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Avaliação Energética de Sistemas de Conversão
Fotovoltaicos
Pedro André Lourenço do Vale
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Gameiro de Castro
Júri
Presidente: Professor Doutor Paulo Ferreira Godinho Flores
Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Gameiro de Castro
Vogal: Professor Doutor Carlos Augusto Santos Silva
Maio 2015
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Professor Rui Manuel Gameiro de Castro pela orientação e disponibilidade,
contribuindo sempre para a resolução dos problemas que foram surgindo durante a execução deste
trabalho.
Aos meus pais pelo apoio, paciência e compreensão.
A todos os colegas e amigos que contribuíram para a minha formação académica e que me
ajudaram ao longo do curso.
A todos os professores pelo conhecimento transmitido ao longo destes anos.
A todos os outros que não foram aqui referidos e que contribuíram para a minha formação pessoal
e académica. A todos deixo o meu agradecimento.
RESUMO
As energias renováveis têm vindo a crescer e a ter cada vez mais importância nos dias de hoje. A
descrição da variação do recurso primário, em geral uma variável aleatória, em termos de funções
probabilísticas é um objetivo que tem preocupado os investigadores. Por exemplo, a velocidade do
vento, que está na base da energia eólica, é habitualmente representada através de uma função
densidade de probabilidade de Weibull ou de Rayleigh. A irradiância solar, que está na base da energia
fotovoltaica, é mais difícil de descrever, sendo que existem atualmente diversos modelos para
representar o seu comportamento. Esta dificuldade resulta do facto de a irradiância solar só ocorrer
durante uma parte do dia, de ser bastante influenciada pelas estações do ano e de a nebulosidade local
ser um fator perturbador. As funções densidade de probabilidade mais aplicadas para descrever a
irradiância solar são a beta bi-modal e a do índice de claridade.
O objetivo desta dissertação é estudar a aplicação de diversas funções probabilísticas na descrição
da variável aleatória, irradiância solar. Neste trabalho é realizado o estudo e simulação com cinco
funções densidade de probabilidade distintas (Weibull, normal, lognormal, beta bi-modal e índice de
claridade), com o objetivo de verificar qual delas descreve melhor os histogramas dos dados
experimentais de irradiância (dados de irradiância referentes às 8760 horas de um ano), em termos da
variação mensal, por estação do ano e numa base anual. A qualidade da aproximação é aferida através
do Mean Absolute Error (MAE) e Root Mean Square Error (RMSE).
Iremos verificar que a melhor distribuição quando se trata de descrever a irradiância solar é a beta
bi-modal, sendo esta a melhor aproximação para a maioria das situações consideradas.
Palavras-chave: Irradiância solar, função densidade de probabilidade, distribuição beta bi-modal,
distribuição do índice de claridade, erro médio absoluto
ABSTRACT
The renewable energies have been growing and have become increasingly important these days.
The description of the primary resource variations, in general, a random variable, in terms of probability
functions is an objective that has concerned researchers. For example, the wind speed, which is the
base of the wind energy, is usually represented by a Weibull or Rayleigh probability density function.
The solar irradiance, which is the basis of photovoltaic energy, is more difficult to describe, and currently
there are several models to represent its behaviour. This difficulty results from the fact that solar
irradiance only occur during part of the day, it is strongly influenced by the seasons and the local
cloudiness is a disturbing factor. The probability density functions used more often to describe the solar
irradiance are the bi-modal beta and the clearness index.
The objective of the present Master Thesis is to study the application of different probabilistic
functions in the description of the random variable, solar irradiance. In this work, the study and simulation
with five different probability density functions (Weibull, normal, lognormal, bi-modal beta and clearness
index), is performed, in order to verify which one best suits the histograms of the experimental irradiance
data (irradiance data related to the 8760 hours of a year) in terms of monthly variations, for each season
and on an annual basis. The quality of the approximation is measured by the Mean Absolute Error (MAE)
and Root Mean Square Error (RMSE).
We found that the best distribution when it comes to describe the solar irradiance is the bi-modal
beta, this being the best approximation for most situations considered.
Keywords: Solar irradiance, probability density function, bi-modal beta distribution, clearness index
distribution, mean absolute error
Índice
Lista de Figuras .........................................................................................................................................i
Lista de Tabelas ...................................................................................................................................... iii
Acrónimos ................................................................................................................................................ iv
Variáveis ...................................................................................................................................................v
1. Introdução ........................................................................................................................................ 1
1.1 Enquadramento ....................................................................................................................... 1
1.2 Objetivos .................................................................................................................................. 2
1.3 Estrutura .................................................................................................................................. 3
2. Energia Solar Fotovoltaica .............................................................................................................. 4
2.1 Energia Solar em Portugal ...................................................................................................... 4
2.2 Geradores Fotovoltaicos ......................................................................................................... 5
2.2.1 Célula Fotovoltaica .......................................................................................................... 5
2.2.2 Seguidor de Potência Máxima (MPPT) ........................................................................... 7
2.3 Modelos Matemáticos .............................................................................................................. 8
2.3.1 Modelo de Um Díodo e Três Parâmetros ........................................................................ 9
2.3.2 Modelo de Um Díodo e Cinco Parâmetros .................................................................... 13
2.4 Curvas I-V .............................................................................................................................. 14
2.4.1 Variação com a temperatura ......................................................................................... 15
2.4.2 Variação com a irradiância incidente ............................................................................ 16
2.5 Potência Máxima ................................................................................................................... 17
3. Energia do Sol ............................................................................................................................... 19
3.1 Posicionamento Solar ............................................................................................................ 20
3.2 Irradiância Solar .................................................................................................................... 27
4. Funções Densidade de Probabilidade .......................................................................................... 30
4.1 Distribuição de Weibull .......................................................................................................... 31
4.2 Distribuição Normal ............................................................................................................... 32
4.3 Distribuição Lognormal .......................................................................................................... 33
4.4 Distribuição Beta bi-modal ..................................................................................................... 34
4.5 Distribuição do Índice de Claridade (Clearness Index) ......................................................... 38
5. Qualidade da Aproximação ........................................................................................................... 43
5.1 Mean Absolute Error (MAE) .................................................................................................. 43
5.2 Root Mean Square Error (RMSE).......................................................................................... 43
5.3 Método de Integração Trapezoidal ........................................................................................ 44
6. Simulação e Resultados ................................................................................................................ 45
6.1 Estudo relativo aos meses .................................................................................................... 46
6.2 Estudo relativo às estações do ano ...................................................................................... 49
6.3 Estudo do ano completo ........................................................................................................ 53
7. Conclusões .................................................................................................................................... 55
8. Bibliografia ..................................................................................................................................... 57
Anexos ................................................................................................................................................... 59
A. Função Gamma ......................................................................................................................... 59
B. Melhores aproximações mensais .............................................................................................. 61
i
Lista de Figuras
Figura 2.1: Energia Solar na Europa [5] .................................................................................................. 4
Figura 2.2: Módulos Fotovoltaicos .......................................................................................................... 6
Figura 2.3: Junção p-n do semicondutor ................................................................................................. 6
Figura 2.4: Variação da curva I-V com a temperatura e com a irradiância [1] ........................................ 7
Figura 2.5: Esquema dum gerador fotovoltaico ligado à rede [1] ........................................................... 8
Figura 2.6: Circuito elétrico equivalente de uma célula fotovoltaica [1] ................................................ 10
Figura 2.7: Circuito elétrico equivalente do modelo de um díodo e cinco parâmetros [1] .................... 13
Figura 2.8: Variação da curva I-V .......................................................................................................... 14
Figura 2.9: Característica I-V para diferentes temperaturas e uma irradiância constante de 1000 𝑊/𝑚2
[6] ........................................................................................................................................................... 15
Figura 2.10: Característica I-V para diferentes irradiâncias e uma temperatura constante de 25 ℃ [6]
............................................................................................................................................................... 16
Figura 2.11: Características I-V e P-V do módulo fotovoltaico em estudo e respetivo ponto de máxima
potência ................................................................................................................................................. 18
Figura 3.1: Diferentes valores para a Latitude e Longitude [8] ............................................................. 21
Figura 3.2: Variação do ângulo horário [7] ............................................................................................ 22
Figura 3.3: Equação temporal [7] .......................................................................................................... 23
Figura 3.4: Ângulo de Declinação [7] .................................................................................................... 25
Figura 3.5: Variação do ângulo de declinação ao longo do ano [7] ...................................................... 26
Figura 3.6: Sistema de coordenadas da superfície terrestre para um observador em Q [7] ................ 26
Figura 3.7: Efeito do cosseno no cálculo da irradiância total extraterrestre [7] .................................... 28
Figura 4.1: Simulação em MATLAB, aproximação da função de Weibull aos histogramas. Eixo do x
corresponde à irradiância solar [kW/m2] ............................................................................................... 32
Figura 4.2: Simulação em MATLAB, aproximação da função Normal aos histogramas. Eixo do x
corresponde à irradiância solar [kW/m2] ............................................................................................... 33
Figura 4.3: Simulação em MATLAB, aproximação da função Lognormal aos histogramas. Eixo do x
corresponde à irradiância solar [kW/m2] ............................................................................................... 34
Figura 4.4: Exemplo de uma distribuição Beta Bi-modal ...................................................................... 36
Figura 4.5: Distribuição beta bi-modal para (a) mês de Agosto e (b) mês de Dezembro ..................... 37
Figura 4.6: Irradiância Total Extraterrestre em W/m2 para o ano em estudo (G0) ............................... 40
Figura 4.7: Distribuição do índice de claridade para o mês de Julho ................................................... 41
Figura 6.1: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Julho ................................................................ 48
Figura 6.2: Distribuição Beta Weibull para o mês de Dezembro .......................................................... 49
Figura 6.3: Distribuição Beta bi-modal para a Primavera ..................................................................... 51
Figura 6.4: Distribuição Beta bi-modal para o Verão ............................................................................ 51
Figura 6.5: Distribuição Beta bi-modal para o Outono .......................................................................... 52
Figura 6.6: Distribuição Beta bi-modal para o Inverno .......................................................................... 53
ii
Figura 6.7: Distribuição Beta Bi-modal para o ano completo ................................................................ 54
Figura 0.1: Função Gamma................................................................................................................... 60
Figura 0.2: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Janeiro ............................................................. 61
Figura 0.3: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Fevereiro ............................................ 62
Figura 0.4: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Março ................................................. 62
Figura 0.5: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Abril .................................................................. 63
Figura 0.6: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Maio ................................................................. 63
Figura 0.7: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Junho ............................................................... 64
Figura 0.8: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Agosto .............................................................. 64
Figura 0.9: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Setembro ......................................................... 65
Figura 0.10: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Outubro .......................................................... 65
Figura 0.11: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Novembro ...................................................... 66
Figura 0.12: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Novembro ........................................ 66
iii
Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Parâmetros do módulo fotovoltaico Shell SM100-12 (parâmetros são fornecidos nas
condições de referência STC) ............................................................................................................... 10
Tabela 4.1: Principais diferenças entre as distribuições Beta bi-modal e Índice de Claridade ............ 42
Tabela 6.1: Valores dos erros para todos os meses do ano ................................................................. 46
Tabela 6.2: Valores dos erros para as estações do ano ....................................................................... 50
Tabela 6.3: Valores dos erros para o ano completo ............................................................................. 53
iv
Acrónimos
AC Alternating current
DC Direct current
𝑓𝑑𝑝 Função densidade de probabilidade
𝑓𝑑𝑎 Função de distribuição acumulada
MPPT Maximum Power Point Tracker
MAE Mean Absolute Error
NOCT Normal Operating Cell Temperature
RMSE Root Mean Square Error
STC Standard Test Conditions
v
Variáveis
α Parâmetro de forma 1 (beta bi-modal)
βc Parâmetro de forma 2 (beta bi-modal)
c Parâmetro de escala (Weibull)
𝑘′ Parâmetro de forma (Weibull)
𝐷 Fator de correção do tempo solar
diff Diferença sucessiva
δ Ângulo de declinação
𝐸 Equação temporal
ε Hiato do semicondutor
G Irradiância solar
G0 Irradiância total extraterrestre
Gt Irradiância num plano horizontal
𝐺𝑠𝑐 Constante solar
γ Parâmetro do índice de claridade baseado na média e no máximo do índice
de claridade
Γ(x) Função Gamma
I Corrente através da célula
I0 Corrente inversa de saturação do díodo
ID Corrente do díodo
IS Corrente da fonte
Icc Corrente de curto-circuito
IMP Corrente de máxima potência
𝑘 Constante de Boltzmann
kt Índice de claridade
ktu Máximo do índice de claridade
ktm Média do índice de claridade
𝐿 Ângulo de longitude
m Fator de idealidade do díodo
μ Média
Ns Número de células em série
n Número do dia do ano
𝑝 Coeficiente de mistura
𝑃 Potência
Pmax Potência máxima
𝑃𝑝 Potência pico
ϕ Ângulo de latitude
vi
q Carga do eletrão
σ Desvio padrão
T Temperatura
𝑡𝑠 Tempo solar
𝑡 Hora local
𝜃 Ângulo de zenith solar
𝜃𝑐 Temperatura da célula
𝜃𝑎 Temperatura ambiente
𝜇𝐼𝑐𝑐 Coeficiente de temperatura da corrente de curto-circuito
𝜇𝑉𝑐𝑎 Coeficiente de temperatura da tensão de circuito aberto
V Tensão da célula fotovoltaica
Var Variância
Vca Tensão de circuito aberto
VT Potencial térmico
VMP Tensão de máxima potência
𝜔 Ângulo horário
Γ() Função Gamma
1
1. Introdução
1.1 Enquadramento
Há muito tempo que se pretende encontrar uma forma de aproveitar a energia que nos é fornecida
pelo Sol, dada a grande quantidade de energia que a Terra recebe do Sol (cerca de 4,6 × 1020 𝐽 em
cada hora) [1]. Contudo, devido a algumas barreiras a nível tecnológico, houve dificuldades no
desenvolvimento e aproveitamento deste recurso. Em 1839, Edmond Becquerel (físico francês) surgiu
com uma solução para este desafio, solução esta que vem sofrendo até hoje grandes melhorias.
