avaliaÇÃo de imoveis urbanos
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AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
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“A estatística tem uma particularidade: pesquisamos para dizer algo
significativo sobre o universo que elegemos, porém a pesquisa só será
significativa se conhecermos suficientemente o universo para escolhermos
adequadamente as variáveis e as condições de amostragem.”
Instrutora: ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
End. : Rua Curuzú, 56 – Alto da Lapa Tel: 55 (11) 3831-1568/ 8109-7733 São Paulo -S.P
e-mail: [email protected]
CURRICULUM VITAE - RESUMIDO
Arquiteta, graduada pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas. Pós –
graduada em Engenharia de Avaliações e Perícias pela Universidade Santa
Cecília -UNISANTA – Santos–SP. Mestre em Engenharia Civil e Urbana pela Escola
Politécnica da USP.Profissional autônoma exercendo as mais diversas funções na
área de Avaliações e Perícias de Engenharia. Vice- presidente do IBAPE/SP-
Instituto Brasileiro de Avaliações e Perícias de Engenharia de São Paulo.
Participação como relatora na elaboração da NORMA PARA AVALIAÇÃO DE
IMÓVEIS URBANOS do IBAPE/SP.Coordenadora do estudo “VALORES DE
EDIFICAÇÕES DE IMÓVEIS URBANOS” do IBAPE/SP versão 2002.Integrante da
Comissão de Estudos da ABNT - COBRACON no processo de revisão das Normas
de Avaliações de Bens.Instrutora nos cursos de especialização versando sobre
“Inferência Estatística Aplicada à Engenharia de Avaliações de Imóveis”
ministrados para entidades e órgãos públicos e em cursos em cursos de pós -
graduação “Latu Sensu” em Engenharia de Avaliações e Perícias
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1 - Conceitos Gerais
1.1- A Natureza da Avaliação de um Bem Imóvel
Do ponto de vista geral e pela definição contida na NBR (Norma Brasileira) -14.653 -
PARTE 1: PROCEDIMENTOS GERAIS, a avaliação de um bem consiste na
“análise técnica, realizada por Engenheiro de Avaliações, para identificar o valor de
um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da
viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade,
situação e data”.
Sendo que:
3.6 bem: Coisa que tem valor, suscetível de utilização ou que pode ser objeto
de direito, que integra um patrimônio
3.6.1 bem tangível: Bem identificado materialmente (ex.: imóveis,
equipamentos, matérias-primas)
3.6.2 bem intangível: Bem não identificado materialmente (ex.: fundo de
comércio, marcas e patentes)
1.2 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas técnicas brasileiras NBR 14653-2))
1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos
• Quanto ao uso:
a) residencial;
b) comercial;
c) industrial;
d) institucional;
e) misto.
• Quanto ao tipo do imóvel, entre outros:
a) terreno (lote ou gleba);
b) apartamento;
c) casa;
d) escritório (sala ou andar corrido);
e) loja;
f) galpão;
g) vaga de garagem;
h) misto;
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i) hotéis e motéis;
j) hospitais;
k) escolas;
l) cinemas e teatros;
m) clubes recreativos;
n) prédios industriais.
• Quanto ao agrupamento dos imóveis:
a) loteamento;
b) condomínio de casas;
c) prédio de apartamentos;
d) conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos);
e) conjunto de salas comerciais;
f) prédio comercial;
g) conjunto de prédios comerciais;
h) conjunto de unidades comerciais;
i) complexo industrial.
1.2.2 - Vistoria do bem avaliando
Nenhuma avaliação poderá prescindir da vistoria. Em casos excepcionais, quando
for impossível o acesso ao bem avaliando, admite-se a adoção de uma situação
paradigma, desde que acordada entre as partes e explicitada no laudo.
A vistoria deve ser efetuada pelo engenheiro de avaliações com o objetivo de
conhecer e caracterizar o bem avaliando e sua adequação ao seu segmento de
mercado, daí resultando condições para a orientação da coleta de dados.
• É recomendável registrar as características físicas e de utilização do bem e
outros aspectos relevantes à formação do valor.
• O conhecimento de estudos, projetos ou perspectivas tecnológicas que
possam vir a afetar o valor do bem avaliando deverá ser explicitado e suas
conseqüências apreciadas.
• Caracterização da região
― Aspectos gerais: análise das condições econômicas, políticas e sociais, quando
relevantes para o mercado, inclusive usos anteriores atípicos ou estigmas.
― Aspectos físicos: condições de relevo, natureza predominante do solo e
condições
ambientais.
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― Localização: situação no contexto urbano, com indicação dos principais pólos de
influência.
― Uso e ocupação do solo: confrontar a ocupação existente com as leis de
zoneamento e uso do solo do município, para concluir sobre as tendências de
modificação a curto e médio prazo.
― Infra-estrutura urbana: sistema viário, transporte coletivo, coleta de resíduos
sólidos, água potável, energia elétrica, telefone, redes de cabeamento para
transmissão de dados, comunicação e televisão, esgotamento sanitário, águas
pluviais e gás canalizado.
― Atividades existentes: comércio, indústria e serviço.
― Equipamentos comunitários: segurança, educação, saúde, cultura e lazer.
• Caracterização do terreno
― Localização: situação na região e via pública, com indicação de limites e
confrontações.
― Utilização atual e vocação, em confronto com a legislação em vigor.
― Aspectos físicos: dimensões, forma, topografia, superfície, solo.
― Infra-estrutura urbana disponível.
― Restrições físicas e legais ao aproveitamento.
• Caracterização das edificações e benfeitorias
― Aspectos construtivos, qualitativos, quantitativos e tecnológicos, comparados com
a documentação disponível.
― Aspectos arquitetônicos, paisagísticos e funcionais, inclusive conforto ambiental.
― Adequação da edificação em relação aos usos recomendáveis para a região.
― Condições de ocupação.
• Situações especiais
- Vistoria por amostragem
Na avaliação de conjunto de unidades autônomas padronizadas, é permitida
vistoria interna por amostragem aleatória de uma quantidade definida previamente
pelas partes ou, se houver omissão no contrato, de um percentual mínimo de 10%
do total das unidades de cada bloco ou conjunto de unidades de mesma tipologia.
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- Impossibilidade de vistoria
Quando não for possível o acesso do avaliador ao interior do imóvel, o motivo deve
ser justificado no laudo de avaliação. Neste caso, em comum acordo com o
contratante, a vistoria interna pode ser prescindida e a avaliação pode prosseguir
com base nos elementos que for possível obter ou fornecidos pelo contratante, tais
como:
a) descrição interna;
b) no caso de apartamentos, escritórios e conjuntos habitacionais, a vistoria externa
de áreas comuns, a vistoria de outras unidades do mesmo edifício e informações da
respectiva administração;
c) no caso de unidades isoladas, a vistoria externa.
As considerações hipotéticas sobre o imóvel que configuram a situação paradigma,
devem estar claramente explicitadas no laudo de avaliação.
1.2.3 Coleta de dados
É recomendável que seja planejada com antecedência, tendo em vista: as
características do bem avaliando, disponibilidade de recursos, informações e
pesquisas anteriores, plantas e documentos, prazo de execução dos serviços, enfim,
tudo que possa esclarecer aspectos relevantes para a avaliação.
Aspectos Quantitativos
É recomendável buscar a maior quantidade possível de dados de mercado, com
atributos comparáveis aos do bem avaliando.
Aspectos Qualitativos
Na fase de coleta de dados é recomendável:
a) buscar dados de mercado com atributos mais semelhantes possíveis aos do
bem avaliando;
b) identificar e diversificar as fontes de informação, sendo que as informações
devem ser cruzadas, tanto quanto
possível, com objetivo de aumentar a confiabilidade dos dados de mercado;
c) identificar e descrever as características relevantes dos dados de mercado
coletados;
d) buscar dados de mercado de preferência contemporâneos com a data de
referência da avaliação.
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Planejamento da pesquisa
No planejamento de uma pesquisa, o que se pretende é a composição de uma
amostra representativa de dados de mercado de imóveis com características, tanto
quanto possível, semelhantes às do avaliando, usando-se toda a evidência
disponível. Esta etapa – que envolve estrutura e estratégia da pesquisa – deve
iniciar-se pela caracterização e delimitação do mercado em análise, com o auxílio
de teorias e conceitos existentes ou hipóteses advindas de experiências adquiridas
pelo avaliador sobre a formação do valor.
Na estrutura da pesquisa são eleitas as variáveis que, em princípio, são relevantes
para explicar a formação de valor e estabelecidas as supostas relações entre si e
com a variável dependente.
A estratégia de pesquisa refere-se à abrangência da amostragem e às técnicas a
serem utilizadas na coleta e análise dos dados, como a seleção e abordagem de
fontes de
Levantamento de dados de mercado
O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra
representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel
avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o
engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações
confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas,
contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais
características econômicas, físicas e de localização.
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2 Métodos para identificar o valor de um bem, de seus frutos e direitos
Método comparativo direto de dados de mercado
Identifica o valor de mercado do bem por meio de tratamento técnico dos
atributos dos elementos comparáveis, constituintes da amostra. Preferencialmente
utilizado na busca do valor de mercado de terrenos, casas padronizadas, lojas,
apartamentos, escritórios, armazéns, entre outros, sempre que houver dados
semelhantes ao avaliando.
Método involutivo
Identifica o valor de mercado do bem, alicerçado no seu aproveitamento eficiente,
baseado em modelo de estudo de viabilidade técnico-econômica, mediante
hipotético empreendimento compatível com as características do bem e com as
condições do mercado no qual está inserido, considerando-se cenários viáveis para
execução e comercialização do produto. Utilizado no caso de inexistência de
dados amostrais semelhantes ao avaliando.
Método evolutivo
Identifica o valor do bem pelo somatório dos valores de seus componentes. Caso a
finalidade seja a identificação do valor de mercado, deve ser considerado o fator
de comercialização. Indicado para obter o valor de mercado no caso de
inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. É o caso de residências
de alto padrão, galpões, entre outros.
Método da capitalização da renda
Identifica o valor do bem, com base na capitalização presente da sua renda líquida
prevista, considerando-se cenários viáveis. Recomendado para empreendimentos
de base imobiliária, tais como shopping-centers, hotéis.
Escolha da metodologia
A metodologia escolhida deve ser compatível com a natureza do bem avaliando, a
finalidade da avaliação e os dados de mercado disponíveis. Para a identificação
do valor de mercado, sempre que possível preferir o método comparativo direto de
dados de mercado.
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2.1 Avaliação pelo Método Comparativo de Dados de Mercado
O Método Comparativo Direto de Dados de Mercado é aquele que define o valor
através da comparação com os preços de bens similares, que foram
transacionados (vendidos, locados, etc...) recentemente, ou estão ofertados. As
particularidades dos dados pesquisados que exercem influência na formação dos
preços deverão ser ponderadas através de ajustes, ou pelo Tratamento por Fatores
(Homogeneização) ou através de Tratamento Científico (inferência Estatística).
2.1.1. A Prática da Pesquisa
Na utilização do Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a
população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. Como a
população é, normalmente, inacessível na sua totalidade, utiliza-se uma amostra,
cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional.
É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais
homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores
próximos à média aritmética.
Entretanto, para previsão do valor de mercado de um imóvel, pelo Processo
Comparativo, o pesquisador enfrenta dificuldades significativas, pelo fato de ser
muito heterogêneo, e o resultado da pesquisa imobiliária é a obtenção de amostras
heterogêneas, conseqüência do próprio fato de que o mercado brasileiro não se
faz através de imóveis padronizados, ,as sim. diferenciado em função,
principalmente, de fenômenos culturais, locacionais e socioeconômicos.
Preços unitários homogêneos (difícil na pratica), indicam que, à priori, não devem
existir atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação
poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado.
Preços unitários heterogêneos indicam a possibilidade de haver um ou mais
atributos que estão influenciando na formação dos preços deste mercado. Parte-se
então para a identificação destes atributos. No início da pesquisa, é necessário um
pré-estudo identificando inicialmente que variáveis possam influenciar os preços,
mas, em muitos casos, a identificação de certos atributos só será possível durante
contatos com os agentes do mercado.
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A aplicação adequada do método comparativo está fundamentada na
metodologia da pesquisa científica, que se desenvolve através das seguintes fases:
1 - Preparação da pesquisa:
2 - Trabalho de campo;
3 - Processamento e análise dos dados:
4 - Interpretação e explicação dos resultados;
5 - Redação do laudo avaliatório.
Portanto, a pesquisa abrange todo o processo avaliatório. Neste curso apresentam-
se alguns conceitos básicos sobre as duas primeiras fases. As demais são objetos de
outros cursos.
2.1.2 - Preparação da pesquisa
Esta fase está vinculada diretamente ao planejamento da pesquisa. Nela se faz a
escolha, definição e delimitação do problema em análise. Observa-se as teorias e
abordagens a serem empregadas e os conceitos e hipóteses que devem ser
levados em consideração.
No planejamento da pesquisa imobiliária, o que se pretende é a composição de
uma amostragem aleatória de valores de imóveis com características, tanto quanto
possível, semelhantes às do avaliando.
Cada dado coletado deve reunir condições de tal forma que possa ser
considerado um evento representativo do mercado imobiliário na região de
pesquisa.
Em geral o avaliador conhece a priori as principais características influenciantes
sobre o valor de um bem e em conseqüência a formulação das hipóteses de
trabalho.
Devido ao grande número de variáveis independentes (atributos dos imóveis) que
teriam lugar num modelo explicativo do valor de um imóvel e a quantidade
reduzida de dados que se trabalha na prática, tenta-se na fase de planejamento
da pesquisa, na medida do possível eliminar a presença de algumas destas
variáveis. Por exemplo, na pesquisa de valores para avaliação de um lote urbano,
geralmente limita-se a área de pesquisa à mesma região geo-econômica e ao
mesmo zoneamento do terreno avaliando, evitando-se assim a presença de duas
covariáveis no modelo.
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2.1.3 - Trabalho de campo - Levantamento de dados de mercado
O trabalho de campo é uma das mais importantes fases do processo avaliatório.
Nesta etapa, o engenheiro de avaliações investiga o mercado imobiliário e coleta
dados e informações que servirão de base para a avaliação.
O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra
representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel
avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o
engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações
confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas,
contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais
características econômicas, físicas e de localização.
O levantamento dos elementos pode ser feito, utilizando-se principalmente:
• no próprio local, com identificação de placas;
• banco de dados existentes;
• sites de internet;
• empresas Imobiliárias;
• corretores especializados;
• anúncios de Jornais;
• cartórios de Registro Geral de Imóveis;
Todas estas fontes devem ser vistas com sua devida cautela. Um cuidado particular
deve ser observado quando se tomar como referencia dados de cartórios, pois nem
sempre o valor constante numa escritura de compra e venda é o efetivamente
negociado. Assim. torna-se necessário verificar junto a um dos participantes da
operação, o valor real da transação e confrontar suas informações com outras. Na
entrevista com corretores de imóveis ou ofertantes, é de grande importância que o
pesquisador se apresente como pessoa realmente interessada em adquirir o bem
ofertado, sob pena de receber informações distorcidas ou até mesmo não receber
informação alguma. Neste caso o avaliador pode apresentar contra-propostas,
visando retirar a super-estimativa que normalmente acompanha o valor de oferta
inicial. Informações de sites de internet, atualmente são importantes indicadores
quanto à exposição de imóveis no mercado e podem auxiliar nas investigações. É
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um mercado que está crescendo com tendência a serem os grandes formadores
de bancos de dados.
É importante a visita aos elementos tomados como referência, como forma de
verificar todas as informações de interesse. Na própria visita ao campo, muitas vezes
consegue-se referências importantes com moradores da própria região, ou pela
verificação de placas indicativas da manifestação de comercializar o bem.
É importante, também, que os dados coletados sejam de forma diversas, buscando
o lado mais qualitativo do que quantitativo na composição da amostra, como
forma das informações serem cruzadas, o que aumentará a confiabilidade dos
dados levantados.
Os dados de oferta são indicações importantes do valor de mercado. Entretanto,
devem-se considerar superestimativas que em geral acompanham esses preços e,
sempre que possível, quantificá-las pelo confronto com dados de transações.
Na amostragem deve-se analisar o uso de informações que impliquem opiniões
subjetivas do informante e recomenda-se:
a) visitar cada imóvel tomado como referência, com o intuito de verificar, tanto
quanto possível, todas as informações de interesse;
b) atentar para os aspectos qualitativos e quantitativos;
c) confrontar as informações das partes envolvidas, de forma a conferir maior
confiabilidade aos dados coletados.
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2.2 - O Método Comparativo e a Avaliação de Imóveis
Um Método de Avaliação deverá basear-se em um diagnóstico de mercado com a
identificação de atributos influenciantes que podem ser expressos de forma
quantitativa ou qualitativa.
As características do bem em avaliação e do próprio mercado onde está inserido,
a forma com que é transacionado e o tipo e volume de informação disponível,
determinam a aplicabilidade de cada um dos métodos para se estimar o valor de
mercado.
Quando baseados em informações de um mercado aberto, destaca-se o método
comparativo, o qual pode ser considerado como método eletivo quando houver
número suficiente de elementos para compor uma amostra representativa.
O critério de Aproximação de Mercado (Marketing Approach) foi no passado, a
principal ferramenta de avaliação de imóveis e contemplava o principio de que:
"Imóveis similares se venderão a preços similares"
Para a sua aplicação bastava obter no mercado elementos comparáveis ou
similares ao imóvel objeto de avaliação e não haviam problemas com este método
- que era de fácil compreensão e perfeitamente válido - devido as condições de
mercado e as ferramentas de cálculos existentes na época.
