ayudantias mecanica de fluidos 2010

8/3/2019 Ayudantias Mecanica de Fluidos 2010

1/118

Fernando Echeverra Ayudantas Mecnica de

FluidosIMPT 210

- 1 -

Fernando Echeverra P.2008Felipe Olivares R.2009

AYUDANTIAS MECANICA DE FLUIDOSIMPT 210

ING. CIVIL EN OBRAS CIVILES


2/118


FluidosIMPT 210

- 2 -

INDICE

Ecuacin de estado

Viscosidad 1 a 6

Manmetros 7 a 9

Compuertas 10 a 15

Empuje 17 a 18

Balance de masa 19 a 20

Balance cantidad de Movimiento lineal 21 a 29

Balance de Energa 30 a 32

Flujo potencial 33 a 34

Ecuacin diferencial de continuidad 36 a 38

Bernoulli sin perdidas 39 a 41

Bernoulli con perdidas 42 a 45

Bomba, cuerva HQ y NQ 33

Perdida de carga, curva 46 a 47


3/118


FluidosIMPT 210

- 3 -

Ecuacin de Estado

Ejercicio 1

Evaluar la densidad del aire en condiciones estndar.Condiciones estndar implica presin de 1 atmsfera y temperatura de 20C.

Solucin:

Las ecuaciones necesarias para resolver este problema son:

1. Ecuacin de estado de los gases TRmVP 2.3. Relacin de densidadPaso 1: Hallar la relacin algebraica que da solucin al problema.

Uniendo la ecuacin 1 y 2 y despejando la densidad llegamos a

Solo basta dejar los tres trminos en unidades que se puedan simplificar entre s, o sea:

Unidades de P:

Unidades de R:

Unidades de T:

Finalmente reemplazamos en la ecuacin planteada y simplificamos las unidades:

3

2

204.1

15.293

264.29

10330

m

kgf

KK

m

m

kgf

TR

P

TR

P

KKCT 15.2932015.27320

K

m

Kcal

mKg

J

Kcal

Kkg

JR

264.29427

2.4186

1

9.286

2222

103300001.0

1

1

033.1

1m

kgf

m

cm

atm

cm

kgf

atmP

V

m


4/118


FluidosIMPT 210

- 4 -

Viscosidad y fluidos Newtonianos

Un fluido se define como una sustancia que se deforma continuamente bajo la accin deun esfuerzo de corte. Estos, pueden clasificarse de acuerdo a la relacin entre el esfuerzo decorte aplicado y la relacin de deformacin.

Demostracin:

- Relacin de deformacin:

- Dejar la relacin de deformacin en trminos de fcil medicin.

dyddL (1). dtdUdL (2).

- Igualando (1) y (2) y reordenando se tiene:

- Entonces cuando un elemento de fluido se somete a un esfuerzo de corte , -experimenta unarelacin de deformacin dada por:

- Aquellos fluidos en los que el esfuerzo de corte es directamente proporcional a la tasa dedeformacin, son llamados fluidos newtonianos, o sea:

- La constante de proporcionalidad esta dada por un valor constante:

- As, finalmente los fluidos newtonianos pueden ser expresados segn la siguiente relacin:

dt

dR

dy

dU

dt

d

dy

dUR

dy

dUyx

dy

dUyx


5/118


FluidosIMPT 210

- 5 -

Ejercicio 2

Un viscosmetro de cilindros concntricos es accionado por una masa M, su claro anulares llenado con un lquido a investigar. Despus de un instante muy pequeo la masa cae convelocidad constante.

Desarrolle una expresin algebraica para la viscosidad del fluido en el dispositivo.

La masa cae con velocidad constante, lo que implica una aceleracin nula a=0 y =0.

Al hacer sumatoria de momentos con respecto al eje vertical del viscosmetro tenemos:

Donde Izz corresponde a la inercia rotacional del cuerpo,

(Inercia rotacional equivale a la resistencia que opone un cuerpo a cambiar su velocidad de

rotacin).

Resolviendo para =0:

A travs del cable se transmite la fuerza producida por la masa M y la aceleracin de gravedadg.

As:

Reemplazando y despejando la fuerza de roce tenemos:

2

2

1RmIzz

0 zzTRZ IrFRFM

0 rFRF TR

gMFT

R

rgMFR


6/118


FluidosIMPT 210

- 6 -

Adems se tiene que el esfuerzo de corte corresponde a:

, y la tasa de deformacin,dy

dUse puede expresar de la forma,

y

U

y esta expresin para ste

caso corresponde aa

vR

Donde vR lo obtenemos de la igualdad siguiente:r

v

R

v rR

Considerando que la velocidad vr es equivalente a la velocidad de la masa expresamosvr como vm.

As se tiene entonces:r

Rvv mR

y,

ar

Rv

y

U m

Finalmente resolvemos para :

y

U

mm vHR

argM

ar

RvHR

rgM

y

U

3

22

22

HR

R

rgM

A

F

2

HR

rgM

22

mvHR

argM

3

2

2


7/118


FluidosIMPT 210

- 7 -

Ahora para las dimensiones del viscosmetro, el valor de la masa y su velocidad, se tiene:Donde:

R = 50 mm.r = 25 mm.H = 50 mm.

a = 0.2 mm.vm = 40 mm./seg.m = 0.1 Kg.

s

mmm

mms

mKg

vHR

argM

m

1000

40

1000

50

1000

502

1000

2.0

1000

2581.91.0

23

3

2

2

2

3

2

cP

Poise

segm

Kg

06.7807806.0

07806.0


8/118


FluidosIMPT 210

- 8 -

Ejercicio 3

Un bloque de masa M se desliza sobre una pelcula delgada de Aceite de espesor h, el rea decontacto, entre el bloque y la superficie, es A. La masa M provoca una aceleracin del bloque.Desprecie la friccin en la polea y la resistencia del aire.

Desarrolle una expresin algebraica para la fuerza viscosa vF que acta sobre el bloque,cuando este se mueve a una velocidad V.

Obtenga una expresin para la velocidad mxima del bloque.

Solucin:

Relacin esfuerzo de corte y viscosidad:

Expresin para la fuerza viscosa:

Se sabe que

As, igualando las expresiones anteriores se tiene:

Cuando el bloque se mueve con velocidad mxima, ste ya no se ve sometido a aceleracin:

dy

dU

A

Fv

Ah

VF

Ady

dUF

A

F

dy

dU

v

v

v

A

hgmV

Ah

Vgm

Fgm

aamFgm

v

v

max

0

0

0

T = m g

vF


9/118


FluidosIMPT 210

- 9 -

Si se quisiera considerar a0, y en funcin del tiempo, se tendra:

Expresin a resolver.

dt

dVgV

hm

A

dt

dVmFgm

tfaamFgm

v

v


10/118


FluidosIMPT 210

- 10 -

Ejercicio 4

Se muestra una placa que desliza sobre un plano inclinado. La placa pesa 20 lbm. y mide20x40 in., y tiene una velocidad de 0.5 pie/seg.

Determine la separacin entre la placa y el plano si entre stos se encuentra un AceiteSAE10W, y si la temperatura del Aceite es de 50 F.

Suponga una velocidad lineal del Aceite en la seccin transversal del citado espacio ycomportamiento como fluido newtoniano.

Solucin:

La aceleracin que provoca la fuerza y el movimiento corresponde a la componente x relativa dela aceleracin de gravedad gx.

As, la fuerza viscosa producida es

Esta expresin la dejamos en unidades de lbf. (libra-fuerza) convirtiendo la unidad pie enpulgada, o sea:

2

2

220

1120

seg

pielbmF

seg

pielbmF

amF

lbfFseg

pulbmF

pie

pu

seg

pielbmF

2640

lg2640

lg12220

2

2


11/118


FluidosIMPT 210

- 11 -

Adems:

Con lo cual igualando y despejando y se tiene:

El valor de la viscosidad lo obtenemos de la tabla mostrada a continuacin.

As:

y

Uy

A

F

F

AU

y

2

6

lg1038

pu

seglbf

lbf

pusegpu

puseglbf

F

AUy

2640

lg4020lg6lg

1038 22

6

lg109.6 5 puy


12/118


FluidosIMPT 210

- 12 -

Ejercicio 5

El aceite entre el cojinete de un eje y el propio eje es un fluido newtoniano. La prdidade potencia es el producto de la velocidad angular del eje y el par de torsin entre el aceite y eleje. Calcule la prdida de potencia.

Solucin:

Se sabe que:

As,

La velocidad tangencial inicial es:

y, la velocidad angular final es:

y, la velocidad tangencial final es:

Por lo tanto:

El espesor de la capa de fluido es

y

U

dy

dU

AF

RF

P

RAy

UP

s

mUi 0

smm

sradrUf 707.1525.08.62

s

radUUU if 707.15

s

rad

rev

rad

s

rev8.62

1

2min

60

1

min600

my 00025.0


13/118


FluidosIMPT 210

- 13 -

El rea de contacto entre el fluido y la superficie del rotor es

Reemplazando se tiene:

2338.3125.225.02

2

mA

mmA

LrA

sJouleP

s

mN

s

radP

mNmNRF

Nmm

NAF

m

N

y

U

dy

dU

16471

1.2628.62

1.26225.058.1048

58.1048338.314.314

14.314

2

2

2


14/118


FluidosIMPT 210

- 14 -

Ejercicio 6:

Los datos para determinar la variacin de la viscosidad del agua en funcin de la temperatura,se correlacionan en forma apropiada mediante la ecuacin siguiente:

Donde es la viscosidad dinmica en2/msN y T es la temperatura absoluta en Kelvin.

