axiomatique de bachmann
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Axiomatique de Bachmann. Illustrations elliptiques et hyperboliques avec Cabri-géomètre. Yves Martin IUFM de La Réunion [email protected]. Montréal - 15 juin 2001. Axiomatique de Bachmann avec Cabri. Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Axiomatique de Bachmann
Montréal - 15 juin 2001Yves MartinIUFM de La Ré[email protected]
Illustrations elliptiques et
hyperboliquesavec
Cabri-géomètre
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Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
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Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
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La théorie des parallèles (1829)
Les droites sont :• sécantes• parallèles • ayant une perpendiculaire commune
Il existe un objet spécifique
Les horicycles
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La science absolument vraie de l’espace (1832)
Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible
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La science absolument vraie de l’espace (1832)
Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible
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Géométrie différentielle (1828)
Courbure intégrale
Géodésiques
Géométrieintrinsèquedes surfaces
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Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1854)
Géométrie elliptique sur la sphère
Variétés différentielles
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Essai d’interprétation de la géométrie non euclidienne (1868)
La géométrie sur les surfaces à courbure constante négative sont localement des plans de Lobatchevsky
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Construction du premier modèle hyperbolique plan (1869)
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Classification des Géométries (1871)
Il existe trois types de géométrie projective à courbure constante :
• Elliptique
• Euclidien
• Hyperbolique
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Le programme d’Erlangen (1872)
L’objet de la géométrie :
« Étant donné une multiplicité et un groupe de transformation, développer la théorie des invariants par rapport à ce groupe »
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Les fondements de la Géométrie (1899)
• Construction catégorique de la géométrie plane euclidienne
• Indépendance des axiomes (par groupe)
• Causalité des propositions : introduction d’autres géométries (non arguésienne, non archimédiennes, legendrienne …)
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Une classification des géométries
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"Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points; ...; nous nommons droites les choses du deuxième système...; nous appelons plans les choses du troisième système …
Entre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que être sur, entre, congruent; la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie.
Empirisme et intuition chez Hilbert
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Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l'énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc . On pourrait dire que c'est la position d'Euclide et interpréter en partie, l'histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l'histoire d'une défiance de plus en plus grande vis à vis des vérités appuyées sur l'intuition de l'espace, mais qui aboutit à la constatation qu'on ne peut pas s'en passer totalement.
Empirisme et intuition chez Hilbert
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Les modèles euclidiens conformes (1901)
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Les modèles euclidiens conformes (1901)
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Les modèles euclidiens conformes (1901)
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Les modèles euclidiens conformes (1901)
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L’après Hilbert
1905 - Hessenberg
• Caractère arbitraire de la notion de parallélisme
• Théorème d’antiappariement
• Preuve de Pappus dans les plans métriques non euclidiens
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L’après Hilbert
1907 - Hjelmslev
• Premier travail sur les faisceaux
• Théorème fondamental des plans métriques
• Notion de demi-rotation pour le plongement projectif
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L’après Hilbert
1933 - Thomson
Première tentative de présentation algébrique de la géométrie euclidienne à partir des symétries
1943 - Arnold Schmidt
Extension du travail précédent aux cas non euclidiens
1959 - Friedrich Bachmann
Algébrisation ultime de la géométrie absolue plane
1924 - Geiger
Première définition axiomatique de la géométrie
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Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
![Page 25: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/25.jpg)
Propriétés de la géométrie elliptique
• Non orientable
![Page 26: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/26.jpg)
Propriétés de la géométrie elliptique
• Non orientable
• Notion de pôle et de polaire
![Page 27: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/27.jpg)
Propriétés de la géométrie elliptique
• Non orientable
• Notion de pôle et de polaire
• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites
![Page 28: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/28.jpg)
Propriétés de la géométrie elliptique
• Non orientable
• Notion de pôle et de polaire
• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites
![Page 29: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/29.jpg)
Propriétés de la géométrie elliptique
• Non orientable
• Notion de pôle et de polaire
• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites
![Page 30: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/30.jpg)
Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
![Page 31: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/31.jpg)
Point et orthogonalité
Incidence
Composition de 3 symétries - axes sécants
Composition de 3 symétries - axes à perpendiculaire commune
Préambule à l’axiomatique de Bachmann
Lecture algébrique des propriétés euclidiennes
![Page 32: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/32.jpg)
L’environnement des axiomes de BachmannOn considère un groupe noté multiplicativement, d'unité 1, et on note∆ un ensemble générateur maximal pour ces deux propriétés :
Tous les générateurs sont d'ordre 2
L'ensemble des générateurs est globalement stable par conjugaison.
