korábban megrajzolt egyeneseit elmetszi. Ha tetszőleges egyenest kell a síkon felvenni, akkor az egyenes egyik képe szabadon kijelölhető, de a többi képét már ehhez szerkeszteni kell. Pl. ha adott egy egyenes ax. képe, akkor a sík korábbi egyeneseinek ax. képét elmetszi egy-egy pontban, és ezeknek az első képét meghatározzuk. Az első képekre illesztett egyenes a keresett egyenes első képe. A nyilak mutatják a szerkesztővonalak húzását. Pont illesztése síkra Pontot közvetlenül nem lehet a síkra illeszteni, csak akkor, ha megmondjuk, hogy a sík melyik egyenesén legyen. Az új pont egyik képe szabadon megadható, és ehhez a többi képet szerkesztenünk kell.

Ha pl. adott az új P pont ax. képe, akkor előbb olyan egyenest kell ábrázolni, amely ax. képe áthalad a pont ax. képén. Ezt tetszőlegesen választhatjuk, most legyen s. Meghatározzuk az s’-t az előbbi módon, majd azon kijelöljük a P’-t. (Ha szükség van rá, akkor a pont többi vetülete a P’-höz hasonlóan szerkeszthető.)

Sík metszése koordinátasíkra merőleges egyenessel

Az A pont az [x,z], a C pont az [y,z] síkra, a B pont a z tengelyre illeszkedik. Az ABC lapot a g egy x tengellyel párhuzamos egyenessel metsszük. A metszésnél fedő egyenest alkalmazunk, azaz a síknak ábrázoljuk azt az f egyenesét, amelynek az első képe egybeesik az e’-vel. Ekkor a g és f egyenesek metszéspontja a keresett metszéspont. (A D pont biztosan a síkra illeszkedik, mivel illeszkedik a sík f egyenesére.)

A háromszöglap éppen olyan helyzetű, mint az előző ábrán, de a metsző egyenes most a z tengellyel párhuzamos. Ekkor az egyenes első képe egy pont lesz, amely tulajdonképpen az egyenes bármely pontjának az első képe is. Így a keresett metszéspont első képe is itt van. Ekkor az a feladat, hogy ábrázoljuk a síknak azt a pontját, amelynek az első képe a D’. Ehhez a segédegyenes legyen a D-t a C-vel összekötő f egyenes. Ennek az első képét tudjuk megrajzolni, amely elmetszi az AB szakasz első képét. Ezt a pontot az ax. képen meghatározva, az f egyenes kimetszi a D-t az e egyenesből. Sík metszése általános helyzetű egyenessel

Nyomvonalakkal adott sík és az e egyenes metszéspontját keressük. Fedőegyenest alkalmazunk, vagyis a síknak azt az f egyenesét keressük, amely első képe az e’-vel esik egybe. Az f és e egyenesek a D pontban metszik egymást, amely a sík és egyenes keresett metszéspontja.

Az előbbihez hasonló módszert alkalmazhatunk, ha a sík három általános helyzetű ponttal van megadva. Az f egyenes ábrázolásánál azokat a pontokat használjuk, ahol az f elmetszi a háromszöglap oldalegyeneseit.

Sík és egyenes metszéspontjának meghatározása akkor a legegyszerűbb, ha a sík merőleges valamelyik koordinátasíkra. Most az [x,y] síkra merőleges sík és az e egyenes metszéspontjának első képe az e’ és az n1 metszéspontjában van, mivel az ilyen állású sík bármely pontjának első képe az első nyomvonalra illeszkedik.

Két sík metszésvonala Két sík metszésvonalát akkor tudjuk megszerkeszteni, ha ismerjük a síkok két közös pontját. Az egyik sík az [x,y] síkra merőleges, a másik egy általános helyzetű háromszöglap. Ekkor a két sík metszésvonalának első képe az n1 nyomvonalra esik, mivel ez az első nyomvonal a sík minden egyenesének az első képe is egyben. Az A és B pontok a háromszög két oldalának és a másik síknak a közös pontjai.

Ha mindkét sík nyomvonalakkal van megadva, akkor meg kell keresnünk, hogy az egy koordinátasíkra illeszkedő nyomvonalak metszéspontját. Most az első és harmadik nyomvonalak metszéspontjait tudjuk felhasználni. Az n1 és s1 metszéspontja a metszésvonal első nyompontja, az n3 és s3 metszéspontja a metszésvonal harmadik nyompontja. Ezek összekötő egyenese az m metszésvonal. (Ha meghosszabbítjuk a második nyomvonalakat, akkor azok metszéspontja is az m egyenesre illeszkedik.) Hasáb metszése általános helyzetű egyenessel

A hasáb az [x,y] síkon álló egyenes hasáb. Ekkor az alapnégyszöget úgy is tekinthetjük, hogy az oldallapok vetülete az [x,y] síkon. Ezért azok a pontok, ahol az egyenes első képe elmetszi az alapnégyszöget, a metszéspontok első képei lesznek. Az egyenes az A és B pontok között a hasáb belsejében halad, és most a hasábon kívüli részek láthatók, mivel a hasáb előtt vannak.

