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Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY

05/12/2015 Résistance des matériaux 7 cours / 14 h

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A.VI. Les sollicitations

Pour chacune des sollicitations étudiées dans ce paragraphe (traction-compression, cisaillement,

torsion et flexion), la démarche d’analyse sera la même.

Ainsi, nous proposerons :

- La définition de la sollicitation étudiée

- Le torseur des petits déplacements

- Le torseur des déformations

- Les contraintes

- La relation entre contraintes et déformations

- Les critères de dimensionnement des poutres

A.VI.1 La traction-compression

A.VI.1.a Définition

Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de traction-compression si et

seulement si le torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :

{𝒯𝐶} = {𝑁(𝑥) 00 00 0

}

ℬ𝛴

𝐺

Si 𝑁(𝑥) > 0, la poutre est soumise à de la traction.

Si 𝑁(𝑥) < 0, la poutre est soumise à de la compression.

A.VI.1.b Déplacements

Dans le cas de la traction compression, le déplacement est longitudinal suivant 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ :

On note que la courbure de la ligne moyenne ne change pas.

On peut donc exprimer le torseur des petits déplacements ainsi :

{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)

�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺

= { 0⃗⃗𝑢(𝑥)𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

}𝐺



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A.VI.1.c Déformations

A.VI.1.c.i Torseur des déformations

Du fait des déplacements identifiés, on peut exprimer le torseur des déformations ainsi :

{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)

휀⃗(𝑥)}𝐺

=

{

𝑑𝜃(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑�⃗⃗⃗�(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝜃(𝑥)

}

𝐺

= {0

𝑑𝑢(𝑥)

𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}

𝐺

= {0

휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝐺

휀𝑥 est appelée « déformation longitudinale » ou « allongement relatif », elle est constante le long de

la poutre.

A.VI.1.c.ii Déformation d’une poutre

En considérant une poutre de longueur initiale 𝐿0 encastrée en 𝑥 = 0, on a :

𝑑𝑢 = 휀𝑥𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑢𝐿0

0

= ∫ 휀𝑥𝑑𝑥𝐿0

0

𝑢(𝐿0) − 𝑢(0) = ∆𝐿 − 0 = ∆𝐿 = 휀𝑥𝐿0

Soit :

휀𝑥 =∆𝐿

𝐿0



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A.VI.1.d Contraintes

A.VI.1.d.i Contrainte locale

Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke, on a :

𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐸휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥

𝜎𝑥𝑥 est donc constante.

A.VI.1.d.ii Relation Contrainte/Sollicitation

On peut mettre en relation la contrainte locale avec les composantes du torseur de cohésion en

rappelant la relation établie précédemment :

𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑥𝛴

𝑑𝑆

Soit :

𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑥𝛴

𝑑𝑆 = 𝑆𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑥𝑥 =𝑁

𝑆

La section variant très peu, on assimile la section courante S à la section initiale avant déformation 𝑆0.

𝜎𝑥𝑥 =𝑁

𝑆0

A.VI.1.d.iii Répartition des contraintes dans une section

La contrainte normale en traction-compression est constante sur la section :



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A.VI.1.e Relation Déformation-Sollicitation

On a établi les relations suivantes :

𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥 ; 𝜎𝑥𝑥 =𝑁

𝑆0 ; 휀𝑥 =

∆𝐿

𝐿0

On en déduit la relation souvent utilisée :

∆𝐿 = 휀𝑥𝐿0 =𝜎𝑥𝑥𝐿0𝐸

=𝑁𝐿0𝐸𝑆0

∆𝐿 = 𝑁𝐿0𝐸𝑆0

On note lus généralement, pour une poutre de longueur L et de section S :

∆𝐿 = 𝑁𝐿

𝐸𝑆

Pour toute section d’abscisse initiale x, on a :

∆𝐿(𝑥) = 𝑁𝑥

𝐸𝑆

A.VI.1.f Dimensionnement d’une poutre à la Traction-Compression

A.VI.1.f.i Dimensionnement à la contrainte limite

Afin de rester dans le domaine élastique, la matière doit respecter la condition suivante :

