Prof. Martha Medalit Campos Villegas

CICLO 2013-3 Mdulo: I Unidad: II Semana:04

MTODOS NUMRICOS

Solucin de Funciones No Lineales

ORIENTACIONES

Siga cuidadosamente todas las definiciones hechas.

Resuelva paso a paso los ejemplos y ejercicios propuestos.

Revise los links correspondiente a esta semana.

CONTENIDOS TEMTICOS

Mtodo de Punto Fijo Pasos a seguir.

Interpretacin Grafica.

Diseo del algoritmo

Ejemplos de aplicacin.

Martha M. Campos V. 5

Pasos a seguir

Sea F(x) una funcin continua en el intervalo (a, b), tal que sea intervalo

solucin; es decir F(a) x F(b) < 0. Sea x0 un punto inicial cercano a la

solucin. (x0 (a, b))

Pasos a seguir:

Despejar x de la funcin F(x) = 0. x = g(x)

La funcin g(x) debe ser convergente, es decir | g(x0) | < 1

El proceso iterativo de punto fijo queda expresado por:

xn+1 = g (xn)

El proceso iterativo se repite hasta llegar a la precisin deseada.

Martha M. Campos V. 6

Interpretacin Grafica

F(x) = 0 x = g(x)

y

x xo x1

F1(x)=x

x = g(x)

F1(x) F2(x)

F2(x)=g(x)

x1=g (x0)

g(x) es convergente

Algoritmo PuntoFijo

Inicio Imprimir Ingrese punto inicial Leer(x0)

Escribir Ingrese precisin deseada Leer( prec )

error = prec

Repetir mientras (error > = prec)

x1 = g (x0)

error= valorAbsoluto (x1 x0) x0 = x1

Imprimir x, error

Fin repetir

Imprimir La solucin es : , x

Fin

Martha M. Campos V. 8

Ejemplo 1

Considere la siguiente funcin NO lineal :

Hallar la funcin convergente g(x) para punto fijo, considere x0 = 0.7

Martha M. Campos V. 9

Ejemplo 1

Realice 5 iteraciones con punto fijo y diga los dgitos obtenidos.

0.82334

Martha M. Campos V. 10

Ejemplo 1

Martha M. Campos V. 11

Ejemplo 2

1 x)xtan()x(fConsidere la siguiente funcin no lineal: Encuentre la solucin mas cercana al origen de coordenadas

(positiva) con dos dgitos correctos.

Use punto fijo. Trabajar con 4 decimales.

f1(x) = Tan(x)

f2(x) = 1/x

Podemos afirmar que

el intervalo de

solucin es:

(a, b) = (0.5, 1)

Verifiquelo !

Martha M. Campos V. 12

Ejemplo 2

Sea X0 = 0.9, hallamos la funcin convergente g(x).

00 1 x)xtan()x(f

xx)xtan(

11

)x(g

xtanax

1

Martha M. Campos V. 13

Ejemplo 2

Ahora verificamos convergencia:

21

1

1

1

x

x)x('g

xtana)x(g

'

1

12

x

)x('g

Martha M. Campos V. 14

Ejemplo 2

Ahora verificamos convergencia:

83800190

190

1

1

2

2

0

0

..

).('g

x)x('g

As podemos decir que g(x) es convergente.

n

nnx

tanaXgX1

1

Martha M. Campos V. 15

Ejemplo 2

Empezamos el proceso iterativo:

Iteracin 1:

8380090

11

0

01 ..

tanax

tanaXgX

0600620908380001 ....xxError

00 n,k No hay dgitos correctos.

Martha M. Campos V. 16

Ejemplo 2

Iteracin 2:

8733083800

11

1

12 ..

tanax

tanaXgX

03003530838008733012 ....xxError

11 n,k Hay un dgito correcto, 8

Martha M. Campos V. 17

Ejemplo 2

Iteracin 3:

8529087330

11

2

23 ..

tanax

tanaXgX

02002040873308529023 ....xxError

11 n,k Hay un dgito correcto, 8

Martha M. Campos V. 18

Ejemplo 2

Iteracin 4:

8646085290

11

3

34 ..

tanax

tanaXgX

010852908646034 ...xxError

11 n,k Hay un dgito correcto, 8

Martha M. Campos V. 19

Ejemplo 2

Iteracin 5:

8579086460

11

4

45 ..

tanax

tanaXgX

0070864608579045 ...xxError

11 n,k Hay un dgito correcto, 8

Martha M. Campos V. 20

Ejemplo 2

Iteracin 6:

8617085790

11

5

56 ..

tanax

tanaXgX

0040857908617056 ...xxError

22 n,k Hay dos dgitos correctos, 8 y 6

GRACIAS