Foi ele quem verificou pela primeira vez que placas metálicas, de platina ou prata, mergulhadas
num eletrólito, produziam uma pequena diferença de potencial quando expostas à luz. Foi então
descoberto o efeito fotovoltaico, no ano de 1839. Uns anos depois, em 1877, W. G. Adams e R. E. Day,
desenvolveram o primeiro dispositivo sólido de produção de eletricidade por exposição à luz solar, a
partir do selénio. Apesar de baixa eficiência de conversão, aproximadamente 0,5% [2], nos finais do
século XIX o engenheiro alemão Werner Siemens (fundador do império industrial com o seu nome)
comercializou células de selénio como fotómetros para máquinas fotográficas. Foi a primeira vez que
este tipo de tecnologia foi comercializado.
Em 1905 Albert Einstein veio contribuir com novos conhecimentos para a área, com a sua
explicação para o efeito fotoelétrico. Seguiu-se o aparecimento da mecânica quântica e da física dos
semicondutores, e também das técnicas de purificação e dopagem associadas ao desenvolvimento do
transístor de silício. Através destes avanços foi possível obter grandes melhorias de eficiência na
conversão de energia, tornando assim o fotovoltaico numa solução viável para várias situações.
Com a chegada da era espacial, esta tecnologia ganhou uma nova importância. Em 1958 as
células solares começaram a ser utilizadas como backup às pilhas químicas usadas nos satélites. Num
instante mostraram ser soluções muito mais viáveis, e por este facto, todos os veículos espaciais são
hoje equipados com material fotovoltaico. A utilização de células solares no espaço levou a importantes
melhorias na sua eficiência na década de 1960. Foi também nessa década que surgiram as primeiras
aplicações terrestres, para casos muito particulares, como sistemas de telecomunicações remotos e
boias de navegação, aplicações que justificavam um custo de eletricidade produzida muito elevado.
Contudo o maior desenvolvimento do fotovoltaico foi graças ao choque petrolífero em 1973. Devido
a esta crise petrolífera, foram feitos grandes investimentos em programas de investigação de células
solares, com o objetivo de reduzir o seu custo de produção. Surgem então novos conceitos, como a
utilização de outros materiais, como foi o caso do silício multicristalino (por oposição aos monocristais,
cristais únicos de silício, muito mais caros de produzir) e também de métodos de produção de silício
diretamente em fita (eliminando o processo de corte dos lingotes de silício, e todos os custos
associados). Em 1976 é produzida a primeira célula em silício amorfo hidrogenado (a-Si), sendo esta
a primeira tecnologia de filmes finos desenvolvida. Esta tecnologia teve aplicações imediatas sendo
2
considerada uma tecnologia ideal para aplicação em calculadoras, relógios e outros produtos de baixo
consumo elétrico [3]. Com estes avanços tecnológicos foi possível uma redução do custo de
eletricidade solar de 80 $/Wp (dólares por Watt pico) para cerca de 12 $/Wp em menos de uma década
[4].
O investimento em programas de financiamento e desenvolvimento para produção de eletricidade
continuou nas décadas de oitenta e de noventa, movido pela procura de alternativas aos combustíveis
fósseis. Alguns exemplos destas iniciativas são a instalação da primeira central solar de grande
envergadura (1MWp) na Califórnia em 1982, e a inauguração dos programas de “telhados solares” na
Alemanha (1990) e no Japão (1993), programas estes que foram fortemente apoiados pelos governos
para a microgeração de eletricidade por particulares.
O apoio por parte dos governos de cada país foi essencial para o desenvolvimento exponencial a
que assistimos na última década. Em 1999 o total acumulado de painéis solares atingia 1 GW
(gigawatt), duplicando três anos depois. Como esperado o desenvolvimento tecnológico do fotovoltaico
acompanhou esse crescimento. Em 1998 a eficiência de conversão record era de 24,7% (em
laboratório) com células em silício monocristalino. Em 2005 cientistas alemães do Institute for Solar
Energy Systems anunciaram uma eficiência superior a 20% para células em silício multicristalino.
Surgiram depois células solares com configurações mais complexas, as chamadas células em cascata,
que consistem na sobreposição de várias células semicondutoras otimizadas para diferentes
comprimentos de onda da radiação, que permitem atingir rendimentos de conversão superiores a 34%.
Beneficiando de vários fatores e eventos, o fotovoltaico cresceu de uma forma impressionante nas
últimas décadas. Em 1954 foi apresentada a primeira célula fotovoltaica da era moderna. Hoje em dia
o fotovoltaico é a solução energética para um número crescente de mercados e estamos a evoluir num
sentido de ter bases para o desenvolvimento de um verdadeiro mercado de eletricidade solar
sustentável a médio prazo. Deverá contudo demorar alguns anos até que este mercado se torne numa
realidade.
1.2 Objetivos
O objetivo principal desta tese de mestrado é aplicar diferentes distribuições (funções densidade
de probabilidade) na descrição de diferentes perfis de níveis de irradiância solar. Para isso será
desenvolvido um algoritmo adequado para modelar diferentes funções densidade de probabilidade à
variável aleatória em estudo, que neste caso será a irradiância solar ou o índice de claridade. Após isso
será efetuado o cálculo do erro da função densidade de probabilidade relativamente às distribuições
de frequência da irradiância (dados observados), de modo a avaliar a adequação da função densidade
de probabilidade na representação dos dados observados.
3
Isto será feito com o auxílio de uma ferramenta computacional, o MATLAB, através da criação de
um programa que gera a função densidade de probabilidade de acordo com um conjunto de dados
observados.
Por fim será possível concluir através do cálculo dos erros, correspondendo a distribuição com
menor erro à melhor aproximação, qual a distribuição que é melhor para modelar cada caso em estudo.
Pretende-se então com esta tese, encontrar a função densidade de probabilidade que melhor
descreva diferentes perfis de irradiância, para que no futuro se use essa função para modelar a
irradiância solar.
1.3 Estrutura
Esta tese está organizada em sete capítulos principais.
No capítulo 1, foi apresentada uma breve revisão do estado da arte sobre a energia solar
fotovoltaica é dada, como uma introdução para o trabalho que se segue. No capítulo 2 são explicados
os geradores fotovoltaicos e os modelos matemáticos usados para calcular a potência de saída dos
módulos fotovoltaicos. A irradiância solar e o posicionamento solar, para o qual se introduziram diversos
ângulos com o objetivo de prever a posição do Sol em relação ao dispositivo de receção (painel solar)
são estudados no capítulo 3. No capítulo 4 são apresentadas as diferentes funções densidade de
probabilidade que serão utilizadas para modelar a irradiância solar. O capítulo 5 corresponde à
explicação dos dois métodos utlizados para o cálculo dos erros e a explicação do método trapezoidal.
O capítulo 6 é o lugar onde todas as simulações e resultados são apresentados. Por fim, a discussão
dos resultados e as conclusões são apresentadas no capítulo 7.
4
2. Energia Solar Fotovoltaica
2.1 Energia Solar em Portugal
Portugal é um dos países da Europa com maior disponibilidade de radiação solar devido à sua
localização geográfica. A disponibilidade de radiação solar pode ser medida ou determinada em termos
do número médio anual de horas de Sol, que no caso de Portugal varia entre as 2200 e 3000 horas.
Contudo, este recurso tem sido mal aproveitado. Verificando o caso da Alemanha que possui
apenas um número médio anual de horas de Sol que varia entre as 1200 e 1700 horas e é a líder na
produção de energia Solar, podemos dizer que Portugal não tem um grande aproveitamento deste
recurso. Ou seja este fato demonstra as dificuldades que Portugal apresenta na difusão deste tipo de
energia, que apesar de ostentar uma enorme potencialidade, não existe o seu devido aproveitamento
e uso.
A Figura 2.1 mostra o número médio anual de horas de Sol na Europa. As zonas mais escuras
correspondem às zonas onde o número médio anual de horas de Sol é maior e as zonas mais claras
são os locais com menor número médio anual de horas de Sol. Como podemos verificar Portugal é um
dos países da Europa com um maior número médio anual de horas de Sol, logo com boas condições
para ter um elevado aproveitamento energético da energia solar fotovoltaica.
Figura 2.1: Energia Solar na Europa [5]
5
2.2 Geradores Fotovoltaicos
A aposta na promoção de instalações de Sistemas Fotovoltaicos está em linha com os objetivos
traçados pela ratificação do Protocolo de Quioto e as metas impostas pelos programas nacionais de
incentivo à produção de energia elétrica a partir de Energia Solar Fotovoltaica.
Atualmente a produção de energia a partir de fontes de energia renovável tem muitas vantagens,
existindo também alguns incentivos que atraem o investimento em centrais fotovoltaicas. Estes
sistemas podem ser instalados em qualquer superfície com boa exposição solar.
Estes sistemas fotovoltaicos são constituídos pelos módulos ou painéis fotovoltaicos, um seguidor
de máxima potência e um inversor. É possível obter uma estimativa da energia a produzir pelo módulo
fotovoltaico. Para isso é necessário efetuar medições das grandezas irradiância e temperatura
ambiente desse determinado local.
2.2.1 Célula Fotovoltaica
Uma célula fotovoltaica ou célula solar, corresponde ao elemento mais pequeno do sistema
fotovoltaico. Uma célula fotovoltaica é capaz de produzir uma tensão de cerca de 0,5 V e uma corrente
de 3 A, à qual corresponde uma potência elétrica DC de 1,5 W. Para gerar potências maiores, as células
são ligadas em série e/ou paralelo, constituindo-se assim módulos fotovoltaicos. Um módulo
fotovoltaico produz potências DC entre os 100 e os 200 W. Na Figura 2.2 é mostrado um módulo
fotovoltaico. A agregação de módulos fotovoltaicos dá origem aos painéis fotovoltaicos. Os painéis
fotovoltaicos são ligados à rede elétrica AC através de um equipamento auxiliar, um conversor DC/AC
(inversor).
6
Figura 2.2: Módulos Fotovoltaicos
As células fotovoltaicas produzem energia DC sendo que a energia produzida aumenta com o
aumento da radiação solar. As células fotovoltaicas são constituídas por um material semicondutor, na
maioria dos casos o silício, sendo também usado outros tipos de materiais como o Telureto de Cádmio
(CdTe), o Disseleneto de Cobre-Índio-Gálio (CIGS) e o Arsenieto de Gálio (GaAs). Hoje em dia cerca
de 95% de todas as células solares existentes são de silício [6]. Ao material semicondutor são
adicionadas substâncias/impurezas, chamadas de dopantes, que criam duas camadas na célula, a
camada tipo p e a camada tipo n, que possuem respetivamente um excesso de cargas positivas e um
excesso de cargas negativas, relativamente ao silício puro. Na região onde os dois materiais se
encontram, denominada junção p-n, origina-se um campo elétrico, que corresponde à diferença de
potencial entre as duas zonas da célula. Uma representação da junção p-n do semicondutor é ilustrada
na Figura 2.3.
Figura 2.3: Junção p-n do semicondutor
Quando a célula fotovoltaica é exposta à luz solar os fotões atingem os eletrões e, se tiverem
energia suficiente, fazem-nos saltar da banda de valência para a banda de condução, originando a
quebra das ligações entre os eletrões, devido ao fornecimento de energia. Os eletrões libertados serão
conduzidos através do campo elétrico para a área n. Os buracos ou lacunas criados seguiram na
direção contrária para a área p. Este processo denomina-se por efeito fotovoltaico. A difusão dos
portadores de carga até aos contactos elétricos, produz uma tensão na fronteira da célula solar. Se o
7
circuito estiver fechado, obtém-se então corrente elétrica que juntamente com uma tensão aplicada ao
circuito gera energia elétrica.
A intensidade da corrente elétrica é proporcional à radiação solar incidente na célula. Deste modo,
quanto maior for a radiação solar, maior será também o número de eletrões na banda de condução,
aumentando assim a energia produzida pela célula.