𝜎𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐸

𝑁

𝑆< 𝑅𝑝𝐸

A.VI.1.f.ii Dimensionnement au déplacement

On a :

∆𝐿 = 𝑁𝐿

𝐸𝑆< ∆𝐿𝑚𝑎𝑥



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A.VI.1.g Remarque – Structures treillis

Les structures treillis sont des ensembles de barres liées entre elles par des rotules en 3D, pivots en

plan. Si des actions extérieures s’appliquent sur les liaisons, chacune des barres n’est soumise qu’à de

la traction compression. Il est alors plus simple d’étudier l’équilibre de nœuds (liaisons) plutôt que de

chacune des pièces prise séparément.

Exemple :

Attention, lors d’une étude statique classique, il faut veiller à ne pas compter deux fois l’action F, on

doit choisir si elle s’applique sur la pièce 1, la pièce 2, ou sur une pièce fictive 3 correspondant à un axe

sur lequel seraient fixées les pièces 1 et 2.

On sait que chaque pièce est soumise à de la traction compression. Pour le prouver

- On isole par exemple la pièce 1 et on considère que l’effort s’applique sur cette pièce. On

regroupe l’action de 2 sur 1 avec F, deux forces dont la somme a un moment nul en A, ce qui

revient à 1 effort en A. La pièce 1 est donc soumise à deux forces, l’un en O et l’autre en A. La

seconde pièce est soumise elle aussi à 2 glisseurs.

- Soit on imagine une troisième pièce « Axe », sur laquelle il y a l’action de 1 sur l’axe, de 2 sur

l’axe, et de F. Alors, chaque barre n’est soumise qu’aux actions de cet axe d’un côté, et de la

rotule de l’autre.

𝟏 𝑂 �⃗�

�⃗�

�⃗⃗⃗�

𝐵

𝟐

𝐴

ℎ

𝑙

𝐿



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Ensuite, il suffit d’isoler en statique le nœud A, ou encore d’isoler un axe fictif sur lequel on a 3 efforts

de direction connue, dont un est entièrement défini.

𝛼 est défini à l’aide des longueurs données. Les efforts �⃗�1→𝐴𝑥𝑒 et �⃗�2→𝐴𝑥𝑒 sont en réalité les efforts des

pièces l’une sur l’autre :

�⃗�1→𝐴𝑥𝑒 = �⃗�1→2

�⃗�2→𝐴𝑥𝑒 = �⃗�2→1

On a donc les relations :

tan𝛼 =𝐹

𝐹1→2

sin 𝛼 =𝐹

𝐹2→1

𝑭𝟐→𝑨𝒙𝒆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝟏

�⃗⃗⃗�

𝟐

𝐴 𝑭𝟏→𝑨𝒙𝒆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝜶



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A.VI.2 Le cisaillement

Nous nous limiterons au cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗, les résultats étant analogues suivant 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ .


Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ si et

seulement si le torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :

{𝒯𝐶} = {0 0

𝑇𝑦(𝑥) 0

0 0

}

ℬ𝛴

𝐺

Le cisaillement s’obtient par application de 2 efforts opposés extrêmement rapprochés :

Le torseur associé au cisaillement n’est valable qu’entre les deux efforts.

Le cisaillement parfait seul n’existe pas en réalité. L’écart entre les 2 efforts induit l’apparition d’un

moment fléchissant suivant 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ .

Les clavettes et goupilles peuvent être soumises au cisaillement par exemple.



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Dans le cas du cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗, on observe un glissement des différentes sections suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗.


{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)

�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺

= { 0⃗⃗𝑣(𝑥)𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

}𝐺




{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)

휀⃗(𝑥)}𝐺

= {0

𝑑𝑣(𝑥)

𝑑𝑥𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}

𝐺

= {0⃗⃗

휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝐺

휀𝑦 est appelé « angle de glissement », il est constant le long de la poutre.