Gúla metszése általános helyzetű egyenessel A gúla az [x,y] síkon álló egyenes gúla. A metszéspontok első képe nem látható közvetlenül, ezért segítségül hívjuk az egyenes első vetítősíkját. Ez az a sík, amely az [x,y] síkra vetíti az egyenest. Ezt a vetítősíkot a gúla MB éle az s pontban metszi, és ezzel láthatóvá válik, hogy ez a vetítősík a gúlából egy háromszöget metsz ki. Ennek a háromszögnek és az egyenesnek a közös pontjai: 1 és 2. Az egyenes az 1 és 2 pontok között a gúla belsejében halad, és most a gúlán kívüli részek láthatók, mivel a gúla előtt vannak.

Hasáb metszése általános helyzetű síkkal

Az [x,y] síkon álló hasábot egy ABC háromszöglappal metsszük. Most a B pont a hasáb belsejében van, az A és C a hasábon kívül. A háromszög oldalainak első képei a hasáb alapnégyszögét elmetszik (négy helyen), ezért meghatározható négy metszéspont. Ennek megfelelően a háromszög két „sarka” kilóg a hasábból, az A12 és C34. Ezek láthatók, mert a hasáb előtt vannak.

Ha módosítjuk az előbbi síkot, akkor elérhető, hogy az AC oldal ne metsszen bele a hasábba. Az AB és BC oldalak hasábbal alkotott közös pontjai az előbbi módon határozhatók meg, csak nem köthetjük össze azokat, mert a hasáb különböző lapjain vannak. (A szakasz a hasáb belsejében haladna.) az első képen látható, hogy a hasáb egyik éle z tengellyel párhuzamos éle belemetsz a háromszöglapba, és ennek a metszéspontnak az első képe a 3’. A 3 meghatározásához egy segédegyenest alkalmazunk, amely a 3 és 2 pontokat köti össze, ezt az s egyenest kell a sík ax. képén felvenni. A 3 pont a hasáb élének az s-sel alkotott metszéspontja. Gúla metszése koordinátasíkra merőleges síkkal

Gyakran fordul elő, hogy egy hasáb, vagy gúla síkkal való metszését azért végezzük el, hogy csonkoljuk a testet. Most az [y,z] síkra merőleges síkkal végezzük a csonkolást. A sík elég kellemes helyzetben van, mert a második képen leolvasható a keletkező metszéspontok második képei. Ezeket „visszavetítve” a gúla éleire meghatározható a metszet. A gúla felső részét eltávolítottuk.

Hasáb csonkolása általános helyzetű síkkal A hasáb esetén a keresett metszéspontok első képei éppen a hasáb alaplapjának csúcspontjaival esnek egybe. Ezért az a feladat, hogy a nyomvonalakkal adott síkon azt a négy pontot ábrázoljuk, amely adott az első képe. Páronként segédegyenest vezetünk át a pontokon, és első lépésben az e és f egyeneseket illesztjük a síkra. Az e és f egyenesek a hasáb éleiből kimetszik a z 1, 2, 3, 4 pontokat. A hasáb felső részét eltávolítottuk.

További feladatok:

1. Axonometrikus vetítőegyenes ábrázolása 2. Axonometrikus vetítősík ábrázolása (nyomvonalakkal, három általános helyzetű

ponttal, metsző egyenespárral stb.) 3. Axonometrikus vetítőegyenes és általános helyzetű sík metszéspontja 4. Axonometrikus vetítősík és általános helyzetű egyenes metszéspontja

Ortogonális axonometria

Mint az már korábban láttuk az ortogonális axonometria úgy keletkezik, hogy egy általános helyzetű tengelykeresztet (és a hozzá kapcsolt alakzatot) a képsíkra merőlegesen vetítjük, majd a keletkezett képre alkalmazunk (alkalmazhatunk) hasonlósági transzformációt. Mivel a térbeli tengelykereszt a képsíkhoz képest általános helyzetű, ezért mindhárom tengely a képsíkot elmetszi. A keletkezett metszéspontok rendre xN ,

yN , zN és az x y zN N N háromszöget nyomháromszögnek nevezzük. Tétel

Az x y zN N N nyomháromszög mindig hegyesszögű.

Bizonyítás: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 45. o.