O princípio de funcionamento de uma célula solar composta por camadas de silício dopado por
impurezas do tipo p e do tipo n é o mesmo de um díodo comum de silício, pois possuem as mesmas
propriedades elétricas. A característica elétrica de uma célula fotovoltaica pode ser representada
através da variação das curvas I-V (corrente-tensão) e P-V (potência-tensão). Estas curvas serão
diferentes se houver uma variação na temperatura ou na irradiância, como podemos verificar através
da Figura 2.4.
Figura 2.4: Variação da curva I-V com a temperatura e com a irradiância [1]
2.2.2 Seguidor de Potência Máxima (MPPT)
Na ligação do módulo à rede existem equipamentos de regulação e interface, como o seguidor de
máxima potência (MPPT) e o inversor, que servem para melhorar as condições de geração e que
adaptam a energia produzida pelos painéis de modo a que esta possa ser injetada na rede.
O MPPT é um dispositivo eletrónico que opera nos módulos fotovoltaicos e que tem como finalidade
fazer com que os módulos produzam no ponto de máxima potência. Não se trata de um sistema de
seguimento mecânico que os move fazendo com que os módulos apontem diretamente para o sol, mas
sim de um dispositivo eletrónico que faz variar o ponto de operação elétrico do módulo de modo a que
8
estes sejam capazes de fornecer à potência máxima disponível. O MPPT pode ser usado
simultaneamente com um sistema de seguimento mecânico, mas os dois sistemas são completamente
diferentes. Na Figura 2.5 é representado o esquema de um gerador fotovoltaico com ligação à rede
elétrica.
Figura 2.5: Esquema dum gerador fotovoltaico ligado à rede [1]
A potência máxima será não só função das condições ambientais, nomeadamente a temperatura
e a irradiância, como também da tensão aos terminais do módulo, sendo desejável o funcionamento à
máxima potência possível de modo a maximizar o rendimento energético.
Para a ligação deste sistema à rede de energia elétrica, é necessário um inversor para converter a
energia DC produzida pelo módulo fotovoltaico em energia AC.
2.3 Modelos Matemáticos
Com o objetivo de estudar os equipamentos fotovoltaicos, é prática comum fazer a sua
representação através de circuitos elétricos equivalentes.
Nesta secção consideram-se dois modelos distintos. Um modelo de um díodo e três parâmetros,
também chamado de modelo simplificado e outro modelo de um díodo e cinco parâmetros ou modelo
detalhado.
9
2.3.1 Modelo de Um Díodo e Três Parâmetros
Os fabricantes disponibilizam as características elétricas do módulo fotovoltaico nas condições de
referência STC (Standard Test Conditions) que correspondem a:
Temperatura da célula: 𝜃𝑟 = 25℃ = 𝑇𝑟 = 298,15 𝐾
Nível de irradiância: Gr = 1000 W/m2
Nestas condições o fabricante fornece a corrente de curto-circuito (𝐼𝐶𝐶), a tensão de circuito aberto
(𝑉𝐶𝐴), a corrente do ponto de potência máxima (𝐼𝑚𝑎𝑥) e a tensão no ponto de potência máxima (𝑉𝑚𝑎𝑥).
São também disponibilizadas as características térmicas da célula, que consideram a influência da
temperatura no funcionamento da célula. O índice NOCT corresponde à temperatura da célula em
funcionamento nominal e é definido por:
Temperatura ambiente: 𝜃 = 20℃
Irradiância solar: 𝐺 = 800 𝑊/𝑚2
Deste modo a temperatura da célula (𝜃𝑐) pode ser calculada através da seguinte expressão:
𝜃𝑐 = 𝜃𝑎 +
𝐺(𝑁𝑂𝐶𝑇 − 20)
800
(2.1)
onde 𝜃𝑎 é a temperatura ambiente e 𝐺 é a irradiância. O valor do NOCT é relativamente constante,
assumindo-se um valor típico NOCT = 45 ℃
Na Tabela 2.1 é dado um exemplo de um catálogo fornecido pelo fabricante de um módulo
fotovoltaico.
10
Tabela 2.1: Parâmetros do módulo fotovoltaico Shell SM100-12 (parâmetros são fornecidos nas condições de referência STC)
Silício Monocristalino
Potência de pico 𝑃𝑝 100,3 𝑊𝑝
Corrente Máxima 𝐼𝑀𝑃 5,9 𝐴
Tensão Máxima 𝑉𝑀𝑃 17,0 𝑉
Corrente de curto-circuito 𝐼𝐶𝐶 6,5 𝐴
Tensão de circuito aberto 𝑉𝐶𝐴 21,0 𝑉
Temperatura normal de funcionamento 𝑁𝑂𝐶𝑇 45℃
Coeficiente de temperatura de ICC 𝜇𝐼𝐶𝐶 2,8 × 10−3 𝐴/°𝐾
Coeficiente de temperatura de VCA 𝜇𝑉𝐶𝐴 −7,6 × 10−2 𝑉/°𝐾
Número de células em série 𝑁𝑠 36
Comprimento 𝐶 1,316 𝑚
Largura 𝐿 0,660 𝑚
Quanto ao modelo matemático simplificado, uma célula poderá ser descrita através do circuito
elétrico equivalente que se mostra na Figura 2.6.
Figura 2.6: Circuito elétrico equivalente de uma célula fotovoltaica [1]
A fonte de corrente 𝐼𝑠 representa a corrente elétrica gerada a partir do efeito fotovoltaico. Esta
corrente unidirecional é constante para uma dada irradiância ( 𝐺 ) incidente. A junção 𝑝 − 𝑛 é
representada pelo díodo colocado em paralelo com a fonte, que é atravessado por uma corrente interna
unidirecional 𝐼𝐷. A corrente 𝐼 atravessa a carga e a tensão 𝑉 é a tensão aplicada à carga. Através da
análise do circuito podemos tirar a seguinte equação pelo método dos nós:
𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼𝐷
(2.2)
11
A corrente 𝐼𝐷 que atravessa o díodo é expressa por:
𝐼𝐷 = 𝐼0 (𝑒
𝑉𝑚𝑉𝑇 − 1)
(2.3)
onde as variáveis correspondem a:
𝐼0 − corrente inversa de saturação do díodo [A];
𝑉 − tensão aos terminais da célula [V];
𝑚 − fator de idealidade do díodo (díodo ideal: 𝑚 = 1; díodo real: 𝑚 > 1);
𝑉𝑇 − designado por potencial térmico:
𝑉𝑇 =
𝑘 𝑇
𝑞
(2.4)
Onde 𝑘 é a constante de Boltzmann (𝑘 = 1,38 × 10−23 𝐽/𝐾), 𝑇 é a temperatura absoluta da célula
em K (𝐾 = ℃ + 273,15) e 𝑞 a carga eléctrica do electrão (𝑞 = 1,6 × 10−19 𝐶).
O potencial térmico é um grandeza importante e nas condições de referência vem dado por:
𝑉𝑇
𝑟 =𝑘 𝑇𝑟
𝑞= 0,0257 𝑉
(2.5)
A partir das equações 2.2 e 2.3 obtemos a seguinte expressão da corrente 𝐼 que se fecha pela
carga:
𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼0 (𝑒
𝑉𝑚𝑉𝑇 − 1)
(2.6)
É agora necessário determinar os parâmetros (𝑚, 𝐼0, 𝐼𝑆) da equação 2.6. Para o seu cálculo utilizam-
se os parâmetros fornecidos pelo fabricante do painel e consideram-se três pontos de operação da
célula: curto-circuito, circuito aberto e potência máxima.
Através da análise da Figura 2.6, podemos retirar as seguintes equações correspondentes a
situação de curto-circuito:
𝑉 = 0 𝐼𝐷 = 0
𝐼 = 𝐼𝑠𝑟 = 𝐼𝑐𝑐
𝑟
(2.7)
O índice “r” é referente às condições de referência que já foram faladas anteriormente e significa
que estes parâmetros foram calculados nestas condições.
A corrente de curto-circuito 𝐼𝑐𝑐𝑟 é o valor máximo da corrente de carga, sendo o seu valor uma
característica da célula, que é fornecido pelo fabricante para as condições STC.
12
A equação 2.6 é geral pelo que poderá ser aplicada aos três pontos de operação da célula. Na
condição de circuito aberto a corrente será igual a zero pelo que teremos:
𝐼 = 0
𝑉𝑐𝑎 = 𝑚 𝑉𝑇 ln(1 +𝐼𝑠
𝐼0)
(2.8)
A tensão de circuito aberto 𝑉𝑐𝑎 é o valor máximo da tensão aos terminais da célula, sendo o seu
valor também uma característica da célula que é fornecido pelo fabricante para as condições STC.
A corrente inversa de saturação do díodo 𝐼0, pode ser determinada através da seguinte equação:
𝐼0
𝑟 =𝐼𝑐𝑐
𝑟
𝑒𝑉𝑐𝑎
𝑟
𝑚𝑉𝑇𝑟
− 1
(2.9)
Ao considerar que a função exponencial é muito maior que um, podemos simplificar a equação 2.9
por:
𝐼0
𝑟 ≈𝐼𝑐𝑐
𝑟
𝑒𝑉𝑐𝑎
𝑟
𝑚𝑉𝑇𝑟
(2.10)
Falta agora determinar o parâmetro 𝑚 e para o calcular utiliza-se o terceiro ponto de operação da
célula, nas condições de potência máxima. Nestas condições a equação 2.6 pode ser escrita do
seguinte modo:
𝐼𝑀𝑃𝑟 = 𝐼𝑠
𝑟 − 𝐼0𝑟 (𝑒
𝑉𝑀𝑃𝑟
𝑚 𝑉𝑇𝑟
− 1) (2.11)
Considerando a função exponencial muito maior que um e utilizando as equações 2.7 e 2.10 em
2.11, é possível obter o valor para 𝑚, como se mostra a seguir:
𝐼𝑀𝑃 = 𝐼𝑠
𝑟 − 𝐼0𝑟 (𝑒
𝑉𝑀𝑃𝑟
𝑚 𝑉𝑇𝑟) ↔ 𝑚 =
𝑉𝑀𝑃𝑟 − 𝑉𝑐𝑎
𝑟
𝑉𝑇𝑟 ln (1 −
𝐼𝑀𝑃𝑟
𝐼𝑐𝑐𝑟 )
(2.12)
Como verificamos através da equação 2.12, que nos permite calcular o valor do fator de idealidade
do díodo, este é calculado apenas com os parâmetros característicos da célula que nos são fornecidos
pelo fabricante. Deste modo o valor de 𝑚 será constante segundo este modelo.
13
2.3.2 Modelo de Um Díodo e Cinco Parâmetros
Quanto ao modelo de um díodo e cinco parâmetros ou modelo detalhado, este representa uma
melhor representação da célula fotovoltaica do que o modelo simplificado. Este modelo ao contrário do
modelo simplificado considera tal como acontece nas células “reais”, uma queda de tensão no circuito
até aos contactos exteriores, a qual é representada no circuito pela resistência 𝑅𝑠 . São também
consideradas as correntes de fuga, que são descritas por uma resistência em paralelo, 𝑅𝑠ℎ. O circuito
equivalente para este modelo é então representado na Figura 2.7.
Figura 2.7: Circuito elétrico equivalente do modelo de um díodo e cinco parâmetros [1]
Os cinco parâmetros a determinar deste modelo são 𝐼𝑠𝑟, 𝐼0
𝑟, 𝑚, 𝑅𝑠 e 𝑅𝑠ℎ e podem ser relacionados
através da corrente 𝐼 por:
𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼𝐷 − 𝐼𝑠ℎ
𝐼 = 𝐼𝑠 − 𝐼0 (𝑒𝑉+𝑅𝑠 𝐼𝑚 𝑉𝑇 − 1) −
𝑉 + 𝑅𝑠 𝐼
𝑅𝑠ℎ
(2.13)
A equação 2.13 nas condições de referência será representada por:
𝐼 = 𝐼𝑠
𝑟 − 𝐼0𝑟 (𝑒
𝑉+𝑅𝑠 𝐼𝑚 𝑉𝑇
𝑟− 1) −
𝑉 + 𝑅𝑠 𝐼
𝑅𝑠ℎ
(2.14)
A equação 2.14 representa uma equação transcendente, implícita em 𝐼, que necessita de métodos
iterativos para a sua resolução. O cálculo das resistências 𝑅𝑠 e 𝑅𝑠ℎ não será feito nesta tese, nem será
aprofundado o estudo deste modelo matemático.
14
2.4 Curvas I-V
Para representar a característica de saída de uma célula fotovoltaica utiliza-se a curva de corrente-
tensão (curva I-V).
A corrente de saída mantém-se praticamente constante dentro da amplitude de tensão de
funcionamento, portanto o dispositivo é considerado por vezes como uma fonte de corrente constante.
