automi cellulari parte iii automi cellulari binari unidimensionali con r>1 la classificazione di...
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Automi Cellulari
Parte III
Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1
La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro Esempi
La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti)
Def. di AC unidimensionale
Se N è un numero finito bisogna specificare il comportamento ai margini dell’array. Nel seguito considereremo condizioni periodiche al bordo
Al tempo t, ogni cella si trova nello stato
stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1
cosicché st AN
t i= st
i-r,…, sti,… st
i+r è il vicinato dell’ i-esima cella
Ancora sulla def. di AC unidimensionale
è la funzione di transizione (aggiornamento) locale:
St+1i = (t
i)La lista di tutti i possibili vicinati con i corrispondenti nuovi stati per la cella centrale è chiamata tabella di aggiornamento dell’AC
L’operatore di aggiornamento globale
: AN ->AN
applica in parallelo a tutti i vicinati dell’array unidimensionale
Notazioni
Nella definizione precedente, tra gli altri, compaiono i simboli k ed r
r è i numero di celle alla sinistra (o alla destra) della cella centrale che fanno parte del vicinato; è chiamato “raggio del vicinato”
k è il numero di stati in cui si può trovare una cella dell’AC (per ora consideriamo k=2)
da r si ricava la dimensione del vicinato: d = 2r+1
Esempi: AC 1D con r variabile
1 0 1 111 00 11 0
sti St
i+1Sti-1
Intorno r=2 (d=5)
Sti+2St
i-2
1 0 1 111 00 11 0
sti St
i+1Sti-1
Intorno r=3 (d=7)
Sti+2St
i-2
Sti-3 St
i+3
Lo spazio delle regole
In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono:
kd intorni distinti
Se k=2 ed r=2 (d=5) 4294967296 regole
Se k=2 ed r=3 (d=7) …un numero esagerato!
)( dkk regole di transizione
Classificazione di Wolfram
Wolfram ha classificato gli AC unidimensionali in base al loro comportamento dinamico• Classe 1 L’evoluzione porta ad uno stato omogeneo
• Classe 2 L’evoluzione genera strutture stabili semplici e
separate o strutture periodiche
• Classe 3 L’evoluzione genera configurazioni caotiche
• Classe 4 L’evoluzione genera strutture complesse localizzate, spesso durevoli nel tempo
Reference: S. Wolfram, Universality And Complexity in Cellular Automata, Physica D, 10 (January 1984) 1—35, reperibile all’indirizzo www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca
Una “regola semplice”, la 4 (k=2, r=1)
010 va in 1, altrimenti in 0.
La regola 4 conduce il sistema verso uno stato stabile (Classe I di Wolfram)
Una “regola caotica”, la 22 (k=2, r=1)
001,100,010 vanno in 1, altrimenti in 0.
La regola 22 è una regola caotica (Class III di Wolfram)
Un’altra “regola caotica”, la 30 (k=2, r=1)
001, 100, 010, 011 vanno in 1, altrimenti in 0.
La regola 30 è una regola caotica (Class III di Wolfram)
Cioè, la regola 30 genera configurazioni con alto grado di casualità temporale e spaziale
Una “regola complessa”, la 54 (k=2, r=1)
001,100, 010,101 vanno in 1, altrimenti 0.
La regola 54 è una regola complessa (Class IV di Wolfram)
Un’altra “regola complessa”, la 110 (k=2, r=1)
001,010,011,101,110 vanno in 1, altrimenti 0.
La regola 110 è una regola complessa (Classe IV di Wolfram)
Lo stato quiescente
Def. Lo stato stiA ={0,1,…,k-1} si dice
quiescente se
St+1i = (t
i) = sti
con
t i = st
i-r,…, sti,… st
i+r = sti,…, st
i,… sti
Cioè, uno stato si dice quiescente se, trovandosi “circondato” da stati quiescenti, non cambia di statoNegli AC unidimensionali a stati discreti si suole considerare 0 come stato quiescente
Ancora sullo stato quiescente
La regola 001101102=54 “rispetta” lo stato quiescente poiché l’intorno 0 va in 0 (tramite )
La regola 000000012=1 “non rispetta” lo stato quiescente poiché l’intorno 0 va in 1 (tramite )
1 1 1
0
Intorno 7
01 1
0
Intorno 6
1 0 1
0
Intorno 5
01 0
0
Intorno 4
10 1
0
Intorno 3
010
0
Intorno 2
0 10
0
Intorno 1
0 0 0
1
Intorno 0
1 1 1
0
Intorno 7
01 1
0
Intorno 6
1 0 1
1
Intorno 5
01 0
1
Intorno 4
10 1
0
Intorno 3
010
1
Intorno 2
0 10
1
Intorno 1
0 0 0
0
Intorno 0
Regole “legali” e “non legali”
Def. Una regola di transizione si dice “legale” se “rispetta” lo stato quiescente(S. Wolfram, Statistical Mechanics of Cellular Automata, 1983 – www.stephenwolfram.com –)
La regola 001101102=54 è, dunque, una regola “legale”
La regola 000000012=1 è, invece, una regola “non legale”
Il parametro di Langton
Il parametro , introdotto da C. Langton nel 1990, misura la percentuale di transizioni non quiescenti nella funzione di transizione dell’AC
dove:
•Nq = Numero di transizioni verso lo stato quiescente
•N = Numero di transizioni totali
NNq1
può essere visto come una funzione :R->[0,1] dove R rappresenta lo spazio delle regole di una data classe di AC (ad es. k=2, r=2)
Alcune considerazioni su Il parametro è un numero compreso tra 0 e 1, cioè:
0 1 vale 0 in corrispondenza della regola 000…0
vale 1 in corrispondenza della regola 111…1
non è una funzione iniettiva, infatti:
(00110110) = (11001001) = 1-(4/8) = 0.5
Se è piccolo, la maggior parte delle transizioni saranno verso lo stato quiescente la dinamica del sistema convergerà rapidamente verso uno stato stabile
Il Margine del Caos
Se è grande, vi saranno poche transizioni verso lo stato quiescente la dinamica del sistema sarà caoticaDunque, al crescere di si passa da dinamiche semplici, attraverso dinamiche molto complesse, a dinamiche del tutto casuali e imprevedibili
Così “attraversiamo” le 4 clsassi di Wolfram nell’ordine:
Class I -> Class II -> Class IV -> Class III Il valore di relativo alla transizione dalla Classe IV alla Classe III viene chiamato “Margine del Caos”
=0.1 (K=2, r=2)
Regola 10000000000000000100000000000000
=0.2 (K=2, r=2)
Regola 10010010010110000111000011100000
=0.27 (K=2, r=2)
Regola 11000010000110001000000000100000
=0.4 (K=2, r=2)
Regola 10001000010000000111010101000100
=0.402 (K=2, r=2)
Regola 10000000010000000010000100000100
La non assoluta precisione di
L’andamento del parametro descrive qualitativamente il comportamento delle regole di evoluzione degli AC unidimensionali a stati discreti ripercorrendo le 4 classi di Wolfram
Tuttavia non è un indicatore estremamente preciso del comportamento delle regole di evoluzione degli ACQuesto vuol dire che in una “zona di ” in cui le corrispondenti regole dovrebbero avere un comportamento dinamico ben preciso (ad es. complesso), cadono regole con comportamenti differenti (ad es. caotico)
Un interessante riferimento sulla Rete
http://alife.santafe.edu/alife/topics/
In conclusione segnalo il sito:
dove, oltre ad alcuni argomenti trattati in questo seminario, si può giocare con un simulatore di AC unidimensionali