AUTOMAATJUHTIMINE JA SÜSTEEMIANALÜÜS

Eduard Petlenkov, 2019

Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs.

• Laplace`i teisendus • Ülekandemudel• Süsteemi reaktsioon• Süsteemi karakteristikud• Olekumudel

Eduard Petlenkoveduard.petlenkov@taltech.ee, TalTech ICT-502B, tel. 6202104

TalTech Arvutisüsteemide instituutArukate süsteemide keskus

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (1)

Eesmärk:● käitumise uurimine, analüüs

Mudelid:● sisend-väljund mudelid● sisend-olek-väljund mudel = olekumudel

Meetod:● Laplace`i teisendus

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (2)

Süsteem: → Analüüs (käitumine)● lineaarne● statsionaarne ↑● aeg - pidev↕

Mudel – diferentsiaalvõrrand: → Laplace`i teisendus● lineaarne [operaatorarvutus]● konstantsete kordajatega● harilik (ei sisalda osatuletisi)

Matemaatika → Süsteemiteooria● keel (teooria esitamiseks ja probleemide vaatlemiseks)● vahend (ülesannete, probleemide lahendamiseks)

Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (3)

Antud on SISO (ühemõõtmeline) süsteem:● süsteem on esitatud lineaarse konstantsete

kordajatega hariliku diferentsiaalvõrrandiga(st antud on süsteemi sisend-väljund mudel)

● algtingimused● süsteemi sisend u(t)

Analüüsi eesmärk:● süsteemi reaktsiooni (väljundi) y(t) arvutamine ja

uurimine

sisend väljundu(t) y(t)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (4)

n-järku diferentsiaalvõrrandu(t) – antud

!!!!! "!!!!! #$% )0(,),0(),0(),0( 1

1

2

2

-

-

n

n

dtyd

dtyd

dtdyy

n-järku süsteem; n - algtingimust

ubdtudb

dtudb

yadtyda

dtyd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

01

1

1

01

1

1

+++=

=+++

-

-

-

-

-

-

!

!

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (5)Lineaarse konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi (lineaarsestatsionaarse pidevajasüsteemi sisend-väljund mudel) kasutame kaudset Laplace`i teisendusel põhinevat kaudset meetodit:

● Teisendame diferentsiaalvõrrandi [originaal] algebraliseksvõrrandiks [kujutis] arvestades sealjuures algtingimusi;

● Arvutame lineaarse süsteemi reaktsiooni (väljundi) kujutisealgebralisest võrrandist;

● Tulemuste tõlgendamiseks (arusaadavaks muutmiseks) arvutame reaktsiooni kujutise alusel originaali (Laplace´ipöördteisendus);

● Kontrollime reaktsiooni piirväärtusi.

Laplace`i teisendus (1)Tähistame:

x(t)- originaal;L – Laplace teisendus;X(s)- kujutis st x(t) Laplace teisendus;

Laplace`i teisenduse olulised omadused:• L- teisendus on lineaarne;• diferentseerimisele originaalide ruumis vastab

muutujaga s korrutamine kujutiste ruumis;• integreerimisele originaalide ruumis vastab

muutujaga s jagamine kujutiste ruumis;• lineaarne konstantsete kordajatega diferentsiaal-

võrrand teisendub L-teisenduse rakendamisel algebraliseks võrrandiks.

Laplace teisendus (2)L

x(t) X(s)

originaal kujutis,teisendus

1-L

Olulised omadused:1) LINEAARSUS

)()()()(

22

11

sXtxsXtx

L

L

¾®¬

¾®¬ )()()()( 2121 sXsXtxtx baba +«+

[ ]

)(0,0)(

)()()(0

tingimustkuitxjs

dtetxtxLsX st

<=+=

== ò¥

-

wt

2) HILISTUMINE *

0,)()()()(

>¾®¬-

¾®¬- tt tsL

L

esXtx

sXtx

3) DIFERENTSEERIMINE *

)0()0()0()()(

)0()0()()(

)0()()()()(

1

121

22

2

+--+-+-¾®¬

----

+-+-¾®¬

+-¾®¬

¾®¬

-

---

n

nnnnL

n

n

L

L

L

dtxd

dtdxsxssXs

dttxd

dtdxsxsXs

dttxd

xssXdttdx

sXtx

!