Entretanto, com o passar dos anos e a evidente escassez de dados comparáveis, foi
se tornando cada vez mais difícil obter uma amostra representativa de imóveis
similares, quando, então, se passou a recorrer a um processo de “corrigir” ou
homogeneizar os dados referenciais mediante expressões lógicas- matemáticas,
geralmente empíricas, a fim de “ajustá-los” e torná-los semelhantes ao avaliando.
As cidades cresceram e se diversificaram e com isto, veio a necessidade de
empregar simultaneamente “vários fatores de correção” a uma serie de
referenciais, os quais, por serem empíricos e subjetivos, passaram a afetar a
exatidão dos cálculos do valor do imóvel.
Com a acessibilidade aos computadores pessoais durante a segunda metade da
década de oitenta e o advento de pacotes estatísticos, em particular aqueles de
Regressão Linear que empregam o método dos Mínimos Quadrados, tornou-se
possível utilizar essa técnica uma inovadora ferramenta para o cálculo do valor de
bens.
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As técnicas de regressão múltipla surgiram como um aperfeiçoamento do método
comparativo, já que os próprios referenciais se "auto-corrigem" entre si e constituem
um modelo, sem necessidade de utilizar critérios subjetivos por parte do Engenheiro
de Avaliações.
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2.3–Procedimentos Metodológicos em conformidade as Normas da ABNT
2.3.1- Breve histórico
A Engenharia de Avaliações experimentou significativa e definitiva evolução a partir
do ano de 1989, quando a Norma Brasileira para Avaliação de Imóveis Urbanos -
NBR5676/1989 -, teve sua revisão concluída com grandes avanços em relação ao
texto anterior - de 1979 -, reformulando conceitos fundamentais e concretizando o
uso da inferência estatística como ferramenta de pesquisa científica e através da
qual os trabalhos passaram a ter uma classificação de “nível rigoroso” e “rigoroso
especial”.
Os procedimentos utilizando o método cartesiano até aquele momento, norteados
por formulações empíricas através de critérios numéricos dedutivos e racionais,
pelos chamados “fatores de homogeneização”, não perderam sua utilidade e
tiveram uma classificação com grau de rigor dito “normal”.
Em 1991 entrou em vigor o Código de Defesa do Consumidor, que, por sua vez,
tornou obrigatório o uso das normas técnicas brasileiras (art. 39, inciso VIII).
Em meados de 1998, com o início de nova revisão, todas normas envolvendo
avaliação de bens foram incorporadas numa única, que passou a ser subdividida
em Partes de acordo com a natureza do bem. Esta norma denominada NBR-
14.653/01 e substituindo a anterior NBR 5676/89, teve a Parte 1 - Procedimentos
Gerais, aprovada no ano de 2.001.
A Parte 2, NBR-14.653-2, específica para Imóveis Urbanos, foi concluída com
reformulações substanciais, especialmente quanto aos critérios para tratamento de
dados, passando a ser denominados “tratamento por fatores” ou” tratamento
científico” e os anteriormente denominados níveis de rigor (expedito, normal ou
rigoroso), que passaram a ser substituídos por níveis de fundamentação e níveis de
precisão e com classificações independentes ao tipo de tratamento empregado
nos dados.
A metodologia científica para tratamento dos dados com base na inferência
estatística é referenciada pelas normas técnicas, como uma das alternativas de
aplicação do método comparativo direto e por isso será o enfoque principal desta
apostila.
No método comparativo direto, pela própria designação, o valor do imóvel é obtido
diretamente, pela comparação com imóveis similares. Neste sentido, é condição
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fundamental a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado
estatisticamente, como amostra representativa do mercado imobiliário.
Se a qualidade da pesquisa de mercado (ou da amostra) é fundamental, o
processo de tratamento dos dados que a compõem, pode ser o fator determinante
na avaliação de um bem.
Os preços dos imóveis, por natureza são heterogêneos – se fossem homogêneos, o
que dificilmente acontece, não existiriam variações e a avaliação poderia ser feita
simplesmente pela média de preços - o que implica na necessidade de estabelecer
relações que expliquem essas variações.
2.3.2- Tratamento dos dados
É recomendável, preliminarmente, a sumarização das informações obtidas sob a
forma de gráficos que mostrem as distribuições de freqüência para cada uma das
variáveis, bem como as relações entre elas. Nesta etapa, verificam-se o equilíbrio
da amostra, a influência das possíveis variáveis-chave sobre os preços e a forma de
variação, possíveis dependências entre elas, identificação de pontos atípicos, entre
outros. Assim, pode-se confrontar as respostas obtidas no mercado com as crenças
a priori do engenheiro de avaliações, bem como permitir a formulação de novas
hipóteses.
Os dados devem ser tratados para obtenção de modelos de acordo com a
metodologia escolhida. No tratamento dos dados podem ser utilizados,
alternativamente e em função da qualidade e da quantidade de dados e
informações disponíveis:
− Tratamento por fatores: homogeneização por fatores e critérios,
fundamentados por estudos e posterior análise estatística dos resultados
homogeneizados.
− Tratamento científico: tratamento de evidências empíricas pelo uso de
metodologia científica que leve à indução de modelo validado para o
comportamento do mercado.
Deve-se levar em conta que qualquer modelo é uma representação simplificada
do mercado, uma vez que não considera todas as suas informações. Por isso,
precisam ser tomados cuidados científicos na sua elaboração, desde a preparação
da pesquisa e o trabalho de campo, até o exame final dos resultados.
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O poder de predição do modelo deve ser verificado a partir do gráfico de preços
observados na abscissa versus valores estimados pelo modelo na ordenada, que
deve apresentar pontos próximos da bissetriz do primeiro quadrante.
Alternativamente, podem ser utilizados procedimentos de validação.
No Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de
imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. A população geralmente é
inacessível na sua totalidade, utilizando-se uma amostra, cujo valor médio fornece
estimativas do valor médio populacional.
É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais
homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores
próximos à média aritmética.
Preços unitários homogêneos (difícil na pratica) indicam que, à priori, devem existir
poucos atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação
poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado, ou se
necessário, utilizando-se fatores de ajustes com pouca influencia.
No Processo Comparativo, portanto, a amostra deve ser representativa de forma a
permitir construir um modelo que permita estimar o valor médio populacional e
prever valor médio do imóvel avaliando.
A figura a seguir ilustra a diferença entre aplicar fatores e utilizar análise de
regressão (no exemplo é considerada uma variável explicativa, ou seja, Valor/m2
versus Frente).
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Tratamento por fatores: utiliza-se "fatores" empíricos para ajustar os dados de
mercado à média, ou seja, são efetuadas transformações matemáticas que
expressem, em termos relativos, as diferenças entre os atributos dos dados de
mercado e os do bem avaliando, que é estimado pela média ajustada pelos
fatores.
Tratamento por análise de regressão linear: procura-se encontrar a média que mais
se aproxima dos dados de mercado, ou seja, as diferenças dos atributos dos dados
da pesquisa são ajustados com base na própria amostra, onde é possível construir
um modelo e com ele prever o valor médio do bem avaliando
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2.4– Especificação das Avaliações
A especificação de uma avaliação está relacionada tanto com o empenho
do engenheiro de avaliações, como com o mercado e as informações que
possam ser dele extraídas. O estabelecimento inicial pelo contratante do
grau de fundamentação desejado tem por objetivo a determinação do
empenho no trabalho avaliatório, mas não representa garantia de alcance
de graus elevados de fundamentação. Quanto ao grau de precisão, este
depende exclusivamente das características do mercado e da amostra
coletada e, por isso, não é passível de fixação a priori.
As avaliações serão especificadas quanto a fundamentação e precisão,
guardado o critério geral de atribuir graus em ordem numérica e crescente,
onde o Grau I é o menor:
A fundamentação será função do aprofundamento do trabalho avaliatório,
com o envolvimento da seleção da metodologia em razão da
confiabilidade, qualidade e quantidade dos dados amostrais disponíveis.
A precisão será estabelecida quando for possível medir o grau de certeza e
o nível de erro tolerável numa avaliação. Depende da natureza do bem, do
objetivo da avaliação, da conjuntura de mercado, da abrangência
alcançada na coleta de dados (quantidade, qualidade e natureza), da
metodologia e dos instrumentos utilizados.
No caso de informações insuficientes para a utilização dos métodos previstos
no item 8.1.2 da NBR 14653-1, o trabalho não deve ser classificado quanto à
fundamentação e à precisão e deve ser considerado parecer técnico, como
definido em 3.34 da NBR 14653-1.
Os laudos de uso restrito, conforme 10.3 da NBR 14653-1:2001, podem ser
dispensados de especificação, em comum acordo entre as partes.
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Graus de fundamentação Tabela 1 – Graus de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear
Item Descrição
Grau III II I
1 Caracterização do imóvel avaliando
Completa quanto a todas as variáveis
analisadas
Completa quanto às variáveis utilizadas no
modelo
Adoção de situação paradigma
2 Coleta de dados de mercado
Características conferidas pelo autor do laudo
Características conferidas por
profissional credenciado pelo
autor do laudo
Podem ser utilizadas características fornecidas por
terceiros
3 Quantidade mínima
de dados de mercado, efetivamente utilizados
6 (k+1), onde k é o número de
variáveis independentes
4 (k+1), onde k é o número de variáveis
independentes
3 (k+1), onde k é o número de variáveis
independentes
4 Identificação dos dados de mercado
Apresentação de informações
relativas a todos os dados e
variáveis analisados na
modelagem, com foto
Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis
efetivamente utilizados no modelo
Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis
efetivamente utilizados no modelo
5 Extrapolação Não admitida
Admitida para apenas uma variável, desde
que: a) as medidas das características do
imóvel avaliando não sejam superiores a
100% do limite amostral superior, nem inferiores
à metade do limite amostral inferior
b) o valor estimado não ultrapasse 10% do
valor calculado no limite da fronteira amostral, para a referida variável
Admitida, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando
não sejam superiores a 100% do limite
amostral superior, nem inferiores à
metade do limite amostral inferior
b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado
no limite da fronteira amostral, para as referidas variáveis, simultaneamente
6
Nível de significância (somatório do valor das duas caudas)
máximo para a rejeição da hipótese
nula de cada regressor (teste bicaudal)
10% 20% 30%
7 Nível de significância máximo admitido nos
demais testes estatísticos realizados
1% 5% 10%
9.2.1.1 Para atingir o grau III, são obrigatórias:
a) apresentação do laudo na modalidade completa;
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20
b) discussão do modelo, verificadas a coerência da variação das variáveis
em relação ao mercado, bem como suas elasticidades no ponto de
estimação.
9.2.1.2 A utilização de códigos alocados no modelo de regressão implica a
obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.
9.2.1.3 A utilização de tratamento prévio por fatores de homogeneização,
para a transformação de variáveis em modelos de regressão, implica a
obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.
9.2.1.4 Para fins de enquadramento global do laudo em graus de
fundamentação, devem ser considerados os seguintes critérios:
a) na tabela 1, identificam-se três campos (graus III, II e I) e sete itens;
b) o atendimento a cada exigência do grau I terá um ponto; do grau II, dois
pontos; e do grau III, três pontos;
c) o enquadramento global do laudo deve considerar a soma de pontos
obtidos para o conjunto de itens, atendendo à tabela 2.
Tabela 2 – Enquadramento dos laudos segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear
Graus III II I Pontos Mínimos 18 11 7
Itens obrigatórios no grau correspondente
3, 5, 6 e 7, com os demais no
mínimo no grau II
3, 5, 6 e 7 no mínimo no grau II
1 Todos, no mínimo no grau I
Graus de precisão no caso de utilização de modelos de regressão linear
Tabela 3 - Grau de precisão da estimativa do valor no caso de utilização de modelos de regressão linear
Descrição Grau III II I
Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da
estimativa ≤30% 30%-50% >50%
a) Nota: Observar 9.1 a 9.3 desta Norma.
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21
Grau de fundamentação no caso de utilização do tratamento por fatores
Item Descrição Grau III II I
1 Caracterização do imóvel avaliando
Completa quanto a todos os fatores
analisados
Completa quanto aos fatores utilizados
no tratamento
Adoção de situação paradigma
2 Coleta de dados de
mercado
Características conferidas pelo autor do laudo
Características conferidas por
profissional credenciado pelo
autor do laudo
Podem ser utilizadas características fornecidas por
terceiros
3 Quantidade mínima de
dados de mercado, efetivamente utilizados
12 5 3
4 Identificação dos dados de mercado
Apresentação de informações
relativas a todas as características
dos dados analisadas, com
foto
Apresentação de informações relativas
a todas as características dos dados analisadas
Apresentação de informações relativas
a todas as características dos
dados correspondentes aos
fatores utilizados
Extrapolação conforme B.5.2 do Anexo B Não admitida Admitida para
apenas uma variável Admitida
5 Intervalo admissível de
ajuste para o conjunto de fatores
0,90 a 1,10
0,80 a 1,20
0,50 a 1,50
Notas: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. (*) No caso de utilização de menos de 5 dados de mercado, o intervalo admissível de ajuste é de 0,80 a 1,25, pois é desejável que, com um número menor de dados de mercado, a amostra seja menos heterogênea.
Tabela 4 – Enquadramento do laudo segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de tratamento por fatores
Graus III II I Pontos Mínimos 13 8 5
Itens obrigatórios Itens 2, 4 e 5 no grau III, com os demais no
mínimo no grau II
Itens 2, 4 e 5 no mínimo no grau II e
os demais no mínimo no grau I
2 todos, no mínimo no grau I
3 Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma.
Tabela 5 - Grau de precisão da estimativa de valor nos casos de utilização de modelos de regressão linear ou do tratamento por fatores
Descrição Grau III II I
Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa ≤30% 30%-50% >50%
Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma.
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22
1.3 - PROCEDIMENTOS PARA A UTILIZAÇÃO DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR
– EXIGÊNCIAS DA ABNT NBR 14653-2 Anexo A (normativo)
A.1 Introdução A.1.1 A técnica mais utilizada quando se deseja estudar o comportamento de uma
variável dependente em relação a outras que são responsáveis pela variabilidade
observada nos preços é a análise de regressão.
A.1.2 No modelo linear para representar o mercado, a variável dependente é
expressa por uma combinação linear das variáveis independentes, em escala
original ou transformadas, e respectivas estimativas dos parâmetros populacionais,
acrescida de erro aleatório, oriundo de variações do comportamento humano –
habilidades diversas de negociação, desejos, necessidades, compulsões, caprichos,
ansiedades, diferenças de poder aquisitivo, entre outros – imperfeições acidentais
de observação ou de medida e efeitos de variáveis irrelevantes não incluídas no
modelo.
A.1.3 Com base em uma amostra extraída do mercado, os parâmetros
populacionais são estimados por inferência estatística.
A.1.4 Na modelagem, devem ser expostas as hipóteses relativas aos
comportamentos das variáveis dependentes e independentes, com base no
conhecimento que o engenheiro de avaliações tem a respeito do mercado,
quando serão formuladas as hipóteses nula e alternativa para cada parâmetro.
A.2 Pressupostos básicos
A.2.1 Ressalta-se a necessidade, quando se usam modelos de regressão, de
observar os seus pressupostos básicos, apresentados a seguir, principalmente no que
concerne à sua especificação, normalidade, homocedasticidadede, não-
multicolinearidade, não-autocorrelação, independência e inexistência de pontos
atípicos, com o objetivo de obter avaliações não-tendenciosas, eficientes e
consistentes:
a) para evitar a micronumerosidade, o número mínimo de dados efetivamente
utilizados (n) no modelo deve obedecer aos seguintes critérios, com respeito ao
número de variáveis independentes (k):
n ≥ 3 (k+1)
ni ≥ 5, até duas variáveis dicotômicas ou três códigos alocados para a
mesma característica;
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23
ni ≥ 3, para 3 ou mais variáveis dicotômicas ou quatro ou mais códigos
alocados para a mesma característica
onde ni é o número de dados de mesma característica, no caso de utilização
de variáveis dicotômicas ou de códigos alocados, ou número de valores
observados distintos para cada uma das variáveis quantitativas;
b) os erros são variáveis aleatórias com variância constante, ou seja,
homocedásticos;
c) os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal;
d) os erros são não-autocorrelacionados, isto é, são independentes sob a condição
de normalidade;
e) não devem existir erros de especificação no modelo, isto é, todas as variáveis
importantes devem estar incorporadas – inclusive as decorrentes de interação – e
nenhuma variável irrelevante deve estar presente no modelo;
f) em caso de correlação linear elevada entre quaisquer subconjuntos de variáveis
independentes, isto é, multicolinearidade, deve-se examinar a coerência das
características do imóvel avaliando com a estrutura de multicolinearidade inferida,
vedada a utilização do modelo em caso de incoerência;
g) não deve existir nenhuma correlação entre o erro aleatório e as variáveis
independentes do modelo.
h) possíveis pontos influenciantes, ou aglomerados deles, devem ser investigados e
sua retirada fica condicionada à apresentação de justificativas.
A.2.2 Verificação dos pressupostos do modelo
A.2.2.1 Linearidade
Deve ser analisado, primeiramente, o comportamento gráfico da variável
dependente em relação a cada variável independente, em escala original. Isto
pode orientar o avaliador na transformação a adotar. Existem formas estatísticas de
se buscar a transformação mais adequada, como, por exemplo, os procedimentos
de Box e Cox.
As transformações utilizadas para linearizar o modelo devem, tanto quanto possível,
refletir o comportamento do mercado, com preferência pelas transformações mais
simples de variáveis, que resultem em modelo satisfatório.
Após as transformações realizadas, se houver, examina-se a linearidade do modelo,
pela construção de gráficos dos valores observados para a variável dependente
versus cada variável independente, com as respectivas transformações.