En considérant une poutre de longueur 𝐿 encastrée en 𝑥 = 0, on a :

𝑑𝑣 = 휀𝑦𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑣𝐿

0

= ∫ 휀𝑦𝑑𝑥𝐿

0

𝑣(𝐿) − 𝑣(0) = 𝑉 = 휀𝑦𝐿

Soit :

휀𝑦 =𝑉

𝐿



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Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke en cisaillement, on a :

𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐺휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦




𝑇𝑦 = ∫𝜎𝑥𝑦𝛴

𝑑𝑆

En supposant que la contrainte tangentielle est constante sur la section, hypothèse discutable mais

prise au premier abord, on obtient :


𝑑𝑆

Soit :


𝑑𝑆 = 𝜎𝑥𝑦𝑆

𝜎𝑥𝑦 =𝑇𝑦

𝑆 ; 𝜎𝑥𝑦 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒


La contrainte tangentielle de cisaillement est constante sur la section :



𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦 ; 𝜎𝑥𝑦 =𝑇𝑦

𝑆 ; 휀𝑦 =

𝑉

𝐿

On en déduit la relation :

𝑇𝑦

𝑆= 𝐺

𝑉

𝐿



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𝑉 = 𝑇𝑦𝐿

𝐺𝑆 ; 𝑁𝑜𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠é 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

Attention toutefois, cette relation est très peu utilisée car :

- L’hypothèse de répartition uniforme de 𝜎𝑥𝑦 sur la section est discutable.

- En cas de cisaillement, celui-ci étant réalisé sur des longueurs très courtes, cette déformation

est très faible.

- En cas de flexion simple (avec effort tranchant), sur une longueur conséquente donc, on

étudiera la déformation en flexion, très grande devant cette déformation en cisaillement qui

sera donc négligée



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A.VI.2.f Dimensionnement d’une poutre au cisaillement


𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐺

𝑇𝑦

𝑆< 𝑅𝑝𝐺

A.VI.3 La torsion

Les résultats de ce paragraphe ne sont valables que pour les poutres cylindriques de révolution. Les

sections non circulaires ne respectent pas les hypothèses de ce chapitre.


Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de torsion si et seulement si le

torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :

{𝒯𝐶} = {0 𝑀𝑡(𝑠)0 00 0

}

ℬ𝛴

𝐺


On considère un barreau cylindrique de longueur 𝐿 encastré à l’une de ses extrémités et soumis à un

moment porté par son axe à l’autre extrémité. Si l’on dessine sur la poutre une grille parfaite avant

déformation, on remarque après déformation la structure suivante :



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On remarque que

- chaque génératrice du cylindre rectiligne avant déformation devient une portion d’hélice. En

effet, chaque section à l’abscisse 𝑥 tourne d’un angle 𝜃𝑥(𝑥) autour de l’axe du barreau et cette

rotation est proportionnelle à la distance avec la section encastrée :

𝜃𝑥(𝑥) = 𝑘𝑥

- la distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante. Il n’y a pas de

déformation longitudinale.

Finalement, on observe uniquement une rotation des sections autour de l’axe 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ :


{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)

�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺

= {𝜃𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗0}𝐺




{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)

휀⃗(𝑥)}𝐺

=

{

𝑑𝜃(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑�⃗⃗⃗�(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝜃(𝑥)

}

𝐺

= {𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

0

}

𝐺

= {𝛾𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗0}𝐺

𝛾𝑥 est appelé « angle unitaire de torsion », il est constant le long de la poutre.

--------------------

Soit la portion de poutre de longueur dx suivante :



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- 𝑃0 et 𝑃1 : Points de la poutre avant déformation.

- 𝑃0′ et 𝑃1

′ : Points 𝑃0 et 𝑃1 issus de la déformation de la poutre avant la section en x.

- 𝑃1′′ : Point 𝑃1

′ après déformation du tronçon entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥.