A corrente e a tensão de operação da célula fotovoltaica são determinadas pela irradiância incidente e
pela temperatura da célula. Uma variação numa destas variáveis provoca variações na curva I-V.
Segundo este modelo (modelo simplificado) o parâmetro 𝑚 será constante pelo que apenas é
necessário obter para uma determinada irradiância e temperatura, as relações dos parâmetros 𝐼0 e 𝐼𝑠.
Uma representação da curva I-V é mostrada na Figura 2.8.
Figura 2.8: Variação da curva I-V
Os valores transcendentes desta curva são:
Corrente de curto-circuito (𝐼𝑐𝑐 ): máxima corrente que pode ser entregue pela célula para
determinada irradiância e temperatura, quando a tensão é nula e subsequentemente potência
nula.
Tensão de circuito aberto ( 𝑉𝑐𝑎 ): máxima tensão que pode ser entregue pela célula para
determinada irradiância e temperatura, quando a corrente é nula e subsequentemente potência
nula.
Potência máxima (𝑃𝑚𝑎𝑥): Corresponde ao valor máximo de potência que a célula é capaz de
gerar. É o ponto da curva onde o produto 𝑉 × 𝐼 é máximo.
Corrente de máxima potência (𝐼𝑀𝑃): É o valor da corrente que garante a geração de potência
máxima para determinada irradiância e temperatura.
15
Tensão de máxima potência (𝑉𝑀𝑃): É o valor da tensão que garante a geração de potência
máxima para determinada irradiância e temperatura.
2.4.1 Variação com a temperatura
Os parâmetros fornecidos pelo fabricante são sempre correspondentes às condições STC, ou seja,
uma irradiância de 1000 𝑊/𝑚2 e uma temperatura da célula de 25℃.
Na Figura 2.9 apresenta-se um gráfico da característica I-V (corrente-tensão) para uma irradiância
fixa de 1000 𝑊/𝑚2 mas fazendo variar a temperatura da célula.
Figura 2.9: Característica I-V para diferentes temperaturas e uma irradiância constante de 1000 𝑊/𝑚2 [6]
Como podemos observar pela Figura 2.9, a tensão de máxima potência é, ao contrário da corrente
de máxima potência, muito sensível à variação de temperatura.
A corrente inversa de saturação (𝐼0), é função da temperatura da célula e traduz as variações de
temperatura desta relativamente às condições STC.
O potencial térmico (𝑉𝑇) terá um valor diferente das condições de referência, que pode ser calculado
por:
𝑉𝑇(𝑇) =
𝑘 𝑇
𝑞
(2.15)
16
em que 𝑇 corresponde à nova temperatura de operação da célula.
A nova corrente de saturação pode ser calculada através da seguinte expressão:
𝐼0(𝑇) = 𝐼0
𝑟 (𝑇
𝑇𝑟)
3
. 𝑒
𝑁𝑠 𝜀𝑚 (
1𝑉𝑇
𝑟−1
𝑉𝑇)
(2.16)
em que 𝑁𝑠 é o número de células ligadas em série e 휀 é a largura de banda do silício (hiato) que
apresenta o valor de 휀 = 1.12 𝑒𝑉.
2.4.2 Variação com a irradiância incidente
Para o caso da variação da irradiância incidente, com uma temperatura da célula fixa de 25℃, a
característica I-V (corrente-tensão) é a que se apresenta na Figura 2.10.
Figura 2.10: Característica I-V para diferentes irradiâncias e uma temperatura constante de 25 ℃ [6]
Como podemos verificar pela Figura 2.10, a corrente de máxima potência é muito sensível às
variações de irradiância incidente, ao contrário da tensão de máxima potencia que pouco oscila.
Neste caso verifica-se que a intensidade de corrente que atravessa um módulo fotovoltaico é
proporcional à radiação solar que nele incide. Esta relação de proporcionalidade pode ser expressa
por:
17
𝐼𝑠 = 𝐼𝑐𝑐(𝐺) =
𝐺
𝐺𝑟× 𝐼𝑐𝑐
𝑟
(2.17)
O parâmetro 𝐼𝑠 traduz as variações da irradiância relativamente às condições STC.
2.5 Potência Máxima
Para o cálculo da potência de uma célula fotovoltaica para uma dada irradiância e temperatura da
célula, utilizam-se para além dos parâmetros 𝑚, 𝐼0 e 𝐼𝑠, os parâmetros de referência fornecidos pelo
fabricante.
A potência DC de saída é dada por:
𝑃𝐷𝐶 = 𝑉𝑀𝑃 × 𝐼𝑀𝑃
(2.18)
em que a tensão de máxima potência e corrente de máxima potência, nas condições de referência, são
dadas respetivamente por:
𝑉𝑀𝑃𝑟 = 𝑚 𝑉𝑇
𝑟 𝑙𝑛 (
𝐼𝑐𝑐𝑟
𝐼0𝑟 + 1
𝑉𝑀𝑃𝑟
𝑚 𝑉𝑇𝑟 + 1
)
(2.19)
𝐼𝑀𝑃
𝑟 = 𝐼𝑐𝑐𝑟 − 𝐼0
𝑟 (𝑒
𝑉𝑀𝑃𝑟
𝑚 𝑉𝑇𝑟
− 1)
(2.20)
De seguida é traçada para além da característica I-V, a característica P-V (potência-tensão),
fazendo 𝑃 = 𝑉 𝐼. Os parâmetros da simulação são referentes ao módulo fotovoltaico Shell SM100-12,
o qual foi simulado através do programa MATLAB.
Os resultados são obtidos para as condições STC e mostram-se na Figura 2.11, onde se indica
também o ponto de máxima potência.
18
Figura 2.11: Características I-V e P-V do módulo fotovoltaico em estudo e respetivo ponto de máxima potência
O ponto de máxima potência ( 𝑃𝑚𝑎𝑥 ) é representado pelo encontro das retas a vermelho, e
corresponde ao ponto da curva onde o produto 𝑉 × 𝐼 é máximo.
19
3. Energia do Sol
O Sol é uma fonte de energia renovável, situa-se no centro do sistema solar e emite energia como
radiação eletromagnética a uma taxa muito elevada e relativamente constante, 24 horas por dia, 365
dias por ano.
O ritmo a que esta energia é emitida é equivalente à energia proveniente de uma fonte a uma
temperatura de cerca de 6000 𝐾 (5726,85 ℃). Se pudéssemos aproveitar a energia que vem de apenas
10 hectares (100 000 𝑚2 ) da superfície do sol, teríamos o suficiente para satisfazer a demanda
energética atual de todo o mundo [7].
No entanto, existem três importantes razões que não possibilitam essa solução:
A Terra está deslocada do Sol, e como a energia do Sol se espalha como uma luz de uma
vela, apenas uma pequena fração da energia que deixa uma área do Sol alcança uma área
igual na Terra.
Em segundo lugar, a Terra gira sobre o seu eixo polar, de modo que qualquer dispositivo
de recolha localizado sobre a superfície da Terra pode receber a energia radiante do Sol
para apenas cerca de metade de cada dia.
O terceiro e menos previsível fator é a condição da camada da atmosfera que rodeia a
superfície da Terra. Na melhor das hipóteses a atmosfera da Terra é responsável por uma
redução de 30 por cento da energia do Sol. No entanto, as condições climáticas podem ser
responsáveis pela eliminação de quase toda essa energia, e apenas uma quantidade
mínima de radiação solar alcançar a superfície da Terra durante muitos dias seguidos.
A quantidade de energia solar que atinge uma dada área da Terra é chamada de radiação solar. A
unidade de medida da radiação solar é o joule por metro quadrado (𝐽/𝑚2). A irradiância corresponde à
potência entregue e é expressa em watts por metro quadrado (𝑊/𝑚2). Logo a radiação solar é a
integração da irradiância solar ao longo de um período de tempo. Irradiância solar é uma medida
instantânea da taxa, logo trata-se de uma unidade que pode variar ao longo do tempo.
Para a compreensão de como recolher e maximizar a energia solar, é preciso primeiro ser capaz
de prever a posição do Sol em relação ao dispositivo de receção (painel solar). De seguida serão
desenvolvidas as equações necessárias relativas ao posicionamento solar (ângulos).
20
3.1 Posicionamento Solar
Latitude e Longitude
Qualquer localização na superfície da Terra pode ser definida pelo conhecimento de um ângulo de
longitude e de um ângulo de latitude. O ângulo de latitude (𝜙) é o ângulo entre uma linha traçada a
partir de um ponto na superfície da Terra até o centro da terra, e o plano equatorial da Terra. A
intersecção do plano equatorial com a superfície da Terra constitui o equador e é designado como zero
graus de latitude. O eixo de rotação da Terra cruza a superfície da Terra a 90 graus de latitude (Pólo
Norte) e -90 graus de latitude (Pólo Sul).
A longitude (𝐿) é uma coordenada geográfica que especifica a posição este-oeste de um ponto na
superfície da Terra. É uma medida angular, que é expressa em graus. Pontos com a mesma longitude
ficam situados em linhas que partem do Pólo Norte para o Pólo Sul. Por convenção, uma delas, o
Meridiano de Greenwich, que passa através do Observatório Real de Greenwich em Inglaterra,
estabelece a posição de zero graus de longitude. A longitude de outros lugares é medida como o ângulo
a este ou oeste do Meridiano de Greenwich, variando de 0° no Meridiano de Greenwich a +180° ou
−180°, para este ou para oeste respetivamente. Especificamente, é o ângulo entre um plano que
contém o Meridiano de Greenwich e outro plano que contém o Pólo Norte, Pólo Sul e o local em
questão.
Para os cálculos à frente efetuados serão necessários os ângulos referentes à latitude e longitude
do local de receção da energia solar. O local considerado para estas coordenadas foi Lisboa, mais
exatamente IST Alameda, para o qual temos as seguintes coordenadas:
Latitude: 𝜙 = 38,7°
Longitude: 𝐿 = −9,14°
Os diferentes valores para a latitude e longitude consoante a nossa posição na Terra são
representados na Figura 3.1 para uma melhor compreensão dos respetivos ângulos.
21
Figura 3.1: Diferentes valores para a Latitude e Longitude [8]
Ângulo Horário
Para descrever o sistema de rotação da Terra sobre o seu eixo polar, é utilizado o conceito de
ângulo horário (𝜔). O ângulo horário representa a distância angular entre o meridiano do observador
(tempo solar local) e o meridiano do plano que contém o Sol (meio-dia solar). O ângulo horário é zero
ao meio-dia solar (quando o Sol atinge o ponto mais alto no céu), e aumenta 15° por hora.
A Figura 3.2 mostra a variação do ângulo horário ao longo de um dia.
22
Figura 3.2: Variação do ângulo horário [7]
O ângulo horário mede o tempo depois do meio-dia solar em termos de um grau por cada quatro
minutos, ou quinze graus por hora. O tempo depois do meio-dia solar é expresso por um ângulo horário
positivo e o tempo antes do meio-dia solar por um ângulo horário negativo. Logo, duas horas antes do
meio-dia solar o ângulo horário é -30 graus e duas horas após o meio-dia solar é +30 graus.
A expressão utilizada para calcular o ângulo horário é a seguinte:
𝜔 = �̅�(𝑡𝑠 − 12) [°]
(3.1)
onde,
�̅� é a velocidade de rotação da Terra sobre o seu eixo (15°/ℎ);
𝑡𝑠 é o tempo solar.
Tempo Solar
O tempo solar é baseado no sistema horário de 24 horas. O conceito de tempo solar é usado para
prever a direção dos raios solares relativamente a um ponto na Terra. O tempo solar é dependente da
localização (longitude) e é normalmente diferente do tempo horário, definido pelas zonas horárias. A
expressão usada para calcular o tempo solar é a seguinte:
𝑡𝑠 = 𝑡 +
𝐸
60+
∆𝐿
15+ 𝐷 [ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠]
(3.2)
onde,
23
𝑡 é a hora local (no sistema 1-24h);
𝐸 é a equação temporal;
∆𝐿 é a correcção de longitude;
𝐷 é igual a 1 (hora) se a localização corresponde a uma região onde o horário de verão está atualmente
em vigor, ou 0 caso contrário.
Equação Temporal
A equação temporal ou EOT (equation of time) é uma fórmula utilizada no processo de conversão
entre o tempo solar e hora do relógio, para compensar a órbita elíptica da Terra em torno do Sol e a
sua inclinação axial. Como a Terra se move numa órbita elíptica, então a equação temporal é usada
para ajustar face a uma orbita circular.
Existem várias expressões para calcular a equação temporal. A expressão utilizada neste trabalho
segundo [9] é:
𝐸 = 9,87 sin(2𝐵) − 7,53 cos(𝐵) − 1,5 sin(𝐵) [𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠]
(3.3)
onde 𝐵 é o ângulo em graus definido em função do número do dia 𝑛:
𝐵 =
360 (𝑛 − 81)
364 [°]
(3.4)
𝑛 é o número do dia (no sistema 1-365).
A Figura 3.3 mostra a variação da equação temporal ao longo de um ano.