Calcule la viscosidad del agua a C20 y determine el tiempo de escurrimiento del agua en unviscosmetro Canon como el visto en laboratorio, considerando que su constante es 0.03

scSt/ . 0,1GS

Solucin:

Conversin de Temperatura: KCT 29320

Calculo de Viscosidad Dinmica:

2

3140293

6,570

5 100,110414,2m

sNe

Para los viscosmetros se tiene:k

tt

k

Donde kcorresponde a la constante del Viscosmetro Tipo Canon.

La densidad del fluido es:

33100010000,1

m

kg

m

kgGS Agua

La viscosidad esttica es:

s

m

m

kg

m

s

s

mkg2

6

3

22

3

100,1

1000

100,1

El tiempo de escurrimiento es:

s

s

cm

s

cm

cSt

s

m

t 35,33

1003,0

10101

03,0

100,1

22

246

26

14 0

6,57 0

5

10414,2

Te


15/118


FluidosIMPT 210

- 15 -

Medidores de Presin, Manmetros.

Manmetro: este elemento mide presiones utilizando la relacin que existe entre uncambio de presin y un cambio de elevacin en un fluido esttico.

La relacin fundamental para la resolucin se basa en la ecuacin diferencial siguiente:

Donde P representa el diferencial de presin, la densidad del fluido en anlisis, g es lafuerza gravitatoria y dz corresponde al diferencial de profundidad (en el fluido).

Al integrar en los lmites mostrados en la figura se tiene:

Dependiendo del valor de las condiciones de borde (valores de P0 y z0) se puede llegar auna expresin ms simple, as es el caso de la figura, donde podemos considerar z0=0 dado quese encuentra en el limite del fluido.

El valor P0 correspondiente a la presin actuante en el borde o lmite del fluido esconocido para este caso como presin atmosfrica. Por conveniencia en ciertos casos seestablece el sistema de coordenadas en un punto tal que en l es conocido el valor de la presinP0, en este caso se facilit utilizar el origen del sistema de coordenadas en el borde del fluido ya

que el valor de la presin P0 es conocido.

Cuando se utiliza un manmetro, se est midiendo una variacin de presin entre dos

puntos en funcin de la diferencia de elevacin, por lo cual calculamos el valor de zg de laexpresin anterior.

Al resolver un manmetro, es conveniente utilizar la expresin de manera completa, estoes, utilizando el trmino P0, pues es de gran ayuda al momento de fabricarlas.

dzgdP

00

00

00

00

zzgPzP

zzgPP

dzgdP

dzgdP

dzgdP

z

z

P

P

z

z

P

P

zgPzP 0


16/118


FluidosIMPT 210

- 16 -

Ejercicio 7

Utilizando la figura calcular la presin en el punto A. El manmetro esta formado poragua y mercurio.

Solucin:

Para facilitar la solucin al problema, se consideraran los dos supuestos siguientes:

El fluido se mantiene esttico.El fluido es incompresible.

Utilizamos la ecuacin propuesta ( dzgdP ) en su forma integrada:

Definimos los puntos importantes como sigue:

El sistema de ecuacin a resolver es el siguiente:

4

43

32

12

4.0

25.0

2

PP

gPP

PP

gPP

A

OH

Hg

zgPzP 0

1

2

3

4


17/118


FluidosIMPT 210

- 17 -

Finalmente se tiene:

KPaP

PaP

sm

kgP

m

s

m

m

kgm

s

m

m

kgP

ggP

A

A

A

A

OHHgA

28.29

8.29282

8.29282

4.081.9100025.081.913540

4.025.0

2

2323

2


18/118


FluidosIMPT 210

- 18 -

Ejercicio 8

Utilizando la figura calcular la presin en el punto A. El manmetro est formado poraceite, agua y mercurio.

Solucin:

La solucin a este ejercicio es de manera similar al anterior, slo ms extenso.

Se propone resolver con 8 puntos importantes.

A

Ac

Hg

OH

Hg

PP

gPP

PP

gPP

PP

gPP

PP

gPP

8

87

76

56

54

43

32

12

375.0

05.0

1.0

475.0

2

La solucin es la siguiente:

KPaP

ggggP

A

AcHgOHHgA

442.65

375.005.01.0475.02


19/118


FluidosIMPT 210

- 19 -

Ejercicio 9:

Considere un manmetro conectado como se indica. Calcule la diferencia de presin entre lospuntos centrales de la tubera en funcin de la diferencia de altura medida entre los meniscos debenceno

Solucin:

Se fijarn puntos que sean tiles para la determinacin de la diferencia de presin.

Ahora determinamos la diferencia de presin entre 1 y 2 en funcin de la presin en A y B.

cbpp

cpp

bpp

BencenoAB

Aguab

AguaA

2

1

Al efectuar 21 pp se tiene:

cbppcbcbpp

cpbppp

BencenoAgua

BencenoAgua

AguabAguaA

21

21

21


20/118


FluidosIMPT 210

- 20 -

Reemplazando los datos se tiene:

Pappm

Npp

mm

s

mkg

pp

ms

m

m

kg

m

kgpp

89.557

89.557

47.01187

61.008.181.98791000

21

221

3

2

21

23321


21/118


FluidosIMPT 210

- 21 -

Compuertas, Fuerza Resultante

La explicacin se realizara a travs del ejercicio siguiente:

Ejercicio 10:

Una compuerta est inclinada a lo largo de A y tiene 5 metros de Ancho.Determine La fuerza resultante que ejerce el agua sobre la compuerta.

Solucin:

La expresin a utilizar es la siguiente:

con:

Se debe representar la presin en funcin de la direccin del plano de la compuerta, paraque tenga sentido resolver la integral de la Fuerza resultante

Debido a la geometra y a las condiciones propuestas anteriormente se ve que un buenpunto para ubicar el sistema de coordenadas es en la bisagra de esta compuerta, dado que en else conoce la presin P0 como se muestra en la figura:

AR AdpF

dzgdp

A

R AdpF


22/118


FluidosIMPT 210

- 22 -

As, la ecuacin de presin zgPzP 0 , queda: 300 senygPyP

Con gP 20

Finalmente la expresin a resolver es:

Al resolver se tendr:

Reemplazando los datos se tiene:

L w

R

A

R

kdydxsenygPF

AdpF

0 0

030

kL

senLwgFR

2302

2

kNFR 588600


23/118


FluidosIMPT 210

- 23 -

Compuertas, Coordenadas del centro de presin:

Ejercicio 11:

Determinar el centro de presin del ejercicio anterior.

Solucin:

La expresin FR corresponde a la fuerza resultante sobre la compuerta en su forma NO vectorial.

Del ejemplo anterior se tiene: NFR 588600

La ecuacin de presin a la que se lleg en la etapa anterior es: zgPzP 0 Expresando z en funcin de y, se tiene: 300 senygPyP

La compuerta presenta un ancho de w mts.

El diferencial de rea queda: dydxdA

As, la coordenada del punto de aplicacin de la fuerza en la direccin y quedar de lasiguiente forma:

y, en la direccin x:

La solucin para yes la siguiente:

R

A

F

dApy

y

R

A

F

dApx

x

R

L w

F

dydxysenygP

y

0 0

0 30

R

L w

F

dydxxsenygP

x

0 0

0 30

RF

LsengLPw

y

3

30

2

32

0


24/118


FluidosIMPT 210

- 24 -

y, para x :

Evaluando los datos siguientes datos:

Se tiene:

(Nota: notar que la coordenada, x queda en la mitad del ancho total)

RF

LsengLP

w

x

2

30

2

2

0

2

NF

seg

mg

m

Kg

mL

mw

R 588600

81.9

1000

4

5

2

3

mxmy 5.222.2


25/118


FluidosIMPT 210

- 25 -

Ejercicio 12:

El nivel de Agua se controla mediante una compuerta plana de espesor uniforme ydespreciable. El ancho de la compuerta es w.Determine la masa m necesaria para mantener el nivel del agua a una profundidad H o menor

Datos:

Solucin:

Planteamos la ecuacin que dar solucin a nuestro problema.

As, la masa m esta dada por:

De la cual solo no conocemos:

Para el clculo de la fuerza resultante FR debemos establecer un sistema de coordenadas, serecomendar establecerlo con el origen en un lugar donde se conozca la presin.De manera similar al ejercicio anterior, la ecuacin de presin queda de la siguiente forma:

00M 0cos agmcFR

ysengyP

ag cFmR

cos

cyFR

mw

smg

mb

ma

mkg

048.3

81.9

30285.2

762.0

1000

2

3


26/118


FluidosIMPT 210

- 26 -

Fabricamos la integral para el clculo de la fuerza resultante y resolvemos:

Dada la geometra se tiene que.

Calculamos el centro de aplicacin :

Por lo tanto:

kNF

kb

sengwF

kdydxysengF

AdpF

R

R

b w

R

A

R

39029

2

2

0 0

32

2

3

2

2

3

2

0 0

2

b

bsengw

bwseng

bsengw

dydxyseng

y

F

dApyy

b w

R

A

3

3

2

bc

bbc

kgma

bwm

ag

bbsengw

m

4592

6

tan

cos

32

3

2

mc 76.0

ybc

y


27/118


FluidosIMPT 210

- 27 -

Ejercicio 13:

Encuentre la fuerza total sobre la compuerta AB causada por los fluidos. SupongaDRAceite=0.6, La ancho w de la compuerta es 4 pies.