--------------------

On peut alors exprimer le torseur des déformations au point 𝑃0 d’une section tel que 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ +

𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ :

{휀(𝑥)} = {

𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

−𝑧𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦

𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

}

𝑃0

= {𝛾𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 휀𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗}𝑃0

La déformation linéaire en 𝑃0 est orthogonale à 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 휀⃗(𝑥) = −𝑧𝑦𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝑦𝑧

𝑑𝜃𝑥(𝑥)

𝑑𝑥= 0


La rotation relative de deux sections droites d’abscisses 0 et 𝐿 peut être déterminée à l’aide de 𝛾𝑥 :

𝑑𝜃𝑥(𝑥) = 𝛾𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑑𝜃𝑥(𝑥)𝐿

0

= ∫ 𝛾𝑥 𝑑𝑥𝐿

0

𝜃𝑥(𝐿) − 𝜃𝑥(0) = ∆𝜃 − 0 = ∆𝜃 = 𝐿𝛾𝑥

Soit :

∆𝜃 = 𝐿𝛾𝑥



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𝛾𝑥 =∆𝜃

𝐿



Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke en cisaillement, on a :

𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝜏 = 𝐺휀⃗(𝑥) = 𝐺휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺휀𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜎𝑥𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦 = −𝐺𝑧𝛾𝑥

𝜎𝑥𝑧 = 𝐺휀𝑧 = 𝐺𝑦𝛾𝑥




𝑀𝑡 = ∫(𝑦𝜎𝑥𝑧 − 𝑧𝜎𝑥𝑦)𝛴

𝑑𝑆

Soit :

𝑀𝑡 = ∫(𝑦𝐺𝑦𝛾𝑥 + 𝑧𝐺𝑧𝛾𝑥)𝛴

𝑑𝑆 = 𝐺𝛾𝑥∫(𝑦2 + 𝑧2)

𝛴

𝑑𝑆

On reconnaît le moment quadratique de la section :

𝐼𝐺 = ∫(𝑦2 + 𝑧2)

𝛴

𝑑𝑆

Soit :

𝑀𝑡 = 𝛾𝑥𝐺𝐼𝐺

Soit :

𝛾𝑥 =𝑀𝑡𝐺𝐼𝐺



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D’où :

𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦 = −𝑧𝑀𝑡𝐼𝐺

𝜎𝑥𝑧 = 𝐺휀𝑧 = 𝑦𝑀𝑡𝐼𝐺

Ou encore :

𝜏 = 𝜎𝑥𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜎𝑥𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ =𝑀𝑡𝐼𝐺(−𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ ) = 𝑟

𝑀𝑡𝐼𝐺𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗

Rappel de mathématiques :

- 𝑃 ayant pour coordonnées (𝑦, 𝑧) dans la base locale 𝔅𝛴, le vecteur 𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ a un vecteur

directeur qui vaut : (𝑦, 𝑧) et est porté par 𝑒𝑟⃗⃗ ⃗⃗ tel que 𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟𝑒𝑟⃗⃗ ⃗⃗ avec 𝑟 = ‖𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ ‖

- Le vecteur directement normal à 𝑒𝑟⃗⃗ ⃗⃗ (soit 𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗) a un vecteur directeur de coordonnées (−𝑧, 𝑦)

- De plus : ‖−𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = ‖𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = 𝑟

- D’où −𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗

𝑟𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑟 sin 𝜃 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑟 cos𝜃 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

−𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑟 sin 𝜃 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑟 cos 𝜃 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗

𝜏 = 𝑟𝑀𝑡𝐼𝐺𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗⃗

𝜏 = 𝑟𝑀𝑡𝐼𝐺= 𝑟𝐺𝛾𝑥


La contrainte maximale dans une section soumise à de la torsion s’exprime donc en fonction du

diamètre de la poutre :

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝐷

2

𝑀𝑡𝐼𝐺



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𝜏 = 𝑟𝐺𝛾𝑥 ; 𝜏 = 𝑟𝑀𝑡𝐼𝐺 ; 𝛾𝑥 =

∆𝜃

𝐿

On en déduit la relation :

∆𝜃 = 𝐿𝑀𝑡𝐺𝐼𝐺

A.VI.3.f Dimensionnement d’une poutre à la torsion

A.VI.3.f.i Dimensionnement à la contrainte limite


𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐺

𝐷

2

𝑀𝑡𝐼𝐺< 𝑅𝑝𝐺

A.VI.3.f.ii Dimensionnement à la rotation

On a :

∆𝜃 = 𝑀𝑡

𝐿

𝐺𝐼𝐺< ∆𝜃𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

A.VI.4 La flexion

Dans cette partie, le chargement est considéré dans le plan de symétrie de la poutre droite. On étudie

uniquement la flexion présentant un moment fléchissant suivant 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ , les résultats étant analogues

suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ au signe près.


Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de flexion si et seulement si le

torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :

{𝒯𝐶} = {

0 0𝑇𝑦(𝑠) 0

0 𝑀𝑓𝑧(𝑠)}

ℬ𝛴

𝐺

Si 𝑇𝑦(𝑠) = 0, on parle de flexion pure, si 𝑇𝑦(𝑠) ≠ 0, on parle de flexion simple.


La figure suivante présente une poutre déformée suite à une sollicitation de flexion.



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Hypothèses :

- Les effets du cisaillement (sur la déformation) sont négligés par rapport aux effets issus de la

flexion. Le déplacement 𝑦(𝑥) est donc le déplacement uniquement due à la flexion. Cela

n’empêchera pas la présence de contraintes en cisaillement dans la poutre dont il faudra tenir

compte pour le dimensionnement

- Le déplacement du centre G des sections droites est caractérisé par une translation 𝑦(𝑥)�⃗� et

on note donc 𝑦(𝑥) l’équation de la déformée de la ligne moyenne de la poutre.

- Les sections droites de centre G tournent autour de l’axe (𝐺, 𝑧) d’un angle 𝜃𝑧

- Dans le cadre des petites déformations, on a : 𝜃𝑧 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

On exprime alors le torseur des petits déplacements :

{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)

�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺

= {𝜃𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

𝑦�⃗�}𝐺

𝑦 est appelée la flèche de la poutre.



Connaissant le torseur des petits déplacements, on obtient le torseur des déformations en G:

{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)

휀⃗(𝑥)}𝐺

=

{

𝑑𝜃(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑�⃗⃗⃗�(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝜃(𝑥)

}

𝐺

= {

𝑑𝜃𝑧𝑑𝑥

𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

𝑑𝑦

𝑑𝑥�⃗� − 𝜃𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

}

𝐺

Dans le cadre des petites déformations, on suppose :

�⃗� = 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝜃𝑧 ⇒

𝑑𝑦

𝑑𝑥�⃗� − 𝜃𝑧𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗

Soit :

{휀(𝑥)} = {𝛾𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

0⃗⃗}𝐺

𝑦(𝑥)



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La fibre moyenne, ou fibre neutre, ne se déforme pas.

Exprimons ce torseur en un point P quelconque de la section en G tel que 𝐺𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦𝛴𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝛴𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

{휀(𝑥)} = {𝛾𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

−𝑦𝛴𝛾𝑧𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝑃

= {𝛾𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗

휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝑃


Contrairement aux sollicitations précédentes, la déformation de la poutre n’est pas intégrable de

manière immédiate.



Connaissant les déformations et en utilisant la loi de Hooke, on a :

𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐸휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗

Rappel : on a négligé l’effet de cisaillement sur la déformation, le terme 𝜎𝑥𝑦 n’apparaît donc pas. Il

faudra toutefois tenir compte de la contrainte en cisaillement pour le dimensionnement de la poutre.

𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥 = −𝐸𝑦𝛴𝑑𝜃𝑧𝑑𝑥

= −𝐸𝑦𝛴𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝐸𝑦𝛴𝑦

′′(𝑥)




𝑀𝑓𝑧 = −∫𝑦𝛴𝜎𝑥𝑥𝛴

𝑑𝑆

Soit :

𝑀𝑓𝑧 = ∫𝑦𝛴𝐸𝑦𝛴𝑦′′(𝑥)

𝛴

𝑑𝑆 = 𝐸𝑦′′(𝑥)∫𝑦𝛴2

𝛴

𝑑𝑆

On reconnaît le moment quadratique de la section :

𝐼𝐺𝑧 = ∫𝑦𝛴2

𝛴

𝑑𝑆

𝑀𝑓𝑧 = 𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦′′(𝑥)

Soit :

𝑦′′(𝑥) =𝑀𝑓𝑧𝐸𝐼𝐺𝑧



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L’intégration de cette équation permet, connaissant les conditions cinématiques imposées à la poutre

par le biais des liaisons, de déterminer l’équation de la déformée de la poutre.