Figura 3.3: Equação temporal [7]
24
Correção Longitudinal
A correção longitudinal que aparece na fórmula do cálculo do tempo solar, corresponde à diferença
de longitudes entre o local onde nos situamos e o meridiano da zona horária. É então calculada da
seguinte forma:
∆𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 − 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑎 [°]
(3.5)
Neste caso a longitude do local considerado (Lisboa) é de -9,14 ° e a longitude do meridiano da
zona horária é GMT – Greenwich Mean Time +0, ou seja a longitude do meridiano é 0 °. O valor de ∆𝐿
vem então dado por:
∆𝐿 = −9,14 − 0 = −9,14°
(3.6)
Ângulo de Declinação
O ângulo de declinação (𝛿) varia sazonalmente, devido à inclinação da Terra sobre o seu eixo de
rotação e também devido à rotação da Terra em torno do Sol. Se a Terra não fosse inclinada em relação
ao seu eixo de rotação, a declinação seria sempre 0 °. No entanto, a Terra está inclinada de 23,45 ° e
o ângulo de declinação varia entre mais ou menos este valor. Na Figura 3.4 é representado o ângulo
de declinação.
25
Figura 3.4: Ângulo de Declinação [7]
A expressão que nos permite calcular o ângulo de declinação para um dado dia do ano é a seguinte:
𝛿 = 23,45 sin (
360 (284 + 𝑛)
365) [°]
(3.7)
se argumento do ângulo em graus, ou:
𝛿 = 23,45 sin (
2𝜋 (284 + 𝑛)
365) [°]
(3.8)
com o argumento do ângulo em radianos, onde 𝑛 é o número do dia do ano (por exemplo, 𝑛 = 1 no dia
1 de Janeiro e 𝑛 = 32 no dia 1 de Fevereiro).
A declinação é zero nos equinócios (22 de Março e 22 de Setembro). É positiva durante o Verão
do hemisfério norte e negativa durante o Inverno do hemisfério norte. A declinação atinge um máximo
de 23,45 ° a 22 de Junho (solstício de Verão no hemisfério norte) e um mínimo de -23,45 ° a 22 de
Dezembro (solstício de Inverno no hemisfério norte).
A Figura 3.5 mostra a evolução do ângulo de declinação ao longo de um ano.
26
Figura 3.5: Variação do ângulo de declinação ao longo do ano [7]
Ângulo de Zenith Solar
A posição do Sol relativa às coordenadas da latitude e longitude pode ser descrita por dois ângulos:
ângulo de altitude solar (𝛼) e ângulo zenith solar (𝜃). Para o cálculo dos valores da irradiância, que
veremos a seguir, é necessário o conhecimento do ângulo de zenith solar (𝜃). Este ângulo e o ângulo
de altitude solar são representados na Figura 3.6.
Figura 3.6: Sistema de coordenadas da superfície terrestre para um observador em Q [7]
27
Para o cálculo do ângulo de zenith solar é necessário o conhecimento do ângulo horário (𝜔), do
ângulo da latitude (𝜙) e do ângulo de declinação (𝛿).
A expressão que permite o cálculo do ângulo de zenith solar é a seguinte:
cos(𝜃) = cos(𝜙) cos(𝛿) cos(𝜔) + sin(𝜙) sin (𝛿)
(3.9)
𝜃 = cos−1(cos (𝜃)) [𝑟𝑎𝑑]
(3.10)
3.2 Irradiância Solar
A irradiância solar é a potência das radiações eletromagnéticas por área de superfície e é expressa
em watts por metro quadrado [𝑊 𝑚2⁄ ].
A quantidade de irradiância solar que atinge a superfície terrestre depende não só do momento do
ano em que nos encontramos, como também da localização geográfica e das condições meteorológicas
existentes (ex: existência de nuvens, poluição atmosférica). Alguns estudos vieram provar que a
nebulosidade é o principal fator que determina a diferença entre a radiação solar medida no exterior da
atmosfera e na superfície terrestre.
Enquanto a irradiância solar incidente na atmosfera terrestre é aproximadamente constante, a
irradiância à superfície terrestre varia devido aos fatores referidos anteriormente.
A radiação solar que atinge a superfície terreste é composta por duas componentes, a radiação
direta e a radiação difusa. A radiação direta corresponde aos raios solares provenientes diretamente
do Sol, sem qualquer reflexão ou refração. A radiação difusa consiste na radiação que atinge a
superfície terrestre proveniente dos fenómenos de reflexão e refração da atmosfera.
O índice de claridade (𝑘𝑡) é utilizado em algumas distribuições e é definido pela razão entre a
irradiância num plano horizontal 𝐺𝑡 (𝑊/𝑚2) e a irradiância total extraterrestre 𝐺0 (𝑊/𝑚2).
𝑘𝑡 =
𝐺𝑡
𝐺0
(3.11)
A irradiância num plano horizontal ( 𝐺𝑡 ) é medida através de sensores de radiação que são
colocados no local da instalação fotovoltaica. Estes valores foram obtidos para as 8760 horas de um
determinado ano e serão utilizados nos cálculos de outras variáveis.
28
A irradiância total extraterrestre (𝐺0) corresponde à radiação medida acima da atmosfera terrestre
sob um plano perpendicular aos raios incidentes, ou seja, com um ângulo de zenith solar nulo
(θ = 0 → cos(𝜃) = 1). Pode ser calculado o seu valor através da seguinte expressão:
𝐺0 = 𝐺𝑆𝐶 [1 + 0,033𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋𝑛
365)] [𝑊/𝑚2]
(3.12)
onde,
𝐺𝑆𝐶 é a constante solar (𝐺𝑆𝐶 = 1367 𝑊/𝑚2);
𝑛 é o número do dia do ano para o qual se pretender calcular o valor da irradiância total extraterrestre.
A hipótese frequentemente utilizada nos modelos de radiação solar é o da radiação solar
extraterrestre incidir sobre uma superfície horizontal. Considera-se uma superfície plana fora da
atmosfera da Terra e paralela à superfície da Terra. Quando esta superfície se encontra de frente para
o Sol (normal para um raio central), a radiação solar que incide sobre ele será 𝐺0, que corresponde à
irradiância máxima possível solar. Se a superfície não é normal para o Sol, a radiação solar que incide
sobre ele irá ser reduzida pelo cosseno do ângulo entre a normal da superfície e um raio central do Sol.
Este conceito é demonstrado na Figura 3.7. Como se pode observar a taxa de energia solar
incidente em ambas as superfícies é a mesma. No entanto a área da superfície A é maior do que a
área da superfície B, fazendo com que a taxa de energia solar por unidade de área (ou seja, a
irradiância solar), que cai na superfície A seja menos do que na superfície B.
Figura 3.7: Efeito do cosseno no cálculo da irradiância total extraterrestre [7]
Para o cálculo do índice de claridade utiliza-se a radiação solar extraterrestre disponível numa
superfície plana horizontal no topo da atmosfera terrestre. Para o seu cálculo é necessário o
29
conhecimento do ângulo formado entre o Sol e o plano. Esse ângulo 𝜃 é denominado de ângulo de
zenith solar que já referimos anteriormente. Pode ser afetado pelo movimento translacional elíptico da
Terra, pelo seu movimento de rotação e também pela latitude do plano do observador. Deste modo a
quantidade máxima de irradiância solar extraterrestre é reduzida, sendo calculada através da seguinte
expressão:
𝐺0 = 𝐺𝑆𝐶 [1 + 0,033𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋𝑛
365)] . cos (𝜃) [𝑊/𝑚2]
(3.13)
onde 𝜃 é o ângulo de zenith solar que pode ser determinado pela seguinte expressão:
cos(𝜃) = cos(𝜙) cos(𝛿) cos(𝜔) + sin(𝜙) sin (𝛿)
(3.14)
sendo 𝜙, 𝛿, 𝜔 ângulos entre o Sol e a Terra que já foram introduzidos anteriormente.
A redução de radiação pelo cosseno do ângulo entre a radiação solar e uma superfície normal é
conhecido como o efeito do cosseno. O efeito cosseno é um conceito muito importante na otimização
da orientação de coletores solares. Devido a este efeito a radiação solar extraterrestre num plano
horizontal varia ciclicamente enquanto a Terra gira sobre seu eixo. A quantidade de radiação solar
recebida sobre uma superfície horizontal fora da atmosfera forma um limite superior para a quantidade
de radiação que vai incidir sobre uma superfície horizontal abaixo da atmosfera da Terra.
30
4. Funções Densidade de Probabilidade
Neste capítulo serão referidas as diferentes funções densidade de probabilidade (𝑓𝑑𝑝), que foram
utilizadas para fazer uma aproximação aos histogramas dos dados observados dos valores de
irradiância e onde se calculam de seguida os respetivos erros.
Para investigar as características da irradiância solar, algumas funções densidade de probabilidade
foram utilizadas para descrever a sua distribuição de frequência. Algumas distribuições são melhores
para descrever dias limpos, enquanto outras descrevem melhor dias nublados. Alguns matemáticos
dizem que os modelos de distribuição disponíveis na literatura não são aplicáveis a todos os tipos de
climas e propuseram então outros tipos de distribuições.
Para este estudo e comparação de erros para se determinar qual a distribuição que é mais
adequada para cada situação, serão utilizadas cinco funções densidade de probabilidade:
Weibull
Normal
Lognormal
Beta bi-modal
Índice de claridade
As últimas duas funções densidade de probabilidade referidas acima (beta bi-modal e índice de
claridade) são as que se usam mais para descrever a irradiância solar e que já foram referidas em
trabalhos recentes. As outras três foram simuladas de acordo com [10].
Para as simulações irá ser considerado cada mês isolado, as quatro estações do ano e o ano inteiro
em geral para o qual temos os dados, para se concluir qual a melhor distribuição para cada caso.
Como se poderá observar mais à frente nos gráficos, as funções densidade de probabilidade são
as curvas nos gráficos a vermelho e como se poderá verificar na escala, estas podem assumir valores
superiores a um. Isto deve-se ao fato de estas funções representarem uma densidade de probabilidade
e não uma probabilidade, tal como o nome indica. Densidade significa probabilidade por unidade de
valor da variável aleatória. O que tem que se verificar é que o integral desta função de densidade
considerando o intervalo em que ela está definida deve ser exatamente igual a um.
Nos gráficos das distribuições o eixo do x corresponde à irradiância registada (𝐺𝑡) em 𝑘𝑊/𝑚2 em
todas as distribuições exceto na distribuição do índice de claridade onde o eixo do x corresponde ao
índice de claridade 𝑘𝑡.
No eixo do y temos do lado esquerdo a probabilidade de ocorrência de cada nível de
irradiância/índice de claridade e do lado direito a escala da respetiva função densidade de
probabilidade.
31
Os erros referentes às diferenças entre as distribuições de frequência (histogramas) e a respetiva
função densidade de probabilidade serão calculados mais a frente de dois modos diferentes, de modo
a podermos concluir qual a distribuição que melhor representa cada situação.
4.1 Distribuição de Weibull
A distribuição Weibull é uma das distribuições mais utilizadas em engenharia. É uma distribuição
versátil que pode assumir as características de outros tipos de distribuição, com base no valor do
parâmetro de forma (𝑘′).
Esta distribuição é utilizada para modelar a velocidade do vento, método que já foi provado ser uma
muita boa aproximação. No caso da irradiância não existe ainda uma distribuição que seja ótima para
a descrever em todas as situações. Será utilizada esta distribuição para modelar a irradiância solar e
calcular os seus erros, concluindo-se depois se se trata de uma boa distribuição para a modelar ou
não.
A função densidade de probabilidade de Weibull com dois parâmetros foi aplicada para modelar a
irradiância solar. Pode ser descrita pela sua função de densidade de probabilidade 𝑓 (𝑥) que é
apresentada a baixo:
𝑓(𝑥) =
𝑘′
𝑐(
𝑥
𝑐)
𝑘′−1
𝑒−(
𝑥𝑐
)𝑘′
(4.1)
Na expressão acima, a variável 𝑥 representa a irradiância solar, 𝑘′ corresponde ao parâmetro de
forma e 𝑐 é o parâmetro de escala. A função de distribuição cumulativa de Weibull é dada por:
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒
−(𝑥𝑐
)𝑘′
(4.2)
Os parâmetros de forma e de escala da função de Weibull podem ser estimados pelas seguintes
fórmulas:
𝑘′ = (
𝜎
�̅�)
−1,086
(4.3)
𝑐 =
�̅�
Γ(1 + 1/𝑘′)
(4.4)
onde �̅� e 𝜎 corresponde à média e ao desvio padrão receptivamente e Γ() é a função Gamma.
32
A função de Weibull é simulada através do conhecimento destes dois parâmetros, o parâmetro de
forma e o parâmetro de escala.
Na Figura 4.1 podemos observar como a distribuição de Weibull modela diferentes casos de
distribuições de frequência (histogramas).