4) INTEGREERIMINE

ò ¾®¬

¾®¬t

L

L

ssXdx

sXtx

0

)()(

)()(

tt

5) KONVOLUTSIOON *

)()()()()()(

)()()()(

2120

121

22

11

sXsXdttxxtxtx

sXtxsXtx

Lt

L

L

×¾®¬-=*

¾®¬

¾®¬

ò tt

6) PIIRVÄÄRTUSTEOREEMID *

)()( sXtx L¾®¬)(lim)(lim

0ssXtx

st ¥®®=

)(lim)(lim0

ssXtxst ®¥®

=

L-teisenduse tabelx(t) X(s)

1)(td0),( >- ttd t se t-

1(t)s1

te a-a+s1

tnet a-1)(

!++ ns

na

t0sinw20

20

ww+s

t0cosw 20

2 w+ss

te t0sinwa-

20

20

)( waw

++s

te t0coswa-

20

2)( waa++

+ss

Dünaamilise protsessi lihtne näide

Laplace´i teisenduse kasutamine süsteemide analüüsil

Ühemõõtmelised (SISO) süsteemid (antud differentsiaalvõrrand ja sisend u(t)):

● nullised algtingimused – ülekandekarakteristikud (süsteemifunktsioonid);

● mittenullised algtingimused.

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (1)

Analüüsitav süsteem on kirjeldatud n-järku diferentsiaal-võrrandiga kujul:

Nullised algtingimused, antud sisend u(t).

ubdtudb

dtudb

yadtyda

dtyd

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

01

1

1

01

1

1

+++=

=+++

-

-

-

-

-

-

!

!

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (2)

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisel kasutame Laplace´i teisendust: originaal →kujutis.

)()()()(sYtysUtu

L

L

¾®¬

¾®¬

)0()0()0()()(

)0()0()()(

)0()()()()(

1

121

22

2

+--+-+-¾®¬

----

+-+-¾®¬

+-¾®¬

¾®¬

-

---

n

nnnnL

n

n

L

L

L

dtxd

dtdxsxssXs

dttxd

dtdxsxsXs

dttxd

xssXdttdx

sXtx

!

Diferentseerimine (Laplace`i teisenduse omadus)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (3)

Algebraline võrrand ( diferentsiaalvõrrandi kujutis ehk Laplace`iteisendus)

)()()()(

01

1

01

1

sUbsbsbsYasas

mm

mm

nn

n

×+++=

=×+++-

-

--

!

!

)()(0

11

01

1 sUasasbsbsbsY n

nn

mm

mm

++++++

=-

-

--

!!

H(s) - ülekandefunktsioon

Y(s)=H(s)·U(s)

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (4) – ülekandekarakteristikud /

süsteemifunktsioonid

1) Ülekandefunktsioon - H(s)

)()()(

01

1

01

1

sAsB

asasbsbsbsH n

nn

mm

mm =

++++++

=-

-

--

!!

polünoomi B(s) juured - nullid

polünoomi A(s) juured – poolused (süsteemi poolused) !

2) Hüppekaja (süsteemi reaktsioon ühikhüppele 1(t))- g(t) 3) Impulsskaja (süsteemi reaktsioon ühikimpulsile δ(t))- h(t)

Iseloomustavad SISO süsteemi nullistel algtingimustel!

Näide No.1 Süsteemi hüppekaja arvutamineu(t) y(t) ?

H(s)

Antud on:

5210)()2

)(1)()1

2 ++=

=

sssH

ttu

Leida: y(t), y(0), y(∞)

Lahendus:

ssssY

stsUsHsY L

152

10)(

1)(1),()()(

2 ×++

=

¾®¬×=

Probleemiks on [ ])(1 sYL- arvutamine

)()(

)52(10)( 2 sA

sBsss

sY =++

=

Arvutame A(s) juured (poolused)¬=++ 0522 ss ruutvõrrandi lahendamine

021511

3

2,1

=

±-=-±-=

pip

Poolused: { }0,21,21 ii --+-

L-pöördteisenduse leidmiseks tuleb Y(s) lahutada osamurdudeks.

Võimalikud variandid:

1.variant

2121)52(10 321

2 isk

isk

sk

sss +++

-++=

++

Õnnetuseks 32 ,kk - kompleksarvud; arvutamine väga keerukas !!

2.variant

52)52(10

2321

2 +++

+=++ ss

ksksk

sss

321, kkk - reaalarvud.

21,kkEsmalt leiame ja .3kskskssk )()52(10 32

21 ++++=

Võrdleme 20 ,, sss kordajaid (see on nn. määramata kordajate meetod)

10 510: ks = (vabaliikmete võrdlus)

21 =k

420: 331 -=®+= kkks20: 221

2 -=®+= kkks

)(2)1(422

52422

)52(10

2222 sYs

ssss

sssss

=++--

+=++--

+=++

NB! poolused

1(t) s1

«- te t0sinwa

20

20

)( waw

++s

«- te t0coswa

20

2)( waa++

+ss

leidmiseks on otstarbekas Y(s) avaldist teisendada.1-L

! !

