Curso: Estadstica y Probabilidades

Ing. Enrique Montenegro MarceloCIP 69272

Distribuciones Discretas de Probabilidad

Variable aleatoriaDistirbucin BinomialDistribucin HipergeometricaDistribucin Poisson

TOPICOS

Al finalizar el estudiante deber: Identificar las distribuciones de probabilidad discretas que

ms se utilizan en la toma de decisiones.

Utilizar el concepto de valor esperado para la toma de decisiones.

Conocer cul distribucin de probabilidad utilizar, y como encontrar sus parmetros.

Comprender las limitaciones de cada una de las distribuciones que utilice.

Distribuciones Discretas de Probabilidad

Qu es una distribucin de Probabilidad?

Es el listado de todos los resultados de un experimento yla probabilidad asociada con cada resultado

Es una distribucin de frecuencias terica que describela forma en que se espera que varen los resultados.

Resultan tiles para realizar inferencias y tomardecisiones bajo incertidumbre.

Ejemplo:Se seleccionan en forma consecutivas dos clientes delGrifo ABC .Determine la distribucin de probabilidad de los eventosrelativos a cero, uno y dos conductores varones ser:

012

MMVM,MV

VV

0,250,500,25

N devarones

Probabilidad

0 1 2

0.50

0.25

N Varones

Resultados Probabilidad

1

Caractersticas de una distribucin de Probabilidad

1. La probabilidad de un resultado en particular seencuentra entre 0 y 1, inclusive

2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes3. La lista es exhaustiva. As, la suma de las

probabilidades de los diversos eventos es igual a 1

Variables AleatoriasCantidad que resulta de un experimento que, por azar,puede adoptar diferentes valores.Puede ser Discreta o Continua

Una variable aleatoria es esencialmente un nmero aleatorio.En cualquier caso, el azar proviene de una experienciaconcreta que es la que dicta la frecuencia de los diversosvalores que nos interesan. Una variable aleatoria siempre seconcentra en el comportamiento general de toda la poblacin.

Discreta: Proceso de Conteo Pob: 8,2 Millones de HabContinua: Proceso de Medicin Peso: 60 kg

P(x=0)=P(SSS)= 1/8P(x=1)=P(CSS)+P(SCS)+P(SSC)=3/8P(x=2)=P(CCS)+P(CSC)+P(SCC)=3/8P(x=3)=P(CCC)=1/8

Funcin de Probabilidad

0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.3500.400

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

p(x)

Ejemplo: Se lanzan 3 monedasX : variable aleatoria (nmero de caras)

x : valores que puede tomar la variable (x: 0, 1, 2, 3):{CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}La distribucin de probabilidad se obtiene, calculando p(x) para cada x pertenece al Rango de Valores, se puede hallar en forma tabular y grfica

0 X

Media, varianza y desviacin estndar de una distribucin de probabilidad

Media.- El valor tpico para representar la localizacin de una distribucin deprobabilidad, es el valor promedio de la variable aleatoria tambin recibe el Nombre deVALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMTICA

Varianza y desviacin estndar:Mide el grado de dispersin en .una distribucin deprobabilidad discreta.

=

==k

iii xpxxE

1)()(

[ ]2

k

1iiii

k

1i

2i

22 )x(px)x(px)x(E)x(E)x(V

==

==

)(xV=

Ejemplo: Una concesionaria vende automviles nuevos, por lo general vende la mayor cantidad de autos el sbado. De observaciones se estima la siguiente distribucin de probabilidad de la cantidad de automviles que se espera vender un sbado determinado

x 0 1 2 3 4p(x) 0.10 0.20 0.30 0.30 0.10

Solucin:X : variable aleatoria (nmero de autos que se venden un sbado

x : valores que puede tomar la variable (x: 0, 1, 2, 3,4)

a) Cuntos automviles se espera vender un sbado normalb) Cual es la desviacin estndar de la distribucin

x 0 1 2 3 4 Total

p(x) 0.10 0.20 0.30 0.30 0.10 1.00

x*p(x) 0.00 0.20 0.60 0.90 0.40 2.10

x2*p(x) 0.00 0.20 1.20 2.70 1.60 5.70

[ ] 29,1)10,2(70,5)()()( 222 === xExExV10,2)()(

1==

=

k

iii xpxxE

14,129,1 ==

Principales variables Aleatorias discretas

Distribucin Binomial Distribucin de Poisson Distribucin Hipergeomtrica

Distribucin BinomialEs una de las distribuciones mas utilizadas en la estadsticaaplicada. La distribucin se deriva de un procedimientollamado ensayo de Bernoulli, nombrado as en honor delmatemtico Suizo James Bernoulli (1654 - 1785).

xxCx -nqp = )=P(X nxdonde:

n : nmero de ensayosx : nmero de xitosp : probabilidad de xitos en un ensayo

q=1-p : probabilidad de fracaso en un ensayon - x : nmero de fracasos en el ensayo

X ~B(n,p)X sigue una distribucin BinomialCon parmetros n y p

La probabilidad de xito, designado por p es la mismapara cada ensayo, la probabilidad de fracaso q (igual a1-p) es tambin constante.1. Los ensayos sucesivos son independientes.2. Puede ser simtrica o sesgada.3. La informacin de la muestra se obtiene conreposicin de una poblacin finita.Se aplica a la seleccin de una muestra, slo cuando elresultado de cada solucin es independiente de losresultados de las selecciones anteriores.Su media y varianza esta dada por las siguientesfrmulas:

)1()(][

pnpxVnpXE=

==

LAN Per tiene 6 vuelos diarios de Lima a Chiclayo. Suponga que laprobabilidad que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.25a) Cul es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy?b) Cul es la probabilidad de que por lo menos dos de los vuelos lleguentarde hoy?

