aula transformações de coordenadas
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/1.jpg)
TRANSFORMAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADASCOORDENADAS
Prof. Margareth da Silva MagalhãesProf. Margareth da Silva Magalhães
Universidade do Estado da BahiaUniversidade do Estado da Bahia
![Page 2: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/2.jpg)
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
![Page 3: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/3.jpg)
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Um ponto P do plano tem Um ponto P do plano tem
coordenadas:coordenadas:
x e y em relação ao sistema x e y em relação ao sistema
xOy.xOy.
x’ e y’ em relação ao sistema x’ e y’ em relação ao sistema
x’O’y‘.x’O’y‘.
![Page 4: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/4.jpg)
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:
x = x’ + xx = x’ + xoo..
y = y’ + yy = y’ + yoo..
![Page 5: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/5.jpg)
EXEMPLOEXEMPLO
Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em
relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova
origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em
relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.
![Page 6: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/6.jpg)
RESOLUÇÃO:RESOLUÇÃO:
a)a) Fórmulas de translaçãoFórmulas de translação
x = x’ + 3x = x’ + 3y = y’ + 4y = y’ + 4
a)a) SubstituiçãoSubstituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
![Page 7: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/7.jpg)
RESOLUÇÃO:RESOLUÇÃO:
a)a) Fórmulas de translaçãoFórmulas de translação
x = x’ + 3x = x’ + 3y = y’ + 4y = y’ + 4
b) Substituiçãob) Substituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x’² + y’² = 4x’² + y’² = 4
![Page 8: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/8.jpg)
1. ROTAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
Mantendo-se fixa a origem O, faz-Mantendo-se fixa a origem O, faz-
se uma rotação nos eixos x e y de se uma rotação nos eixos x e y de
um mesmo ângulo, no sentido um mesmo ângulo, no sentido
anti-horário. Obtemos assim um anti-horário. Obtemos assim um
novo sistema x’O’y’ por uma novo sistema x’O’y’ por uma
rotação de xOy.rotação de xOy.
![Page 9: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/9.jpg)
1. ROTAÇÃO DE EIXOS
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação
x = x’cosx = x’cosθθ – y’sen – y’sen θ θ
y = x’seny = x’sen θ θ + y’cos + y’cos θ θ
![Page 10: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/10.jpg)
EXEMPLOEXEMPLO
A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema
xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação
de eixos de amplitude de eixos de amplitude θθ = 45 = 45°°..
![Page 11: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/11.jpg)
a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação
x = x’cosx = x’cosθθ – y’sen – y’sen θ θ
y = x’seny = x’sen θ θ + y’cos + y’cos θ θ
θθ = 45 = 45°°
RESOLUÇÃORESOLUÇÃO
![Page 12: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/12.jpg)
a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação
b)b) SubstituiçãoSubstituição
5x² + 6xy + 5y² - 8 = 05x² + 6xy + 5y² - 8 = 0
4x’² + y’² - 4 = 04x’² + y’² - 4 = 0
RESOLUÇÃORESOLUÇÃO
![Page 13: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/13.jpg)
COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO
Até agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano é representado por um par de números reais que representam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados
P(x, y)
x
y
![Page 14: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/14.jpg)
COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θO (Polo) Eixo polar
![Page 15: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/15.jpg)
COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Retangulares ou Cartesianas
![Page 16: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/16.jpg)
COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Polares
![Page 17: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/17.jpg)
COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θO Eixo polar
P(-r, θ) = P(r, θ + )
-r
![Page 18: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/19.jpg)
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS - POLARESCARTESIANAS - POLARES
x
y
r
θO
x = r.cosθy = r.senθ
x² + y² = r²
![Page 20: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/20.jpg)
ExercíciosExercícios
![Page 21: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/21.jpg)
ExercíciosExercícios
![Page 22: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/22.jpg)
ESTUDO DAS CÔNICASESTUDO DAS CÔNICAS
![Page 23: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/23.jpg)
Considere-se, em um plano Considere-se, em um plano , um ponto F e uma reta d que não contém F. , um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos pontos do plano pontos do plano que eqüidistam de d e F. que eqüidistam de d e F.
PARÁBOLAPARÁBOLADefiniçãoDefinição
![Page 24: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/24.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas
![Page 25: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/25.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas
![Page 26: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/26.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas
Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA) Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA)
Lançamento de um projétil. Lançamento de um projétil.
![Page 27: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/27.jpg)
F:F: foco; foco;
d: d: diretriz;diretriz;
V: V: vértice;vértice;
p: p: parâmetro que representa a parâmetro que representa a distância do foco a diretriz ( pdistância do foco a diretriz ( p 0); 0);
Reta VF: Reta VF: eixo de simetria da eixo de simetria da parábola. parábola.
AA’: AA’: corda focal mínima (LACUS corda focal mínima (LACUS RECTUM)RECTUM)
PARÁBOLAPARÁBOLAElementos da ParábolaElementos da Parábola
![Page 28: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/28.jpg)
Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita
representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
![Page 29: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/29.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLA
P = (x,y)
F = (p/2,0)
P’ = (-p/2, y)
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
![Page 30: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/30.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
![Page 31: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/31.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
![Page 32: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/32.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
y’² = 2px’y’² = 2px’
Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:
x = x’ + xx = x’ + xoo..
y = y’ + yy = y’ + yoo..