Solucin:

Al haber fluido a ambos lados de la compuerta se deben calcular 2 fuerzas, una ejercida por elAgua F1 y otra por el Aceite F2.

La Ecuacin que define la fuerza sobre el rea A es:

entonces para la fuerza F1 del agua se tendr:

Y para la fuerza F2 del Aceite:

A

R AdpF

AyAguay

A

Aguay

dApF

jAdpF

1

1

A

yAceitey

A

Aceitey

dApF

jAdpF

2

2

Y

X


28/118


FluidosIMPT 210

- 28 -

El valor de el rea diferencialydA es posible expresarla como wdx

La Fuerza neta es:

B

A

AguaAceiteNeta

B

A

Aceite

B

A

AguaNeta

yyNeta

dxwppF

dxwpdxwpF

FFF 21

Las presiones del agua y el aceite son:

60'10

1

senxgpp

hgpp

AguamanAireAgua

AguamanAireAgua

60'40

2

senxgp

hgp

AceiteAceite

AceiteAceite

Considerando los lmites de integracin: '22

'10

dxwppF AguaAceiteNeta

'22

'10

60'1060'40 dxwsenxgpsenxgDRF AguamanAireAguaAceiteNeta

Resolviendo la integral:

22

10

22

602'10602'40

senx

xgwxwpwsen

x

xgDRF AguamanAireAguaAceiteNeta

Reemplazando los valores siguientes entregados como datos:

22

2

3

144010

2.32

6.62

6.0

pie

lb

in

lbp

s

pieg

pie

lb

DR

manAire

Agua

Aceite

Se obtiene:

lbfFNeta 749176

El signo negativo del resultado indica que la direccin de la fuerza es en el sentido negativo deleje X.


29/118


FluidosIMPT 210

- 29 -

Ejercicio 14:

Se va a construir una represa a lo ancho de un ro empleando la seccin transversalindicada. Para una altura del agua de H=2.5 mts., calcule la magnitud y la lnea de accin de lafuerza vertical del agua sobre la cara curva de la represa, suponga que el ancho de sta esw=50 mts.

Solucin:

Tal como se estableca una relacin entre la inclinacin de la compuerta y la vertical, en losejercicios anteriores, ahora debemos establecer una relacin para la compuerta curva.

La ecuacin de la curva corresponder a la siguiente:

La ecuacin con la cul calculamos la fuerza resultante en los ejercicios anteriores, ser aplicadapara sta solucin, pero se considerar slo el rea proyectada en la horizontal utilizando laecuacin correspondiente, o sea:

4.0

9.0

xy

AdpFd

xx AdpFd

yy AdpFd

xA

xx dApF

yA

yy dApF


30/118


FluidosIMPT 210

- 30 -

De la cual utilizamos la vertical (la que resulta de aplicar presin en el rea contenida en elplano horizontal)

As, la funcin de presin es: hgp

y, al considerar h como y se tiene:

Por lo tanto la ecuacin a resolver es:

Que tiene por resultado:

La ubicacin del punto de accin se calcula basada en la fuerza actuante como se muestra en lasecuaciones deducidas siguientes:

Dado que se pide hallar la lnea de accin de la fuerza vertical debemos utilizar la primera de

estas ecuaciones, que da por resultado el punto siguiente:

2.2

7.0

2.2

7.0

4.0

9.0

4.0

9.0

4.0

9.0

dxxHwgF

dxwx

HgF

dAx

HgF

Rx

Rx

x

A

Rx

x

NFRx 78.1048402

Rx

A

x

F

dApx

x x

Ry

A

y

F

dApy

yy

mx 61.1

4.09.0

xHgp

FRX

FRY


31/118


FluidosIMPT 210

- 31 -

Ejercicio 15:

Una superficie curva es formada como un arco circular con mR 75.0 .De la manera que se

indica. El ancho de la superficie es mw 55.3 . A la derecha de la superficie curva hay agua

con una profundidad de mH 65.0 . Calcule la fuerza hidrosttica vertical sobre la superficiecurva.

Solucin:

El valor de la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta es:

A

AdpF

La componente vertical de la fuerza F

es:

dAsenpdApjAdpFAA

y

A

v

v

Escribiendo el diferencial de rea en coordenadas polares se tiene:

0

0

wdRphgF atmv

La presin atmosfrica es Papatm 101234 , el valor del ngulo 0 es 60, y considerandoque senRHh


32/118


FluidosIMPT 210

- 32 -

Reemplazando y resolviendo la integral:

mdmPamsens

m

m

kgF

v 55.375.010123475.065.081.910000

0

23

NF

F

v

v

290241

55.375926cos55134778 00000

Si no se considera el valor de la presin atmosfrica, el valor de la fuerza vertical es:

NFv 7894


33/118


FluidosIMPT 210

- 33 -

Ejercicio 16:

Un canal de longitud unitaria contiene agua. Un slido con forma idntica esta encontacto directo con la superficie libre y se mueve directamente hacia abajo una distancia talcomo se indica. Cul es la fuerza sobre la compuerta AB, que tiene un ancho unitario, enfuncin de

?, Qu pasa cuando

1 m ?. Considere solamente la fuerza gravitacional que

acta sobre el agua.

Solucin:

Considerando solo la fuerza gravitacional del agua sobre la compuerta se tiene:

Escribiendo esta ecuacin con respecto ael problema se llega a:

Donde 45h y sen , entonces:

A

F p dA

A

B

y

y

F g h w dy

2

45

45

452

A

B

A

B

A

B

y

y

y

y

y

y

F g w y sen dy

F g w sen y dy

yF g w sen


34/118


FluidosIMPT 210

- 34 -

Los valores de las profundidades Ay e By al moverse el cuerpo se obtienen de la

geometra del problema:

El valor2

h es posible dejarlo en

Funcin de igualando los volmenesdesplazados.

Y 1h en funcin de :

As:

2

22 1

h

y

2

22 1 45

Ay

sen

Reemplazando en la ecuacin de fuerza en la compuerta, finalmente se tiene una expresin parala fuerza en funcin de

2245

Ahy

sen

0.2B A

y y

1 2

2

1 2

2

2

1

2 tan 45

2

tan 45

V V

h h

hh

1 1h

2

2 0.22 1 45

By

sen

20.145 0.2 2 0.02

1 45F g w sen

sen


35/118


FluidosIMPT 210

- 35 -

Ejercicio 17:

El bloque (color rojo) que se muestra en la figura tiene una masa de 5 Kg., y susdimensiones son 10x10x50 cm. La barra de soporte es de masa despreciable y tiene unalongitud de 1 mt., y un dimetro de 5 cm.

Encuentre la profundidad D.

El volumen de las articulaciones se puede despreciar, y suponga que el bloquepermanece vertical.

Solucin:

Para resolver este ejercicio es necesario considerar el empuje del fluido.

Establecemos la condicin de equilibrio siguiente:

Z

X

Y


36/118


FluidosIMPT 210

- 36 -

Realizamos sumatoria de momentos con respecto al eje Z:

*

Reemplazando en * y despejando D se obtiene:

NEs

m

m

kgmE

NDE

s

m

m

kgmDE

gdesplazVolE

gMP

senL

EsenLEsenLP

fluido

261.19

81.910002

05.01

1.98

81.910001.01.0

2

2

23

3

2

2

1

23

3

1

21

mD 4018.0


37/118


FluidosIMPT 210

- 37 -

Ejercicio 18

Un sistema de tuberas pasa por un estanque lleno de agua. El estanque esta cerrado en laparte superior con aire a una presin manomtrica de P1=200 KPa. Dentro de la tubera existeun gas esttico con una presin manomtrica de P2=500 KPa.

Encuentre la fuerza producida por el gas esttico dentro de la tubera.

Encuentre la fuerza producida por el agua y el aire a presin P1 sobre la superficieexterna de la tubera.

Dato: Volumen d e Tronco de cono = hAAAA SUPINFSUPINF 3

1

Solucin:

Consideracin importante:

Si el gas estuviese totalmente encerrado (extremos del ducto sellados) la resultante dela presin que ejercera el gas seria cero, pues se anularan las componentes de lapresin en todas las posibles direcciones.

a) Para este caso los extremos no se encuentran sellados, sino que estn totalmente abiertos yexiste gas ejerciendo presin atrapando el gas dentro del ducto, como se muestra en la figurasiguiente:

30mm

t= 6mm


38/118


FluidosIMPT 210

- 38 -

En la abertura de la izquierda la fuerza resultante es:

y, en la abertura inferior:

Fuerza total del gas esttico dentro de la tubera:

b) La fuerza que ejerce el agua sobre el ducto corresponde al Empuje:

iNF

imKPaF

APF

3021

2

01.021.0101500

1

22

1

111

jNF

jmKPaF

APF

153

2

006.0203.0101500

2

2

2

2

112

NjiF

FFF

GAS

GAS

1533021

21

jNE

m

kgE

gVE DESPLAZAGUA

269923

12

1.0

2

03.0

2

1.0

2

03.0

3

13

2

03.03

2

03.05.2

2

1.01000

2222222

3


39/118


FluidosIMPT 210

- 39 -

Y la fuerza que ejerce la presin P1 sobre el ducto la calculamos con la expresin siguiente:

Para la cara izquierda:

Para la cara inferior:

Finalmente la fuerza ejercida por el agua y la presin P1 sobre el ducto es:

iNF

imKPaF

APF

KPaP

Pa

KPaPaKPaP

hgPP

2595

2

1.043.330

43.330

001.0381.91000101200

1

2

2

1

111

1

1

101

jNF

jmKPaF

APF

KPaP

Pa

KPaPaKPaP

hgPP

3.261

2

03.067.369

67.369

001.0781.91000101200

2

2

2

2

222

2

2

202

NjiF

NjijF

PE

PE

2696622595

3.2612595269923

1

1

,

,


40/118


FluidosIMPT 210

- 40 -

Ejercicio 19

A travs de una tubera de 12 pulgadas fluye un caudal de agua de spie35 ; luego de

dirige a travs de una seccin cnica de 60. Cual es la velocidad promedio en la regin desdeC hasta E como funcin de n y d?. Evale para d=2 y n=16.