Most tekintsük a tengelyek vetületeit. Például a z tengely merőleges az [x,y] síkra így annak bármely egyenesére, köztük az x yN N -ra. Ha most a z tengelyt merőlegesen vetítjük az ax. képsíkra (melyet az xN , yN , zN pontok feszítenek fel), akkor a vetület is merőleges az

x yN N -ra. Ezzel belátható, hogy a z tengely képe a nyomháromszög egyik magasságvonalába esik. Ugyanez igaz a másik két tengelyre is. Ezért kimondható a következő:

Tétel Az ortogonális ax. tengelyeinek ax. képei a nyomháromszög magasságvonalai, az O origó ax. képe a nyomháromszög magasságpontja. Következmény Az x y zN N N nyomháromszög hegyesszögűségéből következik, hogy az xON ,

yON , zON félegyenesek ax. képei tompaszöget zárnak be.

Tétel Minden hegyesszögű x y zN N N háromszöghöz tartozik olyan derékszögű térbeli koordinátarendszer, amelynek a nyomháromszöge éppen az x y zN N N .

Bizonyítás: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 46. o.

A bizonyításból is látszik, hogy egy nyomháromszöghöz két térbeli koordinátarendszer tartozik, melyek a képsíkra nézve szimmetrikusan helyezkednek el.

Általában a térbeli koordinátarendszer középpontját a képsík mögött választjuk. Azt is fontos megemlíteni, hogy az ax. képsíkot átlátszónak tekintjük, de a koordinátasíkokat azonban nem.

Azt már láttuk, hogy ortogonális axonometriában a tengelyek vetületei nem vehetők fel tetszőlegesen. Azt még csak sejthetjük, hogy az egységszakaszok képei sem jelölhetők ki akárhogyan. Most az egységszakaszok kijelölésére adunk egy eljárást. Ennek az lesz az alapgondolata, hogy a koordinátasíkok a nyomháromszög oldalegyenesei körül a képsíkba forgatható.

Lássuk ezt elsőként az [x,y] sík esetén. A beforgatott képen az x és y tengelyek egymásara merőlegesek lesznek. Ekkor az O origó forgatott képe az x yN N szakasz fölé írt Thalész-körre illeszkedik. Ha a beforgatást folyamatában figyeljük, akkor az O pont egy képsíkra (és az x yN N nyomvonalra!) merőleges síkban egy körívet ír le, melyet a képsíkra vetítve a nyomvonalra merőleges szakaszt kapunk. Ez a szerkesztésben úgy használható,

hogy az Oº pontot a Thalész-körből az O-ból az x yN N egyenesre állított merőleges metszi ki. Ez a merőleges tulajdonképpen egybeesik (vagy ha úgy akarjuk a folytatása) a z tengely képének.

Ezzel az [x,y] sík ax. képe és beforgatott képe között egy ortogonális tengelyes affinitás létesítettünk. Ha a beforgatott képen az egységpontok képeit kijelöljük, akkor azokat visszaforgatva (az affinitást felhasználva) az egységpontok ax. képét kapjuk. Egy másik koordinátasík beforgatásával a z tengelyen is kijelölhető az egységpont. Fontos megjegyezni, hogy az egységszakaszok képei nem jelölhetők ki tetszőlegesen! A szerkesztésből is látszik, hogy egyrészt a nyomháromszög „formája”, másrészt a térbeli egységszakasz meghatározza. A merőleges vetítés esetén a rövidülésnek kapcsolata van az adott tengely képsíkszögével. Most a merőleges vetítés után nem alkalmazunk hasonlósági transzformációt, hanem a merőleges vetületet tekintjük ax. képnek. Tétel

A tengelyek rövidülése a tengelyek képsíkszögének koszinuszával egyenlő. Bizonyítás

Már korábban említettük, hogy a rövidülés megadásához szükségünk van egy tengelyirányú szakasz hosszára és az ax. képének a hosszára. Az ax. képen mérhető hossz és a térbeli szakaszhossz hányadosát nevezzük az adott tengelyhez tartozó rövidülésnek. Tekintsük az x tengely rövidülését és az x tengely képsíkszögét jelölje α .

Ekkor

xx

x

OEq : cos

OEα= = .

Hasonló összefüggések igazak a többi tengely esetén is. Megjegyzés

Miután a rövidülés nem más, mint az adott tengely képsíkszögének koszinusza, és mivel a tengelyek képsíkszöge 0º és 90º közé esik, ezért a rövidülések értéke 0 és 1 közötti értéket vehet fel!

x0 q 1< < , y0 q 1< < , z0 q 1< <

Érdemes még azt is megvizsgálni, hogy milyen kapcsolat van a három rövidülés között ortogonális ax. esetén. Tekintsünk a térbeli tengelykeresztet és a képsíkot. A tengelyek képsíkszögét jelölje rendre α , β , χ , ekkor a rövidülések xq cosα= ,

yq cosβ= , zq cos χ= . Állítsunk merőlegest O-ból a képsíkra, ez az n egyenes a tengelyekkel rendre 1α ,

1β , 1χ szögeket zár be, melyek az α , β , χ pótszögei.

