MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICACOLÉGIO PEDRO II - CPIIPró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e CulturaAvaliação 3 - Aritmética - MA14 - 2016Prof.a Luciana S. da Silva Martino

Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

a) Mostre que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados é da forma 4n+ 3

b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, ... é um quadrado ou soma de dois quadrados

c) Mostre que nenhum elemento das sequências

44, 444, 4444, ... , 55, 555, 5555, ... , 99, 999, 9999, ...

é um quadrado ou soma de dois quadrados

Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

Sobre a Equação Pitagórica faça o que é pedido:

a) De�na terno pitagórico, triângulo pitagórico primitivo e terno pitagórico primitivo

b) Sejam n e m números natrais, com n > m, (n,m) = 1 e de paridades diferentes. Dados os números a = n2 −m2,b = 2nm e c = n2 +m2, soluções primitivas devidas à Euclides da Equação Pitagórica X2 + Y 2 = Z2, mostre que amédia aritmética da hipotenusa com o cateto ímpar de um triângulo pitagórico primitivo é um quadrado.

Questão 3 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

Sobre o Pequeno Teorema de Fermat faça o que é pedido:

a) Enuncie o Pequeno Teorema de Fermat.

b) Enuncie o caso particular do Pequeno Teorema de Fermat para o caso de um número natural a não divisível por umprimo, p

c) Mostre que a12 − b12 é divisível por 13, se a e b são primos com 13

Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

a) Mostre por indução que para todo n ≥ 1 tem-se que Fn = 22n

+ 1 ≡ 5 mod 12

b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado

Questão 5 [2,00 pts]

Determine quantas e quais são as soluções incongruentes mod 20 da congruência 12X ≡ −36 mod 20.