Solucin:

Supuestos:

Rgimen estacionario; Volumen de control constante, = cte. Flujo uniforme.

Balance de masa:

Aplicando los supuestos: QVAvAv ssee

La forma de dejar las reas de salida en funcin de y es la siguiente:

Se establece una lnea vertical que pase sobre y se calcula el rea de salida:

0

AdvdVt

CC SV


41/118


FluidosIMPT 210

- 41 -

El rea a calcular es la que queda entre la seccin del cono (color azul) y el borde achurado:

Geomtricamente definimos )30cos(*

22 AA

Para "16 , "2 ys

pieQ

3

5

Convirtiendo a pulgadas a pies estos valores:

Finalmente la velocidad en la seccin 2 es:pie

pu

piepu

piepu

piepu

17.0lg12

1lg2

33.1lg12

1lg16

30cos30tan

30cos

222

*

22

2

22

Qv

A

Q

A

Qv

AvQ

s

piev

pie

s

pie

v

8.6

)30cos(33.1)30tan(17.033.1

5

2

222

3

2


42/118


FluidosIMPT 210

- 42 -

Ejercicio 20:

La figura muestra un pulverizador de carbn en una planta de generacin de energa. Encorrientes separadas, entran al pulverizador trozos de carbn y aire. El carbn se muele hastaconvertirlo en un polvo fino y se mezcla con el aire. La mezcla carbn-aire sale del pulverizadorcomo una sola corriente. El polvo de carbn es tan fino y est tan bien mezclado con el aire, que

la corriente se salida se puede considerar como un fluido continuo. Calcule el caudal msico deaire que entra al pulverizador. La relacin msica de carbn a aire es de 1:1. Si la temperaturay la presin de la corriente se salida con las mismas que las del aire que entra, Cul es ladensidad aproximada de la mezcla carbn-aire? Calcule tambin la velocidad de la mezclacarbn-aire en la tubera de salida. La densidad del carbn es de 50 lbm./pie3.

Solucin:

Supuesto: Rgimen estacionario

Balance de masa: c ae mm m m

Calculo de Flujo de aire de entrada aem :

Densidad del aire de entrada e

Flujocarbn

Flujoaire entrada

Flujo mezcla salida

ae e e em A v

5300 32 273

9

421.88

e

e

T K

T K

2 214.7 1.033 10330ekg kg

p psiacm m


43/118


FluidosIMPT 210

- 43 -

rea de entrada eA :

Velocidad de entrada ev :

As, el flujo o caudal msico de aire de entrada es:

Dado que la relacin de caudal msico entre el carbn y el aire caliente es la mismaentonces:

Calculo de la densidad aproximada de la mezcla carbn-aire:

cx = fraccin volumtrica de carbn en mezcla

asx =fraccin volumtrica de aire en mezcla

Los valores cx y asx conforman el 100% de la mezcla, por lo tanto se deduce que:

2

3

10330

29.3 422

0.835

e e

e

e e

e

kg

m p m

V R T kg m Kkg K

kg

m

29.3kg m

Rkg K

2

30.835 0.5574 30.48

14.186

ae e e e

ae

ae

m A v

kg mm m

sm

kgm

s

1

1

14.186

c ae

c

m m

kgm

s

2

2 0.3048 3 0.3048

0.5574

e

e

m m A pie pie

pie pie

A m

0.3048100 30.48

1e

m pie mv

s pie s

mezcla c c as asx x

1as c

x x


44/118


FluidosIMPT 210

- 44 -

Los volmenes especficos de cada materia prima y de la mezcla son:

Por lo cual la fraccin volumtrica de carbn en la mezcla ser:

As, la densidad de la mezcla es:

Calculo de la velocidad de salida:

Por lo tanto:

3

3

1 10.00125

799

esp carbon

carbon

mv

kg kg

m

3

3

1 11.198

0.835esp aire salida

aire

mv

kg kg

m

3 3 3

0.00125 1.198 1.19925esp mezcla

m m mv

kg kg kg

3

3

0.001250.001043

1.19925c

m carbonx

m mezcla

3 3

3

3

799 0.001043 0.835 1 0.001043

0.833 0.834

1.667

mezcla

mezcla

mezcla

kg kg

m m

kg

m

kg

m

14.186 14.186

28.372

m m s s

m s s

kg kgm A vs s

kgA v

s

2

3

14.186 14.186

28.372

2.5 0.30481.667

2 1

37.321

m m s s

m

s

m s

s

kg kgm A v

s s

kg

m sv

A pie mkg

piem

mv

seg


45/118


FluidosIMPT 210

- 45 -

Ejercicio 21:

A travs del aparato mostrado fluye agua con una tasa permanente. Se conoce la siguienteinformacin:

lg4

lg8

lg15

/20

/10

.20

3

2

1

2

1

1

puD

puD

puD

spiesv

spiesv

manpsip

Calcule el empuje horizontal ejercido por el agua y el aire sobre el aparato.

El volumen de Control a definir para la solucin es:

Supuestos: Volumen de control constante Densidad constante Flujo uniforme.

Balance de masa: 0

AdvdVt

CC SV


46/118


FluidosIMPT 210

- 46 -

Aplicando los supuestos se llega a la siguiente expresin:

3

22113

332211

A

AvAvv

AvAvAv

Reemplazando y calculando se obtiene 3v :

Para calcular la fuerza horizontal ejercida por al aire y el agua sobre el aparato se debe utilizarla ecuacin Balance de Cantidad de Movimiento Lineal.

La presin total ejercida por la atmsfera es: 0A

atm Adp

Ecuacin BCML en eje X:

Reemplazando se tiene:

2

2

2222

2

2222

2

2222

2

2

3

22

2

2.32

16.602204105.7

144

6.62

5.720

s

pielb

lbf

s

piein

s

piein

s

piein

pie

in

pie

lb

inin

lbR

x

s

piev

in

ins

piein

s

pie

v

6.60

2

4205.710

3

22

2222

3

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

333222111,, 321

vAvvAvvAvRiAdp xAAA

man

2

33

2

22

2

1111 vAvAvAApR manx

lbRx

124.4


47/118


FluidosIMPT 210

- 47 -

Ejercicio 22:

Se tiene una reduccin en el sistema de tubos de la figura. El volumen interno del reductor es0.2 m3 y su masa es de 25 kg. Evale la fuerza horizontal que deben proporcionar los tubos a lareduccin para mantenerla en su lugar. El fluido es gasolina.

Supuestos: Volumen de control indeformable Rgimen estacionario Fluido incompresible Flujo uniforme 0

A

atm Adp

Volumen de Control:

Ecuacin de Balance de Cantidad de Movimiento Lineal

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

Aplicando los supuestos se tiene:

A

SC AdvvFF

En la direccin X:

2221112211 AvvAvvApApR manmanx

Despejando la reaccin se tiene:


48/118


FluidosIMPT 210

- 48 -

1

2

12

2

21122 AvAvApApR manmanx

2

2

2

22

3

2

2

2

22

3

2

2

2

2

2

4.0

3100072.02

2.0

12100072.0

2

4.07.58

2

2.0234.101109

ms

m

m

kg

ms

m

m

kg

mkPamkPaRx

NNNNRx 301.814203.325746.7376976.243

NRx 581.4689

La direccin que se le asign a la fuerza xR fue hacia la derecha, el resultado al dar negativo

implica que la fuerza se dirige hacia la izquierda y se confirma el ser una reaccin al movimientosolicitante.


49/118


FluidosIMPT 210

- 49 -

Ejercicio 23:

Un sistema vertical conduce un caudal de agua de 1 m3/seg. desde un gran embalse. Enla T localizada en B, 1/3 m3/seg. Se dirige hacia la izquierda y 2/3 m3/seg. Hacia la derecha.La tubera EB pesa 1 kN/m, la tubera AB pesa 0.6 kN/m y la tubera BC pesa 0.8 kN/m.Encuentre las componentes vertical y horizontal de la fuerza total que acta sobre la tubera,producto del flujo de agua, el aire y la gravedad que acta sobre el agua y la tubera. En A y C

se tiene chorros libres y la presin absoluta en E es 390.4 kPa.

Solucin:

Definimos R como la fuerza TOTAL ejercida sobre la tubera con sus respectivas componentesRx y Ry.