Remarque : Soit R le rayon de courbure local de la déformée. On a :

𝑀𝑓𝑧 =𝐸𝐼𝐺𝑧𝑅

On peut finalement exprimer la contrainte normale en fonction du moment fléchissant :

𝜎𝑥𝑥 = −𝐸𝑦𝛴𝑦′′(𝑥) = −𝐸𝑦𝛴

𝑀𝑓𝑧𝐸𝐼𝐺𝑧

𝜎𝑥𝑥 = −𝑦𝛴𝑀𝑓𝑧𝐼𝐺𝑧


La contrainte maximale dans la poutre vaut :

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝐷

2

𝑀𝑓𝑧𝐼𝐺𝑧


Dans le cas de la flexion, deux déformations sont importantes :

- la flèche :


Il n’y a pas de relation immédiate entre déformation et sollicitation. Il est nécessaire de

déterminer la flèche de la poutre 𝑦(𝑥) à l’aide de l’équation liant sa dérivée seconde au

moment fléchissant et en utilisant, d’une part les conditions aux limites, d’autre part la

continuité des poutres entre les différents tronçons.

- la rotation locale de la section :

𝜃𝑧(𝑥) = 𝑦′(𝑥)

Bien que la rotation n’induise pas directement de mouvement de points de la fibre neutre, elle

induit un mouvement de tout point de la section qui sera très souvent utile.



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A.VI.4.f Calcul de la déformée d’une poutre

Soit la poutre suivante de section rectangulaire de largeur b et de hauteur h dans le sens de l’effort:

{𝒯𝐶} = {𝒯𝑒𝑥𝑡→2} = {0 0−𝐹 00 0

}

𝐵

𝐵

= {0 0−𝐹 00 −𝐹(𝐿 − 𝑥)

}

𝐵

𝑀


𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦′′(𝑥) = −𝐹(𝐿 − 𝑥)

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦′′(𝑥) = 𝐹(𝑥 − 𝐿)

𝐸𝐼𝑔𝑧 étant constant :

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦′(𝑥) = 𝐹 (

𝑥2

2− 𝐿𝑥) + 𝑘1

𝑦′(0) = 𝑦(0) = 0

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦(𝑥) = 𝐹 (𝑥3

6− 𝐿

𝑥2

2) 𝐼𝐺𝑧 =

𝑏ℎ3

12

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦(𝑥) = 𝐹 (𝑥3

6− 𝐿

𝑥2

2) + 𝑘1𝑥 + 𝑘2

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦(𝐿) = −𝐹𝐿3

3

𝛿 = −𝐹𝐿3

3𝐸𝐼𝑔𝑧

𝛿 = −4𝐹𝐿3

𝐸𝑏ℎ3

A.VI.4.g Dimensionnement d’une poutre à la flexion

A.VI.4.g.i Dimensionnement à la contrainte


𝜎𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐸

𝐷

2

𝑀𝑓𝑧𝐼𝐺𝑧

< 𝑅𝑝𝐸

A.VI.4.g.ii Dimensionnement à la flèche maximale

A partie de l’équation 𝑦′′(𝑥) =𝑀𝑓𝑧

𝐸𝐼𝐺𝑧 et des conditions aux limites sur 𝑦(𝑥) et/ou 𝑦′(𝑥), on détermine

𝑦(𝑥) puis on exprime la condition :

𝑦(𝑥) < 𝑣𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

A.VI.4.h Remarque

Attention, un moment fléchissant suivant 𝑧 positif induit une dérivée seconde positive de 𝑦(𝑥).


Cependant, un moment fléchissant suivant �⃗� positif induit une dérivée seconde négative de 𝑧(𝑥).