SolucinSean los eventos:

X: nmero vuelos que llegan tarde a ChiclayoRx: = (0,1,2,3,4,5,6)

X~ B(n, p) xito : p= 0,25

XXxcxXp == 66 )75.0()25.0()(

( ) ( ) 1780.075.025.0)0( 6060 === CXP

a)

466,0)75.0()25.0()2( 66

2

6 == = xxx

xCXP

La distribucin HipergeomtricaSe utiliza para describir variables discretas

a)CaractersticasLa informacin de la muestra se obtiene sin reposicin de una poblacin finita, por lo tanto la probabilidad de xito vara.b) Formula

N

n

MN

knk

M

k= )=(XP

donde:M : nmero de xitos en la poblacink : nmero de xitos en la muestraN : tamao de la poblacinN-M: nmero de fracasos en la poblacinn : tamao de la muestran-k : nmero de fracasos en la muestra

n

x

nx =C

Ejemplo: Una urna contiene 6 esferas blancas y 5 rojas. Se extrae 4 esferas de laurna sin reposicin. Hallar la distribucin de probabilidad del nmero de esferasrojas extradas.a) Cul es la probabilidad de extraer exactamente 3 esferas blancas? Es lo mismo

Cul es la probabilidad de extraer exactamente 1 esfera roja?b) Cul es el nmero esperado de esferas blancas extradas?

SolucinX = N esferas rojas de la urna extradasRx = {0, 1, 2, 3, 4}n = 4 porque se extrae 4 esferasN = 11 (total de esferas rojas y blancas)M=5 (total esferas rojas xito)

6 BLANCAS5 ROJAS

( )

( )

( )

( )

116)(

1818.21124

1164

3030.0

411

36

15

1

4114

65,,

==

==

===

=

==

==

PblancasP

npyE

XP

xxXXP

MnNHx

X ~H(N,n,M)X sigue una distribucin HipergeomtricaCon parmetros N, n y M

Y = N esferas blancas de la urna extradas

Es una distribucin muy usada. Se deriva delproceso de Poisson en honor al matemtico francsSimeon Denis Poisson (1781-1840).

Debe cumplir las siguientes condiciones:

La ocurrencia de los eventos son independientes.

El nmero promedio de veces () que ocurre unxito por cada unidad de tiempo o de espacio esconstante.

La probabilidad de un suceso es una unidad detiempo o de espacio muy pequea.

Distribucin de Poisson

Ejemplos de aplicaciones de Poisson:El nmero de Pacientes que llegan a la sala de urgencias

de un hospital durante un cierto da.Maletas prdidas en los vuelos areos.Accidentes por hora en cierta parte de una carretera.Clientes que llegan a la ventanilla de un banco en un

determinado horario.El nmero de rboles en un bosqueEl nmero de fallas en un m2 de telaEl nmero de bombas que caen en un campo enemigoEl nmero de bacterias en una muestra cc

variable discreta se encuentra distribuida sobre una variable continua

Si el tamao de la muestra es bastante grande (n>50) yla probabilidad de un evento particular es muy pequeo(p < 0,1) y se desea hallar la probabilidad de un nmerodeterminado de xitos, se puede aplicar la distribucinde Poisson, dada por la siguiente ecuacin.

! =)=P(X

x

xx e

!xe

donde(lambda) : media = np = variancia

: base de logaritmos naturales =2.71828: factorial de x

Aplicacin Las personas llegan aleatoriamente a la

ventanilla de un banco en promedio a una razn de 20 por hora durante cierto da

a) Cul es la probabilidad que exactamente 3 personas lleguen durante un perodo de tiempo de 12 minutos?

b) Cul es la probabilidad que lleguen por lo menos 2 personas durante un perodo de tiempo de 12 minutos?

Solucin X = N de personas que llegan durante un

perodo de 12 minutos Rx = {0, 1, 2, 3,.} X~P(x:) Donde t= 20 x 12/60=4 ocurrencias en 12

minutos Entonces la funcin de probabilidad es: a) b)

!)()(

XtexXP

Xt ==

!)4()(

4

XexXP

X

==

1954.0!3

)4()3(34

===eXP

9084.0!)4(1

)1(1)2(1)2(1

0

4

==

==

Aquel que pregunta es un tonto por cinco minutos, pero el que no pregunta, permanece tonto por siempre.

- Proverbio Chino

Curso: Estadstica y ProbabilidadesDistribuciones Discretas de ProbabilidadSlide Number 3Qu es una distribucin de Probabilidad?Ejemplo:Caractersticas de una distribucin de ProbabilidadVariables AleatoriasSlide Number 8Media, varianza y desviacin estndar de una distribucin de probabilidadSlide Number 10Principales variables Aleatorias discretasDistribucin BinomialSlide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25