Figura 4.1: Simulação em MATLAB, aproximação da função de Weibull aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kW/m2]
4.2 Distribuição Normal
A distribuição Normal é uma distribuição de probabilidade contínua muito utilizada. Trata-se de uma
função que nos dá a probabilidade de qualquer observação verdadeira cair entre dois limites reais ou
números reais, pois a curva aproxima-se de zero em ambos os lados. Distribuições normais são
extremamente importantes na estatística e são frequentemente utilizadas nas ciências naturais e
sociais para variáveis aleatórias com valores reais cujas distribuições não são conhecidas.
A função densidade de probabilidade de uma distribuição Normal é dada por:
ℎ(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
(4.5)
Nesta expressão o parâmetro 𝜇 representa a média ou expectativa da distribuição, o parâmetro 𝜎
é o desvio padrão sendo portanto a variância dada por 𝜎2 e a variável 𝑥 representa a irradiância solar
que será a variável de estudo. A função de distribuição cumulativa Normal é dada por:
33
𝐻(𝑥) =
1
2+
1
2𝑒𝑟𝑓 (
𝑥 − 𝜇
𝜎√2)
(4.6)
onde erf () é o erro da função que é dado por:
erf(𝑥) =
2
√𝜋∫ 𝑒−𝑡2
𝑥
0
𝑑𝑡
(4.7)
A função Normal é simulada através do conhecimento dos parâmetros da média e do desvio
padrão, relativos à irradiância.
Na Figura 4.2 podemos observar como a distribuição Normal modela diferentes casos de
distribuições de frequência (histogramas).
Figura 4.2: Simulação em MATLAB, aproximação da função Normal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kW/m2]
4.3 Distribuição Lognormal
A distribuição Lognormal é um tipo de função densidade de probabilidade usada para qualquer
variável aleatória cujo logaritmo é normalmente distribuído, podendo ser expressa pela seguinte
expressão:
𝑟(𝑥) =
1
𝑥𝛽√2𝜋𝑒
−[ln(𝑥)−𝜆]2
2𝛽2
(4.8)
34
Na expressão anterior 𝜆 representa a média e 𝛽 corresponde ao desvio padrão do logaritmo da
variável natural. A variável 𝑥 é a irradiância que pretendemos estudar. A função de distribuição
cumulativa Lognormal é dada por:
𝑅(𝑥) =
1
2+
1
2𝑒𝑟𝑓 [
ln(𝑥) − 𝜆
𝛽√2]
(4.9)
A função Lognormal é simulada através do conhecimento dos parâmetros da média e do desvio
padrão, relativos à irradiância.
Na Figura 4.3 podemos observar como a distribuição Lognormal modela diferentes casos de
distribuições de frequência (histogramas).
Figura 4.3: Simulação em MATLAB, aproximação da função Lognormal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kW/m2]
4.4 Distribuição Beta bi-modal
Segundo alguns estudos, a distribuição beta bi-modal é a distribuição mais adequada para
descrever o comportamento da irradiância solar durante um certo período, usando duas distribuições
beta regulares com um coeficiente de mistura (𝑝).
35
Para o desenvolvimento desta distribuição, é necessário um método de uma estimativa de máxima
verosimilhança com o auxílio de um software de computador. Cada distribuição beta pode ser descrita
através da seguinte equação:
𝑓𝑏(𝑥) = {
Γ(𝛼 + 𝛽𝑐)
Γ(𝛼)Γ(𝛽𝑐). 𝑥𝛼−1. (1 − 𝑥)𝛽𝑐−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝛼 ≥ 0, 𝛽𝑐 ≥ 0
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
(4.10)
onde Γ(𝛼 + 𝛽𝑐) é o valor da função Gamma (Anexo A) para os valores obtidos de 𝛼 e 𝛽𝑐, aplicando-se
o mesmo a Γ(𝛼) e Γ(𝛽𝑐). Estes dois parâmetros 𝛼 e 𝛽𝑐, chamados parâmetros de forma, definem a
distribuição beta e podem ser calculados através da média (𝜇) e desvio padrão (𝜎). Alterando estes
parâmetros de forma, é possível produzir uma ampla gama de diferentes distribuições. O cálculo desses
dois parâmetros é feito através das seguintes equações:
𝛽𝑐 = (1 − 𝜇) (
𝜇(1 + 𝜇)
𝜎2− 1)
(4.11)
𝛼 =
𝜇 𝛽𝑐
1 − 𝜇
(4.12)
A variável aleatória 𝑥 (que neste caso corresponde à irradiância solar 𝐺) pode variar apenas entre
os valores 0 e 1, dado que a função densidade de probabilidade é contínua, ela irá atingir valores
superiores a 1, logo neste caso não representa a probabilidade de um determinado valor. Para se saber
qual a probabilidade de qualquer nível de irradiância é feito o integral da 𝑝𝑑𝑓 nesse intervalo.
Esse fato constitui uma pequena dificuldade pois não podemos dizer através da análise rápida do
gráfico qual a probabilidade de determinado valor. Mas através do cálculo de um integral podemos
conhecer rapidamente o seu valor. A distribuição beta bi-modal foi simulada através da implementação
das funções referentes a esta distribuição, através do conhecimento dos seus parâmetros de forma.
Da Figura 4.4 podemos verificar que as duas distribuições devem ser entrelaçadas, dando assim
origem a um coeficiente de mistura (𝑝). Para obter os parâmetros de forma, é necessário modelá-los
através do método de máxima verosimilhança que foi referido.
36
Figura 4.4: Exemplo de uma distribuição Beta Bi-modal
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4855 0,2992 0,7970 0,2386 0,3690
Para cada distribuição beta, são necessários dois parâmetros essenciais para o processo de
modulação: a média e o desvio padrão. Isto significa que serão necessários cinco parâmetros, duas
médias, dois desvios padrão e um coeficiente de mistura. A forma de uma distribuição bi-modal regular
possui duas modas (Figura 4.4), o que significa que a primeira moda será aproximadamente a média
da primeira distribuição beta e a segunda será aproximadamente a média da segunda distribuição beta.
Quanto ao desvio padrão, este tem a sua própria fórmula para distribuições com mistura. Segundo [11]
pode ser calculado através da seguinte equação:
𝜎 = √(𝑉𝑎𝑟(𝐺) − 0,25𝑑𝑖𝑓𝑓([𝜇1 𝜇2])2)
(4.13)
onde 𝑑𝑖𝑓𝑓 retorna a diferença entre valores sucessivos na forma de um vector, 𝑉𝑎𝑟(𝐺) é a variância de
um vector de irradiância e 𝜇1 e 𝜇2 são as médias da primeira e da segunda distribuições beta
respetivamente. Uma vez que neste caso existem apenas duas modas, 𝑑𝑖𝑓𝑓 é o mesmo que a
diferença entre as médias das duas distribuições beta individuais. Quanto ao fator de mistura, este é
sempre definido como 0,5, sendo depois ajustado de acordo com os dados fornecidos.
Os valores obtidos para as 8760 horas de um ano, em Lisboa, permitiram um ajuste das curvas de
irradiância. Com o objetivo de se ajustar os dados obtidos, com a distribuição beta bi-modal,
organizaram-se os dados. Foram agrupados em meses, estações do ano e ano em estudo, para os
37
quais os cinco parâmetros acima descritos foram calculados. Isso deu origem a uma distribuição beta
bi-modal para cada mês, estação do ano e ano completo em estudo, o que significa que há 17
distribuições diferentes. É claro que neste procedimento, alguns pressupostos tiveram de ser feitos.
Por exemplo, irradiâncias solares inferiores um valor mínimo (𝐺 < 26 𝑊/𝑚2) não foram consideradas
para os cálculos, caso contrario existiria uma elevada concentração de dados no nível de irradiância
zero, dado que durante a noite não existe Sol.
(a) (b)
Figura 4.5: Distribuição beta bi-modal para (a) mês de Agosto e (b) mês de Dezembro
Parâmetros de entrada (Agosto):
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4806 0,2679 0,7600 0,2239 0,3101
Parâmetros de entrada (Dezembro):
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4125 0,1490 0,3805 0,1067 0,3081
Como se pode verificar na Figura 4.5 (a), a distribuição assemelha-se claramente a uma distribuição
beta bi-modal, enquanto na Figura 4.5 (b) a distribuição parece ser uma única distribuição beta. No
primeiro caso, referente a um mês do Verão, existe uma maior variação dos níveis de irradiância ao
longo do dia. No segundo caso que é referente a um mês do Inverno, o resultado é bastante expectável.
Durante o mês de Dezembro a radiação solar apresenta em geral valores baixos.
Os dados do mês de Dezembro apresentam grandes desvios, o que significa que as duas
distribuições beta, aparentemente diferentes que devem compor a distribuição beta bi-modal para
determinado mês, vão ser muito próxima uma da outra para criar um abismo como se verifica na Figura
4.5 (a).
38
Este é um modelo simples que é viável para aplicações de longo prazo. A maior desvantagem nas
simulações foi o facto de os dados serem limitados a um ano de leituras.
4.5 Distribuição do Índice de Claridade (Clearness Index)
Durante um dia médio, a quantidade de irradiância que atinge a superfície dum módulo fotovoltaico
depende da latitude e altitude do local, bem como das condições climáticas, tais como a temperatura e
a nebulosidade. A nebulosidade tem um grande impacto quando se trata de medir a diferença entre a
irradiância fora da atmosfera da Terra e no seu solo. Isso introduz o conceito do índice de claridade.
Há várias maneiras de considerar o efeito da nebulosidade, mas a principal variável é o índice de
claridade. O índice de claridade (𝑘𝑡) é o quociente entre a irradiância num plano horizontal (𝐺𝑡 [𝑘𝑊/𝑚2])
e a irradiância total extraterrestre (𝐺0 [𝑘𝑊/𝑚2]) num determinado dia, durante uma certa hora.
Utiliza-se então o modelo proposto por Hollands e Huget [12] para modelar o índice de claridade
para os diferentes meses do ano. Para isso será necessário primeiro criar um modelo da função
densidade de probabilidade. A função densidade de probabilidade é mostrada em baixo e pode ser
usada para modelar o comportamento do índice de claridade.
𝑃(𝑘𝑡) = 𝐶
(𝑘𝑡𝑢 − 𝑘𝑡)
𝑘𝑡𝑢𝑒𝜆 𝑘𝑡
(4.14)
onde 𝐶 e 𝜆 podem ser calculados usando o valor máximo do índice de claridade (𝑘𝑡𝑢) e a média do
índice de claridade (𝑘𝑡𝑚):
𝐶 =
𝜆2 𝑘𝑡𝑢
(𝑒𝜆𝑘𝑡𝑢 − 1 − 𝜆𝑘𝑡𝑢 )
(4.15)
𝜆 =
(2𝛾 − 17,519𝑒−1,3118𝛾 − 1062𝑒−5,0426𝛾)
𝑘𝑡𝑢
(4.16)
𝛾 =
𝑘𝑡𝑢
𝑘𝑡𝑢 − 𝑘𝑡𝑚
(4.17)
39
Os valores máximo e médio do índice de claridade foram retirados após o calculo do valor de 𝑘𝑡.
Foi primeiro calculado o valor de 𝐺0, podendo de seguida calcular-se o valor de 𝑘𝑡 através da seguinte
expressão:
𝑘𝑡 =
𝐺𝑡
𝐺0
(4.18)
A variável 𝐺𝑡 corresponde aos valores dados de irradiância, enquanto 𝐺0 tem um valor que é
variável de hora para hora que pode ser calculado através da expressão:
𝐺0 = 1367 (1 + 0,033 cos (
2𝜋𝑛
365)) (cos(𝜙) cos(𝛿) cos(𝜔) + 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑠𝑖𝑛(𝛿))
[𝑊/𝑚2]
(4.19)
O valor 1367 corresponde à constante solar (𝐺𝑠𝑐) que representa a intensidade da radiação solar a
uma distância de 1 UA (unidade astronómica), distância média entre a Terra e o Sol.
As variáveis da equação correspondem a ângulos do posicionamento solar e já foram referidas na
secção anterior, são calculadas através das expressões:
𝛿 = 23,45 𝑠𝑖𝑛 (
2𝜋(284 + 𝑛)
365) [°]
(4.20)
𝜔 = 15(𝑡𝑠 − 12) [°]
(4.21)
𝜙 = 38,7 °
(4.22)
onde 𝜙 é o latitude do local em estudo (neste caso a latitude referida é para a região de Lisboa, mais
concretamente o IST), 𝛿 é o angulo de declinação, que representa a posição angular do Sol ao meio
dia no que diz respeito ao plano equatorial, 𝑛 é o dia do ano (de 1 de Janeiro com 𝑛 = 1 a 31 de
Dezembro com 𝑛 = 365), 𝑡𝑠 é o tempo solar que já foi explicado e demonstrado o seu cálculo na secção
anterior e 𝜔 é o ângulo horário.
Relativamente às variáveis 𝑘𝑡𝑚 e 𝑘𝑡𝑢 estas variam o seu valor de mês para mês, sendo 𝑘𝑡𝑚 a média
dos valores do índice de claridade desse mês e 𝑘𝑡𝑢 o valor máximo que se registou nesse mês.