2)(022)0(

)(1)2sin2cos22()(

2)1(2

2)1()1(22)( 2222

=¥=-=

×--=

++-+

+++-+=

--

yy

ttetety

sss

ssY

tt

"#"$%"#"$%1-L

Kontroll (piirväärtusteoreemid)

2)(lim)(

0)52(

10lim)(lim)0(

0

2

==¥

=++

==

®

¥®¥®

ssYysss

sssYy

s

ss

Näide No.2 Süsteemi ülekandefunktsiooni leidmineu(t) y(t)H(s) ?

Antud:

[ ] [ ])2(3)2(232 6633)()2)()()1

------ ---=

=tttt eeeety

ttu d

Leida: H(s) ? )()()(sUsYsH =

sLt

sLt

LtLt

L

es

e

es

e

se

se

sUt

2)2(3

2)2(2

32

366

266

333;

233

)(1)(

---

---

--

×+

¾®¾

×+

¾®¾

+¾®¾

+¾®¾

=¾®¾d

)3)(2(63

36

26

33

23

)()()(

222

++-=

++

+-

+-

+==

---

sse

se

se

sssUsYsH

sss

NB! Hilistumisega süsteem

Näide No.3 Süsteemi impulsskaja arvutamine u(t) y(t) ?

H(s)

Antud:

2)2)(1(3)()2

);()()1

+++=

=

ssssH

ttu d

Leida )(),0(),( ¥yyty

Y(s)=H(s)·U(s) 1)( ¾®¾Ltd

2321

2 )2(21)2)(1(3)(

++

++

+=

+++

=sk

sk

sk

ssssY

Leiame 321 ,, kkk)1()2)(1()2(3 32

21 ++++++=+ skssksks

Rakendame määramata kordajate meetodit veidi teisiti (arvutuste lihtsustamiseks)

Paneme sisse järgmised s väärtused:

224301)12(3222)21(311

2321

33

12

1

-=®++==-=®+-=+--==®+-=+--=

kkkkskkskks

ttt teeety

ssssY

22

2

22)(

)2(1

22

12)(

--- --=

+-

++-

++

=

1-L

vt. L-teisenduste tabel

0)(;0)0( =¥= yy

Kontroll:

0)(lim)(

0)2)(1(

3lim)(lim)0(

0

2

==¥

=++

+==

®

¥®¥®

ssYyss

ssssYy

s

ss

Osamurdudeks lahutamisel olulised variandid:1. poolused - reaalsed, lihtsad (2.näide);2. poolused - reaalsed, kordsed (3.näide);3. poolused - kompleksarvude paar (1.näide).

«- tnet a1)(

!++ ns

na

Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (5) – osamurdudeks lahutamine

Laplace`i pöördteisenduse leidmisel põhiprobleemiks on osamurdudeks lahutamine.

Olgu nm

sAsBsH

¬¬

=)()()(

Kui lugeja ja nimetaja polünoomide järgud on võrdsed m=n (erijuhtum), siis esmalt tuleb lugeja polünoom jagada nimetaja polünoomiga

nn

sAsBbsH n ¬

-¬+=

1)()(')(

Järgnevalt lahutame )()('sAsB osamurdudeks.

Tavaliselt m<n

=++----

==+ )())(())((

)()()()( 2

121 basspspspspssB

sAsBsH k

rr!

!! +-

+-

+-

++-

=+

+

+

+2

1

2,1

1

1,1

1

1

)( r

r

r

r

r

r

psk

psk

psk

psk

bassksk

psk abab

kr

kr

+++

+-

++

+2

2,1,

1

,1

)(!

NB! Arvutuslikult väga oluline

rpp ,,1 ! - reaalarvulised, lihtsad poolused;1+rp - reaalarvuline, k-kordne poolus;

bass ++2 - vastab komplekspooluste paarile.

OLEKUMUDELLineaarse, mittestatsionaarnse, pidevaja süsteemi olekumudel

A(n´n) - olekumaatriksB(n´r) - sisendmaatriksC(m´n) - väljundmaatriksD(m´r) - otse(edasi)sidemaatriks

)()()()()(

)()()()()(

tUtDtXtCtY

tUtBtXtAdttdX

+=

+=

Alustame lihtsast näitest.

