MATEMATIKA

VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA JE 150 MINUTA

Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba digitrona nije dozvoljena. Pažljivo pročitajte uputstvo. Ne okrećite stranice i ne rješavajte zadatke dok to ne dozvoli dežurni nastavnik. Test sadrži 20 zadataka. Tokom rada možete koristiti formule koje su date na stranama 4 i 5. Uz test je dat i list za odgovore za zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da na odgovarajuće mjesto pažljivo prepišete svoje odgovore za prvih 8 zadataka. Očekuje se da je kod zadataka otvorenog tipa detaljno napisan postupak rješavanja, da je krajnji rezultat sveden (npr. izvršeno je skraćivanje razlomaka, sabiranje članova iste vrste) i da je napisana odgovarajuća jedinica mjere (kod zadataka iz stereometrije). Zadatak će se vrednovati sa 0 bodova ako je:

netačan zaokruženo više ponuđenih odgovora nečitko i nejasno napisan rješenje napisano grafitnom olovkom

Grafike i geometrijske slike možete crtati grafitnom olovkom. Ukoliko pogriješite, prekrižite i rješavajte ponovo. Ako ste zadatak riješili na više načina, nedvosmisleno označite koje rješenje ocjenjivač boduje. Kad završite sa rješavanjem, provjerite svoje odgovore. Želimo vam puno uspjeha!

AVGUST 2018.

PRAZNA STRANA

4

,,12 biazi z a bi , 2 2 , ,z a b a b R

,33)( 32233 babbaaba ))(( 2233 babababa

n

m

n m aa

Vietova pravila: a

cxx

a

bxx 2121 ,

Tjeme parabole: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bT

a

bb

c

ca

log

loglog , b

kb aak log

1log

Skalarna projekcija vektora na osu cos aaprx

Skalarni proizvod vektora preko koordinata 21212121 zzyyxxaa

Vektorski proizvod vektora preko koordinata

kxyyxjzxxziyzzyaa

)()()( 21212121212121

sin2 2sin cos , 22 sincos2cos cossincossin)sin( ,

sinsincoscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

2

cos2

sin2sinsin

, 2

sin2

cos2sinsin

2

cos2

cos2coscos

, 2

sin2

sin2coscos

Sinusna teorema: Rcba

2sinsinsin

Kosinusna teorema : cos2222 bccba

Trougao: 2

aahP ,

2

sinabP ,

))()(( csbsassP , 2

cbas

, srP ,

R

abcP

4

Paralelogram: ahaP , Romb: 2

21 ddP

Trapez: h

baP

2

Prizma: 2P B M V B H

Piramida: P B M HBV 3

1

Zarubljena piramida: MBBP 21, )(

32211 BBBB

HV

FORMULE

5

R – oznaka za poluprečnik

Valjak: )(22 HRRMBP , 2V B H R H

Kupa: )( lRRMBP , HRHBV 2

3

1

3

1

Zarubljena kupa : ))(( 21

2

2

2

1 lRRRRP , )(3

1 2

221

2

1 RRRRHV

Sfera: 24RP Lopta: 3

3

4RV

Rastojanje između dvije tačke: 2

12

2

12 )()( yyxxAB

Površina trougla: )()()(2

1213132321 yyxyyxyyxP

Ugao između dvije prave: 21

12

1 kk

kktg

Rastojanje između tačke i prave: 22

00

BA

CByAxd

Kružna linija: 222 )()( Rbyax

Uslov dodira kružne linije sa centrom u koordinantnom početku i prave

222 )1( nkR

Elipsa: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF

Uslov dodira prave i elipse: 2222 nbka

Hiperbola: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF , asimptote hiperbole

by x

a

Uslov dodira prave i hiperbole: 2222 nbka

Parabola: pxy 22 , )0,2

(p

F

Uslov dodira prave i parabole: knp 2

Aritmetički niz: dnaan )1(1 , naa

S nn

2

1

Geometrijski niz: 1

1

n

n qbb , 1,1

)1(1

q

q

qbS

n

n

6

1.

2.

Najveću vrijednost ima:

A. 10

B. 3125

64

C.

1

51

32

D. 30,0023 10

3 boda

Planeta Zemlja je pokrivena kontinentima i okeanima, a njena površina je oko 510

miliona 2km . Približne površine kontinenata su date tabelom ispod.

