autovalores y autovectores
TRANSCRIPT
![Page 1: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/1.jpg)
AUTOVALORES
Y
AUTOVECTORES
![Page 2: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/2.jpg)
♦ Unidad didáctica 1ª: MATRICES, DETERMINANTES YSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 1: MATRICES: ÁLGEBRA MATRICIALCapítulo 2: MATRICES Y DETERMINANTESCapítulo 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
♦ Unidad didáctica 2ª: ESPACIOS VECTORIALES
Capítulo 4: ESPACIOS VECTORIALESCapítulo 5: APLICACIONES LINEALES
♦ Unidad didáctica 3ª: DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Capítulo 6: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Capítulo 7: MATRICES DIAGONALIZABLES
![Page 3: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/3.jpg)
OBJETIVOS
Los objetivos que pretendemos que se alcancen son:
Conocer los conceptos de: matriz semejante, autovalor,autovector y subespacio propio.
Calcular el polinomio característico de un endomorfismo, o desu matriz asociada en una cierta base.
Conocer los conceptos de multiplicidad algebraica y geométricade un valor propio.
Calcular los valores y vectores propios de un endomorfismo, ode su matriz asociada en una cierta base.
Conocer algunas propiedades de: matrices semejantes,autovalores y autovectores.
![Page 4: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/4.jpg)
CONTENIDOS
Los contenidos que proponemos para alcanzar los objetivos son:
1.- Introducción. Matrices semejantes.
2.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo.
3.- Polinomio característico y espectro de un endomorfismo.
4.- Subespacios invariantes.
5.- Propiedades de autovalores y autovectores.
6.- Aplicaciones.
![Page 5: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/5.jpg)
BIBLIOGRAFÍACódigo: [BUR 93] Código: [KOL 99] Código: [LAY 99]
Código: [PIT 91] Código: [VILL 94] Código: [ORT 90]
![Page 6: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/6.jpg)
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
1.- Introducción. Matrices semejantes.
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Se dice que A es semejante a B, si existe una matriz P (de orden n) inversible, tal que A = P-1 B P.
Propiedades de las matrices semejantes:
1.- Si A y B son semejantes entonces det(A) = det(B).
2.- Si A y B son semejantes entonces la traza(A) = traza(B).
3.- Si A y B son semejantes entonces An y Bn, n∈N también lo son.
4.- Si A es semejante a A’ y B es semejante a B’, con la misma matriz de paso P, entonces λA + μB es semejante a λA’ + μB’.
![Page 7: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/7.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
1.- Introducción. Matrices semejantes.
Propiedades de las matrices semejantes:
5.- En general, si B es semejante a A y f(A) es un polinomio en A, entonces
f(B)=P-1 f(A) P.
6.- Las matrices semejantes a una matriz nilpotente, involutiva, idempotente, son matrices nilpotentes, involutivas e idempotentes respectivamente. Esto no significa que todas las matrices nilpotentes, involutivas e idempotentes sean semejantes entre sí.
![Page 8: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/8.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
2.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo.
Definición 1a:
Definición 1b:
![Page 9: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/9.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
2.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo.
Definición 1a:
Definición 1b:
![Page 10: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/10.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
2.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo.
λ es valor propio de f ⇔ λ es valor propio de A
A es la matiz asociada a f respecto de cualquier base B del espacio vectorial E.
![Page 11: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/11.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
2.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo.
Definición 1a’:
EJEMPLO:
![Page 12: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/12.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
3.- Polinomio característico y espectro de un endomorfismo.
Definición 4:
![Page 13: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/13.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
3.- Polinomio característico y espectro de un endomorfismo.
- Las raíces λ1, λ2, ..., λr de P(λ) son los valores propiosvalores propios de A (o de f).
- Al sustituir cada valor propio λi en (A- λI)X=0, las soluciones de este sistema son los vectores propiosvectores propios correspondientes a λi .
- El polinomio característico no depende de la base B elegida.
EJEMPLO:
![Page 14: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/14.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
3.- Polinomio característico y espectro de un endomorfismo.
Definición 6:
Definición 7:
![Page 15: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/15.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
3.- Polinomio característico y espectro de un endomorfismo.
Definición 6:
Definición 7:
![Page 16: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/16.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
4.- Subespacios invariantes.
Definición 8:
![Page 17: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/17.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
4.- Subespacios invariantes.
Definición 10:
EJERCICIO 3.
![Page 18: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/18.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
5.- Propiedades de autovalores y autovectores.(Ver también las transparencias)
Propiedad 1:
Propiedad 2:
![Page 19: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/19.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
5.- Propiedades de autovalores y autovectores.(Ver también las transparencias)
Propiedad 1:
Propiedad 2:
![Page 20: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/20.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
5.- Propiedades de autovalores y autovectores.
Propiedad 3:
Propiedad 4:
![Page 21: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/21.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
5.- Propiedades de autovalores y autovectores.
Propiedad 3:
Propiedad 4:
![Page 22: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/22.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
6.- Aplicaciones.
ALGORITMO DE DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZ CUADRADA
![Page 23: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/24.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
6.- Aplicaciones.
Clasificación de formas cuadráticas.
Estudio de las cónicas y las cuádricas.
Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Estudio de sistemas dinámicos discretos, etc.
![Page 25: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/25.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
6.- Aplicaciones.
ESTADO TENSIONAL DE UN PRISMA MECÁNICO.
Objetivo: Calcular las tensiones que se producen en una máquina o una estructura al aplicarle un determinado sistema de fuerzas exteriores.
Con objeto de estudiar los sólidos elásticos se crea un modelo teórico que se denomina prisma mecánico.
![Page 26: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/26.jpg)
Definición: Llamaremos prisma mecánico al sólido engendrado por una sección plana Σ de área Ω cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada línea media odirectriz, siendo el plano que contiene a Σ normal a la curva.
![Page 27: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/27.jpg)
Barra. Se llama así al prisma mecánico cuyas dimensiones de la sección transversal son pequeñas, en comparación con la longitud de la línea media.Es el más utilizado en en la mayoría de las estructuras de las obras.
En estructuras de hormigón armado la forma más empleada es la sección transversal rectangular en vigas y cuadrada en pilares.
En estructuras metálicas las secciones más usuales son el perfil laminado doble te I en vigas, o dos secciones en U soldadas en pilares.
![Page 28: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/28.jpg)
♦ Supondremos un prisma mecánico sometido a una fuerza exterior e imaginémoslo cortado idealmente en dos partes A y B por medio de un plano π.
![Page 29: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/36.jpg)
- Cuando las tres tensiones principales son iguales el elipsoide de Lamé es una esfera.
- Cuando una de las tensiones se anula, se forma una elipse.
![Page 37: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/37.jpg)
Ejemplo 1 de aplicación:
![Page 38: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/38.jpg)
Solución:1º
![Page 39: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/41.jpg)
2º
![Page 42: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/42.jpg)
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
6.- Aplicaciones.
CRITERIOS DE RESISTENCIA. TENSIÓN EQUIVALENTE.
Objetivo: Nos interesa poder medir la seguridad de una pieza perteneciente a una estructura, atendiendo a las características del material en cuanto a la capacidad de resistencia media en términos de tensiones en el laboratorio.
![Page 43: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/45.jpg)
Ejemplo 2 de aplicación:
Solución:
![Page 46: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Autovalores y autovectores](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022032605/62375d89778a20123b570996/html5/thumbnails/47.jpg)