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24
A.2.2.2 Normalidade
A verificação da normalidade pode ser realizada, entre outras, por uma das
seguintes formas:
a) pelo exame de histograma dos resíduos amostrais padronizados, com o objetivo
de verificar se sua forma guarda semelhança com a da curva normal;
b) pela análise do gráfico de resíduos padronizados versus valores ajustados, que
deve apresentar pontos dispostos aleatoriamente, com a grande maioria situados
no intervalo [-2;+2 ].
c) pela comparação da freqüência relativa dos resíduos amostrais padronizados
nos intervalos de [-1;+1], [-1,64;+1,64 ] e [-1,96;+1,96 ], com as probabilidades da
distribuição normal padrão nos mesmos intervalos, ou seja, 68%, 90% e 95%;
d) pelo exame do gráfico dos resíduos ordenados padronizados versus quantis da
distribuição normal padronizada, que deve se aproximar da bissetriz do primeiro
quadrante;
e) pelos testes de aderência não-paramétricos, como, por exemplo, o qui-
quadrado, o de
Kolmogorov-Smirnov ajustado por Stephens e o de Jarque-Bera.
A.2.2.3 Homocedasticidade
A verificação da homocedasticidade pode ser feita, entre outros, por meio dos
seguintes processos:
a) análise gráfica dos resíduos versus valores ajustados, que devem apresentar
pontos dispostos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido;
b) pelos testes de Park e de White.
A.2.2.4 Verificação da autocorrelação
O exame da autocorrelação deve ser precedido pelo pré-ordenamento dos
elementos amostrais, em relação a cada uma das variáveis independentes
possivelmente causadoras do problema ou em relação aos valores ajustados.
Sua verificação pode ser feita:
a) pela análise do gráfico dos resíduos cotejados com os valores ajustados, que
deve apresentar pontos dispersos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido;
b) pelo Teste de Durbin-Watson, considerando o pré-ordenamento anteriormente
citado.
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25
A.2.2.5 Colinearidade ou multicolinearidade
A.2.2.5.1 Uma forte dependência linear entre duas ou mais variáveis independentes
provoca degenerações no modelo e limita a sua utilização. As variâncias das
estimativas dos parâmetros podem ser muito grandes e acarretar a aceitação da
hipótese nula e a eliminação de variáveis fundamentais.
A.2.2.5.2 Para verificação da multicolinearidade deve-se, em primeiro lugar, analisar
a matriz das correlações, que espelha as dependências lineares de primeira ordem
entre as variáveis independentes, com atenção especial para resultados superiores
a 0,80. Como também é possível ocorrer multicolinearidade, mesmo quando a
matriz de correlação apresenta coeficientes de valor baixo, recomenda-se,
também, verificar o correlacionamento de cada variável com subconjuntos de
outras variáveis independentes, por meio de regressões auxiliares.
A.2.2.5.3 Para tratar dados na presença de multicolinearidade, é recomendável
que sejam tomadas medidas corretivas, como a ampliação da amostra ou adoção
de técnicas estatísticas mais avançadas, a exemplo do uso de regressão de
componentes principais.
A.2.2.5.4 Nos casos em que o imóvel avaliando segue os padrões estruturais do
modelo, a existência de multicolinearidade pode ser negligenciada, desde que
adotada a estimativa pontual.
A.2.2.6 Pontos influenciantes ou outliers
A existência desses pontos atípicos pode ser verificada pelo gráfico dos resíduos
versus cada variável independente, como também em relação aos valores
ajustados, ou usando técnicas estatísticas mais avançadas, como a estatística de
Cook para detectar pontos influenciantes.
A.3 Testes de significância
A.3.1 A significância individual dos parâmetros das variáveis do modelo deve ser
submetida ao teste t de Student, em conformidade com as hipóteses estabelecidas
quando da construção do modelo.
A.3.2 A hipótese nula do modelo deve ser submetida ao teste F de Snedecor e
rejeitada ao nível máximo de significância de 1%.
A.3.3 A significância de subconjuntos de parâmetros, quando pertinente, pode ser
testada pela análise da variância particionada, com a utilização do teste da razão
de verossimilhança.
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26
A.3.4 Os níveis de significância utilizados nos testes citados nesta subseção serão
compatíveis com a especificação da avaliação.
A.4 Poder de explicação
Em uma mesma amostra, a explicação do modelo pode ser aferida pelo seu
coeficiente de determinação. Devido ao fato de que este coeficiente sempre
cresce com o aumento do número de variáveis independentes e não leva em
conta o número de graus de liberdade perdidos a cada parâmetro estimado, é
recomendável considerar também o coeficiente de determinação ajustado.
A.5 Campo de arbítrio
O campo de arbítrio corresponde à semi-amplitude de 15% em torno da estimativa
pontual adotada. Caso não seja adotada a estimativa pontual, o engenheiro de
avaliações deve justificar sua escolha.
A.6 Códigos alocados
Recomenda-se considerar tantas variáveis dicotômicas quantas forem necessárias
para descrever as diferenças qualitativas, em lugar da utilização de códigos
alocados, especialmente quando a quantidade de dados é abundante e pode-se
preservar os graus de liberdade necessários à modelagem estatística, definidos
nesta Norma. A utilização de códigos alocados é tolerada nos seguintes casos, na
seguinte ordem de prioridade:
a) quando seus valores são extraídos da amostra com a utilização de variáveis
dicotômicas;
b) quando são utilizados números naturais em ordem crescente das características
possíveis, com valor inicial igual a 1, sem a utilização de transformações, ou seja, na
escala original.
A.7 Diferentes agrupamentos
No caso de utilização no mesmo modelo de regressão de diferentes agrupamentos
(tipologia, mercados, localização, usos etc.), recomenda-se verificar a
independência entre os agrupamentos, entre as variáveis utilizadas e possíveis
interações entre elas.
A.8 Apresentação do modelo
A variável dependente no modelo de regressão deve ser apresentada no laudo na
forma não transformada.
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27
Procedimentos para a utilização de tratamento por fatores Anexo B (normativo)
B.1 Neste tratamento de dados, aplicável ao Método Comparativo Direto de Dados
de Mercado, é admitida a priori a validade da existência de relações fixas entre os
atributos específicos e os respectivos preços.
B.1.1 Para isso, são utilizados fatores de homogeneização calculados conforme
8.2.1.4.2, por metodologia científica, que reflitam, em termos relativos, o
comportamento do mercado com determinada abrangência espacial e temporal.
B.2 É recomendável que sejam utilizados dados de mercado:
a) com atributos mais semelhantes possíveis aos do imóvel avaliando;
b) que sejam contemporâneos. Nos casos de exame de dados não
contemporâneos, é desaconselhável a atualização do mercado imobiliário através
de índices econômicos, quando não houver paridade entre eles, devendo, neste
caso, o preço ser atualizado mediante consulta direta à fonte. Quando a
atualização na forma mencionada for impraticável, só será admitida a correção
dos dados por índices resultantes de pesquisa no mercado.
B.2.1 Para a utilização deste tratamento, considera-se como dado de mercado
com atributos semelhantes aqueles em que cada um dos fatores de
homogeneização, calculados em relação ao avaliando, estejam contidos entre
0,50 e 1,50.
B.2.2 O preço homogeneizado, resultado da aplicação de todos os fatores de
homogeneização ao preço original, deve estar contido no intervalo de 0,50 a 1,50.
B.3 Após a homogeneização, devem ser utilizados critérios estatísticos consagrados
de eliminação de dados discrepantes, para o saneamento da amostra.
B.4 O campo de arbítrio corresponde ao intervalo compreendido entre o valor
máximo e mínimo dos preços homogeneizados efetivamente utilizados no
tratamento, limitado a 10% em torno do valor calculado. Caso não seja adotado o
valor calculado, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha.
B.5 Os fatores de homogeneização devem apresentar, para cada tipologia, os seus
critérios de apuração e respectivos campos de aplicação, bem como a
abrangência regional e temporal.
B.5.1 Os fatores de homogeneização não podem ser utilizados fora de sua tipologia,
campo de aplicação e abrangências regional e temporal.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
28
B.5.2 As características quantitativas, ou expressas por variáveis proxy, do imóvel
avaliando não devem ultrapassar em 50%, para mais ou para menos,
respectivamente, os limites superior e inferior observados na amostra. Para as demais
características qualitativas é vedada a extrapolação em relação aos limites
amostrais.
B.5.3 A fonte dos fatores utilizados na homogeneização deve ser explicitada no
trabalho avaliatório.
B.6 Os fatores de homogeneização que resultem em aumento da heterogeneidade
dos valores não devem ser utilizados.
1.2.5- Apresentação do laudo de avaliação
1.2.5.1 Requisitos mínimos
O laudo de avaliação deverá conter, no mínimo, as informações abaixo
relacionadas:
a) identificação da pessoa física ou jurídica e/ou seu representante legal que tenha solicitado o trabalho;
b) objetivo da avaliação; c) identificação e caracterização do bem avaliando; d) indicação do(s) método(s) utilizado(s), com justificativa da escolha; e) especificação da avaliação; f) resultado da avaliação e sua data de referência; g) qualificação legal completa e assinatura do(s) profissional(is) responsável(is)
pela avaliação; h) local e data do laudo;
i) outras exigências previstas nas demais partes desta Norma.
1.2.5.2 Modalidades
O laudo de avaliação pode ser apresentado nas seguintes modalidades:
a) Simplificado – contém de forma sucinta as informações necessárias ao seu
entendimento.
b) Completo – contém todas as informações necessárias e suficientes para ser
auto-explicável.
1.2.5.3 Laudo de avaliação de uso restrito
Obedece a condições específicas pré combinadas entre as partes contratantes,
não tendo validade para outros usos ou exibição para terceiros.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
29
Modelagem CAPÍTULO 2
2.1 – A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA APLICADA NA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS
As recomendações explicitadas na Norma Brasileira de Avaliação de Imóveis
Urbanos visando à utilização da inferência estatística na Engenharia de Avaliações,
com algumas exceções, têm sido particularmente voltadas, até o momento, para a
utilização da Regressão Linear no cálculo do valor do imóvel.
Atualmente a aplicação dessas técnicas estatísticas é bastante facilitada graças ao
avanço tecnológico dos computadores que tornou os cálculos relativamente fáceis
e originaram vasta disposição de programas aplicativos, em particular aqueles de
Regressão Linear que empregam o Método dos Mínimos Quadrados, mas isso não é
condição suficiente, pois sua aplicação não pode prescindir do julgamento crítico e
de sólidos conhecimentos do mercado imobiliário por parte do engenheiro de
avaliações.
2.2 – CONCEITOS DE MODELO
Usando dos conceitos introduzidos por Orlando Carneiro de Matos, in Econometria
Básica Teoria e Aplicações, a palavra modelo, de modo geral, pode ser entendida
como representação simplificada da realidade, estruturada de forma tal que
permita compreender o funcionamento total ou parcial dessa realidade ou
fenômeno. Num sentido mais restrito, modelo, é uma representação formal de idéias
ou conhecimentos acerca de um fenômeno. Essas idéias (chamadas teorias)
expressam-se por um conjunto de hipóteses sobre os elementos essenciais do
fenômeno e das leis que os regem, as quais geralmente se traduzem sob a forma de
um sistema de equações matemáticas.
As definições introduzidas na NBR14653-1, de forma resumida, endossam esses
conceitos, ou seja:
“3.31 modelo: Representação técnica da realidade”.
e “3.32 modelo de regressão: Modelo utilizado para representar determinado fenômeno,
com base numa amostra, considerando-se as diversas características influenciantes”.
Os modelos, de uma forma geral, podem ser puramente teóricos ou
econométricos.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
30
Modelos Teóricos são aqueles que expressam leis de mercado sem necessariamente
conter a especificação efetiva da forma matemática nem a enumeração exaustiva
das variáveis que o compõem.
Modelos Econométricos são aqueles que necessariamente contêm as especificações
(forma matemática e definição das variáveis) para aplicação empírica, além de
incorporar um termo residual com a finalidade de levar em conta variáveis ou outros
elementos, que, por alguma razão, não puderam ser considerados explicitamente.
A montagem de um modelo é sempre um processo interativo e geralmente requer o
uso da evidência empírica dos dados e do conhecimento do mercado analisado.
Mesmo contendo os elementos que permitam sua operacionalização, os modelos
probabilísticos não admitem relações exatas em virtude da não-inclusão de todas as
variáveis que determinam o comportamento do fenômeno e de erros de medidas das
variáveis. Constituem uma formulação incompleta da realidade em face da
impossibilidade de um modelo abranger todos os fatores que determinam ou
condicionam o comportamento do mercado imobiliário, contrastando com os
modelos determinísticos que supõem a existência de variáveis que satisfazem
exatamente as equações matemáticas.
Em um campo tão vasto como o do mercado imobiliário, modelos que simplifiquem a
compreensão da realidade, mas que ao mesmo tempo possuam a abrangência suficiente
para que os principais fatores intervenientes e suas interações estejam claramente
identificados, são de extrema importância.
2.3- OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS
Os métodos estatísticos, de um modo geral, envolvem a análise e a interpretação
de dados observados em um fenômeno. O conjunto de observações colhidas
constitui-se na amostra (no caso específico da avaliação de imóveis, na pesquisa
de mercado) e o grupo todo de elementos do qual ela foi extraída, é designado
por população.
A parte estatística referente a coleta, a sumarização e a descrição dos dados
refere-se a estatística descritiva. Compreende a organização e o resumo dos
mesmos, bem como análise e interpretações numéricas e gráficas, envolvendo
cálculo de medidas, tais como, a média, a mediana, o desvio padrão, etc.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
31
A inferência estatística, por sua vez, envolve a formulação de certos julgamentos
(ou conclusões) sobre um todo, após examinar apenas uma parte, ou amostra,
dele. Para que a inferência estatística seja válida, a amostra deve ser
representativa da população, e a probabilidade do erro, ser especificada.
Deste modo, a inferência estatística envolve um raciocínio indutivo: argumentação
do específico - amostra - para o geral - população - , no qual impõe-se que
obedeça algum modelo de probabilidade.
Na prática, o processo de inferência consiste em investigar a forma e o grau das
relações entre as observações colhidas em amostras, que se supõem estarem
interligadas de alguma maneira e, a partir delas, construir modelos.
O modelo escolhido deve satisfazer os pressupostos básicos determinado por um
conjunto de testes de hipóteses e, dentro de intervalos de confiança, conferir
validade às predições das probabilidades estabelecidas.
A abordagem é feita pela análise de regressão, pelo método dos mínimos
quadrados.
A aplicação do método dos mínimos quadrados, considerando exemplificativamente duas
variáveis (Yi, Xi), consiste em encontrar, a partir dos dados amostrais as estimativas para o
coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Yi por unidade de
variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o
eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos) sejam mínimos.
Conceitos de uma equação de regressão (4 elementos básicos):
- variáveis : dependente (Y)
independentes (X1, X2,...Xn) que podem ser qualitativas ou quantitativas;
- relações (ou equações): descrevem o comportamento investigado (no caso o de
mercado imobiliário) através de uma função linear (ou linearizáveis):
- parâmetros: são as magnitudes das relações (B0, B1, ...,Bn);
- termo aleatório ou erro (resíduos): incluído na análise de regressão para contemplar
erros devidos a não consideração na regressão de variáveis de importância menor (já
que o propósito do modelo é generalizar e simplificar as relações apenas das causas
mais importantes), levar em conta o efeito de possíveis erros de medidas ou
informações e para captar a imprevisibilidade do comportamento humano,
inerentemente aleatório.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
32
Identificação das variáveis do modelo (item 8.2.1.2 da NBR 14653-2)
8.2.1.2.1 Variável dependente
Para a especificação correta da variável dependente, é necessária uma
investigação no mercado em relação à sua conduta e às formas de expressão dos
preços (por exemplo, preço total ou unitário, moeda de referência, formas de
pagamento), bem como observar a homogeneidade nas unidades de medida.
8.2.1.2.2 Variáveis independentes
As variáveis independentes referem-se às características físicas (por exemplo: área,
frente), de localização (como bairro, logradouro, distância a pólo de influência,
entre outros) e econômicas (como oferta ou transação, época e condição do
negócio – à vista ou a prazo).
Sempre que possível, recomenda-se a adoção de variáveis quantitativas. As
diferenças qualitativas das características dos imóveis podem ser especificadas na
seguinte ordem de prioridade:
a) por meio de codificação, com o emprego de variáveis dicotômicas (por exemplo:
aplicação de condições booleanas do tipo “maior do que” ou “menor do que”, “sim” ou
“não”);
b) pelo emprego de variáveis proxy (por exemplo: padrão construtivo expresso pelo custo
unitário básico);
c) por meio de códigos alocados (por exemplo: padrão construtivo baixo igual a 1, normal
igual a 2 e alto igual a 3).
DEFINIÇÕES BNR 14.653-1
3.63 variáveis-chave: Variáveis que, a priori e tradicionalmente, são importantes para a
formação do valor do imóvel.
3.64 variáveis independentes: Variáveis que dão conteúdo lógico à formação do valor do
imóvel objeto da avaliação.
3.65 variáveis qualitativas: Variáveis que não podem ser medidas ou contadas, mas apenas
ordenadas ou hierarquizadas, de acordo com atributos inerentes ao bem (por exemplo:
padrão construtivo, estado de conservação, qualidade do solo).
3.66 variáveis quantitativas: Variáveis que podem ser medidas ou contadas (por exemplo:
área privativa, número de quartos, número de vagas de garagem).
3.67 variável dependente: Variável que se pretende explicar pelas variáveis independentes.
3.68 variável dicotômica: Variável que assume apenas dois valores.
3.69 variável proxy: Variável utilizada para substituir outra de difícil mensuração e que se
presume guardar com ela relação de pertinência.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
33
Conceitos Básicos da Inferência Estatística CAPÍTULO 3
3.1- ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS Freqüentemente, um conjunto de dados pode reduzir-se a uma ou algumas
medidas que resumem todo o conjunto. Duas são as características importantes dos
dados, que as medidas numéricas podem evidenciar:
- 1o) o valor central ou mais típico do conjunto
- 2o) a dispersão dos números 3.1.1- Medidas de Tendência Central
As medidas da tendência central são indicadores que permitem que se tenha uma
primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento.