Kontinent Površina

(milioni 2km )

Evropa 10

Azija 44

Afrika 30,5

Sjeverna Amerika 24,5

Južna Amerika 18

Australija 9

Antarktik 14

Na osnovu datih podataka, koliko procenata Zemljine površine zauzimaju okeani?

A. 29,4%

B. 33,3%

C. 66,6%

D. 70,6%

3 boda

U sljedećim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.

7

5.

4.

3. Čemu je jednako 3 4 3 43 2 1 3 2 1

?

A. 12

B. 30

C. 2 2 8

D. 3 3 3

3 boda

Za koju od datih jednačina je 1 3i ( i je imaginarna jedinica) jedno od rješenja?

A. 2 2 10 0x x

B. 2 2 10 0x x

C. 22 10 0x x

D. 22 10 0x x

3 boda

Ako je alog 26 i blog 56 , tada je 53log jednako:

A. 1

a

b

B. 1

b

a

C. 1

1

a

b

D. 1

1

b

a

3 boda

8

6.

7.

Kolika je površina kocke čija je prostorna dijagonala jednaka 9 cm?

A. 2162cm

B. 2243cm

C. 2486cm

D. 2729cm

3 boda

Ako su 1b m i 20b n članovi geometrijskog niza, čemu je jednak proizvod

2 19b b ?

A. 2m n

B. 2 2m n

C. m n

D. 2m n

3 boda

9

8.

Kupac je na sajmu automobila tražio auto koji će zadovoljavati sljedeće:

vozilo je francuskog ili njemačkog proizvođača,

zapremina motora je 1,6 ili 1,9 litara,

boja je siva, zelena ili bijela.

Koje stablo tačno opisuje sve mogućnosti izbora traženog automobila?

3 boda

10

9.

Uprostite izraz 2 2 3 21 1

: :2 5

x y x xyx

y y x

, a nakon toga izračunajte brojnu

vrijednost dobijenog izraza za 0,25x y .

Rješenje:

3 boda

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.

11

10.

a) Za koje vrijednosti promjenljive n izraz 5,0

2

13 n

ima vrijednost manju od nule?

2 boda

b) Za koju vrijednost realnog parametra m jednačina 1 2mx x nema rješenje?

2 boda

Rješenje:

12

11.

Temperatura nekog tijela iznosi 3oC . Zagrijavanjem se temperatura svakog

minuta povećava za 2oC . Predstaviti funkciju zavisnosti temperature od vremena:

a) Tabelom (u trenutku kada počne zagrijavanje, nakon prvog i drugog minuta).

Rješenje:

x

f x

1 bod

b) Formulom

Rješenje:

1 bod

c) Grafikom 1 bod

Rješenje:

13

12. Spoljašnje dimenzije rama za sliku pravougaonog oblika, su 10 cm i 7 cm. Odredite

kolika treba da bude širina rama da bi površina unutrašnjosti bila 240cm ?

Rješenje:

3 boda

14

13.

Dokažite trigonometrijski identitet 3 3 1cos sin sin cos sin 4

4 .

Rješenje:

4 boda

15

14.

Riješite jednačinu 3 2 2 14 64 2x x .

Rješenje:

3 boda

16

15.

Date su tačke A(4, 1) i B(3, -2). Odrediti jednačinu simetrale duži AB.

Rješenje:

4 boda

17

16. Odredite poluprečnik kružne fontane skicirane ispod, ako su poznata rastojanja

AB = 15 m i BC = 9 m, pri čemu duž AB pripada tangenti na kružnicu u tački A, a duž

BO siječe kružnicu u tački C (O je centar fontane).

Rješenje: 4 boda

18

17. Ako su dužine stranica ΔABC, 11 cm, 12 cm i 13 cm, dokažite da se centar kružne linije opisane oko trougla nalazi u unutrašnjosti trougla.

Rješenje:

4 boda

19

18.

U koordinatnom sistemu su dati grafici funkcija 9

f xx

i 244 3

3g x x x .

a) Odredite minimalnu vrijednost funkcije g x .

1 bod

b) Odredite koordinate tačaka u kojima se sijeku grafici ovih funkcija. 2 boda

c) Odrediti sve negativne vrijednosti x za koje je f x g x .

1 bod

Rješenje:

20

19.

Izračunajte 2 6 9

dx

x x .

Rješenje: 2 boda

21

20.

Korisniku je dodijeljna trocifrena šifra (prva cifra ne može biti nula). Kolika je

vjerovatnoća da je dodijeljen broj djeljiv sa 100?

Rješenje:

2 boda

22

23

24

25

26