𝑳

�⃗⃗⃗�

𝐵 𝐴 �⃗⃗⃗�

�⃗⃗⃗�



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𝑧′′(𝑥) = −𝑀𝑓𝑦𝐸𝐼𝐺𝑦

De même, il y a un signe qui diffère sur les rotations des sections droites :

𝜃𝑦(𝑥) = −𝑧′(𝑥)

𝜃𝑧(𝑥) = 𝑦′(𝑥)

A.VI.5 Tronçons de poutres et continuité

Quelle que soit la sollicitation étudiée, dès lors qu’il y a n tronçons dont les interfaces sont en 𝑥 = 𝑥𝑖,

la déformée étudiée 𝑓(𝑥) s’exprimera d’une manière différente dans chaque tronçon 𝑓𝑖(𝑥) tel que:

𝑓(𝑥) =

{

𝑓1(𝑥) ∀𝑥𝜖]0, 𝑥1[…𝑓𝑖(𝑥) ∀𝑥𝜖]𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖[

…𝑓𝑛(𝑥) ∀𝑥𝜖]𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛[

Il y aura alors continuité de la poutre, soit les conditions limites suivantes :

{

𝑓2(𝑥1) = 𝑓1(𝑥1) …

𝑓𝑖(𝑥𝑖−1) = 𝑓𝑖−1(𝑥𝑖−1) …

𝑓𝑛(𝑥𝑛−1) = 𝑓𝑛−1(𝑥𝑛−1)

;

{

𝑓2

′(𝑥1) = 𝑓1′(𝑥1) …

𝑓𝑖′(𝑥𝑖−1) = 𝑓𝑖−1

′(𝑥𝑖−1) …

𝑓𝑛′(𝑥𝑛−1) = 𝑓𝑛−1

′(𝑥𝑛−1)

A.VI.6 Sollicitations composées

Dans la réalité, les poutres sont soumises à des cas de chargements complexes. On peut, dans certains

cas, décomposer une sollicitation complexe par une superposition de sollicitations simples.

A.VI.6.a Cas des contraintes normales

Les contraintes normales s’ajoutent algébriquement. Prenons l’exemple de deux sollicitations

composées, la traction et la flexion :

A.VI.6.b Cas des contraintes tangentielles

Les contraintes tangentielles s’ajoutent vectoriellement.

Prenons l’exemple de deux sollicitations composées, la torsion et le cisaillement :



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A.VI.7 Principe de superposition

La théorie des poutres étant linéaire, les effets de différentes charges se cumulent. Il est donc possible

d’appliquer le principe de superposition.

Exemple : Soit la poutre suivante soumise à deux charges 𝐹1 et 𝐹2 :

On peut décomposer ce problème en deux problèmes dont nous connaissons la solution :

Nous avons démontré que la déformée d’une poutre encastrée soumise à une action �⃗� = −𝐹�⃗� à une

distance L de l’encastrement vaut :

𝑦(𝑥) =𝐹

𝐸𝐼𝐺𝑧(𝑥3

6− 𝐿

𝑥2

2)

On a donc :

Problème 1 Problème 2

AB 𝑦1𝐴𝐵(𝑥) =

𝐹


6− 𝐿

𝑥2

2) 𝑦2

𝐴𝐵(𝑥) =𝐹


6− 𝑙

𝑥2

2)

𝑳

𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝐶 𝐴 �⃗⃗⃗�

�⃗⃗⃗�

𝒍

𝐵

𝑳

𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝐶 𝐴 �⃗⃗⃗�

�⃗⃗⃗� 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝒍

𝐵

𝑳

𝐶 𝐴 �⃗⃗⃗�

�⃗⃗⃗� 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝒍

𝐵



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BC 𝑦1𝐵𝐶(𝑥) =

𝐹


6− 𝐿

𝑥2

2)

𝐸𝐼𝐺𝑧𝑦2𝐵𝐶′′(𝑥) = 0

𝑦2𝐵𝐶′(𝑥) = 𝑘1

𝑦2𝐵𝐶(𝑥) = 𝑘1𝑥 + 𝑘2

𝑦2

𝐴𝐵(𝑙) = 𝑦2𝐵𝐶(𝑙)