El Volumen de control estar definido como Tubera+Agua.

Supuestos:

Rgimen Estacionario, Fluido Incompresible y Flujo uniforme.

Balance de masas:

CAEmmm


50/118


FluidosIMPT 210

- 50 -

Simplificando la densidad se tiene:

seg

m

seg

m

seg

m

vAvAvA

VVV

CCAAEE

CAE

333

3

2

3

1

1

Al conocer los dimetros de tuberas se pueden obtener las velocidades como se muestra acontinuacin:

seg

muy

seg

m

m

seg

m

A

Vv

seg

muyseg

m

m

seg

m

A

Vv

seg

muy

seg

m

m

seg

m

A

Vv

C

C

C

C

A

A

A

A

E

E

EE

4.294.29

2

17.0

3

2

1.251.25

2

13.0

3

1

1.141.14

2

3.0

1

2

2

3

2

2

3

2

2

3

Las velocidades u corresponden a las velocidades con su signo (sentido) con respecto a elsistema vectorial global.

Ecuacin de balance de Fuerzas:

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

Rgimen estacionario implica:

A

SC AdvvFF

Fuerzas de Campo: no existen fuerzas de campo a considerar en direccin X, el peso de latubera y peso del Agua Ambos poseen solo componente Y.

Fuerzas de Superficie: presin atmosfrica que se considerara nula debido al pequeo tamaode las secciones donde acta, presin manomtrica ejercida por el fluido del estanque sobre elinicio de la tubera, el esfuerzo de corte producido por el fluido circulante sobre la pared interiorde la tubera que se considerar nulo por su valor irrelevante y la componente R que sostiene latubera en la base del estanque (ver figura).


51/118


FluidosIMPT 210

- 51 -

Ecuacin General:

AAA

man

A

atmTuberiaAgua AdvvRdAAdPAdPWW

Las componentes se muestran a continuacin:

Componente X:

NR

seg

m

m

kg

seg

m

seg

m

m

kg

seg

mR

AvuAvuR

X

X

AAACCCX

11233

3

110001.25

3

210004.29

3

3

3

3

Componente Y:

EEEEYEmanETuberiaAgua AvuRAPWW

Ordenando se tiene:

EmanETuberiaAguaEEEEY APWWAvuR

Donde:

NmPaAP

Nmm

Nm

m

Nm

m

NW

Nsm

mkgW

Ns

m

m

kg

s

mAvu

EmanE

Tuberia

Agua

EEEE

204402

3.0101234390400

25800050800306002001000

1537252002

3.050217.030

213.081.91000

14100110001.14

2

2

222

23

3

3


52/118


FluidosIMPT 210

- 52 -

Sumando los valores obtenidos calculamosYR :

NR

NR

Y

Y

446265

2044025800015372514100

Finalmente, las componentes de la fuerza R obtenidas corresponden a la reaccin en la base Edel sistema de tuberas. El valor de la fuerza total que acta sobre la tubera producto del flujode agua, el aire y la gravedad corresponde simplemente al valor opuesto a la reaccin calculada.

jNiNR 44626511233

-


53/118


FluidosIMPT 210

- 53 -

Ejercicio 24:

A travs de una boquilla de forma cnica que pesa 500 N fluye agua. El dimetro deentrada a la boquilla es de 1 mt. Y el de salida 0.3 mt. La velocidad de flujo hacia la boquilla esde 1 m/seg.

Si la fuerza de apriete entre la boquilla y el tubo de entrada debe ser de 1000 N con elfin de prevenir fugas, Cul es la deformacin mnima en los 10 pernos que unen el sistema?

El dimetro de cada perno es 25 mm. y su modulo de Young es de 11102 Pa.

Solucin:

Resumen de Datos:

Ecuacin de Conservacin de Masa (E.C.M.):

Supuestos:

Flujo incompresible, = cte.Rgimen Estacionario (Volumen de control indeformable), 0

CV

dVt

Por lo tanto la E.C.M. queda:

Al considerar los signos del vector de rea y el de velocidad, la integral da:

s

mv

NP

NF

m

m

e

Boquilla

Apriete

1

500

1000

3.0

1

2

1

0

AdvdVt

CC SV

0 AdvCS

H2O

Hg


54/118


FluidosIMPT 210

- 54 -

Primera relacin utilizable para resolver el problema

Velocidad de Salida

Dado que debemos trabajar con fuerzas, ser necesario plantear la ecuacin de Balance deCantidad de Movimiento Lineal (B.C.M.L.) y ver su utilidad en el caso:

Dado que la ecuacin B.C.M.L. est de manera vectorial, ser necesario establecer un sistemacoordenado.

Revisamos las fuerzas de campo ysuperficie existentes:

Fuerzas de Campo:

ssee

ssee

AA

S

AvAvAvAv

AdvAdv

Adv

SE

C

0

0

0

s

mv

s

mv

ms

mvm

s

m

ms

mvm

s

m

AvAv

s

s

s

s

ssee

1.11

3.0

1

3.011

4

3.0

4

11

2

222

22

22

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

Z

X

Y


55/118


FluidosIMPT 210

- 55 -

kNF

s

mm

m

kgNF

gVNF

PPF

C

C

BoquillaC

FluidoBoquillaC

83.5140

81.9473.01000500

500

2

3

3

Fuerzas de Superficie:

RAPAPAdPF sseeatmS

Como se sabe, la integral cerrada de la presin atmosfrica sobre la boquilla dar nula, y lafuerza R corresponder a la fuerza que ejecutan los pernos sobre la superficie de la boquilla.La fuerza R es la buscada para calcular la deformacin de los pernos.La superficie de salida se encuentra sometida a la presin atmosfrica, presin queconsideraremos como nula.

kNRF

kRkAggF

RAPF

RAPAPAdPF

S

OHOHHgHgS

eeS

sseeatmS

93.30664

122

El trmino encerrado corresponde a la relacin neta de flujo del momento que sale a travs de lasuperficie de control:

NAdvv

AvvAvvAdvv

A

ssseee

A

5.7932

Finalmente reemplazando los trminos en la ecuacin B.C.M.L. se tiene:

El signo corrobora que los pernos ejecutan una fuerza en direccin Z para sostener la boquilla.

Finalmente la fuerza sobre cada uno de los pernos ser:

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

kNR

kNR

27873

5.793283.514093.30664

NF 3.28873.2787100


56/118


FluidosIMPT 210

- 56 -

Y la deformacin en cada perno:

mm

Pam

N

EA

F

E

5

1122

1094.2

1020125.0

3.2887


57/118


FluidosIMPT 210

- 57 -

Ejercicio 25:

La tobera mostrada descarga una capa de agua a travs de un arco de 180, la velocidadde salida de agua es de 15 m/s y el espesor del chorro es de 0.03 m. a una distancia radial de0.3 m. de la lnea central de la tubera de alimentacin.

Encuentre:El flujo volumtrico del agua en la capa del chorro, y

La componente Y de la fuerza requerida para mantener fija la tobera.

Solucin:

Flujo volumtrico:

A

AdvQ

AvQ

Pero es necesario conocer la velocidad de salida. Este valor se obtiene haciendo un balance de

masa:Supuestos:

Rgimen estacionarioFluido incompresibleFlujo uniforme (la magnitud de los vectores de velocidad es la misma para cada puntoperteneciente al rea donde ocurre el flujo)

Finalmente:

La fuerza requerida para mantener fija la tobera es considerada como una fuerza de superficietal como el ejercicio anterior.

s

mVtRQ

s

mv

s

s

3

424.0

15

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

0

AdvdVt

CC SV


58/118


FluidosIMPT 210

- 58 -

Dado que las dimensiones del volumen de control son despreciables, el peso del fluido contenidoen su interior tambin lo ser, y considerando que la presin de entrada es despreciable se tieneque:

Se recomienda leer seccin 4.4 libro Introduccin a la mecnica de fluidos Robert W. Fox

jNR

RtvR

dRtvsenvR

AdvvF

y

y

y

A

S

4050

2 20


59/118


FluidosIMPT 210

- 59 -

Ejercicio 26:

500 lts/seg. de agua fluyen a travs de la tubera. El flujo sale a travs de un rearectangular de longitud 0.8 mt. y ancho 40 mm.

El perfil de velocidades es parablico. La tubera pesa 100 N/mt. Y su dimetro internoes de 250 mm.

Halle velocidades de entrada y salida del ducto

Cuales son las fuerzas sobre la tubera en el punto de empotramiento A?

Supuestos:Rgimen estacionarioFluido incompresibleNo hay Flujo uniforme en seccin de salida (la magnitud de los vectores de velocidad noes la misma para cada punto perteneciente al rea donde ocurre el flujo)

Balance de masa

Debido a que la distribucin de velocidades en el rea de salida posee una forma variable lafuncin velocidad se debe integrar.

0

AdvdVt

CC SV

0 AdvCS

0 AdvCS


60/118


FluidosIMPT 210

- 60 -

Como se trata de una parbola, su ecuacin relativa queda:

Para hallar las reacciones utilizamos B.C.M.L.