Essencialmente, elas informam o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória
que ocorrem com a maior freqüência. Uma medida de tendência central é um
valor no centro ou no meio de um conjunto de dados.
Existem três medidas básicas que refletem a tendência central de uma distribuição
de freqüências, sendo elas: a média, a mediana e a moda.
A média A média de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos
eles e dividindo-se o total pelo número de casos. De modo geral a mais importante
de todas as mensurações numéricas descritivas. A média pode expressar-se como x
(x barra) se o conjunto de valores é uma amostra; se todos os valores da população
estão presentes, a média é expressa por μ (letra grega mu). Logo, a média de uma
amostra de 70, 90 e 110, é:
A mediana A mediana de um conjunto de dados é o valor da variável aleatória a
partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra
abaixo, indicando, portanto, o valor do meio quando os dados estão dispostos em
ordem crescente (ou decrescente). Se o número de elementos é impar, a mediana
é o meio, se o número é par a média dos dois valores do meio.
A moda A moda de um conjunto de dados é o evento ou categoria de eventos
que ocorre com maior freqüência,indicando o valor ou categoria mais provável.
Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência máxima, cada um deles é
uma moda, e o conjunto se diz bimodal; se mais de dois valores, o conjunto é
multimodal.
nxMédia ∑= 90
31109070
=++
=−
x
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Sequem alguns exemplos:
Média Mediana Moda
M (2, 3, 3, 4) M=3 Me=3 Mo=3
M (1,18,19,40) M=19,50 Me=18,50 Mo= não tem
M (1,2,3,3,3,7,7,7,11,20) M=6,4 Me=5 Mo=3 e 7
M (9,10,80,80,100) M=55,80 Me=80 Mo=80
A melhor medida de tendência central As diversas medidas de tendência central têm diferentes vantagens e
desvantagens, algumas das quais resumidas na tabela abaixo. Uma vantagem
importante da média é que leva em conta todos os valores, mas a grande
desvantagem é que às vezes pode ser seriamente afetada por valores extremos.
Definição
Leva em conta todos os valores?
Afetada pelos valores
extremos? Vantagens
Média Soma dos valores
dividido pelo número de valores
Sim Sim Funciona bem com
muitos métodos estatísticos
Mediana Valor do meio Não Não Costuma ser boa
escolha se há alguns valores extremos
Moda Valor mais freqüente Não Não Apropriada para dados de nível nominal
Assimetria
Em distribuições de freqüência que refletem uma distribuição de probabilidade mais
simétrica, como é o caso da Curva Normal, as três medidas convergem para um
mesmo resultado. Em distribuições assimétricas, como o caso da Exponencial, as
medidas divergem significativamente. A comparação da média, mediana e moda
pode nos dizer algo sobre a característica da assimetria, conforme mostrado nas
figuras abaixo.
Fig. 2 - Assimetria
MÉDIA MODA
MEDIANA
MODA MÉDIA
MEDIANA
MÉDIA MODA
MEDIANA
Negativamente Assimétrica: a
Média e a Mediana estão à
esquerda da Moda .
Positivamente Assimétrica:
a Média e a Mediana estão à
direita da Moda .
Simétrica: a Média, a Moda
e a Mediana coincidem
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3.1.2 - Medidas de dispersão (ou variação)
Para descrever adequadamente um conjunto de dados, além da informação quanto ao
“meio” de um conjunto de números, é conveniente dispor também de um método que
permita exprimir a dispersão em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade
dos resultados obtidos. As medidas de dispersão (ou variação) indicam se os valores estão
relativamente próximos um dos outros, ou separados. Elas permitem se identificar até que
ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto
de observações.
.. ..... .... .. Pequena dispersão: números relativamente próximos uns dos outros têm baixas medidas de variação
. . . . . . . . .
Grande dispersão: valores mais dispersos têm maior medida de variação.
Fig. 3 - Dispersão
Basicamente, os índices de dispersão expressam diferentes formas de se quantificar a
tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não
em determinados valores. Existem várias medidas de dispersão que podem avaliar diversos
aspectos da variabilidade de um conjunto de dados. As principais são:
Amplitude
A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor que foi
observado para a variável aleatória, servindo para caracterizar a abrangência do estudo.
Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior. Geralmente não é calculada, mas é
costumeiro mostrar o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A utilidade da amplitude é
bastante limitada pelo fato de só levar em conta os dois valores extremos de um conjunto,
nada informando quanto aos outros valores.
Desvio padrão e variância
De um modo geral, o desvio padrão é a mais importante medida de variação de valores e
desempenha papel relevante em toda estatística. Ao contrário da amplitude, leva em
conta todos os valores. Ao medir a variação em um conjunto de dados amostrais, é razoável
começar pelo desvio médio, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada
dado e a média do conjunto. Entretanto a soma de todos esses valores (por serem negativos
e positivos) é sempre zero. Para se obter uma estatística que realmente meça a variação,
toma-se, então, a soma desses valores absolutos (todos positivos). Determinando a média
deste somatório, tem-se o desvio médio, dado pela seguinte expressão:
O desvio médio absoluto de um
conjunto de números é a média dos
desvios dos valores a contar da
média, ignorando-se o sinal de diferença.
Fornece uma idéia da diferença típica entre
uma medida isolada e a média da amostra. n
xxoDesvioMédi ∑ −
=
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Ao invés de utilizar valores absolutos de uma amostra, é possível obter uma medida de
variação ainda melhor, tomando os quadrados dos desvios (x-x)2 , que são não-negativos,
obtendo-se assim a variância. Calcula-se a variância de uma amostra da mesma forma que
o desvio médio, com duas exceções (1) os desvios médios são elevados ao quadrado antes
da soma, e (2) tomam-se a média dividindo por n-1 em lugar de n, porque isso dá uma
melhor estimativa da variância populacional. Pode-se calcular a variância pela fórmula
abaixo:
Variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno
da média aritmética. Caracteriza a dispersão dos pontos de uma
amostra potencializando as diferenças.
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância:
Na distribuição gaussiana, cerca de 95% dos casos fica
dentro do intervalo entre a média e +1.96*DP.
Ou, ainda, pode-se calcular desvio padrão pela fórmula:
O Coeficiente de Variação é o desvio padrão dividido pela média. Indica a variabilidade da
amostra em relação à média.
XS.V.C e&&
=
3.2 – PROBABILIDADE O método da inferência estatística baseia-se na evidência amostral para formular
conclusões sobre toda uma população. As decisões inferenciais se baseiam sem chances -
ou probabilidades- de eventos.
3.2.1 – Distribuições de freqüências
É o conjunto das freqüências relativas
observadas para um dado fenômeno
estudado, sendo a sua representação
gráfica o Histograma (diagrama onde o
eixo horizontal representa faixas de valores
da variável aleatória e o eixo vertical
representa a freqüência relativa). Quanto
maior o tamanho da amostra, mais a
distribuição de freqüência tende para a
distribuição de probabilidade (Lei dos
Grandes Números).
Fig. 4 - Distribuição de Freqüências
1)( 2
2
−
−=∑
nxxi
xs
1)( 2
−
−= ∑
nxx
s i
1])([ 22
−−
= ∑∑n
nxxs ii
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3.2.2 – Testes de Aderência
Fig. 5 - Aderência
A identificação de uma distribuição de
probabilidade a partir de um conjunto de
freqüências é realizada pelos chamados
Testes de Aderência, os quais calculam a
probabilidade da diferença entre uma
distribuição de freqüência observada e
aquela que seria de se esperar a partir de
uma determinada distribuição de
probabilidade.
3.2.3 – Distribuições de probabilidades
Os valores das variáveis aleatórios só são conhecidos após a realização de um experimento e
nem todos os valores são igualmente prováveis: portanto as afirmações sobre certos valores são
probabilïsticos, especificados através de uma distribuição de probabilidade.
Quando se relacionam os valores de uma variável aleatória discreta com sua probabilidade de
ocorrência, o resultados é um função densidade de probabilidade: para a variável aleatória
discreta X, o valor da função densidade de probabilidade f(x) é a probabilidade de a variável
aleatória X tomar o valor de x , f (x)= P (X=x).
Para a variável aleatória contínua Y, a função de densidade de probabilidade f(y) pode ser
representada por uma equação, descrita graficamente por uma curva. No caso das variáveis
contínuas, a área sob a função densidade de probabilidade corresponde à probabilidade.
F(y) f(y)
a b y
Fig. 6– Probabilidade como área sob uma função de densidade de probabilidade.
A área total sob a função de densidade de probabilidade 1, e a probabilidade de Y tomar o
valor do intervalo [a,b] ou P [a ≤ Y ≤ b] é a área sob a função densidade entre os valores y=a e y
= b. Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüências para os resultados
de um espaço amostral. A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de uma
distribuição de probabilidades com as especificações de determinado problema. Há uma
variedade de tipos de distribuição de probabilidades na estatística, tendo cada uma seu
próprio conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição
pode ser utilizado. A mais importante e que será abordada a seguir, por ser extensamente usada
em problemas de inferência é a distribuição normal.
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38
3.2.4- Distribuição Normal
O conhecimento desta distribuição de probabilidades se deve a Abraham de Moivre (1667-
1754) que, em 1733, apresentou a função que a representa. Tratava-se até então de um
exercício teórico, sem aplicação prática. J. Bernoulli (1654-1705) acreditava que poderia haver
aplicação na área da economia, no entanto, o uso desses conhecimentos na prática se deve a
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) na França e a Johan K. F. Gauss (1777-1855) na Alemanha.
O nome “Curva de Gauss” se deve à suposição que Gauss tivesse sido a primeira pessoa a fazer
uso de suas propriedades; no entanto, em 1924, Karl Pearson reafirmou o papel fundamental de
Abraham de Moivre.
O gráfico de uma distribuição normal se assemelha à forma de sino.. A curva se prolonga em
qualquer das direções a partir da média, tendendo ao eixo horizontal à medida que aumenta a
distancia, mas nunca toca o eixo.
Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (ó2). Dessa forma são
possíveis infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a sua variância.
Suas principais características são:
- A variável x pode assumir qualquer valor real (-∝ a +∝)
- Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o eixo
de x.
- A curva é simétrica e unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = µ - 1ó) e
outro à direita (x = µ +1ó).
Como se trata de distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a curva e o eixo
das abscissas representa a probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento entre os
pontos a e b é calculada pela integral definida da função entre os pontos a e b, representada
pela área no gráfico
Fig. 07– Curva de Probabilidade Normal
3.2.5-A tabela normal padronizada
Curvas normais, com qualquer µ e ó, podem ser transformadas em uma normal muito
especial que tem média 0 (µ = 0) e desvio padrão 1 (ó = 1). Esta curva normal com média 0
e desvio padrão 1 é conhecida como curva normal reduzida. Suas probabilidades já foram
calculadas e são apresentadas em tabelas de fácil utilização. Como a normal é simétrica, os
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39
livros apresentam somente as probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade
de um intervalo qualquer da metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo
equivalente na metade direita.
Regra básica para qualquer função de probabilidade:
Total da área embaixo da curva = 1.00 ou P(- ∞ < Zi < + ∞) = 1.0
P(...) SIGNIFICA PROBABILIDADE e f(Z) é a função de densidade.
Fig. 8– Distribuição normal
A tabela da paina seguinte dá a probabilidade de ocorrência de um evento entre 0 e z. Na
margem esquerda temos o valor de z com uma decimal e, se necessitamos considerar a
segunda decimal, a procuramos na margem superior. No interior obtemos as probabilidades.
Para calcular a probabilidade de z entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a linha
que tem z = 1,0 e a coluna 0,00 e encontramos o valor 0,3413. Isto significa que a
probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e z=1,0 é 0,3413 ou 34,13%.
Para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,64, procuramos a célula cuja linha é 1,6 e
coluna 0,06 o que resulta o valor 0,8990 ou 89,90%, ou seja:
ÁREA ENTRE 1 e –1 DESV. PADRÃO = 68,27% P(- 1 < Zi < + 1) = 0.6827 ÁREA ENTRE 1,64 e –1,64 DESV. PADRÃO = 89,90% P(- 1,64 < Zi < + 1,64) = 0.8990 ÁREA ENTRE 1,96 e –1,96 DESV. PADRÃO = 95% P(- 1,96 < Zi < + 1,96) = 0.9500 ÁREA ENTRE 2 e –2 DESV. PADRÃO = 95,45% P(- 2 < Zi < + 2) = 0.9545 ÁREA ENTRE 3 e –3 DESV. PADRÃO = 99,73% P(- 3 < Zi < + 3) = 0.9973
-1,96δ -1,64δ -1δ 0 +1δ +1,64δ +1,96δ
68%
89,90%
95,0%
Fig. 9 – Área sob a curva normal a 1, 2, e 3 desvios padrões a contar de cada lado da média.
DISTRIBUICAO NORMAL
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
DESVIOS PADRAO
f(Z)
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40
Tabela 1 -Curva Normal (p = área entre 0 e z)
segunda casa decimal
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
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41
3.3- Estimação e Testes de Significância
A estimação e os testes de significância são os dois principais pontos da inferência
estatística.
3.3.1-Estimação
A estimação envolve a avaliação do valor de algum parâmetro populacional com base em
dados amostrais. As estimativas podem ser pontuais ou especificar um intervalo de valores
em que se julga que o parâmetro populacional possa estar. Uma estimativa pontual é um
valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.
Os intervalos de confiança são estimativas intervalares em que incluem a afirmação
probabilística que indica a percentagem de intervalos que possa esperar abranger o
verdadeiro valor do parâmetro em seus limites. A amplitude de um intervalo de confiança
depende:
- da dispersão dos valores,
- do nível de confiança indicado,
- do erro tolerável e,
- do tamanho da amostra
Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é uma medida da
certeza de que o intervalo contem o par6ametro populacional. A definição de grau de
confiança utiliza α para descrever uma probabilidade que corresponde a uma área. Veja a
figura abaixo, onde a probabilidade de α está dividida igualmente entre duas regiões
extremas sombreadas (caudas) na distribuição z (ou t no caso de pequenas amostras).
Intervalo de Confiança
x-e x x+e
Z=0 Z α/2 Fig.10 – A distribuição Normal Padronizada: o valor crítico de zα/2
α /2α /2
Pela Tabela corresponde à Área de 0,5 - α/2
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42
O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual
equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro
populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou
coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α =
0,10), 95% (com α = 0,05). Pelas Normas de avaliações de imóveis – conforme comentado
adiante, usa-se intervalo de confiança de 80%.
Um valor crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais
prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chance de ocorrer. O número zα/2 é um
valor crítico que é um escore z com a propriedade de separa uma área de α/2 na cauda
direita da distribuição normal padronizada. (Há uma área de 1-α entre as fronteiras de - zα/2
e zα/2). Os mesmos conceitos valem para distribuição t.
Fig.11 – Determinação de zα/2 para 95% de grau de confiança.
Os intervalos de confiança são estimativas intervalares calculadas com auxílio do erro-
padrão da estimativa Se . Pode referir-se ao valor médio de Y para um dado X, ou então, a
um valor individual esperado de Y. Em ambos os casos o valor esperado é o mesmo, mas o
intervalo de confiança depende do ponto de vista adotado.
Intervalo para predizer a o valor médio de Y, o desvio padrão de Yi: Intervalo de Predição para um valor Y
individual, soma-se um único termo (1) à
expressão, ou seja, o desvio padrão de Yi
∑ ∑−−
++=
−
/n]X)[(X)X(X
n1sS 2
21i
eYi 21.
0,475
α /2 = 0,025 α /2 = 0,025
0,475
GRAU DE CONFIANÇA = 95%
z=0 -z α /2 = -1,96 +z α /2 = +1,96
∑ ∑−
−+=
−
/n]X)[(X
)X(Xn1.sS 2
21i
eYi 2
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43
No caso, pela interpretação das Normas da ABNT, a estimativa é para um valor
médio de Y, portanto, o intervalo deve ser obtido através da primeira fórmula.
Dado um valor fixo X0, o intervalo de predição para um determinado Y será:
Ŷ – E <Y< E + Ŷ
Onde a margem de erro E envolve a distribuição t, sendo dado por:
A distribuição de probabilidade de Yi é do tipo distribuição t com (n-k-1) graus de liberdade,
com média igual a Y e erro padrão igual Si. Portanto, o intervalo de confiança poderá ser
estimado por:
iSytYiYSytiY ii .. 2/)1Kn(2/)1Kn( λ−−λ−− +≤≤−
onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syi o desvio padrão de X0
O intervalo de confiança pode ser calculado para qualquer valor de X, possibilitando a
construção de uma faixa de confiança para a reta de regressão populacional como um
todo.
Quanto maior o número da amostra (n) e quanto mais dispersa for a variável x, menor será o
erro padrão e conseqüentemente a amplitude dos intervalos de confiança. O intervalo de
confiança terá uma amplitude menor a medida que X se aproxima da média x e que eles
vão se alargando progressivamente à medida que se afastam da média.
O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual
equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro
populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou
coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α =
0,10), 95% (com α = 0,05). A Norma, estipula que, que o valor final a ser indicado , em
função do tratamento estatístico dado, “tem de estar contido em um intervalo de
confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a
20%, resultando λ2
10 00= ) para o valor médio induzido pela equação de regressão.
∑ ∑−
−+=
−
/n]X)[(X)X(X
n1.s 2
20
e 22/ .αtE
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44
3.3.2-Testes de Significância (Testes de Hipóteses)
Pelo processo da indução, as estatísticas amostrais tendem a se aproximar ( e não igualar)
aos parâmetros da população e os testes de testes de significância são para verificar se a
diferença entre o valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística
amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral ou se a discrepância é
demasiadamente grande.