( y- y( y- yoo )² = 2p(x - x )² = 2p(x - xoo))
![Page 33: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/33.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
( y- y( y- yoo )² = 2p(x - x )² = 2p(x - xoo))Desenvolvendo e isolando x:Desenvolvendo e isolando x:
![Page 34: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/34.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
P = (x, y)
F = (0, p/2)
P’ = (x, -p/2)
Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz
tem equação: y = -p/2tem equação: y = -p/2
![Page 35: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/35.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
![Page 36: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/36.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
![Page 37: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/37.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
x’² = 2py’x’² = 2py’
Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:
x = x’ + xx = x’ + xoo..
y = y’ + yy = y’ + yoo..
( x- x( x- xoo )² = 2p(y - y )² = 2p(y - yoo))
![Page 38: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/38.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
( x- x( x- xoo )² = 2p(y - y )² = 2p(y - yoo))
Desenvolvendo e isolando x:Desenvolvendo e isolando x:
![Page 39: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/39.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola (geral):Equações da Parábola (geral):
Eixo de simetria paralelo ao eixo x:Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x = ay² +by + cx = ay² +by + c
y = ax² +bx + cy = ax² +bx + c
Eixo de simetria paralelo ao eixo y:Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
a > 0 (p > 0) a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) a < 0 (p < 0)
p = 1/(2a) p = 1/(2a)
a > 0 (p > 0) a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) a < 0 (p < 0)
![Page 40: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/40.jpg)
ELIPSEELIPSE
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos Fdois pontos fixos F11 e F e F22 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), onde 2a > d(Fonde 2a > d(F11FF22).).
DefiniçãoDefinição
d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a
d(Q , Fd(Q , F11) + d(Q, F) + d(Q, F22) = 2a) = 2a
![Page 41: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/41.jpg)
ELIPSEELIPSE
a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.
Aplicações PráticasAplicações Práticas
a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).
a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor 156 m.156 m.
![Page 42: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/42.jpg)
ELIPSEELIPSEElementos da ElipseElementos da Elipse
FF11 e F e F2 2 :: focos; focos;
2c: 2c: distância focal (distância distância focal (distância entre os focos = d(Fentre os focos = d(F11FF22));));
O: O: centro da elipse;centro da elipse;
AA11, A, A22,, BB11,, BB22 : : vértices da elipse;vértices da elipse;
2a: 2a: eixo maior (distância entre os eixo maior (distância entre os vértices = d(Avértices = d(A11AA22));));
2b: 2b: eixo menor (distância entre eixo menor (distância entre os vértices = d(Bos vértices = d(B11BB22)).)).
![Page 43: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/43.jpg)
ELIPSEELIPSEElementos da ElipseElementos da Elipse
Excentricidade:Excentricidade:
0 < ε < 1a² = b² + c²
![Page 44: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/44.jpg)
ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo x1. O eixo maior coincide com o eixo x
Sejam:Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da P = (x,y) um ponto qualquer da elipse.elipse.
FF11 = (-c,0); = (-c,0);
FF22 = (c,0) = (c,0)
Por definição:Por definição:
d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a
![Page 45: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/45.jpg)
ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo x1. O eixo maior coincide com o eixo x
![Page 46: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/46.jpg)
ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo y1. O eixo maior coincide com o eixo ySejam:Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da P = (x,y) um ponto qualquer da elipse;elipse;
FF11 = (0, c) e F = (0, c) e F22 = (0, -c) = (0, -c)
Por definição e de forma análoga: Por definição e de forma análoga: d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a
![Page 47: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/47.jpg)
ELIPSEELIPSE
Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:x = x’ + xx = x’ + xoo..y = y’ + yy = y’ + yoo..
1. O eixo maior é paralelo ao eixo x1. O eixo maior é paralelo ao eixo x
Equações da elipse com origem O’ = (xEquações da elipse com origem O’ = (xoo, y, yoo) e cujo eixos ) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados são paralelos aos eixos coordenados
![Page 48: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/48.jpg)
ELIPSEELIPSE
Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:x = x’ + xx = x’ + xoo..y = y’ + yy = y’ + yoo..
1. O eixo maior é paralelo ao eixo y1. O eixo maior é paralelo ao eixo y
Equações da elipse com origem O’ = (xEquações da elipse com origem O’ = (xoo, y, yoo) e cujo eixos ) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados são paralelos aos eixos coordenados
![Page 49: Aula transformações de coordenadas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5465cce6af7959e76b8b8272/html5/thumbnails/49.jpg)
ELIPSEELIPSEEquações da Elipse (reduzida):Equações da Elipse (reduzida):
Eixo maior é paralelo ao eixo x:Eixo maior é paralelo ao eixo x:
(x – x(x – xoo)² + (y – y)² + (y – yoo)² = 1)² = 1
a² b²a² b²
Eixo maior é paralelo ao eixo y:Eixo maior é paralelo ao eixo y:
(x – x(x – xoo)² + (y – y)² + (y – yoo)² = 1)² = 1
b² a²b² a²