1cos sinα α= , 1cos sinβ β= , 1cos sinχ χ= . Térgeometriából ismert, hogy egy egyenes iránykoszinuszainak négyzetösszege 1-gyel egyenlő: 2 2 2

1 1 1cos cos cos 1α β χ+ + = . A szögek szinuszaira való áttérés után: 2 2 2

1 1 11 sin 1 sin 1 sin 1α β χ− + − + − = , azaz 2 2 2

1 1 1sin sin sin 2α β χ+ + = . A pótszögek szögfüggvényeire teljesül:

1cos sinα α= , 1cos sinβ β= , 1cos sinχ χ= . A helyettesítéseket elvégezve: 2 2 2cos cos cos 2α β χ+ + = . Mindez azt jelenti, hogy ortogonális ax. esetén a rövidülések négyzetösszege 2-vel egyenlő. Ezzel beláttuk a következő tételt: Tétel

Ortogonális axonometria esetén a tengelyek rövidülésének négyzetösszege 2, azaz 2 2 2

x y zq q q 2+ + = . További összefüggések a rövidülések között: − Ha a rövidülés értéke 0 és 1 közé esik, akkor a négyzetére is teljesül ugyanez:

2x0 q 1< < , 2

y0 q 1< < , 2z0 q 1< < .

− Ha a tételben leírt egyenlőséget és a fenti egyenlőtlenségeket felhasználjuk, akkor 2 2x yq q 1+ > , 2 2

y zq q 1+ > , 2 2x zq q 1+ > .

− Ha még tovább gondoljuk az egyenlőtlenségeket, akkor 2 2 2x y zq q q+ > , 2 2 2

y z xq q q+ > , 2 2 2x z yq q q+ > .

Ortogonális ax. tengelykeresztjének szerkesztése a rövidülések arányából

Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 48-49. o.

Nyomelemek az ax. képsíkban Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 52. o.

Metrikus feladatok A metszési- és illeszkedési feladatok esetében nem használtuk a tengelyeken az egységszakaszok képeit. Most minden olyan feladatban, melyek a távolságok és szögek mérésével kapcsolatosak, már használjuk a tengelyeken az egységeket. A metrikus feladatok esetén vannak egyszerűen megoldhatóak. A tengelyek irányában, azaz a főirányokban tudunk mérni. Tudjuk azt is, hogy a tengelyek páronként egymásra merőlegesek, ezt a velük párhuzamos egyenesek szögének mérésénél is kihasználhatjuk. Találhatunk még könnyen mérhető szöget, ha az egyik koordinátasíkon egy egységnégyzetet veszünk, akkor annak az átlói is merőlegesek lesznek egymásra. Minden más esetben az alapgondolat az lesz, hogy térjünk át Monge-projekcióra. Az áttérés módja függ attól, hogy éppen milyen axonometriát alakzatunk. 1. Kavalier-ax.

Ez volt az az ax., ahol az ax. képsík egybeesik, vagy párhuzamos az [y,z] síkkal, a vetítés, amely az ax. képet, vagy ahhoz hasonló ábrát állít elő, ferde szögű. Most a hasonlóságtól érdemes eltekinteni. A gyakran frontális ax.-nak nevezett ábrázolás során az alakzatok második képe eredeti méretben látszik. Így például egy ax. képsíkkal párhuzamos szakasz vagy lap méreteire vagyunk kíváncsiak, akkor ez a második képen (az [y,z] síkra eső merőleges vetületen) olvasható le.

Ha már Monge-projekcióra szeretnénk áttérni, akkor éppen ezt a képet lehet Monge-beli második képnek is használni, mivel a kép merőleges vetítéssel keletkezett. A Monge-beli első képsíknak az [x,y] síkot fogjuk választani, erre is történik egy merőleges vetítés az ax. kép készítése során. Forgassuk be az [x,y] síkot az [y,z] síkba a képsíkok egyesítésének szabálya szerint. Ekkor egy Monge-féle két képsíkos rendszert egyesítettünk.

Egy térbeli alakzat ezzel a következő vetítéseket „szenvedte el” az ax. kép készítése során: − Vetítjük a koordinátasíkokra merőlegesen. − Egy i irány felhasználásával a koordinátasíkokra eső vetületeket és magát az

alakzatot is vetítjük az ax. képsíkra. A Monge-féle képek készítése során: − A K1=[x,y] és K2=[y,z] képsíkokra merőlegesen vetítjük. − A K1-t beforgatjuk, ez a beforgatás helyettesíthető egy olyan vetítéssel, amelynek

az iránya a K2=[y,z] képsíkkal 45º-os szöget zár be, és ez az irány még az y tengelyre merőleges is.