Dans toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann, on désignera :
• Par une lettre minuscule grecque un élément de , appelée une isométrie.• Par une lettre minuscule latine un élément de .• Par une lettre majuscule latine le produit de deux éléments de quand ce produit est d’ordre 2.
Par | la relation : le produit est d'ordre 2Ainsi a | b signifie (ab)2 = 1 ou encore ab=ba. (et ab ≠ 1)De même P | a signifie (Pa)2 = 1 ou encore Pa = aP
On choisit de noter P, Q | a pour signifier P | a et Q | a.De même on écrira P, Q | a, b pour exprimer P, Q | a et P, Q | b.
Le groupe opère naturellement par conjugaison sur lui-même, et donc en particulier sur .L'action d'un élément de sur un élément a pour résultat -1 et se notera dans la suite .
En particulier : si a | b alors ab = a et ba = b. De même si P | a alors Pa = P et aP = a.
![Page 33: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/33.jpg)
Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g
Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h
Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiomes des trois symétries
Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h ,j F g, j F gh.
Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiome d'existence d'un plan
Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :
Axiomes d’incidenceOn appelle droite les éléments de ∆.
On appelle point le produit de deux droites quand ce produit est d'ordre 2
On dira qu’un point P et une droite g sont incidents si P | g.
On dira que deux droites g et h sont orthogonales si g | h. Elles sont alors distinctes.
Si g | h alors le produit gh est un point P incident à g et à h.
![Page 34: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/34.jpg)
Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g
Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h
Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiomes des trois symétries
Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.
Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiome d'existence d'un plan
Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :
Axiomes d’incidenceÉtant donnés deux points il existe une droite qui leur est incidente.
Si deux points sont incidents à deux droites, alors soit les points, soit les droites sont confondues
![Page 35: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/35.jpg)
Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g
Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h
Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiomes des trois symétries
Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h ,j F g, j F gh.
Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiome d'existence d'un plan
Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :
Axiomes d’incidence
Si trois droites sont concourantes en un point, leur produit est une droite
Si trois droites ont une droite orthogonale commune, leur produit est une droite
![Page 36: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/36.jpg)
Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g
Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h
Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiomes des trois symétries
Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.
Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d
Axiome d'existence d'un plan
Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :
Axiomes d’incidence
Dans cette géométrie, il existe un trianglerectangle
![Page 37: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/37.jpg)
Action des isométries
De par les propriétés de G, les isométries :
• Transforment les droites en droites
• Transforment les points en points
• Conservent l’incidence et l’orthogonalité
L'action d'un élément de G sur un élément a pour résultat -1 que l’on a noté .
Droites invariantes par l’action d’une droite
Soit u et a deux droites.
• Si a = u, alors uau = a, et donc au = a. • Sinon uau = a ssi (ua)2 = 1 ssi u | a.
Autrement dit, les seules droites a globalement invariantes par l'action de u sont la droite u elle-même et toutes les droites a orthogonales à u.
![Page 38: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/38.jpg)
Pôles et polaires
Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1.
ab = c
a | b
a et b orthogonales
ab = c = C
Dans le cas où abc = 1, les droites sont deux à deux distinctes, et chacune égale au point incident aux deux autres.
![Page 39: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/39.jpg)
Poles et polaires - Conséquence pour l’incidence
Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1.
Quand C = c, on a bien-sûr C | c. Toutefois, pour éviter qu'un point soit incident à lui-même, on ne dit pas que C et c sont incidents. Ainsi la définition sur l'incidence que l'on retiendra sera désormais :
(P est incident à a) ssi (P | a et P ≠ a). On écrira P I a.