En cada componente se tiene:

V0

0.8

2

2

0

8.0y

vv

y

y

0 AdvCS

8.0

0

2

2

0

8.0ydwy

vAv ee

ydwdA

3

8.004.0

8.0500001.0

3

2

0

2

v

seg

lts

lts

m

s

mv

s

mv

e 2.10

9.460

AV

SC AdvvdVv

t

FF

C

0

0

0

Z

Y

X

R

R

R

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

SeC A

sss

A

eee

V

ZOHTuberia dAvvdAvvdVvt

RAPWW

112

...2

25,0100000

2

25,03,281,910003,21000 2

2

2

2

23

ZRmPamms

m

m

Kgm

m

N

NNN 1407718,150105,5107...

kNRZ 2,7469


61/118


FluidosIMPT 210

- 61 -

Ejercicio 27:

Un velero viaja a 20 Km./hr.(Relativa a la costa), con un viento de popa de 30Km./hr.,en un ro que tiene una velocidad absoluta y constante de 5 Km./hr. en la misma direccin queel velero. La figura muestra una estimacin del patrn de flujo del aire.

Encuentre las velocidades de entrada y salida de un volumen de control quese mueve con el velero, para un observador que se mueve con el ro.

Encuentre la fuerza del aire sobre el velero.

Solucin:

Supuesto 1: El volumen de control se mueve con el velero.

Se requiere conocer con certeza la velocidad de entrada al volumen de control.

La velocidad que impulsa al velero (estando detenido) es de 25 km./hr.

La velocidad que mantiene el velero en movimiento es de 10 km./hr.

Balance de Masa:

Supuestos: Fluido incompresible. Rgimen estacionario. Flujo uniforme.

0

AdvdVt

CC SV

0 AdvCS


62/118


FluidosIMPT 210

- 62 -

Dada la geometra se tiene:

Para facilitar el problema se considerar:

As se llega a:

Clculo de la fuerza del aire sobre el velero

Dado que para el problema el velero se encuentra en movimiento, debemos utilizar la velocidadde entrada que lo mantiene en movimiento, o sea:

B.C.M.L.

En la direccin del movimiento se tiene:

Fuerzas de Campo:

En la direccin del movimiento solo se tiene la aceleracin a,que para este problema es nula, pues se considera unavelocidad constante, por lo tanto:

La nica fuerza de superficie actuante es la que impulsa el velero, se despreciar la resistenciaque opone el aire en contra, por lo tanto se tiene:

Considerando los supuestos propuestos anteriormente la Ecuacin B.C.M.L queda:

332211 AvAvAv A3A2

A1

v3v2

v1

132

32

AAA

AA

321

32

vvv

vv

hr

kmve 10

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

X

Y

Z

kgmjamiFC0

jFC 0

jRFS

A

AdvvR

se A

sss

A

eee AdvvAdvvR

LocalGlobal

LocalGlobal


63/118


FluidosIMPT 210

- 63 -

El flujo otorga una fuerza R al volumen de control que lo hace desplazar.

jAvvAvvR

jAvvAvvAvvR

45cos2

45cos45cos

222111

333222111

132

32

AAA

AA

321

32

vvv

vv

jAvR 45cos112

1

jNR 669


64/118


FluidosIMPT 210

- 64 -

Ejercicio 28:

Agua fluye estacionariamente descargndose a la atmsfera. Calcule la componentehorizontal de la fuerza en la brida de unin. Indique si la brida esta en tensin o compresin.

Supuestos: Flujo estacionario. Fluido incompresible. Flujo uniforme.

Balance de masa:

Balance Cantidad de Movimiento Lineal:

La fuerza de campo es la provocada por la masa de fluido y el ducto, pero suvector esta en direccin distinta a la direccin de X, por lo tanto la fuerzade campo total es cero.

Existen reacciones de superficie en distintas direcciones, pero en este casosolo se pide analizar la horizontal.

0

AdvdVt

CC SV

1

2

12 v

A

Av

AV

SC AdvvdVvt

FF

C

X

RxP1A1


65/118


FluidosIMPT 210

- 65 -

Por lo tanto:

La brida se encuentra en tensin

A

XS AdvvRF X

lbfR

lbflbfR

APAvA

AAvR

AvA

AAvRAP

AvA

Av

A

AAvvRAP

X

X

X

X

X

214.206

798.279584.73

30cos

30cos

30cos

112

2

1

2

11

2

1

2

2

1

2

11

2

111

21

2

11

2

111111


66/118


FluidosIMPT 210

- 66 -

Ejercicio 29:

Se muestra un codo reductor de 30. El fluido es agua. Evale las componentes de la fuerza quedebe ser suministrada por los tubos adyacentes para evitar que el codo se mueva.

Solucin:

Supuestos:

Densidad constante Rgimen estacionario

Para calcular las velocidades de ingreso y egreso del agua en el codo reductor se debe efectuarun balance de masa:

0

CC SV

CAdvdV

t

Aplicando los supuestos se llega a:

VAvAv 2211 Por lo tanto:

s

m

m

s

m

A

Vv

s

m

m

s

m

A

Vv

58.130081.0

11.0

044.60182.0

11.0

2

3

2

2

2

3

1

1

Para calcular las fuerzas que realizan los tubos adyacentes es necesario plantear un Balance decantidad de Movimiento Lineal:

C CV S

CSC AdvvdVvFF

Aplicando los supuestos se llega a:

CS

SCAdvvFF

A2=0.0081 m2


67/118


FluidosIMPT 210

- 67 -

Las fuerzas de campo sobre el volumen de control la componen el peso del agua y el peso propiodel codo:

jNF

jNjNF

js

mKgj

s

m

m

KgmF

WWF

C

C

C

CodoAguaC

96.156

1.9886.58

81.91081.91000006.0 2233

Las fuerzas de superficie son las producidas por la presin atmosfrica, la presin de entrada yde salida del codo y la fuerza ejercida por los tubos adyacentes:

RApApAdpF sseeatmS

La integral cerrada de la presin atmosfrica tiene valor cero, por lo tanto:

RjNiNF

Rjsenmm

N

imm

Nim

m

NF

RApApF

S

S

sseeS

53.14862.810

300081.036675

30cos0081.0366750182.058675

2

2

2

2

2

2

Relacin neta de flujo del momento que sale a travs de la superficie de control:

jsenAviAvAvAdvv

jsenAvviAvviAvvAdvv

ssssee

S

sssssseee

S

C

C

3030cos

3030cos

222

Reemplazando los datos:

NjseniAdvvCS

300081.0100058.1330cos0081.0100058.130182.01000044.6

222

NjiAdvvCS

88.7468.628

Uniendo las expresiones calculadas anteriormente se tiene:

NjiRjNiNjN

AdvvFF

CS

SC

88.7468.62853.14862.81096.156


68/118


FluidosIMPT 210

- 68 -

Despejando y resolviendo para la fuerza R

:

NjiR

45.73882.181


69/118


FluidosIMPT 210

- 69 -

Balance de Energa

Energas Existentes:

Almacenadas

o 22

1vmEC Energa Cintica

o zgmEP Energa Potencialo TcmE ei Energa Interna

En Trnsitoo Q Caloro W Trabajo

Ecuacin de Balance para un volumen de control Vc

El trmino e, corresponde a la densidad de energa almacenada dada por:

Donde:

pc : Calor especfico del fludo a Presion constante. Es la cantidad de calor que debe

aadirse a una masa unitaria de fluido para aumentar su temperatura en una unidad.

Para gases ideales se tiene:

vp ccR

Donde:R : constante de los gases.

vc : Calor especifico del fluido a Vomulen constante.

AV

AdvedVet

WQ

Energa Entrante

Energa o TrabajoSaliente (Si fuesetrabajo entrante,sera +W

Variacin c/r altiempo de Energaen el Vc

Flujo Neto deEnerga queatraviesa el rea A

PhgTc

ve p

2

2

KKg

Joulecp

:


70/118


FluidosIMPT 210

- 70 -

Ejercicio 30:

El caudal volumtrico a travs de la bomba es de 2 pie 3/s. Los dimetros de los ductosson los que se indican en la figura:

Calcule la elevacin de presin de la bomba en lb/pie2.Ignore las prdidas de energa mecnica.

Solucin:

Se pide if PPP

Para este problema es bueno establecer el volumen de control en el cual se plantear laecuacin de energa de la siguiente manera:

La ecuacin de energa se plantea entre los puntos 1 y 2, que son los extremos dela bomba, puntos en los cuales se calcular la elevacin de presin de sta.


71/118


FluidosIMPT 210

- 71 -

Dado que la ecuacin de energa requiere informacin que no se posee del todo en los puntos 1y 2, es necesario establecer 2 puntos extras como se muestra a continuacin, que arrojarninformacin suficiente.