Os testes de significância são usados para avaliar afirmações sobre parâmetros
populacionais e o processo consiste basicamente em:
1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa
2o) Escolher a distribuição amostral adequada
3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos)
4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s)
5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s);
caso contrário, aceitá-la.
Portanto, para iniciar o processo, dois são os tipos de hipóteses que devem ser formuladas:
- a que sugere que a afirmação é verdadeira, chama-se hipótese nula e se designa pelo
símbolo H0;
- a que sugere a afirmação é falsa chama-se hipótese alternativa e se designa pelo
símbolo H1.
ou seja: A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal
como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira).
A hipótese alternativa H1 é uma hipótese que oferece uma alternativa à alegação
(isto é, o parâmetro é maior (ou menor) que o alegado).
O segundo passo consiste em identificar a distribuição amostral adequada (normal z, t de
Student, F de Fischer, etc..)
O terceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um
valor crítico como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando
verdadeira.
Valor crítico é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do teste que não levam à rejeição da hipótese nula
A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição
amostral – com base na suposição de H0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e
uma região de rejeição de H0. Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados
amostrais para compará-lo com o valor crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste.
Para finalizar o processo, uma estatística teste que excede o valor crítico sugere a rejeição
de H0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao valor crítico sugere H0 que seja
aceita.
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45
3.3.2.1-Testes unilaterais e testes bilaterais
A distribuição amostral é particionada em uma região que sugere a aceitação de H0 e uma
região (testes unilaterais) ou duas regiões (testes bilaterais que sugerem a rejeição de H0).
A hipótese alternativa, essencialmente, é usada para indicar o aspecto da variação,
podendo ocorrer três casos possíveis:
1 - concentrar em ambas direções
2- concentrar os desvios para baixo
3- concentrar os desvios para cima
Simbolicamente, no caso da jogada de uma moeda, onde: Ho:p=0,50, tem-se:
H0 : p#0,5
H0 : p< 0,5
H0 : p>0,5
Fig. 12 – Comparação da partição de uma distribuição amostral para testes unilaterais e bilaterais. Note-se, nos testes unilaterais, que o sinal > ou o sinal < aponta para a cauda utilizada
3.3.2.2-Erros tipo I e tipo II
Ao ser testada uma hipótese nula, a conclusão é rejeitá-la ou não rejeitá-la: tais conclusões
ora são corretas, ora são incorretas. Há dois tipos de erros inerentes ao processo de teste de
significância:
- erro Tipo I: consiste em rejeitar a Hipótese Nula Ho quando ela é verdadeira. A
probabilidade de cometer esse erro é chamada nível de significância de um teste e se
denota por α (alfa). O valor de α é tipicamente predeterminado: São comuns a escolha
α =0,05; α =0,01.
- erro Tipo II: consiste em não rejeitar a Hipótese Nula Ho quando ela é falsa. Usa-se o
símbolo β (beta) para representar a probabilidade de um erro tipo II.
α /2 α /2 Rejeitar H0
Aceitar H0
Rejeitar H0
Valor crítico
Valor crítico
Rejeitar H0 α
Aceitar H0
Aceitar H0
Rejeitar H0
α
Valor crítico
Valor crítico
0
0
0
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46
Espera-se naturalmente, que Ho seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa.
Logo, há 4 resultados possíveis indicados na tabela abaixo e tomada a decisão, ou ela será
correta, ou ocorrerá um tipo de erro, e a decisão (aceitar ou rejeitar) indicará que tipo de
erro é possível.
A Hipótese Nula é Verdadeira A Hipótese Nula é Falsa
Decisão
Decidimos rejeitar a Hipótese Nula
Erro Tipo I (rejeição de uma hipótese nula verdadeira) Decisão Correta
Não rejeitamos a Hipótese Nula Decisão Correta Erro Tipo II (não rejeição
de uma hipótese nula falsa)
Fig. 13 - Erros Tipo I e Tipo II
A probabilidade de cometer o erro do tipo I, α, é mais fácil de ser detectada e pode ser
controlada. Contudo, reduzindo α , aumenta a probabilidade de cometer um erro do tipo II,
β.
α é chamado o nível de significância e 1-α é o nível de significância do teste.
3.3.2.3-Conclusão quanto aos testes de Hipóteses:
A afirmação original, ou básica, ora se torna a hipótese nula, ora se transforma na hipótese
alternativa. Entretanto, o processo exige que sempre seja testada a hipótese nula e a
conclusão final será sempre uma das seguintes:
1- Não rejeitar a hipótese nula H0;
2- Rejeitar a hipótese nula H0
3.3.3- O método tradicional do Teste de Hipóteses
Este processo consiste em identificar um resultado amostral que é significativamente
diferente do valor alegado: uma estatística amostral importante se converte em uma
estatística de teste, que é comparada com um valor crítico e utiliza-se este critério para
conclusão:
- Rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste está na região crítica;
- Não rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste não está na região crítica.
3.3.4-O método do Valor P para o Teste de Hipóteses
Os programas de computador utilizam uma outra abordagem para o teste de hipóteses,
baseada no cálculo do valor de uma probalidade, ou valor P. Um valor P muito pequeno
(como 0,05 ou menos) sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a
hipótese nula; logo, uma evidência contra a hipótese nula
3.2.5 – Distribuições relacionadas com a distribuição normal
Existem duas importantes distribuições de probabilidade utilizadas na estatística inferencial
relacionadas com a distribuição normal: a distribuição t e a distribuição F.
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47
3.2.5.1-A Distribuição t
Pelo Teorema do Limite Central, quando o tamanho da amostra é superior a 30, a
distribuição das médias é aproximadamente normal, mas para observações menores que
30, a aproximação normal pode não ser adequada. Por outro lado, quando o desvio
padrão da população não é conhecido (o que ocorre em geral), usa-se o desvio padrão
da amostra como estimativa, substituindo-se σx por Sx nas equações para intervalos de
confiança e erros. Portanto, se a amostra é pequena (n ≤30) e o desvio padrão da
população não é conhecido, usa-se a distribuição t1 de Student.
A forma da distribuição t é similar à normal, conforme mostrado na figura a seguir. A
principal diferença entre as duas distribuições é que a distribuição t tem mais área nas
caudas: isto significa que , para um dado nível de confiança, o valor t será um pouco maior
que o correspondente ao z.
Fig. 14 – Comparação de distribuição normal z e t.
Note-se que a distribuição t tem mais área nas caudas . A partir de 30 dados amostrais, elas
se aproximam.
Para usar a tabela t2 (TABELA 2) é preciso conhecer duas coisas: o nível de confiança
desejado e o número de graus de liberdade. O número de graus de liberdade está
relacionado com a maneira de calcular o desvio padrão:
1 O criador da distribuição t foi W.S.Gosset, empregado de uma cervejaria irlandesa no princípio do século XX que precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas amostras. Como esta não permitia a publicação de resultados de pesquisas, usou o pseudônimo de Student. 2 A tabela de t de Student será usada mais adiante para cálculos de verificação das variáveis e cálculo do intervalo de confiança.
1)( 2
−−
= ∑n
xxS x
onde:
Sx = desvio padrão amostral e
n-1=graus de liberdade (tamanho da amostra menos 1)
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48
O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de
valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.
Explicação intuitiva sobre o número de graus de liberdade:
Determinar três números cuja soma seja
10: o primeiro número pode ser qualquer
um (até negativo); o segundo também.
Mas o terceiro será limitado à condição
que a soma dos três deve ser 10. Escolhido
os dois primeiros, o terceiro
será determinado: não existe grau de
liberdade para ele. Há três números em
jogo, mas liberdade só para dois, ou seja,
como os dois primeiros números foram
escolhidos arbitrariamente, há dois graus
de liberdade
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49
Tabela 2 - Distribuição t de Student
Coeficiente de Confiança Duas caudas 0,80 0,90 0,95 0,98 0,990 0,9990 Uma cauda 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,9995
Testes de Hipóteses Duas caudas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,010 0,0010 Uma cauda 0,10 0,05 0,03 0,01 0,005 0,0005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633 32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622 33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611 34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601 35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591 36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582 37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574 38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566 39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544 42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538 43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,532 44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526 45 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 3,520 46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515 47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510 48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505 49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496
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50
3.2.5.2- A distribuição F - Análise de variância
A distribuição F tem inúmeras utilidades, especialmente para comparação de médias
amostrais. No caso específico da avaliação de imóveis, a distribuição F é usada para realizar
testes de hipóteses da equação de regressão como um todo. A distribuição F testa a
hipótese de que nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado contra a hipótese
de que pelo menos um tenha significado, ou seja, formulando as seguintes hipótese nula e
alternativa:
H0= nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado.
H1= pelo menos um tem significado.
O valor da estatística deve ser comparado com uma tabela de valores F, no caso da tabela
de distribuição F de Fischer- Snedecor (TABELA 3), que indica o valor máximo da estatística no
caso de H0 ser verdadeira, a um determinado nível de significância
Análise de Variância (ANOVA)
Usualmente as partes componentes desse teste - compreendendo não só da fonte de
variação como de verificação dos cálculos, como também a própria estatística do teste
(razão F) e o P valor - são indicadas numa Tabela chamada Analise da Variância (ANOVA)
reproduzida pelos programas de computador, nos moldes do quadro reproduzido a seguir.
Fonte de variação de Y
Soma de Quadrados
Graus de Liberdade
Quadrado médio das variações Razão F Valor -P
E = Explicada pela regressão X1...Xn
SQE=r2 K QME=SQE/k =QME/QMR Significância
obtida da
Tabela F R= Residual não explicada pela regressão
SQR=SQT-SQE n-k-1 QMR=SQR/(n-k-1)
T=Total SQT=(SQE+SQR) TOTAL TOTAL
Ao fazer a análise, utilizam-se duas estimativas amostrais da variância para calcular uma
razão F. O F observado é dado por: F= Variância Explicada ÷ Variância não explicada
Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor
tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não
pode ser rejeitada. Os valores constantes da tabela F são os valores críticos.
Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor
tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não
pode ser rejeitada.
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51
Tabela 3 - Distribuição F
Colunas: Graus de Liberdade Numerador.
Nivel de Significância: 0,01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 25 1000
1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6157 6209 6240 6363
2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,45 99,46 99,50
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,87 26,69 26,58 26,14
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,20 14,02 13,91 13,47
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,72 9,55 9,45 9,03
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,56 7,40 7,30 6,89
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,31 6,16 6,06 5,66
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,52 5,36 5,26 4,87
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 4,96 4,81 4,71 4,32
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,56 4,41 4,31 3,92
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,25 4,10 4,01 3,61
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,01 3,86 3,76 3,37
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,82 3,66 3,57 3,18
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,66 3,51 3,41 3,02
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,52 3,37 3,28 2,88
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,41 3,26 3,16 2,76
17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,31 3,16 3,07 2,66
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,23 3,08 2,98 2,58
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,15 3,00 2,91 2,50
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,09 2,94 2,84 2,43
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,03 2,88 2,79 2,37
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 2,98 2,83 2,73 2,32
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 2,93 2,78 2,69 2,27
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,89 2,74 2,64 2,22
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,85 2,70 2,60 2,18
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,81 2,66 2,57 2,14
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,78 2,63 2,54 2,11
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,75 2,60 2,51 2,08
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,73 2,57 2,48 2,05
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,70 2,55 2,45 2,02
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,52 2,37 2,27 1,82
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,42 2,27 2,17 1,70
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,35 2,20 2,10 1,62
70 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,31 2,15 2,05 1,56
80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,27 2,12 2,01 1,51
90 6,93 4,85 4,01 3,53 3,23 3,01 2,84 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,24 2,09 1,99 1,48
100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,22 2,07 1,97 1,45
500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,07 1,92 1,81 1,20
1000 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,06 1,90 1,79 1,16
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52
CAPÍTULO 4 Pressupostos de um Modelo para Explicação do Mercado Imobiliário
Na estimativa do valor de um determinado segmento do mercado imobiliário (de um
terreno, de uma residência, de um aluguel, etc...), o processo de inferência estatística pode
se constituir na metodologia adequada, desde que atenda o pressuposto básico inicial
quanto a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado, estatisticamente,
como amostra deste segmento.
O processo de inferência consiste em obter um modelo de regressão de múltiplas variáveis,
que explique a variação do valor investigado a partir desse conjunto de dados,
normalmente estimado através do método dos mínimos quadrados.
Este método consiste calcular as relações estatísticas no âmbito das informações colhidas
em amostra e o processo que possibilita prever o valor de um parâmetro desconhecido
(populacional) tem explicação na teoria das probabilidades. Essa teoria permite fazer
inferências, mediante testes de hipóteses e intervalos de confiança e é nela que estão
baseadas as especificações quanto aos critérios estabelecidos para o tratamento estatístico
inferencial introduzidas pelas normas de avaliação de imóveis da ANBT (NBR-14.653-2).
Assim é que, na estimativa do valor de um determinado imóvel (Yi), pressupõe-se que ele
possa ser explicado segundo uma variação de diversas componentes (X1j ,X2j ... Xkj , que
podem ser representados por uma variação de: área, frente, distancia a um polo atrativo,
padrão construtivo, etc..) e o modelo de regressão ajustado normalmente consiste numa
função linear- ou linearizável por transformação nas escalas das variáveis envolvidas - do
tipo:
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ......... βkXki + εi , onde:
Yi = variável dependente ou explicada, que se constitui no valor investigado (terreno, casa, loja)
X1i ,X2i ... Xki = variáveis independentes ou explicativas, que podem ser de natureza quantitativa
(área, frente, distancia a um polo atrativo, etc..) ou qualitativa (padrão, topografia, etc..)
β1,β2 ...βk = parâmetros da regressão
εi = os respectivos erros ou resíduos, sendo a expressão de inúmeras pequenas causas que produzem um desvio do que a variável dependente deveria ser, se a relação fosse determinística.
Cabe relembrar a natureza do termo erro ei , e especificar que ,no caso de avaliações, se deve
principalmente aos seguintes aspectos:
1o) erros decorrentes de observação ou medidas das variáveis (muito comuns na prática da
pesquisa, por serem dependente de informações de terceiros);
2o) erros devidos a não consideração de variáveis influentes na variação de valor, não
contempladas na regressão. Isto significa dizer que, além das variáveis reconhecidas no
modelo, existiriam fatores que poderiam influenciar indiretamente o valor (Y,) mas que não
se revelam suficientemente fortes para estarem no modelo,
3o) aleatoriedade do comportamento humano, elemento imprevisível e muito presente no
mercado imobiliário
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53
Devido a esse erro amostral, dificilmente a regressão estimada da amostra coincidirá com a
verdadeira regressão populacional:
Y
X
Fig.15 - Representação esquemática das regressões (amostral e populacional)
O máximo que se pode esperar é uma
aproximação razoável entre as duas
funções. Ao ajustar a regressão amostral,
o objetivo é manter os resíduo ( erros), tão
pequenos quanto possível.
A técnica mais usada para determinar a
equação de regressão é a dos mínimos
quadrados e a denominação provem de
a reta resultante minimizar a soma dos
quadrados dos desvios dos pontos em
relação a reta, conforme especificado
adiante.
Y = βo +β1Xi Regressão verdadeira
(desconhecida)
1.1.1.1.1i =b0 +b1X1i
Regressão
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54
Para que este modelo matemático seja considerado válido para explicação do
fenômeno investigado, considera-se, ainda, que as variáveis explicativas ((X1j ,X2j ... Xkj ,,
área, testada, etc...) não contenham nenhuma perturbação aleatória - que deve ser
assegurado mediante verificação dos testes de hipóteses básicos (demonstrados pela
significância dos regressores através do teste “t” e da equação como um todo através
da distribuição “F” ) e que a distribuição dos resíduos os erros, εi , satisfaçam aos
pressupostos de modelo de regressão linear normal, isto é, variância constante (
homocedasticidade) , independencia entre as variáveis explicativas e não auto-
regressão (quando usadas séries temporais).
E o que é mais importante, é que este modelo poderá ser utilizado para avaliação,
desde que represente com clareza, coerência e logicidade o efetivo comportamento
do segmento de mercado estudado naquele momento.
4.1 – O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR – CÁLCULO DOS PARÂMETROS
Após ter selecionado a fórmula básica da parte funcional do modelo, a etapa seguinte
no processo é a estimação dos parâmetros (b0, b1, b2, ..., bk) na função. Isto deve ser
realizado resolvendo um problema que relaciona a resposta variável e a parte
funcional do modelo de uma maneira que produzam as estimativas dos parâmetros o
mais próximo possível dos valores dos parâmetros verdadeiros, desconhecidos.
Existem diversos métodos para a estimação dos parâmetros de uma equação de
regressão
Os dois métodos mais comumente utilizados são os dos Mínimos Quadrados Ordinários e
o da Máxima Verossimilhança, sendo o primeiro mais difundido na Engenharia de
Avaliações.
4.1.1 - O método dos mínimos quadrados
Pelo critério dos mínimos quadrados, os valores desconhecidos dos parâmetros, β0,
β1,...,βK são estimados encontrando os valores numéricos para os parâmetros que
minimizam a soma dos resíduos, ou seja, das diferenças entre as respostas observadas e
a parcela funcional do modelo (calculadas através da equação de regressão).
Matematicamente, o critério da soma dos quadrados, que é minimizado para obter as
estimativas do parâmetro é:
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
55
2n
1ii
ˆ;x(fy∑=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=∂ β
rrsendo que, β1, β2,..., βK, são tratados como os coeficientes das
variáveis X1, X2,..., Xk e resultarão nos valores de predição de Y, em função da variação
destas referidas variáveis. Para enfatizar o fato que as estimativas dos valores de
parâmetro não são as mesmas como os valores verdadeiros dos parâmetros as
estimativas são denotados perto kβ,...,β ,β 10ˆˆˆ .