Segundo este modelo (Hollands e Huget), o valor máximo teórico possível do índice de claridade é de
0,864, sendo que sempre que se obteve valores superiores, estes foram limitados a este mesmo valor.
40
Outra situação considerada foi o facto de não se terem tido em conta valores do índice de claridade
muito baixos (𝑘𝑡 < 0,025 não foram considerados), que representam as horas em que não há Sol, pois
se fossem considerados esses valores iriamos obter uma elevada concentração de resultados no índice
zero. Foram então apenas tidos em conta valores de índice de claridade (𝑘𝑡) iguais ou superiores a
0,025.
A Figura 4.6 mostra os valores da irradiância total extraterrestre (𝐺0) para as 8760 horas do ano
em estudo. Como se pode verificar pela figura as horas correspondentes aos meses de Verão
apresentam valores de irradiância mais elevados em comparação com os outros meses.
Figura 4.6: Irradiância Total Extraterrestre em W/m2 para o ano em estudo (G0)
Na Figura 4.7 é representado como exemplo uma aproximação através da distribuição do índice
de claridade para um determinado mês, onde o eixo do x corresponde ao índice de claridade (𝑘𝑡).
41
Figura 4.7: Distribuição do índice de claridade para o mês de Julho
Parâmetros de entrada:
𝑘𝑡𝑚 𝑘𝑡𝑢
0,6170 0,8640
A função que se apresenta a seguir é uma outra forma de se escrever a equação 4.14 referente ao
índice de claridade:
𝑃(𝑘𝑡) = 𝐶 [𝑒𝜆𝑘𝑡 −
1
𝑘𝑡𝑢 𝑘𝑡𝑒𝜆𝑘𝑡]
(4.23)
A função de distribuição acumulada ( 𝑓𝑑𝑎 ) pode ser obtida através da integração da função
densidade de probabilidade (𝑓𝑑𝑝) e vem dada por:
𝑓𝑑𝑎(𝑘𝑡) = ∫ 𝑃(𝑘𝑡). 𝑑𝑘𝑡 + 𝑐
(4.24)
𝑓𝑑𝑎(𝑘𝑡) =
𝐶
𝜆[(
𝜆𝑘𝑡𝑢 + 1 − 𝜆𝑘𝑡
𝜆𝑘𝑡𝑢) 𝑒𝜆𝑘𝑡] + 𝑐
(4.25)
A constante 𝑐 faz parte da integração e pode ser calculada através da condição do limite como se
faz a seguir.
𝑓𝑑𝑎(𝑘𝑢) = 1
(4.26)
42
1 =
𝐶
𝜆[(
𝜆𝑘𝑡𝑢 + 1 − 𝜆𝑘𝑡
𝜆𝑘𝑡𝑢) 𝑒𝜆𝑘𝑡] + 𝑐 ⟺ 𝑐 = −
𝐶
𝜆(1 +
1
𝜆𝑘𝑡𝑢)
(4.27)
Na Tabela 4.1 apresenta-se uma comparação entre as duas principais distribuições usadas para
modelar a irradiância solar.
Tabela 4.1: Principais diferenças entre as distribuições Beta bi-modal e Índice de Claridade [11]
Modelo Aplicação
Beta Bi-modal Modelo de cálculo simples que se mostra ser viável para uso em aplicações a longo prazo. Contudo a sua precisão é questionável
Índice de Claridade Modelo com método de cálculo mais complicado mas que em geral produz resultados mais precisos. É adequado para aplicações a curto prazo e a longo prazo
43
5. Qualidade da Aproximação
Para comparar as diferentes funções densidade de probabilidade e ver qual delas se adapta melhor
aos dados de observação, utilizaram-se dois tipos de critérios diferentes para o cálculo dos erros. Os
erros foram calculados comparando os valores dos dados de observação (histogramas) com os valores
integrados da função densidade de probabilidade no intervalo em estudo. Foram utilizados dois
métodos para o cálculo dos erros sendo eles o mean absolute error (MAE) e o root mean square error
(RMSE).
5.1 Mean Absolute Error (MAE)
Na estatística o mean absolute error (MAE) corresponde a uma quantidade usada para medir a
diferença dos valores das previsões aos resultados reais (histogramas). Consiste na média da amostra
de verificação dos valores absolutos das diferenças entre a previsão e a observação correspondente.
O MAE é uma contagem linear, o que significa que todas as diferenças individuais são ponderadas
igualmente na média. O mean absolute error é dado por:
𝑀𝐴𝐸 =
1
𝑛∑|𝑓𝑖 − 𝑦𝑖|
𝑛
𝑖=1
=1
𝑛∑|𝑒𝑖|
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑖 = |𝑓𝑖 − 𝑦𝑖|
(5.1)
em que 𝑛 é o número de dados, 𝑓𝑖 é a previsão (função) e 𝑦𝑖 corresponde aos valores reais
(histograma).
5.2 Root Mean Square Error (RMSE)
O root mean square error (RMSE) é uma regra quadrática que mede a magnitude média do erro.
Expressando a fórmula em palavras, ela corresponde ao somatório da diferença entre as previsões e
os correspondentes valores observados, elevados ao quadrado e depois feita a média da amostra. É
depois no final feita a raiz quadrada média. Uma vez que os erros são elevados ao quadrado antes de
44
se efetuar a sua média, o RMSE dá um peso relativamente elevado para grandes erros. Isto significa
que o RMSE é mais útil quando grandes erros são particularmente indesejáveis. A expressão para o
seu cálculo é apresentada em baixo:
𝑅𝑀𝑆𝐸 = [1
𝑛 ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖𝑐)2
𝑛
𝑖=1
]
12
(5.2)
onde 𝑛 é o numero de dados, 𝑦𝑖 são os valores observados (histograma) e 𝑦𝑖𝑐 são os valores da
previsão (função).
O mean absolute error (MAE) e o root mean square error (RMSE) podem ser utilizados em conjunto
para diagnosticar a variação dos erros num conjunto de previsões. O RMSE será sempre maior ou igual
ao MAE. Quanto maior for a diferença entre eles, maior será a variância nos erros individuais da
amostra. Se o RMSE = MAE então todos os erros são da mesma ordem de grandeza.
Tanto o MAE como o RMSE podem variar entre 0 e ∞ . Correspondem a valores orientados
negativamente, ou seja, os valores mais baixos são melhores (quanto menor for o erro melhor é a
aproximação).
5.3 Método de Integração Trapezoidal
Para o cálculo do valor da probabilidade da função de um determinado valor de irradiância
(probabilidade entre 0 e 1) faz-se o integral da função densidade de probabilidade (𝑓𝑑𝑝) nesse mesmo
intervalo para o qual pretendemos obter o valor da probabilidade. De seguida compara-se esse valor
da probabilidade com a dos dados observados (histograma). O método utilizado para o cálculo desse
integral foi o método de integração trapezoidal. A sua fórmula é apresentada em baixo:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
2
𝑏
𝑎
(5.3)
Na fórmula anterior os valores 𝑎 e 𝑏 correspondem a dois pontos consecutivos e os seus respetivos
valores em y são dados por 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏).
45
6. Simulação e Resultados
Nesta secção serão consideradas as cinco funções densidade de probabilidade que foram
apresentadas na secção anterior. Será feita a simulação da aproximação aos histogramas dos dados
experimentais usando as cinco 𝑓𝑑𝑝, para cada mês, estação do ano e ano completo em estudo, com o
objetivo de verificar qual a melhor distribuição para cada situação. A comparação da função aos dados
observados (histogramas) será feita através do cálculo dos erros que foram referidos na secção
anterior.
Nas figuras que se seguem, os dados observados, que correspondem aos histogramas, são em
todas as distribuições exceto na distribuição do índice de claridade, representados em x pela irradiância
correspondente (𝑘𝑊/𝑚2). A escala y representa a respetiva probabilidade de ocorrência, valores entre
zero e um, sendo a soma da probabilidade de todos os histogramas igual a um.
No caso da distribuição do índice de claridade, esta apresenta histogramas diferentes das outras
distribuições, pois o eixo do x corresponde ao índice de claridade 𝑘𝑡, sendo o eixo do y a probabilidade
de ocorrência de cada valor.
No caso das 𝑓𝑑𝑝 estas podem assumir valores superiores a um, como já foi referido. O cálculo do
valor da probabilidade num determinado intervalo, é feito através do integral da função nesse mesmo
intervalo. Para esta integração foi utilizada a regra de integração trapezoidal com incrementos de 10−3.
Para os dados observados, foram considerados 21 pontos em x (21 barras) de zero a um, com
incrementos de 0,05. Foram calculados os valores da probabilidade para esses mesmos pontos,
fazendo-se de seguida o cálculo dos erros. Os pontos correspondentes à probabilidade calculada
usando a 𝑓𝑑𝑝 são apresentados nos gráficos a vermelho.
Será representado para cada situação (mês, estação do ano, ano completo) o gráfico da
distribuição que apresenta melhor resultados, ou seja, um menor erro usando os critérios MAE e RMSE.
46
6.1 Estudo relativo aos meses
O resultado dos erros para os doze meses do ano tanto para o MAE como para o RMSE é
apresentado na Tabela 6.1. Nesta tabela podemos também ver a variação percentual de cada erro
relativamente à melhor distribuição e qual a melhor para cada mês (assinalada a amarelo).
Tabela 6.1: Valores dos erros para todos os meses do ano
Weibull Normal Lognormal Beta bi-modal Índice de Claridade
Janeiro MAE 0,0127 0,0145 0,0162 0,0095 0,0136
var % 33,7 52,6 70,5 0,0 43,2
RMSE 0,0243 0,0326 0,0279 0,0168 0,0192 var % 44,6 94,0 66,1 0,0 14,3
Fevereiro MAE 0,0125 0,0155 0,0181 0,0092 0,0086
var % 45,3 80,2 110,5 7,0 0,0
RMSE 0,0213 0,0284 0,0261 0,0143 0,0115
var % 85,2 147,0 127,0 24,3 0,0
Março MAE 0,0172 0,0154 0,022 0,0123 0,0107
var % 60,7 43,9 105,6 15,0 0,0
RMSE 0,0245 0,0229 0,0326 0,0188 0,0152
var % 61,2 50,7 114,5 23,7 0,0
Abril MAE 0,016 0,0176 0,0201 0,009 0,0163
var % 77,8 95,6 123,3 0,0 81,1
RMSE 0,0209 0,0233 0,0262 0,0124 0,029
var % 68,5 87,9 111,3 0,0 133,9
Maio MAE 0,0213 0,0196 0,0263 0,0152 0,0168
var % 40,1 28,9 73,0 0,0 10,5
RMSE 0,027 0,0277 0,0322 0,0192 0,0319
var % 40,6 44,3 67,7 0,0 66,1
Junho MAE 0,0238 0,0248 0,0251 0,0175 0,0203
var % 36,0 41,7 43,4 0,0 16,0
RMSE 0,0295 0,0302 0,0333 0,0212 0,0371
var % 39,2 42,5 57,1 0,0 75,0
Julho MAE 0,026 0,0258 0,0295 0,0206 0,0215
var % 26,2 25,2 43,2 0,0 4,4
RMSE 0,0342 0,0339 0,0383 0,0262 0,0383
var % 30,5 29,4 46,2 0,0 46,2
Agosto MAE 0,0261 0,0222 0,0302 0,018 0,0183
var % 45,0 23,3 67,8 0,0 1,7
RMSE 0,0314 0,0303 0,0369 0,0227 0,0389
var % 38,3 33,5 62,6 0,0 71,4
47
Setembro MAE 0,0175 0,0161 0,0237 0,0073 0,0187
var % 139,7 120,5 224,7 0,0 156,2
RMSE 0,0216 0,0213 0,0282 0,0103 0,042
var % 109,7 106,8 173,8 0,0 307,8
Outubro MAE 0,0118 0,0132 0,0178 0,0095 0,0191
var % 24,2 38,9 87,4 0,0 101,1
RMSE 0,0173 0,0194 0,0244 0,0129 0,0365
var % 34,1 50,4 89,1 0,0 182,9
Novembro MAE 0,0137 0,0182 0,0156 0,013 0,014
var % 5,4 40,0 20,0 0,0 7,7
RMSE 0,0215 0,0321 0,0247 0,0197 0,0196
var % 9,7 63,8 26,0 0,5 0,0
Dezembro MAE 0,0097 0,0213 0,0121 0,0099 0,0157
var % 0,0 119,6 24,7 2,1 61,9
RMSE 0,0159 0,034 0,0168 0,0174 0,0259
var % 0,0 113,8 5,7 9,4 62,9
Como podemos verificar pela tabela, a distribuição beta bi-modal foi a que apresentou melhores
resultados para a maioria dos meses, à exceção de três meses do ano. Nesses meses em que não foi
a melhor, apresentou uma variação percentual do erro relativamente baixa.