Supuestos:o Fluido Incompresibleo Flujo Estacionarioo Flujo Uniformeo Rgimen Adiabtico

Entre (0) y (1):

No hay transferencia de calor y trabajo, por lo tanto:

, y por ser rgimen estacionario, queda:

Integrando se tiene:

Considerando que:

o Balance de masa entre (0) y (1)

o Flujo incompresible entre (0) y (1)

o La velocidad del flujo en el estanque tiende a 0

AV

AdvedVet

WQ

AV

AdvedVe

t

0

A

Adve

0

A

p AdvP

hgTcv

2

02

111

1

111

2

1000

0

000

2

0

22Av

PhgTc

vAv

PhgTc

vpp

110010 AvAvVV

10


72/118


FluidosIMPT 210

- 72 -

o La temperatura del fluido no vara

o La seccin (0) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamente

La ecuacin de energa entre los puntos (0) y (1) queda:

Despejando la presin P1 en funcin de los datos de (0) y (1)

Entre (2) y (3):

Utilizando los mismos supuestos para el balance de energa entre (2) y (3) se tiene:

y, considerando:

o Flujo incompresibleo Balance de masa entre (2) y (3)o La temperatura del fluido no varao La seccin (3) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamenteo h2 = h3


Despejando la presin P2 en funcin de los datos de (2) y (3)

Finalmente, la variacin de presin entre (1) y (2) ser:

Reordenando:

0, 001100 vAsiAvAv

10 TT

00 P

11

2

10

2

Phg

vhg

2

2

1101

vhhgP

333

3

333

2

3222

2

222

2

2

22Av

PhgTc

vAv

PhgTc

vpp

22

2

32

2

2 vPv

2

2

2

2

32

vvP

22

2

110

2

2

2

312

vhhg

vvPPP

222

2

110

2

2

2

3 vhhgvv

P


73/118


FluidosIMPT 210

- 73 -

Incorporando el concepto de que las bombas solo aumentan la presion, no as la velocidad(v1=v2), queda:

*

Finalmente con los datos del problema se termina que la velocidad en la seccin 3 es:

y, las alturas h0 y h1:

Reemplazando en * se llega a que la diferencia de presion es:

102

3

2hhg

vP

s

piev

s

pie

pu

piepu

s

pie

A

VvAvV

77.1466

77.1466

lg12

1lg

2

5.0

2

3

2

22

2

2

3

3

333

pieh

pieh

5.7

0

1

0

22091467

pie

lbfP


74/118


FluidosIMPT 210

- 74 -

Ejercicio 31:

Si en la bomba que se ilustra deben circular 10 pie3/s., cul debe ser la potencia de labomba?

Desprecie la friccin.

Solucin:

Supuestos:o Fluido Incompresibleo Flujo Estacionarioo Flujo Uniformeo Rgimen Adiabtico

Entre (1) y (2):

Considerando que:

o Balance de masa entre (0) y (1)

o Flujo incompresible entre (0) y (1)

o La velocidad del flujo en el estanque tiende a 0

o La temperatura del fluido no vara

o La seccin (0) se encuentra expuesta a la presin atmosfrica solamente

AV

AdvedVet

WQ

A

AdveW

222

2

222

2

2111

1

111

2

1

22Av

PhgTc

vAv

PhgTc

vW ppB

VAvAv 1100

21

0, 101100 vAsiAvAv

10 TT


75/118


FluidosIMPT 210

- 75 -

o La velocidad del fluido en la seccin (2) se puede calcular a partir del flujovolumtrico:


00 P

s

piev

pie

s

pie

A

V

v

7.203

2

25.0

10

2

2

2

3

2

2

HpWs

pie

lbfW

vPPhhgVW

B

B

B

880

1084.4

2

5

2

21212


76/118


FluidosIMPT 210

- 76 -

Ejercicio 32

Esta fluyendo agua a 10C con un caudal de 115 Lt/min. por el motor de fluido que seencuentra en la figura. La presin en A es de 700 KPa. Y en B en B es 125 KPa. Se estimaque debido a la friccin en la tubera existe una perdida de energa de 4 Nm/N en el agua quefluye.

a) Calcule la potencia transmitida al motor de fluido por el agua.b) Si la eficiencia mecnica del motor es de 85% calcule la cada de potencia al eje.

Solucin:

Efectuando un balance de Energa se puede resolver el problema:

Supuestos:

Fluido incompresibleFlujo estacionarioFlujo uniformeEstado Adiabtico

Balance de masa:

Balance de Energa:

Eliminando los trminos nulos se tiene:

Considerando que:

A

B

AV

AdvedVet

WQ

A

ideal AdveW

PerdidasMotorideal WWW

A

PerdidasMotor AdveWW

3

115 0.001916min

3.91 3.91

A B

A A B B

A B

V V

Lt m A v A v

seg

m mv y v

seg seg

s

mvB 434.0


77/118


FluidosIMPT 210

- 77 -

Reescribiendo se tiene:

La energa perdida corresponde a:

La expresin expandida para la energa del motor es:

Reordenando:

b) Para una eficiencia del 85% del motor se tiene que la potencia de salida real es:

Asi, la potencia transferida al eje es

Perdidas

A

Motor WAdveW

Vp

E

W

p

Perdida

Vp

Em

vzg

PTc

vzg

PTcW

pAA

AAV

BB

BBVMotor

22

22

Vp

Em

vzg

PTc

vzg

PTcW

pBB

BBV

AA

AAVMotor

22

22

V

p

Em

vvzzg

PPW

pBA

BA

BA

Motor

2

22

s

m

s

m

m

Kg

m

mN

s

m

m

Kgs

m

s

m

ms

m

m

Kg

PaWMotor

3

23

3

3

22

2

3

3

001916.081.910004

001916.010002

43.091.3

08.181.9

1000

10125700

KWWs

mNW

Motor

Motor

078.1

8.1074

15.0

85.0

MotorTurbinaenPerdida

MotorSalida

WW

WW

KWW

KWW

Salida

Salida

914.0

85.0078.1


78/118


FluidosIMPT 210

- 78 -

Ejercicio 33:

Un cilindro de pero despreciable se pone en movimiento mediante una cuerda que esenrollada en l, y luego tirada horizontalmente, tal como se muestra en la figura.

Si la cuerda es tirada cuidadosamente el cilindro se eleva como resultado de una fuerza

vertical producida por la rotacin. Este problema puede ser analizado como un flujo potencialalrededor de un cilindro que gira, el cual, corresponde a la superposicin de un flujo potencialsobre un cilindro estacionario y un flujo tipo vrtice.

El vrtice se caracteriza por un perfil de velocidades del tipo:

rV

2


79/118


FluidosIMPT 210

- 79 -

Si el flujo alrededor de un cilindro estacionario est dado por la funcin de corriente:

Encuentre la ubicacin de los puntos de estancamiento de flujo, S1 y S2 para el flujopropuesto.

Solucin:

Flujo sobre el cilindro con rotacin:

Donde la funcin de corriente del vrtice la determinamos por la relacin siguiente:

As, el flujo sobre el cilindro con rotacin es:

rV

Vestcilrotcil ..

Kr

Kdrr

rr

V

V

)ln(

2

2

2

Krsenr

rrVrotcil

Vestcilrotcil

)ln(2

2

0.

..

senr

rrVestcil

2

0.


80/118


FluidosIMPT 210

- 80 -

De sta expresin, para la funcin corriente se puede determinar las componentes V r y V delflujo utilizando las expresiones siguientes:

El valor de )(K lo determinamos con la condicin de 0rV en el flujo tipo vrtice:

Para un flujo vrtice, 0rV

Finalmente:

,y V():

Para hallar el punto de estancamiento se debe cumplir 0V

, o sea:

De la solucin de Vr se ve que en 0)( 0 rrrV para cualquier

rV

rVr

1

K

r

rrV

rVr cos

1 20

)(1

1

K

rV

rV

r

Vr

)(

)(

0

10

K

K

r

cos

12

0

r

rrV

rVr

rV

r

sen

r

rrVV

2

2

0

0

0

rV

V


81/118


FluidosIMPT 210

- 81 -

De la solucin de V haciendo r=r0e igualando a 0 y despejando se tiene la solucin:

Es siempre mayor que 0, por lo tanto

se est en el 1er y 2do cuadrante.

Vrarcsen

Vrsen

rsen

r

rrVV

0

0

00

2

00

4

21

2

02


82/118


FluidosIMPT 210

- 82 -

Ejercicio 34:

Para el flujo de aire bidimensional y bidireccional sobre el cilindro mostrado las componentesradial y tangencial de la velocidad, estn dadas, respectivamente por:

Para Rr , donde V es la velocidad aguas arriba del fluido. Considerando un flujo

incompresible determine la funcin de corriente del fluido ,r , empleando:

Solucin:

Usando las ecuaciones propuestas se tiene:

2

2

1cos1

r

RV

rV

r

Despejando :

rKdrr

RVr

2

2

1cos,

Resolviendo la integral

rKrr

RsenVr

2

2

1,

Ahora determinamos si la funcin K depende realmente de rusando la dos ecuaciones

propuestas para V :

2

2

1r

RsenVV *

rKr

r

RsenV

rrV

2

2

1

rKr

RsenVV

2

2

1 **

Igualando * y ** se obtiene: 0 rK

Con lo cual se concluye que la funcin rK se mantiene constante para cualquier valor de r.Su nueva anotacin ser K solamente.

2

2

2

2

11cosr

RsenVV

r

RVVr

rV

rVr

1


83/118


FluidosIMPT 210

- 83 -

Dado que en la coordenada 0, Rr la funcin de corriente toma valor nulo, utilizaremosesta coordenada como Condicin de borde para obtener el definitivo valor de K

K

KRR

RsenVRr

0

100,2

2

Finalmente la funcin de corriente queda:

r

RrsenVr

2

,

La funcin de corriente se pudo haber obtenido anlogamente utilizando inicialmente la ecuacin

rV

y despejando


84/118


FluidosIMPT 210

- 84 -

Ejercicio 35:

Considere un manmetro conectado como se indica. Deduzca una expresin para obtener elperfil de velocidades del flujo de agua que se tiene en la tubera, en funcin de la diferencia dealtura medida entre los meniscos de benceno. La distancia entre los puntos de medicin depresin es conocida al igual que su dimetro. Asuma que se trata de un flujo laminarplenamente desarrollado.