A explicação do método será ilustrada com base em sua expressão mais simples
recorrendo à regressão linear relacionando apenas duas variáveis, considerando o
modelo de regressão em linha reta. A relação entre "Y" e "X", pode ser representada em
um diagrama de dispersão, com os valores yi em ordenada e os xi em abscissa. Cada
par de valores xi e yi fornecerão um ponto e utilizando-se, por exemplo, o método que
minimiza o somatório dos resíduos ao quadrado, pode-se calcular, neste caso, a
equação de uma reta de tendência que melhor se ajuste à nuvem de distribuição dos
pontos representativos dos dados pesquisados da amostra utilizada.
y
Yi
Y1 Ŷi
e i b1
b0
X1 X
Fig.16 – Representação da Reta de Regressão.
Para ajustar uma reta aos valores dos dados de uma amostra, pelo princípio dos
mínimos quadrados deve-se procurar uma reta tal que a soma dos quadrados das
distâncias verticais de cada ponto à reta seja a menor possível. Tomam-se os
quadrados das distâncias para que as distancias positivas sejam canceladas pelas
negativas. O intercepto e o coeficiente angular dessa reta, são b0 e b1, que
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56
correspondem às estimativas obtidas pelo método dos mínimos quadrados de β0 e β1
e a reta ajustada é representada pela expressão:
Ŷi= b0 + b1 x1
Considerando o gráfico acima, para cada reta que passe pelos pontos do diagrama,
existe um resíduo correspondente a distancia vertical entre Xi e a reta, para cada par (
Xi,Yi) observado. As distâncias verticais de cada ponto à reta ajustada são os resíduos
de mínimos quadrados, e são dados por:
ei = Yi – Ŷi ou
4 ei = Yi – b0 – b1 .Xi
onde: Yi é o valor observado da variável dependente
Ŷii é o valor estimado ou previsto pelo modelo
ei o resíduo estimado
b0 e b1 as estimativas dos parâmetros β0 e β1
A aplicação do método dos mínimos quadrados, portanto, consiste em encontrar, a partir dos
dados amostrais (Yi, Xi), as estimativas para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou
diminuição da variável Yi por unidade de variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que
define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos)
sejam mínimos.
Uma vez que as diferenças entre valores reais (Yi) e valores previstos ( Ŷi ) serão tanto positivas
como negativas para diferentes observações, é necessário minimizar matematicamente como:
Como Ŷi= b0 + b1.X1,, o que está sendo minimizado é:
Para este modelo, as estimativas dos mínimos quadrados dos parâmetros seriam
computadas minimizando:
Fazendo o exame de derivadas parciais δ com respeito à b0 e b1, ajustando cada
derivada parcial igual a zero e resolvendo o sistema resultante de duas equações com
dois desconhecidos, tem-se as seguintes estimativas para os parâmetros:
2
1)]Xb (b - [Y i10i +∑
=
n
i
2n
1i)]Xb (b - [Y i10i +=∂ ∑
=
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
57
Onde, x corresponde ao valor médio da variável Xi e y corresponde ao valor médio
da variável Yi.
E a equação de regressão é, então, dada por:
Ŷ = b0 + b1 xi
É relevante, a esta altura, informar que, no caso de utilização de duas variáveis
explicativas e uma explicada, a reta de regressão passa a ser um plano de regressão,
em relação ao qual são calculados os resíduos. No caso de mais de duas variáveis
explicativas, diz-se que os resíduos são calculados em relação a um hiper-plano teórico.
As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para predizer o valor de
uma das variáveis, dado um valor da outra variável, desde que se ajustem bem aos
dados e não ultrapasse os limites dos valores disponíveis. A regressão múltipla é usada,
portanto, para testar dependências cumulativas de uma única variável dependente
em relação à diversas variáveis independentes. Cada variável é isolada e mantida
constante enquanto as variáveis restantes variam sistematicamente, sendo observados
os seus efeitos sobre a variável dependente. A variável a ser inicialmente mantida
constante é aquela que ocasiona a maior influência na variabilidade da variável
dependente.
O modelo geral é representado por
ikik110i exbxbby ++++= L
A condição inicial, como na regressão linear simples, é descrita por
111o exbby ++= onde xi é a variável independente, responsável pela
maior variabilidade, b0 e b1 são os coeficientes e e1 é o erro, isto é, a
variabilidade em Y não explicada pela relação linear.
∑
∑
=
=
−
−−= n
1i
2i
n
1iii
)xx(
)yy)(xx(1b
xby 1−=0b
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58
A variável que, em seguida, mais reduz a variabilidade do erro é em seqüência
adicionada de tal modo que:
y b b x b x eo= + + +1 1 2 2 2 , sendo b0 , b1 e b2 calculados e e2 < e1 .
O processo segue por etapas até que o comportamento de todas as variáveis
independentes em relação à dependente seja verificado.
O desenvolvimento dos sistemas de equações não se constitui no objetivo precípuo
deste curso, sendo recomendado aos alunos se aprofundar utilizando as referências
bibliográficas recomendada na apostila.
A mesma recomendação vale para os modelos lineares de regressão múltipla,
especialmente aqueles envolvendo muitas variáveis explicativas, onde a estimação dos
parâmetros pelo método dos mínimos quadrados (b0, b1, b2,...., bk) é obtida através de
operações com matrizes, cujas formulações teóricas baseiam-se em cálculos
complexos, que não se constituem no principal objetivo deste curso, razão pela qual
serão apresentados apenas os conceitos mais importantes, até mesmo porque, os
programas aplicativos de computador resolvem todos os sistema de equações.
Correlações do modelo e das variáveis explicativas
O coeficiente de correlação isolada entre variáveis expressa o quanto as mesmas
estão relacionadas entre si.
O coeficiente de correlação entre Y e X, simbolizado por r, pode ser pode ser definido
na forma de raiz quadrada do coeficiente de determinação R2 ou pela fórmula:
ry x
= ∑∑∑
xy2 2.
O coeficiente de correlação é útil no processo de investigação das variáveis
potencialmente importantes no modelo e de eventual existência de colinearidade
entre variáveis explicativas. Indicado pela letra ' r ' , pode ser medido por duas
características:
a) sua intensidade, que varia de 0 a 1;
b) seu sentido, que pode ser positivo ou negativo: a correlação é positiva quando
as duas variáveis examinadas crescem ou diminuem ambas no mesmo sentido, e
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59
negativa quando variam em sentidos contrários, ou seja, quando uma cresce a
outra diminui.
A análise das correlações “isoladas” entre cada uma das variáveis independentes e a
variável dependente permite verificar, pelo seu sinal, a forma da relação (se positiva,
aumenta o valor do imóvel ou se, negativa, diminui) e, pela magnitude do coeficiente
(de 0 a 100%) o quanto cada uma das variáveis independentes contribuem
isoladamente para maximizar a predição (variação explicada) da variável
dependente.
Portanto a análise das correlações isoladas entre a variável dependente e as demais
variávei é útil no trabalho exploratório de investigação das variáveis potencialmente
importantes a serem incluídas no modelo, por medir simultaneamente seu sentido e seu
grau ou força de relacionamento, desde que exista a já citada relação de causa e
efeito entre elas.
Em compensação, uma das hipóteses básicas da aplicação do método dos mínimos
quadrados é que inexista, ou seja muito baixa, a correlação isolada entre cada uma
das variáveis explicativas e as demais variáveis explicativas. Se essa correlação entre
variáveis explicativas for muito alta, diz-se que há colineariedade entre elas. Se houver
simultaneamente altas correlações entre duas ou mais variáveis explicativas, ocorre a
multicolinearidade entre elas
Se as variáveis independentes são altamente correlacionadas, então elas
“compartilham” de algum poder de predição. Ao analisar o poder de predição do
modelo, é imprescindível estar atento para que variações compartilhadas
(correlacionadas) entre algumas variáveis independentes não sejam “contadas
dobradas”, porque além de problemas estatísticos, expõe o modelo a uma
redundância de variáveis, como é caso por exemplo de área útil e número de
dormitórios como variáveis explicando a variação do valor do apartamento. Esses
cálculos da variação compartilhada ilustram uma das formas de identificar os efeitos
da colinearidade entre variáveis independentes atuando sobre a variável dependente,
objeto de análise específica e detalhada em tópico à parte deste curso.
O coeficiente de correlação parcial (por vezes chamada “com influência") indica o
relacionamento entre duas variáveis analisadas, na presença de uma ou mais variáveis
que com elas atuam simultaneamente.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
60
Coeficiente de determinação (R2)
O poder de explicação de um modelo é feito através do coeficiente de determinação.
O coeficiente de determinação, indicado por “r²” (quadrado do coeficiente de
correlação 'r') mede o percentual da variação total do valor em torno da media que
é explicada pela variação dos regressores adotados na equação. Quanto maior a
variação a ser explicada, maior o coeficiente e vice-versa. Embora seja desejável o
mais próximo de 1 (100% da variação explicada), não se pode definir valor mínimo
aceitável, pois dependerá do tamanho da variação da amostra e das variáveis
colhidas para explicar esta variação.
Ao ajustar uma equação, espera-se que ela se ajuste à variação de um grupo de
dados e a questão que surge naturalmente é saber quão precisa é a estimativa dada
por essa equação.
Mas qual seria o critério para determinar a reta que é melhor que todas as outras? Esse
critério baseia-se na distancia vertical entre os pontos que representam os dados
originais e a reta de regressão: tais distâncias chamam-se resíduos.
Dado um par de dados amostrais (x,y), um resíduo é a diferença (y- ŷ ) entre um valor amostral
observado y e o valor ŷ predito com base na equação de regressão. Portanto: uma reta verifica
a propriedade dos mínimos quadrados se a soma dos quadrados dos resíduos é a menor
possível.
Considerando por exemplo a dispersão de pontos da figura abaixo em torno da média, em
oposição à dispersão vertical de pontos em torno da reta de regressão como ilustra a figura
abaixo. Se a dispersão associada à reta é muito menor que a dispersão (erro) associada à
média, as predições baseadas na reta serão melhores que a da média.
Fig.17 - Comparação de dispersão de y’s em torno da reta de regressão com a dispersão de y’s em torno
da média
DISPERSÃO DE PONTOS
EM TORNO DA MÉDIA
DISPERSÃO DE PONTOS EM TORNO
DISPERSÃO DE PONTOS EM TORNO
DA RETA DE REGRESSÃO
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61
Para ilustrar a questão e voltando ao caso do relacionamento de duas variáveis, ao aplicar
modelo de regressão simples, a variável Xi é introduzida na esperança de que sua variação
“explique” a variação de Yi, ou seja:
Yi = βo +β1Xi + ε i onde (βo + β1Xi ) é ó componente explicável da variação de Yi e ε i é o
componente não explicado. Desta forma, para examinar se a variável independente prevê bem a
variável dependente no modelo estatístico, é necessário desenvolver essas medidas de variação.
Para tanto, será necessário decompor o valor de Yi em:
iii eyy )) += onde ii xbby 10 +=) e ii yyie )) −=
Y Yi
EXPLICADONÃO
COMPONENTE−
=−= yye Ii))
VARIAÇÃO TOTAL ŷi = b0 + b1. xi
)yy( iI − EXPLICADO
COMPONENTE=− yy)
),( yx
Xi X
Fig.18 – Componentes: explicado e não-explicado, de yi
Como ilustra a figura acima, a diferença entre yi e o seu valor médio iyr (variação total)
consiste em uma parte explicada pelo modelo de regressão ( ii yy − ) e uma parte não explicada ( ii yy ˆ− ), que são os resíduos. Existem diversas formas de medir a variação total de uma variável,
sendo que uma delas consiste em somar sobre toda a amostra, os quadrados das diferenças entre yi e a sua média iyr . Especificamente essas somas de quadrado resultam nas seguintes
medidas:
∑=
n
1i
2)( y-y i = soma de quadrados total – STQ: que é uma medida de variação total dos valores de
Yi em torno de sua média amostral.
∑=
−n
1i
2)( yy = soma de quadrados devido a regressão – SQR: que é a parcela da variação total de
y em relação à sua media, que é explicada pela regressão, ou a parcela atribuída à relação entre X e Y.
∑=
n
1i
2)( y-y i = soma do quadrado dos erros – SQE: que é a parcela da variação total de y em
relação à sua média, que não é explicada pela regressão e que é atribuída a outros fatores diferentes da relação entre X e Y.
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62
Sendo que: 2
∑=
n
1ii )y-(y =
2ˆ∑
=
n
1ii )y-y( + ∑
=
n
1ii )y-(y ˆ 2
= +
O Coeficiente de Determinação - R² é representada pela proporção da variância dos Yi
observados "explicada" pelo modelo de regressão ajustado ou o resultado da soma de
quadrados devida à regressão dividida pela soma total dos quadrados:
TALVARIAÇÃOTO
PLICADAVARIAÇÃOEXn
1i2)Yi(Y
n
1i2)YiY(
2R =∑=
−
∑=
−=
ˆˆ
O coeficiente de determinação fornece uma medida dimensional de quantidade do ajuste do
modelo de regressão múltipla aos dados, correspondendo a um valor compreendido entre 0 e 1
e podendo ser interpretado como a porcentagem (variando de 0 a 100%) da variação de Yi,
em torno de sua média, explicada pelo modelo de regressão.
Quanto maior for o valor de R2, maior será a parcela da variação de Yi “explicada” pela
variação das várias variáveis explicativas Xi, e, em princípio, melhor a capacidade de previsão
do modelo encontrado. Valores de R2 próximos de zero indicam um péssimo ajuste dos dados
obtidos pela equação de regressão aos dados obtidos no campo amostral.
Exemplo: Numa regressão simples valor unitário x área, o fato de ter R2=0,60 indica que aproximadamente
60% da variação no preço unitário estão relacionados com a variação da área, logo os restantes 40% não
são explicados por esta variável. Isto sugere que:
1.1.1.1.1.1 1o) Talvez uma equação não linear se ajustasse melhor;
2o) É possível que outras variáveis não incluídas no modelo sejam importantes.
Com a adição de novas variáveis ao modelo, é sempre possível aumentar o valor de R2, no
entanto, nem sempre um novo modelo com mais variáveis regressoras será melhor que um
modelo que não envolva essas variáveis.
Para contornar esse problema, é sugerido que seja calculado um coeficiente de determinação
múltipla ajustado, simbolizado por 2R , em cuja fórmula, apresentada a seguir é possível verificar
que, diferentemente do R2, reflete tanto o número de variáveis explicativas k e quanto o
tamanho da amostra n:
[ ]1
1).1(1 22
−−−
−−=kn
nRR
VARIAÇÃO TOTAL
VARIAÇÃO EXPLICADA
VARIAÇÃO NÃO-EXPLICADA
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63
Observações:
• Não utilizar equações de regressão com número de elementos amostrais igual ao número de
variáveis utilizadas, pois a equação corresponderá sempre a coeficiente de determinação 1,
já que consiste em resolver um sistema determinístico de n equações a n incógnitas.
• Evitar número reduzido de elementos amostrais, pois há casos que podem induzir a um
elevado coeficiente de correlação ( r ) , porém equivalendo a um grande intervalo de
confiança no respectivo valor de ' ρ ' da população (podendo, inclusive, conter o valor
zero). Isto significa dizer que, a equação pode estar explicando grande parte da variação
do fenômeno para uma pequena amostra mas, na realidade, pode não estar explicando
absolutamente nada da variação do fenômeno na população da qual essa amostra faz
parte.
• O coeficiente de determinação, apesar de ser um indicador sensível para explicação do
modelo, trata-se de uma medida descritiva e, por si só, não mede a qualidade do modelo de
regressão. O fato de ser alto, não implica necessariamente que o modelo ajustado seja
adequado, não sendo recomendável seguir uma estratégia de regressão que vise apenas à
maximização de R2. (in Eonometria, Judge). Devem ser verificadas a sua consistência, através
dos testes de hipóteses (t e F) a distribuição dos resíduos e a coerência do modelo com o
mercado.
• O pesquisador deve se preocupar com a relevância lógica das variáveis explicativas para a
variável dependente e com seu significado estatístico cuja tendência é a de encontrar
modelos que representem um comportamento médio de mercado devendo ter cuidado com
modelos que atinjam coeficientes de determinação próximo de 1 (ou 100%) que podem ser o
resultado de um ajuste perfeito apenas “matemático”
• O valor de R2 depende do número de variáveis explicativas k e do tamanho da amostra n ,
por isso, aumenta o com o acréscimo de variáveis. A fim de tornar os R2 comparáveis, utiliza-
se R2 ajustado, R2 , expresso em termos da variância e não da variação.
• O R2 é um recurso descritivo para informar sobre o ajuste do modelo , enquanto que o R2 é
preferível para medir o grau de ajustamento por levar em conta o no. de variáveis
independentes (k) em relação a quantidade de observações (n).
• se R2 e R2ajustado forem muito diferentes, é uma indicação de que foi incluído um número muito
excessivo de variáveis explicativas, mas que não contribuem de modo significativo para
melhorar a qualidade do modelo ajustado.
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64
CAPÍTULO 5 Tratamento por Fatores - recomendações
No tratamento por fatores, devem ser utilizados os elementos amostrais mais
semelhantes possíveis ao avaliando, em todas as suas características, cujas diferenças
perante o mesmo, para mais ou para menos, são levadas em conta.
É admitida a priori a existência de relações fixas entre as diferenças dos atributos
específicos e os respectivos preços e, neste caso, é aconselhável que os fatores sejam
aplicados ao valor original do elemento comparativo na forma de somatório.