A distribuição do índice de claridade foi a melhor para os meses de Fevereiro e Março e a de
Weibull mostrou ser a melhor aproximação para o mês de Dezembro. Para os restantes meses a
distribuição que apresentou melhores resultados foi a beta bi-modal.
O mês de Novembro foi o único para o qual obtemos duas distribuições distintas, que obtiveram
menores erros através dos cálculos do MAE e do RMSE. Relativamente ao MAE a distribuição que
apresentou melhores resultados, ou seja menor erro, foi a beta bi-modal com um valor de 0,013. No
cálculo do erro através do RMSE a distribuição que apresentou menor erro foi a do índice de claridade
apresentando um valor de erro igual a 0,0196.
A título de exemplo apresenta-se a seguir um gráfico com a melhor aproximação para um mês de
Verão e outro para um mês de Inverno. Os meses apresentados são o Julho e o Dezembro. Será
apresentada na figura o histograma dos níveis de irradiância, a função densidade de probabilidade que
corresponde à melhor aproximação para esse mês e os pontos da probabilidade relativos a cada barra
do histograma. Os gráficos para os restantes meses são apresentados no Anexo B.
48
Julho
No mês de Julho a distribuição que apresentou melhores resultados foi a beta bi-modal.
Relativamente aos erros apresentou o valor de 0,0206 e 0,0262 para o MAE e RMSE respetivamente,
sendo estes os mais baixos em comparação com as outras distribuições. Apresenta-se na Figura 6.1 o
gráfico com a distribuição beta bi-modal para o mês de Julho.
Figura 6.1: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Julho
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4855 0,2992 0,7970 0,2386 0,3690
Dezembro
No mês de Dezembro a distribuição que apresentou melhores resultados foi a de Weibull.
Relativamente aos erros apresentou o valor de 0,0097 e 0,0159 para o MAE e RMSE respetivamente,
sendo estes os mais baixos em comparação com as outras distribuições. Apresenta-se na Figura 6.2 o
gráfico com a distribuição de Weibull para o mês de Dezembro.
49
Figura 6.2: Distribuição Beta Weibull para o mês de Dezembro
Parâmetros de entrada:
𝑘 𝑐
0,2972 1,3219
6.2 Estudo relativo às estações do ano
Nesta secção será apresentada a distribuição que melhor representa cada estação do ano, de
acordo com os erros calculados de forma análoga à secção anterior.
Em relação às estações do ano considerou-se o seguinte:
Primavera: Abril, Maio, Junho;
Verão: Julho, Agosto, Setembro;
Outono: Outubro, Novembro, Dezembro;
Inverno: Janeiro; Fevereiro, Março.
O resultado dos erros para as estações do ano tanto para o MAE como para o RMSE é apresentado
na Tabela 6.2. Nesta tabela podemos também ver a variação percentual de cada erro relativamente à
melhor distribuição e qual a melhor para cada estação do ano (assinalada a amarelo).
50
Tabela 6.2: Valores dos erros para as estações do ano
Weibull Normal Lognormal Beta bi-modal Índice de Claridade
Primavera MAE 0,0161 0,0158 0,0215 0,0098 0,0142
var % 64,3 61,2 119,4 0,0 44,9
RMSE 0,0204 0,0217 0,0263 0,0122 0,0311
var % 67,2 77,9 115,6 0,0 154,9
Verão MAE 0,0171 0,016 0,0223 0,0068 0,0179
var % 151,5 135,3 227,9 0,0 163,2
RMSE 0,021 0,0208 0,0272 0,0087 0,0374
var % 141,4 139,1 212,6 0,0 329,9
Outono MAE 0,0085 0,015 0,0142 0,0074 0,0099
var % 14,9 102,7 91,9 0,0 33,8
RMSE 0,0142 0,0249 0,0193 0,0115 0,0197
var % 23,5 116,5 67,8 0,0 71,3
Inverno MAE 0,0098 0,0125 0,0165 0,0068 0,0085
var % 44,1 83,8 142,6 0,0 25,0
RMSE 0,0158 0,0226 0,0226 0,0115 0,0162
var % 37,4 96,5 96,5 0,0 40,9
Como podemos verificar pela tabela, a distribuição beta bi-modal foi a que apresentou melhores
resultados para todas as estações do ano. Para a Primavera e Verão as outras distribuições obtiveram
uma variação percentual relativamente alta. No caso do Outono e Inverno a variação percentual das
outras distribuições foi mais baixa, ou seja, apresentaram erros mais próximos da distribuição beta bi-
modal.
Apresentam-se a seguir os gráficos com a distribuição beta bi-modal para cada estação do ano.
Primavera
A distribuição que apresentou melhores resultados para a Primavera foi a beta bi-modal. Apresenta-
se na Figura 6.3 o gráfico com a distribuição beta bi-modal para a Primavera.
51
Figura 6.3: Distribuição Beta bi-modal para a Primavera
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4917 0,2390 0,7075 0,2005 0,4189
Verão
A distribuição que apresentou melhores resultados para o Verão foi a beta bi-modal. Apresenta-se
na Figura 6.4 o gráfico com a distribuição beta bi-modal para o Verão.
Figura 6.4: Distribuição Beta bi-modal para o Verão
52
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,5718 0,3129 0,7405 0,2696 0,3821
Outono
A distribuição que apresentou melhores resultados para o Outono foi a beta bi-modal. Apresenta-
se na Figura 6.5 o gráfico com a distribuição beta bi-modal para o Outono.
Figura 6.5: Distribuição Beta bi-modal para o Outono
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4821 0,1662 0,4570 0,1285 0,3248
Inverno
A distribuição que apresentou melhores resultados para o Inverno foi a beta bi-modal. Apresenta-
se na Figura 6.6 o gráfico com a distribuição beta bi-modal para o Inverno.
53
Figura 6.6: Distribuição Beta bi-modal para o Inverno
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,4689 0,1746 0,4710 0,1418 0,3126
6.3 Estudo do ano completo
O resultado dos erros para o ano completo em estudo, tanto para o MAE como para o RMSE é
apresentado na Tabela 6.3. Nesta tabela podemos também ver a variação percentual de cada erro
relativamente à melhor distribuição e qual a melhor para o ano completo (assinalada a amarelo).
Tabela 6.3: Valores dos erros para o ano completo
Weibull Normal Lognormal Beta bi-modal Índice de Claridade
Ano Completo MAE 0,0109 0,0155 0,0166 0,0066 0,0107
var % 65,2 134,8 151,5 0,0 62,1
RMSE 0,0147 0,0224 0,0202 0,0102 0,0232
var % 44,1 119,6 98,0 0,0 127,5
Como podemos verificar pela tabela, a distribuição beta bi-modal foi a que apresentou melhores
resultados para o ano completo em estudo.
54
Relativamente aos erros apresentou o valor de 0,0066 e 0,0102 para o MAE e RMSE
respetivamente, sendo estes os mais baixos em comparação com as outras distribuições. Apresenta-
se na Figura 6.7 o gráfico com a distribuição beta bi-modal para o ano completo.
Figura 6.7: Distribuição Beta Bi-modal para o ano completo
Parâmetros de entrada:
𝑝 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2
0,5592 0,2333 0,5940 0,1959 0,4222
55
7. Conclusões
O objetivo deste trabalho foi estudar e aplicar diferentes funções densidade de probabilidade na
descrição da variável aleatória, irradiância solar. Os dados experimentais de base que serviram para
efetuar as comparações correspondem a valores médios horários da irradiância solar, obtidos durante
um ano. Foram estudadas cinco funções densidade de probabilidade – Weibull, Normal, Lognormal,
Beta bi-modal e índice de claridade, e a qualidade da aproximação, aferida através do cálculo
tradicional de erros, foi testada numa base de tempo mensal, por estação do ano e para o ano completo.
No caso do estudo aplicado à base de tempo mensal, observou-se que a distribuição com menor
erro usando o critério MAE é também a mesma que apresenta menor erro usando o critério RMSE,
exceto no mês de Novembro em que se obtiveram diferentes distribuições com menor erro,
relativamente ao MAE e RMSE.
Verificou-se que a distribuição beta bi-modal foi a que apresentou melhores resultados para os
seguintes meses: Janeiro, Abril, Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro e Novembro (referente
ao MAE). Nos meses de Fevereiro, Março e Novembro (referente ao RMSE) a melhor distribuição foi a
do índice de claridade. Para o caso do mês de Dezembro a distribuição que apresentou melhores
resultados foi a de Weibull.
Para as estações do ano, a distribuição que obteve um menor MAE foi também a mesma que
apresentou um menor RMSE, sendo esta a beta bi-modal.
No caso do ano inteiro em estudo, considerando as 8760 horas, a distribuição que obteve melhores
resultados foi também a beta bi-modal.
Podemos então concluir que a distribuição beta bi-modal foi a que apresentou de forma geral
melhores resultados para as diferentes situações, não sendo a melhor apenas em três meses do ano,
mas por uma margem de erro muito baixa. Este resultado era esperado, uma vez que a literatura reporta
a distribuição beta bi-modal como sendo uma das que melhor representa a irradiância solar. Os
resultados obtidos pela distribuição do índice de claridade situaram-se aquém das expectativas, pois
foi sistematicamente batida pela distribuição beta bi-modal, o que não é inteiramente confirmado pela
literatura. No entanto, em termos gerais, verificou-se que estas duas distribuições são as que melhor
descrevem a irradiância solar.
Conclui-se com este trabalho que a melhor distribuição para descrever a irradiância solar é a beta
bi-modal.
Entre as cinco distribuições, aquelas que apresentaram maiores erros foram a Normal e a
Lognormal, sendo a Lognormal a pior aproximação para a maioria das situações consideradas.
56
Finalmente, é importante mencionar que uma maior base de valores, por exemplo considerando
dez anos consecutivos, iria permitir um estudo diferente, pois podemos estar a considerar um ano que
não tenha níveis de irradiância típicos de cada mês ou estação do ano.
57
8. Bibliografia
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Voltage Distribution Networks,” Instituto Superior Técnico, Lisboa, Tese de Mestrado 2012.
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58
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[20] Yasser Moustafa Atwa, "Distribution System Planning and Reliability Assesment under High
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[22] António M. Vallêra, Miguel Centeno Brito, “Meio Século de História Fotovoltaica”, Gazeta de
Física, 2006.
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[24] Eumetcal The European Virtual Organisation for Meteorological Training, Mean Absolute Error
(MAE) and Root Mean Squared Error (RMSE) [Online].
http://www.eumetcal.org/resources/ukmeteocal/verification/www/english/msg/ver_cont_var/uo
s3/uos3_ko1.htm
59
Anexos
A. Função Gamma
A função Gamma foi introduzida por Leonhard Euler, um matemático suíço, enquanto tentava
descobrir o fatorial de valores não-inteiros. Devido ao seu enorme valor, foi mais tarde estudada por
alguns matemáticos famosos. A sua importância vem da sua aplicação numa ampla série de áreas,
desde as séries assintóticas, teoria dos números, a integração definitiva e assim por diante. Será dada
uma breve explicação da função, tão sucinta quanto possível, uma vez que há muito sobre esta função,
mas na presente tese de mestrado é necessária apenas para as distribuições beta bi-modal e de
Weibull.
Como foi dito anteriormente, a função Gamma permite o fatorial de números complexos e reais
como argumentos. Pode estar relacionada com a expressão do fatorial regular por:
Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)! (A.1)
Onde 𝑛 pode não ser um número inteiro como na expressão do fatorial regular. Ela é analítica em
todo o seu domínio, exceto nos seus resíduos para 𝑧 = 0, −1, −2, que podem ser calculados a partir da
Eq. (A. 2). Não há pontos de 𝑧 que levem a Γ(𝑧) = 0.
𝑅𝑒𝑠|𝑧=−𝑘Γ(𝑧) =
(−1)𝑘
𝑘!
(A.2)
Pode também ser definida como um integral definido quando 𝑅[𝑧] > 0 na Eq. (A. 3) ou na Eq. (A.
4):
Γ(𝑧) = ∫ 𝑡𝑧−1𝑒−𝑡𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑒−𝑡2
𝑡2𝑧−1𝑑𝑡∞
0
∞
0
(A.3)
Γ(𝑧) = ∫ [ln (
1
𝑡)]
𝑧−1
𝑑𝑡∞
0
(A.4)
Os valores que a função Gamma pode assumir são representados na Figura A.1. Dado que o
MATLAB pode fornecer para qualquer desses valores argumentos corretos, não há necessidade de
explorar este conceito para além do que já foi explicado.
60
Figura 0.1: Função Gamma
61
B. Melhores aproximações mensais
Janeiro
Figura 0.2: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Janeiro
62
Fevereiro
Figura 0.3: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Fevereiro
Março
Figura 0.4: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Março
63
Abril
Figura 0.5: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Abril
Maio
Figura 0.6: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Maio
64
Junho
Figura 0.7: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Junho
Agosto
Figura 0.8: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Agosto
65
Setembro
Figura 0.9: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Setembro
Outubro
Figura 0.10: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Outubro
66
Novembro
Figura 0.11: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Novembro
Figura 0.12: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Novembro