Antenni keerab mootor (juhtsignaal sisendpinge [V]), nurga anduri järgi saab leida ka nurga muutumise kiirus[rad/s].q - antenni nurk [rad],

- antenni nurga muutumise kiirus,J - kõikide keerlevate osade inertsmoment [kg m2], Bs - igasuguste sumbumiste summaarne koefitsient [kg m2/s]M - mootori poolt arendatav moment [kg m2/s2], M = k·U(t), U(t) - mootori sisendpinge [V],

Pöördliikumist kirjeldav pöördemomentide tasakaaluvõrrand (diferentsiaalvõrrandina):

Sellest võrrandist saab tuletada olekumudeli valides X1-ks q ja X2-ks

)()()( tMtBtJ s =×+× qq !!!

q!

q!

Olekumudeli näide 1Antenni mudel

Valides olekumudelis X1-ks q ja X2-ks , saame:q!

)(/0

)(/010

)(

,)()(

)(2

1

tUJk

tXJB

tX

tXtX

tX

súû

ùêë

é+ú

û

ùêë

é-

=

úû

ùêë

é=

!

)()()(

)()()(

tUDtXCtY

tUBtXAdttdX

×+×=

×+×=

Üldkujul maatriksesituses:

A

Antenni mudeli kirjeldus olekumudelina

B

J=10, Bs=46, k=7.78

H0+h

U0+u

v

Olekuvõrrandid:

q0+q

Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom det(sE-A);

Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärused.

BAsECsH 1)()( --=Ülekandemaatriks

x(t)y(t)u(t)

Olekumudel üldkujul:

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

olekuvõrrand

väljundvõrrand

;

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

ty

tyty

ty

tu

tutu

tu

tx

txtx

tx

mrn

!!!A – n x n;B - n x r;C - m x n.

Kasutame Laplace’i teisendust:

)()();()();()(

sYtysUtusXtx

L

LL

¾®¬

¾®¬¾®¬

îíì

=+=-

)()()()()0()(

sCXsYsBUsAXxssX

Olekuvõrrandist)()()0()()( 11 sBUAsExAsEsX -- -+-=

Rakendame Laplace´i pöördteisndust

ò --

-

¾®¬-

-¾®¬t

tAL

LAt

dBuesBUAsE

AsEe

0

)(1

1

)()()(

)(

ttt

ïïî

ïïí

ì

=

+= ò¬

-

-

¬-

Cx(t)y(t)

)()0()(0

)(min

)(

)0(min

t

tuesundliiku

tA

xevabaliiku

At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt

Olekumudel

Omadused:1. Sisend – olek (siseolek) – väljund mudel;2. Olekumuutujad on valitavad;3. Igale olekumuutujate valikule (komplektile) vastab üks olekumudel;4. Igale reaalsele süsteemile saab koostada mitu olekumudelit, mis kõik

kirjeldavad antud süsteemi ja erinevad üksteisest olekumuutujate valikute poolest.

Seonduvad probleemid:1. Olekumudelite teisendamine (olekuvektorite lineaar-teisendused);2. Süsteemi olekumudelite seosed ülekandemudeliga ja invariandid.

Olgu meil maatriks T-nxn, det T≠0 st. regulaarne maatriks.

¬= )(~)( txTtx defineerime lineaarteisenduse

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

1/)()(~)(~ -×+= TtButxATtxT!

îíì

=+= --

)(~)()()(~)(~ 11

txCTtytBuTtxATTtx!

îíì

=

+=

)0(~),(~~)()(~)(~~)(~

xtxCty

tuBtxAtx!

kus

CTCBTBATTA

=

=

=-

-

~~~

1

1

Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom

det(sE-A)

Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärtused.

Teoreem: Karakteristlik võrrand det(sE-A)=0 on invariantne oleku x(t)regulaarsete teisenduste suhtes.

)(detdet)(detdet)(det)~(det

0det

1

11

AsETAsETATTTsTAsE

T

-=-=

=-=-

¹

-

--

m.o.t.t.

Teoreem: Ülekandemaatriks (u(t)→y(t))

BAsECsH 1)()( --=

BAsECsH 1)()( --= on invariantne oleku x(t) regulaarseteteisenduste suhtes.

[ ])()(

)()(

)(~)~(~)(~0det

1

111111

11111

sHBAsECBTTAsECTTBTTAsETCT

BTATTTsTCTBAsECsH

T

=-=

=-=-=

=-=-=

¹

-

------

-----

Karakteristlik võrrand ja ülekandemaatriks on invariandid oleku x(t) regulaarsete teisenduste suhtes.

m.o.t.t.

Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-

väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.