O conjunto de fatores aplicado a cada elemento amostral será considerado como
homogeneizante quando após a aplicação dos respectivos ajustes, se verificar que o
conjunto de novos valores homogeneizados apresenta menor coeficiente de variação
dos dados que o conjunto original. Devem refletir, em termos relativos, o
comportamento do mercado, numa determinada abrangência espacial e temporal,
com a consideração de:
- elasticidade de preços;
- localização;
- fatores de forma (frente, profundidade, área ou múltiplas frentes);
- fatores padrão construtivo e depreciação (no caso de edificações).
Fator oferta
A superestimativa dos dados de oferta (elasticidade dos negócios) deverá ser
descontada do valor total pela aplicação do fator médio observado no mercado. Na
impossibilidade da sua determinação, pode ser aplicado o fator consagrado 0,9
(desconto de 10% sobre o preço original pedido). Todos os demais fatores devem ser
considerados após a aplicação do fator oferta.
Fator localização
Para a transposição da parcela do valor referente ao terreno de um local para outro,
poderá ser empregada a relação entre os valores dos lançamentos fiscais, obtidos da
Planta de Valores Genéricos editada pela Prefeitura Municipal, se for constatada a
coerência dos mesmos.
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65
Nos casos de inexistência desses valores ou se forem constatadas incoerências nas suas
inter-relações, deverá ser procedido estudos de mercado devidamente
fundamentado.
No caso de terrenos com edificações, os fatores referentes à localização devem incidir
exclusivamente na parcela do valor do comparativo correspondente ao terreno.
Serão considerados semelhantes, elementos que:
a) Estejam na mesma região e em condições econômico-mercadológicas equivalentes
às do bem avaliando;
b) Constituam amostra onde o bem avaliando fique o mais próximo possível do
centróide amostral;
c) Sejam do mesmo tipo (terrenos, lojas, apartamentos etc);
d) Em relação ao bem avaliando, sempre que possível, tenham:
- dimensões compatíveis;
- número compatíveis de dependências (vagas de estacionamento, dormitórios,
entre outros);
- padrão construtivo semelhante;
- estado de conservação e obsoletismo similares.
Aplicação dos fatores
Na aplicação dos fatores, devem ser observados os seguintes princípios:
1. A utilização dos fatores deve ser na forma de somatório, após a consideração do
fator oferta.
2. São considerados discrepantes elementos que :
a) Os valores unitários, em relação ao valor médio amostral, extrapolem a sua
metade ou dobro;
b) Não obstante, recomenda-se que esses sejam descartados caso a
discrepância persista após a aplicação de fatores mais representativos
(localização para terrenos, padrão construtivo e depreciação para
benfeitorias), desde que validados preliminarmente.
3. Somente após a validação do conjunto de fatores, deve ser realizado o
saneamento dos dados homogeneizados, por meio dos seguintes procedimentos
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66
a) Calcula-se a média dos valores unitários homogeneizados;
b) Adota-se como intervalo de elementos homogêneos, aquele definido entre os
limites de 30%, para mais ou para menos, do respectivo valor médio;
c) Se todos os elementos estiverem contidos dentro desse intervalo, adota-se essa
média como representativa do valor unitário de mercado. Caso contrário, procura-
se o elemento que, em módulo, esteja mais afastado da média, que é excluído da
amostra. Após a exclusão, procede-se como em a) e b), definindo-se novos limites.
e) Se elementos anteriormente excluídos passarem a estar dentro dos novos limites
devem ser reincluídos;
f) Este processo deve ser reiterado até que todos os dados atendam o intervalo
de +/- 30% em torno da última média;
g) Se houver coincidência de mais de um elemento a ser excluído na etapa d),
deve-se excluir apenas um, devidamente justificado Saneamento
Não são considerados elementos semelhantes ao avaliando aqueles cujos valores
unitários, após a aplicação do conjunto de fatores, resultem numa amplitude de
homogeneização aquém da metade ou além do dobro do valor original de transação
(descontada a incidência do fator oferta quando couber).
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67
1)( 2
−
−= ∑
nxx
s i
ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES Avaliação de um terreno partindo de uma amostra com 7 elementos comparativos, com as
seguintes características:
Elem. Valor 1 6,00 2 6,00 3 7,00 4 7,00 5 10,00 6 12,00 7 15,00
Se, na pesquisa efetuada, as únicas informações disponíveis fossem os valores unitários, a alternativa seria considerar a média aritmética dos dados, dada por: MÉDIA= 9,00 Ou seja, seria admitido que os terrenos valeriam em média R$9,00/m2 (Para maior facilidade de condução dos cálculos, os valores unitários foram divididos por 10)
Verificando o quanto os dados disponíveis variam em torno da média, tem-se:
Elem. Valor (yi)
Valor médio (Y)
Diferença (Y-Y)
1 6,00 9,00 3,00 2 6,00 9,00 3,00 3 7,00 9,00 2,00 4 7,00 9,00 2,00 5 10,00 9,00 -1,00 6 12,00 9,00 -3,00 7 15,00 9,00 -6,00
Soma 63,00 0,00
Se as diferenças forem simplesmente
somadas (compensadas), o resultado será
zero, o que não permite encontrar a medida
de variação procurada.
A solução, então, é elevar essas diferenças ao quadrado para eliminar o sinal negativo e
trabalhar apenas com valores positivos, obtendo-se:
Elem. Valor (yi)
Valor médio (Y)
Diferença(Y-Y)
(Y-Y)2
1 6,00 9,00 3,00 9,00
2 6,00 9,00 3,00 9,00
3 7,00 9,00 2,00 4,00
4 7,00 9,00 2,00 4,00
5 10,00 9,00 -1,00 1,00
6 12,00 9,00 -3,00 9,00
7 15,00 9,00 -6,00 36,00
Soma 63,00 0,00 72,00
Média
Mediana =
Moda=
Desvio Padrão =
Coeficiente de variação =
Logo, a variação total em torno da
média será:72,00 (ou variação média:
72/7 = 10,28)
Isso demonstra que as informações não
são homogêneas, ou seja, apresentam
diferenças entre si que fazem os valores
variarem em torno da média (Variação
Total de 72) e, por conseqüência, a
avaliação não poderia ser feita pela
média simples.
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
68
Neste caso, e havendo variação, é necessário explica-la, procurando as características dos
terrenos que possam justificar o fato dos mesmos não apresentarem valores aproximadamente
iguais ao da referida média. Isto será feito, verificando, por exemplo, se as frentes dos terrenos
pudessem ser uma dessas prováveis variáveis.
Configurando em um gráfico no plano cartesiano essas duas medidas, tem-se o seguinte
diagrama de dispersão.
Com as informações das frentes dos terrenos, o valor médio destes não é mais constante, mas
uma função da variação destas.
A equação seria do tipo y= bo + b1 x1, onde y seria os valores médios dos terrenos e x as
respectivas frentes.
CONCEITO: Uma análise de regressão geral, essencialmente, uma equação, cujos coeficientes refletem
a intensidade da relação entre cada variável explicativa isolada e a variável resposta.
A sua interpretação estatística depende dos seguintes itens: • O Valor de r (Coeficiente de Correlação): É um índice que varia entre -1 e +1, apontando o quanto as
diversas medidas obtidas a partir da amostra se ajustam à equação matemática proposta. Quanto maior o valor
absoluto de r (seja positivo ou negativo), maior a concordância entre os dados e a curva de regressão.
• O valor de r2 (Coeficiente de Determinação) que indica qual o percentual da variância da variável
dependente que pode ser explicado pela(s) variável(eis) independente(s).
• O Valor de p Para a Estatística t de Cada Variável: É uma probabilidade associada ao valor da função t, a
qual é obtida, para cada variável, a partir do modelo de regressão. Indica a probabilidade de que o coeficiente
levantado para cada variável, seja qual for o seu valor, contribua de forma significativa no modelo.
• aferir a qualidade de uma regressão pela análise dos seus resíduos, ou seja, das diferenças entre os
valores previstos pelo modelo de regressão para a variável dependente e os valores de fato observados. Qualquer
padrão ou regularidade observada nos resíduos é um indicativo de um erro sistemático do modelo, ou seja, da sua
inadequação. O ideal seria que os resíduos fossem aleatórios, com distribuição normal e média zero.
valor unitário x frente
6,00 6,00
7,00 7,00
10,00
12,00
15,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00
frente
unitá
rio
Elem. Valor Frente
1 6,00 5,00
2 6,00 7,00
3 7,00 6,00
4 7,00 12,00
5 10,00 15,00
6 12,00 18,00
7 15,00 20,00
Página 69
69
EXPLICAÇÕES BÁSICAS: Método dos mínimos quadrados PARTE I - Montagem do modelo: Tomando como base o gráfico acima, é possível verificar a
existência de uma relação (apesar de apresentar alguma dispersão) entre os pares dos preços unitários
(Y) com os das frentes (X1), demonstrando a intuição lógica de que quanto maior a frente, maior o preço unitário. Esta relação pode ser escrita através de uma equação matemática (nesta primeira
fase, linear) que descreva o comportamento entre essas duas variáveis. A equação de regressão linear
têm a forma Y =b0 +b1X1 + e ; onde Y é a variável dependente (no caso, valor unitário) e X1 é a
variável independente ( no caso, a frente) e b0 e b1 indicam o intercepto e o coeficiente angular,
respectivamente, e e, o termo residual ( ou erro). O objetivo é encontrar, a partir dos 7 dados
amostrais, uma expressão para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da
variável Y - valor unitário, por unidade de variação da variável X1 -frente) e para o intercepto b0 (que
define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros sejam mínimos.
Para obter uma reta para o exemplo valor unitário versus frente, é necessário primeiramente calcular
os parâmetros b0 e b1 da reta, e uma das formas utilizadas é efetuando os somatórios, conforme
demonstrado nos passos seguintes.
Montagem da equação de regressão - Cálculo de bo e b1 ( dados das tabelas
1.1.1.1.1.1.1.1.1
Médias de X e Y e respectivos somatórios
Tabela 1 Tabela 2
Ref. x ( frente) y ( valor unitário) X.Y x^2 Y^2
1 5,00 6,00 30,00 25,00 36,002 7,00 6,00 42,00 49,00 36,003 6,00 7,00 42,00 36,00 49,004 12,00 7,00 84,00 144,00 49,005 15,00 10,00 150,00 225,00 100,006 18,00 12,00 216,00 324,00 124,007 20,00 15,00 300,00 400,00 225,00
Somas ∑X = 83,00 ∑y= 63,00 864,00 1.203,00 639,00Médias 11,86 9,00 ∑xy ∑x2 ∑y2
X barra Y barra
Substituindo Y chapéu:
0)ˆe 2 == ∑ ii Y - (Y
Nota: Por convenção estatística: N = número de elementos K = número de variáveis explicativas Y barra = média Y chapéu = equação de regressão
6612.286,11x5343,09b
5343.083)203.1(7
)63x83()864(7b
0
21
=−=
=−
−=
02 =∑ + )]Xb (b - [(Y i10i
VARIAÇÃO DE Y
VARIAÇÃO DE x
b1Y
X
b0
e
equações “normais” (deduzidas através de derivadas , somatórias ou matrizes) ∑ ∑∑ += 2
i10ii X bXibYX
∑ ∑+= i10i X bnbY
∑∑∑ ∑∑−
−=
22 )x()x(n)y.)(x()xy(n
1b
XbY 1−=0b
Página 70
70
Pode-se também calcular através dos Somatórios, ou seja:
Sxy= [ xy - ( x . y)/n] 864,00( 83,00 x 63,00 ) / 7 117,00Sxx= [ x^2 - ( x)^2/ n] 1.203,00( 83,00^2 ) / 7 218,86yy= [ y^2 - ( y)^2/ n] 639,00( 63,00^2 ) / 7 72,00
Equação de regressão B1 = Sxy / Sxx 117,00/ 218,86 B1= 0,5346Bo = Ybarra - ( B1. X barra) 9,00- ( 0,5346 x *1,86 ) = B0= 2,6612
Equação de regressão ( Y= Bo +B1.X1) ou seja : Valor unitário =2,6612 + 0,5346 x Frente
Parte II: Estatísticas da Regressão: Coeficiente de Correlação, de Determinação e do Erro Padrão da Regressão: Tabela 3 - Variação
Projeção Explicada Não explicada Resíduos TotalY chapéu Y=2,6612 +0,5343 . X1 (Ychapéu - Ybarra)^2 (Y - Ychapéu)^2 (Y - Ybarra)^2
5,33 (2,6612 +0,5346 x 5) 13,44 (5,33-9)^2 0,44 (6 -5,33)^2 9,00 (6 -9)^2
6,40 (2,6612 +0,5346 x 7) 6,74 (6,4-9)^2 0,16 (6 -6,4)^2 9,00 (6 -9)^25,87 (2,6612 +0,5346 x 6) 9,80 (5,87-9)^2 1,28 (7-5,87)^2 4,00 (7-9)^2
9,08 (2,6612 +0,5346 x 12) 0,01 (9,08-9)^2 4,31 (7-9,08)^2 4,00 (7-9)^210,68 (2,6612 +0,5346 x 15) 2,82 (10,68-9)^2 0,46 (10-10,68)^2 1,00 (10-9)^2
12,28 (2,6612 +0,5346 x 18) 10,78 (12,28-9)^2 0,08 (12-12,28)^2 9,00 (12-9)^213,35 (2,6612 +0,5346 x 20) 18,95 (13,35-9)^2 2,71 (15-13,35)^2 36,00 (15-9)^2
Somas 62,55 9,45 72,00 Coeficiente de Correlação
(r) = Sxy/ (Sxx.Syy)^ 0,5 117,00/ ( 218,86 x
75) ^0,5 0,9321
Coeficiente de Determinação
Correlação ao quadrado ou : variação explicada / variação total 0,8687
R2 0,9321^2 62,55/72 Coeficiente de Determinação R2 = 1- (1-R2). [(n-1)/(n-K-1) 0,8425
Ajustado R2 = Erro padrão da regressão: raiz quadrada do somatório dos resíduos ao quadrado dividido
pelos graus de liberdade (n-K-1) =√ 9.45 / ( 7-1-1) = 1,3749
Coeficiente de Variação Da Equação = erro padrão da regressão/média de Y (1,37/9) 15%
Pretende-se que Y se aproxime o máximo de Y ( Y chapéu) de forma que ( yi y )
i 1
n
−=
∑ $ ( ou a soma dos
resíduos) seja o menor possível.
COEF. DETERMINAÇÃO (R2) = 86,87% da variação do valor unitário (Ỷ) podem ser explicados pela variação da variável frente através da equação de regressão. Neste caso, 13,13% da variação total permanecem não explicados.
7 /12
15/20
y = + 2 ,6612 + 0 ,5346. X1R2 = 0 ,8687
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
0,00 5,00 10 ,00 15,00 20,00 25 ,00f rente
unitá
rio
13,35/20V ar iaç ão não ex p lic ada ou des v io (y -y c hapéu)
V ar iaç ão ex p lic ada (y c hapéu -y bar ra)
v ar iaç ão to ta l (v -y bar ra)
M é d ia (Yb ar r a)= 9
COEF DETERMINA ÇÃ O (R2) = V A RIA ÇÃ O EXPLICA DA
DIV IDIDA PELA V A RIA ÇÃ O TOTA L
R E P R E S E N TA Ç Ã O G R Á FIC A C O E FIC IE N TE D E D E TE R MIN A Ç Ã O
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
71
PARTE III: Inferência em Análise de Regressão Até aqui, o estudo envolveu apenas o
ajustamento de uma reta. Para fazer inferências sobre a população, da qual se extraiu
pesquisa (amostra), deve ser efetuado o teste de significância (teste de hipóteses).
-Testes de Hipóteses: Teste “t” - Teste da variável independente (frente).
No caso de b1=0, o valor de Yi a variável X1 (frente) não importa na variação do valor. Para
tanto impõe-se que b1≠0 , que deve ser assegurado através do teste t de Student.
O processo consiste basicamente em:
1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa
2o) Escolher a distribuição amostral adequada
3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos)
4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s)
5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso
contrário, aceitá-la.
Portanto, para iniciar o processo, dois são formuladas dois tipos de hipóteses:
a hipótese nula (H0=b1=0) ou H0:0,5343 =0
Contra a
a hipótese alternativa (H1≠b1≠0) ou H1:0,5343 ≠0
O segundo passo consiste em identificar a distribuição amostral adequada (no caso, t de Student)
O terceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um valor crítico
como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando verdadeira.
Valor crítico é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do
teste que não levam à rejeição da hipótese nula
A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição amostral – com
base na suposição de H0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e uma região de rejeição de H0.
Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados amostrais para compará-lo com o valor
crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste. Para finalizar o processo, uma estatística teste
que excede o valor crítico sugere a rejeição de H0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao
valor crítico sugere H0 que seja aceita.
O teste é realizado pela comparação da estatística t, t calculado, deduzida para a variável X1
(frente), com o parâmetro obtido na tabela de distribuição t de Student, t tabelado, ao nível de
significância de 10% (teste bicaudal) – classificação no GRAU III de Fundamentação)
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72
Assim tem-se:
- 0 +
1o) Calcula-se o t calculado
t calculado = (b1 / Sb) – VER tabela abaixo
- no caso
- t calculado = 0,5346/0,09294=5,75
2o) Verifica-se o t tabelado (t crítico) na Tabela A1, para o nível de significância de 5% e o número de graus de liberdade (n-K-1)
- no caso t tabelado =
3o) Compara-se o t calculado com o t crítico
4o) Conclusão:
Se t calc > tab, rejeita-se a hipótese nula H=0, e a variável frente correspondente ao coeficiente
testado (0,5346) pode ser considerado importante na explicação do modelo.