Solucin:

Se fijarn puntos que sean tiles para la determinacin de la diferencia de presin.

Ahora determinamos la diferencia de presin entre 1 y 2 en funcin de la presin en A y B.

cbpp

cpp

bpp

BencenoAB

Aguab

AguaA

2

1

Al efectuar 21 pp se tiene:

cbppcbcbpp

cpbppp

BencenoAgua

BencenoAgua

AguabAguaA

21

21

21

Para un flujo en una tubera circular, en rgimen laminar, desarrollado y estacionario concte se tiene la siguiente ecuacin:


85/118


FluidosIMPT 210

- 85 -

22

14 R

rR

L

prv

z

Para 21 ppp la ecuacin queda:

22

14 R

rRL

cbrvBencenoAgua

z


86/118


FluidosIMPT 210

- 86 -

Ejercicio 36:

Un fluido newtoniano incompresible fluye a travs de dos tubos concntricos, segn semuestra en la figura. El tubo interior es de radio kR y el exterior es de radio R.

Determine el perfil de velocidades a travs de la seccin anular, en funcin del gradientede presin, las propiedades fsicas del fluido y los parmetros geomtricos conocidos. ConsidereP0 = PL .

Ecuacin de continuidad:

Supuestos:

La velocidad solo tiene componente z, las componentes y r no existen. El fluido es incompresible

La ecuacin de continuidad queda:

La velocidad vzno varia en funcin de la direccin z, el perfil de velocidades a lo largode zse mantiene constante.

Ecuacin de Movimiento en trminos del gradiente de velocidad para un fluidonewtoniano con densidad y viscosidad constantes:

Componente

Componente r

Componentez

1 10

r zr v v v

t r r r z

10z

v

z

0zv

z

2 2 2

2 2 2 2

2

1 1 2

1 1 1

r r r r r r

r z r r

rr z

v v v v v v p v v vv v r v g

t r r r z r r r r r r z

v v v v v v v pv v r v

t r r r z r r r r r

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

1 1

r

z z z z z z zr z z

v v vg

r z

v v v v v p v v vv v r gt r r z z r r r r z


87/118


FluidosIMPT 210

- 87 -

Al reemplazar los supuestos establecidos anteriormente y la condicin obtenida de laecuacin de continuidad, las componentes de la ecuacin de movimiento quedan:

Reordenando:

El termino zg se hace cero pues la gravedad no posee componentes en direccin z, pero

si en direccin r y

El gradiente de presinp

z

se puede expresar como:

Por lo tanto la componente z de la ecuacin de movimiento queda:

*

Las ecuaciones correspondientes a las componentes r y , no poseen trminos de

velocidades ,rv v o zv , por lo tanto no son indicadoras de un perfil de velocidad.

Al integrar la ecuacin * dos veces con respecto a rse tiene:

**

C1y C2corresponden a constantes de integracin que pueden ser funciones de ry .

0

0 0

00L

L L

P Pp p

z z z z z z

10 z

vr

r r r

1 2lnzv C r C

Componente r

Componente

Componentez

0

1

0

10

r

zz

pg

r

p

gr

p vr g

z r r r

Componente r

Componente

Componentez1

r

z

pg

r

pr g

p vr

z r r r


88/118


FluidosIMPT 210

- 88 -

Los valores de estas constantes se determinan gracias a las siguientes condiciones deborde del problema:

Fabricando un sistema de ecuaciones al reemplazar las condiciones de borde en **, sellega a:

Finalmente los valores de C1y C2 son:

y el perfil de velocidades es:

Agrupando:

z r kRv V

0z r Rv

1 2

1 2

0 ln

ln

C R C

V C kR C

1 2

ln

ln ln

V RVC y C

R R

kR kR

ln ln

ln ln

ln ln

ln

z

z

V r V Rv

R R

kR kR

Vv r R

R

kR


89/118


FluidosIMPT 210

- 89 -

Ejercicio 37:

Resolver el ejercicio anterior para las mismas condiciones pero con el ducto inclinado unAngulo

Solucin:

0

2 2 2 2

ln ln4 4 ln ln

L

z

P Pg sen

L r R KR Rv r R

R KR


90/118


FluidosIMPT 210

- 90 -

Ejercicio 38:

Para el cojinete mostrado en la figura que rota con velocidad angular , se pide plantearuna expresin para el torque proporcionado por el eje rotatorio, junto con las condiciones deborde:

Ecuacin de continuidad:

Supuestos:

La velocidad solo tiene componente , las componentes z y r no existen. El fluido es incompresible

La ecuacin de continuidad queda:

La velocidad v no varia en funcin de la direccin , en otras palabras el perfil develocidades se mantiene constante cuando varia para un radio constante.

Ecuacin de Movimiento en trminos del gradiente de velocidad para un fluidonewtoniano con densidad y viscosidad constantes:

1 10

r zr v v v

t r r r z

10

v

r

0v

Componente

Componente r

Componentez

2 2 2

2 2 2 2

2

1 1 2

1 1 1

r r r r r r r z r r

r

r z

v v v v v v p v v vv v r v g

t r r r z r r r r r r z

v v v v v v v pv v r v

t r r r z r r r r r

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

1 1

r

z z z z z z z

r z z

v v vg

r z

v v v v v p v v v

v v r gt r r z z r r r r z


91/118


FluidosIMPT 210

- 91 -

Al reemplazar los supuestos establecidos anteriormente y la condicin obtenida de laecuacin de continuidad, las componentes de la ecuacin de movimiento quedan:

Las condiciones de borde sern las siguientes:

Considerando que la tensin de corte sobre la cara del cilindro interior es:

Y que la fuerza resultante debido a esta tensin es (A es el rea de contacto):

El Torque resultante es: iT F R

La expresin final para el torque ser:

Componente r

Componente

Componentez

2

1 10

0

r

v pg

r r

pr v gr r r r

p

z

00

iir R

r

v R

v

ir r R

v

r r r

rF A


92/118


FluidosIMPT 210

- 92 -

Ejercicio 39:

En un banco de ensayos de laboratorio, se desea usar un tubo de Pitot en el centro deuna tubera para medir la velocidad de un flujo de agua a 20C y luego calcular el caudalvolumtrico. El tubo se conecta a un manmetro diferencial en U, tal como se muestra, confluido manomtrico mercurio (Hg). La diferencia de altura h que indica el manmetro es 30 mm.

Deduzca una expresin para el clculo de velocidad del agua, considerando que el fluido

conducido en la tubera es agua y el fluido manomtrico es mercurio.Determine el caudal volumtrico en la tubera, si sta tiene un diametro de 3,

verificando previamente si el rgimen es laminar o turbulento. La viscosidad del agua a 20C es1 cP. La presin esttica del agua en el punto de medicin es 1 kg/cm2.

Solucin:

Ecuacin de Bernoulli:

ctezg

vP

1

21

1

1

2

Carga debida a presin

esttica local

Carga debida a

presin Dinmica

localCarga debida a

elevacin


93/118


FluidosIMPT 210

- 93 -

Se definen los puntos 1 y 2, de tal forma que estn en la misma lnea de corriente, entonces setiene:

Dado que el punto 2 es de estancamiento, entonces se tendr que:

Reemplazando stas condiciones en la igualdad de Bernoulli se tiene:

Despejando v1:

La diferencia de presin P2-P1, se determina por hidrosttica igualando presiones en el nivel masbajo del mercurio como sigue:

21 BB

2

2

2

2

21

2

1

1

1

22z

g

vPz

g

vP

2

2

2

2

21

2

1

1

1

22z

g

vPz

g

vP

21

2

2 0

zz

PPP

v

ntoEstencamieS

2

2

2

1

1

1

2

P

g

vP

1212

PPg

vAgua

AguaAguaAguaHgAguaAgua hyxPhyxP 21

AguaHghPP 12

Agua 21


94/118


FluidosIMPT 210

- 94 -

Finalmente la expresin para la velocidad queda:

Reemplazando los datos:

Para determinar el Caudal, utilizamos la expresin AvQ , donde corresponde alcoeficiente de energa cintica de la ecuacin de Bernoulli.

Con los datos se tiene:

, y para este nmero de Reynolds se tiene 1 , por lo tanto AvQ 1

AguaHg

Agua

hg

v

2

1

s

mv 72.2

1

,,,Re vff

vRe

2300,0Re2

Im

,4000Re1

predecible

207264Re

001.0

72.2lg

0254.0lg31000

Re3

segm

Kg

s

m

pu

mpu

m

Kg

s

mQ

m

s

mQ

3

2

2

0124.0

2

0254.0372.21


95/118


FluidosIMPT 210

- 95 -

Ejercicio 40:

La figura muestra un esquema que permite determinar velocidades en tuberas.En este caso particular, una tubera de 0.15 mt. de dimetro en inclinada se conecta a

otra de 0.1 mt. de dimetro por medio de una reduccin. El fluido de la tubera es agua y el delmanmetro diferencial es mercurio.

Despreciando los efectos viscosos entre la seccin 1 y 2. Determine la velocidad mediaen 2.

Solucin:

Aplicando Bernoulli y suponiendo un flujo ideal sin prdidas entre los puntos 1 y 2, se tiene:

2121

2

1

2

2

21

2zz

PP

ayudantias mecanica de fluidos 2010

Documents