𝑦2𝐴𝐵′(𝑙) = 𝑦2

𝐵𝐶′(𝑙)

𝑘1𝑙 + 𝑘2 = −𝐹𝑙3

3𝐸𝐼𝐺𝑧

𝑘1 = −𝐹𝑙2

2𝐸𝐼𝐺𝑧

𝑘2 = −𝐹𝑙3

3𝐸𝐼𝐺𝑧+

𝐹𝑙3

2𝐸𝐼𝐺𝑧

𝑘2 =𝐹𝑙3

6𝐸𝐼𝐺𝑧

𝑦2𝐵𝐶(𝑥) = −

𝐹𝑙2

2𝐸𝐼𝐺𝑧𝑥 +

𝐹𝑙3

6𝐸𝐼𝐺𝑧

𝑦2𝐵𝐶(𝑥) =

𝐹

𝐸𝐼𝐺𝑧(𝑙3

6−𝑙2𝑥

2)

Finalement, on a :

{

𝑦𝐴𝐵(𝑥) = 𝑦1

𝐴𝐵(𝑥) + 𝑦2𝐴𝐵(𝑥) =

𝐹


6− 𝐿

𝑥2

2+𝑥3

6− 𝑙

𝑥2

2)

𝑦𝐵𝐶(𝑥) = 𝑦1𝐵𝐶(𝑥) + 𝑦2

𝐵𝐶(𝑥) =𝐹


6− 𝐿

𝑥2

2+𝑙3

6−𝑙2𝑥

2)

{

𝑦𝐴𝐵(𝑥) =

𝐹


3− (𝐿 + 𝑙)

𝑥2

2)

𝑦𝐵𝐶(𝑥) =𝐹

𝐸𝐼𝐺𝑧(𝑥3 + 𝑙3

6−𝐿𝑥2 + 𝑙2𝑥

2)



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A.VI.8 Bilan

Certains résultats du tableau ci-dessous ne sont valables que pour des poutres à section constante.

Traction Compression

Cisaillement Torsion Flexion

{𝑁 00 00 0

}

ℬ𝛴

𝐺

{

0 0𝑻𝒚 0

𝑻𝒛 0}

ℬ𝛴

𝐺

{0 𝑀𝑡0 00 0

}

ℬ𝛴

𝐺

{

0 0𝑇𝑦 0

0 𝑴𝒇𝒛

}

ℬ𝛴

𝐺

{

0 00 𝑴𝒇𝒚

𝑇𝑧 0𝑧

}

ℬ𝛴

𝐺

𝜎𝑥𝑥 =𝑁

𝑆0

𝜎𝑥𝑦 =𝑇𝑦

𝑆

𝜎𝑥𝑧 =𝑇𝑧𝑆

𝜏 = 𝑟𝑀𝑡𝐼𝐺= 𝑟𝐺𝛾𝑥

𝛾𝑥 =𝑑𝛼

𝑑𝑥

𝜎𝑥𝑥 = −𝒚𝑴𝒇𝒛

𝑰𝑮𝒛+ 𝒛

𝑴𝒇𝒚

𝑰𝑮𝒚

∆𝐿(𝑥) = 𝑁𝑥

𝐸𝑆

∆𝐿 =𝑁𝐿

𝐸𝑆

𝑉𝑦 = 𝑇𝑦𝐿

𝐺𝑆

𝑉𝑧 = 𝑇𝑧𝐿

𝐺𝑆

∆𝜃 = 𝐿𝑀𝑡𝐺𝐼𝐺

𝑦′′(𝑥) =

𝑀𝑓𝑧𝐸𝐼𝐺𝑧

𝜃𝑧(𝑥) = 𝑦′(𝑥)

𝑧′′(𝑥) = −𝑀𝑓𝑦𝐸𝐼𝐺𝑦

𝜃𝑦(𝑥) = −𝑧′(𝑥)

a.vi. les sollicitations · - les critères de dimensionnement des poutres a.vi.1 la...

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