Nota importante: Os programas de computador já indicam o nível de significância (Valor P),
bastando apenas ficar atento para verificar se está abaixo de 5% para uma cauda (que, no
caso do exercício, será de 0,0001 ou 0,001% ) ou 10% para duas caudas (no caso 0,00223
ou 0,02%)
Nota: Calculo de Sb 1
Sb 1 = Erro padrão de B1= desvio da
regressão dividido pela raiz quadrada
de n-1 vezes variância da testada (X) =
1,3749 / √ (6 x 36,47) = 0,09294
Variância de X =√∑ (x-xbarra)2/ (n-1) x 1( frente) (x- xbarra) (x- xbarra)^2
5,00 -6,85714 47,020408
7,00 -4,85714 23,591837
6,00 -5,85714 34,306122
12,00 0,14286 0,020408
15,00 3,14286 9,877551
18,00 6,14286 37,734694
20,00 8,14286 66,306122
Soma 83,00 218,857143Xbarra 11,8571 Var x 36,476
Região de rejeição de H0
Nível de significância
ZONA DE ACEITAÇÃO de H0
Nível de significância
Região de rejeição de H0
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17
Parte IV - Análise de Resíduos: proceder a verificação da proporção das diferenças e da existência de elementos discrepantes
Elemento Originais ( valores advindos do
campo)
Previsto ( usando a equação)
Resíduos ( diferença)
Resíduos padrão : resíduo dividido pelo
erro padrão da regressão
1 6,00 5,33 0,67 0,48235 0,67/1,3749 2 6,00 6,40 -0,40 -0,29339 -0,40/1,3749 3 7,00 4 7,00 5 10,00 10,68 -0,68 -0,4946 6 12,00 12,28 -0,28 -0,2065 7 15,00 13,35 1,65 1,1977
Representação gráfica dos resíduos padronizados:
. -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Parte V - Cálculo do valor unitário ( para imóvel com 10 m de frente) e do intervalo de confiança a) AVALIAÇÃO: Modelo : Valor unitário = 2,6612 + 0,5346 x Frente V unitário = R$
b) Calcular o INTERVALO DE CONFIANÇA de 80% previsto nas Normas da ABNT A Norma NB-502/89, estipula, em seu artigo 7.6.8, que o valor final a ser indicado, tem de estar contido em um intervalo de confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a 20% ) para o valor médio induzido pela equação de regressão, ou seja:
hS..thYhYhS.thY 2/)1Kn(2/)1Kn( λλ −−−− +≥≥−
t= considerando ( n-K-1 =5) =
e
Syh = 1,37494x { ( 1/7 + [ (10 -11,86)^2 ] / [1203 - [(83)^2 / 7]} ^0,5
onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syh o desvio padrão de Xh
Syh =1,37494 x {0,1429 + [ (3,4596/218,857)]}^0,5 = 0,3692
S s .1n
(X X)X [( X) / n]Yh e
1h2
2= +−
−
−
∑∑ 2
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Avaliações com Tratamento por Fatores ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
XXII CONGRESO PANAMERICANO DE VALUACIÓN e XIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE AVALIAÇÕES E PERICIAS – abril 2006
18
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS O modelo de regressão:
110i X.bbY += . O valor previsto de Y igual a interseção, mais a inclinação vezes o valor de X.
Onde: i observação a para Y de previsto valor o é Yi = i observação a para de valor o é Xi X=
Esta equação requer a determinação de dois coeficientes: b0 ( a intercecção de Y) e b1 (a inclinação)
no sentido de prever valores de Y.
.
iY iii YYd −= iY 110i X.bbY += iX
A análise de regressão significa a tentativa de encontrar a linha para a qual as diferenças entre os valores reais (Yi) e os valores que seriam previstos (Ỷi) sejam mínimas. Então, para cada valor de Xi existirá um desvio (di), ou seja, para cada valor observado o valor projetado será diferente:
iii YYd −= . Como as diferenças são tanto positivas como negativas, minimizamos matematicamente da seguinte forma:
2i
n
1ii )YY( −∑
= i observação a para Y de previsto valor o é Yi =
i observação a para de valor o é Xi X=
Na verdade estamos minimizando:
2110
n
1ii )]X.bb(Y[ +−∑
=
Que tem 2 incógnitas e para resolver o problema, sistema de 2 equações:
iXbb.nYn
1i10
n
1ii ∑∑
==
+=
∑∑
∑∑∑
=
=
=
==
−
−=
n
1i
n
1i
2i
2i
n
1i
n
1ii
n
1ii
ii
XX
)YX(YX
n
n1b X.bYb 10 −=
2n
1i1
n
1ii0
n
1iii i.XbXbYX ∑∑∑
===
+=
n
xX:e
n
yY:onde
n
1ni
n
1ni
∑
∑
−
−
=
=
Nota; Por convenção estatística: n = número de elementos Y barra = média Ychapéu = equação de regressão
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Avaliações com Tratamento por Fatores ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
XXII CONGRESO PANAMERICANO DE VALUACIÓN e XIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE AVALIAÇÕES E PERICIAS – abril 2006
19
ESPECIFICAÇÕES GERAIS E CONCEITOS INICIAIS DO MODELO DE REGRESSÃO
Modelo para avaliação de terreno no interior de São Paulo, com 300m2; 10m de frente;
localizado a 100m de distância do pólo principal, com asfalto
Pesquisa base: amostra abaixo contendo 20 elementos Variável Dependente: Unitário Variáveis Indepnedentes: Distancia a Pólo (medidas em m) – localização
Área do terreno (medidas em m2) Frente do Terreno (medidas em m) Existência de asfalto (variável dicotômica que indica: presença =1 ou ausência =0
Elemento Distancia polo
Área Terreno Frente Asfalto Unitário
1 1.000,00
300,00
10,00 0
60,00
2 700,00
500,00
15,00 0
50,00
3 800,00
300,00
10,00 0
60,00
4 300,00
300,00
10,00 1
100,00
5 500,00
500,00
15,00 0
70,00
6 500,00
300,00
10,00 1
90,00
7 300,00
500,00
15,00 1
80,00
8 100,00
600,00
18,00 1
90,00
9 100,00
1.000,00
20,00 1
80,00
10 0,01
600,00
15,00 1
100,00
11 200,00
500,00
15,00 1
80,00
12 400,00
500,00
15,00 1
40,00
13 1.000,00
800,00
20,00 0
55,00
14 800,00
300,00
10,00 0
70,00
15 200,00
300,00
10,00 1
80,00
16 1.000,00
600,00
20,00 0
50,00
17 100,00
500,00
18,00 1
80,00
18 0,01
300,00
10,00 1
100,00
19 0,01
500,00
15,00 1
120,00
20 1.000,00
1.000,00
20,00 0
40,00
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
Avaliações com Tratamento por Fatores ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA
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20
Apresentação do 1º) Modelo pelo Programa Sisren
Comportamento das Variáveis com Valor
Área Total1.000900800700600500400300
Valo
r Uni
tário
120
110
100
90
80
70
60
50
40
Distancia polo1.0009008007006005004003002001000
Valo
r Uni
tário
120
110
100
90
80
70
60
50
40
Asfalto10
Valo
r Uni
tário
120
110
100
90
80
70
60
50
40
Frente2019181716151413121110
Valo
r Uni
tário
120
110
100
90
80
70
60
50
40
Equação de Regressão:
Valor Unitário = +126,4384081 -2,76256481 * ln (Distancia polo) -9,079814893 * ln (Área Total) +71,56555367 / Frente +18,45145095 * Asfalto
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1º ) – Coeficiente de Determinação – R2
Informações Complementares:
• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 5• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 20
Resultados Estatísticos:
• Coeficiente de Correlação: 0,8441284 / 0,8441284• Coeficiente Determinação: 0,7125527• Fisher-Snedecor: 9,30 • Significância modelo: 0,01
2º) – Testes de Hipóteses O processo consiste basicamente em:
1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa
2o) Escolher a distribuição amostral adequada
3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos)
4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s)
5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso
contrário, aceitá-la.
Variáveis Equação t-Observado Sig.
• Distancia polo ln(x) -3,13 0,68• Área Total ln(x) -0,42 68,06• Frente 1/x 0,17 86,65• Asfalto x 2,64 1,84
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3º) – Análise de Resíduos – Normalidade e Verificação de “outliers” Normalidade dos resíduos:
• 85% dos residuos situados entre -1 e + 1 s• 95% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s• 95% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s
Outliers do Modelo: 1
Resíduos da variável Valor Unitário
11010510095908580757065605550
3
2
1
0
-1
-2
-3
20
13
162
5
13
14 9
12
7
8
11176
4
15 10
19
18
Apresentação do 2º) Modelo
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Informações do Modelo
Informações Complementares:
• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 5• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 19
Resultados Estatísticos:
• Coeficiente de Correlação: 0,9319870 / 0,9319870• Coeficiente Determinação: 0,8685998• Fisher-Snedecor: 23,14 • Significância modelo: 0,01
Variáveis Equação t-Observado Sig.
• Distancia polo ln(x) -3,67 0,25• Área Total x -1,15 26,82• Frente 1/x 0,09 93,29• Asfalto x 5,16 0,01
Equação de Regressão:
Valor Unitário = +80,96948632 -2,140581456 * ln (Distancia polo) -0,02020731005 * Área Total +15,81583166 / Frente +24,16070794 * Asfalto
Correlações entre variáveis Isoladas Influência
• Distancia poloÁrea Total 0,07 0,19Frente -0,03 0,02Asfalto -0,52 0,35Valor Unitário -0,74 0,70
• Área TotalFrente -0,85 0,81Asfalto -0,11 0,19Valor Unitário -0,32 0,29
• FrenteAsfalto 0,06 0,05Valor Unitário 0,25 0,02
• AsfaltoValor Unitário 0,83 0,81
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Projeções de Valores
Distancia Área Frente Asfato Valor Médio Mínimo Maximo
100 300 10 0 66,63 60,3 72,96 1.000,00 300 10 0 61,7 55,6 67,8 1.000,00 600 20 0 54,84 48,2 61,49
100 600 20 0 59,77 52,96 66,59 100 600 20 0 59,77 52,96 66,59
Apresentação do 3º) Modelo Informações Complementares:
• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 4• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 19 Resultados Estatísticos:
• Coeficiente de Correlação: 0,9319500 / 0,9319500• Coeficiente Determinação: 0,8685308• Fisher-Snedecor: 33,03 • Significância modelo: 0,01 Variáveis Equação t-Observado Sig.
• Distancia polo ln(x) -3,80 0,18• Área Total x -2,45 2,71• Asfalto x 5,35 0,01
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Análise do modelo (equação de regressão) Equação de Regressão:
Valor Unitário = +82,80931175 -2,139972135 * ln (Distancia polo) -0,0214923013 * Área Total +24,14031455 * Asfalto
Análise de Resíduos Normalidade dos resíduos:
• 73% dos residuos situados entre -1 e + 1 s• 94% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s• 100% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s
Outliers do Modelo: 0
Preço observado
Valor Estimado Resíduo
Resíduo Relativo
Resíduo/DP
60 61,57 -1,57 -2,63 -0,19 50 58,04 -8,04 -16,08 -0,97 60 62,05 -2,05 -3,42 -0,24
100 88,29 11,7 11,7 1,41 70 58,76 11,23 16,05 1,35 90 87,2 2,79 3,1 0,33 80 83,99 -3,99 -4,99 -0,48 90 84,19 5,8 6,44 0,7 80 75,6 4,39 5,49 0,53
100 103,9 -3,9 -3,9 -0,47 80 84,86 -4,86 -6,08 -0,58 55 50,83 4,16 7,57 0,5 70 62,05 7,94 11,34 0,96
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80 89,16 -9,16 -11,45 -1,1 50 55,13 -5,13 -10,26 -0,62 80 86,34 -6,34 -7,93 -0,76
100 110,35 -10,35 -10,35 -1,25 120 106,05 13,94 11,61 1,68
40 46,53 -6,53 -16,33 -0,79
Resíduos da variável Valor Unitário
11010510095908580757065605550
2
1
0
-1
-2
Projeção de Valores
simulações sem asfalto simulações com asfalto
Distancia Área Asfato Valor Médio Mínimo Maximo Asfato Valor Médio
100,00 300,00 0 66,50 61,51 71,49 1 90,64 1.000,00 300,00 0 61,57 56,81 66,33 1 85,71 1.000,00 600,00 0 55,13 51,11 59,14 1 79,27 100,00 600,00 0 60,05 55,72 64,39 1 84,19 100,00 600,00 0 60,05 55,72 64,39 1 84,19
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EXEMPLO 1 Exemplo Pratico Aplicação Fatores (Fundamento nos critérios da
Norma do IBAPE/SP)
Terreno rua H com 300m2 de área e 8m de frente: índice local 100
Elemento Local Valor unitário
Area m²
Frente m
Profundidade m Indice Local
1 Rua A 140,00 216 12,00 18,00 70
2 Rua B 180,00 480 6,00 80,00 80
3 Rua C 250,00 480 12,00 40,00 115
4 Rua D 150,00 200 10,00 20,00 70
5 Rua E 200,00 250 10,00 25,00 110
6 Rua F 250,00 450 18,00 25,00 120
7 Rua F 270,00 500 15,00 33,33 120 1ª) Parte – Fatores oferta e Localização
Fator Oferta Fator Transposição
Elemento Valor
unitárioFator Oferta
Unitário deduzido do fator oferta
I.LOCALelemento
Fator Transp.
Diferença transposição (R$/m²)
Unitário Homog pela localização
1 140,00 0,9 126,00 70 1,43 54,00 180,00
2 180,00 0,9 162,00 80 1,25 40,50 202,50
3 250,00 1,0 250,00 115 0,87 -32,61 217,39
4 150,00 0,9 135,00 70 1,43 57,86 192,86
5 200,00 0,9 180,00 110 0,91 -16,36 163,64
6 250,00 0,9 225,00 120 0,83 -37,50 187,50
7 270,00 0,9 243,00 120 0,83 -40,50 202,50
Média 205,71 Média 188,71 Média 192,34
Desvio padrão 51,92
Desvio padrão 51,04
LOCAL Avaliand
o = 100 Desv.padrão 17,48
Coef. Var. 25,24%Coef. Var. 27,04% Coef. Var. 9,09%
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2ª) Parte – Fator Profundidade
Fator Oferta Coeficiente de Profundidade Fator Oferta Unitário
deduzido do fator oferta
Pe Coef. Profund.
Diferença profundidade
(R$m/²)
Unitário Homog pela
Profundidade
0,9 126,00 18,00 0,18 22,49 148,49
0,9 162,00 80,00 0,17 27,79 189,79
1,0 250,00 40,00 0,00 0,00 250,00
0,9 135,00 20,00 0,12 15,93 150,93
0,9 180,00 25,00 0,00 0,00 180,00
0,9 225,00 25,00 0,00 0,00 225,00
0,9 243,00 33,33 0,00 0,00 243,00
Média 188,71 Média 198,17
Desvio padrão 51,04 Desv.padrão 41,86
Coef. Var. 27,04% Pma = 40 Coef. Var. 21,12%
Pmi = 25
Exp.profundidade
= 0,5
-Entre Pmi e Pma admite-se que o fator profundidade Cp é igual a 1,00
-Se a profundidade equivalente for inferior à mínima e estiver acima da metade da mesma (1/2 Pmi < Pe < Pmi), deverá ser empregada a
seguinte fórmula: Cp = (Pe / Pmi)^ p
-Para Pe inferior a ½ Pmi adota-se Cp = (0,5) p
-Se a profundidade equivalente for superior à máxima até o triplo da mesma (P ma < Pe < 3Pma), o fator somente afeta o valor unitário da
parte do terreno que exceda este limite, a fórmula a ser empregada é a seguinte:
Cp = (Pma /Pe) + {[1-( Pma /Pe )] . (Pma / Pe) ^ p }
- Para Pe superior a 3 Pma, adota-se na fórmula acima Pe = 3 Pma
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3ª) Parte – Fator Frente (Testada)
Fator Oferta Coeficiente de Frente Fator Oferta Unitário
deduzido do fator oferta
Cf Coef. Frente
Diferença frente
(R$m/²)
Unitário Homog.
pela Frente
0,9 126,00 12,00 -0,04 -4,51 121,49
0,9 162,00 6,00 0,11 17,43 179,43
1,0 250,00 12,00 -0,04 -8,95 241,05
0,9 135,00 10,00 0,00 0,00 135,00
0,9 180,00 10,00 0,00 0,00 180,00
0,9 225,00 18,00 -0,11 -24,95 200,05
0,9 243,00 15,00 -0,08 -18,93 224,07
Média 188,71 Média 183,01
Desvio padrão 51,04 Desv.padrão 43,70
Coef. Var. 27,04% Coef. Var. 23,88%
Frente referencia 10
Expoente frente= 0,2
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4ª) Efeito de todos fatores e avaliação
Resultado da aplicação dos fatores
Unitário só com
Fator Fonte
Loc + prof + frente para a
média
Loc + prof + test para
o avaliando
Coef geral homog. Para a média
Saneada
Coef geral homog.Para
o Avaliando
126,00 197,98 189,34 1,57 1,50
162,00 247,72 236,91 1,53 1,46
250,00 208,44 199,34 0,83 0,80
135,00 208,79 199,68 1,55 1,48
180,00 163,64 156,49 0,91 0,87
225,00 162,55 155,45 0,72 0,69
243,00 183,57 175,56 0,76 0,72
Média 188,71 196,10 Média 187,54
Desv.padrão 51,04 29,77 Desv.padrão 28,47
Coef. Var. 27,04% 15,18% Coef. Var. 15,18%
Superior (+30%) 254,93
Inferior (-30%) 137,27
Calculo do
unitário Médio = 187,54
Intervalo de Confiança de
80% = 16,74 t=(n-1) =6 1,44 Desv. Pad. (s) = 28,47 Fórmula t x s/(n-1)^0,5
1,44 x 29,74/(7-1)^0,5
Avaliação = EXEMPLO BASICO
Intervalo inferior = 204,28 Intervalo superior = 170,80
Amplitude = 16% Grau de Precisão III