Mindezekből az következik, hogy a az ax. első kép és a Monge-féle első kép ugyanannak a síknak (nevezetesen az [x,y] síknak) két különböző irány alkalmazásával készült vetülete, így közöttük affin kapcsolat van! Ez az affinitás tengelyes affinitás, tengelye az y tengely, iránya az Ex(Ex). Ezt a szerkesztésben is felhasználjuk.

Egy P pont esetén alkalmazzuk az előbbi affinitást! Feladatok:

1. Szakasz hosszának meghatározása 2. Adott egy általános helyzetű sík

nyomvonalakkal. Állítsunk merőlegest a síkra az origóból!

3. Határozzuk meg, hogy milyen távol van az előbbi sík az origótól!

Előfordulhat olyan eset is, amikor mégsem kell áttérni a Monge-rendszerre. Ezekben az esetekben az ax. első és második képek segítik a feladat megoldását!

Feladatok 1. Adott egy x tengellyel párhuzamos sík. Állítsunk merőlegest a síkra! 2. Adott egy [y,z] síkkal párhuzamos szakasz. Határozzuk meg a hosszát!

2. Általános ax. Ebben az esetben úgy keletkezett az ax. kép, hogy egy képsíkhoz képest általános helyzetű tengelykeresztet ferde irány segítségével vetítettünk a képsíkra. A Monge-rendszer bevezetése közvetlenül nem valósítható meg. Ennek az az oka, hogy egy ilyen térbeli elhelyezkedés esetén nehezen találhatnánk két egymásra merőleges síkot, melyek Monge-féle képsíkok lehetnének. Hogy mégis mérni tudunk, az annak köszönhető, hogy az általános ax. tengelykeresztjére egy olyan affinitást alkalmazunk, ahol a kép egy Kavalier-ax.-t ad. Ez az affin leképezés három általános helyzetű pontpár által adható meg. Az Ez, O, Ey pontok képeit úgy választjuk, hogy az z

ˆE O és

yˆE O szakaszok egymásra merőlegesek legyenek és az általunk választott térbeli

egységgel egyenlő hosszúságúak legyenek. (Érdemes elgondolkodni azon, hogy egy ilyen módon adott affinitásban hogyan határoznánk meg az xE pontot! Természetesen az affinitást alkalmazni kell az ábrázolt alakzat minden lényeges pontjára is.) Ekkor ehhez az egységhez viszonyítva tudunk távolságokat meghatározni.

3. Ortogonális ax.

Általános helyzetű térbeli koordinátarendszert a képsíkra merőlegesen vetítettünk és most a hasonlósági transzformációtól ismét eltekintünk. Miután merőleges vetítés történt, célszerű a Monge-rendszer egyik képsíkjának az ax. képsíkot választani. A másik képsík legyen valamelyik tengely vetítősíkja, vagy azzal párhuzamos sík. Most a K4 a z tengely V vetítősíkjával párhuzamos. Ekkor az xa,4 tengely párhuzamos a z tengely ax. képével. Ha eldöntöttük, hogy az origó a képsík előtt vagy mögött van, akkor az OIV kijelölésében azt használjuk ki, hogy a térbeli z tengely és az [x,y] sík egymásra merőleges.

Adott sík beforgatása az axonometrikus képsíkba A metrikus feladatok megoldása során előfordulhat az is, hogy egy adott síkon valamilyen méretekkel adott alakzatot kell ábrázolnunk, vagy egy korábban ábrázolt alakzat méreteit kellene leolvasnunk. Ebben esetben a sík egy részletét jó lenne valódi nagyságban látnunk. Már a Monge-projekcióban is alkalmaztuk azt az eljárást, hogy egy síkot képsíkba forgattuk a nyomvonal körül. Most hasonló eljárásra készülünk az axonometrikus leképezésben is. Ismétlés:

− Monge-projekcióban egy sík képsíkba forgatása a nyomvonal körül (leforgatási háromszög, tengelyes affinitás az alakzat vetülete és forgatott képe között)

1. Kavalier-ax.

Adott Kavalier-ax.-ban egy Σ sík nyomvonalakkal. Forgassuk a síkot az ax. képsíkba az ax. nyomvonal mentén! Ebben az esetben az ax. nyomvonal egybeesik a sík második nyomvonalával, ez lesz a forgatás tengelye. Elegendő egy pont forgatását megmutatni. Ez a pont legyen az első és harmadik nyomvonalak A-val jelölt metszéspontja. Az A pont forgatása egy n2-re merőleges síkban történik, ez a sík tartalmazza a leforgatási háromszöget. A háromszög csúcsai a térben a következők:

− A, − az A pont merőleges vetülete az ax. képsíkon (azaz az A” pont), és − az A pontból az n2-re állított merőleges T talppontja.