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Faisceaux
Trois droites a, b, et c sont dites en faisceaux si la composée des trois abc est une droite.
Pour trois droites, "être en faisceau" est indépendant de l'ordre.
L'axiome 3 veut que si trois droites sont incidentes à un point alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à centre.
De même l'axiome 4 veut que si trois droites sont orthogonales à une droite donnée, alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à axe.
La notion est plus générale que ces deux cas particuliers. Quand l'un de ces deux cas n'est pas satisfait, on parle de faisceau sans support.
![Page 41: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/41.jpg)
Premières conséquences (incidence et orthogonalité)
Tout point P est le produit de toute paire de droites orthogonales incidentes à P.
Il y a équivalence entre l’orthogonalité de trois droites prises deuxà deux et le produit des trois égal à 1.
Il existe toujours (au moins) une perpendiculaire à une droite incidente à un point donné
De plus il y a unicité de cette droite si le point n’est pas le pôle de la droite.
Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points
![Page 42: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/42.jpg)
Premières conséquences (incidence et orthogonalité)
Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points
![Page 43: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/43.jpg)
Premières conséquences (axiomes des 3 symétries)
Dans l’axiome 3 le produit d= abc est aussi incident à P.
Dans l’axiome 4 le produit d= abc est aussi orthogonal à l’axe g.
Réciproque de l’axiome 3 :
Soit P un point incident à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors P | c.
Réciproque de l’axiome 4 :
Soit g une droite orthogonale à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors g | c.
![Page 44: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/44.jpg)
Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev)
AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C
aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c
Le théorème de Hjelmslev :
Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d.Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).
![Page 45: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/45.jpg)
Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev)
AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C
aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c
Le théorème de Hjelmslev :
Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d.Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).
![Page 46: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/46.jpg)
Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc
Le principe avec Cabri :
Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.
![Page 47: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/47.jpg)
Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc
Le principe avec Cabri :
Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.
Il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucun problème dans les modèles utilisés
![Page 48: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/48.jpg)
Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’b’) par P
Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'
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Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’c’) par P
Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'
Si A = C, alors A | c' et la droite a convient.Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P. Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'après le théorème fondamental b est la droite cherchée car a'bc' est une droite.
![Page 50: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/50.jpg)
Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
![Page 51: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/51.jpg)
Les médiatricesThéorème des milieux
HauteursBissectrices
Les Faisceaux : généralisation des faisceaux du triangle
Propriété absolue des bissectrices
Les médianes
TRIANGLE
TRILATERE
![Page 52: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/52.jpg)
Théorème de transitivité :Pour a ≠ b, si abc et abd sont deux droites, alors acd est une droite
Intersection de deux faisceaux
Isogonalité absolue
Les Faisceaux - propriétés absolues
« Malfatti »
Conséquence 1 :Deux droites distinctes d’un faisceau caractérisent ce faisceau
Conséquence 2 :Deux faisceaux distincts ont au plus une droite en commun
![Page 53: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/53.jpg)
Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
![Page 54: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/54.jpg)
Classification des géométries
• Axiome de Polarité
• Axiome du rectangle• Equi-perpendicularité• Axiome de connexion
• Axiome hyperbolique
![Page 55: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/55.jpg)
Axiome de polarité - Géométrie elliptique
Il existe une droite a égale à un point A
Dans un plan elliptique toute droite est égale à un point et réciproquement
![Page 56: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/56.jpg)
Axiome de polarité - Géométrie elliptique
Pour deux droites distinctes a et b, soient a = A et b = B
B est donc un point distinct de A, milieu de [AA]
![Page 57: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/57.jpg)
Dualité en géométrie elliptiqueTout théorème a son dual en inversant la notion de droite et point
Axiomes 1 et 2Par deux points distincts il passe une et une seule droite
Dual 1 :Par deux droites distinctes il passe un et un seul point.
Dual 2 :Deux droites distinctes ont toujours une et une seule perpendiculaire.
