Auxiliar #8 Analisis FuncionalProfesor: Patricio Felmer

Auxiliares: Marco Hernandez - Nikolas Tapia.

P1. Considere el problema de Cauchy en Rn

(P )

u′ = f(t, u)

u(0) = x

con f : R× Rn → Rn una funcion ω-periodica en la variable t y tal que (P ) tiene una unicasolucion u(t;x) definida en [0,∞). Sea (Pt)t≥0 la familia de operadores de Rn en Rn definidapor Ptx = u(t;x).

Diremos que x ∈ Rn es ω-ireversible si Ptx 6= x en (0, ω]. Suponga que Ω ⊂ Rn es un abiertoacotado, que 0 6∈ f(0, ∂Ω) y todo x ∈ ∂Ω es ω-ireversible. Pruebe que deg(id−Pω,Ω, 0) =deg(−f(0, ·),Ω, 0).

P2. (Teorema de Borsuk) Sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado y simetrico con 0 ∈ Ω. Sea f ∈ C(Ω)una funcion impar y 0 6∈ f(∂Ω). Entonces deg(f,Ω, 0) es impar.

Para probar este resultado, se sugieren los siguientes pasos:

(a) Muestre que basta probar el resultado para f ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω) tal que 0 6∈ Sf .

(b) Pruebe que para demostrar el teorema en el caso anterior, basta encontrar g ∈ C1(Ω)∩C(Ω) impar tal que ‖f − g‖∞ < d(0, f(∂Ω)) y 0 6∈ g(Sg).

(c) Construya un g como en la parte anterior para demostrar el teorema.

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