A leforgatási háromszög egyik befogója az x tengelyre illeszkedik (ez az AA” szakasz), a másik befogója az ax. képsíkra illeszkedik, az átfogó az a pont és a nyomvonal távolságát mutatja. A leforgatási háromszöget az ax. képsíkba „döntjük” a szerkesztés könnyítése végett. Egy síkbeli alakzat képsíkra eső merőleges vetülete (azaz az alakzat második képe) és a beforgatottja között ortogonális tengelyes affinitás van! Feladat: Milyen kapcsolat van egy síkbeli alakzat ax. képe és a beforgatottja között?

2. Ortogonális ax.

Adott ortogonális ax.-ban egy Σ sík nyomvonalakkal. Forgassuk a síkot az ax. képsíkba az ax. nyomvonal mentén! Az ax. képsík most különválik a koordinátasíkoktól, ez egy kissé bonyolultabbá teszi a feladatot. Először meghatározzuk a forgatás tengelyét, amely nem más, mint a sík ax. nyomvonala (n-nel jelöljük). A forgatáshoz szükségünk van egy pontra, legyen ez Σ sík y tengellyel közös pontja, melyet A-val jelöltünk. A leforgatási háromszög most is a képsíkra merőleges helyzetben kereshető, az egyik befogója a képsíkon fekszik, a másik az a pontot vetíti a képsíkra (vagyis most a füzet síkjára merőleges). Az átfogó az A pont és az n távolságát méri. (Modell!!) A leforgatási háromszöget most is képsíkba fogjuk „dönteni”. Képzeljük el, hogy az origó és ezzel az A pont is a képsík mögött van. A rajzunkban megjelenő A pont tulajdonképpen ax. kép (csak az egyszerűség kedvéért használjuk ezt a jelölést), ezért a forgatási háromszög egyik befogója a füzet/tábla síkjára „fekszik”. Az A pont távolságát a képsíktól egy IV. kép segítségével határozható meg, ez a forgatási háromszög másik befogójának hossza. A két befogóból a derékszögű háromszög átfogója szerkeszthető, és ezzel az A pont képsíkbaforgatott képe is szerkeszthető.

Körábárzolás

Legyen az a feladat, hogy általános ax.-ban az [x,y] síkon egy tetszőleges középpontú 2 egység sugarú kört ábrázoljunk. Ehhez az ábrázolandó kört befoglaljuk egy x és y tengelyekkel párhuzamos oldalú érintőnégyzetbe. Ez az axonometrikus képen egy paralelogrammának látszik, melynek a K pont a középpontja. A kör ellipszisnek látszik, és az a négy pontja határozható meg, melyek az x és y tengelyekkel párhuzamos átmérők végpontjai. Az y tengellyel párhuzamos, K-n

áthaladó egyenesen K-tól mindkét irányba felmérjük az y tengely egységszakaszának kétszeresét. A kapott pontok: A és B. Az x tengellyel párhuzamos egyenesre az x tengely egységszakaszának kétszeresét mérve a C és D pontokat kapjuk. Az axonometrikus képen AB és CD az ellipszis konjugált átmérőpárja.

További ellipszispontokat a tengelyes affinitás felhasználásával szerkeszthetünk, erre mutatunk egy lehetőséget. (Olyan affinitást választottam, amelynél az ellipszis és a képkör szétválik.)

Oldjuk meg a feladatot Kavalier-ax.-ban is. Ekkor az ábrázolandó kör ax. képe egy ellipszis lesz, melyet a koordinátatengelyekkel párhuzamos átmérők segítségével ábrázolunk.

További ellipszispontok meghatározására most is affinitást alkalmazhatunk. Például azt az affinitást, melyet úgy kapunk, ha a koordinátasíkot a képsíkba forgatjuk. Ahogy azt már korábban láttuk az affinitás tengelye ekkor az y tengely. Ebben az esetben előfordulhat, hogy az ellipszis és a kör részben fedi egymást.

Adott síkra illeszkedő kör ábrázolása Kavalier-ax.-ban Feladat:

Ábrázoljunk egy olyan kört a nyomvonalakkal adott síkon, amely érinti az n1 és n2 nyomvonalakat!

Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 34. o. Vázlatosan:

A síkot a második nyomvonal körül képsíkba forgatjuk. Ekkor az adott sík második képe és forgatott képe között ortogonális tengelyes affinitás keletkezik. A forgatott képen megadjuk a az ábrázolni kívánt kört, majd az előbbi affinitás segítségével megszerkesztjük a képét, amely most második kép lesz:

Tudjuk, hogy az adott sík forgatott és ax. képe között is tengelyes affinitás van, csak ez most egy ferde affinitás. Ennek az affinitásnak a felhasználásával a körünk ax. képe szerkeszthető meg.