Pour tout A ≠ B , il existe un unique d telle que A, B | d
Dual 3:Par un point et une droite (non polaire de ce point), il existe une unique perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Son dual ? ….. Ses duaux …
![Page 58: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/58.jpg)
Il existe deux droites qui admettent (au moins) deux perpendiculaires communes
a, b, c, d, a≠b et c≠d tels que a, b | c, d
P R, donc R P
L’axiome du rectangle entraîne que :
Par un point il passe une uniqueperpendiculaire à une droite donnée
Axiome du rectangle : vers l’euclidien
![Page 59: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/59.jpg)
Axiome du rectangle : vers l’euclidien
L’axiome R est équivalent au :
Théorème du rectanglea et b étant deux droites distinctes Si a, b | c et a | d alors b | d
Mais l’axiome R ne suffit pas à assurer l’unicité de la non sécante à une droite en un point donné
Il est aussi équivalent au :
Théorème des 3 points :Le produit de 3 points est toujours un point
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L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien
Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux
Plans semi-euclidiens
L’axione R est vérifié, mais par un point il passeplus d’une non sécante à une droite donnée
• Deux droites équi-perp. sont sans point commun• Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp.
L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens
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Plans semi-euclidiens
L’axione R est vérifié, mais par un point il passeplus d’une non sécante à une droite donnée
L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens
L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien
Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux
• Deux droites équi-perp. sont sans point commun• Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp.
![Page 62: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/62.jpg)
Axiome de connexion Géométrie euclidienne
Connexion :Deux droites sont connectables si elles ont un point ou une perpendiculaire en commun
Plans euclidiensCe sont les plans dans lesquels l’axiome R et l’axiome C sont vérifiés
L’équi-perpendicularité coïncide alors avec le parallélisme
Axiome de connexion (C)Deux droites quelconques sont toujours connectables
![Page 63: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/63.jpg)
Géométrie hyperbolique
On se situe dans C :Il existe des droites non connectables
Axiome H :
Par un point il passe au plus deux droites non connectables à une droite
La géométrie hyperbolique est celle qui vérifie H et C
![Page 64: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/64.jpg)
Classification des géométries
![Page 65: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/65.jpg)
Classification des géométries
![Page 66: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/66.jpg)
Classification des géométries
![Page 67: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/67.jpg)
Classification des géométries
![Page 68: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/68.jpg)
Classification des géométries
![Page 69: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/69.jpg)
Classification des géométries
![Page 70: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/70.jpg)
Axiomatique de Bachmann avec Cabri
• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai
• Familiarisation des modèles des G.N.E.
• Axiomes et premiers théorèmes
• Théorèmes sur les faisceaux
• Les différentes géométries
• Plongement dans un modèle projectif
![Page 71: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/71.jpg)
Brianchon et Pappus-Pascal absolus
La géométrie absolue vérifie le théorème de Brianchon :
Les trois diagonales d'un hexagramme issu de deux faisceaux à centre sont en faisceau.
On note Fij le faisceau F(ai,bj) de centre fij s’il existe
Sommet : Fij d’opposé : Fji
Diagonale : unique droite du faisceau de sommets opposés (si elle existe)
![Page 72: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/72.jpg)
Brianchon et Pappus-Pascal absolus
Le dual du théorème de Brianchon est le théorème de Pappus :
Si les sommets (Ai) et (Bj) d'un hexagramme sont alternativement sur deux droites données a et b, les trois intersections (Ci) des diagonales opposées (AjBk) et (AkBj) - pour i, j, k différents - sont alignées.
Le faisceau A, a1, a2, a3 devient A1, f12, f13, a. Le faisceau B, b1, b2, b3 devient B1, f31, f21, b.
![Page 73: Axiomatique de Bachmann](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062408/56813266550346895d98fdba/html5/thumbnails/73.jpg)
Prolongement projectif
Tout plan métrique de Bachmann se prolonge dans un plan idéal projectif
Les faisceaux de la géométrie sont les points du plan idéal
Les droites idéales sont construisent à partir des demi-rotations.