Végül azt is érdemes észrevenni, hogy a kör második és ax. képe között is tengelyes affinitás van, ennek az iránya párhuzamos az x tengellyel.

Kúp ábrázolása Csak koordinátasíkra állított, egyenes kúpot ábrázolunk. Ehhez szükség van az alapkör ábrázolására. Ennek a lépéseit már korábban láthattuk. Az alapkört most az [x,y] síkban vesszük fel, legyen ez egy olyan kör 2 egység sugarú olyan kör, amely érinti az x és y tengelyeket. A kúp forgástengelye (amely egyben a magasság egyenese is) párhuzamos a z tengellyel. Jelölje ezt az egyenest m. Erre az egyenesre kell a kúp magasságát felmérni. Most a kúp magassága 2 egység, a kapott csúcspont legyen M.

M-ből indulnak a kúp alkotói. Ahhoz, hogy a kúp körrajzát megadjuk, szükség van a kontúralkotókra. Ezeket az ax. képen úgy látjuk, hogy az ellipszist (az alapkör ax. képét) érintik. Az a feladat, hogy az M-ből érintőket húzzunk a konjugált átmérőpárral adott ellipszishez. Ezt most egy síkbeli

szerkesztéssel határozzuk, meg, vagyis semmilyen térbeli magyarázatot

nem fűzünk a lépésekhez. Az ellipszishez megadunk egy olyan kört, mellyel az affin kapcsolatban van. Az M pont az m egyenesen helyezkedik el, amely áthalad az ellipszis középpontján. Ekkor az affin képe, azaz az M*, hasonló módon kötődik a kör középpontjához, vagyis a kör középpontján áthaladó egyenesen lesz. A tengelyes affinitás egyik tulajdonsága, hogy egy egyenes és az affin képe az affinitás tengelyét ugyanabban a pontban metszi. Most az m és m* a tengelyt ugyanott metszi el, az M* pontot az affinitás irányával párhuzamos egyenes metszi ki az m- egyenesből.

Az M-ből ellipszisérintőket akarunk meghatározni, akkor ennek az affinitás használva az M*-ból húzott körérintők felelnek meg. A kört az e* és f* egyenesek érintik az E* és F* pontokban.

Az e és e*, valamint az f és f* egyenesek a tengelyt ugyanabban a pontban metszik, ezzel az e és f egyenesek rajzolhatók, melyeket az E és F érintési pontok az affinitás irányával jelölhetők ki.

És végül láthatóság szerint a kúp:

Henger ábrázolása

Csak koordinátasíkra állított, egyenes hengert ábrázolunk. Ehhez szükség van az alapkör ábrázolására. Ennek a lépéseit már korábban láthattuk. Az alapkört most az [x,y] síkban vesszük fel, legyen ez egy olyan kör 2 egység sugarú olyan kör, amely érinti az x és y tengelyeket. A henger forgástengelye (amely egyben a magasság egyenese is) párhuzamos a z tengellyel. Jelölje ezt az egyenest m. Erre az

egyenesre kell a henger magasságát felmérni. Most a henger magassága 2 egység, a fedőkör középpontját kapjuk. A fedőkör az alapkörrel egybevágó, azért az előbbivel egybevágó ellipszist kell megrajzolnunk. (Tulajdonképpen két egységgel megemeltük az alapkört.) A henger alkotói párhuzamosak az m egyenessel és 2 egység hosszúak.

A körvonalra eső alkotókat úgy kapjuk, hogy a két ellipszishez m-mel párhuzamos érintőket szerkesztünk. Ehhez tengelyes affinitást alkalmazunk. Most is síkgeometriai szerkesztést végzünk, a vonalakhoz nem keresünk térbeli magyarázatot. Felveszünk egy olyan kört, amely az alapellipszissel tengelyes affin kapcsolatban van.

Meghatározzuk az m* egyenest, ugyanis az alapellipszis m-mel párhuzamos érintőinek a kör m*-gal párhuzamos érintői felelnek meg. Ezek az érintők az A az e* és f* egyenesek, melyek az E* és F* pontokban érintenek. (Az E*F* az m*-ra merőleges átmérő végpontjai.)

Az e és e*, valamint az f és f* egyenesek a tengelyt ugyanabban a pontban metszik, ezzel az e és f egyenesek rajzolhatók, melyeket az E és F érintési pontok az affinitás irányával jelölhetők ki.

Az E és F pontok fölött két egységgel találhatók a fedőkör érintési pontjai.

És végül láthatóság szerint van feltüntetve a henger.

Gömb ábrázolása ortogonális axonometriában Az ortogonális axonometriát a nyomháromszög segítségével adjuk meg, majd felmérjük az egységeket. (Ennek a lépéseit most nem mutatom.) Egy O középpontú egységnyi sugarú kört ábrázolunk. Ortogonális axonometriában bármilyen gömb ábrázolása során a képkörrajz kör, mivel a kép ortogonális vetítésből származik. Jelen esetben ez O középpontú. Egységnyi sugarú kör. (Fontos megjegyezni, hogy a tengelyekre felmért egységpontok a körrajz belsejében vannak!)

A szemléletesség kedvéért ábrázolni fogjuk a gömb koordinátasíkokkal alkotott metszeteit. Ezek mindannyian a gömb főkörei, melyek az ax. képen egy-egy ellipszisnek látszanak. Például az [xy] síkon lévő kör esetén az OEx és OEy szakaszok az ellipszis konjugált fél-átmérői. Ezekből a fél-átmérőkből az ellipszis elég jól közelíthető. Ehhez hasonlóan a másik két koordinátasíkban fekvő főköröket is ábrázoljuk.

Most egy ábrában láthatjuk az előbb említett főkörök vetületeit, és a képkörrajzot. Vegyük észre, hogy az ellipszisek érintik a képkörrajzot, az érintkezés a leghosszabb ellipszis-átmérő végpontjaiban valósul meg. (nagytengely végpontjai!) Kérdés: Hogyan határozhatjuk meg a nagytengelyek állását? Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 54. o. Végül a főkörökkel szemléletesebbé tett gömb láthatóság szerint:

Gömb ábrázolása Kavalier-axonometriában

O középpontú, és egységnyi sugarú gömböt ábrázolunk. Ebben az ábrázolási módban a kép ferde vetítéssel keletkezik, ezért a gömb képkörrajza ellipszis lesz. Az ellipszis fél-kistengelye a gömb sugarával egyezik meg (most egységnyi). A nagytengely meghatározása: Forgassuk be az x tengely vetítősíkját az ax. képsíkba a gömbből kimetszett főkörrel együtt. (v) a vetítési irány forgatottja, beforgatott főkör (v)-tal párhuzamos érintői jelölik ki a nagytengely végpontjait. Segítségként érdemes átolvasni: Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 12. o.

Az ortogonális ax.-ban ábrázolt gömbhöz hasonlóan feltüntetjük a koordinátasíkokban fekvő főköröket, ezek ábrázolása most is a konjugált félátmérők felhasználásával történik. Mivel az [yz] sík maga az ax. képsík, a benne fekvő főkör valódi méretben látszik, azaz egységnyi sugarú kör. Most is teljesül, hogy az előbbi főkörök vetületei érintik a képkörrajzot, az [yz] síkban fekvő a képkörrajz-ellipszist a kistengely végpontjaiban érinti. Kérdés: Hol van a többi érintési pont?

Forgásfelület szemléltetése Adjunk meg egy törött vonalat, amelyet egy t tengely körül megforgatva szeretnénk egy forgásfelületet előállítani, és erről a felületről egy szemléltető ábrát készítünk. Ilyenkor érdemes olyan Kavalier-axonometriát választani, ahol az x tengely rövidülések 1-gyel egyenlő, mert ekkor minden tengely irányában könnyen mérhetünk távolságokat. Ha a forgástengelyt az x tengellyel párhuzamosnak választjuk, akkor a felület paralelkörei az ax. képen körnek látszanak, amely szintén könnyíti az ábrázolást.

Az ábrázolás lépései: − A t tengely második nyompontja

legyen a K1 pont. A K1-től kezdve kijelöljük a paralelkörök középpontjait. A szükséges távolságok a másik ábrából leolvashatók.

− A megfelelő sugarú paralelköröket megrajzoljuk. (A K2 körül a és b sugárral is kell!)

− A körrajz kialakításánál a hengerek esetén a paralelkörök közös külső érintői párhuzamosak a forgástengellyel. A csonkakúpok esetén is a közös külső érintők kellenek, csak ezek most nem párhuzamosak a forgástengellyel.

Végül láthatóság szerint kihúzzuk az ábrát.

Áthatás Adott egy [xy] síkon álló egyenes körkúp, és egy olyan egyenes körhenger, melynek alkotói párhuzamosak az x tengellyel. A felületek úgy helyezkednek el, hogy egy pontban érintkeznek. Határozzuk meg az áthatásukat! Gondoljuk végig a feladat megoldását Monge-ban, majd a szerkesztést végezzük el Kavalier-ax.-ban! Az érintkezési pontban az áthatási görbének kettőspontja lesz. A szerkesztés során a síklengetést alkalmazzuk. A síksor tengelye a kúp csúcspontjára illeszkedik, és párhuzamos az x tengellyel. A síksor elemei általában 2-2 alkotót metszenek ki a felületekből, és ekkor egy kúp és egy hengeralkotó metszéspontja az áthatási görbe egy pontját adja. Gyarmati László: Ábrázoló geometria II. (1987) 41. o.

Árnyékszerkesztés alapjai